Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные положения метода конечных элементов при расчёте пространственных систем 18
Глава 2. Основные зависимости метода перемещений для стержневых конечных элементов 73
Глава 3. Метод пространственных конечных элементов (МПКЭ) при расчёте изгибаемых тонкостенных конструкций многосвязного поперечного сечения
Глава 4. Метод пространственных конечных элементов (МПКЭ) при расчёте зданий и сооружений как тонкостенных пространственных систем, работающих на сдвиг 139
Глава 5. Прикладная теория анизотропных оболочек и пластин, подкреплённых рёбрами жёсткости .170
Глава 6. Пространственные конечные элементы для расчёта оболочек вращения 217
Глава 7. Расчёт сооружений и конструкций на динамические, сейсмические и транспортные воздействия на основе МКЭ и МПКЭ 254
Глава 8. Приложение мпкэ и численных методов к задачам статики и динамики тонкостенных пространственных и стержневых конструкций 301
Общее заключение 343
Литература 349
Приложения 372
- Основные положения метода конечных элементов при расчёте пространственных систем
- Основные зависимости метода перемещений для стержневых конечных элементов
- Метод пространственных конечных элементов (МПКЭ) при расчёте изгибаемых тонкостенных конструкций многосвязного поперечного сечения
- Метод пространственных конечных элементов (МПКЭ) при расчёте зданий и сооружений как тонкостенных пространственных систем, работающих на сдвиг
Введение к работе
Одной из важных народнохозяйственных задач, определённых . "Основными направлениями экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года", является повышение эффективности капитальных вложений на основе использования достижений научно-технического прогресса, применения экономичных проектов, снижения стоимости строительства зданий и сооружений, уменьшения трудовых затрат и сроков возведения объектов.
Особое место в решении этой проблемы принадлежит строительной механике. Одно из перспективных направлений развития строительной механики в одиннадцатой пятилетке, как указано А.Ф. Смирновым [207] , заключается в разработке методов расчёта зданий и инженерных сооружений по комплексной схеме на действие стати- ческих, динамических и сейсмических нагрузок, в которой сооружения рассматриваются как единые пространственные системы с учётом работы всех конструктивных элементов.
Имеющиеся проектные материалы свидетельствуют, что расчёт зданий как пространственных систем позволяет выявить дополнительные резервы их несущей способности и обеспечить экономию материалов в несущих конструкциях до 6-8$, а также снизить стоимость сооружений на 3-6%.
Современный уровень развития строительной механики и вычислительной техники обеспечивает принципиальную возможность расчёта сооружений с учётом особенностей их пространственного деформирования на основе численных методов.
Метод конечных элементов (МКЭ), как численный метод инженерного анализа, к настоящему времени получил широкое распространение при расчёте самых разнообразных и сложных задач в самолётостроении, судостроении, машиностроении и строительстве. Его популярность среди инженеров, занимающихся прикладными задачами механики твёрдого деформированного тела, неуклонно растёт. Это объясняется удачным сочетанием в рассматриваемом методе матричного представления основных уравнений равновесия с использованием ЭВМ для их решения. Эффективность применения вычислительных машин в данном случае обуславливается наличием стандартных программ, основанных на матричных алгоритмах линейной алгебры
и позволяющих создавать универсальные вычислительные комплексы для статического и динамического расчётов разнообразных механических систем.
Практические приложения МКЭ наряду со статическими задачами охватывают всё новые области инженерного анализа. Ими являются нелинейная механика сплошных сред, задачи теплопроводности, фильтрации и течения жидкости, теории смазки, задачи динамики, сейсмостойкости и др.
Число журнальных публикаций по МКЭ настолько велико, что их .анализ и классификация являются предметом самостоятельного исследования. Наиболее полная библиография из известных нам публикаций по МКЭ и смежным вопросам приведены в работах Дж. Оде на [164] и Дж. Пржеминицкого [257] . Каждая из них включает более 400 наименований. Учитывая работы последних лет, а также работы советских учёных, можно утверждать, что общее число публикаций по МКЭ уже более тысячи.
За рубежом издан ряд книг, посвященных обоснованию и применению МКЭ к решению прикладных задач [236, 237, 248, 249, 251, 257]и др. . На русском языке имеются как переводные, так и отечественные работы по рассматриваемому вопросу Гі2, 25, 32, 65, 79, 93, 112, 127, 164, 179, 196, 198, 199, 203, 205, 211, 217 и др.] . Известны также специальные обзоры работ по МКЭ, содержащиеся в [25, 28, 79, 93, 257 и др.].
Однако нельзя утверждать, что все аспекты этого метода уже освещены достаточно подробно или являются хорошо разработанными. Часто обсуждается только постановка задачи, выбирается система аппроксисмирующих функций и не приводятся окончательная матрица жёсткости конечного элемента и вектор обобщённых узловых сил. Некоторыми авторами игнорируется техника получения результатов, что в конечном итоге затрудняет практическую реализацию МКЭ.
Наиболее разработанными и широко используемыми являются конечные элементы простых форм с линейной аппроксимацией поля переменных. Их непосредственное применение в расчётах пространственных систем типа оболочек, складок, пролётных строений мостов и несущих конструкций зданий и сооружений приводит к системам алгебраических уравнений высокого порядка, решение которых становится затруднительным даже с привлечением современных вычислительных машин.
В этой связи, пути совершенствования МКЭ направлены как на уменьшение числа неизвестных ассемблированной системы, так и на совершенствование схемы МКЭ высоких порядков точности. Первое направление связано с обоснованием и построением схемы экономи-зации обобщённых узловых перемещений, основанной на сопоставлении энергий всей конструкции и уменьшенной системы с "господствующим" числом независимых степеней свободы. Оно приводит к исключению внутренних узлов в системе базисных конечных элементов и рассмотрению подструктур или суперэлементов Гі27, 179, 197, 208, 249, 257J. Второе направление включает разработку интерполяционных схем высоких порядков точности для базисных конечных элементов [20, 79, 93, 199, 203, 245, 249]. Преимущество этого подхода заключается в улучшенной сходимости метода, обеспечении критериев совместности и полноты функций форм, а также в описании сложной конструкции меньшим числом конечных элементов.
Существенная экономия при расчете пространственных тонкостенных систем достигается путем введения пространственных конечных элементов (ПКЭ), предложенных автором, и построения матрицы жесткости основанного на сочетании вариационного метода Власова-Канторовича в матричной формулировке и МКЭ в классической постановке [141,143,147,149,253,255] . Применительно к пространственным задачам предлагаемый метод является развитием метода полос [238,239,262] в форме, предложенной Н.Н.Леонтьевым для решения плоской задачи теории упругости [l07,I08] и представляет дальнейшую дискретизацию МКЭ в форме Л.А.Розина и В.Г.Корнеева [92,196] со специфическими координатными функциями. В данной работе этот метод назван методом пространственных конечных элементов (МПКЭ).
Характеризуя вцелом современное состояние рассматриваемого вопроса, можно утверждать, что к настоящему времени в теории метода конечных элементов и его практических приложениях получены важные результаты. Однако использование метода конечных элемен тов в его классической форме к непосредственному расчету зданий и сооружений, рассматриваемых как единые пространственные системы, затруднительно, поскольку порядок уравнений для всей системы неизбежно превышает несколько десятков тысяч. И хотя принципиальных математических трудностей в решении уравнений такого порядка нет, практически важных результатов на этом пути нам неизвестно.
В связи с отмеченными трудностями основная цель исследований по теме заключается в обобщении и развитии МКЭ применительно к расчету зданий и сооружений как тонкостенных пространственных систем на статические и динамические, в том числе сейсмические воздействия, а также обосновании, теоретической развитии и реализации на ЕС ЭВМ метода пространственных конечных элементов (МПКЭ). Предложенный метод позволяет на основе дискретно-континуальной расчётной схемы сооружения рассмотреть принципиально новые задачи, решение которых известными методами было чрезвычайно трудоёмко или даже невозможно.
Настоящая работа посвящена решению поставленных задач в линейной постановке. Её результаты нашли применение в проектной практике.
Диссертация состоит из введения, восьми глав, общего заключения, списка литературы и четырёх приложений.
В первой главе рассмотрены основные положения МКЭ применительно к расчету пространственных тонкостенных и стержневых упругих систем. Изложены основные вариационные принципы механики, используемые при расчёте конструкций методом конечных элементов, и приведен вывод матрицы жёсткости и векторов обобщённых узловых сил для произвольного конечного элемента с учётом влияния стационарного температурного поля и вектора.
Анализируются основные типы полиномиальных аппроксимаций и их свойства. На основе рассмотрения симплексных моделей интерполяционных функций получены функции форм, отвечающие симплексным решёткам высоких порядков (до четвёртого включительно). Преимущества такого подхода заключаются в том, что не проводя утомительной процедуры обращения матриц связи с вектором узловых пермещений, обычно используемой в МКЭ, можно непосредственно записать функцию формы для конечного элемента высокой степени точности.
Наряду с описанной выше интерполяционной схемой в данной главе рассмотрена техника интерполирования обобщёнными многочленами, которые в частных случаях являются многочленами Лаг-ранжа, Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя, тригонометрическими полиномами, полиномами Эрмита и другими. Рассмотрен также широкий класс ортогональных полиномов, основанных на частных случаях решения гипергеометрического уравнения. Он включает в себя ряд полиномов, наиболее употребительными среди которых являются полиномы Якоби, Гегенбауэра, Чебышева, Лежандра и Лагерра.
Во второй главе иллюстрируется применение некоторых из рассмотренных интерполяционных полиномов высокого порядка для получения матриц жесткостей и векторов узловых перемещений стержневых конечных элементов. При выводе основных соотношений показано применение одномерных функций Эрмита, которые образуют единичную матрицу при удовлетворении граничных условий на концах (узлах) конечного элемента [l79, 199, 205, 249, 257] . В качестве основного уравнения для анализа прямолинейных стержней принято однородное дифференциальное уравнение равновесия балки, допускающее 13 частных случаев [21б], соответствующих различным физическим условиям задачи.
Рассмотрены стержни с кривой осью при двух вариантах действия внешних сил (в плоскости кривизны и из плоскости) и произведено сравнение полученных результатов с известными частными случаями решения [ill, 251] .
Третья глава содержит теорию расчёта изгибаемых пространственных конструкций на основе предлагаемого МПКЭ. Рассмотрены соотношения для деформаций и внутренних усилий в призматической оболочке из ортотропного материала, геометрия которой содержит разрывные параметры (изломы кривизн и отверстия). На основе вариационного принципа Лагранжа получены уравнения равновесия континуальной и дискретно-континуальной задачи и соответствующие граничные условия. Показано, что введение базисных ПКЭ, обобщённых координатных функций метода В.З. Власова, а также использование общепринятых функций форм МКЭ в направлении продольной оси изгибаемой конструкции, позволяет получить в замкнутом виде матрицу жесткости ПКЭ и соответствующие векторы обобщенных сил с учетом излома кривизн и наличия отверстий в конструкции. Рассмотрен пример расчета объемного блока, иллюстрирующий эффективность предлагаемого метода.
Четвертая глава включает вывод основных соотношений МПКЭ для конструкций, работающих преимущественно на сдвиг. Получены матрицы жесткости и векторы объемных и поверхностных сил для многозамкнутой коробчатой оболочки общего вида, выведены уравнения равновесия системы, составленной из ПКЭ при различных подходах к выбору координатных функций в МПКЭ.
Рассмотрено влияние податливости плит перекрытий (диафрагм) и податливости основания, а также дискретных связей между несущими элементами пространственной системы на основные зависимости исходных уравнений равновесия. Анализируются и формулируются условия выбора аппроксимирующих функций метода В.З.Власова, применяемых для описания деформированного состояния пространственных конструкций.
В пятой главе предлагается прикладная теория анизотропных оболочек и пластин, подкрепленных ребрами жесткости, в которой наряду с классическими, учитываются неклассические гипотезы относительно характера распределения сдвиговых деформаций и напряжений, а также перемещений по толщине оболочки. С учетом характера распределения обобщенных сдвигов по толщине обшивки, принятого по новой итерационной теории С.А. Амбарцумяна, получены основные уравнения равновесия ребристой оболочки в усилиях и перемещениях, а также граничные условия, отличающиеся от классических.
Результаты этой главы явились теоретической базой для построения пространственных конечных элементов в форме цилинд - 15 рических круговых и усеченных конических оболочек с ребрами жесткости, основные уравнения для которых получены в шестой главе. Полученная структура матричных уравнений принципиально отличается от традиционной, вследствие наличия в ней элементов, учитывающих смещения ПКЭ как жесткого целого.
Седьмая глава служит теоретической иллюстрацией применения МПКЭ и МКЭ для расчета сооружений и конструкций на динамические, сейсмические и транспортные воздействия. Наряду с предложенным инженерным методом определения транспортных нагрузок на строительные конструкции, рассмотрена общая теория расчета пространственных систем, основанная на известных методах статистической динамики.
Показано использование частных случаев общей теории ребристых оболочек, рассмотренной в пятой главе, и МПКЭ для анализа частот и форм собственных колебаний цилиндрических оболочек на прямоугольном плане, применяемых в качестве покрытий одноэтажных промзданий. Проведено сопоставление теоретических результатов с данными натурных экспериментов по определению динамических характеристик оболочек с ребрами жесткости.
В восьмой главе предложенные в работе методы и их эффективность иллюстрируются на конкретных численных примерах расчета различных тонкостенных пространственных и плоских стержневых конструкций. Даны основные сведения о разработанной с участием автора вычислительной программы КОНТУР, основанной на МПКЭ и предназначенной для расчета зданий и пространственных конструкций различного назначения на ЭВМ EC-I030 .
В заключении дается перечень основных результатов проведенных исследований и приводятся рекомендации по практическому использованию полученных результатов.
В Приложения включены таблицы жесткостных коэффициентов изгибаемого ПКЭ и ПКЭ в форме усечёного конуса, полученные в местной системе координат, а также матрицы параметров жесткостей ПКЭ и векторов начальных деформаций.
На защиту выносятся следующие основные положения и результаты:
- обоснование, теоретическое развитие и реализация на ЭВМ метода пространственных конечных элементов (МПКЭ) для расчёта конструкций призматических оболочек, работающих на изгиб,сдвиг;
- анализ симплексных моделей и интерполяционные функции, отвечающие симплексным решёткам высоких порядков ( до четвёртого включительно), а также предложения об использовании в МКЭ в качестве функций форм обобщённых многочленов и ортогональных полиномов, основанных на частных случаях решения гипергеометрического уравнения;
- новые семейства конечных элементов, образованные на основе интерполяционных формул Гаусса, Стирлинга и Бесселя, а также семейство треугольных призм на основе симплексных решёток различных порядков;
- уточнённые матричные зависимости для стержневых конечных элементов, вытекающие из рассмотрения однородного дифференциального уравнения для стержней и его частных случаев, а также обобщённые матрицы жёсткости для стержней с кривой осью;
- прикладная теория анизотропных ребристых оболочек, основанная на гипотезах относительно характера распределения сдвиговых деформаций и напряжений по толщине оболочки, а также результаты анализа аналитического решения по предлагаемому методу;
- результаты применения МПКЭ и основные матричные соотношения для расчёта конических и цилиндрических оболочек с продольными ребрами жесткости;
- приложения МПКЭ к расчету сооружений и их элементов на динамические, сейсмические и транспортные воздействия при проектировании реальных объектов и конструкций, а также сопоставительный анализ методов с известными решениями и экспериментальными результатами.
Основные положения метода конечных элементов при расчёте пространственных систем
Классическая форма МКЭ получила развитие во многих областях техники. Однако, этому методу свойственны и серьезные недостатки, один из которых заключается в невозможности практического расчета достаточно сложных пространственных конструкций как единых систем. Так, например, одна секция крупнопанельного девятиэтажного здания собирается из более чем 200 панелей. Число неизвестных обобщенных перемещений при использовании плоских прямоугольных конечных элементов с тремя степенями свободы в каждом узле такой системы будет превышать 5000. Практическая реализация такой задачи на ЭВМ требует большой подготовительной работы, значительного расхода машинного времени и крупных материальных затрат.
Указанные обстоятельства привели к необходимости разрабатывать методы, основанные на использовании сложной основной системы и введении групповых неизвестных. Такой прием применялся для расчета сложных статически неопределимых систем в работах Мюлле-ра-Бреслау (1886г.), Н.С.Стрелецкого (1921г.), А.А.Гвоздева (1927), Дж.Аргироса (1960г.) и др.
Можно указать две разновидности использования сложной основной системы. Первая (классическая форма) получила развитие для расчета дискретных и дискретно-континуальных систем, преимущественно плоских и пространственных рам, в работах И.М.Рабиновича [184], О.В.Лужина [ш], Р.Р.Матевосяна [122], В.К.Егупова [73], А.П.Филина [220] и др.
Вторая форма, связанная с анализом континуальных систем, получила название метода конденсации (или анализа подструктур). Первой отечественной работой в рассматриваемом направлении следует назвать книгу А.Ф.Смирнова, А.В.Александрова, Н.Н.Шапошникова и Б.Я. Лащеникова [208], в которой дана общая схема получения матрицы жёсткости произвольного элемента путём исключения внутренних узлов.
В иностранной литературе рассмотренный приём получил название метода подструктур или суперэлементов, использование которого для анализа конструкций самолёта принадлежит И.С. Пржеми-ницкому [257]. К рассматриваемому направлению примыкает также известный метод Крона [98], применяемый для расчёта топологических сетей и конструкций [189].
Н.Н. Шапошников [127, 230] разработал сложную основную систему для анализа конструкций, полагая, что смежные подструктуры соединены между собой одним суперузлом. В этом случае матрица жёсткости всей системы приводится к трёхдиагональной блочной форме и для решения задачи можно воспользоваться стандартными подпрограммами.
В.А. Постнов и И.Я. Хархурим [179] предлагают для расчёта сложной системы применять суперэлементы различных уровней путём последовательного уменьшения числа неизвестных и укрупнения отдельных блоков рассчитываемой конструкции. Однако и в этом случае мы должны осуществлять наиболее трудоёмкую операцию матричной алгебры - обращение матриц жесткостей, соответствующих внутренним степеням свободы исходной системы узловых точек с последующим перемножением этих матриц на матрицы связи между исключаемыми и остающимися неизвестными. В прикладных задачах численного анализа процедура конденсации первоначальной матрицы жёсткости обычно осуществляется путём обратного исключения Гаусса. Применительно к задачам динамики метод подструктур рассмотрен в работах [79, 249] и др. Эффективным приёмом дискретизации континуальных систем зданий и сооружений следует считать введение в качестве базисных конечных элементов - тонкостенных пространственных конечных элементов, которые в зависимости от типа рассчитываемой конструкции могут представлять собой (рис.І.І) призматическую или криволинейную оболочку открытого или закрытого контура, складку, одно или многозамкнутый кессон или произвольную достаточно сложную поверхность с рёбрами жёсткости и находящуюся на упругом однородном основании.
Математической основой такого подхода к расчёту пространственных конструкций является сочетание вариационного метода Власова-Канторовича и метода конечных элементов в его классическом понимании.
Предложенный Н.Н. Леонтьевым [107, 108] метод решения плоской задачи теории упругости в данной работе автора обобщён и развит для решения сложных задач строительной механики и назван методом пространственных конечных элементов (МПКЭ) [141,147,149, 152,153,253,254,255]. Основные соотношения метода получены на основе общих вариационных принципов механики сплошной среды и приведены к виду наиболее употребительному в матричной алгебре.
Система аппроксимирующих функций в МШЭ строится для всего контура поперечного сечения пространственного элемента рассматриваемого типа, а функции формы МКЭ становятся зависимыми только от одной координаты и могут быть выбраны в простейшем случае кусочно-линейными .
Основные зависимости метода перемещений для стержневых конечных элементов
Настоящая глава содержит вывод основных матриц метода перемещений для стержневых конечных элементов, имеющих практическое значение при расчете различных конструкций. Подробно рассматривается получение матриц жесткостей для основных типов элементов в виде стержней, находящихся в условиях растяжения-сжатия, продольно-поперечного изгиба, на упругом основании, а также криволинейных стержней.
При рассмотрении стержневых конечных элементов предполагается, что они могут быть составной частью пространственной или плоской стержневой системы, либо описывать напряженно-деформированное состояние континуальных систем, состоящих из пластин, оболочек, трехмерных тел и др. В последнем случае поведение континуальной системы будет описываться лишь приближенно, причем между двумя этими системами (дискретной и континуальной) необходимо устанавливать эквивалентное соответствие компонент вектора деформаций и вектора напряжений.
Поперечные сечения стержней представляют, как правило, прямоугольные сечения, либо сечения, составленные из элементов прокатных профилей и др. В качестве основного уравнения для анализа прямолинейных стержней принято однородное дифференциальное уравнение балки подробно исследованное А.А.Уманским [21б] для континуальной задачи. Решения, полученные методом конечных элементов на основе исследований дифференциальных уравнений равновесия, как правило, являются точными. Математической основой метода пространственных конечных элементов являются вариационные принципы механики и, как частный случай, принцип Лагранжа, позволяющий получить уравнения ранове-сия в перемещениях. Показано, что в случае расчета оболочек вращения, плит и диафрагм, рассматриваемый метод совпадает с методом конечных полос, предложенным Ю.Ченгом [238, 239] и исследованным Л. А. Розиным [196], В.А.Постновым [177, 178, 179], О.И. Борщовым [24] и в наиболее близкой форме Н.Н.Леонтьевьм [Ю7,10б].
Получены интерполяционные функции и семейства конечных элементов, необходимые для описания одно,- двух,- и трехмерных упругих тел. Выбор функций форм для различных типов конечных элементов осуществлялся с единых позиций теории интерполирования и приближения функций в некотором фиксированном базисе р8, 53, 101].
При этом получено ряд новых результатов, которые состоят в следующем: I. На основе анализа симплексных моделей интерполяционных функций, нашедших широкое распространение в математической теории планирования эксперимента [78, 138, 22б], в разделе 1.7 получены функции форм, отвечающие симплексным решеткам высоких порядков (до четвертого включительно). Преимущество предложенного подхода по сравнению с традиционной схемой обычно используемой в МКЭ заключается в том, что - 72 минуя процесс обращения матрицы связи неопределенных коэффициентов с вектором узловых перемещений, непосредственно записываются функции формы для конечного элемента высокой степени точности. 2. Наряду с известными предложениями об использовании в качестве функций форм интерполяционных коэффициентов, входящих в полиномы Лагранжа и Эрмита [20,79,127,164,179,249,261] , в п. 1.8 рассмотрена техника интерполирования перемещений элементов обо бщенными многочленами, которые в частных случаях (наряду с выше упомянутыми) являются многочленами Ньютона, Гаусса, Стирлинга, Бесселя, тригонометрическими полиномами и др. Получены формулы для функций форм при интерполировании полиномами Гаусса и Стирлинга (1.68), а также полиномами Бесселя (1.69). 3. Применительно к задачам МКЭ в п.1.9 рассмотрен широкий класс ортогональных полиномов, основанных на частных случаях решения гипергеометрического уравнения. Он включает ряд полиномов, среди которых широкое распространение в МКЭ могут получить полиномы Якоби, Чебышева, Лежандра и Лагерра.
Метод пространственных конечных элементов (МПКЭ) при расчёте изгибаемых тонкостенных конструкций многосвязного поперечного сечения
Наиболее распространенные в практике строительства тонкостенные пространственные конструкции, как правило, имеют сложную нерегулярную геометрию и конструктивные особенности, которые значительно усложняют их расчетную модель (изломы срединной поверхности, ребра жесткости, отверстия, трещины, сосредоточенные нагрузки и опоры и т.п.).
Теория таких конструктивных систем с разрывными параметрами получила развитие в работах Н.П.Абовского [і], С.А.Амбарцумя-на [8, 10], Д.В.Вайнберга и И.З.Ройтфарба [27], Е.С.Гребня [55, 56], П.А.Жилина [75, 76], Б.К.Михайлова [131, 132], В.В.Новицкого [155] , В.И.Плетнева [173] , И.Н.Преображенского [182] , Я.Ф. Хлебного [224] и других авторов.
Математической основой расчета пространственных систем с разрывными параметрами является теория обобщенных функций (теория распределений) Соболева-Шварца, основы которой и её развитие содержатся в работах В.С.Владимирова [37] , И.М.Гельфанда и Г.Е. Шилова [50] , В.А.Лазаряна и С.И.Коношенко [104] , Я.Микусинского и Р.Сикорского [128], Л.Шварца [23і]и др.
Практическое применение теории обобщенных функций для решения указанных задач часто осложняется непреодалимыми трудностями, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений равновесия, наличием высших степеней дельта-функций Дирака в функционале энергии деформаций, сложностью выделения особенностей на границах разрыва поверхностей и т.п.
Отмеченные трудности приводят к необходимости искать новые дути решения рассматриваемой проблемы расчета сложных пространственных конструкций без разделения их на отдельные элементы, в частности путем сведения двумерных задач теории пластин и оболочек к одномерным, последующей дискретизации и решения систем алгебраических уравнений (вместо дифференциальных). Это достигается применением тонкостенных пространственных конечных элемнтов (ПКЭ), описывающих особенности нерегулярной пространственной системы с учетом её различных конструктивных неоднородностей.
Математической основой такого подхода является сочетание вариационного метода Власова-Канторовича и метода конечных элементов в классической форме. С другой стороны его следует считать обобщением известной классической формы МКЭ (в форме метода конечных полос), пригодного для расчета широкого класса многосвязных призматических оболочек и складок, зданий и сооружений, работающих в условиях сложного напряженного состояния, пролетных строений мостов, кессонных конструкций и многих других.
Главным преимуществом предлагаемого подхода является значительное уменьшение числа неизвестных системы уравнений равновесия, а следовательно и более экономичное решение без снижения точности вычислений. В результате проведенного в данной главе исследования установлены основные матричные соотношения для стержневых систем, которые иллюстрируют связь между методами строительной механики стержневых систем и МКЭ. Здесь произведена систематизация и обобщение известных результатов, а также получены новые, которые сводятся к следующим: Произведено исследование матричных соотношений однородно го дифференциального уравнения равновесия для прямолинейных стер жней, подробно изученное А.А.Уманским [216] и Н.М.Корноуховым [94] при расчете устойчивости и устойчивой прочности, а также рассмотрены все частные случаи, вытекающие из его рассмотрения по методу конечных элементов. По сравнению с известными, рассмотренными в работах Дж.Аргириса [12], Л.А.Розина [196, 198], Дж.Пржеминицкого [257], А.П.Филина [220], Н.Н.Шапошникова [230], А.М.Масленникова [l20], все матричные зависимости теории изгибаемых и сжато-растянутых стержней получены с учетом влияния стационарного температурного поля и начальных деформаций.
Метод пространственных конечных элементов (МПКЭ) при расчёте зданий и сооружений как тонкостенных пространственных систем, работающих на сдвиг
Применение классической формы метода конечных элементов не всегда обеспечивает условие совместности деформаций и перемещений на межэлементных границах и не дает возможность достаточно полно описать сложные системы. Для удовлетворения условий совместности перемещений оболочек вращения, описываемых замкнутыми цилиндрическими или коническими элементами, достаточно задать одномерные функции по координате, отсчитываемой вдоль меридиана [24, 26, 83, 179, 196]. Близким к указанному направлению МКЭ является метод полос, который в зависимости от характера аппроксимации функций перемещений для элементарной полосы имеет два направления: 1. Функция перемещения задается в форме ряда, в котором составляющие являются специально подобранными функциями, удовлетворяющими граничным условиям на концах полосы. К этому направлению можно отнести исследования А.В.Александрова [7, 127, 208], Ю.К.Чанга [238, 239], П.Даса [242] и др. 2. Перемещения системы представляются в виде конечных разложений вариационного метода Власова-Канторовича, а удовлетворение граничных условий производится после построения матрицы жесткости всей системы элементов. Это направление представлено работами Н.Н.Леонтьева [І07,І08]. В этих работах рассчитываемая прямоугольная область расчленяется на ряд конечных полос-элементов, грани которых представляют собой узловые линии. Такой прием позволяет снизить порядок матрицы жесткости всей системы, по сравнению с порядком матрицы жесткости системы, получаемой для одной и той же конструкции в обычном методе конечных элементов.
Основная задача данной главы заключается в дальнейшем развитии метода Н.Н.Леонтьева применительно к расчету зданий и сооружений. В этом случае конструкцию здания можно представить в виде некоторой пространственной системы одно-,многозамкнутого или открытого контура. Статические и геометрические параметры такой системы можно описать в рамках гипотез теории призматических оболочек. Возможные примеры использования пространственных конечных элементов (ПКЭ) для расчета конструкций и схемы расчленения на элементы показаны на рис.1.1. Рассмотрим пространственную систему, образованную несущими элементами крупнопанельного, объемноблочного или каркасно-панельного здания (рис.4.1). Введем местную систему координат Z0S и общую систему координат Z0S . Координата S(S) распространяется по всему контуру поперечного сечения, т.е. в направлении двух координатных осей ( ОЖ и 0U ). Таким образом, мы имеем трехмерную задачу, которую путем введения соответствующей системы отсчета в методе Власова сводим к двумерной.
Рассматриваемую пространственную конструкцию расчленим в направлении координаты Z на ol отдельных тонкостенных пространственных конечных элементов (замкнутого или открытого профиля). Они жестко соединены между собой узловыми замкнутыми линиями в направлении координаты S (по периметру элемента). Каждый из таких пространственных конечных элементов высотой dp имеет одинаковые упругие характеристики и постоянную толщину в пределах одной грани.
В качестве величин, характеризующих деформированное состояние упругого элемента, примем компоненты обобщенных перемещений в конечном числе узловых линий. Для расчета такого элемента применим вариационный метод Власова в матричной формулировке. В данной главе предложен метод расчета изгибаемых тонкостенных пространственных конструкций многосвязного профиля с нерегулярной геометрией и наличием разрывных параметров (изломов кривизн и отверстий). Основные результаты, полученные в данной главе, сводятся к следующим:
Предложена дискретно-континуальная модель призматической оболочки с разрывными параметрами, находящейся в условиях изгиба и плоского напряженного состояния, путем расчленения конструкции на ПКЭ многосвязного поперечного сечения, включающие сингулярные функции, обусловленные изломом кривизн и прямоугольными отверстиями. Получены матрицы жесткости, представленные формулами (3.42) и в таблицах 3.3 и 3.4, а также вектор узловых внешних сил (3.48) для пространственных конечных элементов, находящихся в условиях изгиба и плоского напряженного состояния. В общем случае матрица жесткости ПКЭ в. местной системе координат является квадратной матрицей размером 2Мх2М ( М =ml +m2 +2m3), зависящей от принятого числа ШI продольных,m2 поперечных и 2тЗ нормальных обобщенных перемещений ПКЭ.
Дана общая схема решения задачи расчета призматической оболочки на основе метода, названного методом пространственных конечных элементов (МПКЭ). Рассмотрен выбор координатных базисных функций для расчета изгибаемых из плоскости пространственных конструкций, позволяющий существенно уменьшить порядок исходных уравнений равновесия по сравнению с классической формой МКЭ.
