Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Осреднение соотношений теорий упругости и упругих свойств неоднородного тела 13
1.1. Сведение задачи теории упругости неоднородного тела к задаче теории упругости для модельного однородного тела 13
1.2. Решение ЗАДАЧИ I 20
1.3. Физические компоненты эффективных и упругих модулей для оболочек вращения с одной плоскостью симметрии упругих свойств .. 24
Глава 2. Построение соотношений и постановка задач линейной теорий оболочек 35
2.1. Построение соотношений общей линейной теории оболочек 35
2.2. Классическая постановка и решение осесимметричной задачи оболочек вращения 42
2.3. Постановка задачи для цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью 49
2.4. Неоднородная цилиндрическая оболочка в осевом и окружном направлениях 54
Глава 3. Некоторые задачи равновесия тонких оболочек вращения под внутренним давлением 66
3.1. Исследование напряжений в составной оболочке вращения, образованной методом намотки 66
3.2. Цилиндрическая оболочка, образованная намоткой.. 76
3.3. Влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние многослойной цилиндрической оболочки .. 81
Заключение 88
Литература 90
- Физические компоненты эффективных и упругих модулей для оболочек вращения с одной плоскостью симметрии упругих свойств
- Классическая постановка и решение осесимметричной задачи оболочек вращения
- Постановка задачи для цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью
- Влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние многослойной цилиндрической оболочки
Введение к работе
В настоящее время в технике и строительстве все более широкое применение находят многослойные тонкостенные конструкции типа оболочек и в частности оболочки, образованные намоткой. Преимущество таких конструкций состоит в том, что они обладают большей удельной прочностью (прочность на единицу массы) и что их можно создавать с наперед заданными свойствами.
Параметры, определяющие свойства таких конструкций, как правило, определяются теоретически. И, следовательно, теоретические методы, используемые при этом, должны быть достаточно точными, а параметры, получаемые посредством их - отвечать действительности. Отсюда возникает необходимость разработки более точных методов расчета и предсказания упругих свойств таких конструкций.
Наиболее сложными для расчета являются оболочки, образованные намоткой. Сложность состоит в неоднородности упругих свойств как по толщине, так и в направлении армированных слоев. Для таких структур пока не удалось получить точных эффективных модулей упругости, поэтому их рассчитывают как многослойные оболочки, в которых армированные слои рассматриваются как жесткие с приведенными упругими свойствами, которые определяются либо экспериментально, либо теоретически. Другой способ заключается в рассмотрении оболочки как системы нитей.
Можно выделить два основных направления построения моделей теории многослойных оболочек. Е первому направлению можно отнести теории, основанные на введении кинематических и статических гипотез для каждого отдельного слоя. При таком подходе число уравнений зависит от числа слоев, поэтому разрешающая система уравнений имеет высокий порядок. Как указано в [14] , такие теории яв- -4-ляются более точными и способны описывать локальные эффекты (концентрацию напряжений,местную потерю устойчивости и др.). Но их большая точность может быть сведена на нет из-за принятия дополнительных упрощающих допущений при решении задач (равенство коэффициентов Пуассона для жестких и мягких слоев, равенство нулю коэффициента Пуассона и др.).
Это направление развивалось В.В.Болотиным и Ю.Н.Новичковыы [3], Э.И.Григолюком и П.П.Чулковым [12], [13], Я.М.Григоренко и А.Т.Василенко [16], В.Н.Москаленко и Ю.Н.Новичковым [27], Ф.Чао и Дж.Ахенбахом [Щ Т.-М.Сюй, Т.-С.Ван [49], Дж.Као [50].
В [12], [13] вводится гипотеза ломаной линии для тангенциальных перемещений и принимается равенство прогибов всех слоев прогибу поверхности приведения. В результате задача сводится к решению 2s +3 уравнений относительно 2S поперечных углов сдвига и трех компонент вектора перемещений точек поверхности приведения; 5 - число слоев. Предполагается, что коэффициент Пуассона одинаков для всех слоев.
В [27] на основе предположений о том, что для жестких слоев справедлива гипотеза недеформируемой нормали, а для мягких слоев существенной является только трансверсальная деформация, перемещения и деформации каждого мягкого слоя выражены через перемещения окаймляющих его мягких слоев. Из вариационного принципа Лаг-ранжа получены ЗЛ уравнений равновесия относительно ЗП компонент векторов перемещений срединных поверхностей жестких слоев; И - число жестких слоев. В [3] эта теория обобщается введением более общих гипотез.
В [16] показано, что теории, основанные на введении гипотез для каждого слоя в отдельности и не учитывающие поперечную деформацию, эквивалентны, в некотором смысле, теориям, основанным на введении гипотез для всего пакета слоев в целом. Показано, что если каждый слой имеет свой угол сдвига, но выражающийся через угол сдвига срединного слоя, то разрешающая система уравнений не зависит от числа слоев и имеет десятый порядок.
В 48 для армирующего и связующего слоев принимается гипотеза прямой линии и учитывается их поперечная сжимаемость. Компоненты векторов перемещений, описывающих поведение срединных поверхностей, заменяются непрерывными функциями по толщине. Углы поворота нормалей к срединным поверхностям слоев заменяются одними непрерывными функциями в жестких слоях и другими - в мягких слоях. Применяя принцип Гамильтона, получено шесть уравнений равновесия в перемещениях относительно девяти функций. Причем, между компонентами вектора перемещений и углами поворота имеются три дифференциальных зависимости, используя которые, можно перейти к шести уравнениям относительно шести неизвестных функций. Толщины слоев предполагаются такими, что возможна замена разностных соотношений дифференциальными.
В [49] для каждого слоя в отдельности принимается гипотеза о распределении касательных напряжений в форме уточненной теории I . Из условия равенства нулю поперечной деформации определяются "плоские" модули упругости. Распределение тангенциальных перемещений по толщине получено интегрированием в пределах каждого слоя соотношений Коши для поперечных сдвигов. В итоге для каждого слоя получено по пять уравнений равновесия аналогичных [I]
В [50] разрешающая система уравнений получена вариационным методом. Предполагается, что в армирующих слоях действуют мембранные напряжения, а в связующих - поперечные касательные напряжения. Оболочка считается тонкой, а коэффициент Пуассона- одинаковым для всех армирующих слоев. - б -
Ко второму направлению можно отнести теории, в которых число уравнений разрешающей системы не зависит от числа слоев. Эти теории основаны на сведении задачи теории упругости неоднородного тела к соответствующей задаче для однородного тела с некоторыми приведенными упругими свойствами (модельное тело). Здесь точность расчетов может быть повышена за счет более точного определения приведенных упругих свойств и введения более точных гипотез относительно распределения перемещений по толщине оболочки. Во всех известных здесь подходах приведенные модули являются следствием тех или иных гипотез, принимаемых при сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной - теории оболочек.
Среди всего многообразия подходов в этом направлении можно назвать работы С.А.Амбарцумяна [I] , А.Т.Василенко, Г.П.Голуба и Я.М.Григоренко [4] , В.В.Васильева и В.Г.Назаренко [7] , Я.М.Григоренко [15], В.И.Королева [21], Б.Л.Пелеха [Зб], Л.П.Хорошуна [43], Л.П.Хорошуна и С.В.Козлова [44], А.Н. Ульяшиной [41], Дж.Азара [47], Л.Либреску [51], П.Нагди [52].
Первоначально шли по пути распространения классической теории и теории с конечной сдвиговой жесткостью на многослойные оболочки. Это достигается введением гипотезы недеформируемой нормали или гипотезы прямой линии для всего пакета слоев в целом. Такой подход развивался в работах [I] , [4] , [15] , [21], [36], [7],[47], [51], [52]. Для этого подхода характерным является то, что получаемая разрешающая система уравнений имеет такой же порядок, что и разрешающая система соответствующей теории однородных анизотропных оболочек. А так же то, что если пренебречь изменением метрики по толщине, то при нечетном числе слоев, симметрично расположенных относительно срединной поверхности, влияние изгибной и тангенциальной деформаций разделяется, а для произвольного числа
1-7 -слоев не разделяется.
Гипотеза прямой линии для всего пакета слоев не отражает специфики строения оболочки. Освобождаясь от этого недостатка в [43], [44] , предложена модель, свободная от кинематических гипотез и основанная на представлении об однородном напряженном состоянии в плоскости слоев тонкостенного элемента. Здесь для оболочек с ор-тотропными слоями (оси ортотропии совпадают с ортогональной гауссовой системой координат) получены уточненные приведенные жесткости с учетом кривизны тонкостенного элемента. Получены определяющие соотношения, которые позволяют после решения задачи для модельной оболочки найти "микронапряжения11. Следует отметить, что если при построении соотношений не учитывались касательные напряжения, то полученные соотношения аналогичны соотношениям классической теории. Если же учитывались, то полученные соотношения имеют более общий вид, чем соотношения типичные для гипотезы прямой линии.
В работе [41], пренебрегая изменением метрики по толщине во всех соотношениях теории упругости и эффектом Пуассона в поперечном направлении, получена кинематическая модель более общая чем модель Тимошенко. Согласно этой модели, тангенциальные перемещения выражаются через перемещения и поперечные напряжения некоторой поверхности приведения, а нормальные перемещения - через прогиб и нормальное поперечное напряжение. В выражении для перемещений находит отражение слоистость оболочки. В результате получена система шести уравнений шестнадцатого порядка относительно шести неизвестных функций.
В [7]для толстых цилиндрических оболочек построен итерационный процесс, позволяющий учесть трансверсальную деформацию, определяемую из предыдущего приближения. Начальное приближение соот- ветствует гипотезе Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в целом. Предполагается, что материал ортотропный и эффектом Пуассона в поперечном направлении можно пренебречь,
К учитывающим специфику строения оболочек образованных методом намотки, относятся работы А.Н.Елпатьевского и В.В.Васильева [17], И.Ф.Образцова, В.В.Васильева и В.А.Бунакова[29], Э.В.Ра-мана [37], С.Б.Черевацкого [46]."
В [17] рассматривается цилиндрическая оболочка, образованная перекрестной намоткой. На основе предположений о безмоментности напряженного состояния и равенстве нулю коэффициента Пуассона в армированных слоях, постоянстве касательных напряжений в прослойках и малости толщины армированных слоев, получены дифференциальные уравнения равновесия двух семейств для армированных слоев. Кроме этого предполагается несжимаемость оболочки в поперечном направлении.
В [37] принимается гипотеза прямой линии для всегр пакета слоев в целом. Получаемые при этом приведенные жесткости являются функциями длины меридиана, поскольку лента образует с меридианом различные углы в различных его точках."
Когда предел прочности хрупкого связующего значительно ниже предела прочности волокна, то разрушение связующего происходит значительно раньше исчерпания несущей способности волокон [6] , Учитывая это, была предложена модель оболочки в виде системы нитей. Такая модель использовалась в работах [29], [46] .
В [29] данная модель принималась для изучения вопросов оптимального армирования оболочек вращения.
Данная диссертационная работа посвящена построению соотношений теории оболочек из композиционных материалов и решению некоторых практических и модельных задач. Диссертация состоит из - 9 -трех глав*
В первой главе осуществляется осреднение соотношений теории упругости и упругих модулей трехмерного тела. В I.I, используя известный метод осреднения Н.С.Бахвалова [2], развитый Б.Е.Побед-рей [30] применительно к композитам с криволинейной анизотропией, задача о равновесии криволинейно-анизотропного неоднородного тела в напряжениях сведена к двум рекуррентным последовательностям задач (ЗАДАЧА I и ЗАДАЧА НЕЗАДАЧА I состоит в решении рекуррентной последовательности уравнений теории упругости неоднородного тела на ячейке квазипериодичности относительно "локальных" функций (аналог компонент вектора перемещений) и в определении осредненных упругих свойств композита.
ЗАДАЧА П состоит в решении рекуррентной последовательности задач анизотропного тела в напряжениях, упругие свойства которого определяются эффективными модулями.
В 1.2 приводится решение ЗАДАЧИ I для композитов с произвольной кривожнейной анизотропией, имеющих периодичность упругих свойств по одной из трех координат. Из полученных выражений следует, что некоторые "локальные" функции, эффективные и упругие модули зависят от кривизны введенной криволинейной системы координат.
В 1.3 получены выражения "локальных" функций, эффективных и упругих модулей для слоистых оболочек вращения с моноклинной симметрией упругих свойств. В оболочках, образованных намоткой, армированный слой рассматривается как слоистый композит с изотропными слоями. Для определения эффективных и упругих модулей которого используются соотношения, полученные в [32] . Затем эти модули используются при осреднении упругих свойств многослойной обо- - 10 -лочки, в которой упругие свойства жестких слоев определяются ос-редненными модулями армированных слоев. Отмечено, что выражения упругих модулей обеспечивают непрерывность поперечных напряжений между слоями и послойных напряжений между волокном и связующем в армированном слое. Сравниваются упругие модули трехмерного тела с модулями, используемыми в классической теории многослойных оболочек [I] .'
Вторая глава посвящена построению соотношений общей линейной теории оболочек и некоторых частных случаев в рамках как гипотез Кирхгофа-Лява, так и гипотез Тимошенко, принимаемых для модельного тела. В 2.1 введением указанных гипотез, рекуррентная последовательность трехмерных задач теории упругости сведена к аналогичной последовательности двумерных задач теории оболочек. Показано, что если для осредненного поля перемещений принимается гипотеза Кирьгофа-Лява, то для действительного поля перемещений это означает принятие этой же гипотезы для всего пакета слоев в целом. Если же принимается гипотеза Тимошенко, то для действительного поля перемещений это соответствует гипотезе ломаной линии.
В 2.2 рассматриваются тонкие оболочки вращения под действием осесимметричных нагрузок.' В рамках гипотез Кирхгофа-Лява задача о равновесии известным методом [I] решена в квадратурах на каждом приближении.
В 2.3 в рамках гипотез Тимошенко приводится постановка задачи для цилиндрической оболочки при действии осесимметричных нагрузок.
2.4 может быть рассмотрен независимо от предыдущих. Здесь рассмотрена задача о равновесии цилиндрической оболочки, неоднородной по осевому и окружному направлениям и однородной по толщи- - п - не.' К уравнениям равновесия теории оболочек в форме Донне ла'-Муш-тари-Власова применяется этот же метод осреднения. Задача для неоднородной оболочки сведена к двум рекуррентным последовательностям задач, аналогичным рассмотренным выше." Получены явные формулы для осредненных жесткостей, когда имеется периодичность упругих свойств только по осевой координате, а период состоит из изотропных "колец". К данному классу задач могут быть отнесены и оболочки с периодически изменяющейся толщиной.
Третья глава посвящена решению задач на основе постановок, сделанных во второй главе. Рассмотрены задача о равновесии оболочек вращения под действием постоянного внутреннего давления.
В 3.1 рассмотрена оболочка, образованная намоткой в виде кокона. Оболочка состоит из цилиндрической части и двух полусфер с отверстиями, расположенными на оси оболочки. Предполагается, что волокна образуют с меридианом один и тот же угол во всех его точках. В качестве граничных условий принимается жесткое защемление краев. При этом края: а) неподвижны в осевом направлении, б) свободны. Приведены графики для напряжений в меридианальном и окружном направлениях, вдоль и поперек волокон.
В 3.2 рассмотрена цилиндрическая оболочка, образованная намоткой. Полученные результаты, сравниваются с результатами других авторов.1
В 3.3 исследуется влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние многослойной цилиндрической оболочки в классической постановке. Исследовано влияние различных размеров дефекта. Приведены значения напряжений, полученных для такой же однородной изотропной оболочки.
Диссертация заканчивается кратким заключением.
Методика и результаты содержащиеся в работе, могут быть не- - 12 -посредственно использованы при расчетах многослойных оболочек и оболочек, образованных намоткой.
Изложенные в диссертации результаты докладывались на 5 Зимней школе по МСС (институт MGG Уральского научного центра АН СССР, Пермь, 1983 г.); на научно-исследовательском семинаре по механике твердого деформируемого тела (руководитель семинара чл.-корр. АН СССР, профессор Э.И.Григолюк); на аспирантском семинаре кафедры теории упругости МГУ (руководители семинара чл.-корр. АН СССР, профессор А.А.Ильюшин, профессор В.С.Ленский); на семинаре по механике композиционных материалов (руководитель семинара профессор Б.Е.Победря) и опубликованы в работах [22], [23], [34]
В работе [34], написанной в соавторстве с Б.Е.Победрей, Б.Е.Победре принадлежит идея применения метода малого параметра. В.Д.Левину принадлежит постановка и решение задачи.
Считаю своим долгом выразить свою глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Борису Ефимовичу Победре за постоянное внимание и помощь в работе.* - ІЗ -Глава І. ОСРВДНЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И УПРУГИХ
СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА І.І. Сведение задачи теории упругости неоднородного тела к задаче теории упругости для модельного однородного тела
Рассмотрим неоднородное линейно-упругое криволинейно-анизот-ропное тело, находящееся в равновесии под действием объемных )( и поверхностных Sq сил. Тогда внутри области V , занятой те-лом, напряжения О должны удовлетворять уравнениям равновесия, а деформации ц -уравнениям совместности деформаций. На границе области JZ j занятой телом, напряжения должны удовлетворять граничным условиям.
Уравнения равновесия в произвольной криволинейной системе координат X имеют вид [18] сЦ -г^'^'+хН (їла) а уравнения совместности [25]
6 6 V^^Cton ~и- (I.I.2)
Граничные условия примем в виде
Ъ1 Mjj - So , (І.І.З)
Чтобы получить замкнутую систему уравнений, к (І.І.І) и (І.І.2) необходимо добавить определяющие соотношения теории упругости - закон Гука, который при изотермическом процессе имеет вид Єц = СЦ*'с$) SKl f (I.I.4)
Здесь ГГ: - символы Кристоффеля 2-го рода; по индексам, заключен- ным в круглые скобки, производится операция симметрирования; запятая в выражении ('\\ означает частную производную по Xі ; - компоненты псевдотензора Леви-Чивиты; V^ - символ ко-вариантного дифференцирования; /lj - компоненты вектора единичной внешней нормали к поверхности ZT ; CL С*) - компоненты тензора модулей упругости; по повторяющимся индексам, один из которых расположен сверху, а другой снизу, производится суммирование.
Задача теории упругости в напряжениях будет состоять в решении системы уравнений (1,1,2) при удовлетворении уравнениям равновесия (1.1,1) и граничным условиям (1,1.3),
Если на части границы Ц1 заданы перемещения, а на части J~ - напряжения, причем ZI7 + И2 - ZI, или на всей границе заданы только перемещения, то задачу следует сформулировать в перемещениях. Для этого необходимо, используя соотношения Коши ц -% Ujj , напряжения из (1,1.4) выразить через перемещения и подставить в уравнения (1,1.1) и граничные условия (I.I.3). В результате получим уравнения равновесия в перемещениях с»;\и< c*"4iuj *
С 7КЩ пП^ " > (I.I.6) U'Hj- = W/, (I.I.7) где Ui - компоненты вектора перемещений, заданные на части поверхности ZZ-i '
Задача теории упругости в перемещениях будет состоять в реше- - 15 -ний системы уравнений (I.I.6) при удовлетворении граничным условиям (I.I.6), (I.I.7).
Мы рассмотрим композиты, для которых в некоторой криволинейной системе координат справедливо равенство где О - некоторые постоянные, а Л/ - целые числа. Постоянные и будем называть периодом структуры, С - периодическими функциями "медленных" координат ОС , а ячейки, составляющие композит, - ячейками квазипериодичности.
Введем "быстрые" переменные ^ = 4- (Х + О Н ) » где ОС - малый геометрический параметр [2]. Тогда Qliry,vl можно считать периодическими функциями "быстрых" координат (параметр ос выбирается таким, чтобы выполнялось условие 0 f $ А ) Поэтому уравнения равновесия (I.I.5) можно переписать в виде iCl\urCCi%M^2^CJn\u( *Х' = 0. (I.I.8) где через (')ц обозначена частная производная по ^
Решение системы уравнений (I.I.8) будем искать в виде разложения, аналогичного [ЗО], заменив частные производные от осредненных компонент вектора перемещений на частные производные от компонент тензора дисторсии. Это позволяет сократить число искомых функций Л/^хуЗ)и оказывается удобным при постановке задачи в напряжениях относительно осредненных полевых функций. Это разложение имеет вид
1-1 /5Г7" ГУ где N(p(fi)- локальные функции "медленных" и "быстрых" координат периодические по f . Причем N(0X0)^^*% Цф(р~ при Р>С(г
И [2*0 .
Подставим (1.1*9) в (I.I.8). Приравнивая коэффициенты при отрицательных степенях с* нулю и некоторым величинам УЦсгп/ъ » вообще говоря зависящим от X , при неотрицательных степенях ск , получим для уравнений теории упругости рекуррентную последовательность задач в классе периодических функций (ЗАДАЧА I): д (I.I.IO)
Решение ЗАДАЧИ I будет единственным, если потребовать выполнение условия [32] (№($)(») = 0 > t*fi*1 (I.I.II) где ^(-)) означает осреднение по F на ячейке квазипериодичности. В (I.I.I0) величины Ьцн/і) определяются из условия разрешимости ЗАДАЧИ І в классе периодических функций, которое, как следует ив (1.1,10), имеет вид ( 0, 9<м<о,р<о. (ІЛ.І2)
Из (1.1,10) и (I.I.I2) следует, что h(f)(/S} и NifK/t) при 2 -/? не зависят от "медленных" координат X , а при ?>/з зависят.
Учитывая разложение (I.I.9) определяющие соотношения (1,1.4) примут вид
Поэтому величины \\(%)(fi) » в силу (1.1,12) и (I.I.I3), могут рассматриваться как величины, определяющие упругие свойства модельного тела, определяющие соотношения которого имеют вид (учитывая
СИММетрИЮ h(f,)(fi) по і и l-t ) J, — is f где Y"Kg = < Ем > - % W/j * a % = ( U*) . Это модельное тело характерно тем, что по его напряженно-деформированному состоянию можно определить напряженно-деформированное состояние в заданном теле.
Соотношения (I.I.I) - (I.I.3) для модельного тела перепишем в виде
С'^Є^Ч^Г^ =0, (І.І.І6)
Г"р^ = 6* (І.І.Г7) - 18 - Решение задачи (I.I.14) - (I.I.17) может быть получено мето дом малого параметра 32 . Для этого асимптотические разложения г і <=*? а їх A ck) подставим в (I.I.I4) - (I.I.I7) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ск » получим (I п-б)Г (I.I.I8) Сі +2/]Г^7 + С=« .,»r;."-o. (I.I.I9) ти __ ,ЦУ»» сю
С&) - п(о-)(о) 1^и к г Міч— 1р*1 c-h-г)
1=1 Р= (І.І.20) г- і* - СL CCh) П6\^ - ^(Ь) , (I.I.2I) X ш .^-«;
Тензор деформаций Г ' определяется из предыдущих приближений, Выражение (I.I.20) можно разрешить относительно деформаций г (к) __ ^ *7 ST? h ?-7 /* = <> (I.1.22) где 7тиГ - компоненты тензора эффективных податливостей, - 19 L обратного тензору эффективных модулей Ь(охо) [32] . Соотношения (I.T.20) и (1.1,22) аналогичны соотношениям термоупругости, в которых второй член в правой части является известной функцией координат [33] .
ЗАДАЧА П в напряжениях будет состоять в решении системы урав-нений (1,1.19), в которых деформации fti могут быть выражены че-рез напряжения Тш из соотношений (I.I.22) при удовлетворении уравнениям равновесия (I.I.I8) и граничным условиям (I.I.2I).
Таким образом, задача теории упругости неоднородного тела (I.I.I) - (I.I.3) в напряжениях сведена к рекуррентной последовательности задач (I.I.I8) - (I.I.22) однородного тела с тензором эффективных податливостей Уп>уіц .
Следует заметить, что эффективные модули совпадают с эффективными модулями для случая прямолинейной анизотропии. Криво-линейность в значениях h^;c/SJ при Я >Р начинает сказываться с ^1 , поэтому для ее учета необходимо рассмотреть хотя бы первое приближение.
После нахождения осредненного поля деформаций из (1,1.13) можно найти "микронапряжения" - напряжения в компонентах композита.* Для ^ -го члена разложения ц ? . к с- «V с J -і: <* ьсю fr-o из (І.І.ІЗ) по аналогии с (І.І.20) будем иметь - 20 -Тогда напряжения * -го приближения найдем из выражения
1 = 0
1.2. Решение ЗАДАЧИ I.
Рассмотрим композиты, имеющие периодичность упругих свойств в направлении одной из координат * СГ=-*,2,з) и произвольную анизотропию. Тогда (I.I.I0) будут обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых функции А^,г,; по <р зависят только от одной координаты 2; ' .
Как было отмечено выше, функции N(p(^ и эффективные модули П<$;с$; не отличаются от соответствующих величин, полученных в работе [32] для композитов с прямолинейной анизотропией и периодичностью по If . Если в них индекс 3 заменить на )Г , то получим выражения для Fw<» и А^-^упри периодичности по любой одной из координат gT : KLur = (с'глТ(<(сигмТГ<^г,'гГ* «С')- СГП), (I.2.I)
С* -<с'*п> *(си1г(с1гпт><(с"г,пг)У' x<(c*r,Ttir%
Поскольку при решении конкретных задач ограничимся первым приближением, то достаточно найти еще Ь(1К0) » hMJM) » N(2)«)v»\r » N(D(D» М(гнг)уп\Г ' ^ля ^ отыскания из (І»І»Ю) и (І.І.12) имеем cc''r^/C';)m|rv=c:к'г-/С,v- <"') it (e> > >_(r irmit ./ ^'-r ч (1.2.4) і h гі-> * -іїцінГ к,Ні п Р r И**»* л . еС HtlCCt -\L l^u-)(t)^\Y ~ 'fan *"(t)ff)P У (1.2.5)
,*г*Ь - $ с^І***1 L(o) " "OHO) F J I»w wt где Выражение для І^р^р, , получено в работе [ЗО] и имеет вид &Т - cCin + сс>ег(сег'гг'[<(С"гтгП
, ,~V*rvry1 pVT P1\ _ ^ПГРЧ -| (1.2.6)
Проинтегрируем (1.2.3), (1.2.4) по и, удовлетворяя условию - 22 -(І. І ЛІ), получим Г'ТгСС'1)], (I-2e7) функцию N am) найдем из (1.2.1) лС, =f кс'^г^ - rm7vo] /(С ) Y~ /(С гг7 ^t ми \ уу\у-и f-\-1 \—1 / ґ/ґ>игі f \-1 f*tYtii (1.2.9) -Кс'г',гг1спггс,оИ*0(с Ґс ^і>. - 23 -Подставим (1.2.7) - (1.2.9) в (1.2.5) и, проделав осреднение по периоду, получим
С? = rs;qcltimr(rrKTcKrst-ccksx- / ~ dt^r-, ~ ЖГКУ- у \/fr кг"г\-і у ,rurvryii * с W ' (I.2.I0) L Chilli /rrUZPL2 ^іЦ^Г/.^ГКГ^-І .КПіР 4-
Чсг7з^ГгТХГП~У^гТ]*С"'>. (1.2.II) Аналогично найдем Zc^)(oy и Ним) из (1.2.5), в которых, согласно (I.I.I2), следует опустить угловые скобки. ^ІгІІі ^ р ^іі^ту W, =І$г1(^ (С ) С 'С )* */С,Р - сс^т(Гг^)-\(С^игуу((Г"т\\ «cvr"/v^,p>] + 2Г/ЛГ^7гг*Т(с (I.2.I2) Чс^т^с^ТЛГс^ТС'^)] см. + (11(1) = *- 'V(4)(1) h (- (С У *KKWiW/C*-
1.3. Физические компоненты эффективных и упругих модулей для оболочек вращения с одной плоскостью симметрии упругих свойств '
Пусть рассматриваемое тело является оболочкой, такой что из любой ее точки можно провести единственную нормаль к ее срединной поверхности. Тогда удобно ввести криволинейную систему коор- динат X* , Xz і ? » связанную со срединной поверхностью оболочки. Координаты Ос"1 , ОТ2 отсчитываются вдоль координатных линий срединной поверхности, координата Z - вдоль внешней нормали к срединной поверхности.
Для оболочек вращения в линиях кривизны отличные от нуля символы Кристоффеля 2-го рода имеют вид [8] : (і.з.і) где 4„=-r;\ hz--z*R;\ 1*=-r;\ * - расстояние от точки срединной поверхности до оси вращения, Q - главные радиусы кривизны срединной поверхности. Здесь и 1 с*- ниже по повторяющимся греческим индексам суммирования не происходит.
В оболочках, образованных намоткой, армирующие слои можно считать ортотропными. Когда оси ортотропии не совпадают с осями координат ОС19 0CZ » тензор модулей упругости будет иметь вид [24] ^331Z то есть такой, когда материал имеет только одну плоскость упругой симметрии.
Пусть имеется периодичность упругих свойств в направлении оси Z (многослойные оболочки). Тогда из (1.2.2) имеем "то - <С ) + <С С33 >< С33 / * Х\Ц3 С / - <С С33 С > (1.3.2) (1.3.3)
Для функций IZ(i)(D из (1.2.8) получим следующие выражения С,=[1^Л-<{^ЛЖС>" ?Л_* „-33«fi I, \ г ^.-7 />??0</ <с с-'>+
К,„>з r/C-)r '-О ; (ot,/!,r=i,2).
Отметим, что когда оси ортотропии совпадают с осями координат, то ^ooivz ~ 0 # Приведем гРа$ик Функции l\lfi7M)0L . когда период состоит из двух слоев. Выполнив интегрирование В (1.3.4),' получим следующее выражение график которого имеет вид
Л/* - (C*~C*)i2 1 /V " 2?, r/; Рис. I. Здесь С^ <0,3«*з) » С = С< щина которого іг , а С^ = С*3*з относится к слою, тол- - к другому слою, (1)(0) ^7 ЛЗЗГГ /г 7-rXOj - 28 -^/5 ЗР3 _ -t . , і .--r _-t T^y-v-i ,/ov h"- s^i/1+fr)f<c»r 33 . ^иг, -^3 (1.3.5) Выпишем также выражения компонент тензоров U*l(e» И li^cc) , которые получим из (1.2.6) и (1.2.12): р:Т - С"** ГС «с;; Г<с;; c"Jv> - ^5с:: =<с;.;*г. «г = Из (1,3.6) следует, что компоненты Н ш Р 9 И пззс/г tf«>w " непрерывные функции 5" Это обеспечивает непрерывность напряжений С? на границе слоев, что отвечает равенству действия и противодействия между ними. - зо - Из компонент тензоров Ьм?лг) и Rim) » определяемых по (І.2.II) и (І.2.ІЗ) соответственно, отличными от нуля остануться: с;:с"'1) л/, (1)(4) І ,-1 ^ЗЗГ* - <г5ззСз-;хс;; г <с;; сі5"м;;„- >, JtSif ,о46?"5 х»-і С^з х^-зз / \^?ь С Ппн-ги / > (1.3.7) ( <* , S , /з , / = 1,2,3, Г = 1,2) Среди этих компонент, при данном типе анизотропии, компоненты r.d-3/іЗГ о3*33** , , fciw-o ' чім ( (л- , /3 = 1,2) становятся равными нулю. Если оболочка изготовлена намоткой, то упругие свойства армированного слоя являются периодическими функциями вдоль оси перпендикулярной ленте и постоянными вдоль другой. Поэтому, прежде чем воспользоваться формулами (1.3.2), (1.3.5) - (1.3.7), необходимо найти эффективные модули армированного слоя, который будем рассматривать как слоистый композит с изотропными слоями (рис.2). -с о^дТЗ Рис.2. - ЗІ -Тогда эффективные модули слоя можно найти по формулам (1.2.2), ъ которых индекс у следует положить равным двум. В результате, в системе координат 1,2,3 получим -<ггТд;г;г>> Zm\l*-t \ I W% , л -і \-l /232? , -ГЗ-Г-5 / KTSfS W")XL >> Г 4/U>=/> Г3=<Г")> (1^)(1- 2V) **fifi~ (1+)))(1-2))) A^ =E/r2r-r+V)). Если направление осей 1,2 не совпадает с направлением осей Xі » X2 » 10 значение компонент тензора эффективных модулей г..,- в осях Х'1 , X2 , ~ получим, используя закон пре-образования компонент тензора 4-го ранга при повороте системы координат вокруг оси 3 на угол JP [24] , которые и будут фигури- ровать в выражениях для Ьф((і) и R$)(/*) Упругие модули В армированного слоя найдем из (1,2.6), ПОЛОЖИВ |":2 * Z211 /а--1 \-і/ л-ї в< :<А„,гги /r> B^rxi Шз полученных выражений следует, ЧТО D , р , s В не зависят от координат. Это обеспечивает непрерывность напряжений о в армированном слое на границе между волокном и связующим. Для вычисления эффективных и упругих модулей нулевого и первого приближений составлена ФОРТРАН - программа и реализована на ЭВМ EC-I033. Вычисления модулей может производиться при различных схемах армирования (рис.2): толщина i2 и ширина о прослойки равны нулю - неоднородность за счет изменения от слоя к слою угла армирования. іг ЇО , В - О - многослойная оболочка. з) і*.* 0 , - 33 -% ФО - неоднородность как по толщине, так и в плоскости слоев. Приведем значения эффективных модулей rW*v*> и приведенных модулей С , полученных интегрированием по толщине. Кроме них приведем значения упругих модулей нулевого Рюоу и первого P(1)f0), ^^приближений, соответствующих плоскому напряженному состоянию, когда гг-0 и ь^Ф 0. Ширину прослойки В примем равной нулю. Таблица I Эффективные и приведенные модули Здесь С^-їт и Сції упругие модули прослойки и армированного слоя вдоль волокон соответственно. Из приведенных результатов следует, что с убыванием отношения C71^/Cim увеличивается разница между эффективными и приведенными модулями и составляет: для продольных модулей 0.5%, 4%, 6%; для модулей типа коэффициента Пуассона - 1%, 18%, 31% соответственно. Это свидетельствует о приближенности осреднения путем интегрирования по толщине и о том, что такое осреднение можно проводить, когда упругие модули слоев различаются не более чем на один порядок. Если же слоистый композит находится в условиях плоского напряженного состояния, то, как показано в [19, с.49] , "плоские" эф- -Эффективные модули и приведенные модули классической теории ело истых пластин - тождественны." Таблица 2 "Плоские" модули упругости нулевого и первого приближений; Данные (табл.2) соответствуют первой и второй схемам армирова ния. Эти данные свидетельствуют о том; что при первой схеме арми рования модули Р(л)СО} равны нулю. Это - следствие того, что при такой схеме армирования компоненты \-гзз , ^22?з ' ^зззз яв~ ляются постоянными по толщине, поэтому функции Nii)(i)i обраща ются В НУЛЬ.' МОДУЛИ Р«нл) СОСТаВЛЯЮТ ОТ МОДУЛеЙ Р(о)(о) около Q%. В определяющие соотношения они входят умноженными на производные от поперечных сдвигов и, поэтому в местах концентрации напряжений могут внести существенный вклад в значения напряжений. Пусть имеется периодичность упругих свойств в направлении оси Z (многослойные оболочки). Тогда из (1.2.2) имеем Отметим, что когда оси ортотропии совпадают с осями координат, то ooivz 0 # Приведем гРа$ик ФУНКЦИИ l\lfi7M)0L . когда период состоит из двух слоев. Выполнив интегрирование В (1.3.4), получим следующее выражение график которого имеет вид Из компонент тензоров Ьм?лг) и Rim) » определяемых по (І.2.II) и (І.2.ІЗ) соответственно, отличными от нуля остануться: fciw-o чім ( (л- , /3 = 1,2) становятся равными нулю. Если оболочка изготовлена намоткой, то упругие свойства армированного слоя являются периодическими функциями вдоль оси перпендикулярной ленте и постоянными вдоль другой. Поэтому, прежде чем воспользоваться формулами (1.3.2), (1.3.5) - (1.3.7), необходимо найти эффективные модули армированного слоя, который будем рассматривать как слоистый композит с изотропными слоями (рис.2). - ЗІ -Тогда эффективные модули слоя можно найти по формулам (1.2.2), ъ которых индекс у следует положить равным двум. В результате, в системе координат 1,2,3 получим Если направление осей 1,2 не совпадает с направлением осей Xі » X2 » 10 значение компонент тензора эффективных модулей г..,- в осях Х 1 , X2 , получим, используя закон пре-образования компонент тензора 4-го ранга при повороте системы координат вокруг оси 3 на угол JP [24] , которые и будут фигури- ровать в выражениях для Ьф((і) и R$)(/ ) Упругие модули В армированного слоя найдем из (1,2.6), Шз полученных выражений следует, ЧТО D , р , s В не зависят от координат. Это обеспечивает непрерывность напряжений о в армированном слое на границе между волокном и связующим. Для вычисления эффективных и упругих модулей нулевого и первого приближений составлена ФОРТРАН - программа и реализована на ЭВМ EC-I033. Вычисления модулей может производиться при различных схемах армирования (рис.2): 1) толщина i2 и ширина о прослойки равны нулю - неоднородность за счет изменения от слоя к слою угла армирования. 2) іг ЇО , В - О - многослойная оболочка. - 33 -% ФО - неоднородность как по толщине, так и в плоскости слоев. Приведем значения эффективных модулей rW v и приведенных модулей С , полученных интегрированием по толщине. Кроме них приведем значения упругих модулей нулевого Рюоу и первого P(1)f0), приближений, соответствующих плоскому напряженному состоянию, когда гг-0 и ь Ф 0. Ширину прослойки В примем равной нулю. Здесь С -ЇТ и Сції упругие модули прослойки и армированного слоя вдоль волокон соответственно. Из приведенных результатов следует, что с убыванием отношения C71 /Cim увеличивается разница между эффективными и приведенными модулями и составляет: для продольных модулей 0.5%, 4%, 6%; для модулей типа коэффициента Пуассона - 1%, 18%, 31% соответственно. Это свидетельствует о приближенности осреднения путем интегрирования по толщине и о том, что такое осреднение можно проводить, когда упругие модули слоев различаются не более чем на один порядок. Если же слоистый композит находится в условиях плоского напряженного состояния, то, как показано в [19, с.49] , "плоские" эф- Эффективные модули и приведенные модули классической теории ело истых пластин - тождественны." Данные (табл.2) соответствуют первой и второй схемам армирова ния. Эти данные свидетельствуют о том; что при первой схеме арми рования модули Р(л)СО} равны нулю. Это - следствие того, что при такой схеме армирования компоненты \-гзз , 22?з зззз яв ляются постоянными по толщине, поэтому функции Nii)(i)i обраща ются В НУЛЬ. МОДУЛИ Р«нл) СОСТаВЛЯЮТ ОТ МОДУЛеЙ Р(о)(о) около Q%. В определяющие соотношения они входят умноженными на производные от поперечных сдвигов и, поэтому в местах концентрации напряжений могут внести существенный вклад в значения напряжений. где Vj означает ковариантное дифференцирование в метрике, свя занной со срединной поверхностью, &J.J - компоненты тензора кривиз ны срединной поверхности, $ - & о , Q контравари- антные компоненты метрического тензора срединной поверхности. Между компонентами тензора напряжений В технике и строительстве находят широкое применение оболочки вращения, подверженные осесимметричному силовому воздействию. Во- 3 -просы расчета таких оболочек из изотропных материалов рассмотрены в [26] . В [I] рассматривались однослойные и многослойные оболочки из анизотропных материалов. Для расчета применялись теории, основанные на гипотезе Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в целом, и, так называемые, уточненные теории. Для однородной анизотропной оболочки, используя гипотезы Кирхгофа-Лява при осесимметричной нагрузке, задача о равновесии решена в квадратурах. Следовательно, данная задача для неоднородной оболочки также может быть решена в квадратурах. Отнесем оболочку к гауссовой системе координат [26] :Х1= $ X2 - 9 где 9 - длина дуги меридиана, - угол, отсчитываемый от плоскости ос 0 1 (рис.З). Армировку также будем считать осесимметричной, тогда и задача будет осесимметричной. Кроме того примем, что угол, образованный волокном с меридианом, один и тот же по всей длине меридиана. В силу осевой симметрии отличными от нуля останутся величины: которые будут функциями только координаты Введем следующие обозначения: 0 = , 5 =arf/S) GfzQ. , Ц = Я r = Здесь и ниже все линейные размеры отнесены к характерному радиусу кривизны Rz , аТ zTx/&1 » Nx= hT/(K) Из Уравнений совместности деформаций (2.1.24) остается одно уравнение Следуя [2б] , введем функцию Майснера V Представим ее в виде ряда \/ - У QL У » тогда для каждого будем Іг = V„ . (2.2.8) Подставив (2.2.8) в (2.2.1), и интегрируя которые, получим P - приходящаяся на единицу длины окружности проекция на ось 2 главного вектора сил, приложенных к граничному кругу при r So Таким образом, мы удовлетворили уравнениям равновесия (2.2.1) и все усилия выразили через одну функцию V Как видно из (2.2.4) и (2.2.6), изгибающие моменты также выразимы через одну функцию В соотношении (2.2.3), разрешенные относительно деформаций, подставим (2.2.9). В результате получим Параметр (22, является большим, поэтому для интегрирования уравнения (2.2.II) можно применить асимптотический метод [її/ . Решение однородного уравнения (2.2.II) путем асимптотического интегрирования подробно описано в [Ґ] . Решение будем искать с точностью исходных гипотез. Так част ное решение уравнения (2.2.II) с точностью порядка п/К2 мо жет быть получено по безмоментной теории [28 ] , [Чз] . Это реше ние ИМееТ ВИД . .(6) ,а. Ограничиваясь нулевым приближением асиштотического интегрирования, порядок которого, как показано в [28] равен V h / R » будем иметь Чтобы полностью определить напряженно-деформированное состояние оболочки, необходимо найти шесть постоянных Д , й, , А , В » ГГ » U-, Они находятся из условия удовлетворения краєві se » вым условиям, выражающим степень подвижности краев оболочки. Могут иметь место следующие краевые условия: шарнирное закрепление жесткое защемление свободный край Если рассматривается оболочка конечной длины, то к уравнениям (2.3.10) необходимо присоединить граничные условия. Поскольку система уравнений имеет четвертый порядок, то должно быть постав лено по два граничных условия на каждом крае. Этими условиями мо гут быть Г10] ( S z con si ): Кроме этого должно быть задано условие подвижности краев в направлении образующей. Если оба края неподвижны, то проинтегрировав (2.3.8) и приравняв нулю, получим Соотношения (2.3.13) характерны тем, что учитывают влияние изменения поперечных сдвигов по образующей на значения послойных напряжений. Кроме того, эти напряжения обуславливают касательные напряжения в прослойках, чего не "чувствует", как это следует из (2.2.14), гипотеза Кирхгофа-Лява. Если оболочка образована намоткой, то напряжения (2.2.14) и (2.3.13) являются осредненными по отношению к армированному слою. Чтобы найти "микронапряжения" в нем, то есть напряжения в волокнах и связующем, необходимо сначала найти осредненную деформацию в системе координат (I, 2, 3) (рис. 2), а затем "микронапряжения". Так, выражая в системе координат (I, 2) напряжения с7 , сР , 6-12 через (2.2.14) или (2.3.13) по формулам преобразования компонент тензора 2-го ранга при повороте вокруг оси Z на угол 9 24] (рис. 4), осредненную деформацию Тл % Tz » Тлг найдем из Рассмотрим оболочки, для которых можно воспользоваться упрощенным вариантом теории оболочек - теорией Донелла - Муштари Власова. Соотношениями этой теории являются (случай нормального давления) [9] : уравнения равновесия уравнение совместности деформаций определяющие соотношения Здесь Р - нормальное давление, /? - радиус срединной поверхности оболочки, %Г - прогиб, М1Э , rj , j - компоненты тензоров изгибающих моментов, деформаций, напряжений соответственно, т -і р, г = с - псевдотензор второго ранга [Зі] DInu 7Tm - (-1 ,КК компоненты тензоров цилиндрической жесткости и податливости» Если материал изотропный, то где J/ - „p /V-v1) - цилиндрическая жесткость. Будем считать, что оболочка имеет периодическую структуру, то есть в системе координат, связанной с линиями главных кривизн, выполняется равенство где »s - период структуры, - целые числа. Сюда же может быть отнесен случай, когда толщина оболочки ft также является периодической функцией координат Хт и симметричной относительно срединной поверхности. Тогда, если материал однородный, осреднению будет подлежать только последнее уравнение из (2.4.1). Введем функцию напряжений ф : Тогда, используя (2.4.3) и (2.4.5), первые два уравнения в (2.4.1) удовлетворяются тождественно, а третье примет вид - 56 - Уравнение совместности (2,4.2) после использования закона Гука (2.4.4) и (2.4.5) запишется в виде Здесь и далее все линейные размеры отнесены к В каждой ячейке периодичности введем "быстрые переменные" Іг п ОС. /с , где ot = а//# - малый геометрический параметр [2-] . Тогда T)IJKk и 7IJICi можно считать периодическими функциями f , причем о "7 J а уравнения (2.4.6) и (2,4.7) примут вид " IJIcMS pfl/? ) + 3І1іи- Ф, Pfiftj ]-Kt7 (2.4.9) где вертикальная черта С )ц означает частную производную пой . Следуя Н.С.Бахвалову [2] , решение ищем в виде где /v(jfJ , Mfj -периодические функции If такие, что (І М с 1 при " и М -О при 0 , В результате получим рекуррентную последовательность задач для определения функций /V и М и осредненных величин І , р , Ы t Т - ЗАДАЧА I. Решив ЗАДАЧУ I, получим для определения У и \у следующую систему уравнений - ЗАДАЧА П Решение системы уравнений (2.4.20) может быть получено методом малого параметра. Для этого введем разложения Подставив (2.4.21) в (2.4.20) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях о , получим рекуррентную последовательность задач относительно ух и ф Из приведенных результатов следует, что многослойная оболочка менее "чувствительна" к изменению размеров дефекта, чем однородная. Интересно отметить, что при Z- 5 и h равной 0.2 и 0.3 напряжения в однородной оболочке превосходят напряжения в жестких слоях многослойной оболочки. Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему: 1. Статическая задача теории упругости в напряжениях для неод нородного тела с криволинейной анизотропией методом осреднения дифференциальных уравнений в частных производных с быстро ос- цилирующими коэффициентами сведена к двум рекуррентным после довательностям задач. Первая последовательность состоит в решении периодических задач теории упругости для неоднородного тела на ячейке квазипериодичности для определения, так называемых, локальных функций, описывающих напряжения в компонентах композита и позволяющих находить эффективные модули. Вторая последовательность задач состоит в решении задач теории упругости в напряжениях для однородного (модельного) тела с эффективными модулями. Составлена программа для вычисления эффективных модулей и, так называемых, модулей нулевого и первого приближений для многослойных оболочек вращения, образованных намоткой. 2. Рекуррентная последовательность задач теории упругости для модельного тела введением гипотез теории оболочек (гипотез Кирхгофа-Лява и Тимошенко) сведена к рекуррентной последователь ности задач теории оболочек. Решением задачи в нулевом приближе нии этой последовательности является решение для соответствующей однородной анизотропной оболочки, позволяющее находить "микро- напряжения". Показано, что применение гипотезы Кирхгофа-Лява к модельному телу, равносильно применению этой же гипотезы к неоднородно- -му телу для всего пакета слоев в целом, а применение к модельному телу гипотезы Тимошенко, равносильно применению гипотезы ломаной линии ко всему пакету. На основе полученных общих соотношений теории оболочек, дана постановка осесимметричных задач для тонких оболочек вращения, 3. Описано применение метода осреднения к уравнениям равнове сия в форме Доннела-Муштари-Власова для цилиндрической оболоч ки с периодической неоднородностью» Получены эффективные характеристики оболочки с механическими свойствами, обладающими периодичностью по одной из криволинейных координат. Дано решение для оболочки бесконечной длины, находящейся под действием постоянного внутреннего давления. 4. Решены некоторые конкретные задачи. Получено хорошее совпа дение найденного решения для составной оболочки, образованной намоткой в виде кокона, с экспериментальными данными. Исследован краевой эффект в полубесконечной оболочке с защемленным краем при различных углах намотки и отношений толщин прослойки и армированного слоя. Получено, что зависимость от угла намотки отношения максимального прогиба, соответствующего гипотезе Тимошенко, к прогибу безмоментной оболочки увеличивается с уменьшением отношения толщины прослойки к толщине армированного слоя.Физические компоненты эффективных и упругих модулей для оболочек вращения с одной плоскостью симметрии упругих свойств
Классическая постановка и решение осесимметричной задачи оболочек вращения
Постановка задачи для цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью
Влияние дефекта на напряженно-деформированное состояние многослойной цилиндрической оболочки
Похожие диссертации на Напряженное состояние упругих оболочек вращения из композиционных материалов
