Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическая модель костной ткани 23
I. Строение и свойства костной ткани 23
2. Общие соотношения и законы сохранения 26
3. Термодинамические соотношения и основные гипотезы 39
4. Уравнение производства энтропии и определяющие соотношения 43
5. Модельная задача об обобщённой плоской деформации толстостенного цилиндра при наличии химических процессов и притоков вещества извне 68
6. Замечания о постановке задач. 76
Глава 2. О влиянии нагрузки на поверхностный рост трубчатой кости 82
I. Деформации толстостенного цилиндра под действием сил давления и аксиальной нагрузки 82
2. О физиологической интерпретации результатов 95
3. Возможные эксперименты для сравнения гипотез о характере поверхностного роста 99
4. Норма и патология при росте трубчатой кости 107
Глава 3. О поведении кольцевого стержня из растущего материала 117
I. Усреднённые уравнения квазистатического равновесия стержня в терминах перемещений 117
2. Деформации двух соединённых полуокружностей под дей ствием распределённых нагрузок и изгибающего момента, приложенного в точке упругого защемления 131
Выводы 149
Литература
- Термодинамические соотношения и основные гипотезы
- Модельная задача об обобщённой плоской деформации толстостенного цилиндра при наличии химических процессов и притоков вещества извне
- Возможные эксперименты для сравнения гипотез о характере поверхностного роста
- Деформации двух соединённых полуокружностей под дей ствием распределённых нагрузок и изгибающего момента, приложенного в точке упругого защемления
Введение к работе
Проблема роста и развития живых объектов привлекла к себе внимание механиков по многим причинам. Наиболее существенными являются следугацие. В современных исследованиях по биологии развития, особенно при обработке данных экспериментов и построении количественных теорий, для создания адекватного формального аппарата широко используются представления и характеристики, введенные и применяемые в механике сплошной среды* С другой стороны, не вызывает сомнения прямое участие механических факторов почти во всех процессах роста и развития. На темпы роста и его особенности оказывает существенное влияние не только факторы окружающей среды, в том числе и механической природы, но и возникающие внутри растущей ткани внут -ренние механические поля.
В качестве примеров, подтверждающих сказанное, можно назвать: а) хорошо известное в биологии влияние силы тяжести на рост (см., например [9] , [ЗО] , [бо] ); б) возникающие при повышенной статистической и динамической нагрузке приспособительные изменения строения скелета [24І ; в) сколиоз (искривление позвоночника) - болезнь роста, имеющую с точки зрения врачей "механический" характер (напряжения в элементах позвоночника - позвонках связаны со скоростью их роста [39] , [40] ) г) возникающую в объектах, различные структуры которых имеют разные скорости роста, сложную систему непосредственно не связанных с внешней нагрузкой внутренних напряжений, влияющих на скорость ростовых процессов [34] - [37] и др.
Необходимость объяснения разнообразных наблюдаемых эффектов требует построения моделей, рассматривающих с необходимой степенью подробности физико-химические свойства биологи-
ческих материалов.
Методологической основой построения континуальных моделей растущей ткани служат принципы механики сплошной среды. Уравнения сохранения массы, импульса и момента импульса выполняются при любых непрерывных движениях всех сплошных сред. Построение замкнутой системы уравнений, служащей в качестве математической модели конкретного материала связано с конструированием реологических и иных определяющих соотношений. При рассмотрении моделей с усложненными свойствами часто необходимо использовать не выражающиеся конечным образом зависимости между основными механическими характеристиками (тензорами напряжений, деформаций или скоростей деформаций, плотностью среды, температурой и др.), а также вводить различные внутренние параметры геометрической или физической природы, для которых строятся дополнительные динамические соотношения. В связи с этим оказывается полезной формулировка общей системы постулатов и приемов, позволяющих разумно ограничить набор функций, определяющих данную конкретную модель. В число таких приемов входит аппарат термодинамики; необратимых процессов.
В механике сплошной среды накоплен значительный опыт конструирования моделей материалов с усложненными свойствами. В теории вязкоупругих жидкостей и твердых тел, а также упру-гопластических и вязкоупругопластических материалов существует традиция использования таких внутренних параметров, как компоненты тензора необратимых деформаций. Термодинамическая теория пластических материалов развита в работах [28J , [б4] а вязкоупругих сред - в статьях [71J, [?2] , [94] , [95] , [ 98] В этих работах внутренние параметры, физический смысл которых
не конкретизировался, рассматривались как аргументы термодинамической функции - внутренней энергии, а скорости их изменений - как аргументы диссипативной функции. Было показано, что в этом случае определяющие соотношения интегрального типа могут быть получены путем исключения внутренних параметров. При построении моделей биологических сред используются понятия и аппарат теории многофазных и многокомпонентных смесей. В этой теории по традиции вводятся внутренние параметры, характеризующие относительное движение и концентрацию компонент (фаз), скорость массообмена между ними. В конкретных случаях этот набор функций пополняется (например, характеристиками, связанными с вращением и деформированием включений). Для определения скоростей отдельных компонент (фаз), их температуры, массовой и объемной концентрации, скоростей химических реакций и т.п.рассматриваются дополнительные динамические урав -
нения.
Среди множества работ, где выписываются, обсуждаются и
уточняются эти уравнения, отметим здесь лишь некоторые методологически или по своим результатам полезны. при построении исследовании нетрадиционных моделей смесей с учетом дополнителен ных внутренних параметров.
Общая теория построения моделей смесей, в основе которой лежат фундаментальные соотношения механики и термодинамики, развита в работах [5б],[б8]. В частности, в монографии [58]исследуется модель многокомпонентного сжимаемого газа. Основные идеи конструирования моделей многофазных сред изложены в работе [42І. Схема использования методов термодинамики необратимых процессов при построении описанных сложных моделей рассматривается в работах [І4І, [бб"], [58]. Дополнительные особенности, возникающие при приложении этих методов к изучению многофазных сред указаны в статьях [ю], [48], [бб].
Применительно к средам, состоящим из твердого деформируемого каркаса и жидкого наполнителя, до последнего времени внутренние физико-химические процессы учитывались редко. Общие системы уравнений в случае, когда массообмена между фазами нет, а твердая фаза состоит из упругого материала рассматривались в работах
[42], [43].
В связи с потребностью с механической точки зрения описать
свойства реальных биологических тканей возникла необходимость введения внутренних степеней свободы, связанных с физико-химическими процессами.В статье [4і]для описания свойств мышечной ткани предложена модель биоупругого тела, учитывающая способность живой ткани деформироваться при отсутствии механических усилий. Для математического описания этого свойства используется закон Гука, в который адитивным образом входит величина N -биофактор Никитина. Рассмотрена задача о равновесии цилиндрического кругового сосуда под действием сил давления и биофактора А/ , который моделирует сопротивление деформированию сосуда со стороны окружающих его волокон гладких мышц. Если внутреннее давление недостаточно велико, то существует две области, в одной из которых волокна находятся в натянутом, в другой- в ненатянутом состоянии. В статье [б2] предложена модель мышцы как двухфазной многокомпонентной сплошной среды с учетом химических реакций и массообмена между фазами. Для описания протекающих в мышце необратимых процессов был введен дополнительный тензорный параметр, характеризующий неупругое деформирование одной из фаз.
Для описания быстрых процессов в живой костной ткани в статье [і]Ляіпредложена модель пористого насыщенного жидкостью диэлектрика с учетом вязкоупругих деформаций каркаса и массообмена между фазами. Деформации твердой фазы предполагались малыми, диффузия и химические реакции не учитывались.
Опыт конструирования моделей многофазных сред, требующих введения дополнительных внутренних параметров, позволил начать разработку новой нетрадиционной группы моделей - моделей растущего материала (растущего контунуума) для описания свойств живой ткани. Степень схематичности этих моделей остаётся весьма высокой из-за недостаточной изученности и специфичности реальных метаболических процессов. Но эти модели необходимы как средство качественного изучения следствий, вытекающих из принимаемых биологических гипотез.
Для живой ткани (мягкой или твёрдой) характерно наличие необратимого деформирования твёрдого (вообще говоря, пористого) материала, связанное с приращением его количества за счёт химических превращений. Существенной особенностью растущей ткани является возможность не только внешнего, но и внутреннего (за счёт изменения пористости) неупругого деформирования, осуществляемого посредством химических реакций, маосообмена между фазами и, возможно, при тока вещества извне.
Известно множество попыток количественной интерпретации процессов роста организмов. Однако большинство предложенных дифференциальных уравнений или формул относительно некоторых интегральных характеристик организма как функций времени имеют лишь описательную ценность. Обзор полуэмпирических соотношений такого типа дан в [21], [25], [27], [55], [59].
В данной работе изложение опирается на представление о росте как самопроизвольном термодинамически необратимом процессе,проявляющемся в изменений - на определённых временных масштабах - размеров, формы и физических свойств объекта. Под объектом понимается либо
мысленно выделенный малый лагранжев объём живого вещества,либо определённая часть организма (орган),либо целостный организм.В общей
форме этот круг проблем рассмотрен в работе [12] .
Подобное расширительное толкование термина "рост", сближение его с более общим термином "развитие" (который также употребляется ниже, когда нужно подчеркнуть наличие качественных изменений в объекте), введено исключительно ради удобства и никаким образом не означает посягательства на установившуюся биологическую терминологию. Оговорка относительно временных масштабов, содержащаяся выше,весьма существенна. Действительно, без нее формулировка включает в множество разных явлений, которые обусловлены двумя фундаментальными процессами-- химическими превращениями и массообменом внутри объекта (что проявляется в перераспределении массы между его структурами) или с окружающей средой. При таком подходе в число изучаемых процессов попадают не только рост в обыденном (и естественном) смысле слова, но и такие явления, как например,отек ткани, суточные или сезонные колебания массы тела и др. Как правило, ростовые процессы достаточно медленны по сравнению и с элементарными физико-химическими процессами, и с биологическими циклами, складывающимися из множества таких процессов (например, периоды сердечного цикла или дыхания). Все явления с такими малыми характерными временами должны рассматриваться по отношению к росту как кратковременные, хотя их влияние иногда может выступать в виде медленно меняющегося кумулятивного эффекта. С формальной точки зрения это означает, что из детальных уравнений, разрешающая способность которых обеспечивает описание кратковременных процессов, уравнения, описывающие рост, могут быть в принципе получены путем подходящей процедуры усреднения.
Первой работой, где строилась континуальная модель растущей ткани, была статья Г88І . В качестве определяющего
соотношения была предложена зависимость, выражающая тензор скоростей деформаций как функцию тензора напряжений, его производной по времени, плотности и скорости ее изменения, а для учета возможных структурных временных изменений допускалась еще и явная зависимость от времени. Отличие этого соотношения от обычных моделей вязкоупругих сред состоит в том, что при тождественном равенстве напряжений нулю, скорость объемной деформации отлична от нуля. Уравнение импульса задавалось в обычном виде, а правая часть уравнения неразрывности - скорость притока вещества к единице объема - считалась функцией времени. В работе были рассмотрены некоторые модельные задачи в том числе о росте прямоугольного параллелепипеда под действием осевой нагрузки и о сдвиге образца той же формы. Определяющее соотношение работы [88] в линеаризованном виде использовано в статье [93] для решения некоторых задач, в частности о трехостном нагружении образца.
Близкая модель предложена в работе [23] , где вводятся в рассмотрение упругая и ростовая составляющие тензора дефор-маций и с* соответственно. Для принимается закон Гука, а для производной по времени от * постулируется линейная зависимость от напряжений. Тензор полных дефор-маций равен сумме и с . Для построения механической модели сколиоза в случае, когда ростовые деформации малы, упругие деформации отсутствуют и реологические коэффициенты не зависят от времени, в [23] рассмотрена задача об устойчивости вертикального роста стержня под действием приложенной на верхнем конце осевой сжимающей нагрузки. В [68] дана более общая постановка этой задачи с учетом произвольно распределенной по длине стержня нагрузки, упругих деформаций, ко-
нечности осевого удлинения и зависимости коэффициентов от времени. Точное решение задачи получено в случае, когда нагрузка приложена на верхнем конце.
В работе [бб] , [б7] построена весьма общая физико-хими~ черкая модель растущей среды, представляющей собой заполненный жидкостью пористый материал (каркас). В основе модели следующие гипотезы: каркас, равно как и среда в целом, есть обычный упругий материал, если рассматриваются процессы быстрые по сравнению с характерными временами роста; в жидкой и твердой фазах, сложных по составу, некоторые компоненты могут вступать в реакции между собой; часть этих реакций сопровождается обменом массой между фазами; имеет место фильтрация жидкой фазы через твердый каркас; твердая фаза в процессе образования новой массы и под действием напряжений может перестраиваться, т.е. в ней происходит неупругое деформирование; в жидкой фазе допускается диффузионный перенос компонент.
В соответствии с общим вариационным методом построения моделей сплошной среды [57J задаваемой функцией в [бб] , [67J является свободная энергия, в число аргументов которой включены температура, компоненты тензора упругих деформаций,массовые концентрации компонент и фаз, а также составляющие тензора, отвечающего за анизотропию среды. Кроме того, заданию в виде функций других параметров подлежат термодинамические силы в формуле для скорости производства энтропии, общий вид которой постулирован в соответствии с традициями термодинамики необратимых процессов. Функции эти предполагаются линейными по термодинамическим потокам и лишь для связи между средствами и скоростями химических реакций введены НЄЇЇИНЄ%ОСТИ
С процессами роста тесно связано явление адаптации тка-
-lira к нагрузке, т.е. перестройки ткани под непосредственным воздействием механических напряжений. При отсутствии последних ростовые процессы могут в этом случае оставаться практически несущественными. После приложения соответствующих нагрузок в костной ткани обнаруживается повышенная клеточная активность, которая, в частности, может приводить к возникновению новых структурных элементов костной ткани - остеонов.Ха-рактерное время перестройки - 2 недели. К окончанию этого срока клеточная деятельность существенно ослабевает и увеличивается минерализация ткани. Механически соответствующие процессы проявляются в необратимых деформациях костного материала, а также в изменении его пористости, что в свою очередь приводит к изменению его прочностных и других механических характеристик. Обзор соответствующего эмпирического материала и теоретических построений дан в работе [21 ] . Эксперименты по количественным измерениям параметров, относящихся к процессу перестройки костной ткани, описаны в статьях [іб] ,[85J , [86] [90] , [96 ] . Остановимся подробнее на исследованиях, посвященных построению для описания адаптации костной ткани динамических моделей растущего континуума в рамках механики сплошной среды.
С точки зрения континуального подхода рост может происходить двумя качественно различными способами. При "внутреннем" росте каждая частица среды, заполняющей объем, вообще говоря, изменяет свои массу, размеры и форму, при "поверхностном" росте происходит нарастание материала или его уничтожение непосредственно на внешней граничной поверхности кости, а все внутренние частицы объема не растут.
Механика адаптирующегося материала являются наиболее раз-
витым разделом континуальной механики роста. Внутренняя перестройка кости рассматривалась в работах [9IJ, [92] . Учитывались изменения пористости во времени и выводились соотношения, связывающие изменение пористости и соответственно механических характеристик кости с кинетикой остеонов. Влияние напряжений на изменение пористости явно не рассматривалось.
Соісґіп. . и др. разработали [73] теорию внутренней перестройки в виде механической континуальной теории. Была выписана система соотношений механики сплошной среды, и включающая в себя уравнение энергии и второй закон термодинамики. В качестве основных термодинамических параметров были избраны температура, её градиент, тензор деформаций и параметр Д , кото^ рый можно интерпретировать как отношение объема выросшей частицы к её начальному объему, умноженное на объемную долю твердого материала в данной точке среды. Модель, помимо традиционных соотношений механики и термодинамики, определяется двумя основными зависимостями: а) тензор напряжений есть функция температуры, параметра jl и тензора деформаций; б) скорость изменения параметра 3 с точностью до множителя есть функция тех же аргументов и градиента температуры. Исходя из класса задач, подлежащих рассмотрению, делается дополнительное предположение, что при нулевых значениях параметра j и деформаций напряжения отсутствуют. При постоянных температурах эти соотношения с учетом уравнения неразрывности принимают вид
где pi/ t &ке- компоненты тензоров напряжений и деформаций. Здесь % играет роль внутреннего скалярного параметра.
В работе [87] рассмотрен частный случай модели, когда напряжения (функция Д<у ) линейны по деформациям и квадратичны
- ІЗ -
по параметру є = J-Д, (здесь 3«, - начальное значение параметра J ) с сохранением единственного перекрестного члена, билинейного по обоим параметрам, а функция tfi представлена в виде суммы линейного только по деформациям и билинейного по деформациям и параметру е членов. Исследовалось поведение материала под действием скачкообразного воздействия, приложенного в начальный момент, при поддержании в последующем постоянными либо деформаций, либо напряжений. Оказалось, что при различных значениях коэффициентов и начальных параметров возмущения новое положение равновесия может существовать или отсутствовать, причем возможны неустойчивые состояния равновесия. Весь анализ существенно базируется на учете нелинейного характера зависимости скорости роста от параметра в , связанного с притоком массы к индивидуальной частице. Работа [74] посвящена формулированию и доказательству теорем единственности и асимптотической устойчивости решения задач в рамках модели.
В работе [75]рассмотрена задача о деформировании полого
цилиндра, находящегося под действием осевой квазистатической нагрузки и изотропного упругого цилиндра, вдвинутого в по -лость. Оказывается, что при некотором подборе параметров характеристики кости стремятся к конечным значениям, тогда как при других параметр неограниченно возрастает или убывает. Утверждается, что это можно интерпретировать как стремление к состояниям со слишком большой или со слишком малой пористостью, наблюдающимся в медицинской практике (остеопороз и остеопетроз). Случай, когда в полость вдвинут не упругий цилиндр, а сжимаемая трубка, находящаяся под действием переменного внутреннего давления рассмотрен в статье (jBOj . В статье
[8IJ показано, что при соответствующих ограничениях на константы модели [73] , она может описывать выравнивание пористости в длинной кости под действием осевой нагрузки.
Отметим еще работу [97] ,где предложено включить в число определяющих параметров, наряду с деформациями, их градиентами и плотностью костного материала, некоторые концентрации химических реагентов и высказано предположение, что для изучения устойчивых и неустойчивых режимов адаптации следует обратиться к уравнениям, описывающим кинетику химических реакций. Вопрос о наличии механохимических процессов при реконструкции костной ткани под действием нагрузки был поставлен ранее в работе [89] .
Модели поверхностной перестройки кости с учетом влияния напряжений построены в статьях Г?б] , [82] , [83 J . В работах [82] [83J за основную гипотезу взято утверждение, что перестройка костной ткани происходит под влиянием электрической поляризации, возникающей в силу пьезоэлектрического эффекта. В статье [7б] принимается гипотеза о том, что ненулевая компонента скорости роста (по нормали к поверхности) зависит от отклонения деформаций от отсчетных значений, отвечающих состоянию, при котором поверхностный рост отсутствует. В этой работе рассмотрена задача о поверхностном росте полого цилиндра под действием осевой нагрузки и вдвинутого упругого стержня в той же постановке, что и в [75] . В результате решения задачи оказалось, что в принятых ограничениях на знаки коэффициентов сжатие стержня в процессе перестройки ослабевает, и таким образом описывается известное патологическое состояние кости при остеосинтезе ("выпадение гвоздя")
В работе [8і]для описания поверхностного роста длинной трубчатой кости изучалось деформирование полого цилиндра под
действием осевой нагрузки. Показано, что при различных значениях реологических коэффициентов возможны различные режимы развития, допускающие отложение и (или) резорбцию материала как на внутренней, так и на внешней граничной поверхностях цилиндра.
Модели адаптирующейся упругой среды качественно описывают некоторые реально наблюдаемые процессы. Они пока не дают количественного соответствия с экспериментом и не позволяют предсказывать ранее неизвестные факты. Однако иногда удается определить необходимый круг экспериментов, которые позволят установить, какое из предположений в той или иной модельной задаче более адекватно отражает протекающие в костной ткани процессы.
Часто постановка модельных задач возникает из потребностей медицинской практики, которая сталкивается с необходимостью исследования влияния на рост и развитие биологических объектов факторов механической природы. Эти факторы могут служить причиной заболевания (например, сколиоза) или сказываться при развитии в условиях, измененных по сравнению с обычными (например, развитие кости культи усеченной конечности человека). Для решения модельных задач такого рода используются методы механики деформируемого твердого тела.
Актуальным при исследовании растущих биологических объектов является вопрос о том, что такое нормальное развитие и чем оно отличается от патологического (см.,например, [45] ). Сопоставление "нормы" и "патологии" с точки зрения механических моделей роста рассматривалось, по-видимому, лишь в работах [2l] , [49] , где обсуждались основные связанные с этой проблемой понятия.
Биомеханические задачи,о" рост ей развитии биологических объектов почти не имеют аналогов в других областях механики. Одно из немногих исключений - исследование напряженно - деформированного состояния в наращиваемых извне телах.
Подход к описанию таких процессов предложен в работах [4] » [5J ^тот ^ДХОД базируется на следующей основной гипотезе: процессы роста (наращивания) и механического деформирования разделены: рост задаётся как функция времени, а напряженно-деформированное состояние исследуется на основе уравнений механики. В [б] принимается модель вязкоупругого телаиз неоднородно стареющего материала. Его свойства в данной точке зависят от момента возникновения материала и момента приложения нагрузки. Уравнение состояния представляет собой линейное интегральное уравнение Вольтерра (тензор напряжений является линейным функционалом от тензора деформаций). При больших ростовых деформациях принимается, что малы механические деформации: малы удлинения, сдвиги и углы поворота. В этой теории известны решения задач о наращивании трубы из вязкоупругого материала при наличии внутреннего давления, о наращивании стержня, полосы, клина, отверстия. Эта теория, возникающая из нужд технологии возведения и изготовления реальных конструкций из таких стареющих материалов,как бетон, древесина, многие полимеры и пластмассы в принципе применима и для биологических объектов (см.например [?] ), если скорость наращивания и начальное состояние наращиваемого материала считать известными из опыта или же связанными, через дополнительное уравнение, с состоянием тела в данный момент.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов, списка литературы и приложения,содержащего 43 рисунка и 8 таблиц.
В главе I построена континуальная модель костной ткани. Введение модели вызвано тем, что костная ткань представляется наиболее интересным и представительным материалом для проведения наблюдений и постановки экспериментов. Модель основана на законах сохранения массы, импульса, энергии и соотношениях термодинамики необратимы^х процессов и использует только наиболее общие представления о строении и свойствах материала кости. В модели учиены протекающие в костной ткани физико-химические реакции и притоки массы, а также импульса и энергии извне. Деформации материала'предполагаются конечными. Получено реологическое уравнение,связывающее тензоры деформаций и напряжений костной ткани, которое при некоторых предположениях сводится к интегральному уравнению, описывающему материал с долговременной памятью. Это уравнение используется при решении модельной задачи. Обсуждаются возможные упрощения полученной замкнутой системы уравнений.
В I приводятся краткие данные о строении и свойствах костной ткани. В отличие от рассматриваемых ранее теорий костная ткань моделируется четырёхфазной сплошной средой. Фаза I отождествляется с костными клетками и органическими составляющими внеклеточных образований,фазу2 составляют неорганические компоненты
внеклеточных материалов. Совокупность фаз I и 2 - твёрдый скелет, через который фильтруется свободная внеклеточная жидкость, заполняющая поры и канальцы.Эту жидкость считаем фазой 3.Кровь в костной ткани осуществляет функцию поставщика компонент в фазы I - 3. Взаимодействие твёрдого скелета и внеклеточной жидкости с кровью рассматривается как взаимодействие с отдельной фазой (фазой 4),наличие которой позволяет описать притоки извне
массы, импульса и энергии. В соответствии со свойствами костной ткани фаза I считается вязкоупрутой, фаза 2 - упру-*": * гой, а фазы 3 и 4 рассматриваются как фильтрующиеся вязкие жидкости. Все фазы предполагаются состоящими из нескольких компонент.
В 2 представлены общие соотношения и законы сохранения массы, импульса и энергии для рассматриваемого материала с учетом фильтрации внеклеточной жидкости через твердые фазы и протекающих в твердой фазе химических реакций.
Термодинамические соотношения и основные гипотезы изложены в 3. Предполагается, что температуры всех фаз совпадают, истинные плотности фаз постоянны и одинаковы, так что среда в целом несжимаема. Допускается, что деформирование фаз I и 2 происходит согласованно: их полные деформации совпадают. Деформации фазы 2 обратимы, а деформации фазы I не полностью обратимы. В качестве аргументов свободных энергий твердых фаз выбраны массовые концентрации компонент в фазе, температура и компоненты тензора обратимых деформаций фазы в сопутствующей системе координат. Относительно производных свободной энергии по компонентам тензора обратимых деформаций предполагается, что они с точностью до произведения неизвестной функции времени на метрический тензор в актуальном состоянии совпадают с компонентами тензора парциальных напряжений фазы.
В 4 приведены уравнения производства энтропии для твердого скелета и внеклеточной жидкости и определяющие соотношения. Для описания фильтрации внеклеточной жидкости через твердые фазы выведен обобщенный закон Дарси,Получено уравнение, связывающее тензор вязких напряжений фазы I (совпадающий с точ=-
гостью до шаровой части с тензором парциальных напряжений фазы; и тензор полных деформаций. Уравнение содержит члены, зависящие от химических реакций и от разностей химических потенциалов твёрдых фаз и внеклеточной жидкости, а также функции, определяющие зависимость тензора обратимых деформаций от тензора вязких напряжений фазы I и их частные производные. Для определения этих функций необходима конкретизация вида свободной энергии фазы I.Рассмотрение конечных деформаций приводит к появлению в реологическом уравнении свёрток тензоров вязких напряжений и деформаций с ковариантными производными вектора скорости твёрдого скелета. В случае, когда свободные энергии твёрдых фаз представимы в виде суммы двух слагаемых, одно из которых - квадратичная функция обратимых деформаций фазы, а второе зависит от массовых концентраций компонент в фазе, в явном виде получено уравнение, связывающее тензор напряжений для твёрдого скелета и внеклеточной жидкости с тензором полных деформаций. При рассмотрении малых скоростей и деформаций указанное реологическое соотношение допускает запись в виде интегрального уравнения, описывающего эффект ползучести материала. Полная система уравнений для описания протекающих в костной ткани процессов замкнута.
В 5 рассмотрена модельная задача о малой плоской деформации длинного толстостенного цилиндра из несжимаемого трансверсаль-но изотропного материала под действием сил внешнего и внутреннего
давлений при наличии притока массы и химических процессов.Для материала цилиндра принимается уравнение состояния в интегральной форме, полученное в 4.
В 6 обсуждаются возможные упрощения полученной замкнутой системы уравнений, связь между объёмным и поверхностным ростом. В главе 2 исследуется влияние нагрузки на поверхностный рост диафизарной части длинной трубчатой кости.В I решена модельная
задача о малых упругих дефоршциях длинного толстостенного цилиндра под действием аксиальной нагрузки, внешнего и внутреннего давлений. Предполагается, что скорость ростового изменения радиусов зависит от напряжений. Рассмотрены две гипотезы о характере поверхностного роста, и приведен анализ других линейных гипотез. Исследуется поведение аксиально нагруженного и ненагруженного цилиндров при различных соотношениях между внутренним и внешним давлением.
В 2 сопоставляется поведение аксиально нагруженного и ненагруженного цилиндров; обсуждается возможная физиологическая интерпретация результатов (проводится сравнение развития костей усеченной и здоровой конечностей человека).
В 3 исследуется влияние величин аксиальной нагрузки и внешнего давления (внутреннее давление полагается постоянным) на достигаемые с ростом времени значения радиусов цилиндра при справедливости предложенных гипотез о характере поверхностного роста. Описаны возможные эксперименты, результаты которых позволят определить, какая из гипотез (учитывающая анизотропию роста в аксиальном направлении или не учитывающая ее ) лучше отражает процессы, происходящие при росте трубчатой кости.
Рассматриваемая в 4 задача о нормальном и патологическом поверхностном росте трубчатой кости нова по постановке. Понятия нормального и патологического развития обсуждаются на примере исследованной в I модельной задачи о деформации под действием нагрузок толстостенного цилиндра, при условии, что есть рассогласование между параметрами роста для внешней и внутренней граничных поверхностей цилиндра.
Модель поверхностного роста трубчатой кости рассмотрена
при независимых ростовых параметрах. Под идеальным поведением цилиндра понимается поведение в случае, когда между ростовыми параметрами на внешней и внутренней граничных поверхностях существует жесткая зависимость. Нормальным считается развитие цилиндра при условии, что малые рассогласования между ростовыми параметрами на границе не приводят на достаточно больших интервалах времени к существенным отклонениям от идеального случая. Если же при некоторых значениях параметров существуют такие малые рассогласования, при которых происходит смена тенденции поведения цилиндра в сравнении с идеальным случаем,то такое развитие называется патологическим. Найден критерий наличия патологии. Результаты, полученные аналитически, подтверждаются численным исследованием.
В главе 3 решена модельная задача о деформациях кольцевого стержня под действием изгибающего момента, сил на боковой поверхности и притоков вещества извне. Удлинения осевой линии стержня считаются величинами высшего порядка малости по сравнению с углами поворота. Рассмотрение такой задачи полезно в связи с тем, что некоторые биологические объекты с механической точки зрения допустимо моделировать стержневыми системами, наделяя материал стержня подходящими эффективными свойствами. Кратко обсуждается возможная постановка задачи о деформации ребер человека. Для решения задачи о плоском изгибе почти кругового стержня в і уравнения квазистатического равновесия стержня в терминах перемещения выводятся методом усреднения. Вывод уравнений несколько отличается от предлагающихся ранее. Обсуждается вопрос о замыкающем соотношении.
В 2 рассмотрены две новые по постановке задачи об изгибе плоской фигуры, состоящей из двух полуокружностей, соеди-
ненных в двух точках. Предполагается, что в неподвижной точ--. ке соединения стержней приложен изгибающий момент, и стержень в этой точке упруго защемлен. Дана возможная биологическая интерпретация результатов.
В диссертации защищается построение на основе законов сохранения массы, импульса и энергии и соотношений термодинамики необратимых процессов модели костной ткани как четырехфазной многокомпонентной среды, состоящей из твердого скелета (совокупность вязкоупругой и упругой фаз), фильтрирующейся через скелет вязкой жидкости и жидкой фазы, позволяющей описать притоки к трехфазному пористому материалу извне, с учетом химических реакций, массообмена между фазами и фильтрации при конечных деформациях; и исследование модельных задач о поверхностном росте длинного толстостенного цилиндра под действием аксиальной нагрузки сил внешнего и внутреннего давлений, о деформации кольцевого стержня из растущего материала под действием изгибающего момента, распределенных нагрузок на боковой повер-ности и притоков вещества извне (во всех задачах обсуждается физиологическая интерпретация результатов).
данная работа связана с планом основных научно-исследовательских работ Института механики Московского Государственного университета им. М.В.Ломоносова (регистрационный номер темы 77066757), а также находится в соответствии с координационным планом НИР ВУВов в области здравоохранения.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах
м - И
Термодинамические соотношения и основные гипотезы
Проблема роста и развития живых объектов привлекла к себе внимание механиков по многим причинам. Наиболее существенными являются следугацие. В современных исследованиях по биологии развития, особенно при обработке данных экспериментов и построении количественных теорий, для создания адекватного формального аппарата широко используются представления и характеристики, введенные и применяемые в механике сплошной среды С другой стороны, не вызывает сомнения прямое участие механических факторов почти во всех процессах роста и развития. На темпы роста и его особенности оказывает существенное влияние не только факторы окружающей среды, в том числе и механической природы, но и возникающие внутри растущей ткани внут -ренние механические поля.
В качестве примеров, подтверждающих сказанное, можно назвать: а) хорошо известное в биологии влияние силы тяжести на рост (см., например [9] , [ЗО] , [бо] ); б) возникающие при повышенной статистической и динамической нагрузке приспособительные изменения строения скелета [24І ; в) сколиоз (искривление позвоночника) - болезнь роста, имеющую с точки зрения врачей "механический" характер (напряжения в элементах позвоночника - позвонках связаны со скоростью их роста [39] , [40] ) г) возникающую в объектах, различные структуры которых имеют разные скорости роста, сложную систему непосредственно не связанных с внешней нагрузкой внутренних напряжений, влияющих на скорость ростовых процессов [34] - [37] и др.
Необходимость объяснения разнообразных наблюдаемых эффектов требует построения моделей, рассматривающих с необходимой степенью подробности физико-химические свойства биологи - 4 ческих материалов.
Методологической основой построения континуальных моделей растущей ткани служат принципы механики сплошной среды. Уравнения сохранения массы, импульса и момента импульса выполняются при любых непрерывных движениях всех сплошных сред. Построение замкнутой системы уравнений, служащей в качестве математической модели конкретного материала связано с конструированием реологических и иных определяющих соотношений. При рассмотрении моделей с усложненными свойствами часто необходимо использовать не выражающиеся конечным образом зависимости между основными механическими характеристиками (тензорами напряжений, деформаций или скоростей деформаций, плотностью среды, температурой и др.), а также вводить различные внутренние параметры геометрической или физической природы, для которых строятся дополнительные динамические соотношения. В связи с этим оказывается полезной формулировка общей системы постулатов и приемов, позволяющих разумно ограничить набор функций, определяющих данную конкретную модель. В число таких приемов входит аппарат термодинамики; необратимых процессов.
В механике сплошной среды накоплен значительный опыт конструирования моделей материалов с усложненными свойствами. В теории вязкоупругих жидкостей и твердых тел, а также упру-гопластических и вязкоупругопластических материалов существует традиция использования таких внутренних параметров, как компоненты тензора необратимых деформаций. Термодинамическая теория пластических материалов развита в работах [28J , [б4] а вязкоупругих сред - в статьях В этих работах внутренние параметры, физический смысл которых не конкретизировался, рассматривались как аргументы термодинамической функции - внутренней энергии, а скорости их изменений - как аргументы диссипативной функции. Было показано, что в этом случае определяющие соотношения интегрального типа могут быть получены путем исключения внутренних параметров. При построении моделей биологических сред используются понятия и аппарат теории многофазных и многокомпонентных смесей. В этой теории по традиции вводятся внутренние параметры, характеризующие относительное движение и концентрацию компонент (фаз), скорость массообмена между ними. В конкретных случаях этот набор функций пополняется (например, характеристиками, связанными с вращением и деформированием включений). Для определения скоростей отдельных компонент (фаз), их температуры, массовой и объемной концентрации, скоростей химических реакций и т.п.рассматриваются дополнительные динамические урав нения.
Модельная задача об обобщённой плоской деформации толстостенного цилиндра при наличии химических процессов и притоков вещества извне
Среди множества работ, где выписываются, обсуждаются и уточняются эти уравнения, отметим здесь лишь некоторые методологически или по своим результатам полезны. при построении исследовании нетрадиционных моделей смесей с учетом дополнителен ных внутренних параметров.
Общая теория построения моделей смесей, в основе которой лежат фундаментальные соотношения механики и термодинамики, развита в работах [5б],[б8]. В частности, в монографии [58]исследуется модель многокомпонентного сжимаемого газа. Основные идеи конструирования моделей многофазных сред изложены в работе [42І. Схема использования методов термодинамики необратимых процессов при построении описанных сложных моделей рассматривается в работах [І4І, [бб"], [58]. Дополнительные особенности, возникающие при приложении этих методов к изучению многофазных сред указаны в статьях [ю], [48], [бб].
Применительно к средам, состоящим из твердого деформируемого каркаса и жидкого наполнителя, до последнего времени внутренние физико-химические процессы учитывались редко. Общие системы уравнений в случае, когда массообмена между фазами нет, а твердая фаза состоит из упругого материала рассматривались в работах [42], [43].
В связи с потребностью с механической точки зрения описать свойства реальных биологических тканей возникла необходимость введения внутренних степеней свободы, связанных с физико-химическими процессами.В статье [4і]для описания свойств мышечной ткани предложена модель биоупругого тела, учитывающая способность живой ткани деформироваться при отсутствии механических усилий. Для математического описания этого свойства используется закон Гука, в который адитивным образом входит величина N -биофактор Никитина. Рассмотрена задача о равновесии цилиндрического кругового сосуда под действием сил давления и биофактора А/ , который моделирует сопротивление деформированию сосуда со стороны окружающих его волокон гладких мышц. Если внутреннее давление недостаточно велико, то существует две области, в одной из которых волокна находятся в натянутом, в другой- в ненатянутом состоянии. В статье [б2] предложена модель мышцы как двухфазной многокомпонентной сплошной среды с учетом химических реакций и массообмена между фазами. Для описания протекающих в мышце необратимых процессов был введен дополнительный тензорный параметр, характеризующий неупругое деформирование одной из фаз.
Для описания быстрых процессов в живой костной ткани в статье [і]Ляіпредложена модель пористого насыщенного жидкостью диэлектрика с учетом вязкоупругих деформаций каркаса и массообмена между фазами. Деформации твердой фазы предполагались малыми, диффузия и химические реакции не учитывались.
Опыт конструирования моделей многофазных сред, требующих введения дополнительных внутренних параметров, позволил начать разработку новой нетрадиционной группы моделей - моделей растущего материала (растущего контунуума) для описания свойств живой ткани. Степень схематичности этих моделей остаётся весьма высокой из-за недостаточной изученности и специфичности реальных метаболических процессов. Но эти модели необходимы как средство качественного изучения следствий, вытекающих из принимаемых биологических гипотез.
Для живой ткани (мягкой или твёрдой) характерно наличие необратимого деформирования твёрдого (вообще говоря, пористого) материала, связанное с приращением его количества за счёт химических превращений. Существенной особенностью растущей ткани является возможность не только внешнего, но и внутреннего (за счёт изменения пористости) неупругого деформирования, осуществляемого посредством химических реакций, маосообмена между фазами и, возможно, при тока вещества извне.
Известно множество попыток количественной интерпретации процессов роста организмов. Однако большинство предложенных дифференциальных уравнений или формул относительно некоторых интегральных характеристик организма как функций времени имеют лишь описательную ценность. Обзор полуэмпирических соотношений такого типа дан в [21], [25], [27], [55], [59].
В данной работе изложение опирается на представление о росте как самопроизвольном термодинамически необратимом процессе,проявляющемся в изменений - на определённых временных масштабах - размеров, формы и физических свойств объекта. Под объектом понимается либо мысленно выделенный малый лагранжев объём живого вещества,либо определённая часть организма (орган),либо целостный организм
Возможные эксперименты для сравнения гипотез о характере поверхностного роста
В 5 рассмотрена модельная задача о малой плоской деформации длинного толстостенного цилиндра из несжимаемого трансверсаль-но изотропного материала под действием сил внешнего и внутреннего давлений при наличии притока массы и химических процессов.Для материала цилиндра принимается уравнение состояния в интегральной форме, полученное в 4.
В 6 обсуждаются возможные упрощения полученной замкнутой системы уравнений, связь между объёмным и поверхностным ростом. В главе 2 исследуется влияние нагрузки на поверхностный рост диафизарной части длинной трубчатой кости.В I решена модельная задача о малых упругих дефоршциях длинного толстостенного цилиндра под действием аксиальной нагрузки, внешнего и внутреннего давлений. Предполагается, что скорость ростового изменения радиусов зависит от напряжений. Рассмотрены две гипотезы о характере поверхностного роста, и приведен анализ других линейных гипотез. Исследуется поведение аксиально нагруженного и ненагруженного цилиндров при различных соотношениях между внутренним и внешним давлением.
В 2 сопоставляется поведение аксиально нагруженного и ненагруженного цилиндров; обсуждается возможная физиологическая интерпретация результатов (проводится сравнение развития костей усеченной и здоровой конечностей человека).
В 3 исследуется влияние величин аксиальной нагрузки и внешнего давления (внутреннее давление полагается постоянным) на достигаемые с ростом времени значения радиусов цилиндра при справедливости предложенных гипотез о характере поверхностного роста. Описаны возможные эксперименты, результаты которых позволят определить, какая из гипотез (учитывающая анизотропию роста в аксиальном направлении или не учитывающая ее ) лучше отражает процессы, происходящие при росте трубчатой кости.
Рассматриваемая в 4 задача о нормальном и патологическом поверхностном росте трубчатой кости нова по постановке. Понятия нормального и патологического развития обсуждаются на примере исследованной в I модельной задачи о деформации под действием нагрузок толстостенного цилиндра, при условии, что есть рассогласование между параметрами роста для внешней и внутренней граничных поверхностей цилиндра.
Модель поверхностного роста трубчатой кости рассмотрена при независимых ростовых параметрах. Под идеальным поведением цилиндра понимается поведение в случае, когда между ростовыми параметрами на внешней и внутренней граничных поверхностях существует жесткая зависимость. Нормальным считается развитие цилиндра при условии, что малые рассогласования между ростовыми параметрами на границе не приводят на достаточно больших интервалах времени к существенным отклонениям от идеального случая. Если же при некоторых значениях параметров существуют такие малые рассогласования, при которых происходит смена тенденции поведения цилиндра в сравнении с идеальным случаем,то такое развитие называется патологическим. Найден критерий наличия патологии. Результаты, полученные аналитически, подтверждаются численным исследованием.
Деформации двух соединённых полуокружностей под дей ствием распределённых нагрузок и изгибающего момента, приложенного в точке упругого защемления
Костная ткань [2б] состоит из костных клеток, большого количества внеклеточных образований, внеклеточной жидкости и плазмы крови. Внеклеточное вещество костной ткани состоит из органических веществ и неорганических солей. Основную массу органических веществ (от 84 до 96%) составляют коллагеновые волокна, а оставшуюся часть - связующие вещества. Неорганические вещества костной ткани состоят в основном из разных солей кальция. Вода представлена в соединении с органическими компонентами.
Во внеклеточном веществе костной ткани имеются небольшие овальные полости((22-55)х(б-14)х(4-9) мкм), в которых расположены клетки трех видов: остеобласты, остеоциты и остеокласты. Остеобласты - это основные клетки, образующие костную ткань. В развивающейся кости они покрывают поверхности внеклеточного вещества, а в сформировавшейся кости встречаются лишь в областях роста. Остеоциты - это остеобласты, которые оказались изолированными во внеклеточном веществе и потеряли способность к размножению. Остеокласты - это клетки, активно участвующие во внутреннем разрушении обезыствленной кости. В местах соприкосновения этих клеток с внеклеточным веществом образуются полости (лакуны) - происходит процесс резорбции костной ткани. Полости, в которых расположены костные клетки, связаны между собой тончайшими канальцами.
В длинных трубчатых костях имеется два вида костной ткани - компактная и спонгиозная. Компактная костная ткань образуется из костных ламелл - коллагеновых волокон с разной ори - 24 ентацией укладки, имеющей одно преобладающее направление жесткости. По длине кости от одной ламелле к другой это направление может мнняться (в соседних ламеллах эти направления могут быть, например, взаимно ортогональными). В спонгиозной костной ткани ламеллы создают пространственно - организованную пористую конструкцию. Спонгиозное вещество составляет эпифизарнуто часть трубчатых костей, а компактное - диафизар-нуго (см.рис.1, где изображена трубчатая кость - большеберцо-вая кость человека).
В диафизарной части наружный (со стороны надкостницы) и внутренний (со стороны костномозгового канала) слои (см.рис.2) состоят из ламелл, которые образуя слоистую структуру, посег-ментно охватывают среднюю часть кости. В средней части кости находятся состоящие из ламелл многослойные цилиндрические элементы - остеоны. Через наружние ламеллы из надкостницы внутрь кости проходят питательные каналы (фолькмановские каналы). Внутри остеонов находятся гаверсовы каналы, содержащие кровеносные сосуды (см.рис. 3 ). Гаверсовы каналы расположены в основном вдоль продольной оси кости (см.рис.4), образуя взаимо связанную систему, соединяющуюся с сосудами костного мозга и надкостницы. Между остеонами располагаются промежуточные ламеллы (см.рис.З), представляющие остатки разрушенных ранее образований остеонов. Соединение ламелл и остеонов осуществляет ся посредством связующего вещества.
Механические свойства костной ткани определяются в основном свойствами внеклеточных материалов, объемная доля которых значительно превышает часть объема, приходящуюся на костные клетки. Как конструкционный материал костная ткань образуется определенным сочетанием органических и неорганических сое - 25 тавляющих. При удалении из кости неорганических или органических компонентов оставшиеся вещества сохраняют форму кости, но механическое поведение материала меняется. При сохранении в костной ткани органических компонентов материал кости становится резиноподобным, а материал из неорганических компонентов - очень хрупкий и имеет низкую механическую прочность. При нагружении кости костная ткань ведет себя как губка: внеклеточная жидкость (вода и питательные вещества) приходят в движение.
Для более детального учета механических свойств костной ткани и описания происходящих в ней долговременных процессов (таких, например, как адаптация или рост) предлагается следующая модель. Рассмотрим четырехфазную статистически однородную среду, состоящую из твердого скелета, внеклеточной вязкой жидкости, заполняющей поры,и крови. Твердый скелет будем отождествлять с органическими и неорганическими компонентами внеклеточного вещества и костными клетками двух типов - остеобластами и остеокластами. Деформации всех составляющих скелета синхронны, а их химический состав и содержание в костной ткани могут меняться со временем. Органическими и неорганическими веществами скелет обменивается с внеклеточной жидкостью и кровью.
В связи с тем, что механические свойства и роль органических и неорганических веществ в костной ткани различны, будем разделять твердый скелет на две фазы. Считаем, что органические вещества во внеклеточном пространстве и костные клетки (остеобласты и остеокласты) составляют фазу I. Эта фаза с механической точки зрения ведет себя как вязкоупругий материал (деформации этой фазы не полностью обратимы). Неорганические внеклеточные вещества будем отождествлять с фазой 2. Эту фазу считаем упругой.
Похожие диссертации на Исследование напряженно-деформированного состояния растущего материала
