Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Проблема теории резания: напряженно-деформированное состояние материала резца и заготовки в зоне резания
1.1 Особенности лезвийной обработки. Обзор видов разрушения режущей кромки
1.2 Геометрические характеристики лезвийного режущего инструмента
1.3 Описание процесса стружкобразования
1.4 Основные допущения о процессах, происходящих в зоне резания
1.5 Представление о поверхностном слое материала. Допущения о геометрии режущей кромки и силах, действующих на нее
Глава 2 Анализ неклассических моделей упругих сред
2.1 Обзор неклассических теорий
2.2 Теория, учитывающая особый граничный слой
2.3 Доказательство конечности напряжений в вершине клина с помощью теории, учитывающей особый граничный слой
2.4 Градиентная теория
2.5 Метод расчета и доказательство конечности напряжений в вершине клина с помощью градиентной теории
2.6 Связь теории, учитывающей особый граничный слой, с градиентной теорией
Глава 3 Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины клина
3.1 Суть разработанного метода
3.2 Математическая постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии материала резца вблизи острой режущей кромки 96
3.2.1 Основные допущения 96
3.2.2 Формулировка задачи, выбор координатной системы 99
3.2.3 Уравнения равновесия и краевые условия 102
3.3 Метод решения задачи о распределении перемещений и напряжений в плоском клине 109
3.4 Решение классической задачи о напряженно- деформированном состоянии материала резца в окрестности острой режущей кромки 111
3.5 Результаты расчета напряженно-деформированного состояния острой режущей кромки 122
3.6 Методика расчета напряженно-деформированного состояния материала резца в окрестности режущей кромки 131
Глава 4 Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины выреза 137
4.1 Постановка и метод решения задачи о напряженно-деформированном состоянии материала в окрестности вершины плоского остроугольного выреза 138
4.2 Анализ поля напряжений в окрестности вершины выреза 146
4.3 Зона предразрушения в окрестности вершины остроугольного выреза 149
4.4 Критерий хрупкого разрушения линейно-упругого материала в окрестности остроугольной вершины выреза 152
4.4.1 Описание распределения напряжений в близи вершины выреза 153
4.4.2 Описание процесса разрушения материала вблизи вершины выреза 155
4.4.3 Модель разрушения материала в окрестности вершины остроугольного выреза под действием расклинивающей его нагрузки 160
4.4.4 Процесс слияния выреза и вновь образовавшейся трещины 167
4.5 Модель образования стружки надлома 170
Заключение 173
Список использованных источников 175
Приложения 189
- Геометрические характеристики лезвийного режущего инструмента
- Доказательство конечности напряжений в вершине клина с помощью теории, учитывающей особый граничный слой
- Метод решения задачи о распределении перемещений и напряжений в плоском клине
- Критерий хрупкого разрушения линейно-упругого материала в окрестности остроугольной вершины выреза
Введение к работе
Цель работы - разработка метода расчета плоского напряженно-деформированного состояния однородного изотропного линейно-упругого материала в окрестности вершины остроугольного концентратора напряжений, позволяющего получать конечные значения напряжений и деформаций.
Актуальность темы. Остроугольные концентраторы напряжений (клин, вырез) встречаются в самых разных областях техники. В одних случаях явление концентрации напряжений, способствующее разрушению материала, например, инструмента, является нежелательным, в других случаях, например, при резании материалов - желательным. Выбор цели диссертации связан с необходимостью исследования напряженного состояния в инструменте и обрабатываемом материале с целью повышения эксплуатационных свойств инструмента, а так же точности и качества обработанной поверхности.
При резании хрупкого материала обработанная поверхность имеет неровности, связанные с выламыванием стружки, для нахождения причин такого разрушения необходимо определить напряженное состояние в окрестности вершины растягиваемого выреза.
Инструментальные материалы склонны к истиранию и выкрашиванию лезвия, которое происходит на очень близком расстоянии от режущей кромки, где трудно проводить экспериментальные исследования напряженно-деформированного состояния материала [26,42,61]. Отсюда вытекает необходимость теоретического исследования этого состояния.
Прочностной расчет режущего клина при проведении подобного рода исследований традиционно опирается на линейную теорию упругости [5,106]. Однако классическая теория упругости обладает и некоторыми недостатками, которые затрудняют ее применение для изучения механического поведения материала в окрестностях концентраторов напряжений - угловых линиях и точках поверхностей.
Дело в том, что традиционные методы расчета сил резания [7,Д, 106], используют приведение сил, действующих на инструмент в зоне резания, к его режущей кромке. Для дальнейшего расчета напряженного состояния материала резца в соответствии с этой схемой оказывается необходимым решать задачу о действии сосредоточенной силы на вершину клина. В рамках классической теории упругости решение этой задачи приводит к неограниченному росту напряжений и деформаций [70,85], развивающихся вблизи режущей кромки, при неограниченно близком приближении к ней, независимо от величины сил, приложенных к этой кромке. Этот результат физически нереален, поскольку свидетельствует о том, что при любых значениях (сколь угодно малых) сил резания материал режущей кромки обязательно будет разрушаться под действием этих сил.
Изложенное выше, свидетельствует о необходимости создания такого метода расчета напряжений в окрестности остроугольного концентратора напряжений, который позволял бы в описанной ситуации получать конечные, адекватные реальным значения напряжений и деформаций материала. В особенности это важно для случая тонкого точения с использованием синтетических материалов в качестве режущего клина (алмазы, материалы на основе кубического нитрида бора). Данные материалы имеют практически абсолютные заострения, связанные с их кристаллической структурой.
Следует отметить, что возможно использование и других расчетных схем как с острой режущей кромкой, на которую нет внешних воздействий, так и со скругленной режущей кромкой [61,84,20]. В случае использования модели со скругленной режущей кромкой, считается, что сила равномерно распределена по всей поверхности. Однако, в реальности, взаимодействие режущего и обрабатываемого материалов происходит по различным выступам (шероховатость, зерна кристаллов и т.д.). В настоящее время все большее развитие получают нанотехнологии, появляется необходимость решать задачи в масштабах межатомных расстояний. Задача о действии сосредоточенной силы на вершину клина относится к таким задачам, так как выводы классической теории не соответствуют реальным значениям напряжений на расстояниях от вершины порядка нанометра. Появляется необходимость развития неклассических теорий и методов вычисления, позволяющих решать задачи на этом уровне.
Методика исследования. Создание расчетного метода, позволяющего связать воедино, в рамках единой математической модели технологические и конструкторские параметры, характеристики механических свойств материалов и условия их эксплуатации, среди возможных других предусматривает следующие операции.
- Критический анализ существующих методов.
- Теоретическое, на основе физических представлений, и (или) экспериментальное изучение механических свойств материла в условиях, совпадающих с условиями его эксплуатации или близких к ним. Очевидно, что разработчик метода может использовать при этом полностью или частично результаты исследований других авторов.
- Выбор среди имеющихся в данный момент теорий или построение новой теории, описывающей выявленные свойства материала. Принципиальное доказательство возможности использования выбранной теории для описания поведения материала в интересующих разработчика метода условиях.
- Формулировка начально-краевой задачи, решение которой позволило бы описать механический процесс в любой точке исследуемого материала в любой момент времени по известным распределениям на границах этой области.
- Упрощение поставленной задачи за счет принятия дополнительных гипотез о характере протекания процесса. При этом необходимо учитывать, что принятие этих гипотез с одной стороны упрощает математическое или экспериментальное решение задачи, а с другой - уменьшает степень адекватности решения реальным условиям.
- Решение поставленной задачи путем построения алгоритма численного или аналитического установления связей между характеристиками материала, технологическими или конструкторскими параметрами, условиями эксплуатации. Построение методики решения задачи по установлению этих связей.
- Проверка адекватности метода путем решения тестовых задач,
сопоставления с данными опытов, результатами применения других методов.
Одним из существенных пунктов этого перечня является пункт о выборе теории, описывающей механические свойства материала. Обычно теория является общепринятой, а внимание сосредотачивается на теоретических или экспериментальных исследованиях по уточнению соответствующих краевых условии, а также принятие дополнительных допущений, позволяющих найти приемлемое решение задачи. В данной работе, ввиду высказанной ранее претензии к теории упругости, внимание, прежде всего, сконцентрируется на выборе математической модели механического материала, которая обеспечивала бы конечность напряжений и деформаций в окрестностях концентраторов напряжений - угловых точках, доказательстве возможности ее использования при учете действия внешних сил на вершину клина в плоской постановке задачи. При этом выполнение остальных перечисленных пунктов сохраняется.
В зоне резания происходит не только воздействие обрабатываемого материала на режущую кромку резца и его часть, прилегающую к ней, но и их обратное воздействие на заготовку, в результате которого в зоне резания происходит отделение стружки от заготовки. При обработке материалов резанием очень важно, чтобы отделение материала стружки от заготовки детали проходило вдоль поверхности (а в поперечном к кромке сечении -вдоль линии), соответствующей чертежу детали. Вместе с тем отделение стружки от заготовки происходит за счет действия нормальных к поверхностям контакта материала заготовки с передней и задней поверхностью резца сил, а так же касательных, срезающих стружку сил. Совокупность этих сил создает в той части материала заготовки, которая прилегает и контактирует с лезвием режущего инструмента напряжения, способствующие переходу его в пластическое состояние с последующим отделением стружки. Стружка отделяется за счет деформаций сдвига [17].
Далеко не все материалы пластичны. Обработке резанием подвергаются и хрупкие, упругие материалы. При обработке хрупких материалов с высокой твердостью, например чугуна, образуется стружка надлома (ее иногда называют стружкой отрыва, так как ее образование связано с растягивающими напряжениями). Стружка надлома состоит из отдельных, не связанных друг с другом кусочков различной формы и размеров. Отделение стружки происходит за счет скалывающих напряжений. Процесс начала отделения подобен процессу роста трещины вследствие действия на ее внутренние стенки нормальных и касательных сил. При этом трещина имеет острый угол, а ориентация направления, вдоль которого в окрестности ее угла развиваются наибольшие напряжения, по отношению к ориентации трещины, а, следовательно, - направление роста трещины зависят от соотношения и величины сил, приложенных к ее берегам. Очевидно, что это направление может не совпадать с тем направлением, которое соответствует образованию чистовой поверхности детали. В результате этого, поверхность разрушения может располагаться ниже поверхности резания, которая покрывается следами от выломанных из нее кусочков стружки Q8]. Обеспечить необходимое направление поверхности разрушения можно, построив адекватный реальной ситуации метод расчета напряженного состояния в окрестности вершины лезвия в обрабатываемом им материале.
Учитывая изложенное выше, в диссертации для достижения поставленной цели решаются следующие задачи. 1. Обоснование необходимости рассмотрения расчетной схемы для изучения напряженно-деформированного состояния в материале резца с острой режущей кромкой.
2. Определение системы внешних воздействий на режущий инструмент в случае, когда режущая кромка является острой, и представляет собой ребро поверхности резца. Определение системы осуществляется на основании анализа имеющихся в литературе теоретических и экспериментальных данных.
3. Выбор и теоретическое обоснование математической теории упругости, в рамках которой возможно рассмотрение задач о действии сил, распределенных вдоль угловых линий поверхности.
4. Доказательство ограниченности напряжений, развивающихся в материале резца при действии на него распределенной вдоль острого лезвия силы.
5. Построение метода расчета напряжений и деформаций в окрестности угловой точки в задаче о расчете напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины клина.
6. Решение задачи о состоянии остро заточенного резца под действием как сосредоточенной, так и распределенных по передней и задней его поверхностям сил. Сопряжение предложенного метода с классическим. Сопоставление результатов с данными имеющихся в литературе опытов.
7. Расчет напряженно-деформированного состояния хрупкого обрабатываемого материала в зоне резания. Разработка схемы образования стружки надлома.
Содержание работы. В соответствии с перечнем решаемых задач первая глава диссертации посвящена решению первой и второй задач. В ней также представлен краткий обзор работ, посвященных определению напряженно-деформированного состояния материала в окрестности режущей кромки. Вторая глава посвящена решению третьей, четвертой и пятой задач. В ней предлагается обзор и краткая суть математических моделей, позволяющих в числе краевых условий при решении задач о напряженно-деформированном состоянии учитывать действие распределенных вдоль ребер поверхности упругого тела сил. Делается обоснование выбора одной из них и приводится доказательство ограниченности напряжений, вызванных их действием. Представлен метод расчета напряжений в окрестности клиновидного упруго тела, имитирующего режущий клин инструмента. Представлено доказательство конечности напряжений, рассчитываемых этим методом.
Третья глава посвящена иллюстрации предложенного метода. В ней представлено решение задачи о напряженно-деформированном состоянии материла резца в окрестности режущей кромки. В качестве краевых условий используется система сил, действующих на резец со стороны обрабатываемой заготовки, полученная на основе экспериментов, представленных в [7,Д]. На основе сопоставления результатов делается вывод о применимости предложенного метода расчета, предлагается методика его реализации. Производится сопоставление решений задачи о действии сосредоточенной силы на вершину клина классическим и представленным методами, определяются области возможного использования методов, где они обеспечивают наилучшую точность вычислений, предлагается методика комбинированного метода.
Четвертая глава посвящена решению седьмой задачи. В ней представлено решение задачи о напряженно-деформированном состоянии материла в окрестности вершины выреза и схема образования стружки надлома.
Заключение диссертации содержит обсуждение полученных результатов, выводы.
На защиту выносятся следующие положения: 1. Метод расчета напряжений и деформаций, позволяющий получить их конечные значения в окрестности вершины остроугольного концентратора.
2. Научно-обоснованная методика проведения расчетов напряжений и деформаций, сочетающая классический и предложенный способы, применительно к режущему инструменту.
3. Условие для определения размеров трещины в окрестности вершины остроугольного выреза и схема появления трещин - эмиссаров.
Апробация диссертации. Основные положения диссертационной работы докладывались на международной научно-технической конференции «Механика неоднородных деформируемых тел: методы, модели, решения», г. Орел, 2004; на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2005; на международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 2005; на всероссийской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности», г. Бийск, 2005; на научно-практических семинарах ОрелГТУ, г. Орел, 2006-2007.
Основные результаты исследований опубликованы в работах [31-38].
Геометрические характеристики лезвийного режущего инструмента
Другим примером обработки материалов резанием является шлифование. Инструментом в данном случае является шлифовальный круг. Его рабочими элементами являются зерна абразива, например алмаза, имеющие форму выпуклого многогранника с острыми углами. Эта форма может быть достигнута либо случайным образом, либо быть строго заданной. Зерна закрепляются в теле круга посредством связки, режущая часть в данном случае - чаще всего пирамидальная вершина зерна абразива, выступающая из тела круга за пределы связки. В качестве примера, на рисунке 1.2 изображен микрошлиф для определения микротвердости гранитных зерен и схема крепления зерен абразива. Все способы резания, в которых режущая часть инструмента является ребром клина заданной формы и размеров, определенным образом ориентированных по отношению к заготовке в процессе резания, называются лезвийными. Именно этим методам далее уделяется основное внимание.
Несмотря на большое количество разных способов резания, лезвийные способы отличаются большим разнообразием, которое частично изображено в таблице 1.2.
Из таблицы следует, что способы лезвийной обработки различаются между собой в зависимости от того, движется заготовка относительно резца или наоборот, каковы характер относительного движения (возвратно-поступательный или вращательный), характер обрабатываемой поверхности, количество режущих элементов на теле инструмента, как они расположены по отношению к нему и т.д. Все способы объединяются тем, что режущая часть инструмента имеет клиновидную форму. Этот клин обладает определенной, заранее спланированной и обеспеченной в процессе изготовления геометрической формой, имеет определенные размеры режущих частей. В каждом сечении, нормальном к режущей кромке происходят практически одни и те же механические процессы. Это дает основание для выдвижения гипотезы о плоском деформированном состоянии каждого из сечений, за исключением близких к торцам режущей части.
Необходимость теоретического изучения напряженно деформированного состояния режущей части инструмента диктуется следующими соображениями.
Износ инструмента, то есть изменение его геометрических характеристик в процессе работы происходит разными путями. Это может быть истирание передней и задней поверхностей резца из-за контакта с обработанной поверхностью и снимаемой стружкой. Это может быть выкрашивание режущей кромки, приводящее к незапланированному ее округлению или скалывание. Возможно хрупкое разрушение режущей пластинки, локальная пластическая деформация, образование термических трещин и т.д. В данной работе обращается внимание на изучение причин выкрашивания и истирания участков режущей кромки инструмента, которое проявляется в отделении малых частиц режущей кромки и вызывается поверхностными дефектами площадок контакта, неоднородностью структуры инструментального материала, остаточными напряжениями в поверхностных слоях рабочей части инструмента. Виды разрушений режущего инструмента на примере твердосплавных пластин приведены в таблице 1.3 [106], фотография - на рисунке 1.3а [20]. Возможно так же скалывание, которое характеризуется отделением значительного объема рабочей части инструмента. Они происходят преимущественно по передней поверхности и по размерам соизмеримы с размерами площадки контакта. Фотография скола приведена на рисунке 1.36. Как указывается в работе [104], процесс разрушения материалов проходит следующие стадии: возникновение субмикротрещин, возрастание их до критических размеров и спонтанное распространение магистральных трещин. Процесс возникновения субмикротрещин связан с возникновением «пиковых» напряжений в локальных микрообъемах инструмента. Способность микрообъемов к релаксации напряжений определяет стадию зарождения трещины.
В работе [49] была сделана попытка выявить характер разрушения фрактографическим методом, то есть путем анализа изломов. На рисунке 1.4 приведены микрофрактограммы разрушения режущей части инструмента из различных материалов.
Доказательство конечности напряжений в вершине клина с помощью теории, учитывающей особый граничный слой
В настоящее время все отрасли машиностроения уделяют повышенное внимание состоянию поверхности детали и ее приповерхностного слоя [96]. Это объясняется тем, что их качество и работоспособность во многом определяют работоспособность всей детали (в нашем случае резца). Для улучшения качества поверхности на нее наносят специальные покрытия, насыщают поверхностный слой другими веществами, обрабатывают поверхность путем бомбардировки потоком твердых частиц, лазерным облучением и т.д. Механическая обработка поверхности в процессе ее изготовления строганием, фрезерованием, шлифованием и т.д. так же влияет на структуру и свойства материала в приповерхностном слое. Даже в отсутствии перечисленных воздействий на поверхность и приповерхностный слой детали (в нашем случае резца), на поверхности, при ее механической обработке, обрываются межатомные связи материала, характерные для его атомно-молекулярной структуры в глубине, разорванные связи частично перезамыкаются между собой, а частично остаются незамкнутыми, образуя активные центры [38,51,96]. Это так же приводит к отличному от объемного состояния расположению атомов материала на поверхности и в ближайшем к ней слое.
Во всех случаях механические свойства (модули упругости и сдвига, пределы текучести и прочности) материала в приповерхностном слое меняются. Вблизи границы образуется слой материала со свойствами, отличными от свойств того же материала в глубине. Толщина этого слоя может быть разной и колеблется от нескольких межатомных расстояний (когда особенности возникли только из-за перемыкания оборванных межатомных связей) до нескольких микрометров.
Обращает на себя то обстоятельство, что острая режущая кромка лежит на пересечении приповерхностных слоев, образованных вблизи передней и задней поверхности резца. Если же кромка округлена, то ее поверхностный слой сопрягает эти слои.
В данной работе предполагается, что радиус округления режущей кромки, которое присутствует у нее из-за невозможности добиться ее абсолютного заострения, меньше чем толщина приповерхностного слоя материала, где приповерхностные свойства отличны от объемных.
Приповерхностный слой с особыми механическими свойствами имеет сложную структуру. Ее анализ, причины возникновения, способы влияния на нее приводятся в работах [48,88,97,110]. Во многом эта структура обуславливается поврежденностью кристаллической структуры разного рода дефектами, дислокациями, микротрещинами, вызванными предыдущей механической обработкой. Пример структуры поверхностного слоя твердых сплавов после шлифования без СОЖ приведен на рисунке 1.10 [115]. При травлении пластин на микроструктуру было установлено, что вблизи кромки четко виден дефектный слой глубиной до 100 мкм с сильно деформированной структурой. В непосредственной близости к обработанной поверхности наблюдается дробление и измельчение зерен карбидов, далее в глубь тела плотность тела на столько велика, что с трудом просматриваются границы зерен. В дефектном слое выделяются отдельные зерна карбидов большой величины, превышающие средние размеры исходных зерен в 2...3 раза, что свидетельствует о протекании процесса вторичной рекристаллизации. В верхних слоях металла сосредоточена значительная поверхностная энергия, обусловленная наличием не скомпенсированных металлических связей, дислокаций, вакансий, что в совокупности с развитой поверхностью в микро - и ультрамикронеровности вызывает активное взаимодействие атомов металла, расположенных на поверхности, с внешней средой.
Над металлической поверхностью существует облако непрерывно движущихся свободных электронов (1), покидающих металл и снова возвращающихся в него. На воздухе микровыступы и впадины поверхности многих металлов мгновенно покрываются пленками окислов, а так же слоями, состоящими из 50...100 адсорбированных молекул газов, воды и жировых веществ (2). Непосредственно на поверхности металла обычно находится пленка окислов (оксидов) (3). Слой окислов на границе с металлом образует отрицательный потенциал против положительного потенциала самого металла, представляющего граничную зону (4), имеющую иную кристаллическую решетку. Далее располагается слой (5), содержащий измененную структуру и, как правило, имеющий, по сравнению с основой (6), другой фазовый и химический состав.
Допускается, что указанные повреждения для рассматриваемого инструмента минимальны. Так что толщина поверхностного слоя обуславливается атомно-молекулярной перестройкой, вызванной лишь обрывом связей между атомами материала на поверхности. Ввиду этого, она настолько мала по сравнению с характерными размерами резца, что ею можно пренебречь и считать поверхностный слой не трехмерным, а двухмерным образованием, взаимодействующим с ограниченной им внутренностью трехмерного тела детали - резца. Это образование подобно оболочке схватывает материал резца. А его материал обладает свойствами, которые не совпадают со свойствами основного материала.
В случае принятия этого предположения в сечении резца плоскостью, перпендикулярной неокругленной режущей кромке, получается плоский клин, с углом раствора, соответствующим углу заострения инструмента. При этом касательные и нормальные к поверхности реальной, неидеально заточенной из-за невозможности это сделать кромки, силы, распределенные по ее поверхности, вырождаются в силу, приложенную вдоль линии, являющейся ребром пространственного клина, которым гипотетически оказывается инструмент в окрестности режущей кромки. Величину этой силы можно вычислить, зная распределение касательных и нормальных напряжений по всей поверхности резца.
Метод решения задачи о распределении перемещений и напряжений в плоском клине
Ко второй модели так же относятся теории, учитывающие особый поверхностный слой (в классических моделях механики сплошных сред границу тела называют поверхностью, обычно представляя ее как математическое понятие - двухмерное многообразие). Состояние поверхностных слоев реальных тел существенно отличается от состояния внутренних их слоев вследствие различных условий взаимодействия материальных частиц, а так же в силу ряда других причин. Вследствие этого возникает приповерхностный слой, физико-механические процессы в котором отличаются от процессов в глубине тела. При исследовании закономерностей протекания физических процессов в объеме, занятом телом, это тело наделяется определенными физическими свойствами. Очевидно, что такой же подход должен использоваться и при описании граничной поверхности тела. Таким образом, естественно представление о двухмерном материальном континууме - материальной поверхности, аналогично вводится представление об одномерном материальном континууме -материальной линии. Изложение моделирования физико-механического состояния деформируемых твердых тел, представляющих собой взаимодействующую систему трех-, двух- и одномерных материальных континуумов, приведено в работах [22,78].
Обе модели применяются также в различных комбинациях. Например Новожилов [72] с помощью комбинирования дискретного и континуального подходов установил диапазон длин равновесных трещин (в классической теории Гриффитса лишь одна критическая (равновесная) длина).
В рамках второй модели существует объединенная теория, предложенная Шоркиным B.C., которая включает градиентную и нелокальную теории, и учитывает сложную структуру тела (объединение материальных тел разной) Г110Л П....]. Данная теория позволяет более точно описать процессы деформирования упруго тела.
Существует модель, основанная на предположении о том, что реальное деформируемое твёрдое тело имеет сложную структуру. Оно представляет собой объединение материальных тел разной размерности - трёхмерной внутренности, множества гладких двухмерных участков граничной поверхности, множества одномерных рёбер и множества угловых точек поверхности, имеющих нулевую размерность. Примеры таких моделей представлены в работах Г78Л101.
Рассмотрим эту теорию применительно к задаче о действии сосредоточенной силы на вершину клина. На её примере можно анализировать возможности модели деформируемого твёрдого тела к описанию полей напряжений и деформаций в окрестностях концентраторов напряжений.
Представляет интерес прямое доказательство утверждения о том, что в рамках соответствующей математической модели наличие условия в угловой точке, предусматривающего ограниченность внешнего воздействия, приводит к ограниченности отклика на это воздействие во внутренних точках среды - напряжений и деформаций, вызванных им. Обоснование конечности напряжений, развивающихся в окрестности концентратора напряжений, представлено в работе [77]. Далее приводится доказательство этого утверждения для первой и второй модели. Расчёт полей перемещений и напряжений, проведённый в рамках первой модели, подтверждает конечность напряжений. Согласованность результатов, полученных на основании разных моделей, вытекает из показанного в работе совпадения систем уравнений равновесия и краевых условий с точностью до используемых обозначений тензоров напряжений, развивающихся внутри тела и на его поверхности.
Теория взаимодействия тела и его поверхности. Согласно воззрениям, изложенным в [ШО], каждое тело, находящееся в каждый момент времени в трёхмерном евклидовом пространстве, занимает в нём определённое место V (далее обозначение тела и его места совпадают), которое имеет структуру замыкания внутренности всюду плотного точечного трёхмерного множества. Такое множество является замкнутым. Как и всякое замкнутое трёхмерное множество, его можно представить в виде:
В этой записи: V - внутренность множества V;S- обозначение о множества внутренностей гладких участков боковой поверхности тела; L обозначение множества внутренностей гладких участков рёбер тела (если они имеются); М- множество изолированных точек, замыкающих границу. В трёхмерном пространстве внутренность двухмерного множества это нулевое множество. Поэтому, его замыкание также является нулевым множеством [1,18,]. В соответствии с [100], такое место может соответствовать лишь нулевому телу. Поэтому оказывается, что в трёхмерном пространстве тела могут быть только трёхмерными. В данной теории допускается, что в N- мерном пространстве наряду с N - мерными телами существуют ещё (N-l)- мерные тела, (N-2) -мерные тела, ..., 0 - мерные тела. Как и в классическом случае, размерность тела определяется размерностью занимаемого им места. Местом 0 - мерных тел являются изолированные точки. Для каждого из остальных типов тел местами являются открытые множества. Перечисленные типы тел таковы, что существуют, по крайней мере, в объединённом состоянии, образуя такие тела, места которых имеют структуры, подобные (2.1). В конечном счёте, объединённое тело и его место соответствуют классическим представлениям. Но введённые допущения позволяют вводить независимо друг от друга
Критерий хрупкого разрушения линейно-упругого материала в окрестности остроугольной вершины выреза
. Силы, действующие на режущую кромку (как приведенные к ней -первая расчетная схема, так и вызванные хоть и малой, но не нулевой округлостью режущей кромки), в реальных процессах резания распределены вдоль нее неравномерно. Очевидно, что наибольшая степень неравномерности должна наблюдаться у краев режущей кромки, а наименьшая - в ее центральной части. Предполагается, что неравномерностью распределения сил вдоль режущей кромки можно пренебречь. То есть, считается, что сила, действующая на режущую кромку распределена по ней равномерно с постоянной интенсивностью. Пусть F сила, действующая на режущую кромку, т-const - ее интенсивность, то есть часть силы F, приходящаяся на единицу длины кромки; / - длина режущей кромки; dl - ее бесконечно малый элемент. Тогда Силы давления и трения, действующие на резец со стороны обрабатываемой заготовки и снимаемой стружки, распределены по передней и задней поверхности неравномерно, имея максимум вблизи или на самой ржущей кромке. На каждой из поверхностей распределения интенсивностеи этих сил можно рассматривать как вдоль линий, параллельных режущей кромке, является равномерным, имеющим вдоль этих линий одну и ту же интенсивность. 3. Описанные допущения свидетельствуют о том, что в любом нормальном к режущей кромке сечении резца распределение как внешних, действующих на угловую точку (точка пересечения сечения с передней и задней поверхностями), так и внутренних сил (сил, определенных во внутренних точках плоского клина) является одним и тем же. Каждую из этих сил, векторы интенсивностеи их распределения можно разложить на сумму двух векторов. Первый действует в направлении, перпендикулярном нормальному сечению, второй - параллельно ему. В первой главе дано обоснование предположения о том, что первым вектором можно пренебречь. Таким образом, в дальнейших расчетах предполагается, что действие заготовки и снимаемой стружки осуществляется только вдоль нормального к режущей кромке сечения резца. Реакция материала на эти воздействия так же параллельна этой плоскости. 4. Резец имеет сложную геометрическую конфигурацию, которая для разных типов резцов может быть разной. Она, безусловно, влияет на характер распределения внутренних напряжений. Однако необходимо отметить, что имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют о том, что максимум внешних воздействий приходится на те места передней и задней поверхности, которые или примыкают к режущей кромке или расположены на небольшом, порядка 0,5 мм расстоянии от нее, что намного меньше поперечных и продольных размеров резца. Выкрашивание материала резца происходит на расстояниях от режущей кромки, не превышающих указанного. Это свидетельствует о том, что максимальные внутренние напряжения, превышающие предел прочности материала резца, развиваются так же вблизи режущей кромки на расстояниях от нее, значительно меньше поперечных размеров резца [15,16,43,64]. На основании изложенного делается вывод о том, что влиянием формы резца за исключением его угла заострения - угол раствора клина в нормальном к кромке сечении, а также переднего и заднего углов, определяющих характер распределения действующих на резец сил со стороны детали и стружки по передней и задней поверхностям, на напряженно - деформированное состояние материала резца вблизи режущей кромки можно пренебречь. Это означает допущение о том, что напряжения и деформации, развивающиеся в материале резца вблизи режущей кромки, являются точно такими же, как и в бесконечно протяженном клине с тем же углом раствора и с тем же распределением сил, действующих на его вершину и боковые стороны. 5. Считается, что материал резца является однородным, изотропным, обладает постоянной плотностью и температурой (влиянием сжимаемости материала, а так же неравномерностью его нагрева, характерной для процесса резания, пренебрегаем). 6. Материал резца является упругим, хрупким. В процессе резания он испытывает только малые деформации. Так что связь напряжений и деформаций можно считать линейной (развивающиеся в материале напряжения, внутренние силы, пропорциональны вызванным ими деформациям). 7. Разрушение материала является хрупким. То есть если какой - то вид напряжений &„ или сгт (нормальное и касательное напряжения соответственно) на какой - то плоской площадке достигают предельного значения сгтах или гтах, то на этой площадке происходит отслаивание материала, появляется микротрещина.
