Содержание к диссертации
Введение
1 Основные соотношения теории наложения больших деформаций
Основные термины и обозначения, используемые в работе
Кинематика деформаций
Определяющие соотношения
Уравнения равновесия и граничные условия
О постановке граничных задач теории наложения больших деформаций
Модели зарождения и роста концентратора напряжений
Зона предразрушения
Модельные задачи с использованием понятия поврежденности
2 Постановка задач и методы решения
Особенности применения метода конечных элементов (МКЭ) к задачам теории наложения больших деформаций
Реализация алгоритма на примере плоской задачи об образовании концентратора напряжений
Общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений
Программная реализация решения динамических задач
Применение метода Синьорини к решению задач
Решение задачи об образовании жесткого эллиптического включения с помощью метода Колосова-Мусхелишвили
3 Результаты расчетов и их анализ
3.1 Двумерные задачи
3.1.1 Одновременное образование двух эллиптических отверстий
Последовательное образование эллиптического и кругового отверстий
Одновременное образование двух круговых отверстий
Образование в бесконечно протяженном теле жесткого кругового включения
Образование в бесконечно протяженном теле жесткого эллиптического включения
Рост эллиптической щели
Одновременное образование (с учетом динамических эффектов) двух круговых отверстий
3.2 Трехмерные задачи
Одновременное образование эллипсоидальной и шаровой полостей
Одновременное образование эллипсоидальных включений с окружающими их оболочками
Образование шарового включения с последующей разгрузкой
Образование шарового включения с последующим образованием внутренних слоев
3.3 Сравнение результатов решения задач
Сравнение аналитических и численных решений
Анализ зависимости решения от размеров конечноэлементной сетки
Сравнение линейных и нелинейных решений
Заключение
Приложение
Задача 1. О квазистатическом образовании отверстия в нагруженном теле с
последующим «мгновенным» снятием внешних нагрузок.
Задача 2. О квазистатическом одновременном образовании двух отверстий в
нагруженном теле с последующим «мгновенным» снятием внешних нагрузок
Задача 3. Нестационарное образование кругового (в момент образования) отверстия
в нагруженном теле.
Задача 4. Нестационарное образование круговых (в момент образования) отверстий
в нагруженном теле.
Задача 5. Последовательное образование двух круговых (в момент своего образования) отверстий в нагруженном теле с нестационарным снятием внешних нагрузок после квазистатического образования первого отверстия. Задача 6. Нестационарное последовательное образование двух круговых (в момент своего образования) отверстий и двух круговых (в момент своего образования) упругих включений в нагруженном теле.
Литература
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена постановке и решению задач об образовании концентраторов напряжений в нелинейно-упругом нагруженном теле при конечных деформациях, использовании полученных результатов для решения ряда модельных задач о развитии концентраторов напряжений различной формы и вида в телах с конечными деформациями и разработке программного обеспечения на базе метода конечных элементов (МКЭ) для решения плоских и пространственных задач.
В работе получено решение новых практически интересных и теоретически важных задач: стационарных и динамических плоских и пространственных задач о неодновременном образовании полостей и включений в предварительно нагруженном теле с большими начальными деформациями. В том числе получено решение задачи о росте эллиптической полости при догрузке напряженного тела.
Свойства материала описываются известными соотношениями для сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих материалов. Учитывается, что возникновение в теле концентратора напряжений приводит (по крайней мере, в окрестности образованной граничной поверхности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации. Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций [41, 42].
Следует отметить, что вклад в развитие как нелинейной теории упругости, так и эксперимента для нее внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В. Д.Бондарь, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, К.Ф.Черных, PJ.Blats, A.E.Green, W.L.Ko, M.A.Moony, F.D.Mumaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe,
W.Zema и многие другие. История развития нелинейной теории упругости достаточно подробно описана, например, в монографии А.И.Лурье «Нелинейная теория упругости» [61]. Подробные исторические обзоры становления линейной теории упругости приведены в классических монографиях А.Лява [62] и Е.Треффтца [96], а также обзоры в книгах С.П.Тимошенко, например [89], ориентированных на инженеров, связанных с конкретными практическими расчетами. Ссылки на вышеперечисленные работы показывают, что решения для задач линейной теории упругости существуют давно, и математический аппарат в этой области хорошо проработан. Начало и бурный рост нелинейной теории упругости пришелся на середину и вторую половину XX века. На сегодняшний день общее число публикаций в данном направлении огромно. Поэтому понятно, что модели и методы решения задач в данной области тоже достаточно подробно проработаны. Однако небольшое число (по сравнению с количеством экспериментов для линейной теории упругости) корректно выполненных работ и обработанных экспериментальных данных по определению механических характеристик для различных групп материалов является одной из преград развития и применения теории моделей, связанных с учетом конечности деформаций.
Внимание к теории конечных деформаций обусловлено применением в современной технике изделий из высокоэластичных материалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [77], а также развитием механики разрушения, связанного с зарождением и ростом микродефектов при нагружении [66, 74]. Положения этой теории применительно к высокоэластичным материалам сформулированы в работах Р.Ривлина [111], М.Муни [109], Л.Трелоара [94, 95], подробно проработаны в монографиях В.В.Новожилова [71, 72], Л.И.Седова [84], А.И.Лурье [61], А.Грина и Дж.Адкинса [1, 17], К.Трусделла [97], Д.И.Кутилина [36]. Многие важные частные задачи рассмотрены в работах [10,27,28,33,117].
Исследование эффектов наложения деформаций является одним из важных направлений теории больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [86, 87] и В.А.Левиным [40, 41, 55, 56, 93]. В работах В.А. Левина рассмотрены также вопросы зарождения и развития дефектов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях. Совместно с Е.М.Морозовым были предложены нелокальные критерии прочности и модели, учитывающие возникновение и развитие зон предразрушения [48, 49]. Совместно с В.В.Лохиным и К.М.Зингерманом были разработаны методы оценки эффективных характеристик пористых материалов при конечных деформациях и их наложении [42, 106, 108]. Задача наложения деформаций для двухконстантного потенциала (с учетом ряда упрощающих допущений) была рассмотрена Л.М. Нечаевым [69]. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [19-23]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено в [13]. Свойствами высокоэластичных материалов занималась школа известного исследователя Г.М.Бартенева [5, 6]. Существенны также работы [11,12].
В теории многократного наложения больших деформаций рассматривается нагружение тел в несколько этапов, когда дискретно изменяются границы и граничные условия, причем деформации, вызванные переходом в новое состояние (конфигурацию), конечны. Такой подход позволяет в рамках статических и квазистатических постановок задачи учесть влияние последовательности, в которой к телу прикладываются внешние воздействия. Под внешним воздействием понимается не только приложение к телу внешних поверхностных или массовых сил, но и изменение связности области, занимаемой телом (т.е. добавление или удаление в процессе нагружения частей тела).
Подчеркнем, что используемый термин «наложение больших деформаций» не следует понимать как математическую суперпозицию деформаций. Это означает, что мы не можем определять параметры напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на него как сложение параметров напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия на него, как в случае малых деформаций. Кроме того, связь между тензором напряжений и соответствующим ему тензором деформаций, входящих в определяющие соотношения, является нелинейной. Представления тензоров деформаций через градиенты векторов перемещений также нелинейные. Решение такой задачи крайне сложно, так как в этом случае необходимо решить систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейными граничными условиями.
Именно поэтому постановка и решение задачи, в которой в процессе нагружения дискретно изменяются граница и граничные условия (задача о поэтапном нагружении тела), достаточно сложны.
Используется следующая механическая модель образования концентраторов напряжений [41]. В начальном состоянии (в начальной конфигурации) в теле отсутствуют напряжения и деформации. Затем под действием внешних сил тело приобретает большие начальные деформации. Тело переходит в первое промежуточное состояние. В этом состоянии в теле намечается некоторый замкнутый контур (будущая граница концентратора напряжений). Часть тела, ограниченная данным контуром, удаляется или заполняется материалом с другими свойствами. Под удалением, например, можно понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела. Действие измененной части тела на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по данному контуру. Это не приводит к изменению напряженно-деформированного состояния в оставшейся части тела.
Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» (без динамических эффектов в случае статических задач) изменяются на большую величину. В результате тело приобретает (теряет) большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней мере, в окрестности вновь образованной граничной поверхности), которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие начальные. Изменяется форма граничной поверхности. Тело переходит во второе промежуточное состояние. Такое образование отверстий может быть продолжено и дальше. Понятно, что предложенная модель образования концентраторов напряжений является упрощенной, т.к. не учитывает способа их образования. Но в ряде случаев применение такой модели представляется целесообразным, например, когда механизм образования концентратора напряжений не известен или очень сложен для описания.
Представленная модель образования концентраторов напряжений может быть применена при исследовании следующих явлений: кавитация (образование полостей) в изделиях из резины [104, 105]; возникновение субмикротрещин при нагружении полимерных материалов [80]; вязкое разрушение - поглощение основной трещиной вторичных трещин, в том числе и возникающих в теле в процессе нагружения, и микропор, раскрывающихся при нагружении; вязкий рост трещины [8], когда микроповреждения моделируются концентраторами напряжений, длина которых намного меньше длины трещины, изменение свойств эластомеров в процессе их нагружения, внедрение нановключений в композитные материалы.
Все вышеописанное обуславливает интерес к задачам теории многократного наложения больших упругих деформаций.
Численное решение рассматриваемых" задач может быть найдено с использованием МКЭ в совокупности с методом Галеркина. Данный метод был предложен в 1915 г. Б.Г. Галёркиным как приближенный метод решения краевых задач. Ранее в 1913г. метод применялся для решения
конкретных задач теории упругости И.Г. Бубновым, в связи с чем именуется также методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942). Применение метода конечных элементов к задачам линейной и нелинейной теории упругости подробно рассмотрено в работах Л. Дж. Сегерлинда [82] и О.Зенкевича [25].
Использование МКЭ позволяет найти численное решение поставленной задачи. При этом исходная система нелинейных дифференциальных уравнений сводится посредством метода Галёркина к системе нелинейных алгебраических, которая затем решается с использованием метода Ньютона.
Приближенное аналитическое решение исследуемой задачи позволяет найти метод Синьорини с использованием средств компьютерной алгебры. Метод Синьорини применительно к механике деформируемого твердого тела рассмотрен первоначально в работах Ф.Стопели и А.Синьорини [112, 113]. Применение метода Синьорини к решению задач нелинейной упругости при конечных деформациях рассмотрено, например, Л.А.Толоконниковым [87, 93], Г.С.Тарасьевым [88], Г.Н.Савиным [81], В.А.Левиным [38]. Отметим, что этим методом решены, например, Л.А.Толоконниковым [18], Г.Н.Савиным [81], Г.С.Тарасьевым [87] некоторые конкретные задачи о концентрации напряжений около отверстий различной формы в нелинейно-упругих телах при конечных деформациях (при отсутствии их наложения). Физически нелинейные задачи при малых деформациях для упругих тел рассмотрены, в частности, И.И.Воровичем [14], И.А.Цурпалом [100]. Применение метода Синьорини к решению задач теории многократного наложения больших деформаций рассмотрено в работах [26,40,41,42,48,49, 51, 69,70, 86].
Использование метода Синьорини и системы компьютерной алгебры позволяет найти приближенное аналитическое решение задачи. При этом решение исходной нелинейной задачи сводится к решению бесконечной последовательности линеаризованных задач. Преимущество такого подхода состоит в том, что плоская задача линеаризованной упругости для
однородного тела с отверстием может быть решена аналитически методом Колосова-Мусхелишвили [34, 35, 68]. При расчетах в данной работе ограничились вычислением первых двух членов последовательности линеаризованных задач.
Недостатком рассмотренных методов является нерешенность (в общем случае) вопроса об их сходимости в случае применения к нелинейным задачам теории наложения больших деформаций. Поэтому очень важным является сравнение результатов, полученных с использованием этих методов, с результатами расчетов иными методами и с известными точными решениями. Точные решения известны для ряда плоских задач нелинейной упругости при больших деформациях [9, .61, 102, 103]. Однако следует отметить, что точные решения могут быть получены либо для областей частного вида при заданных особым образом нагрузках, либо для определяющих соотношений, которые заданы специальным образом, что не всегда пригодно для описания механических свойств реального материала.
Очевидно, что наличие аналитического решения (пусть и приближенного) обладает неоспоримыми преимуществами. Например, в расчетной практике существование приближенных аналитических решений для данного элемента конструкции при данном типе нагружения дает проектировщику возможность в момент числового задания параметров нагружения сразу получить значения параметров напряженно-деформированного состояния элемента конструкции.
Повторим, из-за того, что концентратор напряжений образуется в процессе нагружения, следует учитывать изменение границы и граничных условий. Например, изменение связности занимаемой телом области. Такое изменение приводит к «физическому» наложению дополнительных больших (по крайней мере, в окрестности концентратора) деформаций на уже имеющиеся в теле большие деформации. Для инженера это означает, в частности, необходимость решения системы из нескольких уравнений равновесия для нескольких векторов перемещений. Промышленные
расчетные пакеты (ANSYS, ABAQUS и др.) на базе МКЭ (метода конечных элементов) пока не могут быть использованы для таких расчетов, так как, в частности, не предполагают решения вышеуказанных систем уравнений. Поэтому возникла необходимость в разработке, создании и использовании специализированных программных комплексов, основанных на теории многократного наложения больших деформаций и использующих современные средства решения задач такого класса.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность темы. Развитие техники инициирует создание новых материалов, способных испытывать большие деформации, что в свою очередь требует совершенствовать методы мониторинга, особенно для случая возникновения и развития концентраторов напряжений в процессе эксплуатации элементов конструкций из таких материалов. Учитывая, что концентратор напряжений возникает в теле с конечными деформациями, то его возникновение приводит к перераспределению в теле конечных деформаций, последнее определяет актуальность рассмотрения задач теории многократного наложения больших деформаций.
Основными целями диссертационной работы являются:
математическая формулировка задач о последовательном образовании в нагруженном теле концентраторов напряжений (полостей и включений) различной формы, в том числе формулировка модельных задач о росте дефекта в упругом теле при конечных деформациях;
разработка алгоритма решения плоских и пространственных задач как при статическом, так и при динамическом нагружении;
разработка программного обеспечения для реализации указанного алгоритма на базе МКЭ; а также получение приближенного аналитического решения задачи об образовании эллиптического жесткого включения с использованием системы компьютерной алгебры «Mathematica 5.0».
Научная новизна.
Впервые получены решения пространственных задач об образовании концентраторов напряжений в нагруженном теле при конечных деформациях, плоских и пространственных задач о последовательном образовании слоистых включений, модельных задач о росте концентраторов напряжений в упругом теле. Решения найдены для разных типов нагружения, в том числе и для случая приложения динамической нагрузки. Впервые получены приближенные аналитические решения плоской задачи об эллиптическом в момент образования жестком включении, образующемся в предварительно нагруженном теле при конечных деформациях.
Достоверность результатов базируется на использовании соотношений теории многократного наложения больших деформаций, корректной математической постановке задачи, применении определяющих соотношений, апробированных ранее другими авторами, использовании для решения задач метода конечных элементов, применение которого в конкретных расчетных схемах базируется на использовании апробированных методов оценки истинности получаемого решения (анализ сходимости при измельчении сетки, влияние начальных и граничных условий на получаемое решение), метода Синьорини и средств компьютерной алгебры (пакет «Mathematica 5.0»), Полученные в работе результаты согласуются с результатами решения ряда задач другими методами.
Практическая значимость заключается в постановке плоских и пространственных задач об образовании и развитии концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах, а также программной реализации алгоритма решения указанных задач. Разработанный программный комплекс использовался при выполнении работ по гранту РФФИ (проект № 06-01-00682).
На защиту выносятся:
Постановка и алгоритм решения плоских и пространственных статических и динамических задач о последовательном образовании концентраторов напряжений (полостей и включений, в том числе слоистых) в
нагруженных телах из сжимаемого и несжимаемого материала при конечных деформациях. Постановка и алгоритм решения модельных задач о развитии концентраторов напряжений в нагруженном теле.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.
В первой главе кратко изложена теория наложения больших деформаций в упругих телах, приведены кинематические соотношения этой теории, рассмотрены определяющие соотношения нелинейной упругости, используемые далее в работе при решении задачи. Записаны уравнения равновесия и граничные условия. Далее сформулированы математические постановки граничных задач теории многократного наложения больших деформаций об образовании концентраторов напряжений в предварительно нагруженных телах. Затем обсуждаются модели и критерии прочности, применяемые при рассмотрении задач об образовании и росте концентраторов напряжений в нагруженных телах. После чего вводится понятие зоны предразрушения, возникающей вблизи концентратора напряжений при выполнении некоторого критерия прочности, а также рассмотрены различные способы моделирования поврежденностей.
Во второй главе рассматривается применение метода конечных элементов для решения задач теории наложения больших деформаций. В качестве примера подробно изложены постановка (механическая и математическая) и решение плоской задачи теории наложения больших деформаций - задачи о круговой в момент образования полости в предварительно нагруженном бесконечно протяженном теле из нелинейно-упругого материала. Приведен общий алгоритм решения задач о последовательном образовании концентраторов напряжений в нагруженных телах. Рассмотрены постановка динамической задачи теории наложения и ее решение с использованием МКЭ. Рассматривается применение метода
Синьорини к решению задачи об образовании жесткого эллиптического включения в нагруженном теле. Приводится метод решения линеаризованной краевой задачи для однородной системы уравнений с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [42].
В третьей главе рассматриваются результаты решения задач, постановка и методы решения которых приведены во второй главе. Приводятся примеры решения двумерных статических и динамических задач, также рассматриваются трехмерные задачи. Решения даны для различных типов материалов: сжимаемых и несжимаемых. Приведено распределение напряжений, отнесенных к параметру материала, а также контуры полостей до и после деформирования тела при различных видах нагружения. Из представленных графиков виден качественный результат учета нелинейных эффектов.
Далее приводится сравнение полученных результатов решения задач, найденных численным и полуаналитическим методами. Рассматривается зависимость получаемого решения от-.размеров конечноэлементной сетки. Приводится сравнение с аналогичными линейными задачами, при этом производится оценка учета как физической, так и геометрической нелинейностей. В диссертации имеется приложение, в котором приведены примеры решенных задач, не вошедших в основной текст работы.
