Введение к работе
Актуальность.
Диссертация посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния в телах конечных размеров при образовании в них отверстий. При этом учитываются нелинейные эффекты, связанные как с геометрической нелинейностью, проявляющейся при больших деформациях, так и с физической нелинейностью, источником которой являются свойства материала. Используется физическая модель образования полости, разработанная Тарасьевым Г.С.
Вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли многие отечественные и зарубежные специалисты, в частности, Бартенев Г.М., Бидерман В.Л., Бондарь В.Д., Блох И.И., Ворович И.И., Гольденблат И.И., Зволинский Н.В., Крутков Ю.А., Савин Г.Н., Толоконников Л.А., Хазанович Т.Н., Цурпал И.А., Черных К.Ф., Blats P.J., Green A.E., Moony M.A., Murnaghan F.D., Rivlin R.S., Treloar L.R.G., Truesdell C., Zerna W. и многие другие.
Многие важные общие и частные прикладные задачи рассмотрены в работах Новожилова В.В., Седова Л.И., Лурье А.И., Колосовa Г.В, Мусхелишвили Н.И., Грина А. и Адкинса Дж., Кутилина Л.И. и др.
Применение аналитических методов к решению плоских задач о концентрации напряжений в упругих и вязкоупругих телах в нелинейной постановке рассмотрено Боллом Дж., Бондарем В.Д., Громовым В.Г., Гузем А.Н., Зубовым Л.М., Койфманом Ю.И., Космодамианским А.С., Морозовым Н.Ф., Райсом Дж., Савиным Г.Н., Тарасьевым Г.С., Угодчиковым А.Г., Хорганом К.О., Цурпалом И.А., Черепановым Г.П.
Одним из направлений нелинейной теории упругости является развитие нелинейной теории наложения больших деформаций, значительный вклад в которое внесла школа механики, основанная Толоконниковым Л.А. К этой школе относятся, например, работы Тарасьева Г.С., Матченко Н.М., Маркина А.А., Левина В.А. и их учеников (Зингермана К.М и др.).
С практической точки зрения модели и методы нелинейной теории упругости и вязкоупругости в случае больших деформаций наиболее важны для прочностных расчетов изделий из резины и резиноподобных (высокоэластичных) материалов. Численные методы таких расчетов рассмотрены в работах Лавендела Э.Э., Дымникова С.И., Бухина Б.Л. и других авторов.
Большое значение в нелинейной упругости имеет выбор определяющих соотношений, корректно описывающих свойства материалов. В работе используются апробированные определяющие соотношения, предложенные различными исследователями (в том числе Мурнаганом Ф.Д., Муни М.А., Черных К.Ф. и др.). Отметим, что для описания механического поведения резин также применяется ряд более сложных упругих потенциалов. Соответствующие вопросы рассмотрены в работах Гамлицкого Ю.А.
Постановки и методы решения задач вязкоупругости рассмотрены в работах Арутюняна Н.Х., Зубчанинова В.Г., Ильюшина А.А., Матвеенко В.П., Победри Б.Е. и др. В работе при решении задач вязкоупругости используется определяющее соотношение, предложенное Адамовым А.А.
Актуальность темы работы определяется широким применением высокоэластичных материалов в современной технике, необходимостью прогнозировать напряженно-деформированное состояние (НДС) высокоэластичных элементов конструкций, в том числе и в ситуациях, связанных с образованием полостей и пустот. Примером таких конструкций являются изделия сложной формы из наполненных эластомеров, подвергающиеся нагрузкам высокой интенсивности: резиновые и резинометаллические амортизаторы, шины и др.
Для исследования напряженно-деформированного состояния тел с отверстиями можно использовать различные методы, как численные (например, МКЭ), так и аналитические. Недостатком численных методов является то, что их применение требует значительных ресурсов ЭВМ. Кроме того, в существующих «коммерческих» конечно-элементных пакетах (ANSYS, ABAQUS и др.) не предусмотрена возможность задавать граничные условия на той части границы тела, которая возникает при образовании отверстий. Возможен и другой подход, основанный на применении приближенных аналитических методов и проблемно-ориентированной системы аналитических вычислений на ЭВМ, предложенный Зингерманом К.М. Этот подход позволяет существенно сократить затраты времени на решение задач. Ранее он был применен только для бесконечно протяженных тел.
Для описания деформации тел с возникающими в них отверстиями необходимо учесть, что тела имеют конечные размеры. Однако приближенное аналитическое решение плоских задач данного класса для тел конечных размеров ранее не было получено.
В связи с этим целью диссертации является исследование напряженно-деформированного состояния в нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров для случая больших деформаций при образовании в этих телах отверстий.
Для достижения цели исследования в работе поставлена актуальная научная задача решения плоских задач об образовании отверстий в предварительно нагруженных нелинейно-упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при больших деформациях.
Частными задачами исследования являются:
- развитие приближенного численно-аналитического метода, разработанного ранее для бесконечно протяженных тел, для расчета напряженно-деформированного состояния в предварительно нагруженных упругих и вязкоупругих телах конечных размеров при образовании в этих телах отверстий;
- разработка алгоритмов и программного комплекса, реализующих данный метод для тел круговой формы с одним или несколькими отверстиями произвольной формы;
- проведение тестовых расчетов для оценки погрешности результатов, полученных с помощью программного комплекса, путем сравнения их с имеющимися точными решениями;
- проведение серии вычислительных экспериментов с целью исследования зависимости напряженно-деформированного состояния в теле от параметров модели: величины приложенного давления на внешнем контуре тела и на контурах отверстий, материала тела, формы контуров отверстий, их взаимного расположения и порядка образования (для вязкоупругих тел – и от времени образования) отверстий.
Методы исследования: метод последовательных приближений, итерационный метод Шварца, метод Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Коши, преобразование Лапласа.
На защиту выносятся:
1. Приближенный численно-аналитический метод для решения плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров из нелинейно-упругих и вязкоупругих материалов при больших деформациях.
2. Проблемно-ориентированный программный комплекс «Наложение», предназначенный для решения плоских задач нелинейной упругости и вязкоупругости для тел с круговой внешней границей, в которых образуется одно или несколько отверстий.
3. Результаты приближенного решения плоских задач для тел с круговой внешней границей, полученные с помощью данного программного комплекса.
Теоретическая значимость работы заключается в дальнейшем развитии приближенных аналитических методов решения плоских задач нелинейной теории упругости (в частности, задач теории многократного наложения больших упругих и вязкоупругих деформаций).
Практическая значимость. Разработан программный комплекс, реализующий математический метод и алгоритм. Программный комплекс разработан с использованием проблемно-ориентированной системы численно-аналитических вычислений на ЭВМ. Этот комплекс позволяет приближенно решать задачи для тел из нелинейно-упругих сжимаемых и несжимаемых материалов (Мурнагана, Муни, Черных) и несжимаемого вязкоупругого материала в случаях плоской деформации и обобщеного плоско-напряженного состояния. Предусмотрена возможность расчета как для одновременного, так и для последовательного образования отверстий. Форма контура отверстия определяется посредством задания функции, осуществляющей конформное отображение этого контура на единичную окружность с помощью полиномов. С помощью программного комплекса можно решать практические задачи по выполнению прочностных расчетов и анализу возможности разрушения элементов конструкций.
Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность базируется на использовании при постановке задачи уравнений и граничных условий, корректно записанных для случая больших деформаций и использованных ранее другими авторами, и апробированных определяющих соотношений, реалистично описывающих механические свойства материалов.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
сравнением результатов с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из материала Бартенева–Хазановича. Максимальная погрешность результатов, полученных приближенным методом, составила менее 4 % при внешней нагрузке 0.5, отношении внешнего и внутреннего радиусов цилиндра 1:10;
проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения на каждом шаге итерационного процесса;
сравнением результатов для тела конечных размеров, содержащего малые по сравнению с размерами тела полости различной формы, расположенные вблизи центра тела, с результатами расчетов для бесконечно протяженных тел с полостями такой же формы, полученными ранее другими авторами [54]. Для рассмотренных в диссертации случаев результаты различаются не более чем на 1.5%.
Научная новизна полученных результатов:
1. Впервые найдены приближенные численно-аналитические решения плоских задач об образовании концентраторов напряжений в теле из нелинейно-упругого (сжимаемого и несжимаемого), а также вязкоупругого материала для тел конечных размеров с круговой внешней границей при больших деформациях.
2. Развит приближенный численно-аналитический метод для решения указанного класса задач для тел конечных размеров. Метод основан на модификации математических методов, применяемых ранее для решения плоской задачи для бесконечно протяженных тел (метода последовательных приближений и итерационного метода Шварца) в связи с необходимостью учета граничных условий на внешнем контуре. Расчетные формулы и алгоритмы для тел конечных размеров отличаются от соответствующих формул и алгоритмов для бесконечно протяженных тел. Это обусловило изменение метода решения линеаризованной задачи на тех шагах метода Шварца, на которых требуется удовлетворить граничным условиям на внешнем контуре.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XVI и XVIII симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2005 и 2007 г. (г. Москва); на VI Международном научном симпозиуме «Современные проблемы пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» в 2006 г. (г. Тверь); на седьмом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» в 2007 г. (г. Казань).
Результаты, полученные в диссертации, частично использованы при выполнении работ по гранту РФФИ (№ 06-01-00682).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 10 публикациях, из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 164 страницах машинописного текста, содержит 96 рисунков, список использованных источников включает 118 наименований.
