Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные положения теории процессов конечного деформирования. вариант определяющих соотношений стадии разупрочнения. определение слоя взаимодействия. его напряженное и деформированное состояние 20
1.1. Меры деформаций и напряжений 20
1.2. Уравнения движения, законы сохранения, основные положения термомеханики 32
1.3. Вариант определяющих соотношений деформирования материала вплоть до разрушения 36
1.4. Определение слоя взаимодействия. Его напряженное и деформированное состояние 41
ГЛАВА 2. Термомеханика процесса стационарного направленного разделения 52
2.1. Кинематика процесса стационарного направленного разделения 52
2.2. Термомеханика стационарного разделения 54
2.3. Оценка толщины слоя взаимодействия. Сопоставление полученных результатов с известными критериями 73
ГЛАВА 3. Постановка частных задач без учета пластических деформаций вне слоя взаимодействия 79
3.1. Задача о разделении двухконсольной балки 79
3.1.1. Анализ стадии докритического деформирования 84
3.1.2. Учет стадии разупрочнения 93
3.1.3 Идеальная упругопластическая модель поведения слоя взаимодействия при разделении ДКБ-образца 98
3.1.4. Определение толщины слоя взаимодействия по испытаниям на ДКБ-образцах 105
3.2. Постановка задачи разделения плоскости 107
3.2.1. Численное решение задачи разделения плоскости..114
3.2.2. Результаты решения задачи разделения плоскости. 123
3.2.3. Разделение плоскости при идеально упругопластическом поведении слоя 126
ГЛАВА 4. Постановка плоских задач для начальной стадии симметричного разделения 135
4.1. Общая постановка задачи 135
4.2. Описание начальной стадии закритического состояния. 144
4.3. Пространственно-временная дискретизация модели 156
4.4. Конечноэлементный алгоритм анализа послекритического состояния 164
4.5. Численный анализ симметричного разделения 169
4.5.1. Анализ стадии упругого деформирования 171
4.5.2. Анализ упругопластического деформирования 177
Заключение 187
Список литературы 190
- Вариант определяющих соотношений деформирования материала вплоть до разрушения
- Оценка толщины слоя взаимодействия. Сопоставление полученных результатов с известными критериями
- Идеальная упругопластическая модель поведения слоя взаимодействия при разделении ДКБ-образца
- Конечноэлементный алгоритм анализа послекритического состояния
Введение к работе
Внешнее силовое воздействие на материальное тело может приводить не только к его деформации. В ряде случаев, наряду с имеющимися материальными поверхностями, в деформируемом теле могут появляться новые. При образовании поверхностей, в зависимости от их отклика на изменение внешних силовых факторов происходит два основных вида механического разделения - упорядоченное и неупорядоченное.
Упорядоченным считаем разделение, приводящее к образованию поверхностей заданной формы, например, получение разреза заданной длины с определенной степенью точности. Другим примером является вырубка или вырезание из листового материала тела заданной формы. Здесь может быть рассмотрен и широкий класс технологических процессов, связанный с лезвийной обработкой материала.
В результате неупорядоченного разделения образуются поверхности, размер и форма которых будут случайными. Типичным примером разделения такого типа является разрушение, когда из упорядоченной структуры получается менее упорядоченная.
Данная классификация позволяет выделить материалы, формы тел, а также виды силовых воздействий, позволяющие осуществить упорядоченное разрушение. Влияние свойств материала проявляется, например, при вырубке деталей заданной формы из листов малоуглеродистой стали и стекла. Очевидно, что реализация данной операции на стекле приведет к неупорядоченному разделению. Как правило, силовое воздействие с целью упорядоченного разделения должно быть локализовано в окрестности поверхности, которая должна быть получена. В
противном случае значительная часть тела может получить остаточные деформации и отклониться от заданной формы. Например, при испытаниях на растяжение нельзя точно предсказать место разделения и форму образующихся поверхностей. Однако и при упорядоченном разделении отделяющаяся часть может необратимо изменять форму. Ярким примером этого является форма стружки, получаемая при лезвийной обработке материалов. Отметим, что упорядоченное разделение происходит, как правило, в устойчивых режимах, когда малым приращениям внешних воздействий соответствует малое приращение новых поверхностей в заданном направлении, а при фиксировании величины и положений внешних нагрузок процесс прекращается.
Таким образом, при описании процесса разделения, с одной стороны, необходимо корректно описать изменение формы без ограничения на деформации и свойства материала, с другой же - учесть возникновение новых материальных поверхностей. Поэтому рассматриваемая тематика, связанная с построением достаточно общей модели управляемого разделения является актуальной.
Процесс конечного формоизменения достаточно хорошо изучен [27, 40, 47,87, 55, 88, 92, 94-96, 100, 114, 121, 134, 140-142, 152, 172, 179, 180]. Теория процессов, разработанная А.А. Ильюшиным [57-60] и его учениками [23-26, 28-32, 132, 133, 147, 149], представляет собой методологическую основу разработки новых определяющих соотношений, построения экспериментальных программ их конкретизации, постановки и решения краевых задач механики деформируемого твердого тела.
В настоящее время, ввиду отсутствия единой теории процесса разрушения, закономерности этого явления принято рассматривать на разных масштабных уровнях. Квантовая механика разрушения, основанная на учете атомной структуры материала, определяет макроскопические критерии через атомные константы [151, 153]. Однако наибольшее развитие получили модели, описывающие разрушение в рамках как механики сплошной среды без особых точек, когда наступление предельного состояния относят к окрестности точки континуума, так и линейной и нелинейной механики разрушения для тел с трещиноподобными дефектами.
Условия предельного состояния материалов для тел без трещин можно найти в работах [11, 20, 49, 64, 69, 89, 103, 154, 165]. Подчеркнем, что формулировка данных условий определяет критическое состояние в окрестности точки и не рассматривает дальнейшую эволюцию разрушения, в частности, процесс формирования новых материальных поверхностей.
В механике разрушения описать поведение среды представляется возможным до вершины трещины (так называемой особой точки). Дальнейшее решение строится на той или иной модели разрушения, включающей в себя модель трещины и критерий разрушения.
Условие начала разделения тела с исходной трещиной впервые было получено Гриффитсом в работах [173, 174]. Был предложен так называемый энергетический подход к проблеме разрушения. Предположив изначальное существование трещин в хрупких телах, и используя асимптотические формулы Вейг-харда [198] для перемещений берегов трещины он показал, что разрушение начинается в момент, когда высвобождающаяся
8 удельная (отнесенная к приращению площади образующихся поверхностей) свободная энергия станет равной удельной поверхностной энергии. В работах Ирвина и Орована [175-176, 188] условием начала разделения было предложено считать достижение коэффициентом интенсивности напряжений в асимптотической формуле линейной теории упругости критического значения (так называемый силовой критерий). Данные подходы являются эквивалентными и формируют критерии хрупкого разрушения. Для описания оценки критического состояния трещины наряду с уравнениями состояния линейной теории упругости требуется всего лишь один параметр - коэффициент интенсивности напряжений. Примечательно, что критерий Ирвина используется и для упругопластических материалов в предположении, что область пластического деформирования не влияет на характер решения в окрестности особой точки, определяемого в рамках линейной теории упругости. Однако работа разрушения в этом случае ассоциируется не с поверхностной энергией, а с энергией диссипации в концевой зоне. Для того чтобы подчеркнуть упругопластический характер разрушения, предельное значение коэффициента интенсивности напряжений получило название вязкости разрушения. Расчеты коэффициентов интенсивности для различных типов начальных трещин и внешних сил и последующая экспериментальная реализация этих задач позволили определить условия начала разрушения различных тел при плоском напряженном или деформированном состояниях [6, 21, 67, 130, 125, 131]. Дальнейшее развитие механика разрушения получила в работах Ф. Макклинтока [183], В.В. Новожилова [115-117], Д.Д. Ивлева [54, 55], Л.В. Ершова [160], Ю.Н. Работнова
9 [135] , А.Ю. Ишлинского [63], Н.А. Махутова [101], Н.Ф. Морозова [110-112], Е.М. Морозова [107-109, 186], В.И. Астафьева [7-Ю, 166] В.З. Партона [126-128], A.M. Линькова [85, 129], Р.В. Гольдштейна [37, 38, 171], Ю.Г. Матвиенко [98, 99, 182, 183], Болотина В.В. [17-19, 168] и ряда других отечественных и зарубежных исследователей [34, 45, 48, 49, 65, 66, 70, 82, 83, 97, 102, 104, 105, 118, 148, 153, 169, 187, 188, 195-198, 200-202]. Ограниченность критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического состояний аппарата линейной теории упругости и необходимостью существования дефектов типа математического разреза. Более общие интегральные критерии разделения, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Раиса [136, 192-194], Г.П. Черепанова [155, 156, 158, 159].
Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К.Ф. Черныха [161-164]. Использование интегральных критериев для упругопластических материалов ограничено, как и применение критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки. Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком [84, 122-124] и несколько позже Д.С. Дагдейлом [170]. Существенным отличием данного подхода была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоны. Это позволило использовать деформационный критерий начала процесса образования новых поверхностей. Для определения критического состояние в данных работах требовалось два параметра (по-
10 стоянных материала) - критическое раскрытие трещины и притягивающие противоположные берега напряжения. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С.А. Христиановичем, Г.И. Баренблатом, [12-15, 167] В.М. Битовым и Р.Л. Салгани-ком [46]. Модель развития трещины с учетом сил сцепления в упругопластических телах была предложена И.М. Лавитом [73-79].
Следует отметить работы A.M. Линькова [31, 32], А.А. Лебедева и Н.Г. Чаусова [80, 81], Л.В. Никитина [114], Е.И. Рыжака [137], В.А. Ибрагимова [61] и В.Д.Клюшникова [62], В.В. Стружанова [144-146] проводивших исследования разрушения при рассмотрении полной диаграммы деформирования и учете свойств материала на участке разупрочнения.
Анализ перечисленных выше подходов к описанию процессов разрушения с точки зрения теории трещин позволяет выделить следующие характерные особенности: 1. Существующие теории основаны на предположении о наличии в теле начального математического разреза (модель трещины), поэтому критерии начала его продвижения связаны с решением задачи, как правило, в рамках теории линейной упругости. В частности фигурируют такие параметры как длина трещины, коэффициент при асимптотике сингулярного решения, расстояние между берегами разреза. Еще раз подчеркнем, что все они "привязаны" к сингулярному решению. Это решение дает физически нереализуемые сколь угодно большие значения деформаций и напряжений в концевых точках трещины.
Исключение сингулярности с помощью введения дополнительных нагрузок, отражающих взаимодействие берегов у края трещин, требует формулировки законов этих взаимодействий, а также их экспериментального и физического обоснования.
Как правило, при формулировке критерия рассматривается состояние предельного равновесия, оставляя без внимания докритический рост трещины.
Известные теории вносят критерии типа плотности поверхностной энергии, не определяя ее в рамках феноменологического подхода, либо используя эквивалентное понятие вязкости разрушения, которое является следствием асимптотики распределения напряжений, получаемой из упругой задачи. Более приемлемы деформационные критерии, однако, применение их в рамках подхода Гриффитса невозможно, так как напряжения и деформации бесконечны в вершине математического разреза. Попытки погасить сингулярность путем введения дополнительных нагрузок, распределенных по берегам трещины и локализованных у ее края позволяют использовать в качестве критерия величину перемещения. Отметим, что речь идет не о деформации, а о размерной величине, поэтому универсальность таких критериев проблематична. Длина пластической области в подходе Леонова, Панасюка, Дагдейла определяется из условия обращения в ноль сингулярной составляющей чисто упругого решения и не связана с условием перехода материала в пластическое состояние. Кроме того, связь между вязкостью разрушения такова, что при отсутствии притяжения между берегами критическая вязкость обра-
12 щается в ноль, что не соответствует силовому критерию Ирвина. 5. Остается открытым вопрос об образовании (зарождении) трещины в континууме без концевых точек. Теории зарождения и роста трещин требует принятия исходных допущений. Например, гипотеза Дагдейла о том, что пластическая зона, инициируемая трещиной, может рассматриваться как узкая полоса на ее продолжении. Подобные гипотезы, подменяющие собой решение краевых задач не должны служить основанием теории. Более естественным выглядят подходы, основанные на представлениях и методах механики деформируемого твердого тела. Сформулируем основные требования, которым должна удовлетворять модель разделения не требующая наличия начального математического разреза:
Сколь угодно малые величины внешних нагрузок должны приводить к малым напряжениям и деформациям во всей рассматриваемой области. То есть, модель должна быть асимптотически обратимой (упругой). Отметим, что при этом в начальном состоянии внутренние напряжения считаются отсутствующими.
Свойства материала должны описываться универсальными, экспериментально конкретизируемыми соотношениями, определяющими связь между тензорами деформаций и напряжений как на стадии устойчивого деформирования, сопровождающегося увеличением сопротивления (упрочнением), так и на стадии разупрочнения, когда с ростом деформаций сопротивление уменьшается.
13 3. Необходимо сформулировать инвариантные критерии перехода к стадиям разупрочнения и разделения в рамках единого варианта определяющих соотношений. Таким образом, основная цель данной работы - построить и исследовать универсальные модели процесса разделения, описать их на феноменологическом уровне в рамках классических представлений механики сплошной среды, позволяющей, исходя из универсальных определяющих соотношений, рассмотреть все стадии процесса, начиная со стадии упругого во всей области деформирования и заканчивая началом образования новых поверхностей. На основе такой модели поставить и решить задачи о деформировании вплоть до начала разделения материала вдоль заданного направления.
В первой главе диссертации излагаются общие сведения из теории деформаций и напряжений. Предлагается математическая модель, описывающая поведение материала на стадиях как устойчивого (в смысле Драккера) так и неустойчивого деформирования. Критерием перехода материала от устойчивого деформирования к неустойчивому является достижение инвариантной характеристикой - главной максимальной растягивающей деформацией - нижнего критического значения Гк.
Дальнейшее увеличение деформации приводит к ослаблению связей внутри данного материального объема и к падению напряжения в нем (разупрочнению). Поведение материала на этой стадии описывается линейными соотношениями типа гу-ковских. Моменту разделения соответствует нулевое напряжение, а максимальная деформация растяжения принимает верхнее критическое значение Гт. Необходимые для конкретизации определяющих соотношений константы находятся из пол-
14 ных диаграмм деформирования. На основании выводов работы [157] о возможности существования стадии разупрочнения только в узких полосах постулируется существование материального слоя в направлении разделения начальной толщины Sq, образуемого материалом, который перейдет в стадию разупрочнения. Распределение напряжений в зоне разупрочнения этого слоя считается однородным по толщине. Вне слоя взаимодействия материал является устойчивым по Драк-керу и может иметь развитую область диссипации, хотя при определенных внешних воздействиях пластическая деформация будет локализована в границах данного слоя, что, по существу, приводит к гипотезе Дагдейла. В данной главе рассматривается кинематика слоя и его напряженное состояние.
Во второй главе в рамках концепции слоя взаимодействия рассматривается термомеханика процесса стационарного направленного разделения, когда равномерное движение внешней нагрузки приводит к стационарному образованию новых материальных поверхностей. Даются основные термомеханические соотношения. Исходя из геометрической характеристики слоя, работы на стадии разупрочнения и термомеханических характеристик материала - критического значения удельной свободной энергии и удельной диссипации стадии разупрочнения получено феноменологическое определение поверхностной энергии.
Рассматривается постановка задачи направленного разделения с учетом зон необратимого деформирования вне слоя взаимодействия. В частности, выделяются области активного упругопластического деформирования, в которых происходит рост диссипации: и>>0и свободной энергии: \//>0 (если сво-
15 бодная энергия и объем материала не изменяются, то деформирование называем идеально пластическим), и области пассивного упругопластического деформирования (разгрузки) где свободная энергия уменьшается: \f/<0, а диссипация отсутствует: w = 0. Найдена инвариантная характеристика процесса
стационарного разделения типа .А')-интеграла, связывающая энергию диссипации в слое и за его пределами, толщину слоя, работу на стадии разупрочнения и критическое значение удельной свободной энергии. В геометрически нелинейной постановке определена работа напряжений стадии разупрочнения через механические характеристики материала Гк,Гт, напряжение Sk, соответствующее деформации Гк, и модуль ниспадающей ветви Ен.
С учетом отсутствия диссипации вне слоя взаимодействия и различных моделей поведения материала (упругий, несжимаемый упругопластичный) из найденного значения ./(')-интеграла получены известные критерии разрушения.
На основании оценки поверхностной энергии через межатомное расстояние и модуль упругости дана количественная оценка толщины слоя.
В третьей главе даны постановки и решения частных задач направленного разделения в линейно геометрическом приближении.
Рассмотрена задача о разделении двухконсольной балки (ДКБ-образец) с физическим разрезом равным толщине слоя взаимодействия. Решение строится в предположении, что материал каждой консоли вне слоя взаимодействия описывается соотношениями теории изгиба Кирхгоффа - Лява. Основными неизвестными являются: нижнее Рк (определяющее начало ра-
зупрочнения) и верхнее Рт (соответствующее образованию новых поверхностей) критические значения внешнего усилия; длина области разупрочнения ст в момент начала разделения;
эпюры напряжений S!(x2)b слое, отражающие взаимодействие между берегами слоя в критическом состоянии и в момент начала образования новых поверхностей. В силу симметрии рассматривается только верхняя консоль, а действие слоя взаимодействия заменяется искомой нагрузкой. В результате решения построены графики распределения нагрузки в слое взаимодействия для случаев деформации ек и єт материального волокна, примыкающего к вершине разреза, а также найдены соответствующие этим состояниям нижнее Ріс и верхнее Рт критические усилия. Показано, что величина Рт незначительно отличается от значения Рк в широком диапазоне толщины слоя. Проведено исследование влияния параметров материала и на-гружения на максимальную длину области разупрочнения.
При моделировании эффекта разупрочнения вертикальной ветвью была рассмотрена задача разделения ДКБ-образца при идеально упругопластическом поведении материала слоя взаимодействия. Определена область пластического деформирования в слое, ее зависимость от геометрических параметров образца и приложения внешней нагрузки.
Получена оценка толщины слоя взаимодействия через механические характеристики материала, а также определена система уравнений, позволяющая из опытов на разрушение с ДКБ-образцами по значению критической нагрузки, соответствующей началу страгивания трещины, определить толщину слоя взаимодействия.
17 С позиции слоя взаимодействия рассмотрена задача разделения плоскости сосредоточенной симметричной нагрузкой. Вне слоя материал считался линейно упругим. С использованием решения Фламана и принципа суперпозиции получена система граничных интегральных уравнений, описывающая процесс разделения. Задача решалась методом граничных элементов. В результате были найдены зависимости влияния эффекта разупрочнения на величину расклинивающего усилия, а также напряженно-деформированное состояние в слое взаимодействия. Показано, что для решения практических задач стадией разупрочнения можно пренебрегать, считая ниспадающую ветвь вертикальной.
Рассмотрена задача в рамках модели идеального упруго-пластического материала в слое взаимодействия без учета стадии разупрочнения. Исследовалось влияние толщины слоя и длины площадки текучести на критическое усилие и соответствующую ему длину пластической зоны слоя взаимодействия. Графики распределения нагрузки в слое для диаграмм с разными площадками текучести показывают, что в материале с большей площадкой текучести напряжения за пределами зоны пластичности падают быстрее. В результате исследования задачи о разделении плоского слоя получена зависимость приращения длины разреза от приращения внешнего усилия. Показано, что в хрупких материалах труднее получить разрез заданной длины, так как малому изменению внешней нагрузки соответствует большее продвижение разреза, чем в пластичных материалах.
Так как в задачах рассматриваемых в третьей главе материал вне слоя взаимодействия полагается упругим, то полага-
18 ем, что полученное в начальный момент разделения распределение напряжений и деформаций сохраняется и в процессе перехода внешней нагрузки к равномерному движению по берегам разреза.
В четвертой главе рассматривается постановка задач начальной стадии симметричного направленного квазистационарного разделения. Постановка задачи включает в себя следующие этапы:
Определение характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) тела и параметров внешнего воздействия, соответствующих обратимому (упругому) деформированию.
Определение характеристик НДС тела при последующем на-гружении, если в упругой области не достигнут критерий разделения - максимальное значение главной растягивающей деформации меньше критического значения.
Определение параметров внешнего нагружения и НДС тела соответствующих моменту достижения главной деформацией критического значения.
Указание направлений распространения разделения. Отметим, что данные направления могут не совпадать с направлением оси симметрии.
Установление условий, необходимых для локализации разделения вдоль оси симметрии. Если направление начального разделения не совпадает с осью симметрии, то необходимо изменить начальную геометрию и характер внешнего нагружения, чтобы разделение происходило в требуемом направлении.
Процесс конечного формоизменения описывается при помощи математической модели, в основу которой положено
19 условие равновесного протекания процесса в виде основного вариационного соотношения. Рассмотрено начало процесса разделения после достижения в некоторой точке оси симметрии критического значения деформации. На основе концепции слоя взаимодействия определено выражение для начальной скорости разделения материала в момент достижения параметром нагружения критического значения.
При помощи метода конечного элемента решен рад упру-гопластических задач. Исследована форма области диссипации при плоском напряженном и деформированном состоянии. Рассмотрено влияние характеристики материала, геометрии образца и приложения внешней нагрузки на возможность разделения вдоль оси симметрии хрупких и упругопластических материалов.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.
Вариант определяющих соотношений деформирования материала вплоть до разрушения
В первой главе диссертации излагаются общие сведения из теории деформаций и напряжений. Предлагается математическая модель, описывающая поведение материала на стадиях как устойчивого (в смысле Драккера) так и неустойчивого деформирования. Критерием перехода материала от устойчивого деформирования к неустойчивому является достижение инвариантной характеристикой - главной максимальной растягивающей деформацией - нижнего критического значения Гк.
Дальнейшее увеличение деформации приводит к ослаблению связей внутри данного материального объема и к падению напряжения в нем (разупрочнению). Поведение материала на этой стадии описывается линейными соотношениями типа гу-ковских. Моменту разделения соответствует нулевое напряжение, а максимальная деформация растяжения принимает верхнее критическое значение Гт. Необходимые для конкретизации определяющих соотношений константы находятся из полных диаграмм деформирования. На основании выводов работы [157] о возможности существования стадии разупрочнения только в узких полосах постулируется существование материального слоя в направлении разделения начальной толщины SQ, образуемого материалом, который перейдет в стадию разупрочнения. Распределение напряжений в зоне разупрочнения этого слоя считается однородным по толщине. Вне слоя взаимодействия материал является устойчивым по Драк-керу и может иметь развитую область диссипации, хотя при определенных внешних воздействиях пластическая деформация будет локализована в границах данного слоя, что, по существу, приводит к гипотезе Дагдейла. В данной главе рассматривается кинематика слоя и его напряженное состояние.
Во второй главе в рамках концепции слоя взаимодействия рассматривается термомеханика процесса стационарного направленного разделения, когда равномерное движение внешней нагрузки приводит к стационарному образованию новых материальных поверхностей. Даются основные термомеханические соотношения. Исходя из геометрической характеристики слоя, работы на стадии разупрочнения и термомеханических характеристик материала - критического значения удельной свободной энергии и удельной диссипации стадии разупрочнения получено феноменологическое определение поверхностной энергии.
Рассматривается постановка задачи направленного разделения с учетом зон необратимого деформирования вне слоя взаимодействия. В частности, выделяются области активного упругопластического деформирования, в которых происходит рост диссипации: и 0и свободной энергии: \// 0 (если свободная энергия и объем материала не изменяются, то деформирование называем идеально пластическим), и области пассивного упругопластического деформирования (разгрузки) где свободная энергия уменьшается: \f/ 0, а диссипация отсутствует: w = 0. Найдена инвариантная характеристика процесса стационарного разделения типа .А )-интеграла, связывающая энергию диссипации в слое и за его пределами, толщину слоя, работу на стадии разупрочнения и критическое значение удельной свободной энергии. В геометрически нелинейной постановке определена работа напряжений стадии разупрочнения через механические характеристики материала Гк,Гт, напряжение Sk, соответствующее деформации Гк, и модуль ниспадающей ветви Ен. С учетом отсутствия диссипации вне слоя взаимодействия и различных моделей поведения материала (упругий, несжимаемый упругопластичный) из найденного значения ./( )-интеграла получены известные критерии разрушения. На основании оценки поверхностной энергии через межатомное расстояние и модуль упругости дана количественная оценка толщины слоя. В третьей главе даны постановки и решения частных задач направленного разделения в линейно геометрическом приближении. Рассмотрена задача о разделении двухконсольной балки (ДКБ-образец) с физическим разрезом равным толщине слоя взаимодействия. Решение строится в предположении, что материал каждой консоли вне слоя взаимодействия описывается соотношениями теории изгиба Кирхгоффа - Лява. Основными неизвестными являются: нижнее Рк (определяющее начало разупрочнения) и верхнее Рт (соответствующее образованию новых поверхностей) критические значения внешнего усилия; длина области разупрочнения ст в момент начала разделения; эпюры напряжений S!(X2)B слое, отражающие взаимодействие между берегами слоя в критическом состоянии и в момент начала образования новых поверхностей. В силу симметрии рассматривается только верхняя консоль, а действие слоя взаимодействия заменяется искомой нагрузкой. В результате решения построены графики распределения нагрузки в слое взаимодействия для случаев деформации ек и єт материального волокна, примыкающего к вершине разреза, а также найдены соответствующие этим состояниям нижнее Ріс и верхнее Рт критические усилия. Показано, что величина Рт незначительно отличается от значения Рк в широком диапазоне толщины слоя. Проведено исследование влияния параметров материала и на-гружения на максимальную длину области разупрочнения.
Оценка толщины слоя взаимодействия. Сопоставление полученных результатов с известными критериями
Рассмотрим модель двухконсольной балки (ДКБ-образец) с физическим разрезом равным толщине слоя взаимодействия 30 (рис. 3.1).
Начало неподвижной декартовой системы координат поместим в конце разреза. Берега разреза нагружены сосредоточенной силой Р - равнодействующей нагрузки, распределенной вдоль консоли и приложенной на расстоянии а от начала координат. Считаем, что в момент образования новых поверхностей поведение слоя взаимодействия в области 0 S S"0" описывается падающей диаграммой деформирования, а в области S K K"S" материал деформируется устойчиво в смысле Дракера. Вне слоя взаимодействия среда полагается упругой, а перемещения точек К и К"считаются нулевыми. Необходимо определить нижнее критическое значение расклинивающего усилия Рк, соответствующее началу разупрочнения материала; а также верхнее критическое значение Рт, соответствующее началу процесса разделения; длину слоя разупрочняющегося материала ст в момент начала разделения и эпюры напряжений, отражающие взаимодействие между берегами слоя и консолями в критическом состоянии, соответствующем началу стадии разупрочнения, и в момент начала образования новых поверхностей, характеризующийся полным разупрочнением в точках сечения О О . В силу симметрии задачи рассмотрим только верхнюю консоль (хх 30/2), а ее взаимодействие со слоем заменим искомой нагрузкой q(x2). Так как НДС консоли При дальнейшем изложении ограничимся случаем малых рассматривается в рамках гипотез Кирхгоффа-Лява, то касательной составляющей нагрузки, действующей на балку вне зоны разупрочнения со стороны слоя взаимодействия пренебрегаем. Тогда нагрузка со стороны слоя на балку будет распределена в соответствии с эпюрой, показанной на рис. 3.2. деформаций, обусловленных малостью компонент тензора-градиента вектора перемещения. Кроме того, пренебрегаем различием начальных и деформированных элементарных объемов, а также поверхностей, их ограничивающих. В этом случае вектор внешней нагрузки на участке консоли, граничащем со слоем взаимодействия где S- тензор истинных напряжений; п = -ех- вектор внешней нормали к поверхности консоли; компоненты меры Генки вырождаются в компоненты линейного тензора деформаций є [87, 147]. С учетом напряженного состояния слоя взаимодействия (1.76) из (3.1) получим Из определяющих соотношений (1.45), (1.54) запишем связь между внешней нагрузкой и компонентой тензора линейной деформации: В силу малости деформаций и однородности деформируемого состояния слоя взаимодействия запишем выражение компоненты линейного тензора деформаций: где щ(х2) - перемещение границы слоя взаимодействия (xj =д0/2) в направлении оси ОХь Таким образом, из (3.3) и (3.4) получаем следующее выражение для внешней нагрузки: здесь и далее x = x2, іфО иДх). Для описания процесса разделения воспользуемся балочным приближением механики разрушения [38, 50]. Поведение каждой консоли вне слоя взаимодействия будем описывать соотношениями теории Кирхгоффа - Лява [2, 120, 147]. Уравнения изгиба для каждого из участков имеют вид:
Идеальная упругопластическая модель поведения слоя взаимодействия при разделении ДКБ-образца
Для рационального использования вычислительных ресурсов интервал границы полуплоскости разбивался не равномерно, а со сгущением сетки в области вершины разреза. За базовую принималась длина первых 10 элементов, которую обозначим 110. Длина следующих 10 элементов равняется 2110, следующих 10 элементов 22110 и так далее. Исследованием, проведенным на этапе докритического деформирования, было установлено, что при 1,0/ 50 0,1 разница в получаемых результатах составляла не более 1 %, а при 1,0/ 50 0,01 - не более 0,03%.
На этапе закритического деформирования интервал участка разупрочнения [0, ст] достаточно разбить на два элемента. При этом разница в получаемых результатах, по сравнению с расчетом где [0, ст] был разбит на пятьдесят элементов, составляет порядка 0,1%. Путем расчетов согласно концепции секущего модуля было проведено исследование влияния точки приложения усилия и характеристик материала (толщины слоя S0, модулей Е+ и Е.) на величины нижнего и верхнего критических усилий и длину слоя разупрочняющегося материала (рис.3.21-3.23). Полученные зависимости отнесены к результатам «базового» расчета (значения с индексом "О" вверху), выполненного для следующих характеристик материала: Sk=6-108na, "0 =3-10 3 предел упругости, vk=0,3, J0=10_5M, а = 1(Рд0, L=100a, Е = Е+=ак/є0 =2-1011 Па, При изучении характера распределения нагрузки, действующей со стороны слоя взаимодействия на полуплоскость, (рис.3.21) видим, что в пределах зоны разупрочнения ст имеет место резкое возрастание напряжения до критического значения, а затем при увеличении координаты х следует его убывание. Из рис.3.22 следует, что чем меньше расстояние а и толщина слоя SQ, тем меньшее критическое усилие потребуется для начала образования слоя разупрочнения (кривая 1 соответствует S = S0; кривая 2 - 5 = 10 50; кривая 3 - 5 = 100 50) на величину критического усилия. . Влияние толщины слоя взаимодействия и расстояния точки приложения сосредоточенной силы до вершины разреза на величину критического усилия Длина слоя разупрочняющегося материала (рис.3.23) не зависит от точки приложения нагрузки, но на нее существенно влияют толщина слоя SQ И модуль Е.: длина участка разупрочнения пропорциональна S0 и обратно пропорциональнаЕ.. (кривая 1 на рис.3.21.Ь соответствует значению S = S0; кривая 2 получена при S = 10S0; кривая 3 - при д = \00до). Влияние на отношение верхнего критического усилия Рт к нижнему /\: а - расстояния приложения сосредоточенной силы к вершине разреза; б - толщины слоя взаимодействия; в - модулей Е+ и Е. Прирост силы, необходимый для разделения, по отношению к критическому значению (рис.3.24, в)) зависит только от модуля Е.: чем меньше Е_, тем больший прирост усилия необходим для разделения. 3.2.2. Разделение плоскости при идеально упругопластическом поведении слоя В силу того, что ниспадающая ветвь несущественно влияет на значение критической нагрузки в полной диаграмме деформирования, предположим, что ниспадающая ветвь вертикальна в момент образования новых поверхностей и материал слоя взаимодействия деформируется устойчиво в смысле Дра-кера. Вне слоя взаимодействия среда полагается упругой. Поведение материала слоя взаимодействия рассмотрим в концепции идеально упругопластической модели. В силу симметрии задачи рассмотрим только верхнюю полуплоскость (хх д0/2, см. рис. 3.17), а действие слоя взаимодействия заменим искомой нагрузкой q(x2). Положим х = х2, а для вертикального перемещения точек границы полуплоскости u(x) = U!(x). Схема нагружения представлена на рис. 3.25.
Конечноэлементный алгоритм анализа послекритического состояния
Полученные результаты (рис. 4.26, рис. 4.27) показывают, что наличие пластических свойств существенно меняет картину поведения критической деформации от параметра нагружения (с линейного на нелинейный).
Следовательно, при упругопластическом поведении материала необходимо решение краевой задачи для определения момента критического состояния соответствующее заданной деформации.
Рассмотенная схема нагружения соотвествует симметричному упругопластическому разделению, однако, критическое состояние неустойчиво (в смысле определения на стр. 165) относительно произвольных начальных разрезов А 0. Основные результаты четвертой главы 1. Рассмотрено влияние кривизны границы тела на возможности реализации симметричного разделения. Установлено, что если начальные радиусы кривизны тела в точках пересечения с осью симметрии имеют порядок толщины слоя взаимодействия и меньше, то использование точного решения теории упругости и деформационного критерия приводит к нефи-зичному результату - уменьшению до нуля внешней нагрузки, необходимой для разделения тела. 2. Если начальные минимальные радиусы кривизны границы тела много больше (хотя бы на порядок) толщины слоя, то определение критического значения параметра внешнего нагружения, соответствующего достижения деформационного критерия, сводится к решению упругой или упругопластиче-ской задачи о простом нагружении без явного выделения материала, образующего слой взаимодействия. 3. Если начальные радиусы кривизны в точках пересечения границы тела с осью симметрии порядка толщины слоя взаимодействия, то для определения критического значения параметра внешнего нагружения необходимо переходить к предельным моделям: замене части границы, примыкающей к точке математическим разрезом (классическая модель) либо физическим разрезом (предлагаемая модель) с выделением слоя взаимодействия. Приведены экспериментальные данные подтверждающие данный вывод. 4. Дана вариационная и следующая из нее дискретная постановка упругих и упругопластических задач определения критического значения параметра внешнего нагружения для тел с гладкой начальной границей. 5. На основе предельной модели с физическим разрезом введено понятие начальной скорости разделения, предложено вариационное соотношение, связывающее линейным образом начальную скорость разделения с критическими граничными условиями. 6. Исходя из дискретной постановки задачи о начальной стадии разделения на основе концепции слоя взаимодействия введено понятие устойчивости и неустойчивости критического состояния относительно начального разреза заданной длины, а также средней начальной скорости разделения. Построен алгоритм определения критерия устойчивости (минимальной длины начального разреза слоя взаимодействия, относительно которого критическое состояние устойчиво) и величины средней начальной скорости разделения. 7. Для различных схем симметричного деформирования в упругих и упругопластических телах определены условия начала разделения вдоль оси симметрии и степень устойчивости критических состояний, найдены средние начальные скорости разделения. 8. Показано, что смена характера деформирования (с упругого на упругопластический) может менять направление предполагаемого разделения. Соответствующий переход обусловлен несовпадением точек максимума интенсивности касательных напряжений и главной положительной деформации упругого решения. Для того, чтобы разделение не меняло направление при переходе от обратимого деформирования к уп-ругопластическому необходимо совпадение точек максимальной главной деформации растяжения и интенсивности касательных напряжений. 9. Установлен переход от линейной к нелинейной зависимости критического параметра нагружения от критической деформации при смене характера деформирования с упругого на упругопластический. Приведем основные результаты и выводы проведенного исследования: 1. Предложен вариант соотношений, определяющий связь между напряжениями и деформациями вплоть до прекращения взаимодействия между материальными частицами, что позволило описать процессы деформирования и разрушения в рамках одной модели. 2. Введено понятие слоя взаимодействия как материальной области, которая в результате внешних воздействий переходит в стадию неустойчивого деформирования (разрушения) с однородным по толщине распределением характеристик напряженно-деформированного состояния.
