Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Численное решение квазистатических задач с односторонними ограничениями 10
I.I. Упругопластическое кручение стержня овального сечения II
1.2. Упругопластическое кручение стержня прямоугольного сечения 21
1.3. Контактная задача для упругой пластины 28
Глава II. Численное решение динаглических задач с односторонними ограничениями 36
2.1. Постановка динамической контактной задачи 36
2.2. Корректность геометрически нелинейной задачи . 43
2.3. Численное решение геометрически линейной задачи 51
2.4. Численное решение геометрически нелинейной задачи 63
Глава III. Динамическое деформирование плиты под действием взрывной нагрузки 73
3.1. Постановка задачи. Метод определения давления от взрыва 73
3.2. Численная реализация метода определения взрывной нагрузки 78
3.3. Учет вязкопластической деформации плиты 88
3.4. Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния плиты 91
Заключение 93
- Упругопластическое кручение стержня прямоугольного сечения
- Контактная задача для упругой пластины
- Корректность геометрически нелинейной задачи
- Численная реализация метода определения взрывной нагрузки
Введение к работе
В современной инженерной практике при исследовании неодномерной деформации упругопластических тел возникает целый ряд задач, специфика которых заключается в том, что одним из неизвестных, подлежащих определению в этих задачах является граница. Например, упругопластическая граница, разделяющая области упругой и пластической деформации; граница зоны контакта тела с абсолютно жестким основанием (штампом) или деформируемым телом и т.п.. Как правило, аналитическое решение таких задач оказывается невозможным или, в наиболее простых случаях, когда заранее известна геометрия неизвестной границы, очень громоздки»!. Практическая важность задач приводит к необходимости поиска эффективных приближенных и численных методов их решения.
Особое место среда упругопластических задач с неизвестной границей занимает класс задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств [i] . Формальная суть такой постановки заключается в следующей системе соотношений: ц№* о; (о-1) А(й)-(и*-іг) »0 (-2> для всех
Рассматриваемая система неравенств содержит (одностороннее) ограничение на решение (0.1), поэтому часто задачи, допускающие формулировку в виде вариационных неравенств называют "односторонними" или "задачами с ограничениями" ("задачами с односторонними ограничениями").
В силу правила Лагранжа (0.2) равносильно следующей системе нелинейных уравнений A(U)«-«P|J' (о.з) где ф = 0 , если у> (U) * 0 и tp 0 , если у (11) = 0 . Таким образом, ограничение разбивает область, на которой задана система неравенств (0.1), (0.2) на две зоны. В одной из этих зон предполагается выполнение строгого неравенства IP (Ц) < О и системы уравнений А (Ц) = 0 і в другой - уравнения Ц (41) = О и системы (0.3) (ф 0) . При этом граница, разделяющая зоны, подлежит определению в процессе решения задачи.
Односторонние задачи теории упругости и пластичности можно классифицировать по типу ограничений на физические и геометрические. К задачам с физическими ограничениями относятся задачи с неизвестной упругопластической границей (ограничение определяется условием пластичности), с геометрическими - контактные задачи, когда зона контакта заранее неизвестна (в данном случае ограничение формулируется в виде условия на смещения). При полном различии механической постановки эти два типа задач могут быть рассмотрены единообразно с позиции теории вариационных неравенств.
Появление теории вариационных неравенств связано с рассмотренной А. Синьорини в 1933 г. задачей о равновесии упругого тела, соприкасающегося без трения с абсолютно жестким основанием. В этой задаче в виде неравенств (0.1), (0.2) были поставлены граничные условия для системы уравнений Ламе (задача с геометричес- ким ограничением на границе). Следует заметить, однако, что задачи с ограничениями в теории пластичности рассматривались раньше. Примером может служить вариационный принцип А. Хаара и Т. Кармана Щ (см. также работу Г. Генки [з] ).
Задача Синьорини была исследована Г. Фикерой [4] , положившим начало теории (1963 г.).. Дальнейшее обобщение и развитие теория вариационных неравенств получила в работах Г. Стампаккьи [5J, Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [б] , Ж.-Л. Лионса [7, 8} и других авторов (см. список литературы монографии [7] ).
К настоящему времени разработаны эффективные численные методы решения вариационных неравенств, изложенные которых дано в монографии Р. Гловински, Ж.-Л. Лионса и Р. Тремольера [э] . В общих чертах эти методы сводятся к аппроксимации ограничения (0.1) и дифференциального оператора, входящего в (0.2) и последующему решению конечномерной задачи на основе алгоритмов нелинейного программирования [ю, II ] .
Численные методы теории вариационных неравенств применялись к решению упругошсастических задач квазистатики Н.В. Баничуком [12, ІЗ] , А.С. Кравчуком с соавторами [і4-Іб] , В.М. Картвелиш-вилли [17] , А.В. Вовкушевским [18] и другими авторами. Обширная библиография зарубежных работ приведена в монографии [9] и обзоре [19] . В задачах динамики численные методы, основанные на постановке в виде вариационных неравенств, предложены М.Л. Уилкин-сом [20J , Ю.Г. Коротких [21 ] .
Вместе с тем для решения ряда односторонних упругопласти-ческих задач в последнее десятилетие развиты эффективные численные методы, не имеющие непосредственного отношения к постановке задач в виде неравенств. Такие методы, основанные на выделении неизвестной границы, предложены Б.Д. Анниным [22] , Д.М. Фаге[23], В.И. Малым, А.Б. Ефимовым, и В.Н. Воробьевым [24] . В упругоплас- тических задачах .динамики численные метода,' предполагающие разбиение области решения на зоны упругой и пластической деформации разработаны В.Н. Кукуджановым, В.И. Кондауровым [25] и другими авторами (см. обзорные работы [26, 27] ).
Данная работа посвящена численному решению двумерных упругопластических задач квазистатики и динамики, допускающих постановку в виде вариационных неравенств. В ней обобщены результаты исследований, проведенных за период с 1978 по 1984 г. и опубликованных в работах [30, 33-, 42, 57, 58, 71, 74 ] . Работа направлена на приложение методов теории вариационных'неравенств к решению упругопластических задач, выявление эффективности и необходимости их применения при решении задач с неизвестной границей, а также на проведение конкретных расчетов, результаты которых имеют практическое применение.
Диссертационная работа состоит из настоящего введения, трех глав, заключения и приложения.
Первая глава посвящена численному решению квазистатических задач с односторонними ограничениями. Рассмотренные задачи - задача упругопластического кручения цилиндрического стержня и контактная задача для упругой пластины и абсолютно жесткого штампа, относятся к вариационным неравенствам с .дифференциальными операторами эллиптического типа (оператором Лапласа и бигармоничес-ким оператором соответственно). Дана новая численная реализация метода, предложенного Б.Д. Анниным для решения задачи упруго-пластического кручения стержня овального сечения. Приведены зависимости скручивающего момента от угла закручивания для сечений близких к правильному треугольнику и квадрату. Аналогичные результаты получены для стержня прямоугольного сечения, когда пластические зоны развиваются лишь вблизи пары противоположных сторон, на основе метода прямых. В результате применения метода поточечной верхней релаксации к решению контактной задачи для пластины построены зоны контакта, соответствующие квадратной пластине и штампу в форме параболоида. Проведено сравнение численного и полуаналитического решений для круглой пластины и штампа, поверхность которого является поверхностью четвертого порядка (в данном случае зона контакта не имеет внутренних точек).
Вторая глава посвящена численному решению динамических задач с ограничениями. Здесь рассмотрены две осесимметричные контактные задачи для упругопластической плиты и абсолютно жесткого основания, постановка которых в виде вариационных неравенств содержит операторы гиперболического типа (линейный и квазилинейный операторы соответственно). В этих задачах краевые условия контакта также сформулированы в виде вариационных неравенств. Построен алгоритм решения геометрически линейной задачи (задачи с линейным оператором), позволяющий расчитывать разрывные решения. Подобный метод предложен для решения задачи с учетом произвольных по величине углов поворотов элементов плиты (задачи с квазилинейным гиперболическим оператором). На основе этих методов получены численные результаты, показывающие, что в широком диапазоне изменения внешней нагрузки остаточное деформированное состояние толстой плиты определяется величиной полного (суммарного) импульса нагрузки.
Третья глава посвящена численному исследованию процесса деформирования плиты, лежащей на массивном шайбообразном основании под действием давления от взрыва сферического заряда взрывчатого вещества, погруженного в жидкость. Для решения задачи разработана приближенная методика определения давления гидродинамической системы на плиту, основанная на результатах" расчетов детонации заряда и центрально-симметричного течения жидкости, связанного с распространением и отражением ударной волны. Описанный во вто- рой главе численный метод решения геометрически нелинейной контактной задачи для плиты распространен на случай материала, чувствительного к скорости деформирования. На основе этих методик получен ряд результатов, выявляющих характер зависимости остаточного деформированного состояния плиты от радиуса округления кромки контактной поверхности основания. Проведено сравнение расчетов, выполненных с учетом зависимости предела текучести от скорости диссипации энергии и для постоянного предела текучести.
В приложении излагаются результаты, обосновывающие корректность теории упруго-идеальнопластического течения в задачах .динамики. Показано, что система уравнений и неравенств Прандтля--Рейса приводится к системе дивергентного вида. Получены соотношения сильного разрыва решения. Выведена энергетическая оценка разности двух решений, из которой следует корректность задачи Ко-ши. Этот.материал используется во второй главе работы при построении численного метода решения геометрически линейной задачи.
Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю профессору Б.Д. Аннину, сотрудникам Института гидродинамики Л.В. Баеву и A.M. Хлудневу за постоянное внимание и помощь на всех этапах работы и сотрудникам Вычислительного центра (г. Красноярск) В.В. Ефремову и В.А. Щепановскому за обсуждение работы и ряд ценных советов.
Упругопластическое кручение стержня прямоугольного сечения
Третья глава посвящена численному исследованию процесса деформирования плиты, лежащей на массивном шайбообразном основании под действием давления от взрыва сферического заряда взрывчатого вещества, погруженного в жидкость. Для решения задачи разработана приближенная методика определения давления гидродинамической системы на плиту, основанная на результатах" расчетов детонации заряда и центрально-симметричного течения жидкости, связанного с распространением и отражением ударной волны. Описанный во второй главе численный метод решения геометрически нелинейной контактной задачи для плиты распространен на случай материала, чувствительного к скорости деформирования. На основе этих методик получен ряд результатов, выявляющих характер зависимости остаточного деформированного состояния плиты от радиуса округления кромки контактной поверхности основания. Проведено сравнение расчетов, выполненных с учетом зависимости предела текучести от скорости диссипации энергии и для постоянного предела текучести.
В приложении излагаются результаты, обосновывающие корректность теории упруго-идеальнопластического течения в задачах .динамики. Показано, что система уравнений и неравенств Прандтля--Рейса приводится к системе дивергентного вида. Получены соотношения сильного разрыва решения. Выведена энергетическая оценка разности двух решений, из которой следует корректность задачи Ко-ши. Этот.материал используется во второй главе работы при построении численного метода решения геометрически линейной задачи.
Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю профессору Б.Д. Аннину, сотрудникам Института гидродинамики Л.В. Баеву и A.M. Хлудневу за постоянное внимание и помощь на всех этапах работы и сотрудникам Вычислительного центра (г. Красноярск) В.В. Ефремову и В.А. Щепановскому за обсуждение работы и ряд ценных советов.
Примером квазистатической задачи с ограничением физического типа является задача упругопластического кручения. Задача состоит в определении напряженного состояния бесконечно длинного цилиндрического стержня, скручиваемого моментом уравновешенных сил, приложенных к торцам в плоскости поперечного сечения. Монотонное увеличение момента приводит к достижению предельного для упругого состояния угла закручивания стержня и появлению зоны пластической деформации, ограниченной неизвестной упругопласти-ческой границей.
Математическая постановка задачи кручения, как задачи с неизвестной границей дана в [22] . В работе [28] доказана теорема существования и единственности решения для стержней овального сечения. В (22, 29, 30] предложен и реализован численный метод решения задачи. Другие методы, основанные на последовательном уточнении приближений неизвестной упругопластической границы построены в [23, ЗІ-Зз].
Постановка задачи упругопластического кручения в виде вариационного неравенства (односторонней задачи для оператора Лапласа) дана и изучена в [34, 35, 7 J . Численному решению задачи на основе метода локальных вариаций [Зб] посвящена работа [і2] . Метод поточечной верхней релаксации с проекцией применен в [9] , где, показано, что он наиболее эффективен среди известных методов выпуклого программирования. В [9, 37] предложены различные варианты метода штрафа. Методы двойственности применены к решению задачи кручения в [9, 38j .
В большинстве из перечисленных работ задача упругопластического кручения рассмотрена лишь как модельная задача с односторонним ограничением для иллюстрации численных методов. Конкретные численные результаты получены в [9, 12 J .
К задачам с геометрическими ограничениями относится контактная задача для упругой пластины и абсолютно жесткого штампа произвольной формы. Задача состоит в определении зоны контакта и прогиба защемленной по краю пластины, находящейся в равновесии с соприкасающимся с нею без трения неподвижным штампом.
Задача .для пластины большого радиуса и штампа в форме параболоида поставлена как задача с неизвестной границей и.решена методами теории функций в работе [39] . Для ряда других частных форм штампа аналитические решения получены в [40, 41J .
Постановка задачи в виде вариационного неравенства с би-гармоническим оператором рассмотрена в монографии [i] . Численное решение методом локальных вариаций на основе конечноразност-ной аппроксимации проведено в [13, 17] .
Контактная задача для упругой пластины
Затем для Л X + - 81 ({-0,1,... --() по описанному алгоритму вычислялись приближенные значения к и t . При этом численное интегрирование по переменной х в (I.2I) выполнялось по методу Симпсона, решение системы линейных уравнений - при помощи метода Гаусса, отыскание корней трансцендентных уравнений (1.26) производилось методом хорд. Если корень уравнения не су ществовал для 0 X (X/Z І то принималось Хк = 01/ Z
Числу (У придавалось определенное значение, р находи лось из условия, чтобы величина 1(Л) 4 имела перемену зна ка на отрезке с концами Х + (р- \) и X + pfr .Здесь I (чХ) - разностная аппроксимация Ъ /Ъ\ в точке (0 _ /) , найденная в силу формулы (1.22) по известным значениям ЦДО) , 1ЦД0) , ..., Ит (0) с порядком щ, . Наконец, методом хорд отыскивалось Л из уравнения и соответствующее значение t Приведем ряд результатов для CL = I, 4 6 5 , $ = 0,1; \п = 6; \\ - 0,05; 6 = 10 . Время счета одного описанного выше варианта при этих параглетрах не более пяти минут.
Численно получены соотношения медцу і и величинами: Л (кривая "I") и Л (кривая "2", рис. 1.7); f (рис. 1.8); t (кривая "Iй) и t (кривая "2", рис. 1.9). Здесь -р = 0/2" Хк при K (Kl+-i)/2, ; звездочки указывают на значения величин, взятые при с1=с и Л = Лч соответственно.
При анализе зависимости f = f (Л) для достаточно больших ) (на рис. 1.10 & = 5) с хорошей точностью можно использовать аналитическое решение [52] для случая $ = &о : fu) = Т"ах (ЛМ) (1.29) Y(oc) = - Хх2, + -тр - -ц при 1 ОС 4 от
Графики t = і (Л) .для Ь - 2,5 (кривая "I") и = 5 (кривая "2") представлены на рис. I.II. Для других значений кривые выглядят аналогично.
Аналогичные результаты получены другим приближенным методом в работе [53] , где проведено сравнение с графиками рис.І.ІІ,
Методы и результаты, изложенные в I.I и настоящем параграфе включены в третью главу монографии [5Ц . Эти исследования показывают, что наличие априорной информации о геометрии упруго-пластической границы в задаче кручения (см. 22, 31, 32J ) позволяет строить эффективные численные алгоритмы решения, основанные на выделении неизвестной границы. По сравнению с численными методами вариационных неравенств (см. [9] ) эти алгоритмы имеют более высокую точность определения неизвестной границы на грубых сетках при примерно равных затратах машинных ресурсов, хотя и обладают меньшей универсальностью и алгоритмически более сложны.
Пусть - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона тонкой упругой пластины, занимающей в естественном состоянии область ( , у) а Я , & « h/% в декартовой системе координат ОС , у , %. Обозначим » нормальное смещение точки срединной поверхности, изгибная жесткость пластины, { - граница S2
Пусть уравнением % « 10 (х} Ц) задана поверхность абсо лютно жесткого гладкого штампа, приведенного в соприкосновение с нижней стороной пластины, к верхней ее стороне приложена нор мальная нагрузка интенсивности Р (X, Ц) » & боковая по верхность жестко заделана. ,
Для определенности предположим, что Г - кусочно-гладкая -кривая, функция р = р(Х,и) интегрируема по 2 , у(0С3у) - дважды непрерывно-дифференцируема в S2 и удовлетворяет усло вию У (X, Ц) 0 в окрестности Г . Непосредственная проверка показывает, что вторая производная функции 11 - фі(1) непрерывна на окружности % = R , третья производная терпит разрыв (т.е. контактное давление 0 = = 0 {%) является сосредоточенной силой).
2. Сложная зависимость геометрии зоны контакта от,, формы штампа препятствует построению для численного решения рассматриваемой задачи алгоритмов, основанных на выделении неизвестной границы. В этом случае универсальные алгоритмы решения дают вариационные методы [ІЗ, 42] .
Заметим, что-в силу выпуклости Зд ( Uj,-.! ;_J. ) решение задачи минимизации (1.37), (1.38) единственно [9] . Задача (1.37), (1.38) аппроксимирует (1.33) в смысле [9] , поэтому имеет место теорема о сходимости (теорема 5.2, с. 68).
В развернутом виде соотношения (1.37), (1.38) аналогичны приведенным в работе [із] . Численное решение задачи- производилось методом поточечной верхней релаксации с проекцией [э] : Пусть верхний индекс S = О, I, ... означает номер итерации. Полагалось 1it_ii_i. =0 .По известному S - приближению S 2. 2. $+4. til-ij-i величины 1 .1 «I S+ l - приближения на хрдились для 1. =2 пЧ ; j=2, ..., --} (для осталь ных значений индексов U\_i »_1 =0 ) по следующим соотно 2, J 2/ шениям:
Корректность геометрически нелинейной задачи
Был проведен ряд расчетов для различных видов нагружения р = р (Xi , Ї ) при одном и том же значении полного импульса нагрузки При этом внешнее давление задавалось на круге Х R0 - 25 см
Расчеты проводились для шайбообразного основания со скругленной кромкой контактной поверхности (рис. 2.1): - н 7 если х1 г (хч)= V -Ci+jf-x,) - если г х, % + 1 L 0 ,если г+ у се1 4 R при 1, = 30 см, Н = 20 см, R = 75 см и It = 10 см для двух значений радиуса скруглення У - 5 см и У = 10 см. Время счета на ЕС-І052 при \і.= (г = I см, Ді = 0,5 мке каждого из вариантов, результаты которых приведены ниже, не превосходило 20 мин.
На рис. 2.5 представлены графики зависимости радиальной деформации = Э/И1/8Х-( от Х-(, соответствующие равномерно распределенному давлению р = 25 кбар при Y = 5 см. Время действия нагрузки + = 40 икс. Кривые "I" и "2" относятся к верхней и нижней поверхностям-плиты, время соответствует времени перехода плиты в упругое состояние после необратимой деформации. Согласно расчетам5 t =0,33 мс,прогиб плиты в центре уу = 2,6 см. Распределение деформаций 6 по толщине близко к линейному, деформация сдвига по абсолютной величине не превосходит 0,3 % во всей области плиты. На рис. 2.6 приведены аналогичные графики, соответствующие V = 10 см. В данном случае t = 0,35 мс, 1лГ = 2,8 см.
Были проведены расчеты с удвоенным значением давления р = = 50 кбар; fc = 20 мкс. Характерное отличие результатов по срав-нению с рис. 2.5 - 2.6 заключается в увеличении локальных "пиков" на кривых "I" при х = R0 . Разница по деформациям 6, в остальной области плиты не более 0,25 %, по прогибам - 0,1 см.
Задавалось линейное распределение давления р = 35-0,6 кбар, 0, Ci Ro »t =40 мкс. Расчеты дали отличие по сравнению с равномерно распределенным давлением по - в пределах 0,25 %, по прогибам - 0,1 см.
Таким образом, полученные результаты показывают, что в широком диапазоне изменения нагрузки остаточное деформированное состояние плиты определяется величиной Численная реализация описанной схемы аналогична реализации схемы решения геометрически линейной задачи. По известным величинам с нижними полуцелыми индексами, начальные значения которых в силу (2.15) равны кмч I V" чл -ілГі Пл ln l (2.55) соотношения (2.47)-(2.54) и (2.II), (2.46) позволяют определить значения величин с целым индексом ("предиктор"). Затем из (2.43) -(2.45), (2.31) находится решение на новом шаге по времени. При этом, как и в 2.3, реализация неравенств (2.31) предполагает проектирование условных напряжений (5..1 1 ь z на поверх ность текучести.
Заметим, что,как и в случае геометрически линейной задачи предложенный алгоритм обеспечивает выполнение физических и геометрических ограничений и условий неотрицательности скорости диссипации энергии и неотрицательности контактного давления.
Приведем результаты, полученные на основе описанного метода. Для сравнения были повторены численные эксперименты с равномерно распределенной нагрузкой, приведенные в п. 2 2.3. Расчеты проводились при k = \г = I см; Д};= 0,5 мкс, что со . і 2» гласуется с условием устойчивости (2.41). Отличие полученных результатов по прогибам не более 0,05 см, по деформациям - 0,25$ ( У = 5 см). При этом наибольшая разница по деформациям имеет место в точках, соответствующих локальным пикам на рис. 2.5 и 2.6.
Были проведены аналогичные численные эксперименты для тонкой плиты \\, = 4 см при большей интенсивности внешней нагрузки. На рис. 2.7 приведены зависимости деформации от DCj в момент t упругой разгрузки плиты, соответствуюпще равномерно распределенному на круге 0 Х1 R0 = 25 см давлению р =10 кбар, -fc = 125 мкс и у = 6,4 см (остальные параметры указаны в п. 2 4). Кривая "I" относится к верхней, "2" - к нижней по-верхности плиты. Согласно расчетам, \. 0,75 мс, уу = 15,6 см.
Численная реализация метода определения взрывной нагрузки
Основные результаты работы состоят в следующем:
1. Разработаны численные алгоритмы решения задачи упруго-пластического кручения стержней овального и прямоугольного сечений, основанные на выделении неизвестной границы и использующие априорную информацию о ее геометрии. Построен алгоритм решения контактной задачи для упругой пластины и абсолютно жесткого штампа по методу поточечной верхней релаксации с проекцией. Целесооб-разность применения методов теории вариационных неравенств к решению последней задачи определяется сложностью геометрии границы зоны контакта.
2. Для численного решения динамической задачи о контакте упругопластической плиты и абсолютно жесткого основания предложен алгоритм, обеспечивающий выполнение физических и геометрических ограничений и условий неотрицательности скорости диссипации энергии и неотрицательности контактного давления, позволяющий расчитывать разрывные решения без введения искусственной вязкости. Построена система уравнений и неравенств, описывающая малые упругопластические деформации элементов плиты при произвольных величинах поворотов. Предложен численный алгоритм решения контактной задачи на основе этих соотношений.
3. Разработана методика расчета осесимметричного деформирования плиты, лежащей на массивном шайбообразном основании, под действием давления от взрыва сферического заряда взрывчатого вещества в жидкости.
4. На основе развитых методов: - построены упругопластические границы и зависимости скручивающего момента от угла закручивания стержня для сечений, близ - 99 ких к правильному треугольнику и квадрату и стеряня прямоугольного сечения; - построены зоны контакта для квадратной пластины и штампа в форме параболоида и круглой пластины и штампа, поверхность которого является поверхностью четвертого порядка (в этом случае зона контакта не имеет внутренних точек); - в динамическом контактной задаче проведены численные эксперименты, показывающие, что в широком диапазоне изменения внешней импульсной нагрузки остаточное деформированное состояние уп-ругопластической плиты определяется величиной полного импульса нагрузки; получены результаты решения контактной задачи о деформировании упруго-вязкопластическои плиты под действием взрывной нагрузки, выявляющие зависимость деформированного состояния плиты от радиуса округления кромки контактной поверхности основания.
Проведено сравнение расчетов, выполненных по упруго-вязкопластическои и упруго-идеальнопластической теориям.
Пусть ограниченная область, Y - граница 00 , И. к -вектор внешней нормали к v , -fc -Ь . Построшл следующую систему интегральных соотношений,обобщающих (П.І), (П.2), (П.5):
Здесь записаны закон сохранения импульсов (П.6), определяющие уравнения в интегральной форме (П.7) и принцип максимума (П.8). Соотношения (П.6) - (П.8) естественным образом определяют класс обобщенных решений системы уравнений (П.І)-(П.З).
Рассмотрим класс решений с сильным разрывом. Пусть Г- Г(іг) Lj)(DcK t) = 0 гладкая поверхность и пусть функции 1J. = определенные в области XKeS2 Г , T0 "t T : имеют разрыв первого рода на Г : непрерывно-дифференцируемы в области определения, исключая f и удовлетворяют соотношениям (П.6)-(П.8) для любой подобласти (A) CZ SB и произвольных t , при всех непрерывно-дифференцируемых
Поверхность разрыва Г делит область $2 на две части ? и J? . Предположим, что внешняя по отношению к S2 нормаль к Г направлена в сторону движения Г . Разделив соотношения (П.6)-(П.8) на t, t0 , сделаем предельный переход при S?4TLolCO = C5i.K"ruK + бп-OoLjf , дї % 8L№ + w) iu . и интегралы по границе по формуле Грина: где D Ь 0 - скорость движения Г в направлении нормали; [f] = f—р_:-р_- - пределы на Г со стороны 2" функции f s f {j \ ) , удовлетворяющей перечисленным условиям. Стягивая область (д) к Г » в силу произвольности Ю П Г , получим
Здесь (П.9) и (ПЛО) - условия динамической и .кинематической непрерывности [72] , (ПЛІ) - принцип максимума скорости .диссипации энергии на поверхности разрыва.
Умножая (П.9) на Ц". уравнения (ПЛО) - на 6 / К и 5 и / ЯЯ соответственно (f =(f + f )/&) и складывая результаты, преобразуем неравенство (П.ІІ) к следующему виду: ф = 0 , если 5ц Вц Система соотношений (П.9), (ПЛО) и (П.І2) определяет два класса разрывов: ф = 0 - бездиссипативные разрывы (продольные и поперечные упругие волны) и ф 0 - диссипативные разрывы. В силу (ПЛ2) на поверхности диссипативного разрыва 5ц 5ц = l Соотношения (11.19)-(11.20) имеют наглядную геометрическую интерпретацию в пространстве напряжений (рис.П.1). Диссипативный разрыв реализуется в том случае, если весь отрезок, соединяющий ($ и бц , принадлежит поверхности текучести. При этом век-Т0Р [ hjJ направлен по нормали к Рис. П.І. поверхности. Аналогичный метод получения соотношений на поверхности сильного разрыва решения для системы уравнений и неравенств динамики жесткопластического тела применен в работах [76, 77J . Невозможность определения соотношений сильного разрыва для системы уравнений Прандтля-Рейса на основе интегральных законов сохранения следует из [78] , где сделано замечание о неприводимости системы (П.І)-(П.З) к дивергентной форме.Рассматриваемая квадратичная форма неотрицательна в том и только в том случае, если все собственные значения последней матрицы неотрицательны [60] . Непосредственное вычисление собственных значений приводит к следующему уравнению непрерывная зависимость решения от начальных данных и ограниченность области зависимости решения.
