Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи
1.1. Краевая задача. Жестковязкопластическая постановка 10
1.2. Вариационные принципы теории упругости и пластичности 14
1.3. Принцип виртуальных скоростей и напряжений 22
1.4. Решение задач обработки металлов давлением вариационным методом 27
1.5. Основные выводы и постановка задачи исследования 36
2. Граничные условия и условия связи
2.1. О трении в задачах обработки металлов давлением 39
2.2. Условие перехода металла на контактную поверхность 49
2.3. Об условиях связи 53
Основные выводы 62
3. Вариационный принцип
3.1. Краевая задача. Упруговязкопластическая постановка 64
3.2. Вывод основного вариационного уравнения .67
3.3. Существование и единственность решения 75
Основные выводы 84
4. Некоторые частные случаи
4.1. Случай изотропной среды .86
4.2. Вариационный принцип для идеально пластического тела. Разрывные решения 102
4.3. Принцип виртуальных напряжений и перемещений 114
Основные выводы 123
Заключение 125
Литература - 127
Приложения 135
- Вариационные принципы теории упругости и пластичности
- Условие перехода металла на контактную поверхность
- Вывод основного вариационного уравнения
- Вариационный принцип для идеально пластического тела. Разрывные решения
Введение к работе
Актуальность. Развитие науки о прочности и надежности деталей машин и элементов конструкций, вызываемое современными требованиями экологии, производства и эксплуатации сооружений авиационной, химической, нефтегазовой индустрии, металлургии и др., повлекло включение новых для классической механики объектов изучения. Проблемы, возникающие при эксплуатации конструкций при высоких температурах и горячей обработке металлов давлением, послужили причиной развития термомеханики, в этой области работали Гохфельд Д. А., Ильюшин А А, Карнаухов В.Г., Коваленко АД., Победря Б.Е., Подстригая Я.С.Терехов Р.Г. Шевченко Ю.Н. и мн.др . Магнитоупругость устанавливает связи между магнитными и механичесмши свойствами,' что позволяет использовать магнитную диагностику для оценки прочностных свойств ферромагнитных металлов, а применение электрических импульсов при обработке металлов давлением нашло отражение в электропластичности. Проблемы водородной хрупкости металлических конструкций, эксплуатирующихся в агрессивных водородосодержащих средах и возможности повышения пластических свойств титановых, циркониевых и некоторых других сплавов, при наличии в них определенного содержания водорода, потребовали рассмотрения в рамках механики деформируемого твердого тела системы "напряжения-деформации-температура-водород". Здесь можно отметить работы Андрейкива АЕ., Бекмана, Гельда П.В., Гольцова В.А., Карпенко Г.В., Колачева Б. А., Панасюка В.В., Hill М.Н., Zwicker U и мн.др.
Имея много общего, теории теплопроводности и диффузии имеют существенно различные физические механизмы их влияние на деформацию. Температура не чувствительна к дефектам структуры металла, а влияние водорода связано с взаимодействием с такими дефектами: вакансиями, дислокациями, границами зерна, порами и микротрещинами. При различных температурах и концентрациях водород может оказывать прямо противоположенное действие - способствовать деградации металла и, с другой стороны, повышать пластические свойства. Все это требует собственного моделирования процессов диффузии и деформации, когда их взаимное влияние друг на друга велико.
При моделировании одной из существенных задач является установление связей между различными механическими и физическими параметрами, лежащих '- в основе фор^лировки определяющих уравнений. Общая теория определяющих уравнений- механики деформируемого твердого тела разработана достаточно полно. В основе лежат работы Грина А, Ильюшина АА, Новожилова В.В. Работнова Ю .Н. Трусделла К. Для теории упругости и теории идеальной пластичности установлена однозначная связь напряжений и деформаций .Однако в теории упрочняющегося пластического тела для различных материалов и
4 различных условий используются разные функциональные зависимости. Это существенно затрудняет получение сопоставимых решений краевых задач и разработку универсальных алгоритмов их численной реализации. При введении в рассмотрение процессов теплопроводности и диффузии возникает необходимость выбора физических уравнений связи, имеющих один и тот же вид при широком диапазоне изменения температуры, концентрации примеси, структурных параметров. Для этого можно использовать внутренние механизмы взаимного влияния физических параметров на структурные и структурных параметров на механические, имеющие общепринятые закономерности, например закон Холла-Петча, устанавливающий связь между механическими свойствами и размерами зерна при деформировании металла.
Другая задача связана с выбором совместимых методов численной реализации задач деформирования и теории потенциала. Широкое развитие методов численного анализа облегчает эту задачу. Однако, в процессе решения таких задач возникают дополнительные вопросы. Например, процесс диффузии часто зависит не только от поля напряжений тела, находящегося под нагрузкой, но и от градиентов напряжений. Определение тензора напряжений в большинстве классических методов осуществляется через деформации дифференцированием приближенного поля перемещений, что является, вообще говоря, математически некорректно поставленной задачей. Взятие вторых производных по перемещениям для определения градиентов напряжений может уже привести к существенным ошибкам. Снимающий эту проблему метод граничных интегральных уравнений хорошо применим лишь для однородных или кусочно однородных по механическим свойствам тел. При моделировании процессов диффузии и теплопроводности механические свойства деформируемого тела зависят от распределения температуры или концентрации примеси и поэтому существенно неоднородны. В связи с этим представляется актуальным разработка алгоритмов численной реализации, основанных на комбинациях известных методов и адаптированных для рассматриваемых классов задач. В основу настоящей работы по численным методам во многом легли труды Баттерфилда Р., Бенерджи П., Бердичевского В.Л., Бреббии К., Васидзу К. Вроубела Л, Зенкевича О., Качанова Л.М., Коларова Д., Колмогорова В.Л. Михлина С.Г., Мосолова П.П., Мясникова В.П., Перлина П.И., Поздеева А.А. и мн.др.
Общая теория процессов деформации, теплопроводности и диффузии водорода, а также универсальные алгоритмы численной реализации таких задач пока отсутствуют. Актуальным и, по видимолгу, оправдывающим себя по затратам является моделирование конкретных процессов. К числу таких процессов можно отнести водородное пластифицирование титановых сплавов, включающее нагрев, гидрирование, деформирование и последующее дегидрирование. Он позволяет обрабатывать труднодеформируемые титановые сплавы, снижает температуру и
усилия обработки давлением, повышает ресурс пластичности полуфабрикатов. Однако его широкое внедрение в производство затруднено из-за невозможности точного контроля содержания водорода в течении всего процесса, а позволяющие решать эту проблему математические модели требуют еще своего развития.
Водородная хрупкость является другой глобальной проблемой для химической, нефтегазовой промышленности и многих других областей производства, где, так или иначе, присутствует водород. Являясь экологически чистым источником энергии, водород во многом будет определять энергетику будущего, однако деградация металлов под воздействием водорода и отсутствие надежного контроля за прочностью и надежностью конструкций сдерживает это развитие. Экспериментальные методы не решают проблемы, т.к., во-первых, без предварительных расчетов невозможно контролировать распределение концентрации водорода в конструкции и соответствующий уровень деградации металла в действующем агрегате, особенно для внутренних, контактирующих с водородосодержащей средой, частей. Во-вторых, характер диффузионного процесса существенно зависит от напряженного состояния в конструкции и может существенно отличаться от диффузии в опытном образце в лабораторных условиях. Поэтому в рамках общей проблемы водородной хрупкости актуальной является разработка математических моделей диффузии и деформирования с целью расчетного определения механических свойств и остаточного ресурса металла в любой точке конструкции и любое время ее эксплуатации в среде с водородом.
Цель работы состоит в решении проблемы определения оптимальных технологических параметров производства и эксплуатации элементов конструкций в процессах упругопластического деформирования, наводороживания и термообработки путем разработки вариационных методов решения краевых задач, учитывающих взаимное влияние растворенного водорода и напряженного состояния, фазовых переходов и изменений структурных состояний металлов. Научная новизна работы выражена в следующих результатах:
разработаны теоретические основы расчета технологических параметров пластической обработки металлов в условиях наводороживания;
сформулирован новый граничный вариационный принцип, в котором линейные уравнения эквивалентной исходной краевой задачи удовлетворяются с помощью граничных интегральных уравнений, а нелинейные определяющие уравнения - с помощью вариационного подхода, что позволяет снизить размерность задачи, получить бесконечно дифференцируемое решение по напряжениям и перемещениям, использовать его в задачах для элементов конструкций с неравномерными по объему механическими свойствами;
- сформулирован вариационный принцип виртуальных скоростей напряжений
и скоростей перемещений, основанный,в отличие от известных,на ослаблении
определяющих уравнений и условий трения на границе; показана
эквивалентность принципа с исходной краевой задачей, показаны минимальные
свойства функционала принципа;
разработан алгоритм последовательных приближений для упругопластических задач в рамках метода граничных элементов и граничного вариационного принципа, основанный на построении внутренней границы пластической области спуском по нормали из узлов исходной границы и позволяющий снять проблему внутреннего конечно-элементного разбиения области в упругопластических задачах, что существенно сокращает количество вычислений при определении поля напряжений;
- разработан алгоритм численной реализации осесимметричных задач теории
потенциала, учитывающий подвижные внутренние границы как для фазовых
переходов, вызываемых диффузией примеси или нагревом, так и границ
пластической и упругой области;
предложена зависимость (аппроксимация) физических уравнений связи напряжений и деформаций, основанная на механизмах дислокационного упрочнения и накопления повреждешюсти, определенная с точностью до трех параметров: предела текучести, временного сопротивления и соответствующей ему деформации и справедливая для широкого интервала изменения температур, концентрации примеси, структурных параметров, магнитных свойств;
введдены в рассмотрение коэффициенты, позволяющие контролировать возможности упрочнения и пластического деформирования металла без угрозы разрушения не только в процессе деформации, но и в процессах теплопроводности и диффузии водорода;
- приведен анализ влияния процессов диффузии водорода и теплопроводности
на примерах задач: - выдавливания биметаллической массы с титановым
сердечником для нескольких вариантов предварительного наводороживания;
предварительной термообработки в различных режимах, вызывающей измопенш
структурного состояния титановых сплавов, и последующего деформирована
цилиндрической детали из сплава ВТ9; - деградации механических свойсп
металла цилиндрической детали из конструкционной стали, находящегося по;
длительным воздействием водородосодержащен среды и статической нагрузки.
Достоверность научных положений и выводов обоснована теоретическими і
экспериментальными исследованиями на базе научных представлений механикі
деформируемого твердого тела, физики твердого тела, металловедения і
применением фундаментального математического аппарата, а такжі
качественным совпадением результатов теоретических моделей и расчетов і
экспериментальными данными. і.
Практическая значимость работы состоит в определении оптималыгых технологических параметров процессов пластического деформирования, наводороживания, предварительной термообработки для изготовления элементов конструкций волочением, ковкой, прессованием, экструзией с максимально равномерными механическими свойствами, с максимальным ресурсом пластичности при минимальной температуре обработки давлением. Результаты исследований легли в основу четырех авторских свидетельств и рекомендаций по выбору технологических режимов производства изделий из титановых сплавов.
Апробация работы. Основные результаты работы доложены на 1.) Всесоюзной конференции "Пути совершенствования технологии холодной объемной штамповки и высадки" (Омск, 1978 г.), 2.) Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Горький, 1978 г.), 3.) VI-ом Всесоюзном семинаре "Комплексы программ математической физики" (Новосибирск, 1980 г.), 4.) И-ой Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981 г.), 5.) Всесоюзной конференции "Трение и смазка в машинах" (Челябинск, 1983 г.), 6) семинаре по механике деформируемого твердого тела кафедры Теории упругости МГУ (рук. чл.корр. Ильюшин А.А., 1983), 7.) YlII-ой Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983 г.), 8) семинаре по механике деформируемого твердого тела кафедры Теории пластичности МГУ (рук. проф. Клгошников В.Д., 1983), 9.) семинаре по механике деформируемого твердого тела Института проблем прочности (рук. акад. Лебедев А. А., Киев, 1983 г.), 10.) 1-ом Всесоюзном симпозиуме "Математические методы в механике деформируемого твердого тела" (Москва, 1984 г.), 11.) семинаре по механике деформируемого твердого тела Института гидродинамики СО АН СССР (рук. проф. Аннин Б.Д., Новосибирск, 1984 г.), 12.) Всесоюзной конференции "Проблемы прочности, надежности элементов конструкций" (Петропавловск, 1985 г.), 13.) Всесоюзном симпозиуме "Вопросы теории пластичности в современной технологии" (Москва, 1985 г.), 14.) И-ом и Ш-ем Всесоюзном семинаре "Граничные интегралыпле уравнения. Теория, алгоритмы задачи" (Пущино 1985, 1986 гг.), 15.) Y-ой Международной конференции "Обработка давлением высокими параметрами" (ЧСФР, Братислава, 1989 г. ), 16.) IY-oii Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" ( Одесса, 1989 г.), 17.) ХІИ-ой Всесоюзной конференции "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур" (Каунас, 1989 г.), 18.) 1-ом Всесоюзном съезде технологов-машиностроителей ( Москва, 19S9 г.), 19.) \'-ой Всесоюзной конференции "Методы расчета изделий из высокопластичных материалов" (Рига,1989 ), 20.) Международной конференции "Актуальнії проблеми па пластичната обработка маталпте" (Болгария Варна, 1990 г.). 21.) Всесоюзном научно-техническом семинаре "Механика и технология машиностроения" (Свердловск, 1990г.), 22.) семинаре по термопластичности Института механики АН Украины (рук. акад. Шевченко Ю.Н., Киев, 1991 г.), 23.) YII-o.M Всесоюзном Съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991 г.), 24.) семинаре по механике деформируемого твердого тела Института сверхтвердых материалов АН Украины (рук. проф. Левитас В.И.), 25.) АСНЕМА-91 Wasserstofflechnjlogie International Congress ( Germany, Frankfurt am Main. 1991), 26.) объединенном семинаре Института механики АН Украины (рук. акад.
Гузь, Киев, 1992 г.), 27.) 1-ом Международном семинаре " Металл-Водород 92 "(Донецк, 1992 г. ), 28.) IY-ой Всесоюзной школе по численным методам механики сплошной среды (Абрау-Дюрсо, 1992 ), 29.) biteniatioiial Symposium on Tribo-Fatigue (Gomal, 1993), 30.) семинаре "Нелинейные уравнения математической физики" ИММ УрО РАН (рук. акад. Сидоров АФ., Екатеринбург, 1993 г.), 31.) Международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994), 32.) семинаре по термообработке и физике металлов УПИ (рук. проф. Гольдштейн М.И., 1994 г.), 33.) 2-й Международной Зимней школы по механике сплошных сред, ( Пермь 1997), 34.) Third International Conference on Materials Processing Defects (1997, Cachan, France), 35) XVII-й Уральской конференции "Контроль технологий, изделий и окружающей среды физическими методами."(Екатерннбург, 1997 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 74 статей и докладов, включая 4 авторских свидетельства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы 292 наименования, содержит 248 страниц текста иб'5 страниц рисунков.
Вариационные принципы теории упругости и пластичности
Решение полной системы дифференциальных уравнений, описывающей процессы пластической деформации в обрабатываемом металле, в настоящее время является невозможным без существенных упрощений. Упрощения, приводящие к разрешимым системам, в свою очередь, значительно искажают существо реального процесса. Наиболее продуктивным мето-дом решения этой задачи является вариационный. Подтвежденнем тому служит бурное развитие вариационных принципов и методов их реализации в задачах механики сплошных сред. Привлекает довольно простая схема реализации: описывается область; описывается функционал; описывается класс функций, на котором ищется минимум;, описывается способ вычисления функций и функционала; выбирается способ минимизации. Данная последовательность ближе инженеру, т.к. он обычно имеет удовлетворительное представление о результатах расчета, что позволяет надеяться на хорошее начальное приближение и является весьма важным для методов минимизации.
Вариационные методы имеют ряд преимуществ перед решением системы дифференциальных уравнений, получаемым в основном конечно-разностными методами: большая общность функционалов, имеющих смысл работы, мощности; функционалы содержат производные меньших порядков, чем эквивалентные системы; устойчивость вариационных методов, имеющих смысл минимума энергии. Недостатки, присущие вариационным методам решения задач пластической деформации (недостаточная изученность функционалов теории пластичности, отсутствие универсальных методов минимизации, особенно при больших размерностях) будут, видимо, преодолены быстрее, чем найдены способы интегрирования нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных.
При сравнительной простоте схемы реализации задач с помощью вариационных методов необходимо отметить некоторые трудности, возникающие при конкретной реализации. Наибольшие затруднения возникают при согласовании класса функций с соответствующей формой функционала и при согласовании метода минимизации с соответствующим экстремальным принципом. При выборе класса функций возникает вопрос о выборе условий, которым эти функции подчиняются. Можно выбрать
-16 класс функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям и дифференциальным связям. Тогда упрощается функционал, но усложняется метод минимизации, нельз я произвольно варьировать функцию» С другой стороны, включение в функционал граничных условий и дифференциальных связей упрощает метод минимизации, но увеличивает сложность функционала.
Решение практических задач основывалось первоначально на теории упругости и, в частности, на соответствующих вариационных принципах. Это объяснялось, во-первых, достаточной, с практической точки зрения, точностью упругого эквивалента реальному материалу, во-вторых, достаточной простотой и хорошей изученностью этих принципов. Подробное изложение вариационных принципов теории упругости с соответствующими доказательствами можно найти в работах [ 31-3б].
Вариационные принципы деформационной теории пластичности достаточно хорошо изучены, для многих функционалов доказаны теоремы существования и единственности [40-42,64], показана сходимость и устойчивость метода Еитца [4I-42J. Они нашли широкое распространение для определения напряженного и деформированного состояния элементов конструкций, пластин, оболочек. Однако возможности использования этих принципов ограничены возможностями самой деформационной теорией пластичности, прежде всего, условием малости деформаций.
Другое направление связано с теорией пластического течения. Впервые вариационный принцип для вязко-пластической среды был сформулирован А.А.йльюшиыым [4В/. Позднее А.А.Марковым [38J был сформулирован принцип для поля скоростей в идеально-пластическом, теле в предположении, что всюду в теле обеспечиваются пластические дефор -13 мации. Дальнейшее, наиболее полное, исследование вариационных принципов для пластического течения связано с работами П.П.Мосолова и ВЛТ.Мясникова [45-48J. Авторами рассматривался вариационный принцип для медленного течения вязко-пластического материала 11гП = /{ ч e(t/;7 - ЬІ І }o(V- J{i votsj (I.2I) где [e СОД- диссипативный потенциал. В аналогичном виде можно записать функционалы теории упругости и упруго-пластичности, но в отличие от последних диссипативный потенциал для (1.21) не является дифференцируемым.- Поэтому можно построить уравнения Эйлера для функционала (I..2I) только в области, где решение имеет отличный от нуля градиент поля скоростей. В работах [46-47J для областей, в которых решение имеет постоянное значение, уравнения Эйлера заменяются соответствующими геометрическими условиями. Для функционала (I.2I) решается вопрос о существовании и единственности решения. Рассмотренный принцип может быть использован для решения конкретных задач, однако в его формулировку не входит условие трения на границе, сами границы полностью определены, результатами решения могут быть только кинематические характеристики при медленном течении. Возможны другие формулировки
Упругая связь приводит к вариационным принципам упругости, пластическая - к вариационным принципам деформационной теории пластичности. Для формулировки вариационного принципа необходимо выбрать способ варьирования. Если для исходной задачи необходимо определить только перемещения, то они выбираются в качестве варьируемых функций, при этом напряжения считаются постоянными относительно операции варьирования.
Условие перехода металла на контактную поверхность
При деформировании металлов протяженность контактной поверхности меняется как вследствие скольжения металла вдоль поверхности инструмента, так и из-за перехода металла со свободной поверхности на контактную. При решении краевых задач обработки металлов давлением первое изменение учитывается наличием закона трения и не ведет к изменению типа граничных условий для точек поверхности тела. Изменение протяженности контактной поверхности за счет перехода ведет к изменению типа граничных условий, т.е. к изменению краевой задачи для каждого следующего момента деформирования. Следовательно, для учета этого перехода краевую задачу необходимо дополнить соответствующими условиями, а для решения задач разработать способ пересчета границ.
Кинематически процесс перехода металла на контактную поверхность можно представить следующим образом. Обработка металлов давлением производится под воздействием инструмента, движущегося с определенной скоростью. Это могут быть, например, штампы пресса, валок прокатного стана и т.п. В частном случае инструмент может на -холиться в покое, например, стенки неподвижного контейнера. Скорость материальных точек, находящихся на свободной поверхности, отличается от скорости движения инструмента, поэтому траектории их движения могут пересекаться с поверхностью инструмента, в дальнейшем оставаясь на этой поверхности вследствие условия непроникновения. Это будет определять переход металла со свободной поверхности на контактную. С другой стороны, материальные точки, лежащие на поверхности контакта, могут отходить от этой поверхности, что будет определять обратный переход.
Рассмотрим условия образования контактной поверхности. Посколь K7 инструмент движется как твердое тело, она совпадает с поверхностью инструмента и для нее необходимо определить границы. Границы контактной поверхности металла будут образовываться от пересечения поверхности инструмента и свободной поверхности. Пусть рабочая часть инструмента описывается в момент времени іск) поверхностью в силу условия непроникновения этому же уравнению будут отвечать материальные точки контактной поверхности металла, а свободная поверхность в этот же момент времени описывается уравнением ( ic ) )=0, (2.32) где /г - номер свободной поверхности. Решая совместно (2.31) и (2.32) получим пересечение поверхности инструмента с п. -ой свободной поверхностью, что и определяет Гранины контактной зоны. Для момента времени tiK будем иметь Где & iCK 0 = iu - tCK) , и система будет иметь вид Это определит границу между свободной и контактной поверхностями в момент времени -L к \ Рассмотрим простейший пример. Пусть решается плоская задача осадки заготовки с начальными размерами о и А . Уравнение поверхности плиты имеет вид -г - А = о . (2.33) Задана скорость движения инструмента V- tf . В начальный момент времени свободная поверхность, описывается уравнением ос - t0 =0. (2.34) Из (2.33) и (2.34) сразу же определяется граница контактной поверхности. Краевые условия определены и задача может быть решена одним из известных методов, например вариационным. Пусть решением задачи в нулевой момент времени является поле скоростей Решение во времени осуществляется шаговым методом. Тогда для момента времени i" = tto) +ьі будем иметь г V л t - Л -- О ; х + ifx")(x,z) - I -- О. Отсюда г = k - v і J а х - определяется из уравнения Следовательно, для момента времени 1} краевая задача определена и может быть решена и т.д. Рассмотрим обратный процесс отхода металла с контактной поверхности на свободную. Для простоты рассуждений будем считать, что на свободной поверхности є г; п- - f;-0. Согласно принципу виртуальных скоростей и напряжений возможное напряженно-деформированное состояние должно быть согласовано уравнениями движения, в некоторых случаях условием несжимаемости, граничными условиями, а минимизация функционала принципа приводит к удовлетворению физических уравнений связи и закона трения. Таким образом, краевая задача обработки металлов давлением сводится к вариационной задаче на условный экстремум, где перечисленные выше уравнения и условия на границе выступают в качестве уравнений связи.
В практике применения вариационных принципов в обработке металлов давлением виртуальное состояние удовлетворялось уравнениям связи аналитически, т.е. часть искомых величин задавалась с помощью варьируемых параметров, а остальные определялись из решения уравнений связи и граничных условий. Это давало возможность снижать количество варьируемых параметров, для простых координатных функций в методе Ритца и при небольших разбиениях в вариационно-разностном методе такое решение не вызывало серьезных затруднений. Решение задач в высоких приближениях, сложная геометрия деформируемого тела, нелинейные координатные функции затрудняют, аналитическое удовлетворение уравнений связи, а зачастую делают это невозможным. Решение задач вариационно-разностным методом сводит уравнения связи к линейным системам уравнений. Точность решения в этом случае зависит от количества разбиений на элементарные ячейки, но увеличение количества ячеек ведет к проблеме выбора независимых варьируемых параметров. Эта процедура достаточно трудоемка из-за решения соответствующей системы на каждом шаге минимизации, а произвол выбора независимых переменных существенно снижает общность алгоритма.
Вывод основного вариационного уравнения
Потребности решения нестационарных технологических задач обработки металлов давлением потребовали формулировки и обоснования вариационного принципа для процессов, протекавдих во времени, в упрутовязкопластической постановке. За основу был взят принцип, сформулированный Б.Л.Колмогоровым [5IJ.
Для формулировки вариационного принципа необходимо определить способ варьирования. Будем считать, что по условиям задачи необходимо определить напряжения в пластической области, скорости перемещений в общем объеме и границы раздела упругой и пластической части обрабатываемого тела, зон упругого и пластического скольжения на контактной поверхности. Скорости изменения напряжений и напряжения в упругой части можно найти из (3.2), зная скорости перемещений. Поэтому варьирование будем проводить по напряжениям Ъ? в Я. І , скоростям перемещений І/І в О. І и 51 г и границам между областями Qt и &z , 5Si и Ss2 , где Я. = V х [to,ii] , соответственно Я.± - Vi х [ to ,f, j, &z = Vz x [ o , it ] . Вариация области SOL рассматривается в следующем смысле /... Лх. = /... Sic , где S - граница области О, , з - толщина слоя между действительной поверхностью 5 и ее виртуальным состоянием. Для известной поверхности $1-0 и, следовательно, / ... о/зс. - О. 10. Уравнение в вариациях с учетом выбранного способа варьирования будет иметь вид -68 St здесь Sc - неизвестная граница Я, , вариация известной границы обращается в нуль. Используя формулы почленного дифференцирования и Гаусса-Остроградского, получим J L єч j tfi + рСк/с - p ) Vi 2 Ыв olx. H j L s-y n- SuL - v. Se- J n,- jot - /єїл; гг- Holx = о. S I Общая область Я. состоит из пластической части ЯА и упругой Я. г . В СВОЮ ОЧЄрЄДЬ Sj = Sfj, U Sj И Ss = Ss/ U S sz , = /j. uds ГДе Ж- і - граница раздела между S j и Sjz , s -между Ss, и SSi . Согласно принятому способу варьирования координаты материальных точек не варьируются, т.е. не варьируется закон движения и внешние свободные границы. Они определяются из системы дифференциальных уравнений с граничными условиями Распишем вариационное уравнение, считая, что 6JJ - напря -69-жения в 1 І ,6 - в Я. 2 и 6- не варьируются J L 61» S v- VL + VjtfL SeJ + P (vfL-y )SirL ] d + S91 Я f С 1 у ) SWi ]dx. + 7 С 6- J 7,-2/,- + уз ( и/ - (j,L ) V ] Uq z dx 9г S i S Sl dix. dst dsi здесь 59i результат варьирования Я.± , S92 - і?г , d. Покажем справедливость равенств j t б" 7; 1Г; + ]э С гсГ - cj, і ) гг. J (У ЗІ с/ х = -/ Сб-;і V; гГ: t рСм/і , i )гГ\- ] 5»г J C3.SJ / б »/і; г/,- Ни doc - - У л; ifc Мн ol J (з.9} -70 j e/J n.i ус Sludx = - Jet ij V; SiSi ctx. (3.10) Разница знаков обеспечивается взаимнопротивоположенным направлением внешней нормали к соответствующим поверхностям. Рассмотрим (3.8). Из первого равенства (2.34) следует / f Cu;: yi )V: Sin с(х = - J/ С vfi-cp ijTTcf ai x. (з. її) Учитывая кинематические соотношения (1.2) и симметричность тензора бч , получим ffij V; Ifi = W % Cj . (3.12) На виртуальном состоянии, не согласованным физическими уравнениями связи, плотность мощности деформации (3.12) для областей Qі ж Qz а, значит, и для S3I и S9z , вообще говоря, не совпадает. Но на S3 выполняется условие текучести (2.33), значит И ) = К6-/0. (3.13)
Соотношение {3,11) является вариационным уравнением принципа, который гласит. Для деформируемого тела из всех возможных полей напряжений вч" t удовлетворяющих в варьируемой области пластических деформаций 51/ уравнениям (I.I) и граничным условиям (2.36), и из всех возмож--ных полей скоростей перемещений i/"i , удовлетворяющих на границах варьируемых областей пластической - и упругой і?/ деформаций, граничным условиям (.2.38),(2.39) (кроме условий трения), на действительном напряженно-деформированном состоянии б Ії , ггі в действительной пластической Q± и упругой 52 z области функционал, стоящий в фигурных, скобках уравнения (3.17), принимает экстремальное значение.
Отметим, что вариационное уравнение (3.19) получено в предположении о том, что на 5 выполняются (2.33),(2.34), а на - (2.19), (2.35). Следовательно, эти уравнения дополняют (3.20). Полученные уравнения с точностью до множителей Лагранжа совпадают с исходной краевой задачей. Тем самым, доказана эквивалентность вариационного уравнения (3.17) и краевой задачи.
Вариационный принцип для идеально пластического тела. Разрывные решения
Для многих материалов характерно незначительное скоростное упрочнение, и для многих процессов сопротивление деформации можно представить независимым от скоростей деформации, хотя по-прежнему, может иметь место деформационное упрочнение и зависимость от других термомеханических параметров. Решение такого класса задач может быть осуществлено в рамках идеальной пластичности, либо вариационная задача должна быть сформулирована в рамках деформационной теории пластичности. В настоящем разделе приводится следствие вариационного принципа виртуальных скоростей и напряжений для идеальной пластичности в рамках теории течения.
Для вывода уравнений Эйлера помимо условий (3.18) необходимо ввести условие текучести (4.27), условие пластической сжимаемости (4.28) и условие скольжения (4.29) с множителями Іагранжа. В остальном схема вывода остается прежней. а иногда и вообще невозможно, поэтому в практических расчетах часто используют разрывные решения. Общая область разбивается на ряд подобластей и для каждой элементарной области строится решение, причем на границе допускаются разрывы. Так как слабые разрывы, т.е. такие, на которых допустимы скачки для производных по координатам, не влияют на постановку вариационной задачи, далее будут рассматриваться только сильные разрывы, т.е. тела, где происходит скачкообразное изменение искомых функций. Разрывные решения имеют в ряде случаев несомненное преимущество перед непрерывными решениями в том, что допускают более простые решения для каждой элементарной области. Однако на разрывные решения накладываются ограничения. В случае разрыва поля скоростей решение возможно только в рамках идеально пластических материалов, так как скорости деформации на поверхности разрывов имеют бесконечно большие значения.
Обратимся к функционалу принципа (4.30) и найдем его вид в случае разрывных решений. Рассмотрим в окрестности поверхности St слой, толщина которого при ь\) + о мала. Пусть по толщине слоя скорости меняются линейно и непрерывно, причем в пределе v- о поле скоростей становится разрывным. Из функционала выделим часть объемного интеграла, относящегося к слою / iZs И + о 1 + р (и/ї-Суі) гГ; J о V ct . Si Вычислим подинтегральное выражение при -»о . Введем ортогональную систему координат (v, т, ц): v - по нормали к $1 f т - по касательной к S I , ч - вдоль разрыва скоростей. Тогда г/л = о , iTu t О » л tfT j о , здесь значком д обозначены разрывы скоростей в соответствующем направлении. Поскольку в формуле И = v . все компоненты ограничены, кроме АІ/І, /ду и л г /в1/ , то/51J
В качестве иллюстрации применения разрывных решений и учета динамической составляющей рассмотрим задачу удара пластического тела о жесткую неподвижную преграду. Схема деформирования плоская. Материал.деформируемого тела принят изотропным, несжимаемым, жестко-пластическим. Представим пластическое деформирование тела в виде движения двух жестких блоков I и 2 рис.12, геометрия которых единственным образом определяется углом и . Вся пластическая деформация сосредоточена на линиях разрывов скоростей, динамическая волна полностью переходит в пластическую деформацию.
Таким образом, деформированное состояние определяется с точностью до одного варьируемого параметра «L . Функционал (4.32) в условиях задачи запишется так: IOA V ( Ъ - j Vl ЛІ сі. ( MnzcL - bs\l L ))/2c&oL . (4.35 ) здесь Si , Sz - площадь блоков, OA - длина линии разрыва. -І09-Условие минимума (4.35) имеет вид ЇЗУОоі =0. (4.36) Дополним его уравнениями движения блоков в проекциях на оси. Блок I: Ox : f (ё0 to - Sz ) if = (zs С ОІ єч-і d ) і /j„ ( 4.37 ) движение в направлении оси 0ц - отсутствует. Блок 2: Ox. : Р4 - (Zrc nL - є ЫлА ) 6/ -и L . -- О ; ( 4.38 ) здесь б" и Р - нормальные напряжения соответственно на линии разрыва ОА и на контактной с преградой поверхности. Решая совместно (4.36)-(4.39J относительно 4 , if , б" , р , получим oL - { if ( ё (coiZd c&}ld - Z i l =l) /c d +i cL + 6 e V Л ІИ.ОІ c \ 2oi ) ( So to Wll - S, см г л) /г V L ZS, ( Vz + її гоіс и)/с гоі - S, So 4 (г- cmZoi) t S, ( i0t0 л-ііоі wot) J ; if - - (Zs L cA9ol/j + S, iTiqoi )/( ij0( loi - S, С&4Ы ) -І10 & - j ( Lie - s, ) it /4 + ТІ Ucfoi P - ( Є M.v\oL І- tCs C&) oL ) /-bin oi . Решение во времени осуществлялось с помощью шаговой процедуры. Шаг по времени выбирался из условия малости деформации &4/б « o.oz , откуда ДІ Решение осуществлялось при следующих исходных данных: . -- 00 " /с«, 10 -- 0.1м ; &о - 0,01м ; TS -- 6-в.ЄІ- ю v н/м Р - и, 1 . На рис.14 представлено изменение силы удара и коэффицент динамичности 3 = /33uw/PcT . Влияние динамической составляющей на показатель напряженного состояния на линии разрыва ОА определяется формулой Деформирование тела во времени показано на рис.15. Результаты решения сравнивались с решением этой задачи другим методом [73]. Время продолжительности удара в решении г о,/гг/о с f в 73J -.- о,ічь- to с . . Ударная сила в момент времени і-О в решении p.- srj- /о Ч.РІ и B[73J - Р - г,5 . JO . в.ft и.
