Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановки задач 15
1.1 Классическая постановка краевой задачи с собственными деформациями 15
1.2 Обобщенная постановка краевой задачи с собственными деформациями , 16
1.3 Постановки краевых задач для импотентных и нильпотентных собственных деформаций 17
1.4 Постановки задач управления 19
1.4.1 Управление напряжениями 20
1.4.2 Управление деформациями 20
1.4.3 Управление перемещениями 20
1.5 Методы решения задач тории упругости с собственными деформациями 21
1.5.1 Аналогия Дюамеля 21
1.5.2 Формула Майзеля 26
1.5 Выводы по главе 1 28
Глава 2. Разложение собственной деформации на импотентную и нильпотентную части 29
2.1 Функциональные пространства собственных деформаций 29
2.1.1 Подпространство импотентных собственных деформаций 30
2.1.2 Подпространство нильпотентных собственных деформаций 33
2.2 Теорема об импотентных и нильпотентных собственных деформациях 36
2.3 Теорема о разложении собственной деформации 36
2.4 Следствия из теоремы 41
2.4.1 Следствие 1 41
2.4.2 Следствие 2 42
2.5 Демонстрационные примеры 42
2.5.1 Пример разложения собственной деформации 42
2.5.2 Альтернативный вывод обобщенной формулы Майзеля 44
2.6 Выводы по главе 2 45
Глава 3. Разработка алгоритмов решения задач управления 47
3.1 Оценки отклонения напряжений и деформаций от требуемых значений 47
3.2 Методика построения базисных элементов 49
3.3 Алгоритм решения задачи управления напряжениями 54
3.4 Алгоритм решения задачи управления деформациями 55
3.5 Алгоритм решения задачи управления перемещениями 56
3.5.1 Управление перемещениями в сплошном теле 57
3.5.2 Управление перемещениями в дискретизированных системах 58
3.5.3 Иллюстрация задачи управления перемещениями 63
3.6 Выводы по главе 3 65
Глава 4. Решения задач управления напряжениями и перемещениями 67
4.1 Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задачаї 67
4.1.1 Постановка задачи 67
4.1.2 Решение задачи о силовом деформировании системы и построение базиса нильпотентных собственных деформаций 68
4.1.3 Постановка и аналитическое решение задачи управления 71
4.1.4 Численное решение задачи управления 74
4.2. Создание ненулевых перемещений опорной конструкции 75
4.2.1 Постановка задачи 76
4.2.2 Построение подпространства совместных деформаций . 76
4.2.3 Решение задачи управления перемещениями 79
4.3. Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача 2 80
4.4. Выводы по главе 4 86
Заключение 87
Библиографический список использованной литературы
- Обобщенная постановка краевой задачи с собственными деформациями
- Подпространство нильпотентных собственных деформаций
- Алгоритм решения задачи управления напряжениями
- Решение задачи о силовом деформировании системы и построение базиса нильпотентных собственных деформаций
Введение к работе
Прогресс, достигнутый во многих областях техники, повлек за собой развитие теории термоупругости. Разработка новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов, конструкций, работающих в космосе (телескопы платформы и т.д.) и многого другого стимулирует развитие термоупругости и по сегодняшний день. Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. И знание величины и характера действия тепловых напряжений всегда было необходимо для всестороннего анализа конструкции [1].
Основная цель построения моделей на основе теории термоупругости с собственными деформациями заключается в определении напряжений и деформаций, возникающих в теле при заданных силовых нагрузках и температурных деформациях тела с некоторыми опорами. Однако не меньший теоретический и практический интерес представляет решение так называемых задач управления термоупругости.
Современная инженерия позволяет осуществлять управление системами не только за счет температурной деформации, но и деформации других видов: пьезоэлектрической, ростовой в случае живых систем, пластической и др. Использование пьезоэлектрического управления дает возможность создавать интеллектуальные конструкции, которые способны практически мгновенно откликаться на действующие факторы. Проектирование интеллектуальных структур находится на самом острие инженерных исследований и разработок и стоит острая необходимость в развитии теоретического фундамента для создания таких систем. В настоящее время имеет место огромный интерес к возможности разработки телескопов и антенн большого диаметра при жестких ограничениях на точность поверхности. Одними из самых важных проблем в этой области являются разработка и изготовление основного зеркала телескопа диаметром один и более метров, удерживающего геометрию в установленных пределах. Аналогично, отражающая поверхность микроволновых антенн должна поддерживаться в процессе эксплуатации в пределах миллиметра, чтобы удовлетворительно выполнять заданные функции. Главными факторами, нарушающими форму, являются постоянно меняющиеся градиент температуры и силовая нагрузка. Например, величина градиента температуры может достигать в условиях космоса 200-250С на характерный размер конструкции. Похожая проблема возникает при эксплуатации элементов платформы и других как космических, так и наземных устройств. Проблема оказывается крайне сложной в силу большого количества управляющих параметров (до 100 и более) и целей управления. Решением таких комплексных проблем может служить проектирование интеллектуальных систем [2], где в качестве инструмента управления выступают температурные и (или) пьезоэлектрические деформации.
Управление ростовыми деформациями актуально при лечении различных патологий у детей и взрослых. К примеру, в работе [3] оптимизирована процедура лечения расщелины твердого нёба у детей. Дано биомеханическое обоснование новой методики лечения, которая позволяет избежать травматичной операции по установке носовой корректировочной пластинки. Процессы роста и рассасывания костной ткани также можно понимать под ростовыми деформациями. Показано, что костная ткань обладает пьезоэлектрическими свойствами [4, 5, 6] и что есть возможность оказывать влияние на процессы перестройки костной ткани [7] и сращивания переломов.
Управление пластическими деформациями необходимо при снижении уровня остаточных напряжений в системе. В работе [8] была разработана теория управления остаточными напряжениями, которая позволила решить ряд вопросов управления самоуравновешенными остаточными напряжениями в задачах термоупругопл астичности.
С развитием науки в этих областях, было замечено, что все перечисленные виды деформаций имеют ряд общих особенностей, которые не зависят от природы их возникновения и в современной науке носят название собственных деформаций (eigenstram).
Термин собственные деформации впервые ввел Рейснер {Reissner) в 1931 году [9]. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1991 году Мура {Мига) [10] предложил более общее определение собственной деформации, принятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории это есть неупругие деформации любой природы (температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и др.). В этой же работе Мура предложил понятие импотентной собственной деформации (например, нагрева) как деформации, не вызывающей напряжений в системе. Позже в 2001 году Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler) [11] ввели понятие нильпотентной собственной деформации, то есть не создающей полной деформации в любой точке системы.
Вопросы моделирования и решения задач управления в упругости с сосбственными деформациями (в основном термоупругости) рассматриваются в литературе давно. Спектр работ по тематике работы можно описать в двух категориях: моделирование в теории упругости с собственными деформациями (в том числе и с целью решения задач управления) и собственно решение задач управления.
Исследования по термоупругости сначала стимулировались задачами о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюамелем (1838) и Нейманом (1841), которые исходили из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями закона Гука, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.
Классическими работами в этой области являются монографии [1, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. В этих работах рассматриваются гипотезы и постановки задач термоупругости, в работах [15,18] исследуются математические аспекты постановок и решения задач термоупругости, в частности, формулируется ряд теорем и следствий, позволяющих доказать существование и единственность решения задачи термоупругости в обобщенной постановке. Монографию [14] отличает множество сформулированных и разобранных задач расчета напряжений и деформаций под действием температуры. Автор рассматривает также проблемы моделирования, выходящие за рамки термоупругости.
Иные публикации больше сфокусированы на решении более частных и более сложных задач. Наиболее фундаментальными из статей по своим результатам решения прямых задач несвязанной термоупругости можно назвать работы Нура (Noor) [19], Л оке (Locke) [20], Дави (Davi) [21]. В этих работах формулируются и реализуются на задачах с простой геометрией основные принципы решения задач термоупругости: в многослойный балках [21], в многослойных композиционных панелях [19]. Нелинейный отклик в многослойных оболочках из композиционных материалов был описан в работе [20].
Подавляющее число работ по решению задач термоупругости обращено к вычислению напряженно-деформированного состояния при различных граничных условиях в заданной области. Так, в работе [22] вычисляются температурные напряжения в трехслойной балке, в работе [23] с помощью преобразования Лапласа приводится аналитическое решение в напряжениях для однородного цилиндра. Отличает последнюю работу то, что источник тепла совершает вращательное движение. Заметный вклад в моделирование и управление температурными напряжениями и деформациями внес Таучерт {Taucheri). В первых работах [24, 25] на эту тему он предложил численный алгоритм вычисления температурных напряжений в термоупругом цилиндре. Алгоритм был основан на применении метода Ритца (и его модификации) для минимизации функционала дополнительной энергии деформации. Несколько позже [26] им была решена задача о температурном выпучивании в композиционной оболочке прямоугольной формы. Развитие технологий привело к расширению применения композиционных материалов, анализ напряжений и деформаций в конструкциях, изготовленных с помощью новых материалов, нашел отражение в работах Хайера (Нуег) [27,28,29,30]. В этих работах вычисляются на основе классических гипотез термоупругости напряженно-деформированные состояния в оболочках цилиндрической [27, 28] и плоской формы [29, 30]. Оболочки считаются многослойными, каждый слой - композиционный материал. Расчеты представлены в виде последовательности аналитического и численного этапов решения. В других работах рассчитывались искривленные балки, пластины, цилиндры (например, [31,32,33]) и другие тела правильной или симметричной формы (например, [34, 35, 36]). Рассматривалось и температурное выпучивание [37]. Тенденции сохранились и до сих пор. Но значительно расширился круг решаемых задач, например, рассматриваются новые материалы, свойства которых можно считать не классическими, что изменяет привычные процедуры вычислений [38, 39, 40 ]. Также решаются задачи термоупругости в динамической постановке [41].
Иные работы посвящались исследованию не столько напряженно-деформированного состояния, сколько связанных с ним характеристик: распространение волн в теле [42], напряжения в области неоднородности [43], локализации колебаний [44,45]. Заканчивая описание литературы по решению прямых задач термоупругости, отметим классическую работу о методах решения задач термоупругости и других задач методом конечных элементов [46].
Вопросы управления напряжениями относятся к классическим задачам термоупругости. Первые фундаментальные постановки задач как задач управления а термоупругости при известном решении в напряжениях можно найти в монографиях [12, 13]. Наибольший интерес в них обращен к вопросу о нагреве, не создающем напряжений в теле. Мелан (Melari) и Пар кус (Рагкш) пытались определить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять искомое температурное поле. Однако удалось им это сделать лишь для незакрепленных односвязных тел простой геометрии, поскольку авторы пытались найти решение прямой задачи в напряжениях аналитически и по нему установить свойства температурного поля. В более поздней работе [12] была сделана попытка установить свойства искомой температуры из свойств уравнений задачи термоупругости и было получено необходимое условие отсутствия температурных напряжений, но вновь в свободных телах. Рассматривалась классическая постановка задачи несвязанной термоупругости. В других работах по термоупругости имеются лишь замечания по отсутствию напряжений в результате нагрева. В последнее время теоретические изыскания в этой области продолжили Циглер и Иршик, получившие в своей работе [47] необходимое условие для температурного поля, не создающего напряжений в более общем случае. Итоги этих исследований приведены в работах [48, 49]
Похожие задачи рассматривались в литературе для более частных задач, к примеру [50,51]. Школа о проблемах отсутствия напряжений, но в задачах пластичности, сложилась в Перми, где активно решались задачи управления остаточными напряжениями, к примеру, работы Поздеева, Няшина, Тру сова [8, 52] содержат результаты для свободных тел и само-уравновешенных напряжений. Идеи, высказанные в работах [8,52] позволили сформулировать необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять температурное поле, чтобы создать в теле известные напряжения, В работах Няшина, Кирюхина и Циглера эти идеи получили должное развитие и были сформулированы необходимые и достаточные условия для импотентного нагрева в несвободном теле [3,53, 54, 55].
Задачи достижения ненулевых напряжений в теле рассматривались в работах [56, 57]. Для решения таких проблем многие авторы вводят в решение интегральный функционал как целевую функцию (так называемый представительный индекс проблемы оптимального управления) и далее используются дифференциальные методы нелинейной оптимизации [12, 56, 58, 59, 60, 61, 62]. Многие исследования посвящены термо-пьезо-электрическому управлению, в частности, для балок, пластин и оболочек [63, 64,65,66].
Вопросы управления деформациями вызвали больший интерес со стороны исследователей, поскольку данная тема вплотную примыкает к задачам проектирования. Действительно, поиск параметров модели по известным деформациям может вестись в направлении подбора свойств, материала, геометрии, топологии или в направлении определения температурных, силовых нагрузок. В первом случае — это задачи оптимального проектирования. Во втором случае мы говорим об оптимальном управлении (температурном, пьезоэлектрическом или силовом).
Задачи температурного и пьезоэлектрического управления решаются преимущественно численно, Выделяется некоторая целевая функция, выражающая отклонение полученного значения деформации от заданного, далее ее минимум исследуется с помощью какого-либо метода минимизации, учитывающего ограничения. Отметим работы в этой области [67, 68].
Решения проблемы управления, особенно в сложных практических задачах, сводят, как правило, к задаче оптимизации некоторого функционала. Функционал зависит от величин, определяемых из прямого решения модели. После этого используются теоретические и численные методы оптимизации. Помимо температурного управления решаются задачи управления деформациями с помощью активных сил или пьезоактиваторов - элементов конструкции, обладающих пьезоэлектрическим эффектом. Вопросы силового управления отражены в работе Бушнеля {Bushnell) [69]. Вопросам пьезуправления посвящены работы Pao (Rao) и Сунара (Sunar) [63,65], а также работы Ноды (Noda) [70, 71].
Рассматривается в последнее время частная проблема управления деформациями - управления формой в процессе эксплуатации изделия. Факторы управления формой те же: температура, сила и пьезо-деформация [72, 73, 74, 75]. Работа [76] отражает вопросы решения задач управления деформациями, разработанные за последние 15 лет.
Задачи проектирования напряжений, деформаций и перемещений рассматриваются в широком круге работ. Однако среди совокупности работ в данной области мы выделим ряд работ, рассматривающих проектирование именно с позиций задач управления температурными деформациями.
Проектирование (иначе - системная оптимизация [77]) может быть определена как рациональное осуществление системного проектирования, т.е. лучшего из всех возможных проектов в свете определенных целей и удовлетворяющих заданным геометрическим установкам и/или ограничениям па поведение [78].
Наиболее полно первые формулировки и некоторые способы решения задач проектирования приведены в обзорных статьях [79, 80].
Одними из первых фундаментальных работ по решению задач проектирования стали работы Прагера (Prager). Работы его можно отнести и к классу управления и к классу проектирования, т.к. он одним из первых сумел применить энергетические критерии оптимизации для минимизации веса балки [81], подверженной нагреву и др. Способы решения задачи в своем развитии стали основой современных методов решения задач проектирования [82].
Обращаясь к современному состоянию проблемы, отметим, что много литературы посвящено вопросу структурной оптимизации изотермических конструкций [78, 83, 84]. Однако оптимизация термоупругих систем не получила должного внимания со стороны исследователей. Большинство работ в литературе посвящено проблемам оптимизации формы пластин [85, 86, 87, 88], оболочек [89], определению оптимального распределения толщины однородных пластин [90]. В середине 80-х годов особое внимание стало уделяться проектированию конструкций из волокнистых композитов [91]. В работе [78] в качестве параметров проектирования выбраны направления волокон, причем дополнительная энергия деформации выступает в роли целевой функции, устремляемой к минимуму без каких-либо дополнительных ограничений. Аналогичные проблемы решаются в работах [92, 93]. В [77] при общих условиях изучается оптимизация материала и нагрузки в термоупругом теле. В качестве целевой функции и ограничений выступают интегральный функционал температуры, теплового потока, перемещений, напряжений и деформаций. Переменные проектирования включают функции свойств материала и обобщенные объемные и поверхностные нагрузки, способ решения -метод анализа коэффициентов чувствительности.
Среди задач оптимизации стационарных или установившихся процессов в структурных и температурных системах могут быть важными оптимальная конфигурация свойств (т.е. модуля упругости Юнга, плотности массы, теплопроводности) [94, 83], оптимальная форма [95] и функции нагружения (т.е., поверхностные силы и тепловой поток на границе) [60, 96, 97]. С увеличением влияния экономии материала и энергии возникает проблема оптимизации энергетических систем. Можно отметить, что, если обычно функции нагружения не нарушают линейный характер уравнений состояния системы, то характеристики материала, полученные в результате решения проблемы оптимизации, приводят к нелинейности уравнений, включающих переменные как состояния, так и проектирования. Интересные результаты представлены в работе [98], в которой авторы Мруз (Mroz) и Миронов (Mironov) привели математический анализ и описали способы нахождения минимума в задачах проектирования при различных ограничениях. Данная работа фундаментальна по своим результатам, но, к сожалению, не нашла применения на практике.
Развиваемые в самые последние годы направления в решении задач управления характерны выбором новых типов материалов, градиентных материалов [99, 100], или доработкой модели упругости путем добавления в нее новых неклассических граничных условий. Решение задач управления становится возможным при решении и таких задач как распространение трещин [101].
Подытоживая вкратце выводы по обзору, заметим, что:
В литературе приведены постановки задач управления и проектирования в рамках теории упругости с собственными деформациями.
Задачи управления можно разбить на несколько характерных групп: задачи управления напряжениями; задачи управления деформациями (и перемещениями).
3. Хорошо развиты и реализованы на практических проблемах методы решения задач управления несвязанной термоупругости. В общем, они представляют собой построение некоторого функционала, отвечающего за благоприятный исход процедуры поиска нужного параметра. Далее ищется минимум этого функционала.
4. Сформулированы необходимые и достаточные условия для импотентного нагрева. Положительные аспекты опубликованных работ: накоплен опыт решения задач управления, решено множество практических задач, разработаны теоретические основы решения частных задач управления и проектирования.
Однако существует ряд вопросов, не нашедших должного развития. Управление напряжениями, как правило, приводит к изменению деформации системы. Этого не происходит только в том случае, когда прикладываемая собственная деформация является нильпотентной, но необходимых и достаточных условий нильпотентности не было сформулировано. Следующий вопрос возникает об одновременном и независимом управлении напряжениями и деформациями. Нет чёткого общего и обоснованного подхода к решению таких комбинированных задач. По мнению авторов, это возможно осуществить используя импотентные и нильпотенткые собственные деформации. Кроме этого, не сформулированы достаточные условия для принципиальной возможности создания в теле заданных напряжений с использованием собственной деформации, то есть существования решения задачи управления. При управлении собственными деформациями необходимо знать базис в функциональном пространстве и существует необходимость в разработке алгоритмов построения базисных элементов как для импотентных, так и нильпотентных собственных деформаций. Задачи управления формой в основном сводятся к созданию нулевых перемещений системы. В случае, когда требуемые перемещения не равны нулю, общего алгоритма не разработано.
Исходя из сказанного, в данной работе ставятся следующие задачи:
Исследование общих свойств моделирования собственных деформаций. Определение необходимых и достаточных условий нильпотентной собственной деформации.
Разложение собственной деформации на импотентную и нильпотентную части и исследование свойств этого разложения.
Разработка алгоритмов независимого решения задач управления напряжениями и деформациями, не используя процедуру прямого решения. Формулировка достаточных условий создания в теле заданных напряжений.
Разработка алгоритмов построения базиса в функциональных подпространствах.
Разработка алгоритма создания в теле заданного произвольного поля перемещений, не влияя при этом на напряжения. 6. Применение теории и алгоритмов к решению демонстрационных и практических задач управления.
В первой главе представлены классическая и обобщенная постановки задач для систем с собственными деформациями. Проведен анализ свойств импотентной и нильпотентной собственной деформации. Представлены постановки задач управления, основная идея которых заключается в следующем: считается, что тело подвержено внешним нагрузкам и что в этом теле может быть создана собственная деформация, заданы геометрия, топология и закрепление тела; теоретический анализ собственной деформации позволяет найти её влияние на тело; требуется определить собственную деформацию, которая приводит систему к заданному состоянию.
Простейшим примером таких задач может служить задача об импотентном нагреве как о нагреве, не вызывающем напряжений.
Во второй главе представлены фундаментальные свойства собственной деформации. Доказаны необходимые и достаточные условия для импотентной и нильпотентной собственной деформации. Доказано, что собственная деформация может быть единственным образом разложена на импотентную и нильпотентную части. Этот результат имеет большое значение для решения задач управления, так как он открывает возможность одновременно управлять напряжениями и деформациями в системе. Также становится возможным осуществлять управление напряжениями, не меняя деформаций системы, и, наоборот, управлять деформациями системы, не меняя при этом напряжения. Иными словами, задачи управления напряжениями и деформациями становятся независимыми друг от друга, и существует возможность их отдельного решения. В основе решения задачи управления деформациями лежит использование импотентной собственной деформации, которая вызывает деформации в системе, но не вызывает напряжений. В основе управления напряжениями лежит использование нильпотентной собственной деформации, которая вызывает напряжения, но не производит полную деформацию системы. Отметим, что решение задач управления проводится на основе анализа свойств решения, и при этом нет необходимости осуществлять непосредственное (иногда достаточно трудоемкое) решение задачи с собственными деформациями.
В третьей главе рассмотрены алгоритмы управления напряжениями, деформациями и перемещениями. Задачи управления перемещениями также называются задачами управления формой (shape control). Также рассмотрены вопросы построения базиса в функциональных подпространствах импотентных и нильпотентных собственных деформаций. Сформулированы оценки отклонения реальных напряжений в системе от заданных значений. Задача управления перемещениями сведена к задаче управления деформациями. При этом алгоритм позволяет создавать в теле ненулевые перемещения, что открывает широкие возможности в решении задач управления формой.
В четвертой главе решен ряд задач управления напряжениями. Показана простота и эффективность использования разработанных алгоритмов. В этой главе также представлен метод раскрытия статической неопределимости систем, используя свойства импотентной и нильпотентной собственной деформации.
Обобщенная постановка краевой задачи с собственными деформациями
Будем считать, что граница области Г делится на две взаимно непересекающиеся части: Г = ГииГя. На части границы Г„ заданы нулевые кинематические граничные условия, на части Г0 задан вектор напряжений Рє(С(Гс))3: Здесь кинематические граничные условия предполагается такими, что движение тела как жесткого целого невозможно.
Таким образом, совместное решение уравнений (1.1)-(1.6) позволяет определить напряжения а, деформации є и перемещения и системы. Однако классическая постановка задачи теории упругости с собственными деформациями предполагает существование первых производных от напряжений и деформаций, а также вторых производных от перемещений. Это существенно ограничивает применение теории к практическим задачам. К примеру, в методе конечных элементов перемещения являются кусочно-непрерывными функциями координат, а производные от напряжений в некоторых точках не определены. Поэтому вводится обобщенная постановка задачи [54], в которой напряжения и деформации являются элементами функционального пространства L2.
Обобщенным решением задачи называется симметричный тензор а, который определяется обобщенным законом Гука где и є \Wl ( )) , й = 0, х є Г„, и для которого работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю,
Здесь W\ пространство Соболева функций, имеющих первую обобщенную производную и интегрируемых в квадрате вместе с первыми производными. Деформации є(й) и e(w) определяются геометрическими соотношениями Коши (1.4), где производные понимаются в обобщенном смысле. Значения перемещений й и w на границе вычисляются посредством оператора следа [18]. В обобщенной постановке задачи считается, что Pe(L2(T0))t QG(L2(Q)) , є e(l2(Q)) , компоненты CiJki(itj, к, / = 1, 2,3) являются кусочно-непрерывными функциями координат.
В работе [54] показано, что классическое решение является обобщенным, а также в случае достаточной гладкости напряжений — обобщенное решение является классическим. В работе [53] представленная обобщенная постановка задачи переписана в другой форме, для которой в работе [18] доказано существование и единственность решения.
В данном параграфе рассмотрены фундаментальные определения импотентных и нильпотентных собственных деформаций. Рассматривается тело с наложенными собственными деформациями, но не нагруженное объемными и поверхностными силами. Отметим, что в силу малости деформаций напряжения и деформации, вызванные внешними силами, могут быть найдены из решения задачи об упругом деформировании тела и добавлены к величинам, вызванным собственной деформацией.
Импотентная собственная деформация є не вызывает напряжений в теле, с учетом этого краевая задача принимает вид: В результате полная деформация равна нулю. Отметим, что задачи (1.9) и (1.10) имеют неединственные решения и определяют множества импотентных и нильпотентных собственных деформаций.
Покажем, что сложение задач (1.9) и (1.10) даёт исходную классическую постановку задачи при отсутствии внешних сил. Действительно, напряжения в системе d = d2, упругие и полные деформации в системе равны, соответственно,
Для случая обобщенного решения мы имеем следующие соотношения: Импотентные собственные деформации вычисляется по геометрическим соотношениям Коши. Нильпотентные собственные деформации:
Покажем, что сложение задач (1.11) и (1.12) дает исходную обобщенную постановку задачи. Деформации и перемещения системы равны є = є,, и = її,, а напряжения вычисляются следующим образом: Таким образом, сформулированы постановки задач, определяющих множества импотентных и нильпотентных собственных деформаций, что в дальнейшем будет использовано для анализа собственных деформации и решений задач управления, постановки которых даны в следующем параграфе.
Подпространство нильпотентных собственных деформаций
Физический смысл подпространства Ни заключается в том, что это пространство есть множество совместных деформаций, где соответствующие им перемещения й обращаются в нуль на неподвижных опорах. Можно показать, что подпространство Ни является линейным, так как операции суммирования и умножения на число в результате дают элемент подпространства Ни. В дальнейшем тензоры, принадлежащие указанному подпространству, будут называться совместными.
Введение подпространства Ни заменяет классические условия совместности принадлежностью элемента из пространства Н подпространству Ни. Также мера несовместности деформации может быть определена как расстояние до подпространства совместных деформаций (отметим, что полные деформации системы всегда совместны, тогда как их составляющие могут быть несовместными). Кроме этого, важно отметить, что классические уравнения совместности предполагают существование вторых частных производных от деформаций по координатам. В предложенном определении эти ограничения не накладываются.
Далее считается, что элементами функционального подпространства являются тензоры собственных деформаций.
В этом случае из постановки задачи (1.9) видно, что импотентная собственная деформация принадлежит подпространству Ни. И наоборот, если собственная деформация принадлежит подпространству Ни, то она является импотентной.
Действительно, пусть наложение собственной деформации є є Ни создает в теле некоторые напряжения а при отсутствии внешних сил. Деформации и напряжения согласно соотношениям (1.2) и (1.3) связаны обобщенным законом Гука, где перемещения «, v связаны, соответственно, с деформациями є и є соотношениями Коши (1.4). Обозначив z = u-v и подставив выражение (2,6) в уравнения равновесия (1.1) и граничные условия (1.6), получим следующую задачу:
Очевидно, что краевая задача (2.7) имеет только нулевое решение. Поэтому и = v , следовательно, напряжения (2.5) равны нулю, то есть наложенная собственная деформация является импотентной. Далее мы рассмотрим обобщенную постановку (1.7-8). Если напряжения 6 = 0, тогда из соотношения (1.7) следует, что l(u)-z =С-1 -а = 0. Поэтому деформации є = є(м) є Ни. В обратном случае, пусть ё є Ни. Тогда напряжения в системе равны CT = C-(V«-VV) = C--V2, где и - действительные перемещения, а перемещения v соответствуют собственной деформации є , z = її-i?. Из уравнения (1.8) получим соотношение: jC"Vz-VWF = 0, Vwe JQ))3, w = Q, хєГи. n Примем w = z и получим следующее равенство: jC"Vz--VzW = 0. п
Вследствие положительной определённости матрицы CIJkl перемещения Z = 0 почти всюду. В результате получим, что напряжения a = 0. Таким образом, условие є є #„ является необходимым и достаточным для импотентной собственной деформации.
Приведем пример, показывающий важность условий, наложенных на перемещения на опорах. Рассмотрим систему, представляющую собой однородный стержень, жестко заделанный по краям (рис. 2.1).
Иллюстрация к вводимому понятию совместных деформаций Создадим в стержне однородный нагрев с температурной деформацией гт и найдем поле перемещений согласно введенному определению, то есть с использованием формулы (2.3): и(х) = zx + С,. Далее проверим условия на перемещения на границе Ги: JC=0: С1=0, х = 1: и = Е7 9 0.
Таким образом, условие не выполнено, следовательно, такой нагрев является несовместным и вызовет напряжения в данной системе.
В работе [54] доказана теорема о том, что деформация є является совместной (єеЯи) тогда и только тогда, когда существуют поверхностные и объемные силы, вызывающие в упругом теле такие же деформации (рис. 2.2). Эта теорема имеет большое значение для построения базиса в подпространстве совместных деформаций (см. главу 3). Доказательство теоремы основано на применении теорем Хана-Банаха и Рисса[104].
Таким образом, показано, что добавление собственной деформации є согласно выражению (2.13), где ст некоторые статически допустимые напряжения, не вызывает полной деформации системы, то есть собственная деформация є является нильпотентной.
Аналогичный анализ можно провести и для классического решения. Пусть в выражении (2.13) напряжения а удовлетворяют следующим условиям: Выражение (2.15) сохраняется, а краевая задача с учетом (2.17) принимает вид: При отсутствии внешних сил задача (2.18) имеет только нулевое решение. Поэтому В итоге, как для классического, так и для обобщенного решений условия (2.13, 2.14) являются необходимым и достаточным для нильпотентных собственных деформаций.
Алгоритм решения задачи управления напряжениями
Для получения базисных элементов импотентных деформаций необходимо провести поочередную подстановку единичных узловых сил в уравнение (3.20). При этом число независимых вариантов приложения сил равно dim//u, поскольку силы, приложенные к опорным узлам системы, не совершают работы, следовательно, не вызывают усилия в стержнях.
Таким образом, базисы в подпространствах Ни и На построены. Алгоритм построения может быть применен для систем с внешней статической неопределимостью, то есть имеющей «лишние» опоры.
Отметим также, что альтернативный вариант построения базиса в подпространстве импотентных собственных деформаций разработан Циглером в работе [49]. Метод основан на построении матрицы жесткости.
С использованием введенных определений, сформулированных и доказанных теорем и следствий, с помощью выведенной оценки удается построить метод решения задач управления напряжениями. Метод позволяет найти значения управляющих параметров без решения задачи теории упругости с собственными деформациями. Разработка метода проведена с единых теоретических позиций, которые позволяют провести независимое решение задач управления напряжениями. Полученный алгоритм отличает простота использования на практике. Итак, задача управления напряжениями заключается в определении распределения собственной деформации ё , создающей в теле заданное распределение напряжений с(0 при отсутствии внешних сил. Для решения задачи для нагруженного тела необходимо воспользоваться следствием 2 теоремы о декомпозиции.
Если нет ограничений на создание в теле собственных деформаций, то согласно теореме о декомпозиции решение задачи имеет следующий вид:
В более сложных случаях, когда создание собственных деформаций ограничено технологическими возможностями и природой собственной деформации (например, тензор температурной деформации имеет шаровой вид), необходимым шагом решения является введение в задачу, вообще говоря, несовместного тензора
Далее с помощью определения (3.8) записывается функционал Ф, характеризующий несовместность как расстояние между тензором / и пространством Ни. Управляющим параметром является, согласно постановке, собственная деформация є", входящая в первый член суммы правой части выражения (3.22). Процесс управления состоит в определении распределения є , обеспечивающего инфимум функционалу Ф. Напряжения устремятся к заданному распределению, формула (3.9).
Алгоритм решения задачи управления деформациями Задача состоит в определении поля собственных деформаций є , создающего в объеме тела Q предписанные деформации є(0), VxeO, но не создающего дополнительных напряжений.
Так как требуемая деформация совместна є(0) єЯв, то при отсутствии ограничений на создание собственной деформации решение имеет следующий вид: Е=гт.
В силу доказанных теорем добавление такой собственной деформации не вызовет напряжений в системе, что имеет большую ценность для инженера.
В случае, когда не возможности свободно создавать собственную деформацию, необходимо ввести целевую функцию согласно формуле (ЗЛО) и найти её инфинум посредством варьирования собственной деформации є . Хотя цель решения заключается в достижении совместной деформации, найденная собственная деформация может вызвать некоторые напряжения. Объективными причинами этого являются несовершенство технологии и погрешность вычислений. Однако соотношение (3.8) позволит оценить возникшие напряжения (для этого нужно положить а(0)=0), и принять дальнейшие вычислительные или проекционные решения.
Часто встречаются задачи о компенсации деформаций в системе, нагруженной внешними силами. Алгоритм решения такой задачи также прост и нагляден.
Пусть в теле при упругом деформировании созданы деформации є є Ни. Для того, чтобы их скомпенсировать, необходимо добавить к системе следующие собственные деформации: S =-EF. (3.24) Как уже отмечалось ранее, это не вызовет напряжений в системе, а полные деформации системы будут равны нулю. Алгоритм решения задачи управления перемещениями
Большинство решённых задач имели перед собой цель достигнуть нулевых перемещений тела, нагруженного силами. Используя решение задачи теории упругости, теорему о декомпозиции, то есть решение задачи теории упругости с собственными деформациями, и следствие 2 теоремы о декомпозиции, данную задачу можно свести к задаче управления деформациями, решение которой рассмотрено в предыдущем параграфе. Такие задачи называются задачами о сохранении формы
Решение задачи о силовом деформировании системы и построение базиса нильпотентных собственных деформаций
Для того, чтобы сохранить форму системы, необходимо добавить поле импотентных собственных деформаций согласно следующему соотношению:
Итоговая собственная деформация, которую нужно создать в системе для выполнения целей управления, есть сумма импотентной части (4.19) и нильпотентной части, соответствующей параметрам Х \ Х и Х\ которые определяются по формулам (4.16), (4.13) и (4.17). При этом должны выполняться неравенства (4.15) и (4.18), а максимальная внешняя нагрузка определяется по формуле (4.14)
Проведенное решение имеет преимущество, так как дает аналитическую связь между внешней нагрузкой и параметрами управления. Однако для более сложной системы необходим единый алгоритм решения подобных задач. По мнению автора, удобно использовать аналитический подход для оценки максимальной несущей способности и выбора проекционных параметров системы, таких как кд и kpt а определение необходимого нильпотентного поля собственных деформаций осуществлять путем численного решения задачи. Применение численного расчета и сравнение результатов с аналитическим методом показано в следующем параграфе.
Целевой функцией для решения задачи управления может служить следующая квадратичная форма: где допустимые усилия в стержнях заданы следующими неравенствами:
Таким образом, необходимо решить задачу нелинейного программирования. Методом решения выбран метод штрафных функций. Аналитические и численные результаты решения сопоставлены на рис. 4.3.
Как видно из рис. 4.3 численные результаты хорошо согласуются с аналитическими и предложенный алгоритм может применяться для решения задач управления в более сложных системах. Это будет продемонстрировано в параграфе 4.3.
В данном параграфе решена задача управления перемещениями с использованием алгоритма, разработанного в представленной работе. Достоинствами алгоритма являются простота и эффективность, а также обеспечение нулевых усилий в стержнях.
Рассмотрим систему, показанную на рис. 4.4, состоящую из JVm=15 стержней, соединенных через восемь узлов, Nn = 8. Длина недиагонального стержня равна /. Модули упругости и площади поперечного сечения стержней считаются одинаковыми. Порядок статической неопределимости обозначен как s = 2. Число реактивных сил равно NR=3. В каждом элементе системы может быть создана постоянная собственная деформация.
Целью решения является обеспечение вертикальных перемещений второго, четвертого и шестого узлов равных 0,01/ посредством создания в теле собственных деформаций. Так как решение ищется в классе совместных собственных деформаций, то это не вызовет дополнительных усилий в стержнях.
Решение задачи проводится в два этапа. На первом этапе выполняется построение подпространства совместных деформаций, а на втором - осуществляется непосредственный поиск решения задачи управления. Размерность подпространства Ни для данной задачи, вычисляется согласно параграфу 3.2: таким образом, нам необходимо построить тринадцать линейно независимых базисных элементов.
Как и в предыдущем примере вводим следующие вектор-столбцы, характеризующие систему: столбец усилий 5 = jo,,62,...,SN ,Rtx,Riz, Rtz\. IN„+Nt)xl l " вектор узловых сил и статически неопределимых усилий Далее, для построения базисных элементов нам необходимо составить систему уравнений равновесия узлов, при этом стержни системы считаются растянутыми, а реакции опор направлены вдоль положительных направлений координатных осей. Ввиду громоздкости система уравнений не приводится подробно. Согласно параграфу 3.2 она имеет вид (3.16): [C]S = F.
Для данной задачи следующие элементы выбраны как статически неопределимые:
Согласно параграфу 3.2 для решения задачи теории упругости и определения базисных элементов необходимо решить систему уравнений равновесия, составить дополнительные уравнения 3.19), а затем воспользоваться формулой (3.20). В результате мы получим тринадцать решений, соответствующих приложениям единичной узловой силы, что и является базисом в подпространстве Ны. Графическая иллюстрация базисных элементов приведена на (рис. 4.4.
