Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Решение. краевых задач теории упругости в смещениях 21
1.1.Постановка краевой задачи теории упругости 21
1.2. Основная вариационная задача 24
1.3.Аппроксимация обобщенных решений методом Галеркина. 28
1.4.Интерполяционные пространства аппроксимаций МКЭ 31
1.5.Построение системы уравнений метода конечных элементов 35
1.6.Особенности численной реализации решения трехмерных задач 40
1.7. Напряженное состояние полого цилиндра.Исследование численной сходимости-приближенных решений.Сопоставление с другими решениями 43
1.8.Тор под внутренним давлением. Сопоставление с теорией оболочек 51
1.9.Расчет прямоугольной плиты.Использование аппроксимаций повышенного порядка 59
1.10.Расчет жестко защемленной пластинки.Сравнение различных теорий 62
1.11.Расчет напряженного состояния складчатых конструкций 68
1.12.Расчет баллонов электронно-лучевых приборов/ЭЛП/ 81
Глава 2. Решение краевых задач теории упругости в напряжениях 108
2.1.Двойственная вариационная задача 109
2.2.Штрафные функции и регуляризация ИЗ
2.3.Корректность регуляризованной задачи 114
2.4.Интерпретация решения регуляризованной задачи 117
2.5.Сходимость регуляризующей последовательности 119
2.6. Сходимость и: точность аппроксимаций решения регуляризованной задачи 122
2.7.Сходимость и точность аппроксимаций решения двойственной задачи.Оптимальный выбор параметра регуляризации . 125
2.8.Одномерная задача.Исследование численной сходимости приближенных решений 127
2.9.Расчет цилиндра.Сопоставление с другими: решениями 34
Глава 3. Квазистатические задачи термоугютости 139
3.1. Постановка начально-краевой задачи 140
3.2. Определение температурного поля 141
3.2.1.Вариационное уравнение. 141
3.2.2. Полу дискретные аппроксимации Галеркина 143
3.2.3. Рекуррентные схемы решения задачи Копий. Вычислительные аспекты реализации рекуррентных схем . 149
3.3.К решению квазистатической задачи: термоупругости 153
3.3.1.Постановка задачи .термоупругости: 153
3.3.2.Вариационное уравнение 155
3.3.3. Конечно-элементная аппроксимация 156
3.4.Анализ численных решений 158
Глава 4. Вопросы программной реализации схем МКЭ 172
4.1.Реализация решения упругих задач в смещениях 173
4.1.І.Основные соотношения МКЭ 173
4.1.2.Вычисление матрицы системы МКЭ 175
4.1.3.Вычисление правых частей системы МКЭ 180
4.1.4.Формирование и хранение системы МКЭ 181
4.1.5.Алгоритмы решения системы МКЭ 183
4.1.6.Вычисление напряжений 184
4.1.7.Вопросы подготовки данных 186
4.1.8. Основные характеристики программного комплекса .. 189
4.2. Реализация решения упругих задач в напряжениях 192
4.2.1. Основные соотношения ЖЭ 192
4.2.2. Особенности построения системы ЖЭ 197
4.2.3. Учет граничных условий на напряжения 199
4.2.4.Формирование и хранение системы ЖЭ 200
4.2.5.Основные характеристики программного комплекса 200
4.3.Реализация решения нестационарной задачш теплопроводности 205
4.3.1.Основные соотношения.Система разностных уравнений?05
4.3.2. Решение системы уравнений 206
4.3.3.Удовлетворение граничным и начальным условиям. 207
4.3.4.Выбор шага интегрирования по времени 208
4.3.5.Характеристики программного обеспечения 208
4.4. Реализация решения квазистатической задачи термоупру гости 209
4.4.1. Основные соотношения 209
4.4.2.Учет поля температуры 210
4.4.3. Особенности построения алгоритма 211
4.4.4.Характеристики программного комплекса 211
Заключение 218
Литература 220
Приложение 242
- Напряженное состояние полого цилиндра.Исследование численной сходимости-приближенных решений.Сопоставление с другими решениями
- Сходимость и: точность аппроксимаций решения регуляризованной задачи
- Рекуррентные схемы решения задачи Копий. Вычислительные аспекты реализации рекуррентных схем
- Основные характеристики программного комплекса
Введение к работе
Важным направлением современных научно-технических исследований является построение адекватных математических моделей работы различных инженерных конструкций, которые находятся в условиях силовых и температурных воздействий. Сложность геометрии исследуемых объектов и учет реальных видов нагрузок, как правило, предполагают привлечение численных методов и электронно-вычислительных машин [8 , 115J для оценки их напряженно-деформированного состояния. Поэтому, важной проблемой является создание математически обоснованных методов, алгоритмов и соответствующего программного обеспечения с целью создания средств автоматизации проектирования современных приборов и аппаратов.
Особенно целесообразным является применение численных методов в трехмерных задачах механики деформируемого твердого тела, так как аналитические методы позволяют находить решения частных задач в основном для канонических или близких к ним областей ІЗ, ЗІ, 66, 85, 92 I и др. Обзор исследований, аналитических и приближенных методов решения трехмерных задач теории упругости содержится в работе I 85 1 . В последнее время эффективным методом численного анализа пространственных конструкций стал метод конечных элементов /МКЭ/. На основе применения МКЭ удается алгоритмизировать процесс решения трехмерных задач теории упругости в областях сложной геометрии с учетом как силовых, так и температурных воздействий.
В связи с этим является актуальным создание схем и алгоритмов МКЭ для решения трехмерных задач теории упругости и термоупругости, а также пакетов и комплексов прикладных программ, позволяющих автоматизировать процесс исследования и проектирования инженерных конструкций.
По существу МКЭ является проекционно-сеточным методом /Г.И. Марчук, В.И.Агошков [75] /. Вначале метод конечных элементов развивался как хорошо известный метод Бубнова-Галеркина-Ритца со специальным выбором базисных функций в виде кусочно-определенных полиномов на сетках конечных элементов /Г.Стренг, Дж.Фикс [і2і] , Р.Курант ГІ50І /. Этот способ построения схем МКЭ известен под названием вариационно-разностного метода /Л.А.Оганесян, В.А. Ривкинд, Л.А. Руховец [89, 90J ,С.Г. Мих-лин [80, 8ІІ , В.Г. Корнеев [бб] , Г.Й.Марчук [74] , Ж.Обэн J88] /. Такая интерпретация МКЭ позволила распространить оценки аппроксимации, скорости сходимости и устойчивости вариационных методов I 33, 80, 82І на основные схемы МКЭ. Расширение области приложения МКЭ в настоящее время, естественным образом, привело к развитию метода, как проекционного метода приближенного решения краевых задач математической физики. Попытка общей классификации схем МКЭ недавно предпринята Ф.Сьярлеі23J . Значительный вклад в разработку вопросов построения и обоснования схем МКЭ внесли В.Г.Корнеев, Г.И.Марчук ,С.Г.Михлин, Н.Н.Яненко, Дж. Аргирис, О.Зенкевич, М.Зламал, Дж.Оден, Г.Стренг, Дж.Фикс, Ф.Сьярле, Р.Темам и др.
В приложениях к решению задач механики деформируемого твердого тела МКЭ понимался как обобщение методов решения задач строительной механики /метода перемещения и метода сил/, основанное на интуитивном и естественном для инженерной практики расчленении упругого континуума на составные части с конечным числом степеней свободы /Л.А.Розин 1100— 103 I ,З.И.Бур-ман и др. Гю] , В.А. Постнов9б1, В.А.Постнов, И.Я.Хархурим I 97J , А.В. Александров, Б.Я.Лащенков, Н.Н.Шапошников І 2] , Д.В. Вайнберг, А.С.Городецкий, В.В. Киричевский, А.С.Сахаров III], Н.П.Флейшман и др. [129J , сборник статей [78j , А.Г.Угодчиков и др. 125 I , Дж. Аргирис 6, I44J, 0 Зенкевич [41J и др. / . Обзор исследований в этом направлении сделан в работе Д.Норри, Ж.де Фриза 87 , а библиографический обзор по методу конечных элементов в работе 172 и др.
Привлечение аппарата теории матриц I I44J и широкое применение ЭВМ способствовали использованию МКЭ в практике расчетов. Эффективность применения МКЭ к решению задач прикладного характера в решающей мере зависит от наличия развитого программного обеспечения I 45 J , создание которого является наиболее трудоемкой частью реализации МКЭ. Следует отметить, что эффективность разрабатываемого программного обеспечения в значительной мере зависит от возможностей используемой ЭВМ и ее конкретной конфигурации. Поэтому в настоящее время известно много достаточно мощных и разнообразных пакетов прикладных программ, способных настраиваться на решение широкого класса научных и инженерно-технических задач. Следует выделить разработки выполненные под руководством А.С. Сахарова, А.Л.Синявского /Киев/, А.Г.Угодчи-кова, В.А. Толока /Горький/, А.С.Городецкого /Киев/, В.А.Постнова /Ленинград/, З.И.Бурмана /Казань/, Н.Н. Шапошникова /Москва/, А.Л.Квитки, П.П.Ворошко /Киев/, Й.Альтенбаха /Магдебург, ГДР / и др. Обзор по наиболее известным зарубежным программным схемам МКЭ см. [і27 , 153 ] .
Следует отметить, что решение существенно трехмерных задач термомеханики представляется одной из наиболее сложных проблем. Если построение схем МКЭ и теоретическое исследование их сходимости осуществляется средствами общей теории аппроксимации и функционального анализа, то удовлетворительное решение вопросов создания эффективных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения сопряжено со значительными трудностями методического и технического характера. МКЭ в трехмерных задачах требует хранения и обработки больших массивов информации, значительного времени работы ЭВМ, что требует существенной и квалифицированной доработки структуры программного обеспечения,созданного для двумерных задач. Так, например, построение трехмерных сеток конечных элементов является нетривиальной задачей и, к настоящему времени, не существует общего алгоритма разбиения трехмерного тела на конечные элементы I 1421. Кроме того, формирование системы МКЭ высокого порядка со значительной шириной ленты ненулевых элементов требует привлечения всех ресурсов ЭВМ, операционной системы и нестандартной организации алгоритмов ее решения. Далее, если в двумерных задачах известно много различных способов аппроксимации на треугольных и четырехугольных элементах, то в трехмерных задачах для аппроксимации смещений, в настоящее время, практически используются лишь шестигранные конечные элементы с восьмью и двадцатью расчетными узлами 1 42]. Поэтому, неудивительно, что даже при наличии некоторого программного обеспечения, решение каждой конкретной практической трехмерной задачи и анализ полученных результатов представляет собой сложную и трудоемкую проблему.
Отметим, что методика решения трехмерных задач и их программная реализация рассматривались в работах I 4, 7, 24, 27, 29, 32, 41, 63-65, 68, 76, 77, 116, 117, 126, 144, 169, 178, 179, 188, 189] Н.А.Вульфовича, А.П.Горячева, В.В.Зарубаева, Б.Кур-манбаева, В.А.Пахомова, А.М.Полатова, А.С.Сахарова,Б.В.Фрадкина, Й.Альтенбаха, Дж.Аргириса, Ю.Данкерта, О.Зенкевича,Р.Мелоша, И.Р.Рашида и др. Различным вопросам алгоритмизации трехмерных задач и их реализации на ЭВМ посвящены также работы 15, 39, 40,, 44, 50, 60, 61, 98,.146, 163, 170] . Разрабатываются схемы МКЭ и создаются программные системы решения трехмерных задач с учетом физической и геометрической нелинейностей 128, 119, 151L упругопластических задач о трещинах [164J , задач термоупругости и термопластичности [43, 145, 156, 171] , связанных задачах термоупругости I167J . Осуществляются попытки упростить общую трехмерную задачу путем использования каких-либо специальных свойств ІІЗ, 381 , применения полуаналитических методов [12,41], использования переходных элементов для стыковки массивных и тонкостенных элементов 141, I8lJ , гибридных трехмерных конечных элементов 11431 , а также алгоритмов метода суперэлементов [26 , 97, I24J . Общие вопросы применения МКЭ к решению задач механики деформируемых тел обсуждаются в работах І4І, 52, 77, 79, 83, 87, 88, 101, 109, 118, 121, 123, 160] .
Среди отмеченых выше задач важное место занимают задачи расчета на прочность конструкций, которые работают в условиях температурных и силовых нагрузок . Решению начально-краевых задач точными и приближенными методами посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных ученых. Фундаментальные исследования в этой области связаны с работами Г.Карслоу, Д.Еге-ра [47J, А.Д.Коваленко [52J , А.В.Лыкова 173J, Я.С.Подстригача, Ю.М.Коляно (93-95J , Г.С.Кита и др. [51 ] и др. Несмотря на большое число публикаций, количество работ, в которых решение сложных пространственных задач теплопроводности и термоупругости доведено до числовых результатов, незначительно.
С позиций метода конечных элементов задачи теплопроводности рассматривались в работах О.Зенкевича [4IJ, Г.И. Кувыркина [59(, С.М. Чорного [I37J, А.И.Гапеева, В.И. Кудашова, В.П.Устинова [25J , Г.Г. Завялова, А.С.Сахарова , С.М.Чорного [40]и др. В работах [41, 1371 используется конечно-элементная аппроксимация по пространственным и временной переменным. Исследование пространственной задачи стационарной теплопроводности с использованием полилинейных, квадратичных и кубических конечных элементов проводится в работе 140] . В работе [25] рассматривается решение пространственной задачи нестационарной теплопроводности. При этом предполагается отсутствие источников и стоков тепла. Дискретизация основных дифференциальных соотношений по пространственным переменным осуществляется методом Бубнова-Галеркина с использованием пространственных изопарамет-рических конечных элементов, а дискретизация по времени - с помощью неявной схемы Кранка-Николсона.
Если удается построить подходящую расчетную сетку, то метод конечных элементов дает возможность решить в принципе любзгю задачу, независимо от ее сложности. На практике проблема автоматизации построения трехмерных сеток конечных элементов является сложной. Вопросам автоматизации генерирования сетки для изучения трехмерных проблем МКЭ посвящены работы 146, 147, 155, 1831 , а также обзор 1142 J . По-видимому, основные результаты повышения качества и снижения стоимости расчета трехмерных задач находятся в автоматизации ввода и вывода данных. Эти проблемы решаются построением препроцессоров и постпроцессоров, предназначенных для применения совместно с различными программами решения задач МКЭ и обеспечивающие интерактивную обработку входной и выходной графической информации [127J , а также разработкой специализированных комплексов программ для решения сравнительно узкого круга важных практических задач.
Применение метода конечных элементов в механике деформируемого твердого тела основано, как правило , на использовании вариационных принципов механики [I, 67, 69, 86, 104, 162, 165, 175 J . Исходя из различных вариационных постановок задач, можно получить разные схемы МКЭ, в которых в качестве неизвестных могут фигурировать узловые значения смещений, или напряжений, или те и другие одновременно. Наиболее распространенными являются алгоритмы, основанные на принципе Лагран-жа /метод перемещений, см. напр. \2, 41]/ и принципе Кастиль-яно /метод сил, см. напр. [l0, I2l] /. Заметим, что применение этих принципов позволяет получать двусторонние оценки погрешности приближенного решения (80, 159, 174, 184) . Меньшее распространение получил смешанный метод, который вводит в качестве независимых переменных смещения и напряжения. Гибридные схемы МКЭ предложены в работе [177] ; обычно их nor- , решность лежит между погрешностью метода перемещений и метода сил [I2IJ . В статье ІІ43І гибридные конечные элементы применяются к решению трехмерных задач.
Важно подчеркнуть, что в трехмерных задачах используются преимущественно схемы МКЭ в смещениях. Искомой функцией в этом случае является вектор смещений. Поскольку деформации определяются с помощью численного дифференцирования, то напряжения в такой постановке определяются с меньшей точностью чем смещения. Если учесть, что обычно в трехмерных задачах расчет приходится выполнять на редких сетках конечных элементов, то важной проблемой становится достоверное вычисление напряжений.
В этой связи представляется перспективным построение и разработка схем МКЭ для решения задач в напряжениях. Основная трудность построения таких схем состоит в необходимости строить аппроксимации, удовлетворяющие уравнениям равновесия. В этом направлении имеется небольшое количество работ /Л.А.Ро-зин [lOO] , Л.М. Хазин [l33J, А.В.Вовкушевский, Л.А.Розин [_22[, А.А.Челюбеев, М.П.Сычев [іЗб], Г.Сандер [lI4J, М.П.Сычев [l22[, Б.Вебеке [І85І , И.Главачек [158] , М.Крижек [ібб] /,в которых рассмотрены, так называемые равновесные системы конечных элементов. В недавних работах О.Зенкевича , Р.Тейлора [182"] , Дж. Одена I173J без строгого обоснования развиваются идеи метода штрафных функций / Р.Курант U50J /, для снятия ограничений, имеющих вид уравнений равновесия. Проблемам вычисления напряжений посвящены также статьи [22, 34, 62, 91, 161, 168] . В работах В.Г.Литвинова, А.Д.Пантелеева [?Ь], В.Г.Литвинова 7l] для частных задач построены аппроксимации, удовлетворяющие уравнениям равновесия.
Из приведенного обзора следует, что применительно к пространственным задачам теории упругости научный и практический интерес представляет разработка эффективных схем метода конечных элементов для решения квазистатической задачи термоупругости и построение на их основе специализированного, проблемно-ориентированного программного обеспечения, разработка и исследование схем метода конечных элементов в напряжениях.
Целью настоящей работы является:
I. Применение и развитие схем МКВ к решению трехмерных задач теории упругости, нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости / в смещениях /. Создание на их основе алгоритмов эффективного математического обеспечения для решения научных задач и расчета инженерных конструкций, находящихся в условиях температурных и силовых воздействий.
2. Построение и математическое обоснование схем МКЭ для решения задач теории упругости в напряжениях с применением дополнительных вариационных принципов и штрафных функций. Реализация разработанных алгоритмов и их апробация на решение ряда тестовых задач с целью исследования и выяснения их эффективности и численной сходимости.
3. Исследование с позиций трехмерных задач теории упругости напряженно-деформированного состояния баллонов электровакуумных приборов /ЭШ/, которые имеют важное практическое применение в народном хозяйстве.
Диссертация содержит четыре главы.
В первой главе на основе соотношений линейной краевой задачи теории упругости строится вариационная задача о минимуме функционала потенциальной энергии на множестве кинематически допустимых полей смещения /основная вариационная задача/. Приближенное решение вариационной задачи строится методом Га-леркина-Ритца с выбором изопараметрических аппроксимаций смещений на шестигранных конечных элементах с восьмью и двадцатью узлами интерполирования. Обсуждаются вопросы эффективного построения разрешающих уравнений МКЭ с применением численного интегрирования и изопараметрического преобразования координат. Специфика предложенного алгоритма состоит в том, что базисные функции и их производные один раз и навсегда, табулируются в узлах квадратурной формулы стандартного конечного элемента и запоминаются. Время интегрирования на конечных элементах, при этом, значительно сокращается, так как основное время уходит лишь на вычисление значения якобиана в узлах квадратурной формулы. Этот прием ІІ6, 139] реализован в разработанном программном обеспечении трехмерных задач теории упругости.
Приведены результаты решения и исследования напряженного состояния ряда тестовых задач и двух практически важных задач о монтаже плиты-перекрытия и упругом равновесии баллонов электронно-лучевых приборов /ЭЛП/ под действием внешнего равномерно распределенного давления.
Вторая глава посвящена решению краевых задач теории упругости в напряжениях. Исходя из соотношений линейной краевой задачи теории упругости формулируется двойственная вариационная задача и устанавливается связь ее решения на множестве статически допустимых тензоров напряжений с решением основной вариационной задачи. Для решения/Двойственной вариационной задачи методом Ритца используются штрафные функции. Для этого строится регуляризованная войственная задача и устанавливается корректность такого построения т.е. доказывается, что решение регуляризованной задачи существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Регуляризованная задача решается приближенно с помощью стандартной процедуры метода конечных элементов, описанной в первой главе. Устанавливается смысл регуляризованного решения, доказываются условия сходимости регуляризующей последовательности к решению двойственной вариационной задачи, сходимость и точность аппроксимаций регуляризованной задачи методом Ритца. Подробно исследуется сходимость и точность аппроксимаций решения двойственной задачи, а также вопрос об оптимальном выборе параметра регуляризации в зависимости от диаметра конечноэлементной сетки и порядка используемых полиномов для построения приближенного решения. Детально обсуждаются результаты численной реализации предложенных алгоритмов на примере решения одномерных задач. Описанная методика также положена в основу комплекса программ решения трехмерных задач теории упругости в напряжениях методом конечных элементов. Исследованы численные решения ряда задач.
В третьей главе метод конечных элементов применяется к решению трехмерной квазистатической задачи термоупругости на основе конечноэлементной аппроксимации с использованием изопа-раметрических шестигранных конечных элементов с восьмью и двадцатью расчетными узлами. Для определения температурного поля решается начально-краевая задача нестационарной теплопроводности. Решение осуществляется на основе полудискретных аппроксимаций Галеркина. В этом случае неизвестные коэффициенты являются функциями времени и для их определения строится задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также рекуррентные схемы их решения. Исследуются условия сходимости полудискретных аппроксимаций Галеркина и рекуррентных схем. По известному температурному полю определяется соответствующее термоупругое напряженное состояние. Для этого на основе соотношений линейной краевой задачи квазистатической термоупругости строится вариационная задача о минимуме функционала Лагранжа на множестве кинематически допустимых полей смещений. На основе описанных алгоритмов созданы комплексы программ решения трехмерных задач нестационарной теплопроводности; /при условиях конвективного теплообмена и наличия источников тепла / и и соответственно квазистатической задачи термоупругости при воздействии температурного поля и силовых нагрузок. Исследована эффективность и численная сходимость разработанных алгоритмов. Рассмотрены числовые примеры решения задач теплопроводности и термоупругости.
В четвертой главе рассмотрены вопросы программной реализации МКЭ, связанные с решением задач предыдущих глав. Для решения упругих задач в смещениях приводятся основные соотношения МКЭ, обсуждаются оптимальные способы вычисления коэффициентов матрицы и вектора правых частей системы МКЭ. Описывается блочный способ формирования системы разрешающих уравнений МКЭ с одновременным прямым ходом метода Гаусса и последующим хранением блоков на магнитном диске. Обсуждаются некоторые способы хранения матриц МКЭ и методы решения систем линейных алгебраических уравнений для ленточных симметричных матриц. Рассматриваются вопросы вычисления напряжений, подготовки входных данных МКЭ и приводятся характеристики программного комплекса.
Реализация решения упругих задач в напряжениях осуществляется на основании аппроксимаций изопараметрическими шестигранными конечными элементами.Приводятся основные соотношения МКЭ, особенности построения системы и учета граничных условий на напряжения, способы формирования и хранения системы МКЭ.
Затем обсуждаются вопросы реализации алгоритма решения квазистатической задачи термоупругости. Приводится описание принципов организации комплексов программ, их функционирование в вычислительной среде операционной системы ДОС/ЕС, характеристики по времени и используемой основной и внешней памяти. Приводятся блок-схемы комплексов программ для решения задач, рассмотренных в предыдущих главах.
В заключение работы формулируются выводы по результатам выполненных исследований.
В приложении содержатся документы о внедрении результатов работы в инженерную практику.
Таким образом, на защиту выносятся следующие новые результаты, полученные в работе:
- применительно к решению трехмерных задач квазистатической термоупругости для тел сложной геометрии под действием нестационарных температурных полей и силовых нагрузок разработаны и реализованы усовершенствованные схемы метода конечных элементов;
- для решения задач теории упругости в напряжениях, на основании метода штрафных функций предложена новая схема МКЭ; доказана ее сходимость, получена оценка скорости сходимости и дано обоснование оптимального выбора параметра штрафа;
- разработан комплекс программ, ориентированный на решение задач проектирования баллонов ЭЛП и кинескопов, который позволяет полностью автоматизировать процесс решения пространственной задачи теории упругости, нестационарной теплопроводности, квазистатической термоупругости / в смещениях/;
- разработан комплекс программ решения пространственных задач теории упругости в напряжениях методом конечных элементов;
- решены сложные инженерные задачи, имеющие важное народно-хозяйственное значение, а именно: выполнен расчет баллонов ЭЛП и расчет напряжений, возникающих в процессе монтажа складчатых конструкций.
Достоверность основных научных результатов и выводов работы обеспечивается: строгостью постановок соответствующих задач и точностью использованных соотношений; тщательным исследованием точности полученных численных решений путем их сравнения с известными решениями тестовых задач, а также решениями, полученными на разных сетках; анализом решений с точки зрения их физической достоверности; сопоставлением с экспериментальными данными.
Результаты выполненных исследований опубликованы в работах [15-21, 53, 105, 108, III, 112, 128, 129, I40] . Они докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:
ІУ Республиканской конференции математиков Белорусий /Минск, 1975/, УП научной конференции по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тела /Ташкент, 1975/, Республиканской научно-технической конференции "Качество, прочность , надежность и технологичность электровакуумных приборов" /Львов, 1976/, научном семинаре ЗНЦ АН УССР "Качество , прочность и надежность ЭВП" /Львов ,1977 /, Республиканской научно-технической конференции "Повышение качества ЭЛЛ в десятой пяти-летке"/Киев, 1977 /, П,Ш,1У,У Всесоюзных школах-семинарах по методу конечных элементов в механике деформируемых тел /Горький,1975; Кишинев ,1977; Львов, 1979; Рига, 1981/, УІ и УШ конференции молодых ученых ИППММ Ш УССР /Львов, 1978,1981/, П Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" /Киев, 1978/, Всесоюзном совещании-семинаре по краевым задачам теории фильтрации /Ровно, 1979/, Всесоюзной школе молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики"/Дрогобич, 1980/, УП и УШ Всесоюзных конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности /Миасс, 1981; Ужгород , 1983/, УІ тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций /Ленинград, 1983/, I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур/ Львов, 1983/, I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам в механике твердого деформируемого тела /Москва, 1984/, на ежегодных научных конференциях Львовского госуниверситета и на семинарах кафедры прикладной математики ЛГУ /1976-1984/.
В целом работа докладывалась на семинаре отдела термомеханики и специализированном семинаре по механике деформируе - 19 мого твердого тела Института прикладных проблем механики и математики АН УССР /г.Львов/.
Работа выполнена в рамках планов научных исследований госбюджетной и хоздоговорной тематики кафедры прикладной математики ЛГУ, а именно:
1. Темы № 0181.800.8271 Сводного плана научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ Минвуза УССР"Разработка методов и алгоритмов проектирования и оптимизации баллонов электронно-лучевых приборов и элементов электронно-оптических систем" /І98І-І985/, утвержденной приказом Минвуза УССР W 378 от 24 июля 1981 г.
2. Пятилетнего плана работ по заданию 01 подпрограммы РН.8І.03.Ц целевой комплексной научно-технической программы РН.Ц.003. " Снижение материалоемкости оборудования и сооружений", утвержденная Постановлением СМ УССР № 146 от 29 февраля 1980 г., Постановлением Бюро Президиума АН УССР W 118 от 12 марта 1980 г. и приказом Минвуза УССР № 155 от 19 марта 1980 г.
3. Комплексной программы "Качество и эффективность производства ЭЛП" на І98І-І985 гг., утвержденной МЭП СССР и Президиумом АН УССР, в рамках исследований по плану межведомственного целевого научно-производственного объединения "Экран" ЗНЦ АН УССР.
Отметим вклад соавторов работ, опубликованных по теме диссертации:
Научный руководитель Н.П.Флейшман - общее руководство и обсуждение результатов. Научные консультанты : Я.Г.Савула-совместная постановка задач и обсуждение результатов, Г.А.Шинкаренко - совместная постановка задач, обсуждение результатов, разработка алгоритмов решения задач теории упругости в напряжениях; Е.Я.Фолькенфлик - участие в создании комплекса программ ориентированного на решение задач проектирования баллонов ЭЛП и кинескопов на ЭВМ БЭСМ-б.
Автор выражает сердечную признательность научному руководителю, профессору, доктору технических наук Н.П.Флейшману, доцентам, кандидатам физико-математических наук Я.Г.Савуле, Г.А.Шинкаренко за помощь и постоянное внимание, оказанное ими в процессе выполнения данной работы.
Напряженное состояние полого цилиндра.Исследование численной сходимости-приближенных решений.Сопоставление с другими решениями
Цель выполненного здесь исследования - изучение сходимости выбранной схемы ШЭ, сопоставление с точным решением, а также приближенным решением, полученным в работе [38] на основе мо-ментной схемы метода конечных элементов. Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния полого цилиндра под действием нормального давления, равномерно распределенного по внешней боковой поверхности. Интенсивность внешней нагрузки р = 1кг/сма , упругие константы: Е = й- Ю кг/сма, V = 0,3 . Исследуется решение для цилиндра, торцы которого могут свободно двигаться в осевом направлении / LL,/ О , Оъъ О /. Конечная длина цилиндра равна 0.1 I с =. О, і си / f его внутренний радиус - О. = 6 СМ , а внешний и=12см. В такой постановке задача определения напряженного состояния полого цилиндра является осесимметричной, известна под названием задачи Ламе и для нее имеется точное решение І72І . Здесь эта задача решается в трехмерной постановке с использованием пространственных конечных элементов /4.5/ по описанной выше методике. В связи с стшетрией рассматривается верхняя четверть цилиндра изображенная со схемой разбивки на конечные элементы на рис. 1.7.1а. На рис. 1.7.16 представлено сечение ОС3=о . Условиями симметрии являются равенства: U2=0 в плоскости ХІОЗСЗ , Ut - О в плоскостиосаОЭ2з, U5=0 в плоскости СС «Oat,. Результаты численных расчетов представлены в таблицах. Исследование сходимости МКЭ осуществлялось на различных сетках конечных элементов. Сетка П-хЩхк означает, что выбирается \\ элементов по толщине цилиндра, \TL - по высоте и К по окружности. Сравнение результатов проводилось с известным решением Г 72І и приближенным Ї38І полученным МКЭ.
Однако в [38І не приводятся данные о конечноэлементнои сетке и другие данные о численном расчете. Результаты расчетов /радиальные смещения U.R , нормальные напряжения б@ и радиальные напряжения DR / приведены соответственно в табл. I.7.I, 1.7.2 и 1.7.3. Решение задачи осуществляется при различном выборе шага rrR сетки в радиальном направлении. Наблюдается монотонная сходимость снизу по смещениям и хорошее совпадение напряжений за исключением точек, лежащих на поверхностях к - CL и R=b Относительные погрешности вычисления смещений и напряжений приведены в табл. 1.7.5. Ухудшение точности вычисления напряжений наблюдается при К = CL и K=L) Объясняется это тем, что при определении напряжений применяется усреднение их узловых значений по всем прилегающим к данному узлу элементам. В этой связи для вычисления напряжений в граничных точках целесообразно применять экстраполирование по их значениям во внутренних узлах или по узлам квадратурной формулы Гаусса, в которых наблюдается суперсходимость [l90j . С этой целью можно воспользоваться интерполяционными формулами Ньютона [8] . Примеры интерполирования напряжений на внешней /первая строка/ и внутренней /вторая строка/ поверхностях цилиндра вынесены в табл. 1.7.6. Приведены результаты при использовании интерполяционных полиномов Ньютона порядка П по значениям напряжений в узлах квадратурной формулы Гаусса. Значения смещений U.5 и напряжений 0$ъ на верхнем торце цилиндра показаны в табл .1.7.4. Точное значение б3з/р равно О . Наблюдается хорошее совпадение приближенных значений с точными при использовании одного элемента по высоте цилиндра. Рассматриваемая задача является осесимметричной, но здесь решается в трехмерной постановке с использованием пространственных конечных элементов. В связи с этим представляет интерес сравнение значений LLR , OQ И 6R на различных радиусах. Такое сравнение выполнено в табл. 1.7.7. Видно, что условие осе-симметричности сохраняется с хорошей точностью. Приведенные результаты подтверждают правильность функционирования созданного программного обеспечения и достоверность получаемых приближенных решений. Они также согласуются с аналогичными решениями задачи Ляме, приведенными в работе [77] .
Сходимость и: точность аппроксимаций решения регуляризованной задачи
Для численного решения регуляризованной задачи:/2.6/ воспользуемся методом Ритца. С этой целью необходимо построить конечномерное множество аппроксимаций обладающее свойством, что V " V при \\- 0 . Особенности конструирования таких аппроксимаций методом конечных элементов рассмотрены нами в п.1.1.3 и п. I.I.4. Здесь мы лишь напомним, что если в качестве базисных функций множества V выбираются кусочно-определенные полиномы порядка К , то имеет место следующая оценка погрешности интерполирования для всех о т К . В частности, поскольку норма \\- V эквивалентна норме II [\± Л , то существует константа CL О такая, что An Здесь О представляет собой тензор напряжений, компоненты которого представляются интерполяционными полиномами порядка V в пределах каждого конечного элемента. Аппроксимация Ритца б ev регуляризованного решения О є. V является решением задачи минимизации: найти такой, что Следуя работе автора П2І , докажем теорему. Теорема 2.4. Пусть бЄ Vfl ЦК+1Ш ) и б є Vk являются решениями вариационных задач /2.6/ и /6.4/ соответственно , и при этом имеет место оценка /6.3/. Тогда существует независящая от К и б константа С2 О , такая, что 2 Доказательство. Аппроксимация Ритца является наилучшим приближением к б в норме Ну-. Действительно, применяя /3.5/ к неравенству /6.4/ последнее приводится к виду В частности, неравенство /6.6/ имеет место и для і =о Заметим, что согласно теореме 2.2. тензор б удовлетворяет уравнению /3.4/ Пусть О , б , О решения двойственной, регуляризованной задач и аппроксимации Ритца регуляризованной задачи соответственно. Цудем считать, что выполнены условия теоремы 2.4. Тогда имеет место оценка где K = const 0 не зависит от Є , h. , б " , 6е .
Следовательно, максимальный порядок скорости сходимости последовательности приближенных решений б к точному решению достигается при Доказательство. Применяя неравенство треугольника и оценки /5.1/ и /6.5/ находим, что Теорема 2.5. указывает правило оптимального выбора параметра регуляризации в зависимости от диаметра сетки и порядка используемых полиномов для построения приближенного решения. С целью апробации методики, изучения численной сходимости регуляризующеи последовательности, рассматривается краевая задача для уравнения Штурма-Лиувилля Краевая задача /8.1/,/8.2/ в частности может моделировать задачу кручения балки переменной жесткости рсос; под действием распределенных закручивающих моментов. В этом случае U.( 0 -угол закручивания балки /стержня/; pW -переменная жесткость балки на кручение; С .сх) = о ; f С0 -закручивающий момент, приходящийся на единицу длины балки; 1(х) = рСХ) _— . крутящий момент в сечении ос балки. Условие оіи.(і / & ас означает, что T(i) = О . Для уравнения /8.1/ основная вариационная задача ставится следующим образом: найти и є V , такое, что Численное решение краевой задачи /8.1/,/8.2/ строилось методом конечных элементов. В качестве конечных элементов выбирались отрезки [_ ос , ос J с линейной, квадратичной и кубической аппроксимацией .
Для реализации алгоритмов ЖЭ была построена исследовательская программа , с помощью которой можно определять численное решение основной и двойствен- ной вариационных задач, значение функционалов на различных конечноэлементных сетках. В качестве тестового примера рассматривалась следующая краевая задача На рис. 2.8.Іа представлены результаты сходимости регу-ляризующей последовательности при значениях Є = 1 , Ю-1 , Ю" /кривые 1,2,3 соответственно/. Уже при значении параметра регуляризации Є = Ю приближенное решение совпадает с точным /кривая 4/ при линейной аппроксимации на 10 конечных элементах. Точность выполнения ограничения на значение функционала [VICб,) /2.3/ в зависимости от густоты сетки / NEI- -количество конечных элементов/ и порядка аппроксимации /N/0D -порядок аппроксимационных полиномов/ показана рис. 2.8.16. На рис.2.8.2а представлены результаты исследования сходимости значений функционала K(v) на регуляризующей последовательности. В обоих случаях, повышение порядка аппроксимации и густоты сетки конечных элементов улучшает результаты. При значении-Є-Ю величины функционалов на приближенных решениях выходят на стационарное решение.
Рекуррентные схемы решения задачи Копий. Вычислительные аспекты реализации рекуррентных схем
В этой главе рассматривается задача трехмерной термоупругости в квазистатической постановке. На первом этапе решения этой задачи исходя из начально -краевой задачи нестационарной теплопроводности находится температурное поле. Для ее решения используется полудискретная аппроксимация Бубнова-Галеркина -аппроксимация лишь по пространственным переменным. В этом случае неизвестные коэффициенты являются функциями времени и для их определения строится задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для приближенного интегрирования последней применяется процедура взвешенных невязок, которая приводит к понятию рекуррентных схем. Дается доказательство сходимости полудискретных аппроксимаций Галеркина, приводятся условия сходимости рекуррентных схем, а также обсуждаются вычислительные аспекты данного алгоритма. На втором этапе по известному температурному полю определяется соответствующее термоупругое напряженное состояние. На основе соотношений краевой задачи термоупругости строится вариационная задача о минимуме функционала потенциальной энергии на множестве кинематически допустимых полей смещений. Эффективность созданных алгоритмов проверяется на решении ряда тестовых задач. Отметим, что аналогичные алгоритмы на основе изопарамет-рических аппроксимаций на четырехугольниках для решения осе- симметричных задач теплопроводности и термоупругости рассматривались И.И.Дыяком [35, Зб] , В.Д.Вовком, Г.А.Шинкаренко [і4], Г.А.Шинкаренко _I38J . Здесь для аппроксимаций искомых величин по пространственным переменным используются полилинейные и квадратичные изопараметрические шестигранные конечные элементы аналогичные рассмотренным в первой главе. Рассматривается нестационарная задача теплопроводности в трехмерной постановке.
В этом случае искомая функция ЩосД ) /температура/ является решением следующей начально-краевой задачи [54 , 73J Здесь Aw Ао о -известная функция / коэффициент теплопроводности/, которая предполагается независимой от времени; \1 - ограниченная связная область в трехмерном евклидовом пространстве (ч с кусочно-гладкой границей I , причем і и І части границы, такие, что ULQOC) -начальное распределение температуры в теле;и(ос, - тем- пература в точке X= Со:± хг осъ)еQ. в момент времени t ;(2(a:,t)-заданное значение температуры на \± в момент времени t }0 , а Ис - на Ig vA0 ) " плотность распределенных внутренних источников тепла; Л - коэффициент теплообмена; П- - направление внешней нормали к границе области А 2 ; С -коэффициент удельной теплоемкости; Р - плотность среды. Заметим, что положительность функции влечет за собой положительную определенность оператора При этих условиях можно доказать, что решение задачи/1.1/-/1.4/ существует и единственно I 47, 73, 79 J . Из граничного условия /1.4/ как частный случай можно получить граничное условие /1.3/, если оД- - « ; если - О из соотношения /1.4/ получаем частный случай граничного условия-равенство нулю потока через поверхность, то есть тепловую изоляцию. С целью применения МКЭ, для численного решения задачи теплопроводности /I.I/-/I.4/ рассматривается вариационная постановка /случай однородного условия /1.3/ /. Вследствие положительной определенности оператора А , определяемого соотношением /1.5/ вновь воспользуемся идеей энергетического пространства /см.гл.1/. Введем в рассмотрение Здесь обозначено Llf - %t и допускается, чтоЬ вНд. В такой постановке переменная I может рассматриваться как параметр.
Использование формулы Грина для преобразования вариационного уравнения к виду /2.4/, для которого необходима меньшая гладкость допустимых функций, является одной из глав- ных основ успешного применения МКЭ. В случае неоднородного условия /1.3/ вариационная задача /2.4/, /2.5/ сохраняет свой вид [l2l] . Уравнение /2.4/ называется вариационной формой уравнения /I.I/, а решение /2.4/,/2.5/ обобщенным решением. При известных предположениях о гладкости искомого решения нетрудно доказать, что задача /2.4/, /2.5/ эквивалентна начально-краевой задаче /I.I/-/I.3/ [79, 82] . Построим некоторое конечномерное подпространство SL. энергетического пространства пд с базисом
Основные характеристики программного комплекса
Напомним, что здесь по повторяющимся индексам предполагается суммирование от I до 3 В этих обозначениях Таким образом, определение коэффициентовСг ігп в/1.5.7/ сводится к интегрированию /на 110 I выражений Tjf/Д Умно-жая их затем соответственно на О , U. или \ , получаем коэффициенты матрицы жесткости конечного элемента Л2е . Отметим, что основное время ЭВМ уходит на вычисление коэффициентов матрицы жесткости системы.
За циклом по конечным элементам Х2е / при поэлементном формировании системы уравнений МКЭ /или по узлам конечноэлементной сетки / при поузло-вом формировании системы уравнений МКЭ предварительно вычисляется массив значений HC,;J/1 = 1,2,5 tJzii2 / в точках интегрирования квадратурной формулы Гаусса на Объем вычислений в этом случае в трехмерных задачах пропорцио- налєн ITL , где m - число точек Гаусса по одной переменной. Поэтому весьма важно установить минимальное достаточное число гауссовых точек. В работе [4l] отмечено, что если при решении задач теории упругости в перемещениях МКЭ точность численного интегрирования достаточна для того, чтобы точно вычислить объем элемента, то процесс вычисления приближенного решения сходится. Поэтому для аппроксимаций /1.4.5/ необходимо выбирать т = 2 , а для /1.4.6/ -Ш=5
Это приводит к необходимости вычислять значения базисных функций и их производных соответственно в 8 или 27 точках _Q0 .В этом случае для повышения эффективности квадратичной аппроксимации используется следующая формула численного интегрирования на110[58] - где К - гиперкуб со стороной длины 2 и центром симметрии в начале координат П_ -мерного пространства,0 =(0 ,.. .,о:п)_то_ чка гиперкуба, А »[(5п-4)/(5ги-4 )]\ В -"5 -2 /(5 4)2 , оКС5гн4)/3(5п-4)] .-#s [(5п + 4УЗО]1/а .Формула/1.14/ дает точное значение интеграла J Coodcc, если подынтегральная функция т(ЭС) есть полином не выше пятого порядка. В случае П. = 5 квадратурные формулы Гаусса такого же порядка точности требуют вычисления значений подынтегральной функции в 27 узловых точках, а формула /I.I4/ содержит значения подынтегральной функции Кх) лишь в 14 узлах. В работе [41J указывается на то, что, применяя меньшее, чем необходимо для точного интегрирования, число узлов, в некоторых случаях можно существенно улучшить характеристики элемента /такой прием известен в литературе под названием редуцированное интегрирование/; это имеет место, например, при ис- пользовании трехмерных конечных элементов для расчета тонкостенных пространственных конструкций, когда конечные элементы, у которых отношение ДЛРШЫ к толщине мало, оказываются чрезвычайно жесткими для описания чистого изгиба. В дальнейшем предположим, что в /1.5.2/ "Чп sO ,m=i,2,5 Тогда получаем, что Здесь суммирование выполняется по всем конечным элементам 1е, которые содержат узел ОС« и имеют непустое пересечение с границей 1 . Рассмотрим алгоритм вычисления вклада в правую часть системы /1.3.7/ из одного конечного элемента где Cj , р векторы значений поверхностной нагрузки и смещений в расчетных узлах соответственно. Учитывая изопараметри-ческое преобразование координат запишем, например, при фиксированном значении оС$ - І1 на Х10 / если одна из граней принадлежит 1 /
Кроме этого, если конструкция нагружена равномерно распреде- ленной нагрузкой интенсивности L , то W = L У , где ч_ -вектор направляющих косинусов нормали в узлах сетки, вычисляемых по формуле /1.5.II/. Сосредоточенные нагрузки необходимо учитывать для конкретных узлов. Следовательно, вычисление правой части конечного элемента lie при равномерно распределенной поверхностной нагрузке интенсивности t сводится к вычислению вектора Как и раньше, значения базисных функций Ус , =i»2- ---?rl вычисляются на гранях конечного элемента и запоминаются в массиве. Поэтому трудоемкость вычисления вектора г сводится ,фактически, к определению значений якобиана Д в узлах квадратуры на одной из граней элемента -ii-o В программном обеспечении, созданном автором для решения трехмерных задач теории упругости, предусмотрены два способа формирования разрешающей системы уравнений МКЭ: поэлементной и поузловой. Причем, с целью рационального использования памяти ЭВМ в процессе составления системы уравнений МКЭ не формируются уравнения для узловых параметров, определяемых однородными граничными условиями.
