Введение к работе
Актуальность работы. Для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, как правило, используются приближенные методы расчета, основанные на алгоритмах и программистской технологии последовательного счета. В последнее время наблюдается прогресс в распараллеливании программ для решения таких задач, однако, они по-прежнему основываются на алгоритмах, разработанных в свое время для последовательного счета: методе конечных разностей, методе конечных элементов (МКЭ), вариационных методах и т.д. Разработка алгоритмов, в которых изначально была бы заложена идеология распараллеливания, может существенно сократить время решения реальных задач. Также с учётом развития высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных машин возникает необходимость разработки подобных алгоритмов.
В настоящее время наиболее широко используется метод конечных элементов, большой вклад в развитие которого был в своё время сделан О. Зенкевичем, Дж. Оденом и другими. Разработаны аналитические системы прикладных программ, решающих задачи механики деформируемого твёрдого тела этим методом. Необходимо отметить, что решение задач, в которых требуется определение не только напряжений, но и их градиентов является весьма затруднительным процессом. Также если при решении таких задач используется операция численного дифференцирования, то задача является некорректной.
В последнее время наблюдается повышение популярности метода граничных элементов (МГЭ). Данный метод получил своё развитие благодаря трудам К. Бреббия, П. Бенерджи, С. Крауч и других авторов. Алгоритм этого метода изначально позволяет на некоторых этапах решения задачи находить неизвестные функции, такие как перемещения, компоненты тензоров деформаций и напряжений, а также градиенты напряжений в теле независимо в каждой точке тела. До сих пор при решении задач этим методом, практически всегда использовали операции численного интегрирования. Отметим, что дополнительные трудности возникают при использовании численного интегрирования для подсчёта сингулярных интегралов. Такие операции требуют большего времени и влекут за собой большую загруженность процессоров компьютера, по сравнению с использованием функций заранее полученных путём аналитического интегрирования.
При моделировании связанных деформационно-диффузионных задач взаимное влияние процессов определяется не только компонентами тензоров деформаций и напряжений, но и градиентами напряжений, чем объясняется актуальность их аналитического определения.
Вышеизложенное и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы. Целью данной работы является модификация МГЭ, включающая в себя распараллеливание алгоритма решения рассматриваемых задач и аналитичность использующихся операций и функций; построение численно -аналитических алгоритмов решения задач теории упругости и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов; по-
лучение решения задачи теории упругости в явном аналитическом виде; проведение качественного и количественного анализа по ускорению и усовершенствованию расчёта задач, рассматриваемым методом в сравнении с другими численными методами решения линейных задач механики сплошных сред. Научная новизна:
получены аналитические формулы интегралов от тензоров влияния по произвольно ориентированному отрезку и любой точки наблюдения;
операция численного интегрирования исключена; аналитически получены точные первые (деформации, напряжения) и вторые (градиенты напряжений) производные от решения упругой и диффузионной задачи;
полученные аналитические формулы справедливы для любых двух и трехмерных задач теории упругости вне зависимости от механических параметров и геометрических характеристик;
показана численная сходимость метода на тестовых примерах;
полученные алгоритмы на каждом шаге решения задачи позволяют считать искомые величины в каждой точке тела абсолютно независимо друг от друга;
заложенное на уровне алгоритма полное распараллеливание вычислений (кроме решения системы алгебраических уравнений) существенно сокращает время решения задач, что показано на различных примерах;
модифицированный метод применён для решения деформационно-диффузионной задачи о нахождении критического давления в поре конструкции вызванного диффундировавшим водородом.
На защиту выносятся следующие положения.
-
Модификация метода граничных элементов.
-
Численно-аналитические алгоритмы решения трёхмерных и двумерных задач теории упругости.
-
Численно-аналитические алгоритмы решения деформационно-диффузионной задачи.
-
Анализ численной сходимости полученных алгоритмов.
-
Анализ временной характеристики решения задач теории упругости с использованием классического и модифицированного МГЭ.
Практическая значимость работы заключается во-первых в том, что полученный модифицированный метод позволяет решать задачи теории упругости и связанные деформационно-диффузионные задачи с меньшей затратой времени, чем методы использующиеся до сих пор; во-вторых, за счёт использования операций аналитического дифференцирования и интегрирования, полученная модификация даёт решение, способное точно и с достаточно большой скоростью корректно определять производные, т.е. деформации, напряжения и градиенты напряжений в конструкциях. Полученные результаты могут быть использованы в разработках аналитических программных пакетов для решения задач механики деформируемого твёрдого тела на многопроцессорных компьютерах.
Обоснованность выносимых на защиту научных положении, выводов н рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований определяются корректным использованием аппарата механики деформируемого твёрдого тела, интегральных уравнений и аналитических операций; сопоставлением полученных результатов с известными аналитическими решениями тестовых задач; оценкой адекватности использования рассматриваемой модификации на многопроцессорных компьютерах.
Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная конференция «Разрушение и мониторинг свойств металлов» {Екатеринбург, 2003г.), Всероссийская конференция «Высокопроизводительные вычисления и технологии» (Ижевск, 2003 г.), Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная 125-летию Свердловской железной дороги «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (Екатеринбург, 2003 г.), Ш и IV Всероссийский научные семинары им. С.Д. Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (Екатеринбург, 2004, 2006гг.), I, II и Ш Всероссийские научные конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004,2005,2006 гг.), XXXII и XXXIII летние школы-конференции «Прогрессивные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2004 и 2005 тт.) (XXXII, XXXIII Summer School — Conference "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2004, 2005)), 19-ая Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Бийск, 2005 г.), XVII Российская научно-техническая конференция с международным участием «Не-разрушающий контроль и диагностика» (Екатеринбург, 2005 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат как постановки задач, так и результаты выполненных исследований.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, общих выводов, списка литературы. Объём диссертации составляет 120 страниц. Библиографический список включает 141 наименование.
