Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Метод конечных элементов в форме метода перемещений - особые и вырожденные ситуации .
1. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учёте дополнительных связей 37
2. "Ложные" степени свободы и их алгоритмическая обработка 46
3. Учёт кинематических воздействий на систему 51
4. Нуль-податливые и нуль-жёсткие элементы 53
5. Вариационное описание нуль-элементов. 73
6. Доказательство вспомогательных алгебраических предложений 80
Глава 2. Метод конечных элементов в форме смешанного ме -тода расчёта. Новые вариационные постановки задач .
1. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем 86
2. Смешанный функционал в частных задачах 99
3. Пример. Расчёт балки ступенчатого сечения, покоящейся на упругом основании, с использованием функционала 111
4. Метод двух функционалов 115
5. Примеры применения метода двух функционалов 128
6. Метод двух функционалов в плоской задаче теории упругости (схема метода конечных элементов) 140
7. Учёт статических краевых условий. Нуль-жёсткие элементы 153
8. Примеры применения метода двух функционалов к плоской задаче теории упругости 154
Глава 3. Смешанная форма метода конечных элементов в задачах о спектре .
1. Об одном эффекте, возникающем при применении метода конечных элементов в смешанной форме к задачам о свободных колебаниях и устойчивости упругих систем 175
2. Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем 289
3. Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем. Примеры применения 202
4. Смешанный функционал в задачах о спектре 212
Глава 4. Об одном варианте метода конечных элементов в форме метода сил .
1. Вариационная постановка задачи расчёта упругих систем в усилиях
2. Функционал в частных задачах
3. Учёт разрывов в напряжениях при минимизации функционала 232
Глава 5. Метод конечных элементов в задачах расчёта упругих тел с полостями, заполненными несжимаемой жидкостью .
1. Расчёт упругих систем, опирающихся на гидродомкраты 240
2. Упругое тело с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью 250
Глава 6. Метод конечных элементов в задачах расчёта фундаментных плит .
1. Модель основания с двумя коэффициентами постели назначении характеристик двух- параметрового упругого основания 256
2. Основные функционалы и расчётные зависимости для изгибаемых пластин. Матрицы жёсткости конечных элементов 264
3. Учёт работы упругого основания при расчёте изгибаемых пластин 277
4. Метод двух функционалов в задачах изгиба пластин средней толщины. Матрицы податливости и грузовые члены для прямоугольных и треугольных конечных элементов 292
5. Краткое описание программного комплекса КОРПУС-ЕС 300
6. Примеры расчёта S04
Глава 7. Некоторые вопросы программной реализации метода конечных элементов .
1. Матрица жёсткости конечного элемента при нежёстком присоединении элемента к узлам 326
2. Процедура исключения внутренних степеней свободы. Матрицы жёсткости суперэлемента 336
3. Решение системы линейных алгебраических уравнений с симметрической ленточной матрицей 340
Заключение 355
Литература .360
Приложение 880
- Особенности алгоритмизации метода перемещений при учёте дополнительных связей
- Метод двух функционалов в плоской задаче теории упругости (схема метода конечных элементов)
- Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем. Примеры применения
- Основные функционалы и расчётные зависимости для изгибаемых пластин. Матрицы жёсткости конечных элементов
Введение к работе
Как это уже отмечалось в предисловии к работе, проблема развития и совершенствования метода конечных элементов в широком смысле слова является актуальной проблемой, направленной на решение задач, вытекающих из практических нужд сегодняшнего дня и перс -пективных потребностей развития народного хозяйства страны, и поэтому является важной народнохозяйственной проблемой.
Целью настоящего исследования является разработка научных положений, методов, алгоритмов и программ для решения сложных за -дач строительной механики методом конечных элементов, имеющая большое научное и прикладное значение в связи с открывающимися перспективами повышения универсальности, экономичности и точности прочностных расчётов конструкций за счёт
- расширения возможностей как самого метода конечных элементов в форме метода перемещений, так и его программных реализаций
- повышения эффективности схем метода конечных элементов
- разработки приёмов приспособления метода конечных элементов в особых и вырожденных ситуациях, в задачах со специфическими особенностями
- разработки новых схем МКЭ в смешанной форме
- уточнения результатов получения напряжённого состояния конструкций в рамках МКЭ.
Для достижения этой цели
- изучены и теоретически обобщены вариационные постановки задач расчёта упругих систем, служащие ОСНОЕОЙ для построения новых схем метода конечных элементов в форме метода перемещений, смешанного метода и метода сил
- разработаны способы расширения области применимости действующих программных комплексов без изменения самих программ и тем самым расширен круг решаемых шли задач
- разработаны рекомендации по построению алгоритмов прочностного расчёта конструкций, позволяющие учитывать ряд специфических особенностей, присущих расчётным схемам
- разработаны основы вариационного метода определения напряжённого состояния системы по известным приближённым значениям перемещений
- проанализированы существующие и разработаны новые эффективные способы частотного анализа упругих систем на базе ЖЭ
- разработаны практические рекомендации построения отдельных компонент программного обеспечения ЖЭ, позволяющие ПОЕЫСИТЬ его эффективность и упростить программирование
- разработан и внедрён в проектную практику програглмный комплекс КОРПУС-ЕС для расчёта фундаментных плит на основе ЖЭ.
Научная новизна работы. При разработке и реализации методов расчёта упругих систем на основе ЖЭ получен ряд новых научных результатов. Научную новизну работы составляют и на защиту выносятся следующие основные научные результаты:
- совершенствование алгоритмов ЖЭ в форме метода перемещений, обеспечивающее обработку особых и вырожденных ситуаций в расчётной схеме
- введение нового понятия нуль-элемент в строительнуьэ механику; математическое исследование свойств нуль-элементов; конструирование серии нулъ-податливых элементов стержневого и нестержневого типов;
выработка рекомендаций по их практическому применению; установление СЕЯЗИ нуль-элементов с модифицированным функционалом Лагранжа
- новая смешанная обобщённая вариационная постановка задач рас - ІЗ чёта упругих систем, отличающихся от известных смешанных ва -риационных постановок тем, что она порождается выпуклым функционалом
- новый вариационный метод в строительной механике - метод двух функционалов (МДФ)
- обнаружение эффекта качественного искажения спектра упругой системы в смешанной форме МКЭ, связанного с засорением спектра лишними часшотами; построение фильтрующего алгоритма на основе МДФ; обоснование неравенств, связывающих частоты дискретных систем, полученных на основе использования различных ва -риационных постановок задач
- МКЭ в форме метода сил на основе использования метода штрафа; способы учёта разрывов в полях напряжений для МКЗ в форме метода сил и в смешанной форме
- алгоритмы расчёта упругих систем, опирающихся на гидродомкраты; связь с вариационной постановкой задач
- алгоритм и программный комплекс по расчёту фундаментных плит; вариационное обоснование перехода от модели упругого слоя конечной толщины к двухпараметровому упругому основанию; введение специальных конечных элементов, учитывающих работу упругого основания за пределами плана плиты
- набор новых алгоритмов программной реализации МКЭ (формирование матриц жёсткости элементов при нежёстком способе присоединения элементов к узлам; формирование матриц жёсткости суперэлементов; решение систем линейных алгебраических уравнений с симметрической ленточной матрицей при минимизации затрат на обменные операции между основной памятью и магнитным носителем) .
Практическая ценность работы. Методы, алгоритмы, вычислительный комплекс и результаты исследований, представленные в диссертации, могут быть использованы широким кругом организаций и предприятий для выполнения прочностных расчётов разнообразных конструций с целью повышения надёжности, долговечности и экономичности объектов при сокращении сроков и уменьшении трудоёмкости проектиро -вания.
Отдельные теоретические результаты использованы в программных разработках многих проектных и научно-исследовательских органи -заций Москвы, Ленинграда, Киева, Харькова, Сведловска, Кишинёва, и др. городов.
Программные комплексы КОРПУС-ЕС, АВРОРА-ЕС, ПУСК-EC включены в государственный фонд алгоритмов и программ, они используются более чем в 50 проектных организаций страны при реальном проектировании объектов промышленного и гражданского строительства. Использование программного комплекса КОРПУС-ЕС регламентируется руководством по расчёту и проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа (НИИОСП им.Герсе -ванова).
Разработанные в диссертации новые вариационные постановки задач расчёта упругих систем включены в специальный курс по строительной механике, они используются при выполнении учебных научно-исследовательских работ и дипломном проектировании студентами гидротехнического и физико-механического факультетов Ленинградского ордена Ленина политехнического института им.М.И.Калинина. Разработанный в диссертации способ учёта работы упругого основания, расположенного за пределами плана плиты, включён в учебное пособие по методу конечных элементов [l7j , предназначенное для студентов ВТУЗов.
Совокупность сформулированных и обоснованных в диссертации научных положений и разработанных методов можно квалифицировать как новое песрпективное направление в строительной механике, заключающееся в создании эффективных схем метода конечных элементов на основе новых вариационных постановок задач и расширении воз -можиостей программных реализаций ЫКЭ. Полученные в диссертации научные результаты, разработанные алгоритмы и программы, их реализующие, непосредственно приложимы к решению проблемы автоматизации прочностных расчётов конструкций, имеющей важное народнохозяйственное значение.
Особенности алгоритмизации метода перемещений при учёте дополнительных связей
Научная новизна работы. При разработке и реализации методов расчёта упругих систем на основе ЖЭ получен ряд новых научных результатов. Научную новизну работы составляют и на защиту выносятся следующие основные научные результаты: - совершенствование алгоритмов ЖЭ в форме метода перемещений, обеспечивающее обработку особых и вырожденных ситуаций в расчётной схеме - введение нового понятия нуль-элемент в строительнуьэ механику; математическое исследование свойств нуль-элементов; конструирование серии нулъ-податливых элементов стержневого и нестержневого типов; выработка рекомендаций по их практическому применению; установление СЕЯЗИ нуль-элементов с модифицированным функционалом Лагранжа - новая смешанная обобщённая вариационная постановка задач расчёта упругих систем, отличающихся от известных смешанных ва -риационных постановок тем, что она порождается выпуклым функционалом - новый вариационный метод в строительной механике - метод двух функционалов (МДФ) - обнаружение эффекта качественного искажения спектра упругой системы в смешанной форме МКЭ, связанного с засорением спектра лишними часшотами; построение фильтрующего алгоритма на основе МДФ; обоснование неравенств, связывающих частоты дискретных систем, полученных на основе использования различных ва -риационных постановок задач - МКЭ в форме метода сил на основе использования метода штрафа; способы учёта разрывов в полях напряжений для МКЗ в форме метода сил и в смешанной форме - алгоритмы расчёта упругих систем, опирающихся на гидродомкраты; связь с вариационной постановкой задач - алгоритм и программный комплекс по расчёту фундаментных плит; вариационное обоснование перехода от модели упругого слоя конечной толщины к двухпараметровому упругому основанию; введение специальных конечных элементов, учитывающих работу упругого основания за пределами плана плиты - набор новых алгоритмов программной реализации МКЭ (формирование матриц жёсткости элементов при нежёстком способе присоединения элементов к узлам; формирование матриц жёсткости суперэлементов; решение систем линейных алгебраических уравнений с симметрической ленточной матрицей при минимизации затрат на обменные операции между основной памятью и магнитным носителем) .
Практическая ценность работы. Методы, алгоритмы, вычислительный комплекс и результаты исследований, представленные в диссертации, могут быть использованы широким кругом организаций и предприятий для выполнения прочностных расчётов разнообразных конструций с целью повышения надёжности, долговечности и экономичности объектов при сокращении сроков и уменьшении трудоёмкости проектиро -вания.
Отдельные теоретические результаты использованы в программных разработках многих проектных и научно-исследовательских органи -заций Москвы, Ленинграда, Киева, Харькова, Сведловска, Кишинёва, и др. городов.
Программные комплексы КОРПУС-ЕС, АВРОРА-ЕС, ПУСК-EC включены в государственный фонд алгоритмов и программ, они используются более чем в 50 проектных организаций страны при реальном проектировании объектов промышленного и гражданского строительства. Использование программного комплекса КОРПУС-ЕС регламентируется руководством по расчёту и проектированию плитных фундаментов каркасных зданий и сооружений башенного типа (НИИОСП им.Герсе -ванова).
Разработанные в диссертации новые вариационные постановки задач расчёта упругих систем включены в специальный курс по строительной механике, они используются при выполнении учебных научно-исследовательских работ и дипломном проектировании студентами гидротехнического и физико-механического факультетов Ленинградского ордена Ленина политехнического института им.М.И.Калинина. Разработанный в диссертации способ учёта работы упругого основания, расположенного за пределами плана плиты, включён в учебное пособие по методу конечных элементов [l7j , предназначенное для студентов ВТУЗов.
Совокупность сформулированных и обоснованных в диссертации научных положений и разработанных методов можно квалифицировать как новое песрпективное направление в строительной механике, заключающееся в создании эффективных схем метода конечных элементов на основе новых вариационных постановок задач и расширении воз -можиостей программных реализаций ЫКЭ. Полученные в диссертации научные результаты, разработанные алгоритмы и программы, их реализующие, непосредственно приложимы к решению проблемы автоматизации прочностных расчётов конструкций, имеющей важное народнохозяйственное значение.
Метод двух функционалов в плоской задаче теории упругости (схема метода конечных элементов)
После сведения задачи к конечно-мерной в методе сил нетривиальным оказывается вопрос автоматического построения так называемой основной системы метода сил.
Значительный прогресс в этом направлении достигнут в работах Л.А.Розина и В.Г.Бусыгина [l00,I5J , проанализировавших эту проблему на формально алгебраическом уровне, что позволило им пост -роить ряд эффективных алгоритмов, в том числе алгоритмы, основанные на идее псевдообращения матриц.
С нашей точки зрения представляется весьма перспективной идея использования метода сил, основанная на минимизации функционала Кастильяно, пополненного штрафным членом [17б] . Возможности, открывающиеся на этом пути, повидимому ещё не исчерпаны (так же как нераспознаны до конца и трудности). Некоторые детали соответствующих алгоритмов, а также связь мевду МКЭ в форме метода сил со штрафным членом в функционале и постановкой динамических задач в свёртках, принадлежащей Нуртину [l52_l , рассматриваются далее в главе 4 диссертации.
ЖЭ нашёл широкое применение не только в статических задачах, но и в задачах динамики [lll,51j , в частности, в задачах определения частот и форм свободных колебаний упругих систем. Практи -ческие результаты, получаемые при использовании смешанной формы ГЖЭ в частотном анализе и в задачах устойчивости упругих систем, опубликованные в литературе [і63,І5б] , демонстрируют высокую точность смешанного метода в проблеме собственных значений. Вместе с тем теоретические оценки, позволяющие производить сравнительный анализ частот, получаемых по МКЭ в форме метода пере -мещений и в смешанной форме, в литературе отсутствуют.
Исследование этого вопроса показало, что такие оценки могут быть получены, более того, на этом пути проявились некоторые Банные особенности, присущие МКЭ в смешанной форме применительно к задачам о собственных значениях [50] . Оказалось, что формальное распространение смешанной формы ЖЭ на задачи частотного анализа чревато опасностью заражения спектра дискретной системы дополнительными, названными нами "паразитическими", собственными числами. Выявление этой неприятной в вычислительном отношении перспективы потребовало изучения средств её ликвидации с целью восстановления доверия к спектру конечно-мерной системы, полученной на основе дискретизации исходной континуальной задачи при помощи смешанной формы МКЭ. При этом неожиданно проявилась особая роль обсуждавшегося ранее метода двух фушщионалов, распространённого на задачи о спектре упругой системы [lis] .
В строительной механике существуют классы задач, обладающие рядом специфических особенностей, которые вызывают определённые осложнения при использовании стандартных схем ЖЭ и основанных на них программных реализаций. В частности, одной из таких задач со спецификой является задача о расчёте конструкций, опирающихся на систему гидродомкратов. Континуальным аналогом этой задачи служит задача об определении напряжённо-деформированного состояния упругого тела, имеющего внутренние полости, полностью заполненные идеальной неснимаемой жидкостью. Проблемы подобного сорта возникают, например, в задачах геомеханики и биомеханики l42] . Постановка таких задач потребовала разработки специально приспособленных для их решения алгоритмов [84] , ориентированных на эффективные способы учёта особенностей поведения под нагрузкой рассматриваемых упругих систем.
Особого рассмотрения в связи с большими практическими потребностями проектирования и наличием ряда усложняющих расчёт обстоятельств потребовала задача о расчёте плитных конструкций, покоя -щихся на упругом основании. В качестве механической модели упругого основания здесь используется простейший её вариант, позволяющий учитывать распределительные свойства грунтового основания за пределами плана плиты (модель основания с двумя коэффициентами постели). Большим расчётным достоинством этой модели по сравнению с такими широко распространёнными моделями как полупространство, слой конечной толщины и т.п. является то обстоятельство, что она позволяет сохранить размерность задачи в рамках МКЭ, не увеличивая её за счёт рассмотрения координаты упругого основания по глубине. В то же время эта модель может быть использована для приближённого описания указанных выше более сложных моделей [21] . Близость моделей упругого слоя конечной толщины и двухпараметро-вого основания может быть истолкована в разных смыслах [5,14,57] , в том числе и на вариационной основе. Последовательное применение вариационной идеи к схеме сведения модели слоя к двухпаре -метровому основанию, принадлежащей В.З.Власову и Н.Н.Леонтьеву, позволило выявить наилучшую в энергетическом смысле функцию поперечного распределения перемещений по глубине слоя [і 12] .
Далее, применение схем метода конечных элементов к задачам расчёта фундаментных плит потребовало разработки специальной методики по учёту вклада упругого основания в общий энергетический потенциал механической системы "плита + упругое основание". Эта методика содержит как средства коррекции матриц жёсткости конечных элементов изгибаемой плиты за счёт работы упругого основания, так и средства учёта энергетического вклада упругого основания, расположенного за пределами плана плиты [47,45] . Задача расчёта фундаментных плит имеет и другие специфические особенности, например, из-за необходимости учёта совместной работы плжты и жёсткого верхнего строения, что потребовало разработки специализированной методики и соответствующего алгоритма (44,69] .
Публикации на тему о различных формах МКЭ и соответствующих им вариационных постановках задач в большинстве своём содержат как теоретическую часть, так и прикладной, реализационный аспект, который, если и не выступает всегда в явном виде, то во всяком случае подразумевается. Работы, тяготеющие к вычислительному ас -пекту метода конечных элементов, связаны с именами многих известных отечественных и зарубежных учёных, а создание крупных вычислительных комплексов - с коллективами, ими возглавляемыми. Благодаря этим работам в настоящее время основные, принципиаль -ные вопросы реализационного аспекта метода конечных элементов хорошо изучены.
Метод двух функционалов в частотном анализе упругих систем. Примеры применения
Идея, связанная с улучшением показателей системы даже за счёт увеличения порядка матрицы, может быть эффективно использована с помощью введения в систему фиктивных узлов. Если в примере, показанном на рис. 1.2, затяжка имеет конечную жёсткость, то разрешающая система (І.І.2) имеет следующие параметры: R =2x27=54, І =0, Ь=42. Введём в систему фиктивный узел 28 с координатами, совпадающими с координатами узла 5, и будем относить затяжку к узлам 25 - 28. Условие совместности перемещений узлов 5 и 28 записывается в виде двух уравнений полисвязей значения К =0,5 и к, =0,06. В заключении этого параграфа заметим, что, строго говоря,
Таким образом, разрешающая система (I.I.2) будет иметь параметры XI =56 , t =2 , гг=8. Несложно подсчитать, что коэффициенты эффективности использования памяти и затрат машинного времени принимают разрешающие уравнения в форме (I.I.2) не являются уравнениями метода перемещений в обычном смысле. Система (I.I.2) вытекает из условно-экстремального принципа и реализует такой его вариант, когда основной функционал записан для перемещений узлов системы. В этом смысле система (I.I.2) двойственна варианту системы разрешающих уравнений Р.А.Резникова L 94 І, где основными неизвестными являются усилия. Заметим также, что к изложенному здесь условно-экстремальному методу составления разрешающих уравнений для расчёта стержневых систем, приводящему к уравнениям типа (I.I.2) одновременно и независимо пришли также Р.А.Резников и Л.С.Якобсон. Существуют системы и даже классы систем, узлы которых, если их рассматривать как материальные тела исчезающе малых размеров, обладают возможностью смещаться или поворачиваться по определённым направлениям, не вызывая деформаций в упругих элементах. Такие кинематические степени свободы узлов системы будем называть "ложными". Типичным примером ложной степени свободы является поворот узла с прорезным шарниром, когда все сходящиеся в узле стержни присоединены к этому узлу шарнирно. Если все узлы системы обладают указанным свойством, то его легко учесть на уровне описания системы в целом и в процессе расчёта просто не учитывать соответствующих перемещений. Так, например, для плоской фермы каждому узлу приписывается только две степени свободы - линейные смещения
В аналитической механике ложным степеням свободы соответствуют циклические по Payссу обобщённые координаты системы. вдоль координатных осей, а повороты узлов вообще исключаются из рассмотрения, т.е. полагается N=2. Если же только часть узлов имеет указанную природу, то такой приём нарушает регулярность в формировании матрицы коэффициентов разрешающих уравнений. В связи с этим большинство действующих программ метода перемещений требуют на уровне подготовки исходной информации к задаче постановки внешней связи в узле по направлению ложного смещения узла. В принципе такая информация является избыточной и возникает желание избавиться от необходимости её описания, возложив на саму программу ответственность за отыскание ложных перемещений узлов. Если направление ложного смещения совпадает с направлением одной из осей общей системы координат то элементы строки и столбца матрицы К , соответствующие ложному смещению, оказываются нулевыми. Нулевым оказывается и элемент соответствующей строки гру -зового вектора ІСр. Действительно, по определению ложное смеще -ние не вызывает усилий в элементах системы, а следовательно и реакций в связях основной системы метода перемещений. В этом случае для получения безавостной схемы счёта при решении системы линейных уравнений достаточно нулевой элемент главной диагонали заменить на единицу. Эта замена, не вызывая искажений в величинах существенных (не ложных) перемещений, исключает возможность возникновения операции деления на нуль, при этом физически неоп-ределённой величине ложного смещения придаётся нулевое значение .
Имеются, впрочем, примеры программ, в которых общая матрица жёсткости системы JR. строится не в одной общей системе координат, а в локальных координатах, своих для каждого узла системы. Такой приём учёта ложных смещений реализован в программе "МИРАЖ" для ЭВМ Минск-22 [ 37 ] .
Основные функционалы и расчётные зависимости для изгибаемых пластин. Матрицы жёсткости конечных элементов
В большинстве программ статического расчёта дискретных конструкций, функционирующих в настоящее время, предполагается, что в качестве внешних воздействий на систему могут быть заданы только внешние силы - нагрузки. Между тем существуют и кинематические воздействия, не охватываемые полностью или частично действующими программами, причём учёт таких воздействий не всегда легко впи -сывается в потребляемые программами алгоритмы.
Обратимся вначале к рассмотрению кинематических воздействий, связанных с моносвязями системы. Пусть в качестве одного из компонент воздействий задано отличное от нуля перемещение моносвязи для некоторого опорного узла. Пусть А - величина заданного перемещения. Такое воздействие можно интерпретировать как задание неоднородного уравнения моносвязи в форме zT. = А , которое автоматически удовлетворяется, если в матрицах JR и JR. выпол -нить следующие преобразования: а) элементы "С . , Z-. (I 0 ) заменить нулями б) элементу ;- присвоить значение I в) элементам грузового вектора ib-p присвоить новые значения по формулам 7?1=7.?1+ A Z C ! р 3 7 = А причём для матрицы ЛІ ленточной структуры изменениям подвергается только часть элементов грузового вектора (рис. 1.5). В работе L 4Ъ5 J предлагается иной вариант учёта смещений опор в качестве внешних воздействий, по которому изменениям подвергаются только по одному элементу в матрицах JK. и Лір, , а именно полагается ..-оС , --оА, где о - достаточно большое число. Остальные элементы матриц сохраняют свои прежние значения. Повидимому этот приём несколько раз переоткрывался. Так, например, в книге [ 74 ] авторы связывают его с именами Айронса и Пейна. Значение параметра оС ограничено сверху требованием не -допустимости авостной ситуации (переполнения), а с другой стороны для получения решения приемлимой точности об" должно быть даста-точно большим по отношению к остальным элементам j -ой строки и $ -го столбца. Противоречивость этих двух требований не позволяет рекомендовать указанный приём в качестве универсального. Рассмотрим кинематические воздействия, вызванные перемещениями по направлениям полисвязей, практическим источником которых могут быть неточности изготовления или монтажа конструкций. Если заданы величины Ак таких перемещений, то вместо однородных уравнений полисвязей (I.I.I) необходимо рассмотреть соответствующие неоднородные уравнения что приводит к разрешающей системе и вектор лагран решение которой дает значения неизвестных жевых множителей Ъ Используя методы расчёта на кинематические воздействия, легко получать на основе кинематического метода линии влияния. Для этого достаточно ввести связь, соответствующую искомому фактору, и рассчитать систему на перемещение связи А =1 L $3 J . При расчёте дискретных упругих конструкций на ЭВМ широкое распространение получил метод перемещений, реализованный во многих программных системах (комплексы РАССУДОК, СТРЕСС, ПАРАДОКС, АВРОРА, ЭКСПРЕСС, КАРРА, МКЭ, МИРАЖ, СУПЕР и др.). При использовании этих программных систем в ряде случаев встречаются известные затруднения, связанные: - с наличием в системе абсолютно жёстких элементов - с наличием в узлах системы внешних связей, не являющихся со-направленными с осями общей системы координат, - с наличием кинематических внешних воздействий на систему (смещения и повороты узлов, заданные дислокации в местах присоединения элементов к узлам). Преодоление этих и подобных им затруднений, вызванных в общем случае наличием в системе так называемых "полисвязей", может быть осуществлено на алгоритмическом уровне, хотя и за счёт определённого усложнения программ \_ 83 J . В то же время имеется возможность обхода этих затруднений на уровне описания исходной информации к программам без внесения каких-либо изменений в текст самих программ. С этой целью вводятся в рассмотрение так называв -мне нуль-податливые и нуль-жёсткие элементы, состоящие из набора стержней и (или) конечных элементов более сложной природы.
Определение А . Будем называть сложный элемент нуль-податливым (нуль-жёстким), если он обладает нулевой матрицей податливости (жёсткости) по отношению к некоторым из своих степеней свободы и в то же время этот сложный элемент составлен из простых элементов конечной жёсткости (податливости).
Простейшим примером нуль-элемента служит комбинация двух последовательно соединённых пружин, из которых одна имеет положительную жёсткость О , а другая отрицательную жёсткость - С . (рис. 1.6). Легко заметить, что при действии сил Р (рис. 1.6а), рассматриваемый элемент ведёт себя как абсолютно жёсткий в продольном направлении стержень, так как сближение точек приложения сил Р равно нулю. Таким образом в силу принятого определения расе -матриваемый элемент является нуль-податливым по отношению к вза -имному смещению крайних его узлов.
Если наложить связи на все узлы этого элемента (рис. 1.66) и затем дать принудительное смещение центральному его узлу, то реакция в связи, отвечающей смещению этого узла будет равна нулю. Таким образом, этот элемент абсолютно податлив по отношению к смещению центрального узла, то есть в соответствии с принятым определением является нуль-жёстким.
