Содержание к диссертации
Введение
1 . Использование реакций связей как обобщенных координат при моделировании колебаний стержневыхсистем 10
1.1 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных. колебаниях консоли 11
1.2 Результаты расчетов 17
2. Использование внутренних силовых факторов как обобщенных координат при моделировании колебаний стержневых систем 18
2.1 Об использовании внутренних силовых факторов как обобщенных координат при моделировании колебаний стержневых систем 18
2.2. Задача о продольных колебаниях свободного стержня 19
2.3 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных колебаниях свободного стержня, симметричного относительно середины
2.4 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных колебаниях несимметричного свободного стержняг - 28
2.5. Задача об изгибных колебаниях свободного стержня с сосредо точенными массами 31
3. Развитие трещины в тонком; брусе при импульсном нагружении 34
3:1. Постановка задачи 34
3.2. Определение прогиба консоли в квазистатическом приближении 36
3.3. Представление прогиба консоли и определение кинетической и потенциальной энергии ви-ом приближении 40
3.4. Определение обобщенных сил, соответствующих введенным координатам 45
3.5; Уравнения Лагранжа II рода и условия начала и прекращения развития трещиньг, 47
3.6. Переход к,безразмерным переменным , [ 53
3.7 Алгоритм решения 57
3.8 Определение характерных значений импульса / и приближенной зависимости а тах(/) при импульсном нагружении 61
3.9 Результаты расчетов 68
Заключение 80
Список литературы
- Результаты расчетов
- Задача о продольных колебаниях свободного стержня
- Представление прогиба консоли и определение кинетической и потенциальной энергии ви-ом приближении
- Переход к,безразмерным переменным
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Работа посвящена развитию квазистатического подхода к решению задач динамики для балочных систем. Этот подход основан на рассмотрении упругих систем, имеющих связи, например опоры, как свободных систем, на которые действуют реакции связей. Данные реакции уравновешиваются силами инерции системы, которые соответствуют предположению, что система является абсолютно твердой. Величины реакций определяются при этом так, чтобы суммарные перемещения точек системы, вызванные ее движением как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей. Впервые такой подход был применен Г.Герцем при решении задачи о соударении шаров. Условие того, что шары при соударении не проникают друг в друга, является голономной связью. Полагая, что ее реакция, равная силе соударения, уравновешивается силами инерции поступательного движения шаров, Герц связал сближение шаров с силой соударения, т.е. свел задачу к системе с одной с степенью свободы.
В работах С.А. Зегжды и В.Н. Вернигора квазистатический подход Герца был обобщен и применен к широкому кругу задач динамики упругих систем. В настоящей работе новый вклад в квазистатический подход основан на рассмотрении внутренних силовых факторов в характерных сечениях и реакций связей в качестве обобщенных лагранжевых координат. Использование этих координат дало возможность в аналитической форме и притом достаточно точно найти первую собственную частоту и форму продольных и изгибных колебаний стержня переменного поперечного сечения. Рассмотрен свободный стержень и стержень, один конец которого заделан. Задача динамики развития трещины в тонком брусе при импульсном нагружении за счет введения изгибающего момента и перерезывающей силы в вершине трещины в качестве обобщенных лагранжевых координат значительно упростилась. Это позволило в рамках модели с тремя степенями свободы описать те основные аспекты развития трещины, которые наблюдаются в уникальных экспериментах, проводимых в СПбГУ под руководством чл.-корр. РАН Ю.В.Петрова.
Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Цель работы. Основная цель работы заключается в том, чтобы продемонстрировать эффективность квазистатического подхода к задачам динамики упругих систем и показать целесообразность использования реакций связей и внутренних силовых факторов как обобщенных лагранжевых координат.
Методы исследований. При достижении поставленной цели используется квазистатический подход, а также принцип освобождаемости от связей, полнота системы собственных функций свободного стержня, универсальность уравнений Лагранжа второго рода.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:
Показано, что, если свободный стержень переменного поперечного сечения мысленно разбить на две части и предположить, что каждая из частей под действием сил, приложенных к ней со стороны другой части, деформируется квазистатически, то при изгибных колебаниях система имеет че-
тыре степени свободы, а при продольных - две. Полагая, что сечение, которым стержень разделяется на две части, является неподвижным, придем к рассмотрению консоли. При изгибных колебаниях система имеет две степени свободы и обобщенными координатами являются величины, пропорциональные изгибающему моменту и перерезывающей силе в заделке. Найденные приближенные значения первой частоты для консолей в виде клина и конуса больше точных соответственно на 0,1% и 0,2%. При продольных колебаниях погрешность приближенного значения больше, чем при изгибных. Так, для стержня в виде усеченного клина с заделанным концом приближенное значение первой частоты выше точного на 1,1%.
Построена квазистатическая модель динамики раскрытия трещины в тонком брусе при импульсном нагружении ее исходных берегов. В нулевом приближении модель имеет три степени свободы. Обобщенными лагран-жевыми координатами являются изгибающий момент и перерезывающая сила в вершине трещины, а также длина трещины.
Предложен алгоритм построения последующих приближений, основанный на добавлении к этим трем координатам новых координат, позволяющих динамически учесть несколько первых форм колебаний свободного стержня. Показано, что можно ограничиться моделью, имеющей шесть степеней свободы.
Показано, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер.
Определена минимальная величина импульса, при котором начинает развиваться трещина.
Построена феноменологическая модель, позволяющая определить зависимость длины раскрытия трещины от импульса приложенной нагрузки.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Развитые в ней методы могут быть применены при решении различных задач динамики балочных систем. Материал, изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по актуальным проблемам механики и механике деформируемого твердого тела.
Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях [1, 2, 4, 5]:
Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения», Санкт-Петербург, 2004 г.; Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела», Москва, 2006 г.; Международная конференция по механике «Четвертые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 2006 г.
Результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ (2007 - 2008 гг.), а также на семинаре Института проблем машиноведения РАН «Нестационарные задачи механики и физики» (2007 г.), на секции теоретической механики в Доме Ученых им. М.Горького (2007 г.).
Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6], в том числе 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК. В совместной работе [6] соавтору принадлежит постановка задачи и метод решения, диссертанту принадлежит реализация предложенного метода и результаты расчетов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 57 наименований. Число иллюстраций равно 19. Общий объем работы 86 страниц.
Результаты расчетов
В данной главе показывается целесообразность использования реакций связей упругих механических систем как обобщенных лагранжевых координат. Сделать это удается благодаря применению квазистатического подхода к решению динамических задач теории упругости [12, 57]. В настоящей главе такой подход используется для расчета собственных колебаний балок переменного сечения. В соответствии с определением обобщенными лагранже-выми координатами называются параметры, однозначно определяющие положение механической системы [33]. Следовательно, в случае если перемещение любой точки тела может быть однозначно выражено через реакции связи, последние могут рассматриваться в качестве обобщенных лагранжевых координат.
Одним из первых квазистатический подход к решению динамических задач теории упругости применил Г.Герц. Он рассмотрел задачу о соударении упругих тел [12, 52]. Силу соударения Р в этой задаче можно рассматривать как реакцию связи, не позволяющей телам проникать друг в друга. В каждый момент времени сила Р уравновешивается силами инерции поступательного движения соударяющихся тел. Если считать соударение продолжающимся сколь угодно долго по отношению к периоду первой основной формы колебаний каждого из соударяющихся тел, то можно принять, что тела при соударении деформируются квазистатически. Это предположение позволило Герцу выразить силу соударения Р через относительное смещение а центров масс упругих тел (местное смятие). Таким образом, в модели, построенной Герцем, и кинетическая, и потенциальная энергии деформации соударяющихся тел выражаются как через Р и Р, так и через а и ос. Поэтому сила Р в модели Герца, имеющей одну степень свободы, может быть выбрана в качестве лагранжевой координаты. Идея Герца о целесообразности квази статического подхода к решению динамических задач теории упругости нашла свое развитие в работах В.Н. Вернигора, С.А. Зегжды и М.П. Юшкова [6, 12,18,57].
Использование реакций опорных элементов в качестве обобщенных ла-гранжевых координат в сочетании с использованием квазистатического подхода позволило с достаточно высокой точностью определить первые две собственные частоты и формы изгибных колебаний консолей переменного поперечного сечения.
Рассмотрим задачу о собственных изгибных колебаниях консоли переменного сечения - рис. 1.1. Координата х отсчитывается от свободного конца балки, / - длина консоли, А(х) и J(x) - площадь и момент инерции поперечного сечения х соответственно, М и Q — реакции связей, равные перерезывающей силе и изгибающему моменту в заделке, у(х, І) - прогиб сечения х консоли.
Используя принцип освобождаемости от связей, консоль будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент М(і) и перерезывающая сила Q\t). Свободная балка может, во-первых, перемещаться поступательно вдоль оси у и поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости ху, и, во-вторых, изгибаться. Будем сначала считать, что изгиб балки носит квазистатический характер, т.е. происходит под действием сил инерции поступательного и вращательного движения балки как абсолютно твердого тела, уравновешенных реакциями связей. Интенсивность сил инерции выражается через значения M(i) и Q{t), и потому прогиб любого сечения консоли в квазистатике однозначно определяется заданием величин М\t) и Q[f). Следовательно, в квазистатике изгибающий момент M\t) и перерезывающую силу Q\t) можно рассматривать как обобщенные лагранжевы координаты. Предположение о квазистатической деформации данной балки под действием сил реакций Q(t) и M(f) и сил инерции позволяет выразить и кинетическую, и потенциальную энергию деформации консоли через величины Q\t\ Q, M\t),M, т.е. позволяет построить модель с двумя степенями свободы. Для удобства при решении рассматриваемой задачи за обобщенные координаты принимаются величины:
Здесь Е - модуль упругости, J{J) - момент инерции поперечного сечения балки на заделанном конце, т.е. при х=1 (см. рис. 1.1). Введем безразмерные переменные, полагая: 40 w АО где А(х) и J(x) - соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения X.
Задача о продольных колебаниях свободного стержня
В качестве примера рассмотрим продольные колебания свободного стержня длины 21, несимметричного относительно середины - рис. 2.1. Разобьем мысленно стержень на две части длины / (стержень 1 и стержень 2) и наложим на каждую половину голономную связь, соответствующую условию равенства продольных перемещений в середине стержня (узле). Будем отсчитывать продольную координату для каждой из половин от ее свободного конца. Таким образом, для левой половины (стержень 1) координата х\ будет совпадать с координатой х исходного стержня, а координата Х2 для правой половины (стержень 2) будет отсчитываться в обратную сторону (см. рис. 2.1).
Разбиение исходного стержня на стержни 1 и 2 при расчете продольных колеба нии Обозначим через Р продольное растягивающее усилие в середине стержня (узле), которое является реакцией связи для каждой из половин и через щ - перемещение узла (конца стержня 1) в направлении оси х\ (перемещение системы как абсолютно твердого тела). Тогда уравнение связи запишется В ВИДЄ Щ = -U2, ГДЄ Щ - Перемещение КОНЦа СТерЖНЯ 2 ВДОЛЬ ОСИ Х2 Величины Рищ рассматриваются как обобщенные лагранжевы координаты. Введем следующие обозначения: z{ = xjl, z2 = x2/l — безразмерные координаты (z,=2-z2); Ax(x,), A2(x2) — площади поперечных сечений стержней 1 и 2 соответственно, 41(z1) = Ax{xx)lAx(l) ; A2(z2) = А2(х2)/Ax(l) безразмерные площади поперечных сечений.
В соответствии с предложенным подходом вначале каждый из стержней длины / рассматривается как абсолютно твердое тело. Из второго закона Ньютона находим ускорение wxi поступательного движения z-го стержня в направлении оси х,- (z=l, 2) где Е — модуль упругости, ir ix t) - перемещения сечений ХІ і-го стержня. Ввиду уравнения (2.4) и уравнения связи выражения для перемещений стержней 1 и 2 запишутся в виде (аргумент t здесь для краткости опущен)
Кинетическая и потенциальная энергии целого стержня складываются из кинетической и потенциальной энергий стержней 1 и 2, т.е. Т = Тх + Т2, П = П, + П2. В соответствии с законом Гука (2.3) и (2.4) имеем ґди 2
Данная система с двумя степенями свободы имеет нулевую собственную частоту, соответствующую поступательному перемещению стержней как абсолютно твердых тел, и ненулевую частоту. Чтобы определить ненулевую частоту, для полученных выражений (2.6) и (2.7) запишем систему уравнений Лагранжа второго рода «22 «22 Iі Как показывают расчеты, для стержня в виде клина единичной толщины (A(z) = Z) величина ю равна 1,94, а для конуса (A(z) = z2) - 2,30. Для стержня п постоянной толщины со равна 1,58, т.е. при сравнении с точным значением — ошибка составляет 0,7%. В случае свободного стержня, симметричного относительно середины, когда Ax{z) = A2(z), 0 z l, имеем СО стержня длины 2/ равна в данном случае частоте/? продольных колебаний стержня длины /, у которого конец х=0 свободен, а конец х=1 закреплен. Решение этой задачи по методу Ритца при Д (z)= 1 + z приводится в работе [1]. Показано, что со = 1,794, где все четыре цифры являются верными. По формуле (2.9) получаем со = 1,814, т.е. погрешность равна 1,1%. 2.3 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных колебаниях свободного стержня, симметричного относительно середины стержень Рассмотрим теперь изгибные колебания свободного симметричного стержня длины 2/ - рис. 2.2. Как и в предыдущем примере разбиваем его на два стержня длины /. — 2/ \ Рис. 2.2. Разбиение исходного симметричного стержня на стержни 1 и 2 при расчете изгибных колебаний
На рис. 2.2 М и Q - реакции связей, равные соответственно изгибающему моменту и перерезывающей силе в узле, ух - поперечное перемещение узла и ф - угол поворота сечения в узле (у\ и ф характеризуют перемещение системы как абсолютно твердого тела). Для нечетных форм колебаний из условий симметрии имеем граничные условия для каждого из стержней 1 и 2 ф = О, Q — 0, а для четных ух = О, М= 0. В силу симметрии будем рассматривать лишь один из стержней. Величины M,Q, у\ и ф примем за обобщенные координаты. Будем пользоваться обозначениями, введенными выше. Поступая аналогично тому, как это было сделано в задаче об изгибных колебаниях консоли, прогиб стержня y{z,t) определим по формуле (1.6). Причем с учетом граничных условий для первой формы имеем
Составляя для обоих случаев (2.12) и (2.13) уравнения Лагранжа второго рода и полагая для первой формы Л, = Q1 cospxt, ух = С$ cosp{t,a для второй - Л2 = с\2 cos p2t, ф = С cos p2t (здесь рх и р2 - соответственно первая и вторая собственные частоты колебаний стержня), приходим, к системе (2.14) где со,-, z=l, 2, безразмерные собственные частоты, связанные с величинами # соотношением
Расчеты проводились для стержней, площадь поперечного сечения левой половины которых изменяется по закону A(z) = z2n, а момент инерции — j(z) = z " при разных значениях п. Результаты расчета со і и со2, а также погрешности є величины сої при сравнении ее с точным значением [42], приведены в таблице 2.1. Для стержня постоянного сечения погрешность расчетных значений величин со і и со2 при сравнении с точными составляет соответственно 0,05% и 1,44%.
Рассмотрим теперь несимметричный относительно середины стержень длины 21. Как и в предыдущих случаях, разбиваем его на два стержня длины / — рис.2.3. Снова будем отсчитывать продольную координату для каждой из половин от ее свободного конца. Теперь из-за несимметричности целого стержня придется рассматривать каждую его половину в отдельности, поэтому добавим к прежним следующие обозначения: (х,), 2 fa) " моменты инерции поперечного сечения стержней 1 и 2 соответственно, Jl(zl) = Jx(xx)/ j(l) , ,/2(z2)=i/2(x2 )/./(/) - безразмерные моменты инерции поперечного сечения.
Представление прогиба консоли и определение кинетической и потенциальной энергии ви-ом приближении
Заметим, что при описанном способе обезразмеривания система содержит всего два параметра, которые характеризуют внешнюю нагрузку: время действия импульса значительно меньше нескольких первых периодов собственных изгибных колебаний берега трещины, импульсное нагружение можно считать мгновенным, т.е. воздействие можно характеризовать одной величиной ртахт., которая характеризует импульс и в данном случае может рассматриваться как инвариант.
Система (3.27) полностью описывает решаемую задачу. Однако при численном решении этой системы возникает проблема, связанная с тем, что величина RL, находящаяся в правой части уравнения (3.27)з нелинейно зависит от вторых производных Р" и А"к (зависимость имеет вид линейной функции в одном случае и константы - в другом). По этой причине фактически она не может быть вычислена из соотношений (3.28)-(3.29). Поэтому для определения вторых производных прежде всего необходимо выразить эти вторые производные через обобщенные координаты, их первые производные и величину а". Для этого представим систему уравнений (3.27)г(3.27)2 в виде системы п+2 линейных уравнений относительно вторых производных (З" и
Заметим, что элементы матрицы [S\ являются константами и могут быть вычислены один раз до начала расчета. Величина Ф аналогична размерной величине Ф и связана с величиной Ф,, определяемой по формуле (3.29) следующим соотношением:
Соотношение (3.34) в отличие от (3.29) не содержит вторых производных. Таким образом, вместо (3.28) имеем RL О, а = 0лФ -а Далее из (3.31) вычисляем значения Р" и Л. Для решения данной задачи была разработана программа на языке Fortran 95. Поскольку полученная система существенно нелинейна и инерционный коэффициент та при переменной а" в процессе расчета изменяется в миллионы раз, для ее решения при приемлемых затратах машинного времени целесообразно использовать метод, использующий процедуру автоматического выбора шага интегрирования. В работе использовался метод Рунге-Кутта-Мерсона. По-видимому, еще более эффективным является использование неявных методов или аналитических приближений (такие методы позволяют с достаточной точностью и высоким быстродействием решать задачу при сколь угодно малых значениях инерционных коэффициентов).
Если величина та становится слишком малой, то точность расчета резко падает. Для расширения области параметров воздействия, при которых возможен корректный расчет, использовлся тип вещественных чисел с максимальным количеством значащих цифр.
При определении коэффициентов в выражениях (3.14)-(3.15) необходимо обеспечить приемлемую точность вычисления интегралов от выражений, содержащих функции Xi(z), Yi(z) и их производные для высших форм (/ 2). Их вычисление затруднено из-за наличия в выражениях для этих функций экспоненциальных слагаемых, имеющих большие и близкие по модулю значения и противоположные знаки. Эти выражения преобразуются таким обра зом, чтобы уменьшить погрешности, связанные с округлением. Тем не менее, расчеты при числе приближений п 6 фактически являются некорректными. Впрочем, такие расчеты некорректны и с точки зрения погрешности технической теории балок, используемой в данной модели.
Рассмотрим балку под действием нагрузки (3.16) как свободное твердое тело массы pbhL . Это можно сделать ввиду кратковременности действия нагрузки. Из закона об изменении количества движения следует, что где v — скорость, которую приобретет балка под действием импульсной нагрузки, двигаясь поступательно как свободное абсолютно твердое тело, U — длительность действия нагрузки. Импульсом воздействия будем называть ве и личину: / = \p(t)dt. Для воздействия, заданного в виде (3.16) имеем:
Определим характерное значение импульса / , предполагая, что вся полученная при этом кинетическая энергия перейдет в работу по раскрытию трещины. Приравниваем кинетическую энергию к энергии, необходимой для раскрытия трещины на величину L : 2ph Отсюда получаем = ybU. j = Pma t =j2yph. (3.37) Здесь ртах — характерное значение максимального давления при нагружении, заданном в виде (3.16). В случае, если время / мало по сравнению с первыми периодами собственных колебаний берега, импульс / , задаваемый выражением (3.37), инвариантен по отношению к времени его действия U. Импульс I также будем считать инвариантным по отношению к времени U, и безразмерный импульс 7 введем по формуле 1 = у- (3-38) Отметим, что при произвольном импульсе 7 значение а = — не превзойдет 1-і величины amax = 1 + 72.
Расчеты, описанные в параграфе 3.9, проводились при фиксированном времени / . Варьировалась только величина ртах, задаваемая в долях ртах. Отметим, что при этом Построим теперь приближенную зависимость длины раскрывшейся части трещины L-L от безразмерно импульса 7. Будем также полагать, что продолжительность действия нагрузки / значительно меньше, чем первые периоды собственных колебаний балки. В этом случае можно считать, что к моменту окончания действия нагрузки U прогибы балки малы. Тогда, по
Переход к,безразмерным переменным
Заметим, что хотя формально при 7 0,3 при расчете для больших чисел п имеет место незначительное раскрытие трещины (до 1% от ее начальной длины), практически этим- можно пренебречь, поскольку в расчетах раскрытие происходит на начальной стадии движения берега, когда прогибы от действия перерезывающих сил (которые не учитываются в технической теории балок) в районе вершины трещины существенно выше, чем прогибы, вызванные изгибающим моментом, т.е. фактические значения изгибающего момента в вершине меньше расчетных. Таким образом, за пороговое значе ние можно принять величину / = - = 0,3.
Заметим, что поскольку, как показано выше, при малых временах действия нагрузки импульс является инвариантом, данные результаты могут быть обобщены на случай действия кратковременных ударных нагрузок; изменяющихся по законам, отличным от (3.16). (в соответствии с законом сохранения энергии эта сумма равна значению энергии, которая сообщена системе при импульсном нагружении, и после окончания воздействия она постоянна). На графике полной энергии участки падения соответствуют раскрытию трещины, а участки постоянства — промежуткам времени, на которых длина трещины не меняется. Следует отме тить, что величина кинетической энергии почти монотонно убывает и к моменту окончания раскрытия трещина достигает минимального значения, которое составляет менее 2% от начальной, что соответствует гипотезе о практически полном переходе кинетической энергии, сообщенной системе при воздействии, в потенциальную энергию изгиба и работу раскрытия трещины (эта гипотеза лежит в основе вывода приближенных соотношений для определения Ощах, описанных в подразделе 3.8).
Анализ зависимости потенциальной энергии от времени показывает, что к моменту окончания воздействия значение потенциальной энергии практически остается равным нулю, что подтверждает предположение о том, что воздействие можно считать чисто импульсным, пренебрегая его длительностью. В дальнейшем зависимость потенциальной энергии от времени является сложной и немонотонной. Это связано с тем, что колебания происходят по разным формам (на разных частотах). При достижении потенциальной энер гией локальных максимумов изгибающий момент в вершине трещины (который связан с общим изгибом берега) достигает критического значения и начинается раскрытие трещины.
На рис. 3.13 показаны формы безразмерного прогиба берега трещины y(z, т) = Дд в последовательные моменты времени. Для удобства по оси 9 абсцисс откладывается не z, a az=x/L . Это позволяет видеть не только изменение прогиба, но и изменение длины трещины. Нижняя линия соответствует моменту т=0,043, т.е. т«250т». Видно, что перемещения большей части берега до этого момента можно считать поступательными. Последующие линии соответствуют последовательности xf=i. Заметим, что, как следует из расчетов, раскрытие трещины начинается не сразу после окончания действия импульсной нагрузки, а приблизительно при г=80т т.е. имеет место задержка между окончанием нагружения и началом раскрытия трещины. Этот результат согласуется с эффектом запаздывания, описанном в работе [4].
Зависимость безразмерной скорости роста трещины от времени. Анализ зависимостей кинематических параметров, характеризующих раскрытие трещины (безразмерное перемещение а и безразмерная скорость а ) от времени показывает, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер, т.е. состоит из нескольких участков роста трещины (ос 0), разделенных участками, на которых длина трещины не меняется (сс =0). Количество участков в общем случае тем больше, чем больше импульс. При фиксированном импульсе количество участков возрастает при увеличении числа приближений п. Также при изменении п существенно смещаются по временной шкале моменты перехода от участка постоянства а к росту трещины и обратно. Однако окончательные значения длины трещины атах при этом изменяются незначительно.
Рассмотрим причины, из-за которых раскрытие трещины носит ступенчатый характер. Как отмечалось выше, причиной (и условием) раскрытия трещины является превышение величиной изгибающего момента в вершине трещины критического значения М . Заметим, что изгибающий момент пропорционален кривизне берега трещины в его вершине (второй производной от прогиба при x=L). Как только указанное условие выполняется, трещина начинает раскрываться. Раскрытие трещины уменьшает кривизну берега в районе вершины трещины, т.е. ведет к снижению изгибающего момента. С другой стороны, в силу инерции движения берега трещины, его прогибы возрастают, что ведет к увеличению изгибающего момента. Если бы движение берега было автомодельным, т.е. зависимость прогиба от безразмерной координаты z можно было бы представить, в виде y(z,%) = Y(z)f(x), ТО раскрытие трещины было бы плавным: скорость раскрытия трещины была бы однозначно связана со скоростью движения ее берега. Однако в реальности колебания берега происходят по нескольким независимым формам, причем каждый переход от участка неподвижности трещины к участку ее роста или обратно фактически эквивалентен ударному нагружению края трещины, т.е. вызывает колебания сразу по нескольким формам. Таким образом, на движение берега по первой форме, которая несет основную энергию накладывают ся более высокочастотные колебания по другим формам. В результате изменение изгибающего момента в области, прилегающей к вершине трещины, является немонотонным и носит колебательный характер, что и является причиной остановок и продолжения роста трещины.
Следует отметить, что вывод о ступенчатом характере раскрытия трещины подтверждается экспериментальными исследованиями, проводимыми на кафедре теории упругости СПбГУ под руководством Ю.В. Петрова [4].
