Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи 16
1.1 Выбор расчетной схемы и основные задачи исследования 16
1.2 Вывод основных уравнений динамики троса 18
Глава 2. Квазистатическая модель расчета тросовых систем 21
2.1 Решение задачи статики 21
2.2 Результаты статического расчета тросовой системы 26
Глава 3. Линейная модель динамики тросовой системы 28
3.1 Линеаризация уравнений движения 28
3.2 Анализ качественных свойств уравнений динамики троса без учета сил гидродинамической природы и сил внутреннего трения .38
3.3 Вынужденные колебания троса малой кривизны с учетом сил гидродинамической природы и внутреннего трения 55
Глава 4. Нелинейные эффекты в динамике тросовых систем 65
4.1 Ангармонические резонансы, обусловленные геометрической нелинейностью тросовой системы 65
4.2 Параметрические резонансы, обусловленные геометрической нелинейностью тросовой системы 79
4.3 Учет нелинейностей сил гидродинамической природы 86
Глава 5. Линейная модель динамики упругой тросовой системы немалой кривизны 98
5.1 Определение частот и форм собственных колебаний: 98
5.2 Вынужденные колебания упругого погруженного в жидкость троса немалой кривизны 105
5.3 Результаты расчета вынужденных колебаний. 113
Глава 6. Исследование вынужденных колебаний упругого погруженного в жидкость троса на основе численного решения модифицированных уравнений Минакова 122
6.1 Модифицированные уравнения Минакова и вычислительный, алгоритм. 122
6.2 Начальные и граничные условия. 131
6.3 Результаты численного моделирования 139
Глава 7. Исследование динамики плавучего объекта, удерживаемого системой гибких упругих связей 146
7.1 Различные математические модели описания реакции якорной системы удержания 146
7.2 Линейная модель динамики плавучего объекта 148
7.3 Сравнительный анализ различных математических моделей описания якорной системы удержания 157
Заключение 187
Литература , 191
- Вывод основных уравнений динамики троса
- Результаты статического расчета тросовой системы
- Анализ качественных свойств уравнений динамики троса без учета сил гидродинамической природы и сил внутреннего трения
- Параметрические резонансы, обусловленные геометрической нелинейностью тросовой системы
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Изучение поведения тросовых систем имеет большое значение для решения многих практических задач (в строительстве, авиационной технике, в проектировании и эксплуатации воздушных линий электропередач). Причем с развитием техники круг приложений результатов и методов динамики и статики тросовых систем неуклонно расширяется. Особо важным представляется изучение динамики тросовых систем в морской технике, в частности, в якорных системах удержания полупогружных плавучих буровых установок (ППБУ), строительство которых развивается в последние годы в связи с расширением добычи нефти и газа со дна моря. Освоение материковых шельфов связано с выходом на большие глубины. При этом строительство стационарных буровых платформ на глубинах более 100м зачастую оказывается экономически неоправданным. В этих условиях более перспективным оказывается использование полупогружных плавучих буровых установок. Такие сооружения практически непрерывно подвергаются воздействию волн и ветров. Якорные системы воспринимают эти внешние воздействия, удерживая плавучие объекты на штатных местах акваторий. Недооценка систем удержания при проектировании может быть причиной аварий. Таким образом, требуются обоснованные методы расчетов подводных тросовых систем, обуславливающие достоверность результатов и экономичность решений.
На сегодняшний день в области расчета тросовых систем сложился ряд направлений. Наиболее полно разработаны вопросы статики абсолютно гибких нерастяжимых тросов. Начало этому направлению было положено Лагранжем. Он вывел уравнения статики абсолютно гибкой нити (троса) исходя из принципа возможных перемещений. Первые по времени важные результаты статического расчета абсолютно гибких нерастяжимых нитей (тросов) были получены академиком Л.Н. Крыловым. Который применил полученное им уравнение цепной
і »**>& национальная!
3 l-jEmm
Ліппш для расчета односторонней работы якорной системы удержания (внешняя сила воспринимается цепями одного борта). Далее были решены задачи в предположении двусторонней работы якорной системы (Л.А. Уманский, Ю.А. Шиманский). Таким образом, сформировался квазистатический подход к расчету якорной системы удержания, когда положение плавучего объекта в определенный момент времени «замораживается», а усилия в связях определяются из решения статической задачи о провисании тросов.
Вместе с тем, при колебаниях плавучих объектов клюзовые устройства вовлекают в движение всю якорную систему удержания в целом, где в дополнение к статическим возникают и динамические составляющие усилий, которые не могут быть выявлены в рамках квазистатической модели. Учет упругости тросовой системы в задачах динамики приводит к проявлению качественно новых свойств, а именно, к распространению продольных волн вдоль троса, и к возможности взаимодействия продольных и поперечных типов колебаний в рамках нелинейных моделей. В диссертации представлены расчетные методы, позволяющие оценивать влияние динамических силовых факторов в реакции якорной системы удержания и, тем самым, корректно назначать параметры тросовых систем в процессе проектирования.
Цели работы
Разработка методов расчета динамики подводной упругой тросовой системы;
Оценка влияния динамических эффектов в реакции якорной системы удержания на движение плавучего объекта и сравнение результатов с соответствующими квазистатическими моделями.
Научная новизна работы
Разработано аналитическое решение задачи о вынужденных колебаниях упругой тросовой системы малой кривизны на основе метода конечных интегральных преобразований;
Исследовано влияние как геометрических нелинейностей тросовой системы, обусловленных многомерностью задачи, так и нелинейностей сил гидродинамической природы. Показана возможность возникновения ангармонических и параметрических типов колебаний на комбинационных частотах;
Разработан метод расчета вынужденных колебаний упругой подводной тросовой системы немалой кривизны при кинематическом возбуждении верхней точки крепления на основе решения линеаризованной системы уравнений;
Разработан и протестирован численный метод расчета вынужденных колебаний упругой подводной тросовой системы немалой кривизны, позволяющий учитывать нелинейные эффекты в динамике тросовой системы и проводить расчеты при произвольном законе движения верхней точки крепления;
Решена задача о совместных колебаниях плавучего объекта и тросовой системы. Сравнение результатов, полученных на основе решения задачи о совместных колебаниях, с результатами решения задач, в которых влияние тросовых связей учитывается на основе линейной или квазистапгческой моделей позволило определить область применимости этих моделей.
Достоверность результатов работы
Достоверность представленных результатов подтверждается сравнением данных, полученных на основе различных расчетных методов, а также использованием точных аналитических соотношений.
Положения, выносимые на защиту
Исследование вынужденных колебаний упругой тросовой системы малой кривизны на основе метода конечных интегральных преобразований;
Исследование влияния геометрических нелинейностей тросовой связи, а также нелинейностей сил гидродинамической природы;
Использование метода комплексных амплитуд для решения линеаризованной системы уравнений динамики троса немалой кривизны;
Численный алгоритм расчета динамики подводной упругой тросовой системы немалой кривизны, позволяющий учитывать вклад нелинейных эффектов;
Исследование влияния динамики тросовых связей на движение плавучего объекта.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийском конкурсе научных работ молодых ученых по механике и процессам управления (СПб: Институт проблем машиноведения РАН, 2001, диплом II степени), Международной научно-практической конференции «Третьи Окуневские чтения» (СПб, 2002), Научно-технических конференциях ЦКБ МТ
«Рубин» (СПб, 2002, 2003), Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва: Институт проблем управления РАН, 2002), Международной научной конференции по механике «Третьи Поляховские чтения» (СПб.: СПбГУ, 2003), Четвертом международном симпозиуме «Актуальные проблемы машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред» (Москва: РАН, 2003), Научно-технической конференции «XLI Крьшовские чтения» (СПб.: ЦНИИ им. акад. Л.Н. Крылова, 2003), научном семинаре кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ, научных семинарах кафедры теоретической механики и баллистики БГТУ.
Публикации
Основные результаты проведенного исследования отражены в одиннадцати публикациях.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 121 наименования. Работа изложена на 198 страницах и содержит 71 рисунок.
Вывод основных уравнений динамики троса
Перейдем к выводу основных уравнений динамики троса. Введем в рассмотрение неподвижную систему координат OXYZ (см. рис. 1.1). Пусть RA = const и RB = const радиус-векторы точек закрепления троса.
Введем натуральный параметр s - длину дуги отсчитываемую вдоль ненапряженного троса от точки А, 0 s L, L-длина ненапряженного троса. Положение точки s троса, находящейся между точками А и В, в момент t относительно осей OXYZ определяется радиус-вектором R(s,t). Введем силу натяжения троса T(s,t) в точке s в момент t как внутреннюю силу, действующую со стороны участка троса sB на участок As. Зададим распределение погонной плотности (массы на единицу длины) вдоль троса p(s) .
При исследовании динамики тросовой системы будем рассматривать модель абсолютно гибкого упругого погруженного в жидкость троса. Возбуждение колебаний происходит за счет перемещения одной из точек крепления троса по заданному закону. Данная расчетная схема моделирует динамику якорной связи при перемещении плавучего объекта за счет воздействия волн, ветров и т.д.
Вначале рассмотрим квазистатическую модель динамики троса, когда форма провиса и натяжение в нем определяются из решения задачи статики в каждый фиксированный момент времени. Для чего решим соответствующую статическую задачу при различных положениях верхней точки крепления. Впоследствии сравним результаты, полученные на основе квазистатической модели, с результатами, полученными на основе решения уравнений движения троса.
При исследовании динамики троса внешними силовыми факторами являются: сила веса троса, выталкивающая сила, силы гидродинамического сопротивления и инерции присоединенной массы жидкости. Учтем также вклад сил внутреннего трения. Осуществим линеаризацию исходной системы уравнений динамики троса около состояния статического равновесия. Анализ линеаризованных уравнений позволит выявить основные динамические свойства тросовой системы.
Наряду с изучением линейных моделей рассмотрим и нелинейные модели динамики троса. При этом рассмотрим влияние нелинейностеи обусловленных многомерностью нашей задачи (геометрическая нелинейность) и нелинейностеи сил гидродинамического сопротивления.
Сравним результаты решения задачи о вынужденных колебаниях погруженного в жидкость троса, полученные на основе линеаризованной системы уравнений с результатами развитого численного алгоритма, учитывающего вклад нелинейностей и позволяющего проводить расчеты при произвольном законе движения верхней точки крепления. Тем самым, протестируем численный алгоритм. Он будет взят за основу при решении задачи о совместных колебаниях плавучего объекта и якорной системы удержания.
Влияние динамики тросовых связей на динамику объекта будем изучать на основе решения задачи о горизонтальных колебаниях плавучего сооружения при регулярном волнении. Именно этот тип колебаний обуславливает наибольшие усилия в якорных связях и первостепенно влияет на технологию буровых работ. Однако следует отметить, что все основные выводы по учету влияния динамики тросовых связей могут быть в равной степени отнесены и к другим типам колебаний объекта. Сравнение результатов, полученных на основе решения задачи о совместных колебаниях плавучего объекта и тросовых связей с результатами решения задач, в которых влияние тросовых связей учитывается на основе линейной или квазистатической моделей позволит определить те параметры системы, которые в наибольшей степени отвечают за возникновение динамических эффектов в реакции якорной системы удержания.
Результаты статического расчета тросовой системы
С помощью методики описанной выше были построены упругие линии для стального троса длиной l = sB= ЗООд при различных координатах верхней точки крепления . Задавались следующие значения координат верхней точки крепления троса: 1) R B =Л1Д =200л ; 2) Rd = RlB = 2КЫ; 3) Д„ = ДгД = 214«; 4) Д,я = ДгВ = 215 . Очевидно, что максимальное усилие возникает в верхней точке крепления троса. При этом до значений RxB = RzB =210м деформация троса обуславливается как изменением формы упругой линии троса, так и его упругой деформацией. Максимальное усилие в этом случае оказывается на два порядка ниже максимального разрывного усилия Tmapav = ajcff ъ 2,6 107 Я.
При дальнейшем увеличении координат верхней точки крепления RiB =RzB =214;215л трос вытягивается в струну и его деформация обуславливается только лишь упругими свойствами материала троса, происходит резкий рост напряжений в тросе и при RxB =RlB = 215м максимальное усилие в тросе по порядку величины достигает максимального разрывного усилия. При этом трос растягивается на 4 метра относительно ненапряженного состояния.
Таким образом, представленная модель, в отличие от модели нерастяжимого троса, позволяет строить жесткостные характеристики тросовых связей в области их упругих деформаций. Что особенно важно для определения коэффициентов жесткости связей (производная распора по горизонтальной проекции связи), широко используемых для определения собственных частот колебаний сооружений в горизонтальной плоскости, так как без учета упругости при увеличении распора данный коэффициент бесконечно возрастает.
При исследовании динамики тросовой системы вначале рассмотрим случай малых колебаний около состояния статического равновесия, что позволяет произвести линеаризацию исходной системы уравнений.
Обратимся теперь непосредственно к уравнению движения произвольного участка троса (1.2). В число внешних сил, действующих на элемент троса ds, входят: сила тяжести, архимедова сила, силы инерции присоединенной массы жидкости и гидродинамического сопротивления. К внутренним силам следует отнести силы упругости и внутреннего трения в материале троса. Физическая природа силы внутреннего трения связана с необратимыми микропроцессами, происходящими в структурном строении материала тросов и в микрообластях контакта отдельных его проволок. При продольном натяжении троса происходит более плотная упаковка его проволок, и возникающие при этом местные пластические деформации и относительные сдвиги поверхностей вносят дополнительные источники рассеивания энергии при деформациях. С другой стороны, при более плотной упаковке проволок в тросе затрудняется их взаимное проскальзывание, что уменьшает рассеивание энергии. Ввиду действия многих факторов точно построить функцию рассеивания энергии не представляется возможным. Отметим, что в ряде работ зарубежных авторов [91] сила внутреннего трения заменяется внешним силовым фактором, пропорциональным скорости движения элемента троса в направлении касательном к упругой линии и действующем в противоположном направлении. Другой подход к учету силы внутреннего трения предполагает использование гипотезы Фойгта, согласно которой сила внутреннего трения пропорциональна скорости деформации элемента троса. Ниже будут рассмотрены оба подхода.
Будем рассматривать линейные модели сил гидродинамического сопротивления, согласно которым абсолютные значения этих сил пропорциональны скорости движения элемента троса в соответствующем направлении (нелинейные модели сил гидродинамического сопротивления будут рассмотрены ниже).
В работе [22], показано, что коэффициент // практически не зависит от амплитуды колебаний динамических усилий, однако в сильной степени зависит от среднего (статического) натяжения, ввиду того, что при увеличении натяжения возрастает взаимное сжатие проволок троса и уменьшается их относительное проскальзывание. Согласно [22], зависимость коэффициента вязкого трения ju от среднего растягивающего напряжения с может быть аппроксимирована следующей формулой. Экспериментом установлено, что с увеличением натяжения коэффициент ju уменьшается примерно в 4-7 раз, приближаясь асимптотически к / - коэффициенту вязкости для отдельной проволоки. Как и в предыдущем случае, подставляя разложения (3.1) и (3.26) в систему (3.25), сокращая слагаемые, характеризующие статику и слагаемые более высокого порядка малости по сравнению с щ и Д7}, а в разложении (3.5) учитывая лишь члены первого порядка, получим линеаризованную около состояния статического равновесия систему уравнений, описывающую колебания троса в плоскости провисания с учетом сил внутреннего трения по Фойгту.
Анализ качественных свойств уравнений динамики троса без учета сил гидродинамической природы и сил внутреннего трения
Рассмотрим вначале колебания троса без учета сил гидродинамической природы и сил внутреннего трения. Как видно, коэффициенты кІХ,кхг,кг\ кті являются функциями s и определяются из решения задачи статики (3.20). Однако они могут рассматриваться, как постоянные величины, не зависящие от s, в случае если сила веса троса существенно меньше вертикальной и горизонтальной составляющих натяжения. То есть: pkgL « Си; pkgL « СЇЛ, и мы можем запи сать Т0 я cXx + C\z . Очевидно, что данное предположение выполняется лишь для тросов малой кривизны.
Будем предполагать кинематическое возбуждение верхнего конца троса в горизонтальном направлении по гармоническому закону с циклической частотой со и амплитудой А. Предположим, что в начальный момент времени t = 0, перемещения и скорости элементов троса равны нулю.
С помощью замены переменной перейдем от задачи решения однородной системы дифференциальных уравнений в частных производных с неоднородньши граничными условиями к решению неоднородной системы с однородными граничными условиями. Для решения данной краевой задачи применим к первым двум уравнениям системы (3.36) конечное интегральное косинус-преобразование Фурье, а к последним двум уравнениям конечное интегральное синус-преобразование Фурье. Рассмотрим случай, когда горизонтальная проекция силы натяжения существенно выше вертикальной проекции, т.е. трос вытянут практически параллельно оси ОХ.
Общее решение уравнения (3.52) представимо в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид. Проанализируем полученное решение: первое слагаемое представляет собой так называемый «квазистатический» член, он вносит основной вклад в решение, когда частота возбуждения а существенно ниже первой собственной частоты спектра системы.
Если частота возбуждения близка к одной из собственных частот спектра системы, на соответствующей гармонике по временной переменной наблюдается эффект биений, т.е. колебания с периодически меняющейся амплитудой. Обратимся теперь к уравнению поперечных колебаний (3.53). В данном случае общее решение этого уравнения равно: vz = Asm(ktt + p0). По [ Sin 7() = О стоянные интегрирования получим из начальных условии: cos (?о = О следовательно: 2 = 0 и uz(t) = 0. Таким образом, uz(s,t) = 0 ,т.е. в рамках линейной теории для троса параллельного оси ОХ и кинематически возбуждаемого вдоль этой оси, поперечные колебания не возбуждаются.
Как и в предыдущем случае, путем замены переменных перейдем от однородной системы дифференциальных уравнений в частных производных с неоднородными граничными условиями к неоднородной системе с однородными граничными условиями. Как и в рассмотренном выше случае, первые слагаемые в (3.103) и (3.104) представляют собой «квазистатические» члены. Резонансные явления здесь возникают, если частота вынужденных колебаний по какому-либо из направлений близка к собственной частоте одного из двух, спектров системы на каком-либо тоне р. Динамические приращения натяжения ATx(s,t), ATz(s,t) теперь могут быть получены из первых двух уравнений системы (3.30). На рисунке 3.4 представлены графики перемещений относительно стационарной конфигурации в сечении s = 50м для троса с рассмотренными выше параметрами и координатами верхней точки крепления в стационарном состоянии R =RZB=214M (см. рис. 2.1). Предполагалось кинематическое возбуждение верхней точки крепления в горизонтальном и вертикальном направлениях с циклическими частотами в\,о)г, соответственно. Первая собственная частота спектра поперечных колебаний: кй =4,11с ; первая собственная частота спектра продольных колебаний: кп 44,08с . При частотах возбуждения существенно отличных от собственных частот (рис. 6а) резонансных явлений не наблюдается. На рисунке 66 представлен резонансный режим по первой форме поперечных колебаний (частота возбуждения в вертикальном направлении а 2 совпадает с первой собственной частотой спектра поперечных колебаний). Рисунок 6в представляет резонансный режим по первой форме продольных колебаний. Отметим, что перемещения в рассматриваемом сечении s = 50м возникают спустя некоторое время, необходимое для прохождения упругой волны со скоростью до рассматриваемого сечения. Рисунок 6г представляет резонансный режим по второй форме поперечных колебаний (частота возбуждения в вертикальном направлении v2 совпадает со второй собственной частотой спектра поперечных колебаний).
Параметрические резонансы, обусловленные геометрической нелинейностью тросовой системы
Наряду с ангармоническими колебаниями, учет геометрической нелинейности тросовой связи может приводить к возникновению резонансов параметрического типа от членов третьего порядка во втором приближении, пропорциональных произведению AT -АТ К Рассматривая для простоты трос вытянутый практически параллельно оси ОХ (см. рис. 7), и из всех нелинейных членов учитывая лишь эти, будем иметь (индекс (2) для краткости не пишем).
Рассмотрим частный случай, когда трос возбуждается лишь в продольном направлении с циклической частотой ох. В этом случае сог =0 и, как следует из (4.66), система (4.67) распадается на два независимых уравнения продольных и поперечных колебаний. При этом параметрические колебания в продольном направлении отсутствуют.
Коэффициенты / (характеризующий отношение собственной частоты поперечных колебаний системы на каком-либо тоне к частоте возбуждения й)\) и q (характеризующий степень изменения параметров системы) полностью определяют устойчивость движения. Плоскость изменения / и q может быть разделена на области, соответствующие устойчивым и неустойчивым движениям. Такая диаграмма (диаграмма Айнса-Стретта) представлена на рисунке 4.2. Рис.4.2 Диаграмма Айнса-Стретта
Как легко видеть, при малых q, т.е. при малых А1 и больших Г0 неустойчивость имеет место при / = 1,4,9..., т.е. при отношениях —- =—;1;—;2;— и т.д. Главный параметрический резонанс по какому-либо 01 2 2 2 тону р наблюдается, если частота возбуждения щ в два раза выше соответствующей собственной частоты поперечных колебаний. Отметим, что q отношение — сохраняет постоянное значение, как при изменении частоты возбуждения a i, так и при изменении собственной частоты гармоники спектра поперечных колебаний kt(p = 1,2,3...). Соответствующая точка на диаграмме Айнса-Стретта движется по лучу, проходящему через начало координат, наклон которого определяется параметром h. Луч приближается к оси абсцисс по мере уменьшения h. Таким образом, при заданном h некоторые гармоники спектра будут находиться в областях устойчивости, а некоторые в областях неустойчивости к малым возмущениям. Изменение частоты возбуждения щ будет приводить к смещению гармоник из областей устойчивости в области неустойчивости и наоборот. Из (4.79) видно, что при наличии демпфирования параметрический резонанс возможен только при \q\ Л. Так как по гипотезе Фойгта коэффициент/1 пропорционален квадрату номера соответствующей гармоники, как правило, возможен лишь главный параметрический резонанс при час тоте возбуждения в продольном направлении U J в два раза большей собственной частоты основного тона поперечных колебаний. При удержании большего числа слагаемых в выражении (4.75) и, соответственно, более точном выполнении равенства F(T) = 0 можно уточнить границы первой области неустойчивости и рассчитать границы других областей. 4.3 Учет нелинейностей сил гидродинамической природы
Исследуем эффекты, которые возникают при учете нелинейностей сил гидродинамической природы. Будем аппроксимировать зависимости сил гидродинамического сопротивления от продольной и поперечной компонент вектора скорости элемента троса в виде нечетных кубических полиномов.
При изучении колебаний троса малой кривизны, как и ранее, будем считать коэффициенты системы (4.87) постоянными величинами, не зависящими от s. Для простоты рассмотрим вначале случай, когда трос вытянут практически параллельно оси ОХ и подвергнут кинематическому возбуждению в продольном и поперечном направлениях с циклическими частотами в)\ и а 2, соответственно .
Граничные условия в высших приближениях являются однородными, так как их неоднородность учтена в первом приближении. Для решения системы (4.97) применим метод конечных интегральных преобразований. Ввиду однородности граничных и начальных условий получим: « 2)(s,0 = o; «? ( ,0 = o; дг, 2 ( ,/) = 0; дгг(2 (м) = о. (4.98).
Из (4.111) видно, что учет нелинейностей сил гидродинамического сопротивления приводит к проявлению качественно новых свойств динамики тросовой системы. А именно, в третьем приближении возможно возникновение ангармонических резонансных режимов продольных колебаний как за счет задания продольного кинематического возбуждения с частотой в три раза меньшей соответствующей собственной частоты продольных колебаний, так и при определенных комбинациях частот возбуждения в продольном и поперечном направлениях, близких к соответствующим собственным частотам продольных колебаний. Из-за наличия трения в системе возможные резонанси несколько смещены в область меньших частот относительно спектра собственных частот продольных колебаний: Из (4.113) видно, что в третьем приближении возможно возникновение ангармонических резонансных режимов поперечных колебаний как за счет задания поперечного кинематического возбуждения с частотой в три раза меньшей соответствующей собственной частоты поперечных колебаний, так и при определенных комбинациях частот возбуждения в продольном и поперечном направлениях, близких к соответствующим собственным частотам поперечных колебаний.
