Содержание к диссертации
Введение
1 Стержневые системы и уравнения их состояния. 9
1.1 Классификация и применения стержневых систем в технике и в строительстве 9
1.1.1 Классификация стержневых систем 9
1.1.2 Применение стержневых систем в технике и в строительстве... 10
1.2 Формирование математической модели стержневых систем и методы расчета динамических состояний 15
1.2.1 Формирование математической модели стержневых систем 15
1.2.2 Прямой стержень с постоянным поперечным сечением 16
2 Рещение задачи о свободных колебаниях пространственных стержневых систем . 21
2.1. Формирование матричных характеристик стержневого конечного элемента 23
2.2. Пример расчетов 28
2.3. Определение спектра свободных колебаний стержневой системы с присоединенными массами 36
3 Вынужденные колебания стержневых систем 42
3.1 .Применение модального разложения при решении неоднородных задач и удерживающих связей 42
3.2 . Колебания трехмерной системы при удерживающих связях 48
3.2.1 . Колебание трехмерной системы с удерживающими связями при одиночном импульсе 49
3.2.2 . Колебания трехмерной системы с удерживающими связями при серии импульсов 54
3.3 . Шаговый алгоритм решения задачи о вынужденных колебаниях при неудерживающих связях 68
3.4 . Колебание трехмерной системы с неудерживающими связями 68
3.4.1 . Колебание трехмерной системы с неудерживающими связями при одиночном импульсе 68
3.4.2 . Колебание трехмерной системы с неудерживающими связями при серии импульсов 73
Заключение 77
Литература 78
Приложение 86
- Классификация стержневых систем
- Формирование математической модели стержневых систем
- Определение спектра свободных колебаний стержневой системы с присоединенными массами
- Колебания трехмерной системы при удерживающих связях
Введение к работе
Потребности современной техники с ее постоянно возрастающими требованиями к прочности, жесткости и динамическим характеристикам технических систем, уменьшению их массы, оптимальности конструкции и миниатюризации приводят к необходимости постановки новых задач и разработки новых методик моделирования, наиболее полно и адекватно учитывающих геометрию и механические особенности разрабатываемых технических систем, реальные условия их эксплуатации в соответствующих отраслях человеческой деятельности[ 14,15,16,17].
Пространственные стержневые системы являются широко распространенными элементами конструкций различного назначения: это перекрытия объектов большой площади (торговые павильоны, стадионы, ангары), опоры линий электропередач, несущие конструкции кранов различного назначения и т.п. Их очевидными преимуществами являются: малая материалоемкость при высокой прочности, возможность унификации элементов, узлов и подсистем, технологичность. Последнее преимущество характерно для систем прямых стержней в силу широкой номенклатуры выпускаемых промышленностью прокатных профилей. Рассматривая условия эксплуатации стержневых систем, необходимо отметить, что основные расчетные нагрузки на стержневые системы являются динамическими. Это ветровые, сейсмические и техногенные воздействия[42,61,70,80]. Тем самым развитие методов анализа динамических состояний стержневых систем становится актуальной научно-технической задачей[6].
В области динамики стерневых систем занимались ученые: Светлицкий В.А., Гордон В. А., Алешин А.Я., Розин Л. А., Смирнова А.Ф.,и.т.д.[1,63, 65, 60]. Они решили эти задачи по двум главным сторонам: аналитическим и конечным элементам. А механикой систем с неудерживающими связями занимались Журавлев В.Ф., Иванов А.П., Маркеев А.П....Г36, 38, 40, 43]. Они
рассмотрели механические системы абсолютно твердых тел или системы с конечными степенями свободы.
Из ряда стержневых систем существуют немало конструкций, у которых особенные или неидеальные связи, например: неудерживающие связи. Решение динамических задач этих систем вызывает значительные трудности, потому что в процессе движения число степеней свободы или модель расчета механической системы, стесненной неудерживающими связями, могут изменяться.
Исходя из особенностей эксплуатирования СС, можно сказать, что они подвергаются воздействию разнообразных нагрузок, из которых можно выделить в качестве основных - обычную и случайную нагрузку. Обычную нагрузку могут понимать как нагрузки возникают в процессе нормальной работы конструкции. А случайную нагрузку понимают, как нагрузки возникают в случайных ситуациях, например, нагрузка действует на башенной кран при разрыве кабелей когда он поднимает груз или нагрузка действует на конструкцию радиолокации при буре и.т.п[66,52].
Совершенно очевидно, что при проектировании таких технических систем встают вопросы обеспечения надлежащей жесткости и прочности как при рабочих нагрузках, так и при экстремальных перегрузках, обусловленных нестационарностью эксплуатационных условий и обстановки в условиях боевых действий.
Одним из основных резервов сокращения сроков разработок конструкций, к которым предъявляются повышенные требования по жесткостным и прочностным характеристикам является сокращение циклов экспериментальных исследований и доработок, доводок, обработки конструкторской и технологической документации, а также эффективная подготовка производства. С этой точки зрения особое значение приобретает анализ проектных решений на ранних этапах проектирования с помощью имитационных систем, позволяющих моделировать на стадии проектирования будущую конст-
-7-рукцию и процессы ее испытания на различные воздействия. Это позволяет конструктору обоснованно принимать те или иные решения и выбирать параметры будущей конструкции. Иначе говоря, на основе имитационного моделирования эксперимента можно судить о качестве проектных решений и самого проекта.
Имитационная модель, в отличие от натурной, позволяет определять «слабые» места в конструкции и тем самым подойти к задаче оптимального проектирования. Кроме того, во многих случаях имитационное моделирование является единственным доступным методом исследования сложных систем. В частности, оценка прочностных и жесткостных характеристик конструкции (напряжений, деформаций, перемещения различных точек конструкции) часто вызывает серьезные технические трудности при испытаниях, что же касается этапа проектирования, то моделирование здесь единственный метод исследования и прогнозирования работоспособности конструкции в заданных условиях эксплуатации, целенаправленного и обоснованного выбора параметров будущей конструкции.
Имитационное моделирование тесно связано с построением и исследованием математической модели, описывающей поведение конструкции в среде внешних воздействий, в том числе и динамических. Построение математической модели конструкции тесно связано с формализацией описания и дискретизацией.
Имея дело с СС, как со сложным объектом неоднородной структуры, подверженного динамическому нагружению, мы приходим к необходимости проведения довольно сложного анализа.
Цель работы: разработка метода исследования движений стержневой системы с неудерживающими связями при произвольных динамических воздействиях.
-8-Структурно диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы.
В первом разделе описываются практические модели стержневых систем; построить математическую модель колебаний пространственных стержневых систем. Получена система уравнений, описывающих колебания таких систем.
Во втором разделе рассматривается метод решения задач о свободных колебаний пространственных стержневых систем.
В третьем разделе рассматривается метод решения задач о вынужденных колебаниях пространственных стержневых систем с удерживающими связями и с неудерживающими связями.
Основные результаты докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, г. Тула, 01 декабря - 2006, 23 ноября 2007), на 15 Зимней школе по механике сплошных сред 2007г. (г. Пермь), конференции молодых ученых «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, г. Пермь, 24 - 26 марта 2008), на семинарах кафедры математического моделирования Тульского государственного университета.
По теме диссертации опубликовано 3 работы [13,35,41], в том числе одна [35]в журнале, рекомендованном Перечнем ВАК.
Классификация стержневых систем
На практике применения стержневых систем очень разнообразны, поэтому для исследования стержневых систем необходимо их классифицировать. Можно классифицировать стержневые системы по разным признакам: По конструкции делятся на плоские и пространственные; По виду стержней делятся на криволинейные и прямолинейные или на однородные и неоднородные; По назначению делятся на несущие и поддерживающие конструкции; По характеру нагрузок делятся на стержневые системы, несущие статические и динамические нагрузки; Такая классификация носит субъективный характер и не претендует на общность, но позволяет выделить основные отличия в конструкциях различных по назначению и параметрам стержневых систем.
Как сказано выше, стержневые системы очень широко применяются на практике, но в рамке диссертации мы рассмотрим только некоторые конкретные применения стержневых систем в технике и в строительстве, а. Подъемно-транспортные устройства (ПТУ) на автомобиле ПТУ- грузоподъемные механизмы, устанавливающиеся на автомобилях, на прицепах и.т.п для поднимания и перемещения грузов в предельном определенном месте [69].
Соответственно требованиям погрузочно-разгрузочнных работ, ПТУ проектированы и применены. На (Рис. 1.1) описана конструкция ПТУ, устанавливается на автомобиле (устанавливают ПТУ на автомобилях обеспечивает ускоренное свойство может быстро переезжать рабочие места), груз 5 поднимается и перенашивается коленами 4 и гидроцилидрами 3, при работе система усиливается прочность домкратными опорами[78]. Большинство случаи механизмы подъемника приводятся в действие от двигателя автомобиля, несколько от отдельных приводов.
Подъемно-мачтовое устройство - грузоподъемный механизм для перемещения полезного груза, закрепленного на рабочих площадках, с одного уровня на другой при помощи рабочего оборудования в виде телескопической или шарнирно-рычажной мачты, некоторые колена которой могут быть телескопическими. Большинство ПМУ устанавливается на мобильных основаниях, в качестве которых используются автомобильные или гусеничные шасси. Некоторые - прицепные, они не имеют своего механизма передвижения [26,71].
Самые распространенные - это ПМУ в виде рычажных механизмов и телескопических механизмов[68]. На (Рис. 1.2) приведена конструкция ПМУ во виде кинематических механизмов 1, 2, 3 - колена подъемного механизма; 4 - установочная площадка; 5, 6, 7 -гидроцилиндры; 8 - рычаги; 9, 10 - механизмы фиксации; 11 - опорная рама ПМУ; 12 - домкратные опоры; 13 - автомобильное шасси; 14 - полезный груз.
-13-ПМУ в виде кинематического механизма имеет рабочее оборудование в виде одного, двух или более, шарнирно сочлененных колен 1, 2, 3. К оголовку верхнего колена прикреплена установочная площадка 4. На установочную площадку монтируется полезный груз 14. Гораздо реже встречаются ПМУ, у которых нижнее колено установлено шарнирно на поворотной платформе, выполняющей функцию привода азимутального ориентирования. Такое конструкционное исполнение более характерно для техники, используемой в строительно-монтажных и ремонтных работах - подъемники, вышки и т.п.
Колена поворачиваются относительно друг друга и платформы на некоторый угол с помощью гидроцилиндров 5, 6, 7 и рычагов 8, затем стопорятся в определенных положениях специальными механизмами фиксации 9, 10. Ходовая часть ПМУ - автомобильное или гусеничное шасси 13. Шасси усиливается опорной рамой 11с дополнительными опорами 12 для обеспечения устойчивости машины, в. Башенные краны
Башенные краны применяются в строительстве , в работах строительств и сборок многоэтажных зданий. Они позволяют поднимать и перемещать грузы на определенной высоте и месте в определенном пространстве. На (Рис. 1.3) описан обычный башенный кран, основными частями башенного крана являются вертикальная башня 5 и поперечная балка 7 состоят из стержней с жесткими связями. Вдоль поперечной балки движется движок 8 , на котором вешает груз 9. Высота груза и движения движка управляются через кабели 6. При работе система обеспечивается прочность с помощью про-тивогруза 4. Все вышеописанные части устанавливаются на подвижной опоре и могут вращаться с ней.
Формирование математической модели стержневых систем
Рассмотрим вопросы, связанные с построением модели стержневых систем и описанием ее движения на основе математических моделей отдельных ее элементов — стержней. Тем самым, реализуя два основных принципа системного моделирования, декомпозицию, т.е. логическое разделение стержневой системы на отдельные элементы с построением их математических моделей и агрегатирование - объединение моделей элементов в модель системы с помощью наложения условий связи между ними[3,12,85,86].
Руководствуясь принципом декомпозиции, прежде чем более детально подойти к описанию движения стержневой системы в целом, построим математическую модель ее элементов.
Примем гипотезу о физической однородности стержней системы, т.е. плотность и механические свойства материала постоянны в пределах одного стержня. Отсутствует естественная крутка стержня, а его геометрические характеристики - площадь поперечного сечения, главные центральные моменты инерции - есть заданные функции продольной координаты, которая от-считывается от начала стержня. Примем, что справедливы гипотеза плоских сечений и гипотеза о ненадавливании друг на друга слоев, параллельных оси стержня [74].Ограничимся рассмотрением малых прогибов, отождествляя кривизны со вторыми производными поперечных перемещений по продольной координате. Помимо этого, пренебрежем сближением поперечных сечений и депланацией сечений при кручении.
Исходя из принятых гипотез и предположений, рассмотрим общую модель элемента конструкции стержневых систем как прямого стержня из линейно-упругого материала с постоянным поперечным сечением в рамках технической теории стержней [77, 59, 64, 72]
Напряженно-деформированное состояние стержня в произвольном поперечном сечении представляется двумя группами параметров[50,58], описывающих кинематику его движения и возникающие при этом напряжения. Здесь N, Qy, Qz — продольная и поперечные силы, Мх, Му, Mz - крутящий и изгибающие моменты, и, v, w — перемещения центра тяжести сечения вдоль осей X, Y и Z соответственно, 0Х) ву, вz — углы поворота поперечного сечения относительно осей координат.
Пусть на элемент стержня действует векторное поле распределенных нагрузок и распределенный вдоль оси крутящий момент: qk, к = х, у, z — компоненты векторного поля распределенной нагрузки, т — распределенный крутящий момент. Наличие распределенного крутящего момента обусловлено аэродинамическими процессами обтекания элементов конструкции воздушным потоком при ветровом воздействии.
В дальнейших рассуждениях будем считать, поле перемещений, внутренние силовые факторы в сечениях стержня, а также интенсивность внешней нагрузки (распределенной силы и распределенного крутящего момента) функциями двух переменных - осевой координаты и времени. Производную по времени будем обозначать точкой, а производную по осевой координате -штрихом.
Выпишем систему уравнений движения элемента стержня в скалярной форме[65, 74, 2,76], дополнив ее геометрическими и физическими уравнениями связи между различными параметрами напряженно-деформированного состояния (НДС) стержня. Под уравнениями связи здесь понимаются соотношения связывающие углы поворота сечения стержня и компоненты вектора перемещений оси стержня, связь продольной силы N и продольной деформации оси стержня, связь моментов и углов поворота сечения стержня и т.п.
Граничные условия для стержней системы можно разделить на две группы: условия на границе стержневой системы и условия связи, которые отличаются от первых только тем, что служат не для описания взаимодействия стержневой системы с внешними объектами в узлах, а для связи элементов системы между собой. С точки зрения теории уравнений математической физики граничные условия и условия связи одно и тоже, только условия связи не определены заранее количественно, а вводятся в виде некоторых уравнений для параметров состояния на концах стержней соединенных в одном узле.
Касаясь вопроса задания граничных условий для стержня, следует отметить, что на одном конце стержня может быть задано всего шесть условий в следующих допустимых сочетаниях: Шесть кинематических условий (равенство нулю всех компонент перемещений и всех углов поворота сечения в случае однородных уело -20-вий — жесткая заделка). (6 — п) кинематических условий и п силовых (п 6), причем ни один из п заданных силовых факторов не может быть обобщенной силой для одного из заданных (6 - п) перемещений. Недопустимыми парами являются: uN;vQy; w@Qz; вхМх; ву@Му; 0Z@MZ. Шесть силовых условий (равенство нулю всех внутренних силовых факторов в случае однородных условий - свободный край). Других вариантов граничных условий не существует. С формальной точки зрения это обозначает, что существуют два непересекающихся подмножества по шесть элементов множества индексов компонент вектора состояния Y (целых чисел 1,2,...12).
Таким образом, мы получили линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, описывающую движение стержневой системы, дополненную начальными условиями и определили способы задания граничных условий для стержневой системы и условий связи стержней в узлах. Аналитические решения подобных систем неизвестны, поэтому можно рассчитывать только на применение численных схем или приближенных аналитических методов[4, 32, 33, 77, 65, 34].
Определение спектра свободных колебаний стержневой системы с присоединенными массами
Пусть к некоторым узлам системы присоединены абсолютно твердые тела, каждое из которых имеет матрицу инерции 6x6, составленную из масс и моментов инерции, определенных в главной центральной системе координат тела.
Введем декартову систему координат (О х у к), начало которой расположено в к - м узле, а ее оси параллельны осям глобальной системы координат (Oxyz). Тогда матрица моментов инерции примет вид: D = хк ЧУк 4zk ЧУк А Ук2к xkzk УкЧ (2.19) С - матрица направляющих косинусов главной центральной системы координат тела относительно системы координат узла. Окончательно матрица инерции тела в системе координат узла примет вид: -37 Mk = mkh з 03 J. (2.20) Уравнения движения А:- той массы примут вид: Mkqk(t) = -Fk(t). (2.21) Входящий в правую часть вектор узловых сил выражается через диагональный блок 6x6 МДЖА: (0 = (0) (0 = (0)) . ( 2.22) Тогда из ( 2.22) получим: {км(о) + о2М =0. ( 2.23) Тогда очевидно, что учет присоединенных абсолютно твердых тел сво-дится к добавлению на главную диагональ МДЖА блоков 6x6 вида со Ык. Преобразованную таким образом МДЖА обозначим Каь((о). Тогда спектр системы с присоединенными телами определится из решения проблемы собственных значений КаЬ (0)0 = 0. ( 2.24) Метод ее решения - такой же, как и без учета присоединенных тел Применение предлагаемой МКЭ-формулировки иллюстрируется решением задачи о свободных колебаниях трехстержневой системы с присоединенной массой (Рис. 2.). Получили результаты, показываемые ниже:
Решения совершены программированием на языке Delphi7 и решать на компьютере IRU-introl214CD с процессором Celeron 2,4GHz, затратило примерно 4-5минут для определения первые пять частот, а для определения форм колебания каждой частоты нужно 20-30 секунд. Так очевидно, что ре -41-шение динамических задач стержневых систем новым методом быстрее и точнее чем методом конечных элементов. Еще большое преимущество этого метода в случае нас интересуют только перемещения в узлах стержневой системы, тогда для решения динамических задач, нам нужно определить формы свободного колебания только узлов системы. Таким образом, новый метод позволяет экономить время расчета.
В данном разделе разработаны задачи о вынужденных колебаниях пространственных стержневых систем. На практике, большинство оборудований, имеющих форму стержневых систем, и в транспортном состоянии и в рабочем состоянии, на них часто действуют силы. Эти силы либо постоянные, либо переменные по времени, либо гармонические либо импульсные и.т.д. Так значит, требуются решения задач о вынужденных колебаниях для стержневых систем. В этом разделе, для решения задач о вынужденных колебаниях не прямо решать систему уравнений ( 1.4) а будем применять модальное разложение[10,20,21,24,37].
Пусть на стержневую систему действуют распределенные нагрузки, которые будем считать представленными в виде: Ar,t) = fa(rMt),\y\ l\/t. (3.1) Здесь радиус-вектор г (в глобальной системе координат) пробегает по осям стержней. Представим перемещение произвольной точки разложением по формам свободных колебаний[22,46,83,84]: п u(r,t) = ak{t)hk{r\ к=\ и = \ux иу uz Qx Qy 0,} (3.2) -43-где hk - одна из форм свободных колебаний, соответствующая частоте cofo отнесенная к глобальной системе координат. Запишем вариационное уравнение Лагранжа-Д Аламбера, используя внутренние силы и соответствующие им перемещения: N 1т Y, /бии(г,0 [F„(rtt) + QAmum(r,t)- f(r,t)]dlm = О m=I о (3.3) Здесь суммирование проводится по всем стержням системы. Перейдем в ( 3.3) к локальным координатам стержня, представляя перемещения и силы их проекциями на орты естественного трехгранника: N 1т jbum (j, 0 [F„ (s,t) + рАт йт (s,t)- f(s, t)\is = 0. /и=1 о (3.4) Здесь внешние распределенные нагрузки /отнесены к локальному.базису.
Таким образом, и при распределенных, и при сосредоточенных нагрузках решение задачи о вынужденных движениях сводится к выполнению следующих этапов исследования: 1. Решение задачи о свободных колебаниях. Ее результат - спектр частот щ, к=1.. .п и векторы узловых перемещений qk, соответствующие каждой частоте. Напомним, что эти векторы определены в глобальной системе координат. 2. Нормирование собственных форм. 3. Вычисление модальных нагрузок Р& по (3.8). 4. Вычисление таблиц интегральных сверток заданных законов измене t ния нагрузок \sm[a)k(t-т)1у/.(т)с1т для заданного интервала измене-о ния времени, включая туда и распределенные, и сосредоточенные нагрузки. Данные вычисления предпочтительно выполнить аналитически. 5. Вычисление распределений перемещений и усилий в стержнях по из -48-вестным перемещениям, представленным формулой (3.1).
Колебания трехмерной системы при удерживающих связях
Применение предлагаемого алгоритма для решения задачи о вынужденных колебаниях пространственной стержневой системы, описываемой в Рис. 3.1, при разных видах воздействии. Как показано, стержневая система имеет 3 удерживающей закрепленной связи, к остальному узлу системы присоединяется сосредоточенная масса М. Сила F(t) действует на свободный узел по направлению оси Ох.
Из ( 3.2) очевидно, что решения задачи о вынужденных колебаниях быть известные при определении коэффициента ak(t) (потому что формы hk(r) определенны при решении задачи о свободных колебаниях). Комбинируя ( 3.16) и ( 3.19), мы получим выражение определения коэффициента ak(t) в общем случае (при действии на стержневую систему и распределенные нагрузки и сосредоточенные силы).
В общем случае по ( 3.2) можно получить внутренние силы и перемещения любой точки стержневой системы, но здесь нас интересуют только внутренние силы и перемещения в узлах, поэтому для экономии времени, определить внутренние силы и перемещения всех точек системы не будем!
Рассматривая случай, причем воздействием является серия импульсов. Это отличается от первого случая в коэффициенте aA(t) ( 3.24), определяемом по ( 3.26).
В данном разделе разработан алгоритм решения задачи о вынужденных колебаниях стержневых систем при неудерживающих связях. Неудержи-вающие связи отличаются от удерживающих связей в том, что в процессе движения конструкции, может происходить освобождение связей, последствие этого модель расчета изменяется. Это приводит к значительному усложнению математического описания и анализа динамика таких систем по сравнению с системами, имеющими удерживающие связи. В данной работе представляется один из алгоритмов для решения таких задач.
Алгоритм состоит из следующих шагов: 1. Решать задачи о вынужденных колебаниях стержневых систем с удерживающими связями. 2. Построить графики сил реакции опор, действующих на систему. 3. Определить узлы и момент, в которых и тогда силы опор, действующие на систему меньше чем нулю. 4. Решать задачи о вынужденных колебаниях стержневых систем с удерживающими связями с новой моделью, формирующимися при снятии связей соответственно шагу 3, с начальными условиями соответствия состоянию стержневой системы в моменте перехода к новой модели. 5. Повторить шаги 2, 3, 4 до времени рассмотрения.
Применение предлагаемого алгоритма для решения задачи о вынужденных колебаниях стержневой системы с неудерживающими связями, описываемой на (Рис. 3.32). Эта модель имеет одну неудерживаюшую связь в узле З. Отличие этих связей от удерживающих связей характеризуются в том, что движения этого узла по направлению оси OY могут совершать только в одну сторону, т.е. этот узел могут двигаться вверх, а вниз ограничены. Остальные степени свободы этого узла фиксированы. Анализ результатов, полученных при решении задачи о вынужденных колебаниях конструкции Рис. 3.1. Обратим внимание на силы реакции опор -70-1,2,3 по направлению OY - Qy . На Рис. 3.3...Рис. 3.5 показаны внутренние силы в узлах 1,2,3. Видно, что с момента t =0 внутренние силы Qy узлов 1,2 оказываются меньше нулю, a Qy узла 3 больше нуля, т.е. силы реакции опор, действующие на узлы больше нулю в узлах 1,2 и меньше нулю в узле 3. Так значит, в узле 3 происходит освобождение связи.
