Содержание к диссертации
Введение
2. Глава I. Краткий обзор и анализ состояния вопроса . С.7.
1.1. Краткий обзор работ о проектировании стержневых систем наименьшего веса с учетом ограничений по устойчивости и частоте собственных колебаний. С.7.
1.2. Краткий обзор работ о рациональной расстановке связей в задачах об устойчивости или собственных колебаниях стержневых систем . С. 14.
1.3. Анализ состояния вопроса и некоторые выводы.С. 18.
3. Глава 2. Постановка задачи об оптимальном распределении материала и рациональной расстановке связей в задачах об устойчивости и колебании стержневых систем .С.22.
2.1. Математическая модель рассматриваемой задачи.С.22
2.2. Выбор метода решения задачи. Детализация постановки задачи .С.27.
4. Глава 3. Выражение критической нагрузки и частоты собственных колебаний как функций параметров сечений. С.34.
3.1. Дискретная модель расчета стержневых систем.С.34.
3.2. Выражение критической нагрузки как функции параметров сечений .С.48
3.3. Выражение частоты собственных колебаний как функции параметров сечений.С.59.
5. Глава 4. Алгоритм проектирования систем наименьшего веса , С-63.
4.1. Блок - схема решения задачи.С.63.
4,2. Выбор метода решения задачи нелинейного программирования. С.72.
4.3. Примеры расчета. С.77.
Глава 5. Рациональная расстановка связей в задаче об устойчивости и колебаниях стержневых систем . С.91.
5.1. Рациональная расстановка связей в системах с регулярными собственными формами. С.92.
5.2. Критерии рациональной расстановки связей в системах с нерегулярными собственными формами . С.95.
5.3. Метод рациональной расстановки связей в системах с нерегулярными собственными формами. С.100.
7. Глава 6. Численная реализация предлагаемого метода .С.116.
6.1. Выбор количества варьируемых параметров. С.116.
6.2. О сходимости метода.С.120.
8. Заключение.С.123.
9. Используемая литература,С125.
- Краткий обзор работ о рациональной расстановке связей в задачах об устойчивости или собственных колебаниях стержневых систем
- Выбор метода решения задачи. Детализация постановки задачи
- Выражение критической нагрузки как функции параметров сечений
- Критерии рациональной расстановки связей в системах с нерегулярными собственными формами
Введение к работе
В основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года, утвержденных 26-м съездом КПСС говорится: "Предусмотреть преимущественное развитие производства изделий, обеспечивающих снижение металлоемкости, стоимости и трудоемкости строительства, веса зданий, сооружений и повышение их теплозащиты". Таким образом подчеркивается важность методов проектирования оптимальных конструкций. В последние годы раздел строительной механики, занимающийся проектированием оптимальных конструкций, получил сущест- , венное развитие. Успехи этой области строительной механики преж-' де всего связаны с развитием вычислительной техники и методов математического программирования.
Трудами советских и зарубежных ученых: Бубнова И.Г., Виноградова А.И., Воробьева Л.Н., Дольберга М.Д., Киселева В.А., Лазарева И.Б., Мацелявичуса Д.А., Нудельмана Я.Л., Николаи Е.Л., Немировского Ю.В., Рабиновича И.М., Радцига Ю.А., Смирнова А.Ф., Троицкого В.А., Филина А.П., Ченцова Н.Г., Чираса А.А., Вайнштей-' на А., Ольхоффа Н., Рожваны H.F., Прагера В., Рубина С, Тейлора Д., Шилда Р. были заложены основы теории проектирования систем наименьшего веса. При этом учитывались различные ограничения. Чаще всего проводился учет ограничений по прочности, реже по устойчивости или частоте собственных колебаний.
Учет ограничений по устойчивости или частоте колебаний связан с необходимостью выражения критических нагрузок и собственных частот через варьируемые параметры. Получение таких выражений оказывается для большинства систем довольно сложной задачей. Именно это обстоятельство и явилось основным препятствием к решению задач оптимизации при ограничениях по устойчивости или частоте собственных колебаний.
Вопросам проектирования системы наименьшего веса с учетом ограничений по устойчивости или частоте колебаний посвящены работы Баублиса П.С., Воробьева Л.Н., Гайнулиной С.Х., Григе-ва В.Б., Елизарова А.Ф., Лазарева И.Б., Малиновского А.П., Николаи Е.Л., Почтмана Ю.М., Смирнова А.Ф., Те А.Б., Троицкого В.А., Филиппова А.Г., Ципанаса И.К., Ченцова Н.Г., Юдина Ю.Я., Ольхоффа Н., Тейлора Д., Расмуссена С. и других исследователей. При этом в большинстве работ в качестве варьируемых параметров принимались размеры попереченых сечений элементов конструкций. Однако, как известно, критическая нагрузка и собственная частота существенным образом зависят от типов и мест постановки связей системы. Вопросам оптимизации сооружений при варьировании наперед заданным количеством связей посвящены работы Бубнова И.Г., Зитермана Д.М., Дольберга М.Д., Нудельмана Я.Л., Троицкого В.А., Вайнштейна, Вейля, Ольхоффа Н., Тейлора Д. и других.
Очевидно, что одновременное варьирование размерами сечений и некоторым количеством связей позволит повысить эффективность сооружений. Однако, до настоящего времени вопрос о создании метода, позволяющего решать данную задачу при значительном количестве варьируемых параметров и различных условиях опирання стержней остается открытым. Решению именно этой задачи и посвящается данная работа. Работа состоит из шести глав, заключения и списка используемой литературы. В первой главе проводится анализ работ, посвященных проектированию систем наименьшего веса с учетом ограничений на величину критической нагрузки или частоты собственных колебаний. При этом рассматриваются как работы, где варьируемыми параметрами являются размеры элементов сечений, так и работы, где варьируются связи системы. На основе проведенного анализа формируются цели и задачи данной работы. Во второй главе описываются постановки задач, рассмотренных в диссертации, их математические модели и намечаются пути решения. Здесь же проводится обоснование разделения задачи и проектировании систем наименьшего веса при варьировании параметрами сечений и некоторым количеством связей, на две независимые задачи. В первой из этих задач отыскивается оптимальное распределение материала при ограничении, наложенном на высшую критическую силу или собственную частоту. Во второй задаче решается вопрос об оптимальной расстановке связей в системе, полученной в результате решения первой задачи. Третья глава посвящена выбору и обоснованию способов записи ограничений по устойчивости и частоте колебаний. В четвертой главе излагается алгоритм проектирования систем наименьшего веса при ограничениях на высшую критическую нагрузку или частоту собственных колебаний. В пятой главе предложен критерий и алгоритм отыскания уравнений рациональных связей. Предлагаются некоторые варианты синтеза рациональных связей по полученным уравнениям.
Шестая глава посвящена анализу некоторых вычислительных аспектов предлагаемых алгоритмов.
В заключении приводятся основные результаты работы.
Краткий обзор работ о рациональной расстановке связей в задачах об устойчивости или собственных колебаниях стержневых систем
Приведенный в1.1и1.2 обзор работ свидетельствует о постоянном интересе исследователей к вопросам оптимального проектирования конструкций при учете ограничений на критическую нагрузку или частоту собственных колебаний. Однако, несмотря на большое количество работ в этой области, до настоящего времени не удалось создать достаточно эффективного метода, позволяющего проектировать стержневые системы наименьшего веса с учетом ограничений по устойчивости или частоте собственных колебаний, варьируя при этом параметрами сечений элементов и уравнениями наперед заданного количества связей.
Естественно, что решение задачи при варьировании как параметрами сечений, так и уравнениями связей, резко повышает трудоемкость нахождения оптимального проекта. Видимо, именно это обстоятельство и вынуждало до последнего времени большинство исследователей заниматься решением частных задач, в которых варьируются либо только параметры сечений, либо только уравнения связей. Появившиеся в последнее время работы рассматривающие вопросы проектирования оптимальных систем при варьировании параметрами сечений и связей, хотя и существенно продвигают данный вопрос, все-таки решают задачу лишь при условии сохранения подобия сечений. Это обстоятельство ограничивает применение предлагаемых в С {О О 3 методов и понижает их эффективность. Снятие упомянутого ограничения позволит повысить оптимальность конструкций, особенно в случаях разных условий опирання в главных плоскостях инерции.
Кроме того в упомянутых работах разыскиваются только места постановки внутренних свободных опор, а не уравнения рациональных связей. Определение уравнений рациональных связей также позволит повысить эффективность конструкции в целом.
Таким образом, из обзора следует, что к настоящему времени удалось создать высокоэффективные и надежные методы решения различных частных задач. Отсюда можно сделать вывод, что имеющийся научный задел в области оптимального проектирования вполне достаточен для создания метода проектирования стержневых систем наименьшего веса с учетом ограничений по устойчивости или частоте собственных колебаний при одновременном варьировании как параметрами сечений, так и уравнениями наперед заданного количества связей.
При этом ограничение, связанное с необходимостью заранее знать количество варьируемых связей, не является существенным. Можно, решив несколько раз задачу с различным число варьируемых связей и сравнив полученные решения между собой, установить и оптимальное число вводимых связей. Таким образом, задача о проектировании оптимальной системы при варьировании как размерами сечений, так и уравнениями связей при неизвестном их числе, сводится к задаче, где число варьируемых связей задано.
Решению этой задачи и посвящается данная работа. При решении такой сложной задачи желательно использовать, разумеется, с соответствующими модификациями, хорошо разработанные методы решения частных задач. Для этого, во-первых,необходимо обосновать разделение общей задачи на две частные.
Первая из этих частных задач должна предусматривать отыскание системы наименьшего веса при ограничениях на величину соответствующей высшей критической нагрузки или собственной частоты. В этой задаче варьируется только параметры сечений.
Вторая задача предусматривает отыскание уравнений рациональных связей и синтез самих связей по полученным уравнениям. При этом под рациональными связями понимаются такие, введение которых приведет к повышению величины первой критической нагрузки или собственной частоты до величины соответствующей высшей критической силы или частоты системы без этих связей.
При решении первой задачи необходимо обосновать возможность использования методов, применяемых в случаях, когда ограничения накладываются на первую критическую нагрузку или собст. -венную частоту, к задаче, когда ограничения накладываются на высшую критическую нагрузку или частоту. Видимо, при этом возникает необходимость модификации этих методов.
При решении второй задачи необходимо сформулировать критерии и методы отыскания уравнений рациональных связей более общие, чем известные в литературе.
Итак, основной целью диссертации является разработка и обоснование метода проектирования стержневых систем наименьшего веса при ограничениях, накладываемых на величину первой критической нагрузки или частоты собственных колебаний, варьируя при этом как параметрами сечений, так и уравнениями наперед заданного количества связей. Для достижения этой главной цели необходимо решить следующие вспомогательные задачи: 1. Обосновать возможность решения общей задачи при варьировании размерами сечений и уравнениями связей путем последовательного решения двух названных выше задач. 2. Выбрать и обосновать метод проектирования системы наименьшего веса при ограничениях, накладываемых на величину высшей критической силы или частоты, при варьировании параметрами сечений. 3. Разработать алгоритм, позволяющий определять уравнения рациональных связей. 4. Разработать приемы, позволяющие синтезировать рациональные связи по полученным уравнениям. 5. Провести исследование вычислительных аспектов предлагаемой методики.
Выбор метода решения задачи. Детализация постановки задачи
Поскольку рассматриваются задачи, связанные с устойчивостью или колебаниями сооружений, то точные методы решения таких задач приводят к сложным трансцендентным уравнениям. Методы решения таких уравнений оказываются сравнительно громоздкими, плохо поддаются алгоритмизации.
Как показано в работах [34, 43, 44, 98, 99] , практически точное решение можно получать, переходя к дискретным моделям. Переход к дискретной модели позволит избежать решения трансцендентных уравнений. Существуют разные способы выбора дискретной модели. Для успешного решения данной задачи необходимо проанализировать типы дискретных моделей и выбрать наиболее подходящее из них. Анализу и обоснованию дискретных моделей при решении задач устойчивости и колебаний посвящены мнение работы [43,44] .
Однако точность этих моделей исследовалась в основном по отношению к задачам, связанным с отысканием первой критической нагрузки или нескольких первых частот.
Как отмечалось выше, задача рациональной расстановки связей связана с определением высших критических сил и частот.
Поэтому необходимо провести дополнительные исследования, обосновывающие выбор типа дискретной модели для данной задачи.
Если решать задачу в точной постановке на каждом шаге по иска, то придется многократно решать задачу устойчивости. По скольку число шагов поиска оптимального решения оказывается довольно большим, то задача становится настолько громоздкой, что реально можно рассчитать только простые системы. Отмечен ные трудности можно было бы избежать, если бы удалось получить выражение в виде замкнутой фор мулы. Как уже отмечалось, точное получение такой зависимости возможно лишь для редких частных случаев. Использование приближенных методов для получения выражения критических нагрузок может привести к потере точности, причем в таких размерах, которые сведут на нет эффект оптимизации.
Как показано в [34, 98,99J , наиболее перспективным пред ставляется метод последовательных приближений, схема реализа ции которого такова. Задаваясь начальным значениям варьируе мых параметров, одним из точных методов решаем задачу устой чивости. По найденному решению одним из приближенных методов записывается выражение Р,п Up {$ $ ), Р/п+ікр (Укд .) При этом выбранный метод выражения этих величин должен быть таким, чтобы полученная зависимость записывалась в виде замк нутой алгебраической формулы, дающей точный результат при тех значениях варьируемых параметров, при которых она была сформи рована. Кроме того в пространстве область допустимых значений параметров должна быть выпуклой. После этого поиск оптимального решения проводится по приближенным формулам. Эта процедура выполняется сравнительно легко. Отыскав оптимальную систему в первом приближении, производим для нее точное реше ЗІ ниє задачи устойчивости. Затем уточняем выражения Рт+1ср ( / Ук) Дя /ф(&У )к вновь решаем задачу оптимизации. Как показано в (34, 98, 99] , при ограничениях на первое значение процесс сходится достаточно быстро. При этом точное решение задачи устойчивости приходится выполнять небольшое количество раз, а основное число шагов поиска выполняется по простым замкнутым алгебраическим формулам. Таким образом, для успешного решения данной задачи необходимо подобрать приближенный способ выражения высших критических нагрузок и собственных частот, удовлетворяющий отмеченным выше требованиям.
В работах (34, 44, 79, 80, 99] проводились исследования, посвященные выражению первой критической нагрузки через параметры сечения, а также метода последовательных приближений в целом. Однако при этом не анализировалась система координат, в которой решается задача, а также не рассматривались возможности использования метода при ограничениях, накладываемых не на первую, а на высшую критическую нагрзку.
Как уже отмечалось, в каждом приближении приходится решать задачу нелинейного программирования. Анализ методов нелинейного программирования и выбор среди них наиболее подходящего во многом определяет возможности алгоритма решения задачи в целом. В работах J46, 34, 44, 80, 8Ґ] проводилось исследование и обоснование выбора алгоритмов нелинейного программирования для решения задач оптимизации при ограничениях по устойчивости. Однако рассматриваемая задача имеет свои специфические особенности, учет которых может привести к дальнейшему упрощению метода решения задач.
Выражение критической нагрузки как функции параметров сечений
В главе 2 отмечалось, что для решения поставленной задачи необходимо отыскать такой способ выражения Pm+f/c/i как функцию от параметров сечений, при котором зависимость (2.12) выражалась бы замкнутой формулой, дающей точный результат при тех значениях варьируемых параметров, при которых она была сформирована. В пространстве искомых параметров полученная функция г +1кр (JKJ3 L) должна быть выпуклой. Для выражения зависимости критической нагрузки, как функции параметров " , можно воспользоваться одним из вариантов энергетического метог ъ 4 5 t ft fc да. Задавшись некоторым соотношением параметров , решаем точно задачу устойчивости.
Из решения задачи устойчивости, кроме величины критической нагрузки гтнгф. (JK С/ ) , отыскивается еще соответствую щая ей форма потери устойчивости. Обозначим эту форму ІТт Подставив Cfm+t в формулу Рэлея, получим зависимость
Рт-и кр , как функцию от параметров У У в виде замкнутой формулы. Очевидно, что когда параметры У У - будут равны тем, при которых была найдена форма С/т-и , то формула дает точное значение критической нагрузки.
При остальных значениях параметров С/к. С/л формула будет давать приближенное значение. Использование таким образом любых вариантов формул энергетического метода позволяет получить искомые выражения в виде замкнутой формулы, дающей точный результат при тех значениях параметров С/к о к, , при которых она была сформирована.
Однако, не все варианты формул энергетического метода приведут к тому, чтобы полученная функция гт /кр (У Ум была бы выпуклой в пространстве параметров «У С//с , Рассмотрим два варианта выражения критической нагрузки через параметры сечений. Первый вариант основан на использовании формулы Рэлея, записанной для стержня, в виде:
Задавшись некоторым соотношением параметров С/л 9 решаем точно задачу устойчивости. Найденную форму потери устойчивое-ти С/т / , соответствующую Pnnticp » подставляем в (3.8). Поскольку рассматривается стержень кусочно-постоянного сечения, то интеграл в числителе заменится суммой интегралов по участкам стержня. Для каждого участка значение жесткости EJK выносится за знак интеграла, после чего все интегралы могут быть вычислены. Таким образом, выражение (3,8) запишется в виде простой формулы: &» = %іл3 (3-9) здесь Лс - постоянные коэффициенты.
Теперь критическая нагрузка выражена как линейная функция варьируемых параметров. Во втором варианте используем формулу энергетического метода, записанную в виде [78 J П J (У )1сС (ЗЛО) І т-Чісо - с, тг. ; Задавшись некоторым соотношением параметров «Тс , решаем точно задачу устойчивости. Подставив в (3,10), найденную форму потери устойчивости У/п / и вычислив интегралы по участкам стержня, получим выражение критической нагрузки в виде: П t (ЗЛІ) І т 1 к/г. - Е SU здесь t, Ьл/г.- постоянные коэффициенты. Выразим один из параметров, например, uf , через остальные tr_ (3.12) Jl Покажем, что в рассматриваемом пространстве параметров в области положительных значений JK любое сечение поверхности (3.12) будет вьшуклой функцией. Не снижая общности рассуждений, зададимся соотношениями между параметрами через один da , построим график зависимости между JJ и Зд, (рис.7). Этот график показывает, что в рассматриваемом сечении функция (3.12) - выпуклая. Увеличение мерности сечения не меняет свойства выпуклости. л Итак, будем выражать Нт+і/ср на основе формулы (З.ІІ). Если при этом стержень будет иметь в узлах упругие промежуточные опоры, коэффициент жесткости которых обозначим через Жл , то формула (З.ІІ) преобразуется к виду ft _ ІІ УІУ о 1 (злз) Здесь jJL (l=iz,...a) - составляющие вектора тн , описывающего форму ПОтерИ УСТОЙЧИВОСТИ, Соответствующую Рпл/м/э ъ/л - значения параметров сечения, при которых решалась задача устойчивости; /m iюр - величина критической нагрузки, найденная при решении задачи устойчивости, когда с/к. - Ле Аналогично запишется формула критической нагрузки в дру гой плоскости. — __ ___ П - ІІ7 & У П (3.14) Здесь все величины, входящие в (3.14) имеют смысл, аналогичный величинам формулы (3.13), но относятся к другой плоскости. Итак, фрмулы (3.13), (3.14) выражают в виде замкнутой формулы гт-икр и / т+/ кр » как функцию искомых параметров J/c;J /с .
Критерии рациональной расстановки связей в системах с нерегулярными собственными формами
Рассмотрим систему, приведенную в примере I 4.3.
а) Рассмотрим случай, когда варьируется только одна связь в одной плоскости инерции. В этом случае форма потери устойчи вости, соответствующая второй критической нагрузке, имеет один узел посередине пролета. Рациональной будет связь, по ставленная в узел, т.е. посередине пролета.
б) Случай, когда в одной из плоскостей инерции ставятся две связи. В этом случае в форме потери устойчивости, отвечаю щей третьей критической нагрузке, имеется два узла, располо женные в третях пролета. В этих точках и ставятся связи.
в) Случай, когда в одной из плоскостей инерции варьируют ся три связи. В этом случае в форме потери устойчивости, отве чающей четвертой критической нагрузке, имеются три узла, распо ложенные на равном расстоянии друг от друга. В этих узлах и ставятся связи.
г) Случай, когда в одной из плоскостей инерции варьируются четыре связи. В этом случае в форме потери устойчивости, соот ветствующей пятой критической нагрузке оптимальной системы без варьируемых связей, имеется четыре узла, расположенные на рав ных расстояниях друг от друга. Каждое из этих расстояний равно
В этих узлах и ставятся рациональные связи. Рассмотренные четыре случая а,б,в,г позволяют установить оптимальное количество варьируемых связей. Однако для этого необходимо знать соотношение между стоимостью каждой связи и стоимостью единицы материала.
Пусть стоимость единицы материала будет Cm , а стоимость одной связи Co-Jb Cm . Тогда общая стоимость конструкций выразится формулой Очевидно, что стоимость конструкции будет минимальной при заданном значении Cm , когда минимальным будет выражение
Таким образом для второго случая J OO-оптимальное решение получится при введении 3-х связей. д) Случай, когда в одной плоскости варьируются две, а в другой четыре связи. В этом случае в формах потери устойчивости, отвечающих пятой критической нагрузке в одной плоскости инерции и третьей - в другой, имеются соответственно четыре и два узла. По этим узлам и ставятся связи в соответствующих плоскостях инерции. е) Пусть варьируется по одной связи в каждой из плоскостей инерции. В соответствующих формах потери устойчивости имеется по одному узлу, расположенному посередине пролета. Там и ставятся в каждой из плоскостей инерции рациональные связи.
Пример 6. Исходные данные по стержню приведены в примере 6 главы 4. Пусть варьируется по две связи в каждой из плоскостей инерции. В форме колебаний соответствующей третьей собственной частоте имеется два узла, в которые и ставятся связи в каждой из плоскостей инерцииг"
Случаи, когда число узлов в { т+/ ) -ой форме потери устойчивости или частоты колебания не равно т , встречаются довольно часто. Такие формы назовем нерегулярными. В этом случае способ рациональной расстановки связей, описанный в предыдущем параграфе, не применим. Рассмотрим возможность использования критерия, устанавливающего место заданного числа, в спектре критических сил собственных частот заданной системы для отыскания уравнений рациональных связей. Все рассуждения проведем на примере задач устойчивости. Поскольку упомянутый критерий одинаков и для задач устойчивости и для задач колебаний, то способ отыскания уравнений рациональных связей в задачах устойчивости может применяться и в задачах о собственных колебаниях.
