Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные уравнения теории пологих ребристых некруговых цилиндрических оболочек 8
I. Произвольная структура ребер жесткости 8
2. Ортогональная структура ребер жесткости. 14
ГЛАВА 2. Методы решения краевых задач 20
3. Метод малого параметра 20
4, Метод двойных тригонометрических рядов .,, 26
ГЛАВА 3. Устойчивость 29
5 Определение критических значений безраз мерных параметров продольных усилий . 29
6. Сходимость метода малого параметра 42
7. Примеры расчетов , 53
ГЛАВА 4. Свободные и вынужденные гармонические колебания 62
8. Свободные колебания 62
9. Вынужденные гармонические колебания... 63
10. Примеры расчетов 67
Заключение 80
Литература
- Ортогональная структура ребер жесткости
- Метод двойных тригонометрических рядов
- Сходимость метода малого параметра
- Вынужденные гармонические колебания
Введение к работе
Ребристые оболочки находят широкое применение в различных областях современной техники (авиация, ракетостроение, транспорт, энергомашиностроение, химическая промышленность, строительство).
В связи с этим развитию теории ребристых оболочек придается большое значение.
По исследованию ребристых оболочек имеется огромное число работ. Их перечень можно найти в обзорах [11,12,41,45,49,53, 73,I0l] и книгах [і0 , із].
Все работы в зависимости от принимаемой расчетной модели ребристой оболочки можно отнести к одному из двух направлений: направление исследований, учитывающее дискретное расположение ребер, и направление исследований, основанное на их "размазывании", приводящее к конструктивно-анизотропной расчетной модели (континуальная расчетная модель).
Учет дискретного расположения ребер жесткости приводит к более точному решению. Однако это сопряжено со значительно большими трудностями решения задач.
Следует отметить, что поведение системы в окрестности ребра может быть изучено только с помощью трехмерной теории упругости.
Основной вклад в развитие теории ребристых оболочек внесли советские ученые. В связи с этим следует особо подчеркнуть именно В.З.Власова и А.И.Лурье. .
По-видимому впервые континуальная модель была применена в работе [l8j при расчете перекрестных балок. В дальнейшем эта теория развивалась другими авторами ( [72,85,105,124,131, 136] и др.) при исследованиях перекрестных балок, ребристых плит и реористых цилиндрических ооолочек.
В работе [l28j при расчете круговой цилиндрической оболочки принимается, что обшивка оболочки безмоментна, а ребра "размазаны". У автора этой работы имеется достаточно большое число последователей. Дальнейшее развитие теории, базирующейся на континуальной расчетной модели,содержится в исследованиях [17, 20,21,39,84,102] и др.
В работе [7б] и ряде других исследований ребристая оболочка рассматривается как составная конструкция. В результате авторы приходят к решению контактных задач. Основы расчетной модели, учитывающей дискретное расположение ребер жесткости, содержатся в работах [28,63,104] .
"Скелетный метод расчета цилиндрических оболочек был предложен в работе [8IJ • В соответствии с этим методом отдельные панели ребристой оболочки считаются жестко закрепленными по контуру, если ее ребра обладают достаточной жесткостью. При этом сами ребра жесткости предварительно рассчитываются как балки на упругом основании, характеристики которого зависят от упругих свойств обшивки оболочки. Дальнейшее развитие этого метода содержится в исследованиях [38,47] , в которых обшивка рассматривается как неподкрепленная оболочка, находящаяся под действием поверхностной внешней нагрузки и реакций со стороны ребер жесткости.
При рассмотрении задачи расчета осесимметрично нагруженной бесконечно длинной цилиндрической оболочки, регулярно подкрепленной кольцевыми ребрами, автор работы [lI4j предложил весьма полезный прием решения бесконечных линейных систем алгебраических уравнений. Этот прием в дальнейшем использовался и развивался другими авторами.
Важной вехой на пути развития теории оболочек, учитывающей дискретное размещение ребер жесткости, послужила работа [бз] , в которой сформулированы общие принципы теории ребристых оболочек, В основу теории был положен принцип минимума потенциальной энергии, состоящей из энергии обшивки и стержневого набора. При этом автор трактовал ребра как стержни Кирхгофа--Клебша.
Важные результаты, относящиеся к применению и развитию такого подхода к решению задач теории.ребристых оболочек, содержатся в исследованиях [32,37,47,48, ПО J .
Новые идеи содержит работа [28] , в которой за неизвестные функции принимались усилия и моменты взаимодействия оболочки и дискретно расположенных ребер, рассматриваемых по модели тонкостенных стержней. При этом использовались условия контакта вдоль линии-пересечения осевого сечения ребра и поверхности оболочки. Позже эти идеи использовались в работах [l4,I6J и др., где за область контакта оболочки с ребром принимается уже не линия, а некоторая поверхность. В связи с анализом различных подходов к учету сопряжения ребер с оболочкой следует отметить работу [lI6J . Естественно стремление исследователей оценить погрешность той или иной теории. В работе [26J содержится оценка погрешности теории ребристых оболочек, учитывающей гипотезы Кирхгофа-Лява.
В работе [53] предлагается выделять следующие методы решения задач теории ребристых оболочек:
- методы, основанные на представлении решения системы уравнений равновесия оболочек, усиленных ребрами одного направления, в виде тригонометрических рядов по координате, ортогональной ребру и в виде рядов Фурье;
- итерационные методы, последовательно уточняющие решение на каждом шаге стыковки оболочки и ребра;
- энергетические методы:
- методы, приводящие решение задачи к расчету неподкреплен-ной или конструктивно ортотропной оболочки;
- методы, приводящие решение задачи к изучению участка ребристой оболочки, размещенного между соседними ребрами;
- методы, использующие интегральные и интегродифференци-альные уравнения;
- методы, рассматривающие ребра как тонкие стержни.
В этой обзорной работе дается подробный анализ исследований, относящихся к указанным выше семи методам-расчета ребристых оболочек. Далее в этом обширном обзоре обсуждаются работы, в которых содержатся следующие вопросы:
- оптимальное проектирование подкрепленных оболочек;
- ребристые оболочки под действием тепловой и локальной нагрузок;
- ребристые оболочки, ослабленные отверстиями;
- многослойные ребристые оболочки;.
- оболочки, подкрепленные перекрестными ребрами произвольной ориентации;
- физически нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Несмотря на большое число публикаций, теория ребристых оболочек несомненно требует своего дальнейшего развития в различных направлениях. В частности, возникает необходимость в разработке методов расчета пологих ребристых некруговых цилиндрических оболочек. Это, например, важно с точки зрения оптимизации ребристых цилиндрических оболочек.
Настоящая диссертация посвящена разработке и реализации эффективных методов решения задач устойчивости и колебаний пологих некруговых ребристых цилиндрических оболочек. Принимается континуальная многослойная модель [82]
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Во введении приводится краткий обзор работ по теории ребристых оболочек и отмечается актуальность выбранной темы.
В первой главе получена система уравнений теории пологих ребристых некруговых цилиндрических оболочек.
Вторая глава посвящена методам решения краевых задач. Используется сочетание аналитических и численных методов анализа. U помощью метода малого параметра решение сложной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами сводится к решению в каждом приближении однотипной краевой задачи для уравнений с постоянными коэффициентами. Эти задачи при шарнирном опираний ребристой оболочки решаются методом двойных тригонометрических рядов.
В третьей главе получено решение задачи устойчивости исследуемой упругой цилиндрической оболочки, сжатой в продольном направлении. Приводится анализ результатов большого числа примеров расчета, на основе которого делаются некоторые выводы (в частности, относительно выбора оптимальной формы поперечного сечения оболочки).
В четвертой главе дано решение задачи о свободных и вынужденных гармонических колебаниях ребристой оболочки, предварительно сжатой в продольном направлении. Как и в предыдущей главе, дается анализ результатов примеров расчета.
В заключении подводится итог представленной работы и выделяются основные результаты.
Основные положения диссертации опубликованы в работах [4,5,99,100] .
Ортогональная структура ребер жесткости
Итак, уравнения статики (1.2), геометрические уравнения (1.4) и уравнения состояния (1.8) с учетом формул (1.5) - (1.7) представляют собой полную систему дифференциальных уравнений теории пологих ребристых цилиндрических оболочек некругового поперечного сечения с произвольной структурой ребер жесткости.
При выводе уравнений считалось, что жесткость ребер на изгиб в плоскости, касательной к поверхности приведения, равна нулю. Известно [82] , что эта гипотеза для сетчатых оболочек, справедлива, если она не приводит к геометрической изменяемости расчетной модели. В нашем случае наличие обшивки исключает возможность геометрической изменяемости расчетной модели и поэтому принятие указанной гипотези не может привести к заметным погрешностям в результатах расчетов.
Ортогональная структура ребер жесткости. В дальнейшем примем, что сетка ребер жесткости ортогональна, причем одна группа ребер (/-О , состоящая из одного семейства стержней ftf = I, направлена по образующим (l =0), а другая (J-S.J , также состоящая из одного семейства стержней \П-а. ч - по параллелям ( — /л.) поверхности приведения.
Следовательно, в рассматриваемом случае ребристой оболочки К =2 и ее расчетная модель, с учетом обшивки Q = 0/ будет трехслойной.
Выведем уравнения состояния расчетной модели цилиндрической оболочки с рассматриваемой структурой ребер жесткости, используя формулы (1.5) - (1.8). Для первого слоя расчетной модели оболочки (J = і) ,; учитывающего продольные ребра жесткости, в соответствии с формулами (1.5) пелучим Аналогично, для второго слоя 0= Л соответствующего поперечным ребрам жесткости, найдем АГ=Л МГ-LV, H ;LC(X\ Mw= Л м?- н,"-о Ш) Для нулевого слоя 0 0) , состоящего из обшивки имеют место соотношения (1.6). Подставим уравнения состояния отдельных слоев расчетной модели (1.6), (2.1), (2.2) в формулы (1.8). Тогда, учитывая зависимости (1.7), получим искомые формулы в следующем виде:
Пусть пологая ребристая оболочка, сжатая вдоль образующей равномерно распределенными погонными силами D} совершает установившиеся свободные гармонические колебания с круговой частотой СО 9 принадлежащей нижнему участку спектра. Чтобы получить в этом случае дифференциальные уравнения ее движения, следует в системе (2.7) принять Х= J— О . /? д« - У J [ a, ( /J или при обозначениях Jo) nSL получим
В формуле для безразмерного параметра частоты свободных коле баний Sc величины Iй и Iй плотности материала обшивки и ребер жесткости соответственно Vr-P! \ f\ а-а?, ь-С Система дифференциальных уравнений (2.7) с учетом формул (3.1) принимает следующий вид: - 21 L„M+ L„»+ L1s(ur) = 0 Lu (a] + Lzs, M + ln (vr)=0 (3 v LuM+LsiCv-fr L33(tir)+ Эта однородная система дифференциальных уравнений имеет восьмой порядок и ее требуется решить при заданных однородных граничных условиях (в каждой точке контура четыре условия).
Следовательно, возникает сложная задача на собственные значе ния: требуется определить значения безразмерной частоты сво бодных колебаний _Ьс і которым соответствуют нетривиальные решения для U3 V VX (формы колебаний).
При решении этой задачи воспользуемся методом малого параметра, который позволит решение системы уравнений с переменными коэффициентами заменить последовательным решением задач для системы уравнений с постоянными коэффициентами.
В частном случае, когда обшивка оболочки отсутствует (==0 ) , ребристая оболочка переходит в сетчатую оболочку. Решение задач устойчивости и свободных колебаний для сетчатых пологих некруговых оболочек методом параметра содержится в [97,98] .
Метод двойных тригонометрических рядов
Отыскание решений в К-ых приближениях сводится к оп-ределению значений Р из условия разрешимости системы дифференциальных уравнений (5.1) и затем к нахождению решений U , V W этих стандартных уравнений, у которых меняются лишь правые части. Нетрудно видеть, что для отыскания К-го приближения решения задачи необходим знать величины Р 3 р у , а также U , и , V/ , и/ ,,.._, w Пусть оболочка по контуру опирается шарнирно. В этом случае граничные условия имеют вид (4.1).
Рассмотрим отдельно задачи при симметричной и антисимметричной по /3 форме потери устойчивости. а) Симметричная по В форма потери устойчивости. В этом случае решение принимаем в форме (4.4). (о) Поскольку все операторы j n имеют постоянные коэффициенты, решение в нулевом приближении будет иметь следующий вид: Unfa = Vjt cos} cos / 1Гпт = VJ? sin }ntsin2m/ (sj) 1Лт= Упт Sin AnoL COS Amf - 32 Подставив (5,4) в (5,1) и принимая во внимание, что 1—1 = If—0 , получим следующую однородную алгебраичес nm КуЮ СИСТему ЛИНеЙНЫХ уравнений ОТНОСИТеЛЬНО XJnm, Vflr», VVn (знаки всех членов последнего уравнения изменены): пт г]() „пгп (о) ntn т j (о) „nm т , (о) nm , r Го) nnm - (о) . Сіг IL + C2Z ]/nm + Cs3 Wnm О (Є. Є) .ntn r -(0) nr m T T (о) і п/п hm r () Ci5 Unm + Сяз V«„ -f- Cd33-Сзз)Ы,т =0 Коэффициенты этих уравнений определяются по формулам
Система однородных алгебраических уравнений (5,5) допускает нетривиальные решения лишь ъ том случае, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия получим следующее значение для величины критического значения параметра нагрузки в нулевом приближении:
Далее определяется форма потери устойчивости в нулевом приближении. Для этого следует решить систему уравнений (5.5). Значения Unnj Vnm 7 Vупт определяются из этой системы уравнений с точностью до постоянного множителя, поскольку она однородна. Будем нормировать форму потери устойчивости условием Wn/n. — і Соответствующие такой нормировке значения 17(cf) V (D) находятся путем решения первых двух алгебраических уравнений при условии, что Wnw —Обозначим
Решение получено с хорошей точностью, если выполняется сильное неравенство Полученное решение в нулевом приближении можно рассматривать как решение рассматриваемой задачи для ребристой круговой цилиндрической оболочки с радиусом поперечного сечения Ко
Штрих у знаков суммы в этих формулах означает отсутствие слагаемых, соответствующих І=ґп- (формы потери устойчивости в последующих приближениях ортогональны к форме потери устойчивости в нулевом приближении).
Воспользуемся формулами (5.2), (5.3), (5.8) для определения правых частей системы уравнений (5.1).
Прежде чем решать систему алгебраических уравнений (5.II) в К -ом приближении, необходимо прежде определить значение в « -ом приближении параметра нагрузки Pnrn , т.к. этот параметр входит в правую часть третьего уравнения системы.
Значение Рпт находится из условия разрешимости системы уравнений при условии, что t = rn. Определитель системы уравнений в этом случае равен нулю, т.к. коэффициенты совпадают с коэффициентами системы уравнений в нулевом приближении. Указанное условие разрешимости приводит к следующей формуле:
В этом случае форма потери устойчивости в нулевом приближении будет определяться по следующим формулам: Unwt= Urn. W Иа 56Я „ 1Лші = Vnm Sen Ил MS \mf ,) (о) wv Критичзское значение параметра внешней нагрузки в нулевом приближении, как и при симметричной форме потери УСТОЙЧИВА"! вости, определяется по формуле (5.7), однако коэффициенты C1jL л ляг и Цз в формулах (5.6) меняют знаки. , примем Далее в нулевом приближении находится форма потери устойчивости путем решения однородной системы уравнений (5.5). За условие нормировки, как и ранее Для следующих приближений
Сходимость метода малого параметра
В этом случае о высокой сходимости метода малого параметра можно; судить по результатам расчетов, выполненных с различным числом приближений и содержащихся в таблице 5 . В этой таблице приведены значения параметра Р критической нагрузки, увеличенные в 1000 раз. Значение / указывает до какого значения К-1 проводилось суммирование рядов, (3.24), (3.25) (напомним, что при суммировании этих рядов принималось = I). При дальнейшем увеличении числа приближений (число приближений равно К+7 t т.к. первое приближение считается нулевым) результаты вычислений практически не изменялись. Из результатов таблицы 5 следует, что для практических целей можно вполне ограничиться первыми тремя приближениями ( К= ).
При исследовании сходимости используемого метода малого параметра возникает также вопрос о минимальном числе членов рядов (7—Sj в суммах (5.8), (5.15) которое следует удерживать. Сходимость метода по S также высоко. Она представлена таблицей 6 для случая симметричной по J3 формы потери устойчивости ( «S - нечетные числа) при п= tn— j # Дальнейшее увеличение числа S fS #) на результатах расчетов практически не сказывалось.
В дальнейшем при всех вычислениях принималось К= 5 (шесть приближений) и S=11 ПрИ симметричных и S=-j%, при антисимметричных формах потери устойчивости. Эти же значения К . и 5 принимались при решении задачи о колебаниях рассматриваемых систем (четвертая глава).
Результаты исследования влияния параметра Q , характеризующего отклонение поперечного сечения срединной поверхности обшивки ребристой цилиндрической оболочки переменной кривизны от кругового, на величину безразмерной критической продольной нагрузки Р при различных значениях пгп\_ приведены в таблицах 7-9 (в таблицах критические значения Р увеличены в 1000 раз).
Вычисления проводились при следующих исходных данных задачи устойчивости ребристых оболочек: но (на 34,5%). Как и следовало ожидать, при больших значениях h- или fo критические значения нагрузки слабо зависят от значения величины 0 (такие формы потери устойчивости не являются опасными).
Следующие примеры расчетов выполнены с целью выяснить влияние эксцентричности расположения ребер жесткости на величину критической нагрузки. Результаты расчетов представлены в таблице 10, где даны увеличенные-В 1000 раз критические значения параметра
Вычисления выполнены для случая, когда 9=0 Остальные расчетные данные совпадают с (6.2), в которых изменялись лишь значения Q; (1 іЮ : они либо равны нулю (эксцентриситеты ребер жесткости по отношению обшивки оболочки равны нулю), либо меняли знак (положительные значения соответствуют внутреннему равположению ребер жесткости, отрицательные - снаружи).
Из результатов помещенных в таблице 10, получаем следующие значения для параметров критических нагрузок 10 Р и форм потери устойчивости: ii,i (n=m= ) при ,= = Q 16,8 (n«/n= ) при ef=ez 0, 13,6 (п=Л ґп = 3 ) при е,= ег 0, 13,5 { п= т=3 - ) при Є, 0, ? 0. Эти данные говорят о том, что наличие эксцентриситетов ребер жесткости (как положительных, так и отрицательных) повышает величины критических нагрузок. Изменение знака эксцентриситета поперечных ребер ? на величину критической нагрузки практически не влияет. Изменение знака эксцентриситета продольных ребер (&А с минуса на плюс существенно ее увеличивает(на lh%)
Были выполнены также примеры расчетов с различной густотой ребер жесткости разных направлений ( =0- при соблюдении условия 9 ( объем материала ребер остается постоянным). Для размеров оболочки (6.2) и 6/=0 в таблицах II—15 приведены значения параметров 10 Р , соответствующих различным значениям Q/ Ь, /гг- .Из этих таблиц следует, что критические силы с изменением 0/ь (а, следовательно и Q) меняются незначительно. Однако при этом происходит смена формы потери устойчивости.
Результаты расчетов более длинных цилиндрических оболочек С R = Q76). помещены в таблицах 16-18 (остальные размеры совпадают с (6.2) ). Из этих таблиц получаем следующие значения критических параметров 10 Р различных ребристых оболочек (разные значения 9 ):
Вынужденные гармонические колебания
Приведем результаты примеров расчетов рассматриваемых ребристых цилиндрических оболочек, относяшихся к свободным и вынужденным гармоническим колебаниям. а) Свободные колебания".
Покажем зависимость частоты свободных колебаний от вида поперечного сечения срединной поверхности размерами (6.2). В таблицах 19-21 приведены значения безразмерных параметров частот свободных колебаний расчетов, приведенных в этих таблицах,легко установить, что основной тон свободных колебаний соответствует случаю обшивки (от значения параметра 0 ) для цилиндрической оболочки с /г=т = / (форма свободных колебаний в нулевом приближении имеет одну полуволну как в продольном, так и в поперечном направлениях). При этом основной тон свободных колебаний монотонно растет с уменьшением параметра У # По сравнению с круговой цилиндрической оболочкой (9=0) величина 2 при 9=Ю и Q- — /3 соответственно падает и возрастает на 40,5$ и 84,2$, Следовательно, более оптимальной из рассмотренных будет конструкция оболочки при G— - /3 , для которой основной тон свободных колебаний принимает наибольшее значение (оболочка более жесткая).
Аналогично тому, как это было сделано в 7 при рассмотрении задач потери устойчивости ребристых цилиндрических оболочек, был выполнен численный анализ влияния эксцентричности по отношению обшивки ребер жесткости.
Результаты этих вычислений приведены в таблице 22. Выпишем из этой таблицы значения параметров лс# основного тона свободных колебаний (размеры ребристой оболочки совпадают с (6.2), причем принято, что 0 — 0 ):
Эти данные показывают, что наличие эксцентриситетов повышают частоту свободных колебаний основного тона.
Для размеров ребристой цилиндрической оболочки с размерами (6.2) при 9=0 было исследовано влияние различной густоты ребер жесткости 0 =) ПРИ Q— & +9 1 — О- 66& (объем материала ребер остается постоянным).
Результаты такого численного исследования приведены в таблицах 25-27, Выпишем из этих таблиц параметры л с частоты свободных колебаний основного тона, а также числа полуволн ft,щ форм колебаний соответственно в продольном и поперечном направлениях, для различных значений #а ( -0-666- )-0,154 ( л /, т=& ) при $1 = 0,-1
Эти данные показывают, что если поперечные ребра будут располагаться реже продольных, частота свободных колебаний будет падать, а форма колебаний с одной полуволной ( т=У ) переходит к форме колебаний с двумя полуволнами ( TL = ) В поперечном направлении. Этот результат вполне согласуется с физическими представлениями о колебаниях ребристых цилиндрических оболочек.
Рассмотрим теперь более длинную ребристую оболочку, приняв R .= Q7L (остальные размеры такие, как указаны в (6.2)).
Результаты численных расчетов такой цилиндрической оболочки с различными поперечными сечениями (различными 9 ) показаны в таблицах 28-30. Из этих таблиц следует, что формы свободных колебаний-основного тона соответствуют случаю, когда n=/n=y 9 а параметры их частот будут: - = 0,248 при 0= 8/3 Q. = 0,122 при 9 = О Q = 0,103 при Q=/0.
Следовательно ребристая цилиндрическая оболочка при Q-- 3/5 обладает значительно большей частотой свободных колебаний основного тона, чем оболочки, у которых или 9= Ю
Отметим, что результаты расчетов неподкрепленной круговой цилиндрической оболочки на устойчивость и свободные колебания полностью совпадают с известными решениями В.З.Власова.
б) Вынужденные гармонические колебания. Приведем результаты расчета ребристых цилиндрических оболочек на действие гармонической радиальной поверхностной нагрузки, амплитудное значение которой равно Znm = fnm.S . OC COS /, причем примем, что /1=/77 = -/ . Параметр частоты устано вившихся колебаний оболочки Ьс0 подчиняется условию в котором . sd -частота свободных колебаний оболочки, соответствующая случаю, когда 1=/71.= -/.
На рис.5 показана зависимость безразмерного прогиба Ш0 цилиндрической оболочки в ее центральной точке от значения параметра й0 при 0=0 (привая I) и 9 = -уЗ (кривая 2). Размеры ребристой оболочки приняты по (6.2). Вертикальные линии на этом рисунке соответствуют частотам свободных колебаний указанных оболочек
