Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Уравнения колебаний и устойчивости подкрепленных оболочек 13
1.1. Уравнения для конструктивно-ортотропных оболочек в ортогональных криволинейных координатах 13
1.2. Уравнения гармонических колебаний и устойчивости осесимметрично напряженных конструктивно-ортотропных оболочек вращения 17
1.3. Уравнения осесимметричного напряженно-деформированного состояния 19
1.4. Отделение окружной координаты, переход к безразмерным величинам и построение канонической системы ОДУ 20
Глава 2. Устойчивость и колебания подкрепленных цилиндрических оболочек 23
2.1. Устойчивость и собственные колебания: сравнение общей и прикладной теорий 23
2.1.1. Свойства устойчивости подкрепленных цилиндрических оболочек 24
2.1.2. Упрощенная теория, использующая кинематические гипотезы 26
2.1.3. Устойчивость по уравнениям общей теории 33
2.1.4. Расчеты и сравнительный анализ 37
2.2. Собственные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек 43
2.3. Вынужденные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек 48
2.3.1. Моделирование локальных нагрузок 49
2.3.2. Решение в рядах 51
2.3.3. Амплитудно-частотные характеристики и влияние внутренних потерь 53
2.4. Демпфирование колебаний локальными массами 56
2.4.1. Жестко прикрепленная масса под нагрузкой 58
2.4.2. Передача нагрузки через виброизолированную массу 59
2.4.3. Виброизолированная масса в качестве виброгасителя 61
2.4.4. Двухкаскадная виброизоляция 62
2.4.5. Передача нагрузки через виброизолированную массу с виброгасителем 64
2.4.6. Сравнительная эффективность вариантов виброгашения 66
Глава 3. Нелинейное деформирование оболочек вращения 67
3.1. Уравнения больших деформаций изотропных оболочек вращения 67
3.1.1. Кинематика конечных деформаций с большими перемещениями и углами поворота 67
3.1.2. Виртуальная работа внутренних сил 73
3.1.3. Уравнения равновесия в усилиях и моментах 76
3.1.4. Аппроксимация свойств материала 77
3.1.5. Нелинейные физические соотношения 80
3.2. Уравнения формоизменения круглой пластинки 88
3.3. Аналитическое решение задачи формовки сферического купола... 91
3.4. Аналитика задачи формовки сфероидальной оболочки 96
3.5. Сравнение теории и экспериментальных данных по пластической формовке артифицированных мембран 99
Глава 4. Нелинейная устойчивость оболочек вращения
4.1. Исходные уравнения для изотропных оболочек вращения ПО
4.2. Разрешающие уравнения линейно-упругой задачи 113
4.3. Анализ устойчивости хлопающих мембран 117
Заключение 123
Литература
- Уравнения гармонических колебаний и устойчивости осесимметрично напряженных конструктивно-ортотропных оболочек вращения
- Упрощенная теория, использующая кинематические гипотезы
- Кинематика конечных деформаций с большими перемещениями и углами поворота
- Разрешающие уравнения линейно-упругой задачи
Введение к работе
Тонкостенные оболочечные конструкции имеют широкое применение в современной технике. Они способны выдерживать разнообразные виды нагрузок, обеспечивать изоляцию от окружающей среды, снижают массу конструкций. Оболочечные элементы используются в конструкциях воздушных, надводных, подводных и наземных транспортных средств, резервуаров различного назначения, в строительстве и многих других отраслях промышленности.
В настоящее время теория оболочек имеет разветвленные варианты математических моделей. Наиболее существенным является разделение на линейные и нелинейные модели. Линейная теория, сформированная в своей основе А. Лявом и Г. Киргофом, получила развитие в трудах В.З. Власова [19], А.Л. Гольденвейзера [31], А.И. Лурье [64], В.В.Новожилова [76], С.П.Тимошенко [101], К.Ф. Черныха [76, 111] и ряда других ученых. Основы геометрически-нелинейной теории и методов решения нелинейных задач заложены в трудах И.Г Бубнова и П.Ф. Папковича. Значительный вклад в этой области внесли ВалишвилиН.В. [14-16], В.З.Власов [17], А.С. Вольмир [21], И.И. Ворович [22, 24-26], Э.И. Григолюк [32-35], Л.М. Зубов [44], Х.М. Муштари и К.З. Галимов [71, 30], В.В. Новожилов [75], В.В. Погорелов [83], В.И. Феодосьев [29,104,105], К.Ф. Черных [112], Л.И. Шкутин [114], Л. Донелл (Donell L.) [38], В.Т. Койтер (Koiter W.T.) [56, 107], Э. Рейсснер (Reissner Е.) [152,153] и другие.
При проектировании оболочки должны удовлетворять критериям прочности, устойчивости и виброзащищенности при малой массе. Наиболее полно отвечают этим требованиям конструктивно-анизотропные оболочки - подкрепленные ребрами жесткости, слоистые, композиционные. Существенный вклад в развитие теории и методов расчета прочности, устойчивости и динамики слоистых и подкрепленных оболочек и пластин внесли Н.А. Алфутов [1], С.А. Амбарцумян [2], И.Я. Амиро и В.А. Заруцкий [3, 4], В.В. Болотин и Ю.Н. Новичков [9], В.В. Васильев [17], С.Н. Кан [49], В.В. Кабанов [47, 48], В.И. Королев [60-61], Маневич А.И. [68, 69], И.Ф. Образцов [77], О.И. Теребушко [99,100], Ю.А. Устинов
[103], А.С. Юдин [43,115,118,134-136], M. Барух (Baruch М.) и И. Зингер (Singer J.) [146, 147, 154-156], М. Стейн (Stein М.) [66, 95, 157] и другие. Метод анализа чувствительности устойчивости оболочек к начальным несовершенствам, разработанный В.Т. Койтером [56], развивался Б. Будянским (Budiansky В.), И.В. Хатчинсоном (Hutchinson J.W., ) [13, 106,107,149,150], Л.С. Срубщиком [94] и другими.
В технике и расчетной практике широко применяются конструкции и математические модели оболочек вращения, для расчета которых используются численно-аналитические методы расчета [28]. Алгоритмы методов включают этап снятия окружной координаты тригонометрическими рядами Фурье. Далее краевая задача сводится к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для их устойчивого интегрирования применяется ортогонализация по С.К. Годунову в точках сетки продольной координаты. Применение и развитие таких методов, реализации алгоритмов и программного обеспечения выполнялись в работах А.В. Кармишина, В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева [37,54, 70], в работах украинской школы ЯМ. Григоренко [36], в Институте механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Южного федерального (Ростовского государственного) университета [27, 28, 39, 90-92, ИЗ, 128-131,134-136].
Весьма значительный теоретический и экспериментальный материал накоплен для цилиндрических оболочек [1-4, 32, 41, 47-49, 61, 62, 66, 68, 69, 95, 99, 100, 109, 146-148, 151, 154-158]. Для их исследований разработан ряд упрощенных моделей, в которых помимо известных гипотез общей теории оболочек присутствуют и другие допущения. Цель таких гипотез - получение достаточно компактных формул, облегчающих расчеты в технических приложениях. Однако погрешность получаемых на такой основе формул обычно неизвестна. Поэтому актуальна задача исследования их применимости, что ставилось одной из целей первой части работы, объединяющей первые две главы.
В главе (разделе) 1 работы представлены уравнения для исследования колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек. Уравнения записаны в ортогональных криволинейных координатах. Рассматриваются тонкие оболочки на основе гипотез Кирхгофа-Лява. В качестве исходных взяты уравнения квадратичного
приближения. Уравнения для гармонических колебаний и устойчивости
конструктивно-анизотропных оболочек вращения в окрестности
осесимметричного статического напряженно-деформированного
состояния следуют квадратичной теории на основе разбиения состояния на две составляющие и соответствующей линеаризации. Выполнено отделение окружной координаты посредством рядов, осуществлен переход к безразмерным величинам. Сформирована разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые условия. Представлены геометрически-нелинейные уравнения осесимметричной деформации.
В главе 2 решаются и анализируются задачи устойчивости и собственных колебаний для подкрепленных цилиндрических оболочек. Задачи рассматриваются в аспектах оценки применимости одного из вариантов упрощенной теории. Поиск критических нагрузок и частот свободных колебаний сведен к задачам на собственные значения. Предварительное знание собственных частот позволяет оценивать опасные резонансные частоты вынужденных колебаний и сопоставлять с ними частоты вынуждающих колебания источников (двигателей, движителей, механизмов и т.д.).
В подразделах 2.3 и 2.4 представлены решения задач о вынужденных колебаниях в аспектах их демпфирования. Это направление актуально в ряде отраслей современной техники, в частности, в строительстве, транспортном и энергетическом машиностроении, приборостроении, судостроении [74]. Здесь наряду с необходимостью обеспечения прочности ставятся также требования по условиям эксплуатации и защиты людей от вредного воздействия вибраций. К мерам по уменьшению вибраций относятся применение материалов с высокими демпфирующими свойствами, применение виброизоляции и динамических гасителей гасителей колебаний (ДГК). Обсуждение вопросов применения и расчета ДГК для разнообразных конструкций приведены в [53, 58]. Системы типа цилиндрических оболочек в этих монографиях не рассматривались. Поэтому такая актуальная цель были поставлена в данной работе.
Одной из проблем, существующей в механике оболочек, является проблема сближения результатов теории и эксперимента в задачах устойчивости. Известно существенное их расхождение, причиной которого
являются малые, обычно случайные, технологические несовершенства, которые не предполагаются в идеализированных моделях.
С исследованием актуальных задач из этой области связаны цели глав 3 и 4 диссертации. Они посвящены разработке теоретических моделей как формоизменения, так и прогнозирования устойчивости получаемых оболочек вращения.
Сопоставление теории и физического эксперимента выполнялось на оболочках типа предохранительных мембран (ПМ). Они относятся к элементам устройств систем безопасности, защищающих технологическое оборудование и емкости от разрушения избыточным давлением.
К мембранным предохранительным устройствам (МПУ) привели поиски надежных средств защиты от взрывов и аварий в химической промышленности [20, 78, 79]. На основе хлопающих мембран, разработанных и изготовленных в НИИ механики и прикладной математики (НИИМ и ПМ) Южного федерального (Ростовского государственного) университета, разработаны МПУ, которые используются в атомной промышленности [50, 51].
Для широкого внедрения МПУ потребовалось проведение наукоемких исследований. В процессе развития данного направления, начатого работами [80, 104, 29, 105, 96, 97, 22, 24-26, 42], в Отделе тонкостенных конструкций (ОТК) НИИМ и ПМ был выполнен комплекс теоретических и экспериментальных исследований [10, 40, 43, 50, 51, 57, 85-89, 115-123] . Разработаны экспериментальные методы: 1) неразрушающего определения критического давления по нелинейной диаграмме нагружения; 2) неразрушающего контроля давлений срабатывания мембран на основе метода акустической эмиссии; 3) тензочувствительных покрытий; 4) зеркально-оптический. В целом задача была решена путем создания установки по изготовлению мембран и разработки аппаратуры для прогнозирования давлений срабатывания неразрушающими методами, которые применяются в настоящее время. Из них наиболее удобен метод анализа кривых нагружения «давление-перемещение» для аппаратной экстраполяции критических нагрузок. При этом используются методы компьютерного управления и математической обработки информации программно-аппаратным комплексом [7].
В последнее время для изготовления высокоточных мембран
используются концепция и технология артификации [87, 88, 133]. В техническом смысле это подразумевает специальные способы изготовления и доводки хлопающих предохранительных мембран (ХПМ). Обычно предусматриваются малые дозированные (артифицирующие) воздействия на форму купола в процессе вытяжки из пластинки основным формообразующим давлением.
С теоретической точки зрения с позиций чувствительности оболочек к начальным случайным технологическим несовершенствам артификацию можно трактовать как искусственно вносимые «несовершенства», которые перекрывают влияние случайных, и стабилизуют критическую нагрузку и форму потери устойчивости.
До настоящего времени адекватных теоретических решений, согласующиеся с результатами физического моделирования поведения мембран, не были реализованы. Для первичного подбора параметров проектируемых мембран использовались простейшие полуэмпирические формулы, имеющие структуру формулы Цолли-Лейбензона [21] с редукционными коэффициентами [85, 86, 89].
В настоящей диссертации сделан серьезный шаг по сближению теории и эксперимента, что является наиболее важным и новым научным результатом. Удалось построить аналитические решения задачи формовки артифицированных оболочек и теоретически обосновать концепцию артификации.
Практическая значимость проведенных исследований состоит в применимости построенных решений к задачам имитационного моделирования технологий создания высокоточных хлопающих мембран. При этом потенциал моделей позволяет применить их к задачам идентификации пластических свойств листовых материалов, важных в задачах штамповки.
Отметим ряд работ, близких по направлению к главам 3 и 4. Некоторые из них дали информацию для ключевых идей построения аналитических решений.
В работе [46] отмечается актуальность совершенствование технологии изготовления к контроля мембран из коррозионностойкой стали 12Х18Н10Т. Отмечаются высокие качества этого материала, находящего применения также и в криогенной технике. Представлены результаты
замеров параметров технологического процесса. Приведены таблицы среднестатистических значений формообразующего давления для заданных высот, распределения толщин и кривизны мембраны. Вытяжка проводилась вплоть до разрыва образцов. Замерялось утонение оболочки в полюсе. На основе замеров получено, что изменение толщины мембраны вдоль меридиана при формообразовании достаточно хорошо аппроксимируется квадратичной степенной зависимостью.
На необходимость учета ряда отклонений от сферической идеальности купола, получаемого пластической вытяжкой равномерным давлением из круглой защемленной пластинки указано в [121]. Предложен подход, аппроксимирующий геометрию купола как оболочку вращения переменной толщины с эллипсоидальной основной центральной областью, сопряженной с узкой краевой зоной в виде части кругового тора. Со ссылкой на [46] толщина оболочки задается квадратичной зависимостью от полярного текущего радиуса, убывающей от периферии к центру. Выполнены расчеты, дано сравнение со сферическими сегментами эквивалентных основных размеров. Показана существенность отклонений от идеализированных оболочек и необходимость более адекватного моделирования параметров реальных хлопающих мембран с учетом технологии их изготовления.
На основе подхода [121] в [123, 131] проведены вычислительные эксперименты, показывающие тенденцию сближения рассчитанных бифуркационных и экспериментальных критических нагрузок хлопающих мембран, теряющих устойчивость по несимметричным формам. В [123] указывается также на необходимость развития методов имитационного типа, моделирующих как технологию пластической формовки, так и решение задач устойчивости.
В [89] представлена типология оболочек предохранительных устройств с учетом механики их разрушения. Указаны относительно новые факторы начальных несовершенств хлопающих предохранительных мембран (ХПМ). Сообщено о двух основных экспериментальных методах неразрушающего определения давлений срабатывания, разработанных в НИИМ и ПМ. Даны используемые в инженерной практике формулы для предварительного подбора основных параметров ХПМ при проектировании.
В [87, 88] представлены конструктивно-анизотропные и геометрически артифицированные мембраны, технологии их изготовления, предпочтительные варианты и рекомендации по математическим моделям. Данные типы оболочек базируются на идее управления свойствами оболочки путем внесения искусственных (артифицированных) начальных несовершенств, позволяющих обеспечить стабильность формы потери устойчивости и критической нагрузки. Влияние таких детерминированных, контролируемых несовершенств должно превалировать над случайными. Это особенно важно для обеспечения ресурса мембран, стареющих в реальных условиях эксплуатации.
В работе [98] в терминологии понятий вытянутости и сплюснутости исследуется соотношение между геометрическими параметрами и мембранными напряжениями тонкой оболочки, нагруженной давлением. Вытянутость или сплюснутость рассматривается как мера отклонения формы тела от сферы. Отмечается, что для тонкой оболочки изменение этой величины имеет сложный характер. Обнаружено, что для испытанных в работе металлов поверхность является точно сферической только у полюса. В остальных местах она представляет собой либо вытянутый, либо сплюснутый сфероид. Отмечается также, что при обработке металлов и полимеров, поставляемых в виде листа, метод вытяжки давлением используется для определения показателя деформируемости. В качестве него принимается максимальная высота формуемого купола, при которой еще не происходит разрушение.
Уравнения гармонических колебаний и устойчивости осесимметрично напряженных конструктивно-ортотропных оболочек вращения
Рассмотрим гармонические колебания оболочек вращения. Полагаем, что общее динамическое состояние складывается из двух: статического осесимметричного и наложенного динамического. Второе соответствует колебаниям с малой амплитудой. Осесимметричное НДС, в принципе, может быть нелинейным.
Геометрические параметры оболочек вращения не зависят от окружной координаты а2, так что А = 0, k = 0. В этом случае условия Кодацци-Гаусса принимают вид:
При рассмотрении гармонических колебаний воспользуемся методом комплексных амплитуд [18, 73, 84, 93], когда все неизвестные функции заменяются произведениями амплитуд на exp(±icot), где і - мнимая единица, со - круговая частота, t - время. Тогда вторые производные по времени в инерционных слагаемых (...))tt = -со (...)exp(±icot).
Оставим для амплитуд колебаний исходные обозначения. После представления всех величин в (1.2), (1.10), (1.11) в виде суммы двух слагаемых - осесимметричного статического и наложенного динамического, и линеаризации второго состояния в окрестности первого, получим уравнения малых гармонических колебаний предварительно напряженных оболочек вращения относительно амплитуд:
Величины с ноликами вверху относятся к осесимметричному НДС. Для амплитуд компонент динамического состояния вид (1.12) соотношений упругости сохраняется. Уравнения (1.17, 1.18, 1.12) позволяют решать задачи собственных (при qj=0) и вынужденных (при q, 0) колебаний подкрепленных слоистых оболочек вращения с учетом предварительного НДС. Если опустить инерционные члены и задавать осесимметричное НДС в зависимости от параметров нагрузки, то эти же уравнения позволяют решать задачи бифуркационной устойчивости.
Формулы для коэффициентов Лямэ Аь А2, главных кривизн кь кг и параметра \р типовых оболочек вращения вычисляются методами дифференциальной геометрии [12,59].
При постановке краевых задач уравнения колебаний дополняются краевыми условиями. Краевые условия следуют из требования обращения в нуль контурных интегралов, возникающих при переброске производных в процессе вывода уравнений из принципа Гамильтона-Остроградского. При однородных краевых условиях на торцах оболочки вращения приравниваются нулю или обобщенные перемещения, или обобщенные усилия (в различных сочетаниях компонент). Эти условия удобно записать в альтернативной форме: где Yj равны 0 или 1. Условия записаны для одного из краев. Для другого края вид аналогичный, только переключатели Yj задаются независимо от принятого набора на первом торце ( - -» Yj+4, j = 1, 2, 3, 4). Например, значения Yj=0 соответствуют жесткому защемлению, YJ=1 свободному краю.
Компоненты с ноликами определяются из решений краевых задач для уравнений, следующих из (1.2) в предположении осесимметричной деформации (не зависящей от координаты а2). Для оболочек вращения эти уравнения принимают вид (нолики для упрощения записи опущены):
ВИД соотношений упругости соответствует (1.12). Эти уравнения предполагают радиальную деформацию и кручение. При отсутствии кручения (v = 0, S=0, Н=0) уравнения упрощаются и принимают вид:
В представленных выше уравнениях, соотношениях, краевых условиях неосесимметричных колебаний и бифуркационной устойчивости можно отделить окружную координату 0 представлением компонент амплитуд динамического НДС тригонометрическими рядами Фурье: w= ikn cosn +w sinnc J n=0 Tll = 2[THn(l)COSna2 +Tlln(-l)sinna2l С1-25) n=0 И Т.Д.
Перейдем также к безразмерным величинам. При переходе используем основные нормирующие параметры Е , v , R , h , р , которые имеют смысл и размерность характерных, соответственно, модуля Юнга, коэффициента Пуассона, радиуса кривизны или линейного размера, толщины, плотности материала. Из основных нормирующих параметров образуются комбинации делителей, имеющих размерность нормируемых величин
Упрощенная теория, использующая кинематические гипотезы
Влияние на критическую нагрузку знака эксцентриситета обнаружил Ван-дер-Нейт [158]. Было получено, что для умеренной жесткости подкреплений критическая нагрузка осевого сжатия при наружном расположении продольных ребер (стрингеров) может существенно превышать таковую при их внутреннем размещении. На необходимость учета эксцентриситета ребер было указано в [60]. Результаты [158, 60] показались неожиданными, в течение ряда лет считались спорными и не принимались во внимание в расчетной практике.
Эксперименты [148] подтвердили выводы теоретических работ [158, 60]. В дальнейшем в ряде работ были рассмотрены различные вопросы статики и динамики эксцентрично подкрепленных оболочек, обнаружена инверсия эффекта эксцентриситета при варьировании, дано объяснение физической сущности эффекта эксцентриситета ребер и его инверсии [109, 146, 154, 66, 99, 68, 95,100,47-49].
В [146, 154] были проведены расчеты сотен вариантов оболочек в широких параметрических областях. Использовалась схема конструктивной анизотропии (крутильная жёсткость ребер не учитывалась) и уравнения типа Донелла. Докритическое напряженное состояние полагалось безмоментным, краевые условия - свободное опирание.
В [146] рассмотрено нагружение равномерным внешним давлением (боковым и гидростатическим). Эффект эксцентриситета показан как отношение критических нагрузок при наружном и внутреннем расположении шпангоутов в зависимости от Z=(l-v )1 (L/R) (R/h) - параметра Батдорфа для бокового давления, и модифицированного параметра Батдорфа Z =Z/[Ior/(lrh")] для гидростатического давления. Здесь 1го - момент инерции поперечного сечения относительно образующей срединной поверхности обшивки: Ior=Ir+zor2Fr.
В параметр Z входят относительные длина и толщина (тонкостенность). Результаты, вообще говоря, зависят от каждого из этих параметров, однако при фиксированном Z влияние их слабое. Поэтому возможно компактное представление результатов в зависимости от Z (или Z). Область инверсии для бокового давления: 100 Z 500. При Z 100 эффективнее внешние шпангоуты, при Z 500 - внутренние. Область инверсии для гидростатического давления: 35 Z 65. При Z 35 эффективнее внешние шпангоуты, при Z 65 - внутренние.
Указанные области инверсии соответствуют коэффициенту Пуассона v=0.3 обшивки. При v=0 инверсия отсутствует. Последнее обстоятельство не случайно и связано с физической сущностью эффекта эксцентриситета шпангоутов, который складывается из двух факторов: первичного и вторичного эффектов. Первичный эффект - внешние шпангоуты увеличивают действительное сопротивление изгибу в окружном направлении больше, чем внутренние. Вторичный эффект - внутренние шпангоуты увеличивают действительное сопротивление сжатию в окружном направлении больше, чем внешние шпангоуты. Взаимодействие этих эффектов при v 0 является причиной инверсии эффекта знака эксцентриситета. При этом вторичный эффект полностью зависит от коэффициента Пуассона обшивки.
Совпадающее по существу с вышеприведенным анализом, но отличающееся по форме «энергетическое» объяснение эффекта знака эксцентриситета и его инверсии дал А.И. Маневич [68, 69].
В работе [154] рассмотрено осевое сжатие. Эффект эксцентриситета представлен в зависимости от Z. Основные выводы состоят в следующем. При не очень малых значениях Z внешние стрингеры дают более высокие критические нагрузки осевого сжатия. Эффект эксцентриситета имеет максимум в области величин Z, типичных для летательных аппаратов. Его поведение качественно схоже для свободного опирання и защемления. Только шпангоуты значительно менее эффективны, чем только стрингеры. Внешние шпангоуты вызывают осесимметричную форму выпучивания, не имеющую эффекта эксцентриситета. Эксцентриситет внутренних шпангоутов снижает критическую нагрузку. Физическое объяснение эффекта и здесь такое же, как и в [146].
Рассмотрим более обстоятельно подход к определению критических нагрузок, разработанный в [49] и ряде других работ. Для цилиндрических оболочек, теряющих устойчивость по неосесимметричным формам, наряду с предположениями общей теории оболочек (гипотез Кирхгофа) приняты две дополнительные гипотезы: а) нерастяжимость нейтральных слоев при изгибе конструкции в окружном направлении; б) отсутствие сдвигов в срединной поверхности обшивки. При осесимметричном выпучивании остается в силе гипотеза жесткой нормали, но полагается нулевым продольное усилие в уравнениях устойчивости.
Рассматриваемая теория дает компактные формулы для критических нагрузок при сохранении общности в учете различных граничных условий. На основе этих формул наглядно объясняются эффекты эксцентриситетов подкрепляющих ребер.
Особенность подхода [49] состоит также в том, что при переходе от напряжений к погонным усилиям и моментам используются три поверхности приведения: две - совпадающие с нейтральными слоями (линиями) продольных и поперечных сечений оболочки, а в качестве третьей -срединная поверхность обшивки.
В [49] сказано, что сравнение с [66] показало достаточную для инженерной практики точность предложенного метода. Однако возможная величина погрешности не указана, что создает неопределенность в оценке достоверности получаемых результатов.
Ниже оцениваются погрешности [49] для критических нагрузок осевого сжатия и бокового давления на основе численных экспериментов и сравнения с более точной моделью общей теории оболочек, не использующей дополнительные гипотезы.
Итак, будем рассматривать тонкостенные круговые цилиндрические оболочки, подкрепленные часто расставленными ребрами продольного и окружного направлений (рисунок 2.1). Предполагается, что продольные подкрепления (стрингеры) имеют одинаковую форму поперечного сечения и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Относительно поперечных подкреплений (шпангоутов) также полагаем постоянство конфигурации сечений и шага. Расстояние между ребрами таково, что жесткость и массу каждого ребра можно равномерно разнести по длине шага расстановки. При этом исключается возможность выпучивания обшивки на участках между подкреплениями и элементов самих подкреплений. Материал обшивки и ребер жесткости считается одинаковым.
Кинематика конечных деформаций с большими перемещениями и углами поворота
Пусть S0 является срединной поверхностью тонкой оболочки, заполняющей до деформации объем V0. Рассмотрим осесимметричную деформацию, в которой вектор перемещения v каждой точки оболочки лежит в меридиональном сечении. После деформации поверхность S0 переходит в некоторую поверхность вращения S, объем V0 - в V, радиус-вектор г0 - в г: г(т = г()і(Є) + zb, (3.1.15)
Для обозначения основных геометрических характеристик деформированной оболочки используем те же обозначения, что и выше, но без ноликов. Предполагается, что деформации материальная нормаль к исходной поверхности может не оставаться ортогональной к срединной поверхности после деформирования, т.е учитывается поперечный сдвиг. В связи с этим различаются угол Ф = (i3, п\ между осью симметрии оболочки и материальной нормалью п, и угол Ф + у = (і, Є-Л между полярным радиусом и вектором касательной к меридиану поверхности S. Здесь у - угол поперечного сдвига по координате %. Величина у полагается малой («1), чтобы можно было заменять siny на у, cosy на единицу.
В процессе деформации радиус-вектор R переходит в вектор R: R=r+(l+3)n= Г+С(1+з)(Єі8ІПу+ЄзС08у). (3.1.18) Векторы основного лагранжева базиса деформированной оболочки с учетом малости угла сдвига у имеют вид: К1=а 1+ (1+є3)ауК1ез; R2=r e2; Кз=(1+є3)уеь Gn={a\f(Uz\f, G022 = (r0 )2(l+e)2, G33=(l + e3)2, G13=ab(l+ef)(l + E3). (3.1.19) где: a?=a(l-Cki), =a(l-k"2), к1=Ф /а, k2=(sinO)/r. (3.1.20)
Через скалярные произведения векторов основного лагранжева базиса деформированной оболочки достаточно сложно вывести выражения компонент первой меры деформации, имеющие ясный геометрический смысл. Более удобен подход, примененный Э. Рейсснером для вывода уравнений с большими углами поворота и малыми деформациями [152,153]. Этот путь позволяет выполнить обобщение на учет больших деформаций с учетом обжатия нормали [116,118-120].
Выведем выражения для компонент относительных удлинений. В соответствии с рисунком 3.2 для окружного направления имеем: е={2л[г0+и- (1+Е3)8ІпФ]-2л(г0-С8ІпФ0)}/[2л(г0- іпФ0)], (3.1.21) или: є!=(2+Ск2)/(1-К2), Є2=и/Г0, К2=[8ІПФ0-(1+Є3)8ІПФ]/Г0. (3.1.22)
Для вывода компонент меридионального удлинения и угла поперечного сдвига воспользуемся дифференциальными соотношениями, которые поясняет рисунок 3.2. В проекциях на вертикальную и горизонтальную оси Из соотношений (3.1.24) получим два других, выполнив следующие операции. Вначале умножим первое соотношение на совФ, второе - на віпФ, и сложим. Затем умножим первое на віпФ, второе - на совФ, и из второго вычтем первое.
При отсутствии сдвига векторы Ек составляют ортогональный базис, а А величины t(Sk) являются физическими компонентами тензора Т.
При наличии поперечного сдвига базис Ек является косоугольным. В этом случае можно установить, что t(Sk) являются компонентами разложения в s базисе Ек векторов напряжений t на площадках, имевших до деформации единичные нормали Е. Действительно, по формуле (3.2.3) главы 1 из [65] і с для элементарной ориентированной площадки Edo = (R/a) имеем в деформированном состоянии:
При постановке задач о поведении материалов и конструкций за пределом линейной упругости важной составляющей при построении моделей является выбор соотношений, определяющих физические свойства материала и связывающих обобщенные внутренние усилия и деформации.
Для описания свойств материала в деформационной теории пластичности широко используется физическая зависимость о(е) между интенсивностью напряжений о и интенсивностью истинных (логарифмических) деформаций ё. Её применение позволяет рассматривать нелинейные напряженно-деформированные состояния при больших деформациях. Многочисленными опытами для металлов подтверждается единство таких зависимостей, полученных при простом (однопараметрическом) нагружении. Обычно это либо растяжение, либо сжатие, либо кручение образцов.
Далее полагаем, что выполняются условия простого нагружения или близкого к простому. Вводится секущий модуль Ес(ё)=а(ё)/ё, так что о(ё)=Ес(ё)ё. При активном нагружении, когда интенсивность напряжений возрастает во всех точках материала, деформационная пластическая модель эквивалентна некоторому нелинейно-упругому материалу. При разгрузке имеет место эффект Баушингера и линейно-упругое поведение материала.
Разрешающие уравнения линейно-упругой задачи
Этот способ методически лучше и дает несколько более сглаженную функцию р, близкую к константе. Однако расчет по формуле (3.4.13) требует больше времени, поскольку связан с двойным вычислением интегралов. Существенное ускорение счета здесь достигается использованием аппроксимаций для интегралов (3.4.10), (3.4.14). В целом, оба способа приводят к практически одинаковым результатам.
Помимо аппроксимации толщины в виде (3.3.8), для класса эллипсоидов опробовался также следующий вариант: Й(Ф) = Ьр{1-5(1-Ф/Фг) + -е2[(1-Ф/Фг)]2}, (3.4.15) где Ф = Ф/ФГ. Аппроксимация включает линейную и квадратичную компоненты по Ф, содержит дополнительную константу управления g и зависит от квадрата эксцентриситета. Получаемые при этом формулы более громоздки.
При малых ех эта и предыдущая аппроксимации приводят к очень близким результатам по давлению формовки. Аппроксимация (3.4.15) может быть полезна при моделировании формовки более существенно эллиптичных оболочек. Она также несколько лучше согласуется с распределением толщин, полученных замерами на реальных артифицированных оболочках.
Физические испытания мембран выполнены на технологической установке, разработанной в Отделе тонкостенных конструкций (ОТК) НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И Южного федерального (Ростовского государственного) университета. Установка управляется автоматизированной системой и позволяет выполнять как изготовление ХПМ, так и прогнозирование их давлений срабатывания неразрушающими методами, а также проводить разрушающие испытания. В совершенствовании и развитие установки, связанное с применением новых информационных технологий, внесла фирма НИПВФ "Тензор".
В системе реализован способ определения давления срабатывания ХПМ по характеристике «нагрузка-перемещение» без разрушения образцов мембран. Доведение до разрушения может выполняться при контрольных испытаниях. Неразрушающий способ дает высокую точность определения критического давления каждой отдельной мембраны. Формирование рабочих характеристик мембран в процессе их изготовления методом артификации обеспечивает точность давления срабатывания не хуже 1% при комнатных температурах и не хуже 1-3% с учетом рабочих условий эксплуатации мембран при повышенных температурах, рабочий интервал которых находится обычно в диапазоне 250-400С.
Технические средства системы включают в себя следующие компоненты: - силовую установку для изготовления и испытания мембран (пресс, источник давления, электромагнитные пневмоклапаны, манометры, комплект зажимных колец для различных типоразмеров мембран); - микропроцессорное устройство сбора данных (УСД) - датчики перемещений, датчик давления; - многоканальный нормирующий усилитель сигналов датчиков перемещения (НУ); - компьютер с комплектом прикладного программного обеспечения.
Технология изготовления мембран имеет этап свободной вытяжки давлением воздуха до высоты Hi. При высоте НІ начинается процесс артификации, связанный с приложением силы сопротивления в вершине и действующий на приращении высоты АН. Получаемая высота купола в конце вытяжки становится равной Н=Ні+АН, обозначаемой в теоретической модели w0.
Для сравнения брались два реальных варианта мембран, изготавливаемых для предохранительных мембранных устройств систем защиты реакторов на быстрых нейтронах. Материал мембран - нержавеющая сталь 12Х18Н9. Воспользуемся данными для близкого материала 12Х18Н10Т, свойства которого определены продавливанием пластинки сквозь круглое отверстие [63]: Е=0.21-106 МПа, о0,2=360 МПа, Єо,2=Оо,2/Е=0/001714, ов=720 МПа, ев=0.615. Константы степенной аппроксимации имеют следующие значения: г=0.1178256, С=762.445 МПа.
Вид безразмерных функций а(е), Ес(е) для рассматриваемого варианта показан на рисунках 3.5.2 и 3.5.3. Здесь С = 1.059, аСв = Сё всегда равно единице, т.к. Св = ( = Ceg1 /ав, а С = ав /. Соответственно, СЕ = Сёвл-1) = Сев1 /ёв = CeJ /ёв = 1/ёв=1.626.
В варианте 1 толщина заготовки (пластины) ho=hi=0.28...0.3 мм. Радиус пластинки на контуре защемления кольцевыми фланцами - 100 мм.
Номинальная высота подъема 35...36мм. Давление вытяжки (формовки) Рф=1.59 Мпа (15.6 ати). Уровень артифицирующей силы Ро=6.87 н (0.7 кгс). Номинальное критическое значение оболочки ркр=0.255 Мпа (2.5 ати).
В варианте 2 толщина заготовки-пластины ho=h2=0.38...0.4 мм. Радиус пластинки на контуре защемления кольцевыми фланцами - 100 мм. Номинальная высота подъема 35...36мм. Давление вытяжки (формовки) рф=2.4 Мпа (23.5 ати). Уровень артифицирующей силы Р0=10.1 н (1.03 кгс). Номинальное критическое значение оболочки ркр=0.432 Мпа (4.4 ати). В таблицах 3.5.1 и 3.5.2 даны замеры распределения толщин (в мм) по дуге меридиана для вариантов 1 и 2 соответственно. Нумерация точек от вершины.
Похожие диссертации на Устойчивость и колебания подкрепленных и артифицированных оболочек вращения
