Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка краевых задач о вынужденных колебаниях композитных на полимерной основе оболочек вращения
1.1. Уравнения малых колебаний теории оболочек типа Тимошенко 11
1.2. Определяющие соотношения для материала в усилиях и моментах 15
1.3. Определение коэффициента поглощения энергии в теле оболочки 17
1.4. Приведение системы уравнений к безразмерному виду 20
Глава 2. Построение разрешающей системы уравнений. Численный метод и алгоритм решения
2.1. Приведение двумерных уравнений неосесимметричных колебаний к квазиодномеряому виду
2.2. Эффективные характеристики волокнисто-слоистого композита с полимерной матрицей
2.3. Разрешающая система дифференциальных уравнений 34
2.4. Термомеханическая модель полимерного материала 37
2.5. Итерационный метод решения связанной задачи термовязкоупругости 2.6 Основные процедуры вычислительного комплекса 42
Глава 3. Исследование амплитудно-частотных (АЧХ) и диссипатив-ных характеристик цилиндрических оболочек в зависимости от структурных и механических параметров композита
3.1. Структурные параметры однонаправленного волокнистого компо- д зита, их влияние на АЧХ оболочки
3.2. Влияние вязкоупругих свойств полимерной матрицы на АЧХ оболочки
3.3. Об учете промежуточных вязкоупругих слоев в компоновке стенки оболочки 62
3.4. Сравнение АЧХ цилиндрической оболочки, рассчитанных по теории Кирхгофа-Лява и теории типа Тимошенко 65
3.5. О распределении энергии диссипации по типам деформаций 68
Глава 4 Влияние температурного поля на вынужденные колебания композитной цилиндрической оболочки
4.1 Колебания оболочки в однородном и неоднородном температурном поле
4.2. Учет теплообразования в композитной оболочке вращения 79
4.3 Связанная задача термовязкоупругости для цилиндрической композитной оболочки
Глава 5. Вынужденные колебания цилиндрической и конусоци-линдрической оболочек под воздействием несимметричного нагружения
5.1. Колебания цилиндрической оболочки при несимметричном и плоскосимметричном нагружении 89
5.2. Колебания составной конусо-цилиндрической оболочки 96
Основные результаты 104
Список литературы
- Определяющие соотношения для материала в усилиях и моментах
- Термомеханическая модель полимерного материала
- Влияние вязкоупругих свойств полимерной матрицы на АЧХ оболочки
- Связанная задача термовязкоупругости для цилиндрической композитной оболочки
Введение к работе
Актуальность проблемы. Проблема развития и пополнения математических моделей, описывающих гармонические колебания композитных оболочек со сложными физико-механическими свойствами, занимает одно из важных мест в механике тонкостенных конструкций. В последние годы возросла актуальность исследований процесса распространения вибраций в композитных на полимерной основе оболочках. Это связано с задачами снижения уровня вибраций тонкостенных оболочечных конструкций, имеющими, в частности, волокнисто-слоистую структуру. Поскольку при этом на первый план выдвигается задача демпфирования собственных и вынужденных колебаний оболочек, необходимым является адекватное описание физико-механических характеристик как материала волокон, так и полимерного связующего, рассматриваемого с позиций термовязкоупругости. Актуальность темы диссертационной работы определяется также важностью задач расчета вибродинамических и диссипативных характеристик композитных оболочек на стадии их проектирования. Особый интерес представляет изучение влияния структурных параметров однонаправленного волокнистого композита, а также температуры и частоты на вибродинамические и диссипативные характеристики оболочки.
Целью работы является построение математической модели, описывающей колебания композитных оболочек вращения с учетом термовязкоупругих свойств полимерной матрицы и эффекта термомеханической связности. Для реализации модели развиты алгоритмы численного расчета и разработан программный комплекс, позволяющий на стадии проектирования тонкостенных оболочек из полимерных композитных материалов прогнозировать их вибродинамические и диссипативные характеристики.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:
Дана уточненная постановка краевых задач о стационарных колебаниях волокнисто-слоистых оболочек вращения, учитывающая термовязкоупругие свойства полимерной матрицы и термомеханическую связанность.
Развит численный метод и построены алгоритмы, реализующие расчет вибродинамических и диссипативных характеристик составных композитных оболочек вращения. Разработан комплекс вычислительных программ.
Проведено исследование влияния структурных параметров, вязкоупругих свойств связующего, температуры, частоты нагружения на характеристики цилиндрических оболочек из волокнистого однонаправленного композита. Решена осесимметричная связанная задача термовязкоупругости для цилиндрической оболочки.
Дано численное решение задач о вынужденных колебаниях составной оболочки вращения и цилиндрической оболочки при воздействии несимметричной поверхностной нагрузки. Построен и реализован алгоритм определения областей максимальной виброактивности оболочки.
Практическая ценность заключается в предлагаемой математической модели и методе ее реализации, которые позволяют решать широкий класс задач о вынужденных колебаниях композитных составных оболочек вращения, используемых в авиакосмической и судостроительной промышленности. Разработанные алгоритмы и комплекс вычислительных программ позволяют на стадии проектирования исследовать вибродинамические и диссипативные свойства оболочечных конструкций в зависимости от структурных и физико-механических параметров задачи.
Достоверность результатов обеспечивается использованием обоснованных для слоистых оболочек гипотез, хорошо апробированными схемами расчета эффективных характеристик волокнистого композитного материала и устойчивым численным методом ортогональной прогонки для решения краевой задачи, тестированием программного комплекса на расчетах эталонных задач. В частных случаях результаты, полученные автором, совпадают с уже известными результатами, полученными другими исследователями и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на VI – IX Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2000 – 2002, 2005 гг.), Международной научно-практической конференции «Строительство – 2001» (г.Ростов-на-Дону, 2001 г.), XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (г.Нижний Новгород, сентябрь 2002 г.), III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (г.Ростов-на-Дону, г.Азов, октябрь 2003 г.), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г.Нижний Новгород, август 2006 г.), на семинарах кафедры теории упругости РГУ и НИИ механики и прикладной математики РГУ им. Воровича И.И.
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертационной работы составляет 115 страниц, включает 68 рисунков и 12 таблиц. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект 04-01-96806-р2004юг_а и Федерального агентства по науке и инновациям (госконтракт № 02.445.11.7042).
Определяющие соотношения для материала в усилиях и моментах
Физические соотношения для анизотропного упругого материала в общем случае имеют вид о{- СщЕк1, где Оц - тензор напряжений, Єм - тензор деформации, Су/(/ - тензор модулей упругости. В условиях малых гармонических колебаний линейного вязкоупругого тела в соответствии с вязкоуп-ругой аналогией эти соотношения имеют комплекснозначный вид [39]. В этом случае компоненты тензора напряжении примут вид: 7у—сГу-е , где Ф - круговая частота приложения нагрузки; t - время; сг -,- - комплексно-значная амплитуда напряжений. В таком же виде представляются компоненты деформаций В дальнейшем рассмотрим оболочки вращения, изготовленные из полимерного композиционного материала, имеющие волокнисто-слоистую структуру (рис.2.2.1).
Эффективные физико-механические характеристики композита определяются по свойствам составляющих его изотропных компонент. В данном случае это упругое высокомодульное волокно с константами: Ef - модуль Юнга, Vf- коэффициент Пуассона, и долей объемных включений волокон Vf, а также полимерная изотропная матрица, термовязкоупругие свойства которой для случая малых колебаний определяются через комплексные аналоги модуля Юнга и коэффициента Пуассона (Ет, vm, Vm—l-VJ. Тогда эффективные характеристики композита могут быть определены по формулам [26, 71,73]:
В дальнейшем при расчетах используется модель полимерного материала разработанная АСНИ НИИМиПМ им. Воровича И.И. и изложенная подробно в статье [71]. Отличительная особенность рассматриваемой модели является учет существенной зависимости релаксационных свойств реальных полимеров от изменения удельного объема материала сопровождаемые термомеханическим воздействием. Формируется зависимость упругих и реологических характеристик от температуры и давления, отличная от традиционной температурно-временной аналогии.
При выборе параметров модели: гт к, п, V, Un, U а, Д /необходимо обеспечить выполнение неравенств, вытекающих из законов термодинамики: к 0, V 4l, Uu 0, Un 0, 0 п 0,5. Кроме этого, на параметры следуют ограничения из условия, что в области допускаемого изменения фактор-параметров (области экспериментальной обеспеченности) Ограничения на параметры вытекают и из постулируемого монотонно-убывающего характера зависимости сил вязкого сопротивления от температуры Т и объема v.
В дальнейшем, для проведения численного анализа выбраны базовые значения параметров модели, соответствующие типичному полимеру; кЧОГПа, r Q.94, r2=0.96, Un=250K, U llOOOK, а=-4, $=-10, /= Q,02K , n=0.5, v=10 с . Функции С—С(т), Н Н(г) определены как кусочно-постоянные.
На рис.2.4.1 представлены характерные зависимости динамических характеристик от температуры и частоты нагружеиия. Для графического отображения по формулам (2.4.1) рассчитываются действительная часть модуля сдвига G =G (T,P}QJ) и тангенс угла механических потерь tg6(T,P,co). Изменение частоты приводит к подобным сдвигам динамических характеристик, при этом имитируемый материал не относится к классу термореологи-чески простых.
Модель имеет входные параметры: Р-шаровая часть давления (МПа), Т-темиература (К), F-частота нагрузки (Гц); выходные параметры: Gm - реальная часть модуля сдвига (МПа), Gm - мнимая часть модуля сдвига (МПа), -модуль объемного сжатия, К-удельный объем (см /гр). Связь между комплексными модулями Юнга, сдвига, коэффициентом Пуассона и модулем объемного сжатия имеет вид:
Для решения задачи об осесимметричных гармонических колебаниях с учетом термомеханической связанности, используется метод простой итерации, изложенный в работе [35]. Приведем его основные положения.
Метод определяется формулой: ХП+}=Ф(Х}1) где п—0,1,...оо- номер итерации, Х{) - заданное произвольно начальное приближение. Требуется найти приближенно решение (корень) Х-Х уравнения Х=Ф(Х) с относительной погрешностью 0, так чтобы при всех n HQ выполнялось неравенство: \Xn-X \ S\XQ-X \. Это условие может быть выполнено, если по-следовательность итераций {Хп} сходится при п— о к пределу X: Ит Xп —X . Предположим, что в некоторой 8 - окрестности: А=(Хо S,XQ+S) 5 0 точки XQ функция Ф(Х) удовлетворяет условию Липшица: для VX", Х єА с коэффициентом 0 д 1 и пусть начальная невязка XQ - Ф(Хд) мала, так что \XQ - Ф(Х$)\ (l-q)8. Тогда справедливы следующие утверждения: - все итерации Хп (п=1,2...) принадлежат интервалу Л: Хп еЛ; - последовательность {Хп} при п— со сходится к пределу X, являющемуся корнем уравнения Х= Ф(Х); - уравнение Х= Ф(Х) имеет единственный корень
Термомеханическая модель полимерного материала
В дальнейшем рассмотрим вынужденные колебания композитной цилиндрической оболочки для трех вариантов армирования: однонаправленного вдоль образующей /3=0, J3-+45 и ортогонально армированного
Геометрические и физические параметры оболочки и нагрузки описаны в параграфе 3.1. На рис. 3.2.1 - 3.2.6 представлены результаты расчета АЧХ для трех вариантов учета механических свойств полимерной матрицы. В первом случае полимер рассматривается как упругий материал с характеристиками, соответствующими мгновенно-упругому состоянию полимера Ео, VQ, tgSg. Во втором случае - длительному упругому состоянию с характеристиками Ex, Voa tgSoo. При этом также рассмотрен случай tgS=0, т.е. отсутствие механических потерь. Значение предельных характеристик получены из термовязкоупругой модели, параграф 2.4, соответственно при со—їсо и О)— 0 при Т=290 К. На рис. 3.2.1, 3.2.2 представлены результаты расчетов при /3=0 , рис.3.2.1 соответствует полученным по мгновенно-упругой схеме, рис.3.2.2 - по длительным характеристикам, в сравнении с расчетами по вязкоупругой модели.
Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы. Расчеты по мгновенно-упругим характеристикам Eg, VQ, tgSo дают удовлетворительные результаты при расчете первых собственных частот. При этом, расхождение с результатами расчетов по вязкоупругои схеме уменьшается с изменением /3 от 0 до 90 , что связано с увеличением коэффициентов В22 И D22-Влияние вязкоупругих свойств полимера ослабевает, что связано с усилением армирующего фактора упругих волокон. Расчеты по длительным упругим характеристикам дают существенное расхождение с расчетами по вязкоупругои модели как для собственных частот так и уровней вибраций и не могут быть рекомендованы для их определения. Вместе с тем значения Д и Д определяют границы интервалов, в которых находятся Д и могут использоваться для их оценки.
Рассмотрим два способа компоновки многослойного пакета по толщине оболочки рис. 3.3.1. В первом случае реализуется наиболее распространенная схема, при которой принимается, что монослои непосредственно контактируют друг с другом и жестко закреплены между собой. При этом безразмерная толщина каждого отдельного слоя равна hf=J. Во втором случаи предполагается наличие между армированными слоями промежуточных, скрепляющих их клеевого слоя. Наличие этого слоя связано с реальным технологическим процессом изготовления оболочечной конструкции методом намотки. Будем считать при этом, что в обоих случаях общая толщина пакета не меняется.
Схема расположения промежуточного слоя Если hf, hm - толщины армированного и промежуточного слоев соответственно, то выполняется равенство hj- +hm hf. Таким образом, с появле нием промежуточных слоев изменяется коэффициент объемного содержания волокна композита, т.е. при этом имеет место, следующее соотношение: где Vf- коэффициент армирования при h=hf=l. 0. На рис.3.3.2(а,б,в) дан расчет АЧХ для основных мод, определяющих первые три резонансные частоты. На рис. 3.3.3 представлены соответствующие суммарные АЧХ. При учете промежуточных слоев получаем соответствующие коэффициенты армирования: Vf O.8, Vf 0.84 и V/—0.89, при которых и были проведены расчеты. Отмечено повышение резонансных частот колебаний при увеличении толщины промежуточного слоя h/ (см. таблица 3.3.1), что связано с повышением жесткостных характеристик оболочки и сопровождается понижением коэффициента поглощения энергии в теле конструкции рис.3.3.4.
Влияние вязкоупругих свойств полимерной матрицы на АЧХ оболочки
При исследовании виброактивности оболочек из полимерных композитных материалов, важное значение имеет адекватное описание термовяз-коупругих свойств полимера. Это связано с тем, что способность оболочки к демпфированию колебаний, в основном, определяется физико-механическими свойствами полимерного связующего. Существенно и то, что эти характеристики являются нелинейными функциями частоты и температуры.
Рассмотрим вынужденные колебания цилиндрической оболочки в однородном температурном поле. Условия нагружения, геометрические параметры и механические свойства определенны из параграфе 3.1.
На рис.4.1.1 представлены АЧХ рассчитанные в однородном стационарном температурном поле. На рис.4.1.2 даны соответствующие частотные зависимости коэффициента поглощения энергии. Из приведенных расчетов следует, что для данного полимерного материала с повышением температуры наблюдается снижение уровня вибраций и смещение резонансных частот в низкочастотную область. Это связано с существенным ростом внутренних потерь в полимере при увеличении температуры.
Далее рассмотрим случай неоднородности свойств оболочки, связанный с наличием градиента температуры по толщине. Предположим, что температура внешней окружающей среды, равна Т., а температура внутри Т+. Так же предположим, что температура стенки оболочки изменяется по толщине по линейному закону T(Z) от значения Т+ до 71.
Предполагая, что оболочка составлена из достаточно большого числа слоев, будем считать, что температура в каждом отдельном слое однородна и равна Тк (к=1 ...т). Координата центра тяжести сечения А:-го слоя равна: h 21-1, Lfr 1 п. Тогда учитывая граничные условия на поверхностях 2 2т (4.1.1) и (4.1.2), получим значение температуры для к-ю слоя (Т ) по формуле: 2к-1 (4.1.3) Тк=Т+ + АТ 2т h (к=1...т).
В связи с зависимостью физико-механических свойств полимерного материала от температуры, возникает необходимость нахождения вязкоупру-гих характеристик матрицы жесткости (1.2.3), в отдельности для каждого слоя
Большое практическое значение в механике оболочек из полимерных композитных материалов приобрела проблема связанности механических и тепловых полей. Ряд специфических свойств полимеров, таких как малая теплопроводность, высокая чувствительность к изменению температуры, большие гистерезисные потери, приводят при воздействии гармонического нагружения к эффекту теплообразования в теле оболочки - диссипативному разогреву.
Для решения задачи о вынужденных колебаниях полимерных композитных оболочек с учетом термомеханической связанности наряду с эффективными вязкоупругими характеристиками необходимо задать эффективные термические характеристики (коэффициенты теплопроводности, теплового расширения и удельной теплоемкости). Для полидисперсной среды с цилиндрическими включениями, соответствующей волокнистому композиту, эффективные коэффициенты теплопроводности приведены в монографии Кри-стенсена [34]. Вследствие трансверсальной изотропии среды только две компоненты тензора эффективных коэффициентов теплопроводности независимы, и закон Фурье запишется в виде:
Рассмотрим вынужденные осесимметричные колебания волокнисто-слоистой цилиндрической оболочки, с учетом термомеханической связанности. Физико-механические характеристики полимерной матрицы соответствуют зависимостям (2.4.1).
Пусть многослойная цилиндрическая оболочка подвержена воздействию внешней нагрузки с интенсивностью рз=5 кПа. Нагрузка распределена по кольцу шириной R. Оболочка состоит из пяти слоев, при этом физико-механические характеристики армирующих волокон соответствуют углеродному волокну с механическими свойствами: Ef=-I86 ГПа; Vj=0.3; pj=1730 кг/м ; ij=20 Вт/(м град). Характеристики полимерной матрицы: pf=1214 кг/м ; Хт=0.15 Вт/(м град). Температура среды Тср=293 К .
Рассмотрим на первом этапе решение задачи теплообразования без учета зависимостей свойств полимера от температуры (т.н. слабосвязанная задача). Численные расчеты произведены для трех вариантов армирования. Удельное содержание волокон в композите Vf=0.7. На рис.4.3.1 представлены АЧХ оболочки в частотном диапазоне, включающем первые резонансы. В таблице 4.3.1 даны значения первых трех резонансных частот и их амплитуд колебаний.
Связанная задача термовязкоупругости для цилиндрической композитной оболочки
Современные композитные конструкции часто имеют геометрически сложный характер, и могут быть составлены из секций, представляющих собой различные оболочки вращения. В связи с этим рассмотрим вынужденные колебания композитной оболочки состоящей из двух секций. Пусть первая секция имеет форму цилиндра, а вторая секция, сопряженная с ней, представляет собой конус. Условия закрепления между секциями и на границах оболочек, будем считать жесткими. Нагрузка на поверхности оболочки расположена несимметрично, по схеме представленной на рис.5.1.1 (а). Нагру-жение производиться на 6 цилиндрических панелях, с координатами цен 1 3 тральных точек aj = — L, —Lc (Lc - длина цилиндрической секции) и при
Раствор нагрузки соответственно: по T=+—RC(RC - ради ус цилиндрической секции) и по 8—±10 . Профиль составной оболочки изображен на рис.5.2.1.
В рассмотренном случае угол подхода у к точке сопряжения А равен прямому, а угол отхода у =—Va, где а—25 . Для цилиндрической секции геометрические параметры соответственно равны: Af=l, A2=RC; kj=0, к2- —," у/ 0; Rc=0.2 м; LC=4RC. Для конусной секции имеем: Aj=l, К cos ос since представлена АЧХтах для 5 слойного композита с нулевым углом укладки ({3=0 ) и Vj=0.8. В расчете было удержано 10 гармоник для точек \Щтах с нахождением координат этих максимумов рис.5.2.3, 5.2.4. Задача решена при температуре Т=290 К и амплитудой нагрузки рз=№ КПа.
Результаты на рис.5.2.2 указывают на высокую виброактивность в низкочастотном диапазоне 0=0.021+0.078. Первый резонанс составной оболочки находится на частоте О\=0.044 и имеет амплитуду \Щтах=43.32. В этом же диапазоне располагаются локальные возмущения на частотах Q2=0.048 и 0 =0.06. Последующие резонансы наблюдается на частотах О4=0.086 и О5=0.139, с амплитудами \W\max=37.91 и \W\imx=4.02 соответственно. Некоторое повышение амплитуды происходит на частотах 0=0.091+0.106 и 0=0.157+0.163. Зависимость координат о? от частоты вынужденных колебаний изображена на рис.5.2.3. Основные значения «2 лежат в промежутке 5 -15 .Из полученных данных следует, в частности, что для первого резонанса Ct2=12.5 , а единственная частота, на которой W\max достигается на нулевом меридиане, 0=0.086. На рис.5.2.4 дается координа та (Xj максимального прогиба на поверхности оболочки. Расчеты указывают на достаточно плавное изменение координаты при 0=0+0.094.
На рис.5.2.5(а,б,в) приведены формы колебаний оболочки на резонансной частоте Q]-0.044. Помодовый анализ для косинусной составляющей прогиба представлен рис.5.2.5(a), а для синусной - рис.5.2.5(б). На рис.5.2.5(в) изображена форма колебаний при Ct2=12.5 с W\max=44.47 при CCi=2.64R. Так же на рис.5.2.6 даны эпюры по окружной координате при CC]=L/2. На рисунках изображены как помодовые, так и суммарная формы поперечных прогибов. Как и в решении задачи для цилиндрической оболочки, основной вклад приносят синусные гармоники при п—5,6,7.
С ростом частоты формы колебаний усложняются. На рис.5.2.8(а,б,в) построены помодовые и суммарная амплитуды прогиба \W\max=0.045 на частоте 0=0.193, который реализуется при aj-12.5 aj=4.2R.
На рис.5.2.9 изображена 3D модель деформированной оболочки на резонансной частоте 2=0.044. Использование интегрированного пакета MathCAD 2001 позволяет наглядно представить характер деформаций составной оболочки.
Основные результаты исследований заключаются в следующем-. Построена математическая модель, описывающая колебания волокнисто-слоистой оболочки вращения с учетом термовязкоупругих свойств полимерной матрицы и термомеханической связанности. В основе построений лежит теория оболочек типа Тимошенко, учитывающая деформации поперечного сдвига и инерцию вращений.
Разработаны численные алгоритмы и комплекс вычислительных программ, реализующий расчеты амплитудно-частотных и диссипативных характеристик составных композитных оболочек.
Исследовано влияние структурных и механических параметров цилиндрической композитной оболочки: угла армирования, объемного содержания волокна в композите, структуры слоистой стенки оболочки и вяз-коупругих свойств связующего на АЧХ, коэффициент поглощения энергии. Определены условия, при которых частота первого резонанса имеет максимальное значение.
Проведен сравнительный анализ АЧХ цилиндрической оболочки, рассчитанных по моделям Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко. Проведенные расчеты АЧХ при различных соотношениях между жесткостными характеристиками полимерной матрицы и упругого волокна указывает на необходимость использования для решения поставленных выше задач неклассических теорий, учитывающих деформации поперечного сдвига.
Оценено влияние физико-механических характеристик волокна и матрицы на распределение энергии диссипации по типам деформаций в различных частотных диапазонах.
Решены задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, находящейся в однородном и неоднородном стационарном температурном поле.
Предложен численный метод исследования и решена осесимметричная связанная задача термовязкоупругости для волокнисто-слоистой оболочки. Исследованы задачи о колебаниях цилиндрической и составной кону-со-цилиндрической оболочки под воздействием неосесимметричной нагрузки общего вида. Разработан алгоритм, позволяющий определять области наибольшей виброактивпости на поверхности оболочек. Сделаны выводы о рациональном распределении нагрузки, при котором уровни вибраций конструкции минимальны.
