Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Математическая модель колебаний цилиндрических и сферических оболочек при конечных прогибах 24
1. Основные соотношения и допущения теории пологих оболочек 24
2. Алгоритм метода Бубнова - Галеркина 29
2.1. Замкнутая цилиндрическая оболочка 32
2.2. Цилиндрическая панель 33
3. Достоверность полученных результатов 34
4. Метод установления в теории гибких пологих оболочек 39
5. Динамическая потеря устойчивости оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени 43
Выводы по главе 47
Глава II. Сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические для гибких оболочек 48
1. Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические '. 48
2. Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические 58
3. Периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории гибких оболочек 63
4. О пространственно-временном хаосе 69
Выводы по главе 72
Глава III. Математические модели хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек кругового сечения 73
1. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при исследовании хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек 73
2. Исследование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек в зависимости от геометрических параметров и от площади приложения внешней нагрузки 86
Выводы по главе 105
Глава IV. Математические модели хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане 107
1. Сходимость метода Бубнова - Галеркина при исследовании хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане , 107
2. Исследование хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане в зависимости от геометрии оболочки в плане 114
Выводы по главе 128
Глава V. Управление хаотическими колебаниями цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей 129
1. Хаотические колебания цилиндрических оболочек 129
2. Хаотические колебания цилиндрических панелей 139
Выводы по главе .141
Общие выводы по диссертации . 142
Литература
- Замкнутая цилиндрическая оболочка
- Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические
- Исследование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек в зависимости от геометрических параметров и от площади приложения внешней нагрузки
- Исследование хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане в зависимости от геометрии оболочки в плане
Введение к работе
Актуальность темы
Проблемы детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись несколько веков назад, продолжают оставаться в числе фундаментальных и острых проблем естествознания. Однако широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры, названные И. Пригожиным диссипативными. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных областях знаний как физика плазмы, гидромеханика, электроника и радиофизика, теория управления, в задачах теории пластин и оболочек достижения не такие впечатляющие.
Сценарии перехода диссипативных систем в состояние хаоса при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки, таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика, описаны достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, Ю.И. Неймарка, К. Видаля, П.С. Ландау, Г. Шустера, А.С. Дмитриева, A.M. Опарина, АЛ. Кислова, B.C. Анищенко, В.А. Крысько, Я. Аврейцевича, Д.И. Трубецкова, О.М. Белоцерковского и др.
Исследованию хаотических колебаний круглых и прямоугольных пластинок, а также пологих оболочек посвящены работы Ю.В. Чеботаревского, В.А. Крысько, Я. Аврейцевича, Ю.Г. Коноплева, А.В. Крысько, Е.В. Салий, Т.В. Вахлаевой, А.А. Сопенко, Т.В. Щекатуровой, И В. Папковой Однако в этих работах не рассматривались хаотические колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей.
Таким образом, важной и актуальной является задача построения детерминированных математических моделей, позволяющих исследовать хаотические колебания замкнутых круговых цилиндрических оболочек при воздействии знакопеременной нагрузки.
Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
afS52
-
Разработка математической модели для сложных колебаний замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане для заданных граничных условий под действием знакопеременной локальной поперечной нагрузки.
-
Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний диссипативных систем в виде гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях.
-
Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от геометрических гпД?ТП*тр* "w "тупті рпгтг"г-п полосы поперечной нагрузки. [ вимїїтїі
4. Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек с помощью дополнительных малых целенаправленных знакопеременных воздействий, а также распределения нагрузки по поверхности оболочки. Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Разработаны математическая модель, методика и алгоритм численной реализации (комплекс программ) колебательных режимов гибких упругих цилиндрических оболочек, подчиняющихся кинематической модели Кирхгофа-Лява. Исследована сходимость метода установления в зависимости от типа уравнений движения оболочек (гиперболический или параболический) и метода Бубнова - Галеркина в зависимости от количества членов ряда в разложении основных функций w и F для оболочек, находящихся под действием гармонической нагрузки с учетом заданных краевых условий.
-
Разработан и реализован в виде комплекса программ универсальный алгоритм расчета оболочечных систем при действии произвольной нагрузки с учетом и без учета диссипации и проведен качественный анализ хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров (.^} для оболочек указанного типа, находящихся под действием локальной знакопеременной поперечной нагрузки вида q = q0 sm(a>pt), где q0 и в> - амплитуда и
частота поперечной нагрузки.
-
Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы несколько новых сценариев перехода в хаос и установлена их связь с уже известными. Изучена найденная периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих замкнутых цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей.
-
Предложен новый подход к управлению хаотическими колебаниями замкнутых круговых цилиндрических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью дополнительных малых целенаправленных продольных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. В частном случае результаты, полученные автором диссертации для статических задач, совпадают с уже известными результатами Н.И. Ободан (Устойчивость оболочек при неосесимметричной деформации. М.: Наука, 1988). Достоверность результатов, полученных для динамических диссипативных систем под действием поперечной знакопеременной внешней нагрузки, установлена путем применения принципиально различных численных методов исследования. Результаты, полученные методом конечных разностей и методом Бубнова-Галеркина, полностью совпадают и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.
Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач динамики геометри-
чески нелинейных гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, а также цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане при заданных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров (амплитуды и частоты возбуждения нагрузки, геометрических параметров). Институт проблем точной механики и управления РАН принял программный комплекс для проектирования элементов приборов точной механики
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XIII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003), Международной конференции "Нелинейные колебания механических и биологических систем" (Саратов, 2003), VII Международной конференции «Dynamical Systems - Theory and Application» (Lodz, Poland, October 8-10, 2003), федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам (1 место за работу по естественным наукам учащейся молодежи вузов России) (Москва, декабрь 15-20, 2003), VI Международной конференции "Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте" (Санкт-Петербург, 2004), III International symposium Trends in Continuum Physics (TRECOP'04), (Posnan, Poland, November 17-19, 2004 (лекция)), Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference ENOC - 2005 (Eindhoven, The Netherlands, August 7-12, 2005).
Данная диссертационная работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете на кафедре «Высшая математика» и в Техническом Университете г. Лодзь (Польша) на кафедре «Автоматика и биомеханика», где автор работы проходил обучение, выиграв во Всероссийском открытом конкурсе студентов и аспирантов на право получения стипендии Президента Российской Федерации для обучения за рубежом.
В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2005), на научном семинаре кафедры «Automatics and Biomechanics» Technical University of Lodz под руководством профессора Я. Аврейцевича (Lodz, Poland, 2005), на научном семинаре кафедры «Теоретическая механика» Казанского государственного университета под руководством д.ф.-м.н., профессора Коноплева Ю.Г. (Казань, 2005), на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2005).
На защиту выносятся следующие результаты и положения'
-
Математическая модель колебательных режимов (регулярных и хаотических) гибких замкнутых круговых цилиндрических оболочек, цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане с заданными краевыми условиями при действии распределенной или локальной знакопеременных поперечных нагрузок и продольной периодической нагрузки.
-
Алгоритм, методика и комплекс программ для анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде замкнутых круговых цилиндрических оболочек и цилиндрических панелей с заданными краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки.
-
Построенные новые математические модели перехода колебаний замкнутых круговых цилиндрических оболочек и панелей и прямоугольных в плане пологих сферических оболочек с заданными краевыми условиями из гармонических в хаотические дополняют классификацию сценариев колебаний оболо-чечных конструкций.
-
Рассмотренные в работе пространственные характеристики системы дают возможность исследовать переход систем в пространственно-временной хаос. Установлено, что временные и пространственные хаотические колебания оболочек наступают одновременно.
-
Возможность управления хаотическими колебаниями для замкнутых цилиндрических гибких упругих оболочек путем применения дополнительных малых целенаправленных знакопеременных воздействий, а также распределения поперечной нагрузки по поверхности оболочки.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 14 научных работах.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 153 страницы наборного текста, 71 рисунок, 19 таблиц. Список использованной литературы включает 138 наименований.
Замкнутая цилиндрическая оболочка
Изложенный выше алгоритм Бубнова - Галеркина позволяет решать широкий класс задач как статических, так и динамических. Решение статических задач возможно с помощью метода установления, впервые примененного для оболочек В.И. Феодосьевым [75]. Для решения статических задач теории пластин и оболочек традиционно применялись и применяются различные приближенные методы, позволяющие сводить систему уравнений в частных производных к системе нелинейных алгебраических уравнений, которая в дальнейшем каким либо образом линеаризуется. В методе установления решение системы уравнений в частных производных сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая изначально является линейной по времени.
Кратко остановимся на преимуществах подобного подхода. С математической точки зрения установление можно рассматривать как итерационный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений, где каждый шаг по времени является новым приближением к точному решению задачи. И как любой итерационный метод установления обладает высокой степенью точности. В то же время он лишен главного недостатка итерационных методов - большой чувствительностью к выбору начального приближения. Еще одним преимуществом метода установления является простота получения неединственных решения статических задач. Действительно, задав разные начальные условия возможно получения различных значений. Кроме того, при решении однородных систем традиционными методами, для получения нетривиального решения, в систему уравнений необходимо ввести какую-нибудь начальную неправильность: либо малую поперечную нагрузку, либо малую кривизну, либо, малый начальный прогиб. Внесение этих начальных несовершенств, так или иначе, сказывается на получающемся решении. При решении аналогичных задач методом установления роль начальных несовершенств играют неоднородные начальные условия, а малые изменения начальных условий не влияют на получающиеся статическое решение.
Решая задачу Коши при S-Б ДЛЯ ряда значений параметра поперечной постоянной во времени нагрузки, мы получим для { ?,}-» {w,}, что позволит построить зависимости q(w) и исследовать напряженно-деформированное состояние конструкции.
Воспользуемся этим подходом для замкнутых цилиндрических оболочек и рассмотрим линейную диссипативную систему. Рассмотрим случай приложения поперечного внешнего давления #(/) = ?0, распределенного в пределах полосы с центральным углом щ, 0 х 0.5.
Исследуем поведение цилиндрической оболочки в зависимости от ширины полосы давления, т.е. от раствора полосы нагружения ра. Численные результаты сопоставим с аналитическими, полученными Шагивалеевым К.Ф. по методике [116]. Для этого в уравнениях (1.32) положим нелинейные члены, равными 0, т.е. IIJiits = 0. Используя такую упрощенную математическую модель, получаем, что для различных углов нагружения зависимости w iq ) носят линейный характер, т.е. у = кх, где y = w, x = q0. центральной точке цилиндрической оболочки (0.5;0.0). В табл. 1.1 сопоставлены численное решение, полученное с помощью метода Бубнова-Галеркина в высших приближениях, и аналитическое решение для некоторых контрольных углов загружения, а также приведены относительные погрешности результатов.
Исходя из данных, приведенных на рис. 1.2, можно заключить, что результаты численного эксперимента практически совпадают с аналитическим решением, что позволяет судить о достоверности полученных данных. Относительная погрешность складывается из погрешности численных методов (метод обратной матрицы, метод Рунге-Кутта, метод установления) и погрешности вычислений. Таким образом, можно судить о полной достоверности результатов, полученных с использованием метода Бубнова - Галеркина в высших приближениях при решении систем дифференциальных уравнений для статических линейных задач.
Перейдем к изучению статических нелинейных задач теории пологих оболочек. Воспользуемся описанным выше подходом для замкнутых цилиндрических оболочек с Я = 2 и сравним результаты с решениями, полученными Н.И. Ободан [101] для нелинейной статической задачи. Рассмотрим случай приложения поперечного внешнего давления, распределенного в пределах полосы с центральным углом (ро Для получения ь.( о) следует построить для V 0e[0;2jr] множество { /,, » ,}, по которым определяется критическая нагрузка . Изучим зависимость критических нагрузок от ширины полосы давления р0 (рис. 1.3). Проанализируем результаты, полученные в разных приближениях. Так как нагрузка прикладывается по всей длине цилиндрической оболочки, то число членов ряда по координате х не играет роли и можно удержать в (1.31) один член ряда, т.е. JV, =1. Исследуем зависимость полученных результатов от количества членов ряда по окружной координате у, т.е. от N2, На рис. 1.3 представлены такие зависимости для N2 9. Можно заметить, что характер зависимости немонотонный и колебательный, при различных значениях N поведение кривой носит сходный характер, но увеличение числа приближения приводит к заметным уточнениям результатов (рис, 1.3).
Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические
За предельной точкой удвоения периода Я„, структура необычайно богата. Гребоджи [129] и его соавторы ввели некоторые новые понятия, так внезапные суженые полосы хаоса они назвали субдукцией (subduction), а соответствующее ее уширение - внутренним кризисом, а окончательное ушире-ние при Я = 1 назвали кризисом. В эксперименте конвекции Рэлея - Бенара для ртути в магнитном поле было обнаружено четыре удвоения периода и определена константа Фейгенбаума с погрешностью 5%.
Замечание. Важным фактором при движении по Я является появление 3-циклов (и др. циклов с нечетным периодами). 3-цикл трактуется как точка касательной бифуркации. Каждая из неподвижных точек 3-цикла превращается в результате в пару неподвижных точек, из которых одна устойчива, а другая неустойчива. Такие бифуркации называются также бифуркациями седло-узел. Их следует отличать от бифуркации удвоения периода - бифуркации камертона, при которых неустойчивая неподвижная точка превращается в пару устойчивых. 4. Сценарий Помо-Манневиля (ПМ)
Четвертый сценарий перехода в хаос был предложен в 1989 г. Помо и Манневилем [130], В этот период был накоплен огромный материал о динамическом хаосе и для ряда динамических систем было установлено, что переход от периодических колебаний к хаосу может происходить скачком, в результате одной единственной бифуркации. Такой переход был назван жестким, и он связан с явлением перемежаемости. Под перемежаемостью мы будем понимать такой вид сигнала, в котором случайным образом череду 56 ются длинные регулярные колебания и относительно короткие нерегулярные всплески. С увеличением управляющего параметра числа хаотических всплесков возрастает, пока не наступит момент полностью хаотического сигнала. Данное явление было открыто Помо и Манневилем при решении дифференциальных уравнений модели Лоренца. Эти явления Помо и Манневиль объясняют следующим образом. При управляющем параметре меньше критического в отображении Пуанкаре мы наблюдаем устойчивую неподвижную точку. При переходе управляющего параметра через его критическое значение эта точка становится неустойчивой. Переход к неустойчивому состоянию может произойти по трем сценариям, это дало возможность классифицировать перемежаемости 1, 2 и 3 родов. Для всех трех родов перемежаемости модули собственных значений линеаризованного отображения Пуанкаре больше единицы. В табл. 2.2 приведены для трех типов перемежаемости следующие характеристики: характерное поведение и вид отображения, собственное значение, форма сигнала. В табл. 2.2 параметр є соответствует параметру надкритичности системы. Для перемежаемости 1 рода при є = О мы имеем момент касательной бифуркации. Линии вертикальные и горизонтальные на графике отображения Пуанкаре представляют собой построение с помощью диаграммы Ламерля двоя коасимптоти ческой траектории седло-узловой точки. Для є 0 в окрестности исчезнувшей неподвижной точки график функции последование образует так называемый канал, по которой изображающая точка движется довольно долго, что соответствует ламинарной фазе перемежаемости. Уход изображающей точки из канала определяет турбулентность. Для перемежаемости 2 рода при е = 0в отображении имеет место субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, а для перемежаемости 3 рода при є = О одномерное модельное отображение демонстрирует субкритическую бифуркацию удвоения периода 1 цикла. Перемежаемость 3 рода впервые наблюдалось в эксперименте с конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной ячейке. В 1984 г. в эксперименте измерялся горизонтальный градиент температуры по модуляции интенсивности светового пучка, проходящего через ячейку (Martin, Leber, 1984). Перемежаемость 2 рода найдена в реакции Белоусова- Жаботинекого в 1984 г. [131].
В задачах, исследуемых в данной работе, был обнаружен сценарий, который мы в дальнейшем будем называть модифицированным сценарием Рю-эля-Такенса-Ньюхауза. Этот сценарий присутствует в цилиндрических оболочках и сферических оболочках на прямоугольном плане. Рассмотрим этот сценарий на примере сферической оболочки на прямоугольном плане с к; =ку=\2 при действии равномерно распределенной знакопеременной поперечной нагрузки q = q0s\n(u)pt). Основные характери стики; (сигнал w(0,5,0.5,7),
фазовый портрет w(w), спектр мощности S(QJ), сечение Пуанкаре wt(wl+T), где Т - период вынуждающей нагрузки) в зависимости от граничных значений q0 приведены в табл. 2.3. Значения q0 названы граничными, т.к. между указанными границами qQ картина остается практически постоянной. Опишем указанный сценарий, приведенный в табл. 2.3.
1. Колебания совершаются на основной частоте возбуждения о р и являются гармоническими (?0 = 7.9).
2. Далее, увеличивая амплитуду нагрузки до q0 = 7.94, наблюдаем в спектре мощности возникновение линейно независимой частоты колебаний а, и линейно зависимой частоты Ьх =й)р-аі. Система переходит в состояние двухчастотных колебаний на частотах ах и еор. Движение не синхронизи ровано, т.к. у = т/ = 9.696 - иррационально.
3. Дальнейшее движение по амплитуде нагрузки приводит к образованию новых зависимых частот колебаний ап = и-я,, Ьп - тр -w-a,. Это приво дит к утолщению траекторий в фазовом пространстве и образованию ат трактора в виде кольца в сечении Пуанкаре.
Исследование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек в зависимости от геометрических параметров и от площади приложения внешней нагрузки
Здесь и далее все результаты получены для 7 = 13, т.к. дальнейшее увеличение числа членов ряда в аппроксимации решения (1.31) не привело к серьезным изменениям результатов. Исследуем колебания цилиндрических оболочек кругового сечения под действием локальной знакопеременной нагрузки (3.1), распределенным в пределах полосы с центральным углом q 0 (рис. 3.1). Координаты приложения нагрузки: 0 х 1; p0/2 y p0/2. При весьма малых углах нагружения, когда распределение давления близко к нагружению по линии, в зоне приложения нагрузки развиваются значительные прогибы. Форма изгиба оболочки не претерпевает заметных изменений в процессе нагружения (рис. 3.11).
Докритический изгиб при полосовом нагружении наиболее выражен в зонах, прилегающих к границам нагруженного участка, и внутри него. При небольших углах ф0 формируется одна вмятина под полосой давления (рис. 3.11,а), при увеличении фо наблюдаются две вмятины по границам области нагружения (рис. 3.11,6). При фо— 0 и ц г+2ж на участках контура, удаленных от краев полосы нагружения, изгиб выражен слабо (рис. 3.11,а,в). При некоторых дискретных значениях угла нагружения р0 в процессе увеличения нагрузки наблюдается перестройка формы изгиба, причем число полуволн увеличивается. При этом при больших углах загружения перестройка формы изгиба приобретает локальный характер и наблюдается в центре полосы давления (рис. 3.12). Здесь JV -критическая нагрузка.
Формы изгиба оболочки на различных уровнях нагружения Потеря устойчивости оболочки наблюдается при углах нагружения, больших некоторого ртіт при котором на диаграмме "нагрузка-прогиб" появляется предельная точка. Такие диаграммы для различных углов нагружения приведены на рис. 3,13, Для определения критической нагрузки воспользуемся двумя ранее описанными критериями: критерием Шио—Сунг— Рота (рис. 3.13,а) и динамическим критерием А.С, Вольмира (рис. 3.13,6). Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том» что критическая нагрузка, полученная по двум вышеописанным критерия, совпадает с точностью до тысячных долей.
Для более подробного анализа рассмотрим также формы изгиба оболочки и формы поперечного отображения цилиндрической оболочки в докритическом и закритическом состоянии для ряда значений р0 (табл. 3.2). Формы поперечного сечения (х = 0.5; є[0;2л-]) и характерные формы волнообразования (хе [0;1], уе[0;2л]) цилиндра соответствуют точке А на сигнале. В докритическом состоянии наибольшие прогибы наблюдаются в зоне приложения нагрузки. При переходе в закритическое состояние, большие прогибы распространяются и на зоны оболочки, свободные от нагружения. Характер колебаний существенно усложняется.
Для некоторых значений ширины полосы давления tp0 были построены карты динамических режимов в зависимости от управляющих параметров {яо Юр} (рис. 3.14). Эти карты позволяют изучить все многообразие поведения оболочки. Получаем, что характер колебаний существенно зависит от угла загружения. При малых значениях р0 суммарная площадь зоны хаоса достаточно велика и состоит из двух подобластей, соответствующих значениям частоты а р со0 и ор б)а. При увеличении зоны загружения цилиндрической оболочки получаем уменьшение площади области хаоса и ее смещение на низкие и средние частоты. Значительно возрастают области двухчастотных колебаний. При большой площади внешнего давления площадь областей хаоса существенно возрастают, система находиться преимущественно в состоянии хаотических колебаний, зоны хаоса рассредоточены по всей карте, также значительны области двухчастотных колебаний, которые наблюдаются на высоких частотах и частотах, близких к частоте собственных колебаний.
Явление турбулентности уже известно сотни лет, но создание математических моделей перехода динамической системы в состояние хаоса следует отнести к работе Ландау [гл. 2, 1]. Но ни одна из этих гипотез при рассмотрении детерминированных колебаний цилиндрических оболочек для любых углов загружения и геометрических параметров в чистом виде не может описать перехода механической системы в состояние хаоса. Указанные выше параметры играют существенную роль в механизме перехода механической системы в состояние хаоса при изменении амплитуды и частоты внешнего воздействия.
Для цилиндрических оболочек был обнаружен новый механизм перехода колебаний оболочек из гармонических в хаотические, который объединил в себе модифицированный сценарий РТ и классический сценарий Помо-Манневиля. Этому сценарию было дано название модифицированного сценария Помо-Манневиля. Данный сценарий встречается также и в колебаниях сферических панелей. Сущность данного механизма описана в главе 2. Рассмотрим этот сценарий более подробно на примере цилиндрической оболочки при Л = 2 и ширине полосы поперечного давления р0= 90. Зафиксируем параметр нагрузки сор = 24.1 А, и будем изменять параметр q0. Основные характеристики: сигнал w(0.5;0.0;f), фазовый портрет w(w), спектр мощности S(co) и сечение Пуанкаре wl+T(w,) в зависимости от граничных значений q0 приведены в табл. 3.3. Значения q0 названы граничными, так как между указанными границами qQ картина остается близкой к постоянной. Отметим особенности этих положений.
Исследование хаотических колебаний цилиндрических панелей и сферических оболочек на прямоугольном плане в зависимости от геометрии оболочки в плане
На рис. 3.17 представлены зависимости wmax(q0) и шкалы динамических режимов для различных случаев нагружения. Схемы нагружения по продольной координате х представлены на рис. 3.17. Площадь приложения нагрузки является квадратной, за исключением случая на рис. 3.17,е, где нагрузка по у приложена по замкнутому кольцу. Анализ полученных результатов показывает, что чем больше площадь приложения приложении нагрузки, тем больше оболочка подвержена хаотическим колебаниям. Расположение нагрузки также оказывает существенное влияние на характер колебаний. Так, чем ближе к центру по продольной координате сосредоточена нагрузка, тем больше области хаотических колебаний. При приложении нагрузки по краю оболочки (рис. 3.17,а) наблюдаем полное отсутствие хаотических колебаний. Сказывается так называемый краевой эффект.
Исследуем пространственно-временные характеристики поведения цилиндрической оболочки в области двухчастотных колебаний и в зоне хаоса для случая приложения поперечной локальной нагрузки (jcltjfj)=(0.2;0.4). На рис. 3.18 и 3.19 представлены изменения форм волнообразования во времени w(x;y;t), 0 х 1, 0 у 2л, сигнал w(0.3;0.Q;t) в центре приложения нагрузки, фазовый портрет w(w), сечение Пуанкаре w,(w,+J.) и спектр мощности S(U ). В состоянии двухчастотных колебаний на частотах а1 и а р движение всех точек оболочки носит регулярный характер, при движении точек, находящихся под действием нагрузки к центру кривизны оболочки, точки, свободные от нагружения, движутся вверх, и наоборот. По круговой координате максимальные прогибы сосредоточены в зоне нагружения. В состоянии хаотических колебаний наблюдаем сложное движение всех точек оболочки. Максимальные прогибы распространяются на всю поверхность оболочки, точки, находящиеся под нагружением и свободные от нагружения, могут двигаться как в одном направлении (рис.3.19,д, =3,7,10), так и в противоположном (рис.3.19,д, =2,4). Наблюдаются резкие смены знака прогибов оболочки, т.е. явление похлопывания, чего не наблюдалось в состоянии двухчастотных колебаний, где смена знака прогиба происходила плавно.
Все вышесказанное позволяет сделать тот же вывод, что и в главе II 4: пространственный и временной хаос наступают одновременно, что дает нам возможность говорить о переходе системы в пространственно-временной хаос.
Перейдем к исследованию влияния геометрических параметров цилиндрической оболочки на характер колебаний системы. Рассмотрим приложение знакопеременной поперечной локальной нагрузки, приложенной по полосе шириной рй =6.0/Kfd = 343. Выберем несколько значений параметра Л = —: 1,2,3,4,5,6,7- Параметр Я - безразмерный параметр, который прямо пропорционален длине цилиндрической оболочки по продольной координате и обратно пропорционален радиусу оболочки, следовательно, параметр А характеризует относительную длину цилиндрической оболочки.
Для зафиксированных значений А были построены карты динамических режимов (рис. 3.20). Вместе с тем были исследованы зависимости и ) при фиксированном значении частоты вынуждающей силы ор-а й (й 0 — частота собственных линейных колебаний) и шкалы динамических режимов. Такая шкала представляет собой вертикальный сегмент карты динамических режимов, вырезанная на заданной частоте. Для исследования пространственных колебаний изучались формы волнообразования цилиндрической оболочки при 0 .х ,\;0у2л и формы поперечного сечения х = 0.5; 0йуй2я в докритическом и закритическом состояниях.
Изучение зависимостей wmax( 70) для каждого Л позволяет установить зоны жесткой потери устойчивости (рис. 3.21, 3.22) и тем самым выявить критерий динамической потери устойчивости для оболочек указанного типа. Для всех параметров А можно выделить некоторые общие свойства. Так, жесткая потеря устойчивости обязательно сопровождается сменой характера колебаний, "дрожанию" графиков w iqo) соответствуют зоны хаоса на шкалах колебаний, при увеличении д0 от 0 следует большая зона
Анализируя шкалы динамических режимов вместе с зависимостями wmax( 7o) приходим к выводу о том, что жесткая потеря устойчивости сопровождается переходом от хаотических колебаний на частоте возбуждения к гармоническим колебаниям на частоте возбуждения либо на частоте щ/2. Т.е. механизм перехода через точку потери устойчивости
Проанализируем явление динамической потери устойчивости цилиндрической оболочки в зависимости от параметра Я (рис. 3.23). Под динамической потерей устойчивости понимаем резкий рост прогибов при малом увеличении амплитуды нагрузки. Для определения тех значений Я, при которых цилиндрическая оболочка менее всего подвержена хаотическим колебаниям, построим зависимости І(Л) длины зоны хаоса от параметра Я, где і -длина зоны хаоса для каждого к, при равенстве остальных условий, и рассмотри эту зависимость вместе с критическими нагрузками для каждого Я (рис. 3.23, 3.24). Длина зон хаоса вычисляется с использованием шкалы динамических режимов для каждого конкретного значения Л. 0 2 А 6 X 0 2 4 6 X носят немонотонный колебательный характер. При движении по параметру Я от 0 в зависимости (к) следует два локальных минимума и два локальных максимума, в зависимости qkr{X) - один локальный минимум и один локальный максимум. После Я 4 наблюдаем монотонно убывающую зависимость в ((К), что соответствует монотонно возрастающему участку на графике 9 г(Я). Таким образом, получаем, что для длинных оболочек (Я 4) при увеличении критической нагрузки зоны хаоса уменьшается, т.е. чем меньше критическая нагрузка для оболочки, тем больше площадь хаотических колебаний. Для коротких и средних оболочек зависимости 9 (Я) и (Х) не монотонны.
Следовательно, динамическая критическая нагрузка существенно зависят от относительной длины оболочки и различны для коротких (Я 4) и длинных (Я 4) оболочек. Следовательно, одним из возможных способов управления колебаниями механической системы и увеличения величины динамической критической нагрузки может служить изменение ее геометрических размеров при равенстве остальных условий.
В табл. 3.6 представлены формы волнообразования 0 х 1;() 2л- для некоторых значений Я в различные моменты времени, обозначенные точками 1,2,3,4 на сигнале w(0.5;0.0;0- Получаем, что формы волнообразования имеют более сложный характер с большим числом полуволн по окружной координате для коротких оболочек.
