Содержание к диссертации
Введение
1. Обоснование выбора направления исследований 10
1.1. Обзор состояния проблемы исследования нелинейных колебаний роторов на подшипниках скольжения 14
1.2. Многодисциплинарная задача исследования нелинейных колебаний ротора на подшипниках скольжения 34
1.3. Постановка задачи исследования 37
1.4. Выводы 39
2. Модель динамического поведения ротора 40
2.1. Уравнения вращения ротора на нелинейных опорах 40
2.1.1. Конечный элемент вала 46
2.1.2. Конечный элемент диска 55
2.1.3. Конечный элемент нелинейной опоры с подшипником скольжения 57
2.2. Алгоритм исследования динамики высокооборотных роторов . 60
2.2.1. Определение стационарных орбит вращения ротора 60
2.2.2. Определение собственных чисел и исследование устойчивости вращения ротора 62
2.3. Алгоритм интегрирования уравнений движения роторов с использованием метода Ньюмарка 65
2.4. Структура программного комплекса и методы обработки результатов численного моделирования динамики ротора 67
2.5. Выводы 72
3. Модель нелинейной опоры с подшипником скольжения 73
3.1. Модель для расчета параметров течения несжимаемой смазки в подшипнике скольжения 73
3.1.1. Уравнение Рейнольдса для течения смазки в подшипнике скольжения 77
3.1.2. Конечно-элементная модель для расчета давления в подшипнике скольжения 82
3.1.3 Учет граничных условий в конечно-элементной модели для расчета давления в подшипнике 89
3.1.4. Гидравлические напряжения, силы, моменты и динамические коэффициенты в подшипнике скольжения 91
3.2. Разработка моделей для определения изменения формы зазора для смазки вследствие деформаций и перемещений поверхностей скольжения 92
3.2.1. Двумерная модель для расчета деформаций поверхностей скольжения подшипника на основе МГЭ 94
3.2.2. Трехмерная модель для расчета деформаций поверхностей скольжения подшипника на основе МКЭ 101
3.2.3. Модель для расчета положения поверхностей скольжения в подшипниках с самоустанавливающимися вкладышами 104
3.3. Разработка конечного элемента слоя смазки в подшипнике скольжения 110
3.4. Структура программного комплекса для расчета различных конструкций подшипников скольжения 117
3.5. Выводы 119
4. Расчет характеристик жесткости и демпфирования подшипников скольжения с учетом изменения формы зазора под действием давления смазки 120
4.1. Тестирование программы расчета характеристик подшипников скольжения 120
4.2, Расчет характеристик подшипников с гладкими поверхностями 128
4.2.1. Определение характеристик подшипников с жесткими поверхностями 129
4.2.2. Определение характеристик подшипников с деформируемыми поверхностями 140
4.3. Расчет характеристик подшипников с самоустанавливающимися вкладышами 151
4.4. Расчет характеристик сегментных подшипников 155
4.5. Выводы 160
5. Исследование нелинейных колебаний роторов 162
5.1. Определение стационарных орбит вращения высокооборотного ротора и исследование их устойчивости 162
5.2. Исследование орбит вращения высокооборотного ротора методом прямого интегрирования 169
5.3. Исследование орбит вращения тихоходного ротора методом прямого интегрирования 173
5.3.1. Ротор на подшипниках с самоустанавливающимися вкладышами 174
5.3.2. Ротор на сегментных подшипниках 176
5.4. Выводы 177
Выводы 180
Литература
- Многодисциплинарная задача исследования нелинейных колебаний ротора на подшипниках скольжения
- Конечный элемент нелинейной опоры с подшипником скольжения
- Учет граничных условий в конечно-элементной модели для расчета давления в подшипнике
- Определение характеристик подшипников с жесткими поверхностями
Введение к работе
Актуальность работы. Подшипники скольжения используются в качестве опор роторов во многих современных конструкциях. Наибольшее применение они нашли в газотурбинных установках различной размерности с массами роторов от десятков тонн до высокооборотных микротурбин с массами роторов в несколько грамм. Обладающие большой мобильностью, высоким коэффициентом полезного действия и работающие на различных видах топлива газотурбинные установки являются стратегическим направлением в современной энергетике. Работоспособность, долговечность и надежность подшипника скольжения определяется усилиями нелинейного динамического взаимодействия между ротором и корпусом. Существенно нелинейные эффекты обусловлены особенностью работы слоя смазки. В связи с этим одной из важнейших задач является разработка математических моделей, учитывающих эффекты упругогидравлического контакта в подшипниках скольжения. Это актуально как для опор высокооборотных роторов, так и для опор тихоходных роторов с антифрикционными покрытиями из материалов с малым модулем упругости на поверхностях скольжения. Актуальным также является учет деформаций поверхностей скольжения при упругогидравличе-ском контакте в подшипнике на колебания системы ротор-опоры.
Цели работы:
создание методики математического моделирования упругогидравлического контакта в подшипнике скольжения и определение вклада деформаций поверхностей скольжения в нелинейные характеристики жесткости и демпфирования опоры;
разработка конечно-элементной модели ротора с нелинейными опорами и оценка влияния упругой податливости поверхностей скольжения и перемещений самоустанавливающихся вкладышей на устойчивость движения и нелинейные колебания ротора.
Научная новизна.
1. Разработана модель упругогидравлического контакта, которая применяется для исследования параметров течения смазки и определения характеристик жесткости и демпфирования подшипника скольжения с учетом де-
формативности поверхностей скольжения шейки вала и подшипника, а также перемещений самоустанавливающихся колодок;
Задача многодисциплинарного моделирования упругогидравличе-ского контакта решена в двумерной и трехмерной постановках с использованием технологий методов граничных и конечных элементов;
Разработана комплексная конечно-элементная методика исследования нелинейных колебаний роторов с подшипниками скольжения, позволяющая при помощи специализированных конечных элементов учитывать эффекты нелинейной жесткости и демпфирования смазочного слоя, упруїую податливость поверхностей скольжения шейки вала и подшипника, особенности конструкции подшипников с колодками;
При расчете течения смазки исследовано влияние учета упругих деформаций поверхностей скольжения на характеристики подшипника и, как следствие, на устойчивость движения и нелинейные колебания ротора.
Достоверность. Разработанные математические модели, алгоритмы и программы протестированы по известным из литературы теоретическим решениям и результатам экспериментов. Решение задачи двумерного упруго-гидравлического контакта с использованием метода граничных элементов сопоставлено с решением трехмерной задачи методом конечных элементов. Разработанное программное обеспечение основано на корректном использовании основных положений классической механики и вычислительной математики.
Практическая значимость. Модели, методы, алгоритмы и программы, разработанные в диссертационной работе, предназначены для практического использования при анализе параметров упругогидравлического контакта в опорах скольжения и исследовании колебаний роторов на нелинейных опорах. Методика может быть рекомендована для применения в ОКБ и предприятиях ряда отраслей, занимающихся разработкой конструктивных элементов с узлами трения и роторных машин.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Современные проблемы аэрокосмической науки и техники» (Жу-
7 ковский, 2000), Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы исследований и разработок по созданию силовых и энергетических установок XXI века» (Москва, 2000), Российской научно-технической конференции «Механика и прочность авиационных конструкций» (Уфа, 2001), 4-ой Международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения" (Санкт-Петербург, 2001), 2nd International Symposium on Stability Control of Rotating Machinery (Гданьск, Польша, 2003), V Международной научно-технической конференции «Современные проблемы машиноведения» (Гомель, Беларусь, 2004), International Conference on Nonlinear Dynamics (Харьков, Украина, 2004), II Международной научно-технической конференции «Проблемы динамики и прочности в газотурбостроении» (Киев, Украина, 2004), 3rd International Symposium on Stability Control of Rotating Machinery (Кливленд, США, 2005), Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов «Проблемы создания перспективных авиационных двигателей» (Москва, 2005), на научных семинарах кафедры «Прикладная механика» (РК-5) в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Публикации. Результаты исследований опубликованы в 14 печатных работах (научные статьи, труды конференций и тезисы докладов), основными из которых являются статьи [57, 85, 87] и труды конференций [31, 88, 150-152].
Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, заключался в разработке конечных элементов, моделирующих подшипники скольжения, алгоритмов и программ решения уравнения Рейнольдса для расчета параметров смазки, граничных и конечных элементов для решения задач упругого деформирования шейки вала и подшипника, динамического поведения ротора. Также автором лично выполнены расчеты и обобщены результаты исследования.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 208 страниц, 78 рисунков и 9 таблиц. Список литературы включает 157 наименований.
Во введении и первой главе показана актуальность работы, дан обзор современного состояния вопроса исследования течения смазки в подшипниках скольжения различной конструкции и вопроса анализа динамики роторов на нелинейных опорах с подшипниками скольжения, характеристики которых определяются при исследовании течения смазки в подшипнике, проведено обоснование выбора направлений исследования и сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.
Во второй главе записаны конечно-элементные уравнения движения ротора на нелинейных опорах. При формировании уравнений движения получены матрицы конечного элемента вала на основе теории Тимошенко с учетом инерции поворота, сдвигов и гироскопических моментов элементов вала, конечного элемента вала при выполнении гипотезы Бернулли, конечных элементов диска с учетом гироскопических моментов и нелинейной опоры с подшипником скольжения. Элемент нелинейной опоры с подшипником скольжения учитывает совместные жесткостные и демпфирующие свойства смазки и опоры подшипника. Сформулированы разрешающие уравнения для определения стационарных орбит вращения, собственных чисел для положения статического равновесия и исследования устойчивости движения высокооборотных роторов. Также получены выражения для прямого интегрирования уравнений движения как высокооборотных, так и тихоходных роторов по схеме Ньюмарка. В завершение показана общая структура программного комплекса исследования динамики роторов на нелинейных опорах и приведены методы обработки и представления результатов расчетов динамического поведения ротора.
В третьей главе представлена модель для расчета параметров жесткости и демпфирования в подшипнике скольжения с подвижными деформируемыми поверхностями. Параметры смазки определяются на основе решения уравнения Рейнольдса для несжимаемой смазки методом конечных элементов. Деформации поверхностей скольжения рассчитываются при помощи двумерной модели деформирования шейки вала и подшипника на основе метода граничных элементов и трехмерной модели на основе метода конечных
9 элементов. Также разработана модель определения положения поверхностей скольжения в подшипнике с самоустанавливающимися вкладышами. В заключение представлена общая структура профаммного комплекса расчета характеристик жесткости и демпфирования подшипников скольжения различных конструкций.
В первой части четвертой главы проведены расчеты характеристик подшипников скольжения с гладкими жесткими поверхностями в сравнении с известными из литературы данными, и продемонстрировано хорошее совпадение результатов. Во второй части выполнены расчетные исследования, и вычислены подъемная сила и ее направление, коэффициенты жесткости и демпфирования в полных подшипниках с гладкими жесткими и деформируемыми поверхностями, подшипниках с четырьмя самоустанавливающимися вкладышами и с четырьмя неподвижными сегментами.
В пятой главе представлены результаты расчета динамических параметров для высокооборотного ротора на подшипниках скольжения с гладкими жесткими и деформируемыми поверхностями и для тихоходного ротора на подшипниках с самоустанавливающимися вкладышами и на сегментных подшипниках. Для высокооборотного ротора определены стационарные орбиты вращения, собственные числа, и проведен анализ устойчивости найденных орбит. Как для высокооборотных, так и для тихоходных роторов выполнено исследование орбит движения ротора методом прямого интефирования. Для найденных траекторий движения роторов проведен спектральный анализ с целью нахождения возможных зон супер- и субгармонических колебаний ротора.
В заключении представлены основные выводы по работе.
В приложении приведены методы аппроксимации зависимостей для подъемной силы, ее направления, коэффициентов жесткости и демпфирования в подшипниках с гладкими жесткими и деформируемыми поверхностями, в подшипниках с самоустанавливающимися колодками и сегментных подшипниках, что актуально для инженерных приложений.
Многодисциплинарная задача исследования нелинейных колебаний ротора на подшипниках скольжения
Расчет динамики ротора стационарной ГТУ на подшипниках скольжения с гидродинамическим режимом смазки требует наряду с решением уравнений движения ротора решать уравнения течения смазки в подшипниках и задачи деформирования поверхностей скольжения при действии давления смазки. Необходимость решения задач динамики, статики, теории упругости и гидродинамики определяет многодисциплинарность проблемы исследования динамики ротора в целом. Как уже было отмечено, создание прецизионных моделей опор ротора с подшипниками скольжения обусловлено повышающимися требованиями к параметрам ГТУ и вытекающей из этого необходимостью с повышенной точностью исследовать динамические режимы сложной конструкции ротора и опор. Наряду с этим экспериментальные исследования характеристик ГТУ на стадии проектирования практически невозможны ввиду большой стоимости и длительности реализации модельных экспериментов. Для ГТУ допустимо проведение только доводочных экспериментальных запусков на готовой конструкции установки.
При анализе реальных конструкций роторов ГТУ, состоящих из ряда элементов, таких как рабочее колесо, уплотнения и подшипники, которые существенно влияют на динамические характеристики ротора, необходимо использовать комплексный подход к решению задачи. Схема комплексного подхода к исследованию динамики ротора стационарной ГТУ на подшипниках скольжения представлена на рис. 1.4. Как следует из схемы, представленной на рис. 1.4, на первом этапе для проведения исследования динамики ротора на подшипниках скольжения необходимо создать модель опоры, которая бы позволяла рассчитывать течение смазки в подшипнике скольжения при произвольном профиле зазора для смазки. При этом необходимо, чтобы профиль зазора для смазки определялся при совместном учете вклада изменения геометрии (перемещение шейки вала и/или повороты колодок в зависимости от конструкции подшипника) и вклада деформаций поверхностей скольжения. Учет последних возможен при решении задачи упругого деформирования поверхностей скольжения под действием давления смазки. Наряду с жесткостью смазки в подшипнике с деформируемыми поверхностями в общей жесткости опоры необходимо учесть жесткость корпусных деталей опоры. Создание комплексной модели опоры для более точного расчета динамики вала объясняется тем, что для повышения рабочих характеристик ГТУ применяются новые типы подшипников с самоустанавливающимися вкладышами, возрастающие скорости вращения вала обуславливают большие давления смазки в подшипнике, и вклад деформаций поверхностей скольжения в изменение жесткости и демпфирования опор становится существенным, а для сокращения общей массы ГТУ корпусные детали изготавливаются виде оболочечных конструкций.
Последующий этап исследования включает в себя создание моделей ротора ГТУ, выбор которых зависит от режимов работы и конструкции ротора. В модели ротора учитываются динамические характеристики опоры, определяемые по ранее разработанным моделям. В некоторых случаях характеристики работы ротора ГТУ могут быть близки к модели жесткого ротора. Однако в большинстве конструкций ГТУ ротора представляют собой гибкий вал, опертый в нескольких подшипниках скольжения и имеющий несколько рабочих колес (в общем случае число опор и дисков больше двух). Такая конструкция ротора требует создания модели гибкого весомого вала с неограниченным количеством опор и дисков. Необходимо отметить, что в некоторых ГТУ устанавливаются ротора барабанного типа, для которых требуется учет трехмерности деформирования вала.
Постановка задачи исследования
В предыдущих пунктах было отмечено, что ужесточение эксплуатационных требований требует комплексного подхода к исследованию динамики роторов стационарных ГТУ на подшипниках скольжения. В то же время повышение параметров ГТУ достигается путем применения новых конструкций опор и роторов, при моделировании которых невозможно применять упрощенные инженерные модели. Поэтому решение задачи динамики ротора можно разделить на два совместных направления исследований: исследование течения смазки в подшипнике с деформируемыми подвижными поверхностями с целью определения характеристик жесткости и демпфирования в подшипнике, а также исследование динамики весомого многодискового, многоопорного ротора на опорах с нелинейными характеристиками.
В обзоре работ по обоим направлениям исследований показано, что отдельно вопросы течения смазки в подшипнике скольжения и вопросы динамики ротора на опорах с нелинейной характеристикой достаточно хорошо проработаны. Созданию комплексной методики расчета течения смазки и динамики роторов на подшипниках скольжения посвящено ограниченное количество работ, и в большинстве из них уровень точности моделей смазки и динамики ротора не удовлетворяет сегодняшним требованиям при проектировании ГТУ. В то же время увеличение скоростей вращения роторов современных ГТУ и, соответственно, увеличение давления смазки в зазоре между подшипником и валом, применение антифрикционных покрытий на поверхностях скольжения подшипников увеличивает вклад деформаций поверхностей скольжения в статические и динамические характеристики подшипника. Методика учета деформативности поверхностей скольжения при расчете характеристик подшипника и динамики ротора для подшипников стационарных ГТУ практически не затрагивается в работах, посвященных динамике роторов на подшипниках скольжения. Можно только отметить некоторые модели, созданные для расчета деформаций шатунных подшипников, у которых режим смазки и конструкция опоры сильно отличаются от таковых для подшипников стационарных ГТУ. В современных ГТУ для обеспечения устойчивости ротора также применяются конструкции подшипников с самоус танавливающимися вкладышами, которые требуют при расчете течения смазки определять положение равновесия каждого вкладыша. Как следует из обзора публикаций, вопросы динамики роторов на подшипниках с самоустанавливающимися вкладышами слабо изучены.
Наряду со всем вышесказанным необходимо отметить, что в подавляющем большинстве работ использовались уравнения динамики для упрощенных одно- и двухмассовых моделей ротора, что неприменимо для роторов ГТУ. Все сказанное выше диктует необходимость создания единого комплекса расчета динамики ротора на подшипниках скольжения согласно схеме, представленной на рис. 1.4. Таким образом, целью настоящей работы является:
1. Разработка уточненной модели подшипника скольжения с подвижными, деформируемыми поверхностями скольжения, которая позволит определить его статические и динамические характеристики. Разработка такой модели подразумевает создание модели течения смазки в зазоре произвольной формы между поверхностями скольжения подшипника конечной длины, создание модели расчета деформирования и взаимного перемещения поверхностей скольжения в подшипнике.
2. Разработка модели динамики ротора, учитывающей нелинейные характеристики жесткости и демпфирования подшипников скольжения, а также наличие нескольких опор и дисков, и позволяющей определять стационарные орбиты вращения, собственные числа и границы устойчивого вращения роторов.
3. Теоретическая и экспериментальная проверка предложенных моделей на основе простейших тестовых примеров и расчете конструкций, для которых имеются экспериментальные или теоретические данные в литературе.
4. Исследование вклада деформаций поверхностей скольжения и поворотов самоустанавливающихся вкладышей в характеристики жесткости и демпфирования подшипников скольжения с гладкими поверхностями, самоустанавливающимися вкладышами и сегментных подшипников.
Конечный элемент нелинейной опоры с подшипником скольжения
Взаимодействие роторов и их опор является одним из важнейших направлений исследования при определении динамических характеристик ротора. Нелинейные характеристики опор роторов оказывают большое влияние на динамическое поведение ротора. Учет характеристик жесткости и демпфирования корпусных деталей ГТУ требует в общем случае рассмотрения совместных колебаний системы ротор-корпус, закрепленной на фундаменте. В диссертационной работе учитываются только жесткостные свойства корпусных деталей, так как демпфирование в подшипнике скольжения существенно выше, чем в корпусных деталях ГТУ.
В общем виде контакт опоры с подшипником скольжения и ротора является трехмерным, осуществляемым по поверхностям вала и подшипника, однако, для ГТУ с достаточной степенью точности взаимодействие опоры и ротора в уравнениях движения может быть рассмотрено как точечное. Конечный элемент опоры стационарной газотурбинной установки учитывает вклад в суммарную жесткость и демпфирование конструкции жесткостных свойств корпуса установки одновременно с жесткостиыми и демпфирующими свойствами для смазки в подшипнике. Как будет показано в третьей главе жесткостные и демпфирующие свойства смазки вычисляются с учетом деформаций рабочих поверхностей подшипника и вала.
При разработке конечного элемента опоры предполагается, что жест-костные свойства смазки и корпусных деталей опоры последовательно включаются в общий конечный элемент опоры. Такое предположение вполне уместно, если принять во внимание то, что силы от вала передаются на корпус установки посредством смазочного слоя. При этом суммарный вектор реакции опоры {Rsup}, действующей на ротор можно представить в виде
Коэффициенты матрицы [Кс] определяются при расчете конструкции корпуса опоры. Расчет жесткости корпуса опоры может быть выполнен методом конечных элементов в комплексах ANSYS, Nastran, Abacus и т.д. Степень детализации при создании конечно-элементной модели зависит от особенностей конструкции. Для газотурбинных установок, корпуса которых представляют собой тонкостенные конструкции, при вычислении жесткостей опор необходимо моделировать весь корпус целиком. Пример конечно-элементной модели корпуса стационарной газотурбинной установки представлен на рис. 2.4. Расчетная схема создана для определения жесткости передней опоры ротора, которая кон-сольно закреплена при помощи стоек (лопатки на рис. 2.4) относительно всего остального корпуса. Матрица жесткости корпуса определяется при приложении единичных перемещений вдоль координатных осей опоры и углов поворота вокруг данных осей. В общем виде матрица [Кс] симметрична, имеет размерность 6x6, что обусловлено шестью степенями свободы точечного конечного элемента, и полностью заполнена. В рассматриваемых в диссертации случаях матрица жесткости [/у имеет вид
Для определения коэффициентов матриц [АГ/,] и [С/,] необходимо решать проблему упругогидравлического контакта, включающую в себя задачу деформирования рабочих поверхностей вала и подшипника и задачу течения смазки в зазоре. Для подшипника с самоустанавливающимися вкладышами одновременно с решением предыдущей задачи необходимо определять текущее положение вкладышей. В самом широком случае матрицы [Кь] и [CJ имеют размерность 6x6 и являются матрицами общего вида. Эти матрицы могут иметь нулевые строки и столбцы, соответствующие линейным и угловым степеням свободы сечения вала, вкладом которых в силовую схему ротора можно пренебречь.
В общей конечно-элементной схеме ротора (2.3) или (2.4) матрицы [Ksup] и [Csup] для каждой опоры учитываются соответственно в матрицах [Ks] и [С]. В главе 3 рассмотрены подходы к определению коэффициентов матриц [Kf,] и [Сь] для опор с подшипниками скольжения различных видов.
Исследование динамики высокооборотных роторов, для которых определяющей нагрузкой являются центробежные силы, как уже упоминалось в пункте 2.1, удобнее проводить во вращающейся системе координат х& ут zm. При этом применяются уравнения динамики ротора в виде (2.4), которые позволяют в некоторых случаях определять орбиты вращения ротора, не прибегая к прямому интегрированию уравнений движения в виде (2.3). По определенным орбитам вращения ротора также может быть исследована устойчивость этого положения равновесия путем определения собственных чисел системы с использованием уравнений (2.3). Такой расчет дает оценку устойчивости орбит вращения ротора при малых возмущениях орбиты.
Учет граничных условий в конечно-элементной модели для расчета давления в подшипнике
Для одномерной задачи течения смазки в подшипнике скольжения, в дальнейшем, понадобится определение только распределения давления. Для этого необходимо решать первое уравнение в системе (3.11). Матрица жесткости и вектор правой части для этого уравнения могут быть получены по технологии, представленной выше для двумерного случая.
Система с правой частью {FR}1 предназначена для определения распределения давления p(xR9zR,t); система с правой частью {FR}2 - для определения коэффициентов жесткости Кх и К$ т; система с правой частью {/3 - для определения коэффициентов жесткости К т и К т; система с правой частью {FR}4- для определения коэффициентов демпфирования С и С ; система с правой частью {FR}5 - для определения коэффициентов демпфирования Cf и Cf.
Системы конечно-элементных уравнений для определения параметров подшипника в виде (3.20) реализованы в разработанной в рамках диссертации программе. Описание программы и ее блок-схема представлены в пункте 3.4. В общем случае, когда толщина слоя смазки в виде (ЗЛО) зависит от давления, уравнения (3.20) решаются совместно с уравнениями для определения деформаций и перемещений поверхностей скольжения.
Учет граничных условий в конечно-элементной модели для расчета давления в подшипнике
При расчете давления в подшипнике скольжения требуется, чтобы давление на концах подшипника было равно давлению окружающей среды ра В зависимости от конструкции подшипника скольжения цапфа подшипника может охватывать как часть шейки вала в окружном направлении, так и полностью
Подшипник скольжения шейку вала. Для подшипников, в ко с углом охвата шейки вала 150 торых цапфа охватывает лишь часть шейки вала, в сечениях 1 и 2 давление смазки также равно давлению окружающей среды ра, что продемонстрировано на рис. 3.6, где представлен подшипник с дугой охвата шейки вала 150, результаты расчета характеристик смазки которого сравниваются с результатами Э.Л. Позняка в главе 4. Конструкция подшипника может предусматривать наличие отверстий для подачи смазки в подшипник. Смазка подается с определенным давлением подачи ps, которое необходимо учитывать в конечно-элементной модели.
Учет известных значений давления в общей конечно-элементной модели расчета течения смазки ведется приближенно согласно методике, представленной в [28]. Если узел конечно-элементной сетки совпадает с точкой, где давление смазки известно, то на главной диагонали матрицы [KR] в позицию, соответствующую данному узлу сетки, ставится большое число С 10 , а в соответствующую позицию вектора правой части {FR}1 ставится значение Qpa,s где pQiS - известное значение давления смазки. При расчете коэффициентов жесткости и демпфирования учет граничных условий ведется аналогичным образом. Причем там, где давление смазки известно и определяется внешними условиями, переменныерхлру Pi и р- равны нулю.
Наибольший интерес значения напряжений смазки представляют на поверхностях скольжения. По напряжениям на поверхности шейки вала определяются равнодействующие силы и момент, действующие на вал от корпуса посредством смазки. Напряжения на поверхности шейки вала могут быть определены при подстановке формул для скоростей шейки вала из (3.3) в (3.26) и учете граничных условий (3.5).
При линейном и угловом перемещениях шейки вала в подшипнике на вал действуют гидравлические сила и момент, определяемые распределением давления в слое смазки. Вычислим эти силовые факторы, спроецировав их на оси неподвижной координатной системы x,y
Определение характеристик подшипников с жесткими поверхностями
При решении в системе (3.38) учитываются граничные условия, накладываемые либо на перемещения, либо на напряжения. На части границы, на которой заданы перемещения, определяются напряжения и наоборот. Чтобы все неизвестные были записаны в вектор {С/г}, после окончательного преобразования уравнения можно записать в виде где {Ur} - вектор неизвестных, в который входят как неизвестные перемещения, так и неизвестные напряжения (там где перемещения известны), {Ff} - вектор известных перемещений и напряжений на свободных от заданных перемещений участках границы. Уравнение (3.39) является окончательным для численной реализации МГЭ. После определения перемещений и напряжений на границе, по формулам (3.33) можно определить перемещения и напряжения в выбранных внутренних точках.
Так как в ряде задач существуют точки контура с неопределенным направлением нормали, то необходимо уделить отдельное внимание детальному рассмотрению разрывов в геометрии контура и граничных условиях. В большинстве задач они имеют место в виде ребер и углов, а также в виде граничных условий различного типа, заданных в одном узле в разных направлениях. В задаче теории упругости смещения определены однозначно, но поверхностные усилия в угловом узле многозначны.
Для описания разрывов напряжений на границе можно воспользоваться представлением о двойных узлах. Так в случае двумерных задач в систему вводятся два граничных узла с одинаковыми координатами, между которыми не помещается никакого граничного элемента.
При таком представлении связь между элементами определяется, как показано на рис. 3.9. При такой схеме разрывы напряжений можно представить, задав различные значения напряжений в узлах/ и к. Так как перемещения в обоих узлах одинаковы, то в каждом направлении имеются две допустимые комбинации задаваемых граничных условий: в узлах у и к задаются напряжения; в узле/ задаются напряжения, а в узле к — перемещения или наоборот.
Задача определения деформаций шейки вала и подшипника на основе метода граничных элементов является частью общего программно- . / го комплекса для исследования параметров опо- Рис 3 9 обработка ры с подшипником скольжения, блок-схема ко- угловых точек торого представлена в пункте 3.4. Необходимо отметить, что задача определения деформаций решается совместно с задачей расчета течения смазки. Окончательное решение определяется при проведении итераций.
Как уже было отмечено в предыдущем пункте, в общем случае учет деформаций поверхностей скольжения под действием давления смазки требует решения трехмерной задачи теории упругости для подшипника и шейки вала. В некоторых случаях упрощенная модель, представленная в предыдущем пункте, не дает достоверных результатов. Применение трехмерной модели деформирования актуально для коротких подшипников и при больших эксцентриситетах шейки вала в подшипнике.
Для решения трехмерной задачи теории упругости деформирования вала и подшипника используется метод конечных элементов [28, 111]. Модуль для решения задач трехмерного напряженно-деформированного состояния разработан в отделе «Математического моделирования» Центрального Института Авиационного Моторостроения и является частью программы расчета характеристик подшипника (см. параграф 3.4).
Матрица жесткости конечного элемента может быть получена после задания функций, аппроксимирующих компоненты перемещения в произвольной точке элемента через компоненты перемещения узлов элемента. Перемещение произвольной точки внутри элемента может быть выражено через компоненты перемещений в узлах K} = [N3D}{{u\D}T, {ulf ... {ullfj =[N3D]{utD}, (3.40) где {w3DJ = {w3D, v3/), w3D} , / = 1,20 - вектор компонент перемещений 1-ГО узла, iueiD\ - вектор компонент перемещений всех узлов элемента, [N D] матрица функций формы элемента в глобальных координатах, которая для изопарамстрического элемента совпадает с матрицей функций формы в локальных (криволинейных) координатах П зо] [28]. Здесь а- нормальные напряжения и т- касательные напряжения; {є0} - вектор начальных деформаций, который, например, позволяет учитывать деформации теплового расширения; {ао} - вектор начальных напряжений, позволяющий учесть остаточные деформации в теле; [D] - матрица упругости в обобщенном законе Гука. Чаще всего подшипник и вал изготавливаются из материалов, обладающих изотропными упругими свойствами, для которых коэффициенты матрицы [D] определяются только модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона
