Содержание к диссертации
Введение
1. Обоснование выбора метода решения задач теории упругости о посадках с натягом на основе метода конечных элементов 19
1.1. Определяющие соотношения 20
1.2. Принцип возможных перемещений 21
1.3. Алгоритм метода конечных элементов 21
1.3.1. Основная концепция метода конечных элементов . 22
1.3.2. Построение конечно-элементной модели области (дискретизация области) 22
1.3.3. Построение конечно-элементной модели функции . 23
1.3.4. Определение элементных матриц жесткости и векторов нагрузки 24
1.3.5. Формирование глобальной матрицы жесткости и глобального вектора нагрузки 27
1.3.6. Решение системы конечно-элементных алгебраических уравнений 28
1.3.7. Определение деформаций и напряжений 28
1.4. Методы учета линейных ограничений-равенств в симметричных системах линейных алгебраических уравнений 28
1.4.1. Метод множителей Лагранжа 31
1.4.2. Метод штрафных функций 32
1.4.3. Метод исключения неизвестных 35
1.4.4. Метод Уэбба 36
1.4.5. Метод редуцирования глобальных матрицы жесткости и вектора перемещений 36
1.4.6. Метод объединения решений 39
1.5. Выводы по Главе 41
2. Конечно-элементное моделирование прессовых соединений с помощью метода штрафных функций 43
2.1. Структура конечно-элементных матриц ограничений, соответствующих прессовым соединениям 44
2.2. Особенности программной реализации. Модифицированный конечный элемент 47
2.3. Верификация конечно-элементных алгоритмов 52
2.3.1. Посадка втулки на вал 52
2.3.2. Запрессовка нескольких круглых шайб в пластину, ограниченную улиткой Паскаля 53
2.3.3. Запрессовка круглой шайбы в пластину с переменным натягом 57
2.3.4. Запрессовка в круглую пластину шайбы, ослабленной эксцентрическим эллиптическим отверстием 59
2.4. Конечно-элементное моделирование соединения с натягом бандажного и упорного колец ротора турбогенератора ТЗВ-800- 2 с полным водяным охлаждением 61
2.4.1. Постановка задачи . 61
2.4.2. Трехмерная КЭ модель бандажного узла турбогенератора ТЗВ-800-2 64
2.4.3. Оценка достоверности полученных результатов 69
2.4.3.1. Осесимметричные КЭ модели бандажного узла. FEA, ANSYS 69
2.4.4. Модификации посадочных поверхностей 71
2.5. Выводы по Главе 71
3. Совершенствование метода исследования посадки с натягом бандажного кольца турбогенератора на бочку ротора, основанного на конечно-элементной гомогенизации зубцовой зоны ротора 74
3.1. Методика определения эффективных упругих характеристик зубцовой зоны бочки ротора 75
3.1.1. Эффективные упругие характеристики зубцовой зоны роторов турбогенераторов различных мощностей . 82
3.1.1.1. Турбогенератор ТЗВ-800-2 83
3.1.1.2. Турбогенератор ТЗФП-160-2 87
3.1.1.3. Турбогенератор ТВВ-1000-2 89
3.1.1.4. Турбогенератор ТВВ-320-2 89
3.2. Методика определения эффективных теплофизических характеристик зубцовой зоны бочки ротора 94
3.2.1. Коэффициент теплопроводности зубцовой зоны . 94
3.2.2. Удельная теплоемкость зубцовой зоны 96
3.2.3. Плотность 97
3.2.4. Эффективные теплофизические характеристики зубцовой зоны роторов турбогенераторов различных мощностей 97
3.2.4.1. Турбогенератор ТВВ-1000-2 97
3.2.4.2. Турбогенератор ТЗВ-800-2 102
3.2.4.3. Турбогенератор ТВВ-320-2 104
3.3. Эффективные коэффициенты линейного температурного расширения зубцов бочки ротора 106
3.4. Выводы по Главе 110
4. Моделирование процесса посадки и снятия бандажных колец роторов турбогенераторов при высокочастотном индукционном нагреве 112
4.1. Электромагнитное поле в двухслойном цилиндре 114
4.1.1. Аналитическое решение 114
4.1.2. Численное решение 122
4.1.2.1. Анализ качества КЭ дискретизации 122
4.2. Процесс посадки 123
4.2.1. Численное моделирование 123
4.2.1.1. Электромагнитная задача 126
4.2.1.2. Нестационарная задача теплопроводности 126
4.2.1.3. Задача термоупругости 127
4.2.2. Экспериментальные исследования 128
4.2.3. Сравнение результатов численного и физического моделирования 131
4.2.4. Выбор параметров индукционной системы 133
4.3. Процесс снятия 140
4.3.1. Численное моделирование 140
4.3.1.1. Электромагнитная задача 144
4.3.1.2. Задача нестационарной нелинейной теплопроводности и контактная задача термоупругости 145
4.3.2. Экспериментальные исследования 147
4.3.3. Анализ результатов экспериментального и численного моделирования 149
4.3.4. Необходимость учета контактного взаимодействия бандажного кольца и бочки ротора 155
4.4. Выводы по Главе 158
Заключение 160
Список литературы 163
Приложения 176
- Принцип возможных перемещений
- Методы учета линейных ограничений-равенств в симметричных системах линейных алгебраических уравнений
- Запрессовка нескольких круглых шайб в пластину, ограниченную улиткой Паскаля
- Методика определения эффективных теплофизических характеристик зубцовой зоны бочки ротора
Введение к работе
Для современного турбогенераторостроения характерна тенденция ужесточения условий работы турбоагрегатов, заключающихся в увеличении межремонтных периодов и сроков эксплуатации. Выполнение этих условий для фирм-производителей гарантирует конкурентноспособность, а следовательно, возможность получения заказов. В связи с этим повышаются общие требования к надежности энергомашиностроительного оборудования в целом, и, следовательно, к отдельным конструкционным элементам, в частности, бандажного узла турбогенератора — самого нагруженного как в тепловом, так и в механическом отношении элемента конструкции ротора турбогенератора.
Бандажный узел (БУ) ротора турбогенератора состоит из бандажного кольца (поз. 1 на рис. 1) и центрирующего кольца (поз. 2 на рис. 1). Бандажное кольцо (БК) удерживает лобовые части обмотки ротора в радиальном направлении при вращении ротора. Лобовые части прикрываются уложенными на подбандажную изоляцию в два слоя в полнахле-ста медными демпферными сегментами, которые устанавливаются под БК в современных турбогенераторах для повышения термической стойкости торцов ротора в несимметричных режимах и образуют поперечную демпферную систему [53], замыкающую продольную демпферную систему [16]. Центрирующее кольцо (ЦК) удерживает обмотку ротора в осевом направлении при ее тепловом расширении. Кроме того, ЦК обеспечивает сохранение цилиндрической формы БК и центрирует его относительно оси вала ротора.
Сопряжение деталей БУ осуществляется горячей посадкой с натягом. По количеству посадочных мест на роторе различают два основных типа бандажей — однопосадочный (рис. 1 а) и двухпосадочный (рис. 1 б, в). Кроме того, за последние годы получила распространение консольная посадка роторных бандажей (рис. 1 г). В этом случае ЦК называется упорным кольцом (УК). При однопосадочной конструкции БК имеет посадку — 7 — только на ЦК, которое в свою очередь посажено на вал ротора. В этом случае носик бандажа имеет возможность свободно перемещаться в радиальном и осевом направлениях относительно бочки ротора из-за прогиба вала. Величина этих перемещений зависит от величины прогиба участка вала между торцами бочки и подшипником и от длины и диаметра бандажного кольца. При определенных значениях перемещений носика возможны разрушения подбандажной изоляции и верхних витков обмотки ротора. Поэтому область применения однопосадочных отставленных бандажей весьма ограничена.
в) г)
Рис. 1. Конструкции бандажных узлов. 1 — бандажное кольцо; 2 -— центрирующее (упорное) кольцо; 3 — ротор; 4 — лобовая часть обмотки ротора
При двухпосадочной конструкции БК имеет посадку на ЦК и на торец бочки ротора, в которой выфрезерованы продольные пазы, образующие систему зубцов ротора. Таким образом, БК своим носиком крепится горячей посадкой к роторным зубцам.
Исследованию двухпосадочных бандажных узлов посвящены работы [28], [35], [47], [48], которые были инициированы, в первую очередь, пробле- — 8 — мами, возникавшими в процессе эксплуатации генераторов в соединениях бандаж-ротор, бандаж-центрирующее кольцо, центрирующее кольцо-ротор. Дело в том, что при двухпосадочных бандажах с жестким ЦК возможно нарушение посадки кольца на бочку ротора из-за неизбежного в эксплуатации постоянного изменения (деформации) линии вала ротора и смещения края бандажного кольца относительно торца бочки. Это сопровождается нарушением электрического контакта между бандажным кольцом и бочкой, возникновением искрения при несимметрии токов статора, разогревом и ожогом посадочных поверхностей, появлением следов побежалости, выгоранием материалов и повреждением бандажных колец, сколом посадочных мест зубцов бочки ротора [44], а также возникновением фреттинг-повреждений [80] посадочных поверхностей. Для уменьшения передачи изгибных деформаций вала на БК иногда применяют эластичные (Z-образные) ЦК (рис. 1 в). Однако и в этом случае двухпосадочная конструкция бандажа не удовлетворяет требованиям надежности для мощных турбогенераторов. По результатам работы генераторов двухпосадочная конструкция бандажных узлов была признана неудачной и предприятие-изготовитель (ОАО "Электросила") перешло к производству турбогенераторов с консольным исполнением бандажных узлов (рис. 1 г). Двухпосадочная конструкция с посадкой центрирующего кольца на вал сохраняется только лишь у ранее выпущенных генераторов и по возможности подвергается модернизации при очередных плановых ремонтах агрегатов [3], [15]. Для консольной конструкции, хорошо выполненной, при условии достаточно плотной посадки элементов конструкции и закрепления бандажа на роторе соответствующим замком (кольцевой шпонкой или гайкой), вероятность описанных повреждений практически исключается. Нарушение же плотности соединения деталей БУ может также привести к смещению масс и, как следствие, к ухудшению вибрационного состояния машины, а в некоторых случаях даже к тяжелым авариям. Поэтому на стадии проектирования необходимо проводить тщательный анализ напряженного и деформированного состояния элементов БУ с целью обеспечить плотное соединение деталей БУ прежде всего на рабочей частоте вращения, а также при испытаниях ротора на угонную частоту вращения. — 9 —
На основе традиционных методик [23], [67] расчетных исследований БК рассматривают как оболочку постоянного сечения, деформируемую под действием собственных центробежных сил, равномерно распределенного по внутренней поверхности БК давления от действия центробежных сил, создаваемых лобовой частью обмотки ротора, и под действием сил от посадки БК на ЦК и на бочку ротора, приложенных к краям оболочки. При этом посадочные усилия определяются на основе податливостей БК и ЦК, вычисленных по простейшим схемам изгиба и растяжения колец и оболочек без учета их сложной пространственной геометрии. Кроме того, напряжения и деформации в ЦК определяются на основе схемы изгиба кольца при предположении, что сечение кольца остается недеформирован-ным. Таким образом, используемая методика не дает реальной картины деформаций ЦК и БК, а также характера распределения контактного давления по посадочным поверхностям, которые очень важны для определения посадочных натягов, величины которых значительным образом сказываются на упрощении или усложнении технологии посадки с натягом, а также на надежности работы соединения в процессе работы генератора.
В силу недостатков, присущих используемой методике расчетных исследований БУ турбогенераторов, совершенствованию методов исследования соединения посадкой с натягом БК и бочки ротора всегда уделялось большое внимание. Так в работах [14], [19], [75] выполнен анализ соединения с натягом БК и бочки ротора турбогенератора с помощью метода решения контактных задач, предложенного В.М.Фридманом и В.С.Черниной [74]. В [14], [19], [75] в процессе исследования соединения БК и бочки ротора применен подход, развитый в [18], основанный на численном определении функций влияния (податливостей тел) на площадках контакта с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [86]. Исследования в этих работах проводились на базе осесимметричной модели БУ. Переход к осесимметрич-ной модели осуществлялся на основе введения эффективного цилиндра, моделирующего зубцовую зону ротора и обладающего некоторыми эффективными механическими характеристиками. Таким образом, в ходе решения задачи применялась процедура гомогенизации — процедура приведения неоднородной структуры зубцовои зоны к однородной анизотропной — 10 — структуре. Результаты исследований, приведенные в указанных работах, показали, что существует возможность образования зазора между бандажом и бочкой ротора у носика бандажного кольца не только в процессе работы генератора, но и и в режиме покоя. На основе полученных результатов и обнаруженного явления отрыва сопрягаемых деталей на части посадочной поверхности сделан вывод об эффективности использования ступенчатой конфигурации посадочного места. Вместе с тем, в указанных работах отмечено, что "... существенное влияние на распределение зон контакта-отрыва оказывает отношение податливостеи контактирующих тел". Однако, достаточно обоснованный подход к определению эффективных упругих характеристик или податливости зубцовой зоны в названных работах отсутствует.
Относительно соединения БК и УК можно констатировать, что после окончательного утверждения консольной конструкции БУ исследования данного соединения проводились лишь с целью выбора посадочного натяга, а вопрос о характере распределения контактных давлений по посадочным поверхностям БК и УК до сих пор оставался открытым, хотя являлся не менее важными с точки зрения плотности соединения.
Отметим, что проводимые до сих пор исследования были ориентированы на обеспечение надежной работы БУ. Наряду с этим надежность конструкции может быть гарантирована только при условии качественной сборки конструкционных элементов с помощью современных технологий. В [73] отмечено, что "сегодня можно уверенно прогнозировать не только грядущее увеличение спроса на электрогенерирующее оборудование, но и безусловное предпочтение Заказчиком среди этого оборудования такого, которое будет обладать самыми высокими и в то же время самыми экономичными эксплуатационными характеристиками. Это резко повысит значение фактора технологической оснащенности предприятий, производящих электрические машины". Примером технологического перевооружения может служить технология посадки и снятия бандажных колец
В настоящее время общеизвестны и применяются технологии горячей посадки и снятия бандажных колец с помощью внешних нагреватель- — 11 — ных элементов, таких как керосиновые или газовые горелки [20]. Однако, в этих случаях чрезвычайно трудно обеспечить равномерный нагрев бандажей без местных перегревов и в связи с этим нагрев немагнитных бандажей открытым пламенем запрещен [63]. Более эффективными и безопасными являются методы индукционного нагрева и нагрева ТЭН-технологиями (тепло-электронагревателями). Современная технология сборки и разборки бандажных узлов роторов турбогенераторов в отечественном электромашиностроении базируется на индукционном нагреве на частоте 50 Гц [20], [71], [72]. Данная операция основывается на нагреве и тепловом расширении бандажей таким образом, чтобы внутренний диаметр насаживаемой детали превосходил внешний диаметр внутренней детали на величину диаметрального натяга с некоторым технологическим зазором. В свою очередь величина технологического зазора должна предусматривать как зазор, необходимый для свободного снятия внешней детали, так и тепловое расширение внутренней детали, которое может быть вызвано ее нагревом через контакт с бандажом, а в процессе индукционного нагрева также за счет непосредственного нагрева токами, индуктируемыми магнитным полем, проникающим в подбандажное пространство. Технология индукционного нагрева бандажных колец токами промышленной частоты имеет следующие существенные недостатки: нагрев подбандажных элементов (демпферных сегментов и зубцов бочки ротора) вследствие проникновения низкочастотного электромагнитного поля через бандажное кольцо в бочку ротора, который приводит к подгару подбандажной изоляции и вызывает тепловое расширение зубцов бочки, препятствующее свободному снятию бандажных колец; повреждение контактирующих поверхностей бандажного кольца, зубцов бочки ротора и демпферных сегментов за счет протекания через точечные контакты токов, индуктированных магнитным полем промышленной частоты, проникающим в подбандажное пространство; громоздкость и энергоемкость оборудования. — 12 —
Перечисленные недостатки послужили причиной поиска альтернативных методов нагрева и разработки более совершенной технологии, основанной на высокочастотном (ВЧ) индукционном нагреве, при котором вследствие малой глубины проникновения электромагнитного поля [37], [49], во-первых, тепло выделяется только в узком поверхностном слое бандажного кольца и, во-вторых, устраняются электроэрозионные повреждения БК, медных сегментов и зубцов бочки ротора. При условии создания индукционной системы с параметрами, при которых достигается необходимое тепловое расширение посадочных поверхностей без превышения допустимых температур и термомеханических напряжений, данная технология представляется чрезвычайно перспективной. Отметим, что до настоящего времени в отечественной энергомашиностроительной промышленности бытовало мнение, что высокочастотный индукционный нагрев неприменим для данной технологической операции [63]. Такое мнение, по-видимому, было, в первую очередь обусловлено общепринятым заблуждением, что поверхностный нагрев может привести к недопустимым уровням градиентов температур и термомеханических напряжений, вызывающих растрескивание колец.
Таким образом, все выше сказанное свидетельствует об актуальности работы по совершенствованию методов исследования соединений с натягом конструкционных элементов бандажных узлов турбогенераторов, а также обоснованию принципиальной возможности применения высокочастотного индукционного нагрева для технологических процессов посадки и снятия роторных бандажей.
Методы исследований. Соединения с натягом и запрессовка деталей широко распространены в машиностроении. В силу их важности в настоящее время разработан ряд аналитических и численных методов исследования таких соединений. Параллельно с развитием теории расчета прессовых соединений развивались и экспериментальные методы решения рассматриваемой задачи. Основные экспериментальные результаты получены поляризационно-оптическим методом [28], [58], [59]. Наиболее полный обзор аналитических методов решения контактных задач представлен в [55]. — 13 —
Самые ранние работы, основанные на аналитических методах исследований распределения давления по посадочной поверхности деталей, сопряженных тугой посадкой, датированы 40-50 годами прошлого века. В этих работах принималась гипотеза о равномерном распределении давления по площадке контакта. Шапиро Г.С. [76], например, решил задачу о сжатии бесконечного длинного полого цилиндрического вала нагрузкой, приложенной на кольцевом участке боковой поверхности вала. Влияние на вал тугопосаженной втулки в работе Ренкина [114] было приближенно учтено с помощью использования результатов решения задачи Ламе, из которого определялась средняя величина давления путем вычисления усредненного радиального перемещения на участке поверхности сплошного вала под действием равномерной нагрузки. Таким образом, определялось лишь среднее значение контактных напряжений, тогда как наиболее интересным является их распределение. В работах П.З.Лившица [40], [41] в рамках теории упругости получены конечные значения контактных напряжений и коэффициента концентрации напряжений у незакругленного края насаживаемой втулки. Т.А. Воронин [17] рассмотрел распределение напряжений под абсолютно жесткими втулками. Теория тугой посадки абсолютно жестких втулок и результаты опытов были применены им для решения задач тугой посадки упругих втулок. Изменение радиальной деформации поверхности вала в зависимости от осевой координаты определялись экспериментально .
Одной из первых работ, посвященной исследованиям с помощью метода конечных элементов напряжений при напрессовке короткой втулки на вал бесконечной длины, является работа Парсонса (В. Parsons) и Уил-сона (Е.А. Wilson) [52]. Авторы предложили использовать МКЭ для определения жесткостных характеристик втулки путем вычисления коэффициентов влияния в узлах, расположенных на внутренней поверхности КЭ модели втулки; для определения жесткости вала применен классический метод теории упругости, основанный на работах А.И.Лурье [42].
Решение задачи о посадке втулки на вал конечной длины дано в работе Г.Б.Иосилевича и Ю.В.Лукащука [27], которая является развитием метода, разработанного в [52]. Описываемый метод позволяет учесть об- — 14 — жатие микронеровностей шероховатой поверхности путем введения условного контактного слоя, податливость которого принимается из работы [38]. Применение указанных двух методов ограничено исследованием только осесимметричных деталей.
И.Е.Семеновым-Ежовым и В.И.Старшининым [60] была предложена методика КЭ исследований напряженного состояния в деталях при их запрессовке. Авторы предложили моделировать натяг в соединении температурным перепадом на посадочном контуре. При этом наличие запрессованных шайб никак не учитывалось.
Для задач запрессовки общий аналитический метод на основе методов плоской теории упругости, разработанных Г.В.Колосовым и Н.И.Мусхели-швили, был предложен Д.И.Шерманом [77], а решения ряда задач были получены Д.И.Шерманом [78], Н.Д.Тарабасовым [64], А.Г.Угодчиковым [68], [69]. Эти работы посвящены анализу напряженного состояния деталей, не обладающих осевой симметрией, но занимающих односвязную область, на которую может быть отображен круг с помощью функции, представляющей собой многочлен. Очевидно, что данный подход решения задач запрессовки применим только для областей, для которых существует аналитическая отображающая функция. Для реальных же конструкционных элементов не всегда возможно подобрать такую функцию и даже в тех случаях, когда это сделать удается, исследования с помощью методов, основанных на применении сложного математического аппарата — теории функций комплексной переменной, оказываются математически сложными и громоздкими, что, не умаляя важности данного метода для теоретических изысканий, снижает практическую его ценность для реальных инженерных исследований. Поэтому для инженерных работ, требующих на стадии проектирования конструкций выполнение многопараметрических и многовариантных расчетов, более целесообразно применять численные методы.
В настоящей работе все численные исследования выполнены с помощью МКЭ, одного из самых мощных и эффективных современных численных методов решения разнообразных задач механики конструкций. Этот метод универсален и позволяет учитывать сложную геометрию конструк- — 15 — ционных элементов, реальные внешние воздействия, нелинейные свойства конструкционных материалов, а также взаимодействие конструкционных элементов. Некоторые оценки в диссертационной работе получены на основе аналитического решения дифференциальных уравнений. Наряду с вычислительными экспериментами выполнен также ряд экспериментальных работ по посадке и снятию бандажных колец.
Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется строгостью используемого в работе математического аппарата; использованием обоснованного современного численного метода — метода конечных элементов; сравнительным анализом результатов, полученных в ходе данной работы, с теоретическими и экспериментальными данными.
В Главе 1 рассмотрены теоретические вопросы построения КЭ матриц для решения задач упругости гетерогенных анизотропных сред, а также проведен сравнительный анализ методов решения систем линейных уравнений с ограничениями-равенствами, учет которых необходим в задачах о посадке с натягом.
В Главе 2 подробно рассмотрена структура КЭ матриц ограничений [10], [29], [30], соответствующих условию посадки с натягом; пояснены особенности программной реализации КЭ алгоритмов, основанных на методе штрафных функций; разработанное программное обеспечение верифицировано на основе сопоставления результатов теоретических и экспериментальных исследований, приведенных другими авторами. И, наконец, с помощью разработанного программного обеспечения выполнены КЭ исследования трехмерного напряженного и деформированного состояния соединенных с натягом бандажного и упорного колец турбогенератора ТЗВ-800-2 [12], [13], [29], [31], [32].
В Главе 3 усовершенствован подход, развитый в работах [14], [75], основанный на предположении, что при условии равномерного расположения зубцов по окружности бочки ротора зубцовая зона может моделироваться кольцевой областью (цилиндром) с некоторыми ортотропными характеристиками [33]. Заметим, что для турбогенераторов, выпускаемых в настоящее время ОАО "Электросила", в которых применена система продольных пазов с целью выравнивания изгибной жесткости ротора [5], [51], — 16 — это условие практически выполнено. В рамках развиваемого в данном разделе подхода — сведения неоднородной структуры зубцовой зоны ротора к однородной структуре и таким образом упрощения существенно трехмерной задачи до осесимметричнои, вводятся также некоторые эффективные (эквивалентные) термомеханические и теплофизические свойства зубцовой зоны, которые необходимы для моделирования соединений с натягом БК и зубцов ротора при работе генератора, а также технологической операции посадки и снятия бандажных колец.
В Главе 4 проведен сравнительный анализа технологий посадки и снятия БК, основанных на индукционном нагреве токами промышленной и высокой частоты, а также пояснены недостатки, присущие применяемой в настоящее время технологии нагрева токами промышленной частоты. Проведены исследования экспериментального и теоретического характера для подтверждения принципиальной возможности применения высокочастотного (поверхностного) индукционного нагрева бандажных колец роторов турбогенераторов, а также разработана методика численного моделирования процессов посадки и снятия бандажных колец при ВЧ индукционном нагреве для определения необходимых параметров индукционной системы [25], [26], [45]. Необходимость разработки методики обусловлена широкой номенклатурой выпускаемых и эксплуатируемых турбогенераторов, а также разнообразием конструкций бандажных узлов. Численное моделирование позволит в каждом конкретном случае быстро и эффективно без проведения трудоемкого и дорогостоящего натурного эксперимента определить оптимальные параметры индукционной системы для нагрева конкретного БК, а именно, мощность источника питания, частоту тока, ширину индуктора и место его расположения, а также время нагрева, достаточное для достижения необходимого расширения посадочных поверхностей, без превышения максимально допустимых температур.
Отметим, что на момент проведения исследований (1996-1997 гг.), изложенных в Главе 2, отечественные энергомашиностроительные компании и НИИ не имели возможности проводить расчеты с помощью лицензионных программных КЭ комплексов, позволяющих решать сложные трехмерные задачи теории упругости. Поэтому исследования, выполненные — 17 — с помощью разработанных автором КЭ алгоритмов, интегрированных в систему КЭ анализа "FEA" [8], [90], созданную на кафедре "Механика и процессы управления" в лаборатории " Вычислительная механика" Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, являлись уникальными. Уникальность и научная новизна этой работы заключалась в том, что впервые в инженерной практике были проведены исследования данной конструкции, обладающей сложной пространственной геометрией. Созданная пространственная КЭ модель отличалась высокой степенью подробности, а размерность решенной системы линейных уравнений (757104 неизвестных) не имела аналогов. По результатам исследований внесены изменения в рабочие чертежи БУ вновь проектируемых турбогенераторов: изменена конфигурация посадочных мест конструкционных элементов. Наряду с этим, впервые в отечественной инженерной практике выполнено численное моделирование и исследование технологических процессов посадки и снятия бандажных колец, основанных на высокочастотном индукционном нагреве. На основе полученных результатов были сделаны выводы об эффективности данного метода нагрева и даны конкретные рекомендации по выбору оптимальной частоты, а также энергетических и геометрических параметров индукционной системы. Сформулированные рекомендации взяты за основу при проектировании промышленной установки высокочастотного индукционного нагрева.
Основные результаты диссертационной работы были представлены на:
II международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения" (С.-Петербург, 1997);
International Conference "Tools for Mathematical Modelling" (MathTools' 97) (St.-Petersburg, 1997);
Научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 1998);
Международной молодежной научной конференции "XXV Гаг арийские чтения" (Москва, 1999); — 18 —
Научно-технической конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" (С.-Петербург, 1999);
Научно-техническом совете специалистов ОАО "Электросила" (С.Петербург, 2000);
Конференции молодых специалистов электроэнергетики - 2000 (Москва, 2000);
Научно-техническом совете специалистов ОАО "Электросила" (С.Петербург, 2001);
Научно-техническом совете специалистов ОАО "Электросила" (С.Петербург, 2002);
10. Международной научно-практической конференции "Электроэнерго -2002" (С.-Петербург, 2002).
Всего по теме диссертации опубликовано 12 печатных работ. Основные результаты и защищаемые положения диссертации отражены в публика-циях [10], [12], [13], [25], [26], [29], [30], [31], [32], [33], [45], [90]. — 19 —
Принцип возможных перемещений
Рассмотрим тело V, которое находится в равновесии под действием объемных сил fv, поверхностных сил /s и перемещений гі8, заданных на поверхности. В теле возникают поля перемещений и(г), деформаций є(г) и напряжений т(г). Пусть перемещения и тела в его равновесном состоянии получили малые приращения 5и, совместимые с геометрическими и кинематическими связями, наложенными на тело. Такие дополнительные перемещения называют возможными Сформулируем принцип возможных перемещений. Для тела, находящегося в положении равновесия, работа внешних сил на возможных перемещениях равна вариации потенциальной энергии деформации Вариация потенциальной энергии деформации — работа напряжений на соответствующих возможных деформациях. Из принципа возможных перемещений можно получить дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия Среди современных численных методов чрезвычайно широкое распространение в последние годы получил метод конечных элементов, позволя ющий достаточно просто учитывать сложность геометрических форм реальных конструкций, неоднородность и анизотропность материалов, смешанные граничные условия и т.д. Метод конечных элементов с успехом может быть применен и для решения задач о посадках с натягом в рамках теории упругости. Изложим вывод основных соотношений метода конечных элементов, основанный на вариационном подходе. Пусть требуется определить вектор-функцию и{г) в некоторой области У, ограниченной поверхностью S. Основная концепция метода конечных элементов (МКЭ) состоит в построении дискретных конечно-элементных (КЭ) моделей области и непрерывной функции.
Построение КЭ модели области: область V аппроксимируется конечным числом непересекающихся подобластей, называемых конечными элементами (КЭ) и имеющих общие узловые точки. Построение КЭ модели функции: вектор-функция и (г) интерполируется на каждом КЭ полиномом, который определяется с помощью узловых значений искомой вектор-функции и(г). Область V представляется в виде совокупности конечных элементов е = 1,гае; пе — общее число КЭ. Конечные элементы имеют общие узловые точки, каждая из которых имеет номер j, j = 1,пр, пр — общее число узловых точек (узлов). КЭ модель области характеризуется глобальным вектором координат узлов X Вектор координат узлов КЭ (е) Х е формируется из глобального век Выбор типа, формы элемента и числа его узловых точек зависит от характера рассматриваемой задачи и от точности, которую требуется обеспечить. В качестве основных неизвестных (называемых степенями свободы) в МКЭ принимаются узловые значения искомой функции и, если это необходимо, ее производных. Введем в рассмотрение следующие векторы - U — глобальный вектор узловых неизвестных всей конструкции - и е — локальный (элементный) вектор узловых неизвестных, который формируется из глобального вектора узловых перемещений U при помощи матрицы кинематических связей а (матрицы инциденций) Если в качестве степеней свободы КЭ берутся узловые значения самой функции, то элемент называют лагранжевым; если используются и производные по координатам, то соответствующий КЭ называют эрмитовым.
После выбора узловых неизвестных строится интерполяционный полином, которым выражается закон изменения искомой функции в пределах КЭ через значения его узловых неизвестных. Вектор перемещений в Декартовой системе координат ит = {uX}uy)uz} в произвольной точке КЭ (е) с вектор-радиусом хт = {х, г/, z} определим так где
Методы учета линейных ограничений-равенств в симметричных системах линейных алгебраических уравнений
В процессе исследования прессовых соединений или посадок с натягом рассматривается условие, что после посадки увеличение внутреннего радиуса внешней детали и уменьшение внешнего радиуса внутренней детали в сумме равны величине радиального натяга 5 [65] где и \и — векторы перемещений точек внутренней (1) и внешней (2) деталей, соответственно; nSl\r№ — векторы единичных внешних нормалей к посадочным поверхностям 5і,5г внутренней и внешней деталей, соответственно. При этом считается, что силы трения на поверхности контакта отсутствуют. Условие (1.45) может быть записано в стандартной, наиболее часто применяемой форме где lift, vffi — нормальные компоненты векторов перемещений посадочных поверхностей внутренней и внешней деталей; - — абсолютное значение соответствующей величины. Таким образом, в рамках МКЭ решение задачи о посадке с натягом сводится к учету линейных ограничений-равенств, частный вид которых представлен формулой (1.45). Более общий вид ограничений-равенств, возникающих при решении задач о прессовых соединениях, приведен в Главе 2. Отметим, что задачи о посадке с натягом являются лишь частным случаем всего многообразия проблем, связанных с необходимостью учета ограничений-равенств. В частности, автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение, внедренное в программную систему конечно-элементного анализа FEA, разработанную на кафедре "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского политехнического университета в лаборатории " Вычислительная механика", для сопряжения несогласующихся КЭ сеток [11] в процессе использования адаптивного метода [121], [123] на основе оценки ошибки вычисления потенциальной энергии деформации системы (так называемый "Zienkiewicz-Zhu error estimator") [122], [124], [125], [126]. Разработанный общий подход записи матриц и векторов ограничений а также набор стандартных программ, были применены в процессе создания алгоритмов и программного обеспечения для реализации сопряжения двумерных и одномерных (стержневых) КЭ с целью исследования многослойных конструкций [1], [104].
Рассмотрим методы решения систем уравнений с ограничениями-равенствами. Для этого рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, которая является разрешающей системой МКЭ в перемещениях где в конечно-элементной постановке К — глобальная матрица жесткости размерности пщ х neq\ U — глобальный вектор neq узловых неизвестных (компонентов вектора перемещений); F — глобальный вектор neq компонентов узловых сил. Требуется найти значение вектора U при условии, что он удовлетворяет ограничениям-равенствам, записанным в виде системы линейных уравнений где G является прямоугольной матрицей ограничений размерности т х neq (т — число ограничений), В — заданный вектор. В настоящее время для учета многоузловых (multi-point) 2 ограничений-равенств наиболее широко используются следующие методы: метод множителей Лагранжа; метод исключения неизвестных; метод штрафных функций. Первые два метода начали применяться при расчёте конструкционных элементов в начале 60-х годов [4]; [21]. Метод же штрафных функций в той или иной форме получил свое развитие практически одновременно с развитием компьютеризированных численных исследований, в процессе которых ограничения, связанные с учетом жестких вставок, контактного взаимодействия различных элементов конструкций, условий "косого" опирання и др., моделировались путем введения в дискретную механическую модель исследуемого объекта "фиктивных" или "псевдо" элементов. Формальное математическое описания метод штрафных функций получил лишь в середине 70-х годов. За последнее десятилетие появились несколько новых методов, по-существу, являющихся модификациями ранее названных. К этим методам можно отнести метод прямого наложения ограничений, метод редуцирования матрицы жесткости и др., описание которых можно найти в работах Шефарда (M.S.Shephard) [111], Уэбба (J.P.Webb) [116], Шрейера (H.L.Schreyer) и Парсонса (D.A.Parsons) [110]. 2Одноузловые (single-point) ограничения-равенства вида U\ — U\, где U\ — вектор перемещения і-го узла, U\ — заданное значение перемещения,типичным примером которых являются условия Дирихле, могут быть учтены с помощью простой перестановки строк и столбцов с сохранением размерности исходной матрицы жесткости либо с помощью процедуры Пейна-Айронса (частного случая метода штрафных функций). Рассматривается квадратичный функционал полной потенциальной энергии 2 следствием условия стационарности которого является уравнение (1.47). Наряду с функционалом (1.49) рассматривается функционал в который m уравнений системы ограничений-равенств (1.48) включены с помощью m неизвестных множителей Лагранжа, образующих вектор А. Из условия стационарности ункционала (1.50) относительно векторов U и А получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой могут быть определены значения векторов U и А Матрица и векторы полученной системы уравнений имеют размерности (neq + m) х [ntq + гп) и (neq -f- m), соответственно. Данный метод может быть использован для учета как линейных, так и нелинейных форм ограничений.
Однако, он имеет существенный недостаток, заключающийся в увеличении числа неизвестных и тем самым возрастании размерности решаемых систем уравнений. Отмеченный факт невозможно не принимать во внимание при решении реальных задач механики конструкций с большим числом ограничений. Кроме того, расширенная матрица системы (1.52) вследствие наличия нулей на главной диагонали теряет положительную определенность, что приводит к необходимости применять специальные методы решения систем уравнений с неположительно определенными матрицами. Рассматривается расширенный функционала полной потенциальной энергии системы где о: — диагональная m х m матрица штрафных коэффициентов. С помощью требования выполнения условия стационарности задача (1.47), (1.48) сводится к задаче без ограничений. Компоненты матрицы а. могут быть выбраны безразмерными и одинаковыми для ограничений (1.48), связывающих степени свободы одного типа (например, только перемещения или только углы поворота). В таком случае матрица ограничений записывается в виде где а — скалярная величина; I — единичная m х m матрица. Из условия стационарности (1.54) расширенного функционала (1.53) получаем систему уравнений, аналогичную исходной системе уравнений (1.47), в которой в качестве матрицы жесткости выступает расширенная матрица жесткости а в качестве вектора компонентов узловых сил — расширенный вектор компонентов узловых сил Для ограничений, наложенных на степени свободы одного типа, глобальная расширенная матрица жесткости и глобальный вектор компонентов узловых сил вследствие равенства (1.55) записываются
Запрессовка нескольких круглых шайб в пластину, ограниченную улиткой Паскаля
В качестве модельной для задач о соединении деталей с помощью посадки с натягом была рассмотрена задача о напряженном и деформированном состоянии в сплошном вале и втулке при их соединении посредством напряженной посадки. Полученные в ходе численных исследований результаты сравнивались с экспериментальными значениями радиальных перемещений вала вблизи втулки, опубликованными в работе Ренкина (Rankin) [114]. В своей работе Ренкин приводит результаты измерения радиальных перемещений сплошного вала со свободными незакрепленными торцами диаметра d = 101, 6 мм (4 дюйма) и длины / = 203, 2 мм (8 дюймов) вблизи втулки для двух вариантов ее аксиальных размеров — h\ = 15,875 мм (5/8 дюйма) и hi = 7,9375 мм (5/16 дюйма). Для первой втулки величина диаметрального натяга выбиралась Ai = 0, 2413 мм (9, 5 Ю-3 дюйма), а для второй — Д2 = 0, 21844 мм (8,6 10 3 дюйма). Внешний диаметр насаживаемого диска (втулки) D = 2d = 203, 2 мм (8 дюймов). Материал втулки и вала — сталь, модуль Юнга которой Е — 205, 8 ГПа, коэффициент Пуассона — v — 0, 3. КЭ модель 1/8 части рассматриваемой конструкции с условиями симметрии на соответствующих плоскостях содержала пе = 11901 двадцатиуз-ловой изопараметрический трехмерный конечный элемент и neq = 157329 степени свободы. Контактная зона моделировалась т = 651 парой КЭ узлов. Штрафной параметр выбирался равным а — 1 1010 на основе оценки (1.61) при ет = Ю-16. На рис. 2.5 а) приведено сравнение значений радиальных перемещений — 53 — вала, полученных в процессе КЭ исследований с помощью разработанных алгоритмов, и экспериментальных значений, обозначенных кружками, для двух вариантов аксиальных размеров втулок — 5/8 дюйма и 5/16 дюйма, для которых на рисунке введены обозначения 5/8" и 5/16", соответственно. На рис. 2.5 б) приведено распределение радиальных сжимающих напряжений ог на посадочной поверхности вала для двух вариантов размеров втулки и посадочных диаметральных натягов. Пунктиром представлены значения контактных давлений, полученных при решении задачи о посадке с натягом для бесконечно длинных цилиндра и втулки, выполненных из одного материала. Значения этих напряжений определяются выражением [54] где р = d/D — отношение диаметра посадочной поверхности к внешнему диаметру втулки; 5 = Л/2 — радиальный натяг. В качестве модельной задачи для КЭ моделирования прессовых соединений с помощью метода штрафных функций была рассмотрена за дача об исследовании напряженного и деформированного состояния в пластине, ограниченной улиткой Паскаля, при запрессовке в нее с натягами 6І (г = 1,2,..., п) п круглых шайб радиусов п(г = 1,2,..., п) с центрами в точках оси х с абсциссами Ъ{ (г = 1,2,... ,п).
Для рассматриваемой области, на которую может быть отображен круг с помощью отображающей функции вида решение в общем виде было получено А.Г.Угодчиковым [68] на основе методов, разработанных Н.И.Мусхелишвили [46] и развитых Д.И.Шерманом [77]. В настоящей работе рассмотрены два варианта исследуемой области, описываемой параметрическими уравнениями вида для следующих значений коэффициентов и параметров: R = 1,0 м; I = 0, 36 м (рис. 2.6) На рис. 2.7 представлены КЭ модели исследуемых областей, основные КЭ характеристики которых приведены в таблице 2.1. Материал шайб и пластины — сталь, модуль Юнга которой Е = 196 ГПа, коэффициент Пуассона — v = 0,3. Толщины пластины и шайбы принимались равными 1 Ю-2 м. Рассмотрена задача о плоском напряженном состоянии. Значение штрафного параметра в соответствии с оценкой (1.61) выбиралось равным о; = 1010 при ет = 1(Г16. На рис. 2.8 представлены распределения нормальных напряжений ах, сгу вдоль оси х, возникающих в пластинке. В скобках приведены результаты исследований, полученные А.Г.Угодчиковым [68], значения которых переведены в систему СИ и даны в МПа. Сопоставление результатов численных и аналитических исследований показывает, что погрешность при вычислении значений напряжений с помощью разработанных КЭ алгоритмов не превышает 2%, что говорит о достоверности результатов, получаемых на основе созданного программного обеспечения, которое, как будет показано в следующем параграфе, может быть использовано также и в процессе исследования прессовых соединений с неравномерным натягом. В настоящем параграфе рассматривается задача о напряженном состоянии в соединенных посредством посадки телах, когда натяг является переменным. Исследуются два предельных случая контакта: контакт первого рода и контакт второго рода. Аналитическое решение рассматриваемой задачи было получено А.Г.Угодчиковым [69].
Им представлены значения напряжений в круглой пластине радиуса R = 0,1 м при запрессовке в нее круглой шайбы радиуса г = 0,05 м для трех частных случаев: 1) S = 5Q = const, где 5о = 0,001г; 2) радиальный натяг определяется выражением 5\ = So + 82 cos 20, где S2 = 0, 35(. Контакт между шайбой и пластиной — первого рода; 3) радиальный натяг определяется тем же выражением. Контакт между шайбой и пластиной — второго рода. Материал шайб и пластины — сталь, модуль Юнга которой Е — 196 ГПа, коэффициент Пуассона — v — 0,3. В ходе КЭ исследований использовалась гипотеза о плоском напряженном состоянии пластины и шайбы, толщины которых равны и принимались равными 1 10 2 м. КЭ модель 1/4 рассматриваемой области (рис. 2.9) содержала пе = 1640 восьмиузловых КЭ и neq = 10126 степени свободы. Контактная зона моделировалась 81 парой КЭ узлов. На рис. 2.10 представлены распределения напряжений в пластине, полученные с помощью разработанного программного обеспечения. В скобках указаны напряжения, полученные А.Г. Угодчиковым [69], значения которых переведены в систему СИ и даны в МПа. Штрафной параметр также как в предыдущих параграфах выбирался равным а = 1 1010.
Методика определения эффективных теплофизических характеристик зубцовой зоны бочки ротора
При решении задачи о снятии бандажных колец с роторов турбогенераторов (Глава 4) на основе осесимметричной постановки, эквивалентный цилиндр, моделирующий зубцовую зону бочки ротора, должен иметь температуру зубцов, так как в процессе решения необходимо учитывать тепловое расширение зубцов, препятствующее свободному снятию бандажей. В свою очередь, содержимое паза, как элемент, поглощающий тепловую энергию, влияет на распределение тепловых потоков в зубцовой зоне, но не оказывает силового воздействия на бандажное кольцо (см. предположение 3.1). Поэтому для определения эффективных теплофизических характеристик будем рассматривать реальную структуру зубцовой зоны с учетом всех элементов, заполняющих паз. В данном разделе рассмотрены особенности гомогенизации зубцовой зоны бочки ротора с точки зрения тепловых процессов. Для определения эффективных теплофизических характеристик рассматривается КЭ решение ряда задач о распространении тепла в зубцовой зоне ротора при учете всей структуры содержимого паза. КЭ анализ выполнен с помощью программной системы ANSYS. Краткое описание алгоритмов КЭ решения нелинейных нестационарных задач теплопроводности, на основе которых построено лицензионное программное обеспечение, приведено в Приложении в. Рассмотрим в плоской постановке КЭ решение задачи о нестационарном нагреве ячейки периодичности ротора — области, представляющей собой одно зубцовое деление ротора с учетом всей выкладки паза (рис. 3.2), под действием постоянного теплового потока интенсивности д, поступающего на наружную поверхность зубцовой зоны радиуса i?2- Выделение ячейки периодичности из всей структуры возможно при учете условий периодич ности, которые в данном случае эквивалентны условию теплоизоляции (естественному граничному условию для задач теплопроводности).
Тепло, подводимое в ротор, распределяется некоторым образом между зубцом и элементами, заполняющими паз, и через некоторое время наступает квазистационарный режим, при котором скорость роста температуры всех точек тела постоянна и одинакова. При этом в зубце реализуется практически одномерное (радиальное) распределение теплового потока (рис. 3.13). В [22] указано, что наиболее простым методом определения теплопроводности является исследование области без внутреннего тепловыделения, в которой обеспечено одномерное стационарное распространение теплового потока Р, Вт. Тогда в цилиндрическом теле с радиусами Лі, / и длиной / коэффициент теплопроводности вычисляется следующим образом где Ті и І2 — температура на границах области. Таким образом, определив на основе КЭ решения значения температур ХЇ,Т2, возможно вычислить значение эффективного коэффициента теплопроводности цилиндра в радиальном направлении Эффективный коэффициент теплопроводности в аксиальном направлении определяется по правилу смесей где Ki, Si — коэффициенты теплопроводности и площадь поперечного сечения каждого элемента зубцового деления, соответственно; S = E % — площадь поперечного сечения зубцового деления. где Q — количество тепла, необходимого для нагревания тела массой га на температуру AT за время At.
Таким образом, определим удельную теплоемкость композиции зубцов и содержимого паза на основе решения задачи о нагревании одного зубцового деления ротора турбогенератора постоянным тепловым потоком q, поступающим на внешнюю поверхность ротора в течение времени At. Затем нагрев прекращается и через некоторый промежуток времени тепло в рассматриваемом объеме перераспределяется таким образом, что устанавливается равномерное распределение температуры AT. Зная суммарную массу зубца и элементов га, заполняющих паз, по (3.24) найдем удельную эффективную теплоемкость, учитывая, что Q = qF, где F — площадь поверхности, через которую поступает тепловой поток.
