Введение к работе
Актуальность работы.
Композитные материалы в наше время завоевали большую популярность благодаря своим высоким характеристикам жесткости и прочности. Изначально применявшиеся в аэрокосмической отрасли как жесткие и прочные материалы, обладавшие небольшим весом, постепенно они проникли и в другие сферы промышленности (морская промышленность, строительство, изготовление спортивного инвентаря и т.п.). Помимо меньшего веса, композитные материалы имеют и другие преимущества, такие как: способность выдерживать воздействие агрессивной окружающей среды (например, прямые солнечные лучи, резкие перепады температур), надежность, ремонтопригодность и стоимость эксплуатационного периода.
Табл. 1. Преимущество композитных материалов в сравнении с монолитными плитами (на примере сэндвич-панелей).
Одним из самых распространенных композитных материалов являются т.н. сэндвич-панели состоящие из
-
пары тонких, но жестких и прочных лицевых поверхностей;
-
толстого, но легковесного заполнителя, разделяющего лицевые поверхности и переносящего нагрузки от одной лицевой поверхности к другой;
-
клейкого слоя, позволяющего передавать сдвиговые и осевые нагрузки по направлению к заполнителю и от него.
Такое разделение лицевых поверхностей повышает момент инерции панели, с незначительным увеличением веса. Таким образом, получается структура, способная хорошо выдерживать изгибающие нагрузки (в поперечном и продольном направлении). В таблице 1 представлены жесткость на изгиб и прочность сэндвич-конструкций, иллюстрирующие их преимущества перед монолитными панелями.
Первые работы в области механики структурно-неоднородных сред относятся к 20-м года ХХ века, когда В. Фойгт и А. Рейсс предложили вычислять соответственно модули упругости и податливости микронеоднородных материалов по правилу механического смешивания. Одними из наиболее известных работ в этой области являются работы З. Хашина, С. Штрикмана, Б. Розена, Р. Хилла и д.р.
.
Рис.1. Типичная сэндвич-панель с двумя лицевыми поверхностями и сотовым заполнителем.
Существующие виды экспериментов и виды расчетов, призванных определить величину деформации панели с заполнителем, наряду с достоинствами не лишены и определенных недостатков. К примеру, в случае натурных экспериментов исследователи сталкиваются с особыми требованиями к проведению экспериментов (например, в случае исследования устойчивости панелей с заполнителем к взрывным нагрузкам нужно соблюдать четкие правила техники безопасности, нужен полигон, пригодный для взрывных работ и т.д.); способы, принятые в механике композиционных материалов (например, системы уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами) имеют определенную сложность; или, в случае конечно-элементного анализа, требуют весьма дорогостоящих программных продуктов.
Рис. 2. Конечно-элементная модель панели с сотовым заполнителем. Эксперимент на устойчивость сэндвич-панелей к взрывным нагрузкам, проведенный сотрудниками Университета Вирджинии и Гарвардского университета. В натурных экспериментах использовались заряды различной мощности – 1, 2, 3 кг тротила, устновленные на расстоянии 10 см
a- импульс 21,5 кПа, b – 28,4 кПа, c – 33,7 кПа
Таким образом, математическое моделирование деформаций панелей с заполнителем представляют существенный интерес для исследователей. Такие исследования с точки зрения механики композитов проводятся с помощью уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами, характеризующими отдельные компоненты композиционной структуры. Такой подход существенно затрудняет решение возникающих при проектировании задач. С 70-х годов ХХ века для композитов регулярной структуры используется асимптотический метод осреднения, при использовании которого быстро изменяющиеся коэффициента предстают в виде периодических функций.
В случае, если для решения поставленной в ходе разработки конструкции задачи не требуется детального рассмотрения процессов, происходящих в панели с заполнителем, а достаточно указать в каких случаях произойдет разрушение материала, из которого изготовлена сэндвич-конструкция, то применение более простых способов оценки величины деформации, основанных на геометрических методах, является более оправданным. Например, если при проектировании конструкций с сотовым заполнителем возникает необходимость придать панели какую-либо специфическую форму (например, требуется прикрепить панель к какой-либо поверхности), то необходимо иметь возможность оценить величину деформации еще на этапе проектирования. Таким образом, представляет интерес использовать аппарат дифференциальной геометрии для вычисления экстремальных значений отношения метрических форм («исходной» поверхности, т.е. поверхности до манипуляций и «деформированной» поверхности), по которым можно судить о величине деформации панели и о возможных разрушениях. Даже если невозможно обойтись без дорогостоящих натурных испытаний, предварительный анализ методами моделирования позволит сузить поле эксперимента, что приведет к экономии ресурсов.
Цель работы: создание математической модели деформации, позволяющей в рамках дифференциальной геометрии решать ряд задач, традиционно решаемых в механике деформируемого твердого тела.
Для достижения данной цели были поставлены следующие основные задачи исследования:
-
Построение математической модели панели с сотовым заполнителем.
-
Разработка математического аппарата, позволяющего рассматривать процесс деформации панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.
-
Установка связи между объектами механики деформируемого твердого тела и объектами предложенной математической модели, подтверждающей адекватность предложенной модели.
Научная новизна заключается в следующем:
-
Применена модель сотовой панели на основе пары поверхностей, соответствующие точки которых соединены отрезками одинаковой длины, нормальными для обеих поверхностей. В отличие от теории деформируемого твердого тела и от механики сплошной среды мы в основу модели кладем пару ограничивающих поверхностей со специфическим точечным их соответствием.
-
Для описания геометрических свойств модели применены, кроме экстремалей отношений метрических форм, совместные кривизны и их экстремали.
-
Применены направления экстремальных отношений метрических форм.
-
Для предложенной модели деформации панели с сотовым заполнителем построен тензор деформаций.
Теоретическая значимость состоит
-
В сформулированных новых инвариантах теории поверхностей – т.н. «совместных кривизнах».
-
В способе задания и применения поточечного соответствия поверхностей.
-
В построенном для модели панели тензоре деформаций.
Практическая значимость
Модель, построенная в работе, и реализованная в Maple-программах, позволяет оценивать изменения, происходящие в обеих ограничивающих поверхностях панели с сотовым заполнителем.
Обоснованность научных положений и выводов, сделанных в диссертационной работе, следует из адекватности и непротиворечивости используемого математического аппарата.
На защиту выносятся следующие положения.
-
Геометрическая модель панели с сотовым заполнителем.
-
Математический аппарат, позволяющий рассматривать процесс деформирования панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.
-
Построенный в ходе работы тензор деформаций, характеризующий изменение формы модели панели с сотовым заполнителем.
Личный вклад автора Диссертационная работа и все результаты, полученные в ходе работы, выполнена и получена при непосредственном участии автора на всех этапах.
Основные результаты диссертации доложены соискателем на следующих конференциях:
III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики-2012». (Томск, 23-25 апреля 2012 года), XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов»-2011. (Москва, МГУ, 11-15 апреля 2011 года), Объединенный семинар кафедры геометрии ММФ ТГУ и отдела математической физики НИИПММ ТГУ, (Томск, 16 октября 2013 года), Семинар механико-математического факультета КемГУ. (Кемерово, 6 ноября 2013 года).
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 2 печатные работы, опубликованные журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и 1 приложения, общий объем работы –155 страниц. Работа содержит 3 таблицы и 37 рисунков. Список цитируемой литературы включает в себя 154 наименования.
