Содержание к диссертации
Введение
1. Продольные колебания цилиндрической оболочки посто янной толщины, взаимодействующей с деформируемой средой 10
1.1. Общая постановка задачи 10
1.2. Уравнения продольно-радиальных колебаний круглых вязкоупругих цилиндрических оболочек постоянной толщины, находящихся в вязкоупругой среде 15
1.2.1. Метод вывода уравнений колебаний цилиндрических оболочек 15
1.2.2. Вывод общих уравнений колебаний цилиндрической вязкоупругой оболочки и вязкоупругой окружающей среды 20
1.2.3. Представление системы уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки в виде различных уравнений относительно искомых функций 31
1.2.4. Частные виды уравнений продольно-радиальных колебанийцилиндрической оболочки 33
1) Предельные случаи 33
2) Приближенное уравнение колебаний 35
1.2.5. Исследование приближенных уравнений продольнорадиальных колебаний цилиндрической оболочки 40
1.2.6. Граничные условия на торце круглой цилиндрической оболочки 42
2. Исследование пределов применимости приближенных уравнений продольных колебаний цилиндрической оболочки 47
2.1. Область применимости усеченных уравнений колебаний цилиндрической оболочки 47
3. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки 55
3.1. Задача о собственных продольно- радиальных колебаниях цилиндрической свободно опертой по торцам оболочки 55
4. Неустановившиеся продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки 66
4.1. Нормальный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки 66
Заключение 88
- Уравнения продольно-радиальных колебаний круглых вязкоупругих цилиндрических оболочек постоянной толщины, находящихся в вязкоупругой среде
- Представление системы уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки в виде различных уравнений относительно искомых функций
- Область применимости усеченных уравнений колебаний цилиндрической оболочки
- Нормальный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки
Введение к работе
Развитие различных областей современного естествознания и запросы инженерной практики постоянно выдвигает новые теоретические и прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. К таким задачам относятся задачи совершенствования моделей нестационарного поведения материалов с учетом анизотропных, вязкоупругих и других свойств. Разработка методов эффективного определения деформативных и прочностных характеристик материалов как в рамках известных и классических, так и в рамках усовершенствованных моделей в условиях взаимодействия с окружающей средой и действия внешних динамических нагрузок.
Решению этих задач посвящено большое количество исследований.
Основные идеи и подходы в развитии моделей и методов для описания нестационарных процессов деформации элементов инженерных конструкций принадлежат В.В. Новожилову, И.В. Кильчевскому, Х.А. Рахматуллину, Л.И. Седову, В.З. Власову, А.А. Ильюшину, Б.И.Победри, А.Р., Б.Г. Кореневу, И.Г. Филиппову, О.А. Егорычеву, Ю.Н. Работнову, В.Д. Кубенко, Э.И. Гри-голюку, А.Г. Горшкову, СП. Тимошенко и другим ученым.
Фундаментальные исследования, связанные с проблемами стационарного и нестационарного поведения сплошных сред, содержатся в работах Н.А. Алумяэ, С.А. Амбарцумяна, Н.К. Арутюняна, В.В. Болотина, И.Н. Ве-куа, Г.С. Варданяна, А.С. Вольмира, А.Л. Гольденвейзера, И.Т. Селезова, А.Н. Гузя, В.М. Даревского, М.А. Ильгамова, И.А. Кийко, Н.Н. Леонтьева, С.Г. Лехницкого, Х.М. Муштари, У.К. Нигули, Г.И. Пшеничного, А.Я. Са-гоманяна, Л.И. Слепяна, Я.С. Уфлянца, Г.И. Хесин и других.
Распространение нестационарных волн в упругих и вязкоупругих средах, а также вопросы колебаний стержней, пластин и оболочек изучались Ю.Н. Бабичем, А.Е. Богдановичем, В.Т. Гринченко, О.А. Егорычевым, С.С. Кохманюком, Г.И. Петрашенем, Э.В. Хиненом, И.Т. Селезовым, И. Мирски и другими.
Следует отметить, что достаточно полный обзор работ, опубликованных до 1972 г. и посвященных колебаниям стержней, пластин и оболочек приведены в обзорной монографии Э.И. Григолюка и И.Т. Селезова [22].
Изучению напряженно-деформируемого состояния элементов различных инженерных конструкций, вызванного в результате неизотермических процессов, посвящено большое количество отечественных и зарубежных исследований. К ним относятся работы В.И. Андреева, А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри, Л.П. Хорошуна, А.В. Лыкова, В. Новацкого, М.А. Био, P.M. Кри-стенсена, П.М. Нахди, С.К. Гюнтера и других.
Среди различных подходов к решению задач динамики упругих и вяз-коупругих стержней, пластин и оболочек особое место занимают исследования динамического поведения этих систем на основе приближенных уравнений колебаний.
Известные классические уравнения удовлетворительно описывают процессы с наиболее низкочастотными колебаниями и оказались недостаточными при более высокочастотных колебательных процессах и практически не пригодными при действии кратковременных динамических нагрузок.
Поэтому предпринимались попытки уточнения уравнений колебаний. Одни из первых попыток принадлежат Л. Похгаммеру, С. Кри, Д.В. Релею и СП. Тимошенко.
В дальнейшем, уточнением классической теории колебаний различных конструкций занимались многие авторы. В их числе Л.Г. Доннел, У.К. Ни-гуль, В.И. Утешева, Я.С. Уфлянд, Е.Б. Оменицкая, А.С. Архипов, Ж.. Брид, Е.Н., Г.В. Морган, И. Мирски и другие.
В большинстве работ указанных авторов приближенные уравнения получены, исходя из предпосылок и гипотез механического и геометрического характера.
Ряд работ посвящен критическому анализу применяемых гипотез. Так, например, в работе В.В. Новожилова и P.M. Финкельштейна указано, что ги- потезы Кирхгофа - Лява в теории оболочек приводят к значительным погрешностям и даны оценки этим погрешностям.
Теории колебаний, основанные на модели СП. Тимошенко, также основаны на ряде гипотез, хотя приближенные уравнения относятся к уравнениям гиперболического типа и учитывают деформацию сдвига и инерцию вращения.
Таким образом, анализ литературы показывает, что теория колебаний упругих и вязкоупругих цилиндрических оболочек обоснована не полностью, а с учетом уточняющих.факторов механического и геометрического характера, а также учета внешней окружающей среды, развита слабо. Поэтому дальнейшее развитие приближенных, строго обоснованных теорий колебаний является актуальной.
Основным вопросом в теории колебаний вязкоупругих цилиндрических оболочек, находящихся в вязкоупругой среде, является математически обоснованная постановка краевой задачи: вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний, формулировка граничных условий на торце цилиндра и обоснование необходимого числа начальных условий без привлечения каких-либо гипотез механического и геометрического характера.
Для вывода общих уравнений колебаний в работе опирались на теорию построений уравнений колебаний, основанную на математическом подходе, который наибольшее развитие получил в работах И.Г. Филиппова [89] (1988 г.) и его учеников. Этот подход, подробно изложенный в первой главе, отличает относительная свобода от большинства предварительных гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.
Данная диссертационная работа посвящена выводу общих уравнений о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, получению приближенных,
7 имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний цилиндрической оболочки и решение частных задач.
Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
Выведены общие уравнения продольных колебаний вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде;
Сформулированы приближенные уравнения продольных колебаний цилиндрической оболочки и определена область их применения;
Решена задача о собственных продольных колебаниях;
Решена задача о вынужденных продольно-радиальных колебаниях вязкоупругой цилиндрической оболочки;
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения полученных общих и приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Во введении обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится обзор имеющихся в литературе результатов по построению теории продольных колебаний цилиндрической оболочки. Сформулированы
8 главные вопросы, решение которых приводится в работе, а также основные положения, составляющие новизну результатов и их достоверность.
В первой главе дается общая постановка задачи продольно-радиальных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, выводятся общие уравнения продольно-радиальных колебаний с применением интегральных преобразований по координате и времени с использованием общих решений в преобразованных трехмерных динамических задачах линейной теории вязкоупругости с последующим привлечением известных, стандартных разложений функций Бесселя в степенные ряды, через которые выражаются составляющие тензора напряжений и вектора перемещений. Из общих уравнений в первой главе получены приближенные уравнения колебаний цилиндрической оболочки с учетом окружающей среды для решения прикладных задач и заданы граничные условия на торце круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки.
Вторая глава посвящена определению области применимости простейших приближенных усеченных уравнений колебаний и исследованию пределов применимости уравнений различных порядков.
В третьей главе рассматривается задача о собственных продольно-радиальных колебаниях цилиндрической свободно опертой по торцам оболочки (поверхность оболочки свободна от нагрузок), используя уравнения, полученные в первой главе, и приводится точный расчет собственных продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки в случае отсутствия окружающей среды.
В четвертой главе решается задача о распространении волн в упругих и вязкоупругих круглых цилиндрических оболочках на основе приближенных уравнений, полученных в предыдущих главах диссертационной работы, рассматривается переходный процесс деформации круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки постоянной толщины, возбужденный нагрузкой, действующей на торец и приводится пример численного расчета напряженно-деформированного состояния оболочки для заданного момента времени и
9 материала с конкретными физическими характеристиками, приведены графики.
Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освящены в пяти статьях. Результаты работы докладывались на третьей научно-практической и учебно-методической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве" МГСУ в 2003 г. и на российско-польских семинарах "Теоретические основы строительства" в 2004 и 2005 гг.
Диссертационная работа выполнялась согласно программе под руководством д.т.н., профессора Егорычева О.А. на кафедре Высшей математики МГСУ.
Работа изложена на 99 страницах, в том числе включает 8 рисунков.
Уравнения продольно-радиальных колебаний круглых вязкоупругих цилиндрических оболочек постоянной толщины, находящихся в вязкоупругой среде
Метод вывода уравнений колебаний, основанный на динамической теории упругости, разделяется на несколько направлений. К первому из них можно отнести методы, которые основаны на использовании вариационных принципов в динамике [66]. Ко второму направлению относятся методы, основанные на разложении составляющих поля упругих смещений в ряды, в том числе и в степенные ряды. Существенное развитие метод получил в работах российских ученых. На основе этого метода В.В. Власов разработал метод начальных функций [17], применительно к обол очечным системам. Строгое математическое обоснование метода разложения упругих смещений в степенные ряды, на примере динамической задачи о силе в случае плоской деформации, дал Г.И. Петрашень [68]. К третьему направлению относится метод использования общих решений в преобразованных трехмерных задачах динамической теории упругости. Существенное развитие и успешное применение к задачам динамики этот метод получил в работе И.Г. Филиппова [88] и его последователей, в которых выведены общие уравнения колебаний стержней, пластин и оболочек с учетом различных реологических, анизотропных, температурных, неоднородных и других свойств материалов, а также с изменяемой геометрией сечений, переменности жесткости и других факторов. Метод выводимых в диссертационной работе уравнений колебаний цилиндрической оболочки основан на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трехмерных динамических задачах линейной теории вязкоупругости с последующим привлечением известных, стандартных разложений функций Бесселя в степенные ряды, через которые выражаются составляющие тензора напряжений и вектора перемещений [88], т.е. он относится к ранее перечисленной третьей группе методов вывода уравнений колебаний. Для вывода уравнений колебаний внешние воздействующие напряжения frm (z,t),fn {z,t) и fro (z,t) рассматриваются в классе функций, представленных в виде: где (/) - разомкнутый контур в плоскости р , прилегающий справа к участку (-ia 0,ico0) мнимой оси. Кроме того, функции fr »/„ /?$ пренебрежимо малы вне области 0 к к0, 1тр а 0 , что необходимо при выводе уравнений колебаний оболочки. Аналогично потенциалы т т (i = 1,2) Форма представления (1.2.1), при указанных выше предположениях, позволяет строго дифференцировать функции по координатам г ,z и по времени t под знаком интеграла, менять порядок интегрирования и суммирования.
Рассмотрим осесимметричные колебания оболочки, в этом случае величины напряжений и смещений не зависят от угла в и формулы (1.1.8) и (1.1.9) упрощаются, а оператор Лапласа примет вид: Представим U;m и t/z в виде (1.1.7) . Тогда преобразованные смеще ния учетом (1.2.12) выражаются через модифицированные функции Бесселя. Используя стандартные разложения функций /, и ЛГ, (/ = 0,1) в степенные ряды по степени радиальной координаты г в формулах для преобразованных смещений точек оболочки, т.е. для функций Uy YLU{Z получим их выражения в виде бесконечных сумм: При классическом исследовании колебания цилиндрических оболочек за искомые неизвестные величины принимаются смещения точек срединной поверхности оболочки. Однако, во-первых, такой выбор не единственен, а во-вторых, является не самым удобным для практических расчетов, часто требуется знать смещения на поверхности самой оболочки или цилиндрической поверхности, не совпадающей со срединной поверхностью. Из выражений (1.2.18) видно, что операторы Щ и Щ после обращения определяют реакцию окружающей среды на продольно-радиальные колебания оболочки. Отсюда заключаем, что при продольно-радиальных колебаниях оболочки реакция окружающей среды состоит из двух составляющих. Одна из этих составляющих - (оригинал оператора-изображения Ri ) является реакцией среды на радиальные смещения оболочки, а другая R2 - является реакцией среды на действие внешнего касательного напряже- Система уравнений (1.2.19) в соответствии с видами операторов (1.2.20) является системой общих уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической круговой вязкоупругой оболочки конечной толщины, находящейся в вязкоупругой деформируемой среде, содержащей производные функций любого порядка по координате z и времени /. Решение системы уравнений (1.2.19) затруднено, т.к. в каждое уравнение системы входят все искомые функции. Для получения раздельных уравнений для каждой искомой функции, воспользуемся известным методом. В силу мнимости интегро-дифференциальных операторов djX,ti2,eyi (і = 1,2, j = 1...4) для получения раздельных уравнений относительно функций Vr,o К,о К,\ КТ применим способ Крамера к системе уравнений (1.2.26). Тем самым мы показали, что систему четырех уравнений можно привести к более простому виду, обеспечив при этом единственность приведения. Частные виды уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки. Полученные ранее уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде (1.2.19) являются общими уравнениями.
Из них следуют предельные случаи и частные виды уравнений колебаний, которые часто применяются для решения прикладных задач. 1) Предельные случаи. а) Уравнение продольных колебаний стержня, находящегося в деформируемой среде. Если в уравнении (1.2.19) положить гх =0; fr (z,i)=fn =0, то получим систему двух уравнений для стержня в среде относительно главных частей сме- Уравнение (1.2.30) совпадает с уравнением продольных колебаний круглого вязкоупругого стержня, находящегося в вязкоупругой среде, полученными в работе [89], а в случае отсутствия окружающей среды - с уравнениями, полученными в работе [57]. Для упругого стержня при отсутствии окружающей среды получим классическое уравнение продольных колебаний упругого стержня [77]. Вязкоупругая цилиндрическая тонкая оболочка. Положив гг =гх{\ + є), где є 0 - малый параметр, из системы (1.2.19) получаем уравнение продольных колебаний круговой цилиндрической тонкостенной оболочки, находящейся в вязкоупругой среде. В этом случае следует считать, что ln-j -» 0, так как по принятой классификации [69] цилиндрическая оболочка считается тонкой, если толщина h ее стенок меньше 0.1 части радиуса срединной поверхности, т.е. — О,1, где h - толщина стенки. В том случае, когда является радиусом срединной поверхности оболочки, постоянная х из (1-2.14) должно принимать значение а толщина стенки оболочки h равна г,є . Тогда откуда є —, т.е. фактически малый параметр є можно считать меньшим, чем 0.1, так в выражении (1.2.32) знаменатель уменьшен на величину Таким образом, для т]Хп{г.) и Лг,пігі) получим формулы: Формулы (1.2.33) существенно упрощают систему (1.2.19) и выражения смещений и напряжений. Система (1.2.19) является общим уравнением продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, относительно главных частей перемещений v,o У промежуточной поверхности, определяемой радиусом . В соответствии с формулами для операторов (1.2.20), система уравнений (1.2.19) имеет бесконечно высокий порядок производных, что делает ее мало пригодной для решения прикладных задач. Поэтому вместо этой системы применяются приближенные уравнения, содержащие конечный порядок производных, описывающих волновой процесс в оболочке, т.е. эти уравнения должны относиться к уравнениям гиперболического типа. Рассмотрим простейшее приближенное уравнение, получающееся из общих (1.2.19), когда п = 0, т.е. в уравнениях возьмем только первые слагаемые, тогда из соотношений (1.2.20) имеем.
Представление системы уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки в виде различных уравнений относительно искомых функций
Положив гг =гх{\ + є), где є 0 - малый параметр, из системы (1.2.19) получаем уравнение продольных колебаний круговой цилиндрической тонкостенной оболочки, находящейся в вязкоупругой среде. В этом случае следует считать, что ln-j -» 0, так как по принятой классификации [69] цилиндрическая оболочка считается тонкой, если толщина h ее стенок меньше 0.1 части радиуса срединной поверхности, т.е. — О,1, где h - толщина стенки. В том случае, когда является радиусом срединной поверхности оболочки, постоянная х из (1-2.14) должно принимать значение а толщина стенки оболочки h равна г,є . Тогда откуда є —, т.е. фактически малый параметр є можно считать меньшим, чем 0.1, так в выражении (1.2.32) знаменатель уменьшен на величину Таким образом, для т]Хп{г.) и Лг,пігі) получим формулы: Формулы (1.2.33) существенно упрощают систему (1.2.19) и выражения смещений и напряжений. Система (1.2.19) является общим уравнением продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, относительно главных частей перемещений v,o У промежуточной поверхности, определяемой радиусом . В соответствии с формулами для операторов (1.2.20), система уравнений (1.2.19) имеет бесконечно высокий порядок производных, что делает ее мало пригодной для решения прикладных задач. Поэтому вместо этой системы применяются приближенные уравнения, содержащие конечный порядок производных, описывающих волновой процесс в оболочке, т.е. эти уравнения должны относиться к уравнениям гиперболического типа. Рассмотрим простейшее приближенное уравнение, получающееся из общих (1.2.19), когда п = 0, т.е. в уравнениях возьмем только первые слагаемые, тогда из соотношений (1.2.20) имеем: Таким образом, при отсутствии окружающей среды главные части V и V Q радиального и продольного смещений промежуточной поверхности оболочки удовлетворяют одному уравнению шестого порядка с различными правыми частями и если граничные поверхности оболочки свободны от нагрузки, то это уравнение распадается на два уравнения, соответствующих стержневой теории и уточненной теории продольных колебаний.
Две другие главные части V x и удовлетворяют уравнению изгибных колебаний независимо от того, нагрК,;1 ужены ли граничные поверхности оболочки или нет. Используя соотношения (1.2.23) и (1.2.24) при простейшем приближении (п = 0), формулы для перемещений и напряжений примут вид Общие и приближенные уравнения продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки с учетом окружающей среды выведены в предыдущих разделах и представлены выражениями (1.2.19),(1.2.35),(1.2.47). Рассмотрим случай, когда материал оболочки упругий и окружающая среда отсутствует. В этом случае система приближенных уравнений (1.2.35) имеет вид: Полученные уравнения (1.2.48)являются более общими по сравнению с уравнениями (1.2.49) и (1.2.50), т.к уравнения (1.2.48) получены из общего решения трехмерной задачи и не содержат поправочных коэффициентов типа к, определение которых также вызывает определенные трудности. Уравнения (1.2.49) и (1.2.50) можно получить из уравнений (1.2.48), отбрасывая в последних те или иные слагаемые. Следует отметить, что полученная ранее аппроксимация перемещений (1.2.45): является более общей, чем в приведенных выше приближенных уравнениях. 1.2.6. Граничные условия на торце круглой цилиндрической оболочки. Известно, что для корректной постановки решения краевых задач уравнений математической физики необходимо иметь определяющие уравнения и соответствующие данной задаче граничные и начальные условия. Поэтому при исследовании напряженно - деформируемого состояния круглой цилиндрической вязкоупругой оболочки, испытывающей продольно-радиальные колебания, важным аспектом является строгая постановка соответствующей краевой задачи, т.е. обоснованная формулировка граничных и начальных условий. Для вывода различных граничных условий при тех или иных условиях закрепления торца оболочки будем использовать полученные ранее выражения для перемещений и напряжений от искомых функций (1.2.45) и (1.2.46), т е. получим вид граничных условий, которые можно использовать только при решении приближенных уравнений (п = 0) (1.2.35). Пусть цилиндрическая оболочка ограничена, имеет длину /. Если в качестве сечения z = z0 принять точки z = 0 и Z = /,TO граничные условия, например, на торце z = 0, рассматривая оболочку как трехмерное тело, имеют вид: а) свободный торец б) идеально закрепленный торец в) нагруженный торец г) жестко закрепленный торец д) свободное опирание на торце Исходя из приближенных уравнений (1.2.45) и (1.2.46) для перемещений и напряжений, условие (1.2.52) для неизвестных V m ,V2J приводит к граничным условиям.
Область применимости усеченных уравнений колебаний цилиндрической оболочки
В предыдущей главе рассматривались общие уравнения продольных колебаний цилиндрической оболочки с учетом окружающей среды и различные их приближения. Эти различные приближения имеют различные порядки по производным, и вопрос об области их применимости оставался открытым. Данная глава посвящена определению области применимости простейших приближенных усеченных уравнений колебаний, исследованию пределов применимости уравнений различных порядков. Общие уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, содержат производные любого порядка от главных частей перемещений промежуточной поверхности оболочки по продольной координате Z и по времени t. Поэтому, естественно, что их нельзя использовать при решении прикладных задач в виде (1.2.18), да если бы даже была возможность, то, в конечном счете, для практики не требуется определение частей в сотни и тысячи раз превышающие частоты, полученные при решении уравнений четвертого порядка. Отсюда возникает необходимость ограничить количество членов рядов, т.е. ограничиться нулевым, первым, вторым и т.д. конечным приближением. Для правомерности таких усечений следует проверить сходимость функциональных рядов, входящих в эти уравнения. Не умоляя общности и для простоты выкладок можно предположить, что окружающая вязкоупругая среда отсутствует. Областью применимости уравнений (1.2.18) в усеченных вариантах является общая часть (пересечение) областей сходимости следующих функциональных рядов: При получении рядов (2.1.1) в соотношениях (1.2.19) была произведена замена = , это сделать возможно т.к. всегда Х2 Х , а следовательно определив интервал сходимости рядов (2.1.і), мы тем самым охватим и сходимость рядов с выражением Х\. В дальнейшем, учитывая, что г2 будем исследовать только сходимости рядов Г12,Г22,Гз2,Г42. Кроме того, полагаем, что /2( ) = 0 при 0. Тогда вязкоупругий оператор MQ можно использовать в виде: Для упругого случая //(со) = 0 из (2.1.16) получаем область применимости усеченных уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки из упругого материала: где Ъ = \— - скорость поперечной волны. VA) Если учесть условие 0 //(со ) 1, то сравнение соотношений (2.1.1 б) и (2.1.18) показывает, что область применимости приближенных уравнений колебаний цилиндрической упругой оболочки меньше, чем у аналогичных уравнений для вязкоупругой оболочки.
В плоскости (к,(О) неравенство (2.1.18) является равносторонними гиперболами, пересекающими оси координат в точках (к0,0) и (0,со0)- Следовательно, используя общие уравнения колебаний (1.2.18), областью применимости усеченных уравнений будет криволинейный четырех- угольник в первом квадрате прямоугольной координатной системы (Лг,Со) рис.2. Из рисунка следует, что областью применимости уравнений колебаний (l .2.18) является внутренняя часть криволинейного четырехугольника. Области применимости усеченных уравнений колебаний геометрически представляют собой квадрат, вписанный в криволинейный квадрат и изображенный на рис. 2. Площадь квадрата зависит от длины его стороны, а значит, зависит от значения п. Давая п различные значения, из общих уравнений (1.2.18) получим усеченные уравнения различного порядка. Так, если п = 0, то получим простейшее усеченное уравнение колебаний четвертого порядка, при п = 1 - уравнение шестого порядка и т.д. При п — оо придем к общему уравнению (1.2.18). Каждому конечному уравнению колебаний цилиндрической оболочки будет соответствовать конечная, вполне определенная площадь квадрата и чем выше порядок уравнения, тем более приближается площадь квадрата к своему максимальному значению. Однако, вполне ясно, что для решения практических задач мы будем пользоваться, в основном, усеченными уравнениями при п = О или п = 1, т.е. такими уравнениями, которые не учитывают высокочастотные колебания. Мы будем рассматривать волны, длина которых существенно больше длины наибольшего диаметра оболочки / 2г2. Следовательно, используя такие уравнения, мы не сможем решать задачи, когда на оболочку действует сосредоточенная нагрузка. Однако для низкочастотных процессов, что наиболее характерно для строительных конструкций, усеченные уравнения достаточно полно, без использования каких-либо гипотез механики, описывают действительный процесс продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки.
Расчет собственных колебаний тонкостенных оболочек опубликован во многих работах известных ученых: А. Лява, Д.В. Релея, А.Л. Гольденвейзера, Ю.Н. Новичкова, А.П.Филиппова и других. В данной работе рассмотрим задачу о собственных продольно- радиальных колебаниях цилиндрической свободно опертой по торцам оболочки. В этом случае поверхность оболочки свободна от нагрузок При решении задачи будем пользоваться вновь полученными уравнениями (1.2.35), которые после перехода к безразмерным координатам по формулам: В дальнейшем над переменными опустим и с учетом отсутствия внешних усилий, а также в случае упругой оболочки, находящейся в упругой среде, имеем: Рассмотрим решение частной задачи о распространении волн в упругих и вязкоупругих круглых цилиндрических оболочках на основе приближенных уравнений, полученных в предыдущих главах диссертационной работы. Рассмотрим переходный процесс деформации круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки постоянной толщины, возбужденный нагрузкой, действующей на торец. Как правило, решение задач о переходных процессах в пластинах, стержнях и оболочках производится на основе приближенных уравнений колебаний. Анализ применимости приближенных уравнений колебаний при переходных процессах деформации круглых цилиндрических упругих оболочек приведен в работе [61], где утверждается, что приближенные теории имеют широкую область практической применимости. Различные приближенные теории колебаний пластин и оболочек, анализ их применимости при решении различных задач волновой динамики, включая переходные процессы деформации, приведены в работах [24,92]. Имеется ряд работ, в которых решение задача о переходном процессе деформации в цилиндрической оболочке получены с привлечением различных приближенных теорий. Исследование осесимметричной деформации, вызванной торцевой нагрузкой, проведено на основе безмоментной теории в случае полубесконечной оболочки в работе [103], а в случае оболочки конечной длины - в работе [59]. Решению нестационарной задачи о нормальном ударе по упругому цилиндру конечной длины с закрепленным правым тор- цом посвящена работа [45]. Применение теории Германа-Мирски [103] для анализа переходных процессов деформации круглых цилиндрических оболочек посвящена работа [2]. Исследования вынужденных продольных колебаний круговой полубесконечной цилиндрической вязкоупругой оболочки, когда на торце задан импульс продольной нагрузки выполнен в работе [40]. Для решения задачи, за основные разрешающие уравнения примем приближенные уравнения осесимметричных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки (1,2,35), (1,2,38), учитывающие деформацию продольно- поперечного сдвига и инерции вращения, являющиеся более общими, чем уравнения Тимошенко и Германа-Мирски.
Нормальный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки
Таким образом, определены все вспомогательные функции r.o r.i» г,0 z,b используя которые в равенствах (4.1.4) определим напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки, т.е. получено окончательное решение поставленной задачи. Рассмотрим пример численного расчета по формулам (4.1.4) и (4.1.28) для момента безразмерного времени tx =10 и материала оболочки со следующими характеристиками: /2=1 г» При этом внешняя нагрузка задана в виде единичной функции Хевисайда, Из приведенных графиков на рис.5 и рис.6, где U2 и Ur -перемещения точек срединной поверхности оболочки, видно, что предполагаемая теория дает удовлетворительные результаты почти во всех точках области, где она определена, ze. (0,V2 + 2v) , за исключением точек оболочки, находящихся в непосредственной близости от торца, подвергнутого внешнему воздействию, так как в этих точках краевые эффекты Сен-Венана проявляются наиболее сильно, что существенным образом влияет на распределение по длине оболочки влияния вязкости. Так на начальном участке за счет малого времени пробегания волны, вязкость практически не реагирует и тело ведет и тело себя как упругое, а далее на расстоянии более двух радиусов срединной поверхности оболочки процесс продольного деформирования характеризуется плавным уменьшением значения U2. Следовательно на этом участке влияние вязкости значительно. Радиальное перемещение также быстро затухает с увеличением расстояния от торца и для значений z 5 оно практически не меняется, т.е. в дальнейшем им можно пренебречь. Рассмотрим случай, когда на торец оболочки воздействует достаточно гладкая нагрузка вида Результаты вычислений зависимости радиальных перемещений внутренней - (і), срединной - (2) и внешней (з) поверхности цилиндрической оболочки приведены на рис.7, материал оболочки остается прежним (4.1.29). Точки срединной и внешней поверхности цилиндра перемещаются только в сторону положительных значений радиальной координаты. При этом больше всех деформируется внешняя поверхность и меньше всего внутренняя. Радиальные перемещения всех поверхностей в точках близких к торцу меняются скачкообразно.
При этом выпучивание внутренней поверхности идет во внутреннюю полость оболочки, а затем она начинает деформироваться во внешнюю сторону. Такой эффект по классической теории не обнаруживается, так как в этих теориях радиальное (поперечное) перемещение считается не зависящим от радиальной координаты и, кроме того, допускается, что Уп = 0. Однако подобный эффект (выпучивание во внутреннюю сторону цилиндра) многократно подтверждено экспериментально. Для исследования влияния вязкости на напряжение crzz(r,z,t) вычислим в двух точках по z, по ранее отмеченным формулам (4.1.4), когда внешняя нагрузка задана в виде (4.1.30) и материал тот же. На рис.8 представлены кривые изменения напряжения rzz на разных расстояниях от торца: при этом линия (1) соответствует напряжению в сечении оболочки, находящейся на расстоянии z = 6, а линия (2) - на расстоянии z = 9. Из рисунка видно, что благодаря вязкости амплитуда напряжения затухает сравнительно быстро. Начиная примерно со значения / = 10, она фактически равна нулю. Кроме того, из графика видно, что амплитуда напряжения затухает по мере удаления от торца. Таким образом, предложенная теория имеет достаточно широкую область применения даже в случае внезапно приложенной нагрузки. Если же нагрузка изменяется достаточно гладко, то она позволяет определить напряженно-деформированное состояние оболочки практически во всех ее сечениях. 1. Основой развиваемого в работе математического подхода к исследованию продольно-радиальнгых колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, является концепция рассмотрения цилиндра как трехмерного деформируемого тела, решения трехмерных уравнений динамики такого тела посредством применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа, построения общих решений краевых задач в преобразованиях, разложение напряженно-деформируемого состояния тела по степени радиальной координаты, определение искомых функций из трехмерных граничных условий при заданных внешних нестационарных усилий и напряжений. 2. В работе сформулированы основные краевые задачи продольно-радиальных колебаний вязкоупругой цилиндрической оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, получены общие и приближенные уравнения без привлечения каких-либо дополнительных гипотез и предположений механического и геометрического характера.
Определена область сходимости функциональных рядов и определена область применения приближенных уравнений колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде, т.е. определен радиус сходимости ряда. 4. Исходя из приближенных выражений для напряжений и перемещений получена новая редакция записи граничных условий на торце цилиндра при расчете продольно-радиальных колебаний, которые согласуются с принципами Даламбера в механике и отличаются от имеющихся в научной литературе. 5. При решении частных практических задач показано, что полученные формулы для определения значений частот собственных продольно-радиальных колебаний цилиндра постоянной толщины удобны для практического использования; возможно получение аналитического решения задачи о воздействии нормальной нагрузки на торец цилиндра в виде конечных формул; 6. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области строительной механики, а также могут быть применены в других областях сейсмологии, техники и т.д. Основное содержание работы опубликовано в следующих статьях: І.Егорьічев О.А., Поддаева О.И. Исследование области применимости приближенных уравнений продольно-радиальных колебаний цилиндрической оболочки. Сборник докладов XIII словацко- польского семинара "Теоретические основы строительства", 2004 г. 2.Егорычев О.А., Поддаева О.И. Продольный удар по торцу круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Сборник докладов третьей научно-практической и учебно-методической конференции "Фундаментальные науки в современном строительстве",МГСУ, 2003 г., с.20-24 З.Егорычев О.А., Поддаева О.И. Собственные продольно-радиальные колебания цилиндрической оболочки. Журнал ПГС, 2005 г. 4.Егорычев О.А., Поддаева О.И. Нестационарные продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки, находящейся в вязкоупругой среде. Сборник докладов XIV словацко-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2005 г. 5.Егорычев О.А., Поддаева О.И. Нормальный удар по торцу цилиндрической оболочки. Журнал "Строительная механика и расчет сооружений", № 1, 2005 г.
