Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Устойчивость тонких оболочек вращения, сопряженных по. параллели 18
1.1. Гладкие оболочки вращения 19
1.2. Устойчивость сопряженных по параллели конических оболочек под действием равномерного внешнего давления 22
1.3. Численное интегрирование уравнений устойчивости сопряженных оболочек 39
1.4. Сравнение асимптотических и численных результатов в задаче устойчивости сопряженных конических оболочек 46
Глава 2. Устойчивость сопряженной с кольцом цилиндрической оболочки под действием равномерного внешнего давления 54
2.1. Основные уравнения в задаче устойчивости цилиндрической оболочки, сопряженной с пластиной 55
2.2. Подкрепленная цилиндрическая оболочка. Стержневая модель шпангоута 62
2.3. Граничные условия в задаче об устойчивости цилиндра, сопряженного с пластиной 2.4. Решение краевой задачи нулевого приближения с помощью балочных функций 71
2.5. Численное интегрирование уравнений устойчивости 73
2.6. Сравнение результатов для стержневой модели и модели пластины с численными значениями параметра нагружения 75
Глава 3. Низкочастотные колебания цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми пластинами 80
3.1. Постановка задачи и основные уравнения для цилиндра, подкрепленного одной пластиной 82
3.2. Численное интегрирование уравнений колебаний оболочек 85
3.3. Алгоритм решения краевых задач методом прогонки 88
3.4. Уравнения для нахождения собственных частот колебаний подкрепленной оболочки в случае стержневой модели шпангоута 100
3.5. Результаты асимптотических и численных расчетов 106
3.6. Оптимизация распределения массы подкрепленной оболочки между обшивкой и шпангоутами с целью максимального увеличения первой частоты колебаний 112
Заключение 118
Список литературы
- Устойчивость сопряженных по параллели конических оболочек под действием равномерного внешнего давления
- Сравнение асимптотических и численных результатов в задаче устойчивости сопряженных конических оболочек
- Решение краевой задачи нулевого приближения с помощью балочных функций
- Алгоритм решения краевых задач методом прогонки
Введение к работе
Тонкостенные оболочки широко используются в различных областях современной техники. Образованные из тонких оболочек конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что объясняет широкое применение оболочек в судостроении, авиа- и ракетостроении, химическом машиностроении, в гражданском и промышленном строительстве и многих других отраслях. Расчеты оболочек на устойчивость имеют существенное значение при проектировании надводных и подводных кораблей, летательных аппаратов, тепловозов, трубопроводов, резервуаров, куполов и перекрытий в инженерных сооружениях.
На сегодняшний день теория гладких оболочек является хорошо разработанным разделом механики деформируемого твердого тела. Значительный вклад в фундаментальные исследования в этой области был внесен В. 3. Власовым [15], А. С. Вольмиром [18], А. Л. Гольденвейзером [21], А. И. Лурье [49], X. М. Мушта-ри [61], В. В. Новожиловым [64], создавшими собственные научные школы. Благодаря успехам этих и многих других ученых к настоящему моменту теория оболочек располагает большим количеством различных точных и приближенных методов расчета оболочек.
Тонкостенные оболочки, как правило, редко используются без подкрепляющих элементов, позволяющих ужесточить конструкцию, не увеличивая ее материалоемкости. Из оболочек различного очертания, широко применяемых в качестве несущих элементов конструкций, наиболее распространенными являются ребристые цилиндрические оболочки. Наряду с гладкими и подкрепленными оболочками, в современной технике широко использу-
ются также и сопряженные (составные) оболочки. В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок.
Необходимым элементом исследования динамики конструкции является определение частот и форм малых колебаний. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений критических нагрузок, при достижении которых происходит происходит потеря устойчивости.
Как задачи определения частот и форм колебаний, так и линейные задачи устойчивости оболочек сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Обзоры работ по динамике и устойчивости подкрепленных и сопряженных оболочек содержатся в [5, 7, 9, 13, 42, 43].
Несмотря на большое количество публикаций, посвященных решению задач статики и динамики ребристых и составных оболочек, запросы практики во многом еще не удовлетворены. Это связано с использованием в современных конструкциях новых материалов и усложнением самих конструкций, а также с необходимостью учета все более разнообразных воздействий на них.
При исследовании напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек при статическом и динамическом нагру-жении применяются два подхода, отличающиеся способом учета подкрепляющих оболочку ребер. Первый из них основан на сведении рассматриваемой ребристой оболочки к конструктивно-
ортотропной модели и использовании хорошо развитой теории ор-тотропных оболочек. Жесткостные и инерционные свойства подкрепляющих элементов "размазываются" по поверхности оболочки, которая затем рассматривается как однородная, но наделенная некоторыми новыми свойствами в соответствии с конструктивными особенностями объекта (конструктивная ортотропия) [9, 10, 19]. Введение конструктивной ортотропии дает возможность отвлечься от особенностей силового взаимодействия между ребрами и обшивкой и сильно упростить задачу. Такой подход использован в работах [5, 27, 40, 55-58, 60] и др.
Конструктивно-ортотропная теория позволяет с достаточной точностью находить низшие частоты колебаний и значения критических нагрузок. Однако этот подход не дает возможности выявить выявить ряд важных закономерностей деформирования оболочек, связанных с наличием ребер, в частности наблюдающееся в экспериментах выпучивание обшивки между ребрами при потере устойчивости, и применим только в тех случаях, когда подкрепляющие оболочку ребра расставлены достаточно часто. При этом трудно указать простые и строгие критерии, позволяющие в каждом конкретном случае оценить правомерность равномерного распределения ("размазывания") жесткости ребер.
Более общий подход основан на учете дискретного размещения подкрепляющих оболочку ребер. Основы теории ребристых оболочек с учетом дискретности ребер были заложены в работах В. 3. Власова [16] и А. И. Лурье (доклад "Уравнения равновесия оболочки, подкрепленной ребрами вдоль линий главных кривизн" на семинаре Ленинградского политехнического института 28 октября 1948 г), которые построили уравнения равновесия
продольно подкрепленной цилиндрической оболочки в перемещениях. Ребристую оболочку предложено было рассматривать как конструкцию, состоящую из обшивки и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов (ребер). Принималось, что обшивка и ребра взаимодействуют вдоль линии пересечения осевых (нормальных к срединной поверхности обшивки) сечений ребер и поверхности обшивки, и что перемещения обшивки и ребер вдоль линий контакта равны.
При построении уравнений равновесия ребристых оболочек В. 3. Власов учитывал влияние ребер в виде их реакций, действующих на обшивку, которые затем с помощью уравнений равновесия ребер исключались из уравнений равновесия обшивки. А. И. Лурье для вывода уравнений равновесия использовал принцип возможных перемещений. В этом случае нет необходимости вводить усилия взаимодействия ребер и обшивки и из вариационного уравнения можно получить как уравнения равновесия, так и естественные граничные условия.
В работах, выполненных после 1964 года, для построения уравнений равновесия, как правило применялся метод Лурье [4]. Он использован для вывода уравнений равновесия ребристой цилиндрической оболочки и формулировки естественных граничных условий в работах [39, 82]. Уравнения равновесия для ребристой оболочки произвольного очертания выведены в работах [34, 35, 37]. В работах [24-26] для произвольного размещения ребер построены системы уравнений равновесия на основе технической и общей теории оболочек. В работах [4, 38] учтено взаимодействие обшивки и ребер по поверхностям контакта.
Теории подкрепленных оболочек посвящено большое число
публикаций. Подробные обзоры методов вывода уравнений ребристых оболочек и их решения и обширная библиография приведены в работах [4-8, 30, 37, 67]. В отличие от других разделов теории оболочек, численные методы (метод прогонки, метод конечных элементов, метод конечных разностей) [42, 62, 88, 89] применялись в этой области относительно редко. Наибольшее распространение получили аналитические и вариационные методы [2, 5, 31, 55, 69, 73] и др. Асимптотические разложения использовались в основном при исследовании конструктивно-ортотроиных оболочек [9, 40, 66].
В настоящее время существуют мощные пакеты программ для численных расчетов ребристых и составных оболочек. Однако численные методы не лишены недостатков: с их помощью сложно понять механизм потери устойчивости, они не являются универсальными, требуют достаточно много времени для подготовки начальных данных и больших вычислительных мощностей, их применение затруднено при расчетах систем, в которые входят очень большие или очень маленькие величины.
В теории оптимального проектирования конструкций большое место занимают вопросы расчета подкрепленных оболочек минимального веса. Вопросы оптимального проектирования в теории устойчивости и колебаний подкрепленных оболочек рассмотрены в работах [17, 32, 41, 45, 63, 68, 70, 72].
При решении краевых задач теории колебаний и устойчивости сопряженных оболочек использовались численные методы (метод прогонки, метод конечных разностей) [29, 42, 62, 71, 88, 89], вариационный метод [73]. В [44] метод начальных параметров в матричной форме распространялся с балочных систем на
оболочки вращения, что позволило использовать его для проведения статического расчета и определения частот и форм колебаний сложных оболочечных систем. В работах [47, 48] асимптотическим методом определялись частоты и формы колебаний составной конструкции, состоящей из произвольного числа упругих оболочек вращения и сопряженных между собой при помощи колец жесткости.
Асимптотические методы, основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра, занимают ведущее место среди методов построения приближенных аналитических решений. Систематическое применение асимптотических методов в теории тонких оболочек началось с известных монографий А. И. Лурье [49] и А. Л. Гольденвейзера [21]. Ряд результатов для общего случая анизотропии приведен в монографии С. А. Амбар-цумяна [3].
Система уравнений теории оболочек является довольно громоздкой системой уравнений в частных производных. Она содержит естественный малый параметр, связанный с относительной толщиной оболочки, поэтому асимптотическое представление решений является необходимым элементом качественного анализа, а также может дать существенное упрощение при построении приближенных численных решений, сэкономить машинное время. Приближенные аналитические решения, полученные с использованием асимптотических методов, позволяют наиболее просто проанализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной конструкции. Ясное осознание асимптотической природы упрощений позволяет определить область их применимости, а в случае необходимости — уточнять приближенные
решения. Таким образом, асимптотические и численные методы являются взаимно дополняющими.
Малый параметр входит в уравнения теории оболочек в виде множителя при старшей производной. При обращении в нуль малого параметра получается порождающая (укороченная) система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Системы дифференциальных уравнений такого типа называются сингулярно возмущенными.
При решении краевых задач для сингулярно возмущенных систем уравнений теории оболочек в случае регулярного вырождения в смысле Вишика—Люстерника [14, 75] удается разделить напряженно-деформированное состояние оболочки на основное и простой краевой эффект. Регулярное вырождение имеет место, как правило, для нижней части спектра собственных значений, определение которой представляет наибольший интерес для практических приложений. В задачах, рассмотренных в диссертации, основное состояние является полубезмоментным. Функции краевого эффекта вносят существенный вклад в решение только вблизи краев оболочек и линий их сопряжения или подкрепления.
Основное состояние определяется путем решения вырожденной системы уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Вследствие этого основное состояние, вообще говоря, не удовлетворяет всем граничным условиям. Метод разделения напряженно-деформированного состояния на главное и краевой эффект можно использовать только в том случае, когда удается разделить граничные условия на главные и дополнительные. С помощью главных условий определяется основное состояние, а с помощью дополнительных находится простой краевой эффект.
В некоторых случаях для получения главных и дополнительных условий необходимо составлять линейные комбинации исходных граничных условий. Разделение простых граничных условий заделки, шарнирного края и др. на главные и дополнительные в задачах теории колебаний и устойчивости проведено в работах [1,23, 74] и др.
Для сопряженных и подкрепленных оболочек использование метода разделения напряженно-деформированного состояния на главное и краевой эффект осложняется в виду необходимости разделения на главные и дополнительные громоздких граничных условий на линиях сопряжения и подкрепления оболочек. Проблема разделения таких условий в задачах статики довольно хорошо изучена [36, 54, 59, 65, 84, 85].
Устойчивость сопряженных по параллели конических оболочек под действием равномерного внешнего давления
В данном разделе исследуется устойчивость начального без-моментного напряженного состояния двух оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны, сопряженных по параллели и находящихся под действием равномерного внешнего давления. Критическое давление и форма потери устойчивости определяются с помощью асимптотического разделения напряженно-деформированного состояния на полубезмоментное и простой краевой эффект. В том случае, когда одна из оболочек является цилиндрической, а края оболочек жестко заделаны, получены приближенные формулы для определения параметра критической нагрузки с учетом поправок первого приближения.
Безразмерные уравнения устойчивости. Рассмотрим две сопряженные по параллели тонкие упругие оболочки вращения одинаковой безразмерной толщины /г, находящиеся под действием равномерного бокового внешнего давления р (рис. 1.2). Угол сопряжения оболочек обозначим /3. Одна из оболочек является конической, а другая — конической или цилиндрической. Выберем за единицу длины радиус параллели сопряжения и введем на срединной поверхности систему безразмерных ортогональных координат s, р. Для первой оболочки s Є [si,s ], для второй — s Є [ S ,S2J.
Устойчивость сопряженных оболочек можно описать с помощью двух систем уравнений, одна из которых соответствует первой оболочке, а другая — второй. Будем обозначать величины, s=s,
Сопряженные конические оболочки. характеризующие первую (вторую) оболочку буквами с верхним индексом 1(2). В формулах, справедливых для обеих оболочек, верхние индексы будем опускать.
После разделения переменных (1.1) безразмерная система уравнений, описывающая устойчивость каждой из оболочек, может быть записана в виде [28]
Здесь штрих обозначает дифференцирование по s; B(s) — функция, задающая расстояние от точки срединной поверхности оболочки до оси вращения; ./(s) — главный радиус кривизны срединной поверхности оболочки; Л = (і — v2) p/(Eh) — искомый параметр нагружения; Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; Ті, Т2, S — нормальные и касательное (или сдвигающее) усилия; Н — крутящий момент. углы поворота элемента срединной поверхности вокруг тангенциальных осей; "1, е2 — относительные удлинения волокон, связанные с линиями главной кривизны; к,\, к2 — компоненты изгибной деформации срединной поверхности; ц — малый параметр, связанный с безразмерной толщиной оболочек, такой что Т2 = -АД2, (ТгВ) = В%. Безразмерные величины связаны с размерными следующими соотношениями (чертой сверху обозначены размерные величины):
Безразмерный радиус кривизны R2 выражается через функцию В по формуле а величина l/Ri, связанная с другим радиусом кривизны, для конических и цилиндрических оболочек обращается в нуль. Если первая оболочка (к = 1) является цилиндрической, а вторая (к 2) конической, то в качестве характерного размера R удобно брать радиус цилиндрической оболочки. В этом случае
Если на краях оболочки заданы условия шарнирного опирання, то решение системы (1.3) должно удовлетворять условиям В случае жесткой заделки на краях выполняются равенства На параллели сопряжения s = s должны быть выполнены условия непрерывности перемещений, усилий, угла поворота $i и эмен та Mi: «го = 1 ) cos/3 -w sin/3, Обозначим через її = s — s\ и /2 = $2 — s безразмерные длины первой и второй оболочек. Предполагается, что оболочки имеют среднюю длину (її І2 1), а угол сопряжения не является малым (/3 1). Асимптотические разложения решений
Для определения параметра критического давления в задаче о потере устойчивости сопряженных конических оболочек, находящихся под действием равномерного бокового внешнего давления, будем использовать асимптотический метод разделения напряженно-деформированного состояния на полубезмоментное и простой краевой эффект [74]. В этой задаче искомому параметру нагружения Л hs 2 соответствует форма потери устойчивости с большим числом волн по параллели т /г 1//4.
Сравнение асимптотических и численных результатов в задаче устойчивости сопряженных конических оболочек
Численно проинтегрировав систему (1.61) с краевыми условиями (1.62), (1.64) можно найти искомые значения параметра нагружения Л.
Исследуем устойчивость под действием равномерного бокового внешнего давления начального безмоментного напряженного состояния цилиндрической оболочки, сопряженной по параллели с усеченной конической (рис. 1.3). За единицу длины возьмем радиус R цилиндрической оболочки. Края оболочек жестко заделаны. Безразмерная длина цилиндрической оболочки її = 3, конической /г = 1. Коэффициент Пуассона v — О,3.
В таблице 1.2 сопоставляются результаты асимптотического метода и численного интегрирования системы (1.61) методом ортогональной прогонки. АФ — результаты, полученные по асимптотическим формулам, ОП — результаты метода ортогональной прогонки.
Величина 105Л вычислялась при различных значениях угла сопряжения /3 и параметра толщины h. Так как для всех рассмотренных значений параметров выполняется неравенство \(1) \(2) \ AQ AQ , значения А находились с учетом поправок первого приближения по формулам (1.54), (1.22), (1.25), (1.30), (1.35), (1.37). В скобках указано число волн по параллели т, соответствующее найденному минимальному значению А.
С уменьшением относительной толщины оболочек h параметр Л довольно быстро убывает. Значительно меньшее влияние на Л оказывает величина угла сопряжения /3. Уменьшение А с уменьшением /3 заметнее для более толстых оболочек. Сравнение полученных результатов показывает малую погрешность формул первого приближения в рассмотренном диапазоне параметров. Погрешность вычисления параметра нагружения убывает с уменьшением толщины оболочек.
На рис. 1.4 — 1.8 приведены графики функций, определяющих форму потери устойчивости сопряженных оболочек с жестко заделанными краями. Графики построены на основе данных, полученных методом ортогональной прогонки. По оси абсцисс откладывалось расстояние s по меридиану, по оси ординат — значения нормального перемещения w (рис. 1.4, 1.5), усилия Qi/fi (рис. 1.6), изгибающего момента М\/ц2 (рис. 1.7) и нормального усилия Ті (рис. 1.8). Общий вид графиков на рис. 1.4 — 1.5 позволяет сделать вывод о том, что форма потери устойчивости локализована на поверхности цилиндра.
Рис. 1.4 иллюстрирует как меняется меридиональная форма нормального перемещения (прогиба) оболочек при изменении толщины, если угол оболочки остается неизменным. Параметры оболочек следующие: угол сопряжения (3 = 10, безразмерная толщина h — 1/200 (рис. 1.4, a), h = 1/600 (рис. 1.4, б) и h = 1/1000 (рис. 1.4, в).
На рис. 1.5 показано, как влияет на форму прогиба изменение угла сопряжения оболочек, если толщина оболочек не меняется. Эти графики построены при безразмерная толщине h = 1/200 и углах сопряжения ft = 10 (рис. 1.5, а), /3 = 30 (рис. 1.5, б) и /3 = 50 (рис. 1.5, в). ниє толщины не дает таких сильных изменений нормального перемещения. Как и следовало ожидать, при уменьшении толщины оболочек h и при увеличении угла (5 локализация формы потери устойчивости на поверхности цилиндра становится более ярко выраженной.
Следует также отметить, что усилие Q\jц (рис. 1.6), как и изгибающий момент Мі///2 (рис. 1.7) резко меняют свои величины при переходе через линию сопряжения. Большие изгибные напряжения, возникающие на линии соединения цилиндра и конуса, быстро затухают при удалении от нее. Видно также, что они превышают изгибные напряжения вблизи жестко заделанных краев. Графики зависимости усилий и момента от s, показанные на рис. 1.6 — 1.8, построены для безразмерной толщины оболочек h = 1/200 и угла сопряжения /5 = 10. Устойчивость сопряженных оболочек с шарнирно опертыми краями.
Программа, использующая метод ортогональной прогонки, неоднократно тестировалась на задаче о свободных неосесимме-тричных колебаниях цилиндрических, конических и сопряженных оболочек с шарнирно опертыми и заделанными краями. Результаты совпали с собственными частотами, полученными ранее в других работах [76, 80, 83] этим же методом, а для случая жесткой заделки конической оболочки — с частотами, полученными методом конечного элемента.
В частности, при исследовании устойчивости интересно было сравнить значения 105Л, вычисленные по асимптотическим формулам в [81], где рассматривались сопряженные шарнирно опертые оболочки под действием равномерного бокового давления, с численными результатами метода ортогональной прогонки.
В таблице 1.3 приведены значения величины 105Л при разных углах сопряжения (3 и различной безразмерной толщине h сопряженных оболочек. Безразмерная длина цилиндрической оболочки 1\ = 3, а конической /г = -1- Коэффициент Пуассона, как и в случае заделки, v = 0,3. Из таблицы видно, что для случая шарнирного опирання краев оболочек значения величин 105Л, полученные двумя различными методами практически совпадают.
Решение краевой задачи нулевого приближения с помощью балочных функций
Таким образом, условия сопряжения (2.29), (2.30) цилиндрической оболочки с пластиной оказываются такими же, как условия сопряжения (2.17) цилиндра со стержнем, только константа с в этом случае имеет другой вид.
Обратимся к формуле (2.18) для стержневой модели шпангоута. Введем отношение к — Ъ/а, где 6 — ширина шпангоута, а — его толщина. При е = 0 выражение (2.18) принимает вид
Отсюда видно, что при увеличении ширины шпангоута жесткость стержня стремится к бесконечности. Значение параметра нагру-жения монотонно возрастает с увеличением к = Ь/а. Стержневая модель позволяет оценить площадь оптимального поперечного сечения кольца, но при этом невозможно определить его оптимальные размеры. Для пластиночной модели жесткость стремится к конечному пределу, значение которого определяется формулой (2.31). Таким образом более точную пластиночную модель шпангоута можно использовать для нахождения оптимальных параметров поперечного сечения кольца.
На рис. 2.4 приведены результаты расчетов по асимптотическим формулам для двух различных моделей и методом ортогональной прогонки для цилиндрической оболочки безразмерной длины /, подкрепленной по краю пластиной. Край цилиндра жестко заделан, край пластины свободен. По оси абсцисс откладывалось отношение к = Ь/а {Ъ — безразмерная ширина кольцевой пластины, а — ее безразмерная толщина), по оси ординат — значения величины искомый наименьший параметр нагружения) для различных значений к.
Рассматривались конструкции со следующими параметрами: б иллюстрирует случаи, когда толщина пластины в 5 и 10 раз меньше толщины цилиндрической оболочки соответственно.
На каждом рисунке изображены три кривые. Кривая 1 показывает зависимость значений 105-А от к, найденных для стержневой модели с учетом эксцентриситета шпангоута е = 6/2, что соответствует его внешнему расположению. Линия 2 соответствует величинам минимального параметра нагружения, полученным по асимптотическим формулам для цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевой пластиной. И, наконец, кривая 3 — это результат решения краевой задачи методом ортогональной прогонки.
Для каждого фиксированного к (т.е. фиксированной длины пластины) находилась серия параметров нагружения Х(т) при числе волн по параллели га от 0 до 12, а затем из всех параметров нагружения выбирался наименьший: Ai = minA(ra). х rn v Излом, который виден на кривой 3 (см. рис. 2.4), характеризует переход от одного числа волн по параллели т, при котором параметр нагружения А оказывается наименьшим, к другому.
При малых к результаты расчета методом прогонки близки к асимптотическим, полученным для подкрепленной цилиндрической оболочки с использованием стержневой модели шпангоута. При росте к, что соответствует увеличению ширины шпангоута, они практически совпали со значениями параметра критического давления, которые были найдены по асимптотическим формулам для цилиндра, подкрепленного кольцевой пластиной.
Задачи о низкочастотных колебаниях тонкой круговой цилиндрической оболочки средней длины, подкрепленной круговыми шпангоутами, рассматривались в работах С. Б. Филиппова [77-79, 91, 92] и его учеников [45, 46, 63, 86]. В [77-79] были получены асимптотические формулы для нахождения частотного параметра Л с использованием стержневой модели, когда достаточно узкий шпангоут рассматривается как круговой стержень. В [91] шпангоут рассматривался как кольцевая пластина. Расчеты по асимптотическим формулам и их сравнение с результатами, полученными методами конечного элемента и ортогональной прогонки, проводились в [91] для цилиндрической оболочки, подкрепленной пластиной на краю.
В работе [92] с помощью асимптотических методов найдены низшие частоты колебаний для цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям шпангоутами прямоугольного поперечного сечения, число которых варьировалось от 1 до 10. Были использованы обе модели подкрепления: стержневая и пластиночная. Там же методами асимптотического анализа была решена задача об определении оптимальных параметров подкре пленной оболочки, позволяющих получить наибольшее значение первой частоты при фиксированной массе конструкции.
В этой главе исследуются низкочастотные колебания тонкой круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной по внутренним параллелям кольцевыми пластинами (рис. 3.1, А). Предложен численный метод решения системы уравнений колебаний, основанный на использовании ортогональной прогонки и позволяющий определить низшие частоты колебаний для оболочки, подкрепленной любым числом пластин.
В качестве примера проведены расчеты частот для случаев подкрепления оболочки одной и двумя равномерно расположенными вдоль образующей кольцевыми пластинами. Приведены графики зависимости наименьшей частоты колебаний конструкции от ширины пластин. Достоверность результатов этой главы подтверждается сравнением их с полученными ранее результатами приближенного анализа данной задачи методами асимптотического интегрирования.
Алгоритм решения краевых задач методом прогонки
Условием существования нетривиального решения системы (3.21) является равенство нулю определителя 12-го порядка системы уравнений G2C(1) + Я23С = 0; Язз ?(3) = 0- (3-22)
Матрица системы (3.22) схематично представлена на рис. 3.7, б. Определитель системы (3.22) имеет вид, аналогичный определителю, рассмотренному в примере для двух систем дифференциальных уравнений. Выбор решении 2/I,2/2J2/3H2/45 удовлетворяющих условиям сопряжения, сводит задачу к решению уравнения
Тогда после прогонки этих векто ров по второй цилиндрической оболочке и приравнивания нулю определителя на ее краю, получится уравнение, эквивалентное равенству нулю определителя системы (3.22). Отыскав его корни, вычисляем значения частот колебаний сопряженных оболочек.
Если рассматривается цилиндрическая оболочка, подкрепленная двумя или более пластинами, то в каждой из точек сопряжения используем алгоритм составления новых линейно-независимых векторов, описанный выше. На краю последней оболочки, приравнивая нулю определитель системы однородных алгебраических уравнений, находим наименьшее собственное значение частотного параметра Л и соответствующую ему первую частоту колебаний конструкции.
Предложенный алгоритм численного интегрирования системы уравнений колебаний можно использовать для любых однородных граничных условий на краях оболочек. В диссертации он был применен для определения наименьшей частоты шарнирно опертого цилиндра, подкрепленного одной и двумя пластинами. Результаты численных расчетов приведены в разделе 3.5.
Уравнения для нахождения собственных частот колебаний подкрепленной оболочки в случае стержневой модели шпангоута.
Поскольку при малых значениях к кольцевая пластина является достаточно узкой, ее можно рассматривать как круговой стержень с прямоугольным поперечным сечением (стержневая модель шпангоута). В этом параграфе приводятся приближенные асимптотические формулы, по которым проводился расчет значений первой частоты цилиндра, подкрепленного одной или несколькими узкими пластинами. Эти формулы были предложены в работах [81, 92].
Рассмотрим тонкую цилиндрическую оболочку длины L, радиуса R, подкрепленную одинаковыми круговыми стержнями (шпангоутами) прямоугольного поперечного сечения по параллелям s = Si, і = 1, 2, ..., п — 1 (рис. 3.8). Каждый шпангоут имеет толщину а и ширину Ь = ка, к = const. совпадающим по форме с уравнением поперечных колебаний балки. Здесь v№ — проекция перемещения на направление нормали к поверхности оболочки на интервале s,- s s,-+i, /х4 = h2/12 — малый параметр, h — безразмерная толщина оболочки, v — коэффициент Пуассона, га Л-1/4 1 — число волн по параллели. Ло — первый коэффициент в асимптотическом разложении искомого параметра частоты, который в задаче о свободных колебаниях определяется формулой
Будем предполагать, что характерный размер поперечного сечения шпангоута а — О (/г3/4), т.е. шпангоуты являются тонкими. Тогда для уравнения (3.23) можно использовать упрощенные условия сопряжения на параллелях, подкрепленных шпангоутами, которые имеют вид
Предположим, что на краях оболочки s = SQ И S = sn заданы граничные условия шарнирного опирання (3.3). Тогда в нулевом приближении на краях подкрепленной оболочки должны быть выполнены граничные условия ,(0) = = 0, = „, -4 = = 0, s = sn. (3.25) В этом случае краевая задача (3.23)—(3.25) эквивалентна задаче об определении частот поперечных колебаний шарнирно опертой балки, подкрепленной пружинами безразмерной жесткости с = сх/(1 — v2) в точках s = S{. Рассмотрим случай равномерного расположения шпангоутов по длине оболочки, когда 5г- = iL/n, где L = sn — SQ — безразмерная длина подкрепленной оболочки.
Похожие диссертации на Устойчивость и колебания сопряженных тонких оболочек и пластин
