Содержание к диссертации
Введение
1. Построение динамической модеж нелинейных колебаний пластин
1.1. Постановка задач о расчете нелинейных колебаний пластин по методу конечных элементов
1.2. Соотношения метода конечных элементов для изгибаемых пластин 2S
1.3. Конечномерная динамическая модель ы
1.4. Вынужденные колебания циклически-симметричных пластин под действием равномерно распределенной нагрузки 54
2. Численная методика определения собственных частот и форм колебаний пластин
2.1. Метод Релея-Ритца в задачах на собственные значения 60
2.2. Построение редуцированной задачи 64
2.3. Метод итерации подпространства (. 72
2.4. Расчет собственных форм колебаний пластин 7в
3. Исследование устойчивости вынужденных нелинейных колебаний циклически-симглетричных пластин 87
3.1. Построение кривых периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений 87
3.2. Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений .
3.3. Анализ установившихся вынужденных нелинейных колебаний пластин под действием равномерно распределенной нагрузки
3.4. Исследование устойчивости вынужденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин
4. Области неустойчивости вынужденных нелинейных колебаний вдкличесш-сжметричных пластин 150
4.1.Построение областей неустойчивости периодических колебаний нелинейных механи ческих систем 150
4.2. Границы областей неустойчивости вынуаденных нелинейных колебаний циклически-симметричных систем iS9
4.3.Построение границ областей неустойчивости вынуаденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин 16$
4.4.Структура областей неустойчивости вынуаденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин 174
Заключение z14-
Литература
- Соотношения метода конечных элементов для изгибаемых пластин
- Построение редуцированной задачи
- Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений
- Границы областей неустойчивости вынуаденных нелинейных колебаний циклически-симметричных систем
Введение к работе
Многие конструктивные элементы современной техники выполнены в виде пластин различной формы. Широкое применение пластин объясняется их высокой прочностью, значительной жесткостью и сравнительно малым весом, что наряду с технологичностью изготовления выгодно отличает их среди других конструктивных элементов. Постоянной тенденцией в развитии техники является увеличение интенсивности динамических воздействий, сопровождающееся ростом уровня вибраций. В сочетании со стремлением к снижению материалоемкости это приводит к рассмотрению проектных решений, допускающих в пластинчатых элементах в процессе их эксплуатации перемещения, сравнимые с толщиной пластины.
Определяющая роль динамических процессов, протекающих в тонкостенных конструкциях, в прогнозировании их долговечности и надежности заставляет постоянно совершенствовать методы динамического расчета, направленные на более полный учет факторов /оказывающих влияние на протекание динамического процесса. Создаваемые расчетные схемы должны учитывать сложный характер деформирования, больше перемещения, возможность взаимного влияния различных форм колебаний в процессе вибраций. Это обуславливает применение в ходе исследований многопараметрических нелинейных динамических моделей. Изучение таких моделей сопряжено со значительными трудностями. Одним из возможных методов упрощения расчетных моделей является учет специальных классов рассматриваемых конфигураций конструктивных элементов, действующей на них внешней нагрузки и характера их деформирования. Это позволяет существенно упростить расчетные схемы при сохранении адекватности описания исследуемых явлений.
В настоящей работе исследуется устойчивость вынужденных установившихся нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин под действием равномерно распределенной периодической по времени нагрузки.
Циклически-симметричные пластины составляют существенное подмножество семейства пластинчатых конструктивных элементов .В .практике строительства и машиностроения пластины циклически-симметричного очертания широко применяются в качестве перекрытий зданий и сооружений, резервуаров, сосудов, бункеров и т.д.
Изучаемые в работе проблемы относятся к важному разделу прикладной теории упругости - теории динамической устойчивости упругих систем(і2].
В распределенных механических системах под действием нагрузки, периодически меняющейся по времени ,реализуется режим вынужденных установившихся колебаний характеризуемых определенной пространственной и временной конфигурацией.При плавном изменении частоты или интенсивности внешнего воздействия происходит непрерывная эволюция стационарного динамического состояния.Однако при определенных критических значениях параметров характеризующих уровень и частоту воздействия,незначительное их варьирование может стать причиной резкого изменения режима вибраций,что интерпретируется как потеря устойчивости вынужденных установившихся колебаний. Важно отметить,что в распределенных механических системах бывают существенно различные типы потери устойчивости.Может резко измениться амплитуда колебаний при сохранении их пространствешой и временной конфигурации.В другом варианте потеря устойчивости может состоять в изменении характера протеяашя процесса во времени при сохранение пространственной конфигурации стацгонарного динамического состояния. Примером такой перестройки может служить переход от Т -периодических к периодическим колебаниям.Далее,потеря устойчивости стационарного динамического состояния может проявиться в изменений пространственной конфигурации поля вибрации, при сохранении или смене временной конфигурации. Так при колебании осесимметрич-них пластин и оболочек может произойти переход от осесимметричной к не осесимметричной форме колебаний [зі] . Все указанное выше разнообразие типов потери устойчивости имеет место при колебаниях циклически-симметричнвх пластин под действием равномерно распределенной периодической по времени нагрузки.
В общем случае в каждой задаче динамической устойчивости можно выделить основное стационарное динамическое состояние, которое реализуется при всех значениях параметров внешнего воздействия, и дополнительные стационарные динамические состояния, возбуждаемые лишь при определенном соотношении этих параметров. Основное стационарное динамическое состояние представляет собой вынужденные колебания, дополнительные - параметрически возбуждаемые колебания.
При исследовании устойчивости вынужденных колебаний наряду с основным движением рассматриваются возмущенные движения, причем в число последних входят и такие, которые характеризуются качественно новым видом деформации. Возмущенные движения описываются уравнениями в вариациях, которые представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими по времени коэффициентами. Реализация различных типов потери устойчивости может быть истолкована как возникновение различных типов параметрических возбуждаемых колебаний в линейных системах.
Динамическая устойчивость распределенных систем впервые исследовалась Н.М.Беляевым [ 7 ] , который изучал параметрическое возбуждение поперечных колебаний в шарнирно-опертом стержне при действии периодической продольной силы. Аналогичная задача при других граничных условиях рассмотрена Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [35].
Ряд задач о динамической устойчивости стержней, пластин, круговых колец и оболочек решен в работах Г.В.Бондаренко [14] , Г.Ю. Джанелидзе, М.А.Радпдга [42] , А.И.Маркова [70] , О.Д.Ониашвили [83] . Во всех перечисленных выше работах вопрос о возникновении параметрически возбуждаемых колебаний сводится к рассмотрению одного уравнения Матье-Хилла. Важные исследования по динамической устойчивости стержней, неразрезных балок и плит были проведены В.НЛеломеем [ 108] . Он впервые показал, что в общем случае вопрос о динамической устойчивости сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Б.З.Брач-ковский, В.В.Болотин ЇЇ Г.І0.Джанелидзе описали класс задач, которые могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению второго порядка.
В названных работах рассмотрен вопрос об определении области устойчивости заданной формы движения-в рамках линейной постановки. В.В.Болотин [12] применил нелинейный подход к задаче о динамической устойчивости сжатого стержня.
Параметрически возбуждаемые колебания предварительно изогнутых стержней и стержней с внецентренно приложенной нагрузкой исследовали Е.Маттлер [III] , В.В.Болотин [ю] , Вейденхаммер[И4].
Большое влияние на развитие исследований по параметрическим колебаниям как в Советском Союзе, так и в других странах оказала фундаментальная монография В. В.Болотина "Динамическая устойчивость упругих систем" [l2] . Цилиндрические оболочки при параметрическом возбуждении исследовали Федерхофер [ИЗ] , А.Н.Марков [70] , А.Й.Блохина [9] , Г.В.Ножак [8\] , Р.Е.Гейзенблазен, Г.С.Ш-саренко и А.Н.Чемерис [&б] , Р.Ф.Ганиев[28] и другие.
Нелинейные параметрические колебания пологих прямоутольных в плане оболочек изучали В.Ц.Гнуни [29 ] и Г.Ф.Мишенков [76,77] , Г.Шмидт [ПО] .
Нелинейные параметрически возбуждаемые колебания сферических оболочек изучали Р.М.Финкельштейн [Ю5] и Ю.Й.Жарий [43] . в монографии Г.Шмидта [ПО] отражены результаты, полученные после выхода книги В.В.Болотина [lZ] .
Характер проблем, рассматриваемых при исследовании устойчивости вынужденных колебаний циклически-симметричных пластин, может быть показан на примере задачи о динамической устойчивости симметричной формы колебаний двухшарнирной круговой арки под действием приложенной в замке сосредоточенной силы, состоящей из статической и гармонической составляющих. Впервые эта задача рассматривалась В.В.Болотшшм [12] Низшей собственной частоте ?1 подобных арок соответствует кососимметричная форма свободных колебаний. Второй собственной частоте i 2 отвечает симметричная форма свободных колебаний. Пусть частота внешнего воздействия и) лежит в окрестности Я.2 , тогда под действием вибрационной нагрузки в арке возникают симметричные вынукденные колебания с частотой СО . Когда частота сО совпадает с Я-2 , наступает резонанс. Однако, наряду с обычным режимом в ок-рестнооти Й2 моает проявляться и параметрический резонанс, свя-занный с возникновением кососимметричной деформации, которая возбуждается основной симметричной формой движения арки. Теоретические построения, описывающие указанный выше характер колебаний, подтверждаются экспериментально [12] Перейдем к изложению постановки задачи настоящего исследования. В циклически-симметричных пластинах низшей собственной частоте соответствует циклически-симметричная форма свободных колебаний. В работе под циклически-симметричной формой деформирования будем понимать такую форму, оси симметрии которой совпадают с осями симметрии самой пластины. Под действием поперечной равномерно распределенной периодической по времени нагрузки, частота СО которой лежит в окрестности частоты 5?ч , в пластине возникают вы -9-нужденные циклически-симметричные колебания. Эта форма движения называется основной. При изменении параметров внешнего воздействия основная форма движения будет эволюционировать, сохраняя при этом свою пространственно-временную конфигурацию. При некоторых критических значениях параметров в рамках основной формы движения может мягко или жестко произойти смена временной конфигурации, имеется в виду срыв амплитуды колебаний, наступление основного, субгармонического или супергармонического резонансов.
Кроме основной формы движения при определенных соотношениях параметров внешнего воздействия выделяются дополнительные движения, которые соответствуют нециклически-симметричной форме колебаний. Эти движения относятся к разряду параметрически возбуждаемых колебаний.
В работе задача динамической устойчивости рассматривается в смысле нахождения границы области в плоскости изменения параметров возбуждающей нагрузки,в пределах которой основное движение остается устойчивым. Определяется форма потери устойчивости основного движения, однако эволюция дополнительных движений не прослеживается
Цель работы состоит:
- в создании эффективной методики построения расчетных динамических моделей для исследования вынужденных изгибных колебаний циклически-симметричных пластин;
- в разработке алгоритма численного исследования динамической устойчивости механических систем;
- в применении разработанной методики к исследованию динамической устойчивости циклически-симметричных пластин.
Новизна полученных научных результатов состоит в разработке новой методики численного исследования устойчивости вынужденных колебаний циклически-симметричных пластин при действии равномерно распределенной периодической по времени нагрузки. На основе построения многопараметрических динамических моделей предложен новый метод численного построения диаграмм устойчивости. Получены новые данные об устойчивости вынужденных колебаний циклически-симметричных пластин.
Практическая ценность. Разработанная методика и комплекс программ исследования устойчивости вынужденных колебаний циклически-симметричных пластин при действии равномерно распределенной периодической по времени нагрузки могут быть использованы в инженерно-конструкторской практике в процессе проектирования объектов строительства и машиностроения.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с общим планом исследований, проводимых на кафедре строительной механики и в Проблемной лаборатории тонкостенных пространственных конструкций Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института под руководством кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника Е.С.Дехтярюка.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы ( 114 наименований), изложена на 154 страницах машинописного текста, содержит 80 рисунков и 4 таблицы.
В работе рассматриваются колебания пластин при перемещениях, сравнимых с толщиной, и изучается взаимодействие различных форм колебаний. Для исследования этих явлений необходимы многопараметрические нелинейные динамические модели. Вопросы построения этих моделей рассматриваются в первом разделе.
Непосредственное использование конечно-элементных уравнений при исследовании динамики нелинейных систем предъявляет чрезмерно высокие требования к ресурсам ЭВМ из-за значительных порядков матриц М , С и К •
Для уменьшения резмерности МКЭ - модели в работе использован принцип статического уплотнения и метод обобщенных координат.
Принцип статического уплотнения хорошо известен и широко применяется для исключения тех перемещений, которые допускают "квазистатическое" рассмотрение [12,54,45]
Полный вектор узловых перемещений U представлен в виде пря - 12 — мой суммы вектора U , составленного из изгибных компонентов и вектора Up , составленного из мембранных компонентов. В силу принятых предположений мембранные составляющие сил инерции пренебрежимо малы, поэтому в выражении для кинетической энергии сохранится только нормальная к срединной поверхности компонента вектора скорости. КЭ-аппроксимация приводит к выражению для кинетической энергии пластины, содержащему только изгибные составляющие перемещений. Аналогичные упрощения делаются в выражении для работы диссипативных сил. Эти преобразования приводят к тому, что члены, содержащие скорости и ускорения вектора Up , состоящего из мембранных компонентов вектора перемещений, исключаются из уравнений движения и они разбиваются на две группы. Первая группа представляет собой неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Во вторую группу объединены чисто алгебраические уравнения, выражающие взаимосвязь между изгибными и мембранными составляющими вектора перемещений. Эта группа в определенном смысле аналогична уравнениям совместности в уравнениях Кармана [27] , Выражая мембранные перемещения через изгибные и подставляя эти выражения в первую группу уравнений, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонентов вектора Uу . Эти уравнения представляют собой динамическую модель, описывающую нелинейные изгибные колебания пластин.
Если применить метод обобщенных координат [Д,45] , выбрав в качестве базисных функций формы свободных изгибных колебаний линейной модели, то удается существенно сократить число динамических переменных. Относительно обобщенных координат получаем систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
При рассмотрении вынужденных нелинейных колебаний пластин циклически-симметричного очертания в системе уравнений, связывающих обобщенные координаты,произведены дальнейшие упрощения в цзед - 13-положении, что частота внешнего воздействия U) лежит в окрестности низшей собственной частоты ic Vxf » отвечающей циклически-симметричной форме свободных линейных колебаний. Основания для введенных упрощений состоят в следующем. Пусть участок спектра собственных частот, примыкающий к значению 52 , содержит частоты Для которых соответствующие собственные формы лине- иной задачи ортогональны равномерно распределенной нагрузке и пусть 5?s ( s i ) - низшая из частот, для которых условие ортогональности не выполняется. Если 5?s удалено от &i настолько,что взаимным влиянием соответствующих форм можно пренебречь, в представлении основного движения через собственные формы линейной задачи можно сохранить лишь (5-1 ) первых. В окончательной форме система уравнений для обобщенных координат записывается следующим образом:
Уравнения (I) составляют основу предлагаемого в работе вычислительного алгоритма, состоящего в том, что обобщенная координата
U d) , соответствующая основному движению, определяется из первого из уравнений (I), а остальные уравнения этой системы используются для установления тех значений частоты возмущающей силы и параметров ее интенсивности, которые вызывают потерю устойчивости основного движения пластины.
Второй раздел работы посвящен разработке численной методики определения собственных частот и форм колебаний пластин. Важность этой проблемы для решения поставленной в работе задачи обусловлена тем, что качество динамической модели существенно зависит от точности определения частот и форм свободных колебаний линеаризованной задачи. В работе изложена методика сведения решения обоб - 14-щенной проблемы собственных значений для задач большой размерности к задаче существенно меньшей размерности. Низшие формы разыскиваются в подпространстве,порождаемом векторами перемещений элементарных деформированных состояний. В качестве таких элементарных состояний приняты перемещения дискретной модели пластины при действии единичных обобщенных узловых сил, приложенных в отдельных узлах модели, выбранных так,чтобы совокупность сформированных при этом векторов узловых перемещений обеспечивала возможность адекватного представления поля перемещений модели при колебаниях в рассматриваемом диапазоне частот. Далее методом Релея-Ритца[54] получена редуцированная задача на собственные значения, порядок которой допускает ее решение с использованием только оперативной памяти ЭВМ. Для уточнения полученных собственных частот и форм использован метод итерации подпространств [54] •
В третьем разделе представлены результаты численного исследования устойчивости вынужденных нелинейных колебаний циклически-симметричных пластин.
Вначале рассматривается задача определения характеристик основного движения. Как указывалось выше, эта проблема сводится к построению периодических решений уравнения (I, ), которое представляет собой уравнение Дуффинга.
Построение периодических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой классическую задачу нелинейной механики.
Хорошо разработана методика построения периодических решений квазилинейных уравнений. Исторически первыми вариантами приемов решения этой задачи являются методы малого параметра, разработанные Пуанкаре [90] и А. М.Ляпуновым f64 ] • Большой вклад в разработку и применение этого метода внесли советские ученые Л.И.Мандельштам, Н.Д.Папалекси [69] , А.А.Андронов, А.А.Витт-, С.Э.Хан - 15 кин [2 ] и др.
Родственную группу методов составляют асимптотические методы исследования нелинейных систем, берущие начало от работ Ван-дер-Поля [Ш] . Их существенное развитие дано в трудах Н.Н.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского [74]
В прикладных задачах исследования стационарных динамических состояний нелинейных систем широко применяются методы эквивалентной линеаризации, гармонического и энергетического баланса [74] , [87] .
Анализ устойчивости основного движения проводится на основе теории устойчивости Ляпунова [34-] , с этой целью от нелинейной системы (I) переходим к уравнениям в вариациях. Анализ устойчивости на основе уравнений в вариациях называется оценкой по первому приближению.
Уравнения в вариациях, отвечающие системе (I), имеют вид:
Вопрос об устойчивости по первому приближению Щ- - пери т одического решения (у({)/0,-, о) системы (I) сводится к исследованию устойчивости тривиальных решений системы линейных дифференциальных уравнений (2) с периодическими коэффициентами, которое проводится на основе теории Флоке [34] .
Отличительная особенность системы уравнений в вариациях (2) состоит в ее несвязанности. Решение первого из них характеризует те критические значения параметров динамического процесса, которые отвечают потере устойчивости в рамках циклически-симметричной формы колебаний. Остальная группа уравнений позволяет выявить те соотношения между параметрами динамического процесса, при которых возможно изменение характера движения.
Решение уравнения (2) имеет вид:
- 18-Здесь hn - неизвестный характеристический показатель дифференциг-ального уравнения (2 ); Впк неизвестные числовые коэффициенты. В результате подстановки указанного выше представления в (2 ) и проектирования вопрос сводится к задаче на собственные значения размерности 4М+2
где вектор о объединяет неизвестные коэффициенты В пк . Коэффициенты матрицы Ар определяются решением U (t) » полученным на К-ом шаге процесса продолжения по параметру.
Если для всех n = I,2,...,m . /?g hnj 0, j =1,2,.., 4N +2 » то основное движение, определяемое вектор-функцией ( yfJ°o,..., 0 ) , является устойчивым. Это состояние сохраняется при дальнейшем приращении ведущего параметра вплоть до того шага, на котором действительная часть одного из характеристических чисел меняет знак на противоположный. Если перемена знака происходит в пределах совокупности характеристических чисел, отвечающих первому из уравнений (2), то при достигнутом значении ведущего параметра появляется возможность для перехода колебаний на другой режим в рамках той же основной формы движения.
Если же это обстоятельство отмечено среди характеристических показателей какого-либо из второй группы уравнений,то это означает, что при данном значении параметра возможен переход на дополнительное движение.
Исследовано влияние на устойчивость колебаний величины статической составляющей внешнего воздействия при различных условиях опирання контура.
Построены кривые завиозмссти параметров стационарных динамических состояний от амплитуды гармонической составляющей СГ при фиксированной величине статической составляющей внешнего воздействия. На кривых стационарных динамических состояний определяются особые точки, соответствующие точкам бифуркации и предельным точкам. В бифуркационных точках исследованы формы ответвляющихся дополнительных движений.
Путем вариации частоты U) гармонической составляющей внешнего воздействия при фиксированном значении интенсивности построены амплитудно-частотные характеристики колебаний пластин.
Выявлено значительное влияние на характер эволюции основного движения уровня статической составляющей внешнего воздействия. При отсутствии статической составляющей основная форма движения является устойчивой вплоть до предельной точки. По мере роста статической составляющей участки, соответствующие устойчивым основным состояниям, сокращаются, появляются точки бифуркации. Изучено влияние демпфирования на структуру областей неустойчивости.
В четвертом разделе изложен подход, позволяющий в плоскости переменных "амплитуда-частота" ( Qf,tO ) гармонической составляющей внешнего воздействия определить область неустойчивости колебаний. Так как уравнения системы (2) несвязаны, в рассматриваемом приближении могут иметь место только простые параметрические резонанси, а область неустойчивости является объединением частных областей неустойчивости, определяемых отдельно каждым из уравнений (2).
При реализации алгоритма бесконечный определитель, например 1П (и ,и)) , заменен конечным 1П (С,&, » CN ), зависящим от коэффициентов Фурье функции U(t) .С помощью этого определителя сформировано и добавлено к системе уравнений, связывающих ACS АО и Л60 дополнительное линейное алгебраическое уравнение.
С помощью изложенной методики для пластин различной формы с различными условиями опирання по контуру построены границы зон неустойчивости основного движения. Изучено влияние на структуру диаграммы устойчивости статической составляющей внешнего воздействия и уровня демпфирования.
Соотношения метода конечных элементов для изгибаемых пластин
Существуют различные подходы к реализации метода конечных элементов для исследования статики и динамики пластин. В настоящей работе используется подход с позиции моментной схемы метода конечных элементов (МСКЭ), предложенной и теоретически обоснованной А.С.Сахаровым [" 94 J и детально разработанной совместно с другими авторами [52,53] . Соотношения МСКЭ строятся на основе — трехмерной теории упругости.
Рассмотрим отдельный конечный элемент. Пусть элемент в исходном недеформированном состоянии занимает область і? трехмерного пространства V , в котором задана общая отсчетная де-, картова система координат ( х1 , ос2 j ос3 ) ь в области Я. вводится местная криволинейная система координат {x\xzJxi) , которая дает возможность легко описывать геометрию тел сложной формы (рис.І.І). Между общей декартовой и местной криволинейной системами координат существует взаимно-однозначное соответствие: DC :==1 X \Х / X j X ) ) Ь =s 1 2-у о (1.7) Xі = Xі ( х1 , х2- , ху) , І = Л, Z, 3 . Текущий радиус-вектор точки М , принадлежащей элементу, обозначим R . Основной базис местной системы координат в каждой точке ІИ6 дается выражением:
Связь общей и местной систем координат можно ввести с помощью тензоров прямого и обратного преобразований для троек базисных векторов: ЄІ = J i еп , еґ - Dt, 9, , (Ie9) где ЄІ и fy - общий и местный базисы. Л — У С _ матрица коэффициентов прямого преобразования 1 дхс DK _ . - матрица коэффициентов обратного преобразования і а і ОХ1 Метрика общей и местной систем координат определяется с помощью - Z7— V Рис.I.I (W4) (-H i)H 1 Рис.I.2 _ 28— метрического тензора, коэффициенты которого п.. вычисляются по формуле: Г К (І.Ю) где by - символы Кронекера. Объем элементарного параллелепипеда, построенного на базисных векторах, определяется детерминантом метрического тензора. Так, для местной системы координат: d v = ТгТъ -Vfl dx1dxzdx , (і.її) где Л е2 Єз - смешанное произведение базисных векторов, О - определитель матрицы, составленной из коэффициентов метрического тензора. В процессе деформирования точки элемента перемещаются в пространстве. Пусть б V - вектор перемещения произвольной точки М из исходного в некоторое деформированное состояние: I? = - R , (І.І2) где R - радиус-вектор точки М после деформации, R радиус-вектор точки М до деформации. В процессе деформации базис местной системы координат преобразуется в новый базис: дх Эх? Метрический тензор криволинейной системы координат в деформированном состоянии определяется выражением: % (e W)(ej" W (І.ІЗ) _ 29—
Величины с . являются компонентами тензора конечных деформаций 4/ = J ( Vj ч- Vj V. + JJ »т V Vm} (1.14) Слагаемые компонент .. в выражении (I.I4) вычисляются по формуле: v.v vvm dvK dvK (і.іб) Формула (I.16) следует из зависимости: = dvK , ? . dv_1 дхг mn _ dxl (3pcm dxJ дхп = ! . & dx e дх IP s ґ 1PL IP r дхс IP Сумма первых двух слагаемых в формуле (I.I4) является тензором бесконечно малых деформаций С -у( « +Z4) (1Л7) При переходе в общую систему координат тензор бесконечно малых деформаций можно записать в виде: -зо— В качестве физической модели, характеризующей связь между напряжениями и деформациями, в настоящей работе принята модель однородного изотропного упругого материала, подчиняющегося закону Гука. Согласно этому закону тензор напряжений и тензор конечных деформаций связаны зависимостью: gij = дЦтп f (ІЛ9) где G у - компоненты тензора упругих констант. В местной системе координат контравариантные компоненты тензора 6 вычисляются по формуле f 95 }
Построение редуцированной задачи
Теперь от вариационной формулировки (2.9) можно вновь вернуться к постановке задачи на собственные значения. Отметим, что выражение (2.9) не определяет значение частоты собственных колебаний, так как числитель и знаменатель являются функциями пока неизвестных амплитуд обобщенных координат Я Для их определения будет использовано условие, что метод Релея дает верхнюю границу частоты собственных колебаний. Другими словами, любая принятая форма колебаний приводит к определению частоты, которая больше истинной частоты. Поэтому наилучшее приближение для формы колебаний, т.е. оптимальный выбор 2 , минимизирует частоту.
Таким образом, дифференцирование выражения для квадрата частоты (2.9) по любой из обобщенных координат и приравнивание производной нулю приводит к обобщенной проблеме собственных значений MZ = Я КЕ . (2.12)
Ниже уравнение (2.12) называется редуцированной задачей. Итак, отыскание условий стационарности выражения Л() в m -мерном векторном пространстве Em 6 Еп эквивалентно решению обобщенной проблемы собственных значений. Приближенные собствен-ные векторы Ы вычисляются с помощью выражения (2.8). Сопоставление выражений (2.3) и (2.12) показывает, что использование вариационной трактовки задачи позволяет достигнуть уменьшения числа степеней свободы расчетной модели от п до па . Уравнение (2.8) является уравнением преобразования координат, а соотношения (2.10) и (2.II) - матрицами обобщенных жесткостей и масс. Сведение исходной задачи (2.3) большой размерности к задаче меньшей размерности (2.12) дает возможность использовать для нахождения собственных чисел и форм эффективные стандартные алгоритмы - 64-линейной алгебры, например метод Якоби и т.д.
Таким образом, использование вариационного метода Релея-Рит-ца для задачи на собственные значения позволяет достаточно просто определить приближенные собственные частоты и формы дискретной модели.
Важной проблемой является удачный выбор базиса L подпространства Вт t в котором отыскиваются приближенные собственные формы.
Теоретически в качестве предполагаемой системы векторов У = \А } іг ) ., tm J , определяющих подпространство Е т , можно выбрать произвольную комбинацию т линейно независимых векторов пространства Е у, . Однако точность приближенных собственных частот и собственных форм существенно зависит от способа задания базиса j . Описанная в данном пункте методика основана на работах Е.С.Дехтярюка и Е.Д.Лумельского f 3 5 у 37,40 , 46, 61 ]
Собственные векторы задачи (2.3) являются обобщенными перемещениями дискретной модели, определяющими деформированное состояние модели при колебаниях. Низшие собственные формы могут быть -приближены линейной комбинацией векторов перемещений в элементарных деформируемых состояниях. В качестве таких элементарных состояний можно принять системы перемещений дискретной модели при действии единичных обобщенных узловых сил [ 3 s ] .
Из физических соображений представимости форм колебаний задается совокупность единичных воздействий, которая должна обеспечить адекватность представления поля перемещений модели при колебаниях в рассматриваемом диапазоне частот.
При единичных воздействиях получается матрица податливости L размерностью ( n х т1 ) , где т ± - количество единичных линейно независимых обобщенных состояний. Здесь следует отметить то обстоятельство, что количество векторов т± базисной систе мы (± , tz - J mi может быть значительно боль шим количества векторов m . Это связано с тем, что система 1± % гг\ выбирается из физических соображений представимости перемещений, а количество т векторов определяется из условий сходимости нескольких низших форм.
Для формирования подпространства Втг (матрица податливости L ) требуется до некоторой степени иметь представление о характере исследуемых колебаний. При исследовании колебаний пластины низшие формы - это изгибные колебания, а столбцы матрицы податливости - это перемещения и углы поворота точек срединной поверхности при действии в некоторых точках единичных нормальных к поверхности пластины сосредоточенных сил (или изгибающих моментов). При задании единичных воздействий для снижения размерности mi следует задавать лишь такие, которые существенны для исследуемой динамической задачи.
При исследовании колебаний пластин и оболочек в большинстве случаев пренебрегают моментами инерции вращения, а поэтому естественно в качестве единичных обобщенных узловых сил принимать только те, которые совершают работу на линейных перемещениях.
В тех случаях, когда нельзя выделить определяющие динамические степени свободы, целесообразно выбирать систему базисных узлов дискретной модели и использовать все степени свободы в этих узлах.
Устойчивость периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений
Метод итерации в подпространстве можно рассматривать как систематическое применение метода Ритца, в котором приближения собственных векторов, полученные в предыдущей итерации, используются для формирования векторов нагрузок текущей итерации. Исследования показали,, что этот метод является весьма эффективным при решении задач о колебаниях систем большого порядка.
Для сходимости процесса и получения удовлетворительной оценки первых m собственных векторов необходимо выбрать достаточную размерность подпространства Ет1. Процесс продолжается до тех пор, пока с необходимой точностью не будут определены искомые тл форм, при этом сходимость к низшим формам колебаний достигается скорее. Дополнительные (ггц-па ) пробных векторов включают в расчет для ускорения сходимости. Однако итерации с большим числом векторов естественно увеличивают объем вычислений в каждом цикле. Поэтому необходимо обеспечивать разумное соотношение между числом используемых векторов и числом циклов для сходимости про цесса вычислений. Опыт показал, что наилучший выбор определяется меньшей из двух величин тг = г т и rri = m.-+ 8 [б ,54] : mt Уу min ( 2 m , m + 8) . (2.49)
Практика вычислений показала, что условие выбора (2.49) является достаточно эффективным и обеспечивает вычисление низшей собственной частоты СО і с приемлемой точностью за несколько (обычно 1 3) итераций.
При итерациях в подпространстве так же, как при реализации других итерационных процессов, необходимо на каждом шаге анализировать сходимость полученных приближений. В процессе вычислений должна проверяться сходимость векторов базиса U по норме.
Предположим, что на і -м и ( +1) -м шаге итераций вычислены значения норм о 1 и о по формуле: К =У(С)г . (2.50) Оценка сходимости процесса итерации подпространства выполняется на основе проверки следующего неравенства: t-fi t А (2.51) где па - количество собственных векторов, для которых осуществляется проверка сходимости, А - малое число, характеризующее необходимую точность вычисления собственных векторов. Если неравенство (2.51) удовлетворяется для всех т/ векторов, то процесс итераций заканчивается.
В настоящем пункте приведено решение задач по определению собственных частот и форм свободных колебаний пластин. Задачи решены с помощью подсистемы LiDYS [40,61] работающей совместно с системой статического расчета ФРОНТ [ 7Ъ ] .С целью проверки достоверности результатов и эффективности вычислений с помощью подсистемы LI DYS были выполнены расчеты для трех различных объектов: круглой пластины, квадратной пластины и треугольной пластины. Расчетные конечно-элементные модели пластин представляются набором плоских изгибных конечных элементов.
Задача I. Свободные колебания круглой пластины. Рассматривалась круглая пластина, шарнирно опертая по контуру. Исходные данные пластины следующие: радиус R = 0,9 м, толщина 5 = -2 ТТ = 3 10 м, модуль упругости Б = 1,96 ЮххПа, коэффициент
Пуассона т? =0,3, удельный вес Г = 7,85 ТО4 Н/м3. МКЭ - модель пластины, состоящая из 60 элементов, представлена на рис. 2.1. В задаче на собственные значения определялись первые 9 собственных форм и частот, которые затем уточнялись с помощью метода итерации подпространств. Первые три собственных числа после 2-ой итерации оказались равными с ) = 274,43 рад/сек, с02 = = 793,86 рад/сек, о)ъ = 1415,38 рад/сек, Аналитическое решение [ВО] дает следующие значения этих же частот: сО - 276,27 рад/ сек, o)J = 773,473 рад/сек, 0)$ = 1423,929 рад/сек. Отличие точного и приближенного решений составляет соответственно 0,65$, 2,4%, 0,63$.
Границы областей неустойчивости вынуаденных нелинейных колебаний циклически-симметричных систем
Математической моделью механических динамических систем являются некоторые дифференциальные уравнения движения совместно с начальными и граничными условиями. Решение этих дифференциальных уравнений дает функциональную зависимость параметров, характеризующих состояние системы, от времени. Математическая модель ЛИШЕ» приближенно описывает поведение реальной динамической системы. Как правило, существуют неизбежные неточности в определении параметров модели, начальных условий,не учитьгоаются нзкщыз малые воздействия и другие. Эти неточности приводят к расхожде - 102 нию между решениями дифференциальных уравнений и свойствами реального движения исследуемых динамических систем. Поэтому при изучении колебательных режимов возникает задача об исследовании устойчивости динамического состояния по отношению к возможным возмущениям.
Под устойчивым понимается такое решение, которое изменяется сколь угодно мало при достаточно малых изменениях параметров уравнений. Неустойчивые же даже при малых отклонениях от номинала могут со временем претерпевать сильные изменения. Так как отклонения параметров динамической системы от заданных неизбежны, то физически реализуемыми формами периодических движений оказываются только те, которые соответствуют устойчивым решениям.
Одна из особенностей дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные колебания нелинейной механической системы, состоит в том, что при заданном значении ее параметров может существовать несколько периодических режимов. Следовательно, для нелинейных систем проблема устойчивости является особенно актуальной. Исследование устойчивости периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев сводится к анализу уравнений в вариациях, являющихся линейными уравнениями с периодическими коэффициентами.
Дадим формальное определение понятия устойчивости в смысле Ляпунова [64 ,66] . Пусть поведение динамической системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений: = ЩЛ) , (3.58) где U (Ц1 j Ч?,Чп) - переменные, характеризующие состояние системы, і -независимая переменная (время), -вектор-функция определенная в некоторой выпуклой области в-сп+і) - мерного пространства Ей , удовлетворяющие условиям теоремы сущест — 103 вования и единственности решения. Рассматривается некоторое решение системы (3.58) Ц- = ±№ (i = bZj-A) , определенное на интервале ft, у-о) , удовлетворяющее начальным условиям ( ,у 0) = ЦСо .
Решение J i) называется устойчивым по Ляпунову при t- -« } если для любого уо существует такое S О , зависящее от В и і о , что любое решение и. = Xi&), для которого при і=і0 выполняется неравенство Ij .(i)- J.ci,)l 8 , удовлетворяет неравенству \Х№- &Ц при і0 і «с для всех
Решение называется неустойчивым, если существует о такое, что для некоторого значения і к и t=ti будет выполняться равенство IX (& - TJtf) l » несмотря на то, что/Х (Ъ,) - ЦЪ ) ВСеХ С = 1 г - П " Решение у. а) называется асимптотически устойчивым, если 1) решение jjrt) устойчиво по Ляпунову при 2) существует такое число И 0 , что для любого решения X.(t)t удовлетворяющего при t=t0 ке &векству/Х/й)-J.Ct) l H 4 будет справедливо равенство km \X - 7 / = Если :,;НЗФІ то динамическая система называется устойчивой в целом. Исследование устойчивости любого решения системы (3.58) можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения Пусть ЦІ(& - решение системы (3.58). Рассмотрим некоторое решение Urt)= Ц-rt) + АЧІ (і) ( ос) . Тогда функция Л у. сі) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений
