Введение к работе
Актуальность темы. Большой практический интерес в последние годы представляют задачи механики деформируемого твердого тела для неоднородных тел: полимеркомпозитов, функционально-градиентных материалов, геологических пород, биологических тканей. Изучение их структуры и механических свойств „ их идентификация стали объектом широких научных исследований.
Следует отметить, что использование непрерывно неоднородных моделей требует знания функций, характеризующих неоднородность. Их определение сводится к нахождению переменных коэффициентов линейных дифференциальных операторов, возникающих при исследовании задач для различных моделей упругости, пороупругости, вязкоупругости и др.. Прямые экспериментальные оценки таких функций требуют больших временных и материальных затрат.
Поэтому требуется разработка альтернативных методов идентификации неоднородных характеристик деформируемых твердых тел, описывающих их свойства (например, на основе концепции динамических модулей в рамках простейших неоднородных моделей вязкоупругости).
Эти методы в основном, опираются на акустическое зондирование и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела, позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта. В настоящее время обратные коэффициентные задачи — бурно развивающаяся часть современной математической физики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач. При этом отметим наиболее простой и в тоже время важный для приложений класс одномерных обратных задач для стержней и пластин.
Отметим, что к настоящему моменту методы решения задач о колебаниях неоднородных тел достаточно подробно разработаны и в основном опираются на метод конечных элементов (МКЭ), однако обратные задачи идентификации неоднородных свойств стержней и пластин по некоторой дополнительной информации при изгибных колебаниях исследованы недостаточно.
Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.
Цель работы заключается в решении задач идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин (упругих и вязкоупругих) при изгибных колебаниях, причем важное значение имеет вывод операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, подтверждение идентификационной значимости собственных частот и собственных форм колебаний в задачах определения механических характеристик.
Методика исследований прямых задач для неоднородных стержней
основана на сведении исходных краевых задач к интегральному уравнению
Фредгольма 2-го рода, решение которых осуществлено численно на основе
метода коллокаций. Решение прямых задач для неоднородных пластин
реализовано на основе метода Ритца. Обратные задачи идентификации
неоднородных характеристик стержней сведены к решению системы
интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода .Полученные системы решены
на основании метода регуляризации А.Н. Тихонова в окрестности известного
начального приближения, причем начальное приближение определяется из
условия минимума функционала невязки. Решение обратных задач
идентификации неоднородных характеристик пластин основано на
применении проекционного метода Галеркина.
Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке методов решения и способов построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по идентификации неоднородных свойств для упругих и вязкоупругих стержней и пластин при анализе изгибных колебаний.
Достоверность результатов, полученных в настоящем исследовании, основана на строгом математическом аппарате краевых задач теории упругости и вязкоупругости, на корректном сведении краевых задач для неоднородного стержня к интегральному уравнению (системе) Фредгольма 2-го рода или использовании проекционных численных методов для неоднородных пластин, на их численном анализе, сравнении результатов, полученных в работе, с известными частными случаями; на большом количестве вычислительных экспериментов по решению обратных задач для различных типов нео дноро дностей.
Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов идентификации неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях, а также исследовании возможностей процедуры идентификации механических свойств в зависимости от законов изменения неоднородностей и граничных условий.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации
докладывались, на III-VI всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2007-2011 гг.), на IX, X всероссийских конференция по биомеханике «БИОМЕХАНИКА-2008» (Нижний Новгород, 2008 г.), «БИОМЕХАНИКА-2010» (Саратов, 2010 г.), на акустическом симпозиуме «Консонанс 2009» (Киев, 2009 г.), на IX международной научно-технической конференции «Инновация, экология и ресурсосберегающие технологии на предприятиях машиностроения, авиастроения, транспорта и сельского хозяйства» (Ростов-на-Дону, 2010 г.), на XV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.
Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе три статьи представлены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть
опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 109 наименований и приложений, включает 45 рисунков и 7 таблиц общим объемом 105 страниц машинописного текста.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00734, № 10-01 -00194-а) и ФЦП " Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (госконтракт П596).
