Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Уравнение колебания предварительно напряжённых пластин
1. Общая постановка задачи о колебании предварительно напряжённой пластины
2. Уравнение колебания предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины 24
3. Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины 30
4. Приближённые уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённых трансверсально-изотропных пластин 35
5. Приближённые уравнения продольных колебаний предварительно напряжённых трансверсально-изотропных пластин 37
6. Исследование пределов применимости приближённых уравнений предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины 40
ГЛАВА II Исследование колебаний предварительно напряжённых прямоугольных пластин 43
1. Аналитическое решение задачи о колебании пластины, шарнирно опёртой по контуру 43
2. Собственные колебания пластины, жёстко закреплённой по контуру 49
3. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён (два решения различными методами) 57
4. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний пластины, два края которой шарнирно опёрты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной) 66
5. Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвёртый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной 76
6. Выводы и сравнения 87
ГЛАВА III Некоторые прикладные задачи вынужденных колебаний предварительно напряжённых прямоугольных пластин 89
1. Нормальный удар по поверхности пластины, шарнирно опёртой по контуру 89
2. Нормальный удар по поверхности пластины, имеющей различные граничные условия 92
3. Нестационарные колебания двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой 95
Заключение 112
Список литературы 114
- Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины
- Исследование пределов применимости приближённых уравнений предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины
- Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён (два решения различными методами)
- Нормальный удар по поверхности пластины, имеющей различные граничные условия
Введение к работе
. Актуальность темы.
Многие научные, прикладные и технические проблемы современной техники и строительства связаны с исследованием колебательных процессов в деформируемых сплошных средах.
Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики. Возникла необходимость получения более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства. Одним из важнейших в строительстве является вопрос расчета колебаний плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин является одним их актуальных разделов прикладной теории упругости и имеет несомненный практический интерес в строительной науке.
При проектировании и строительстве различных инженерных сооружений необходим расчет несущих элементов конструкций на действие различных внезапно возникших динамических нагрузок. Поэтому, изучение динамического поведения элементов инженерных сооружений с учетом свойств материала и влияния окружающей среды при динамическом воздействии (например, сейсмическая волна) представляет собой актуальную проблему.
Цель работы. Вывод общих уравнений о собственных продольных и поперечных колебаниях предварительно напряженной пластины, получение приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний прямоугольной пластины, сравнение полученных результатов с ранее полученными классическими результатами и решение практически важных задач.
На защиту выносятся. Вывод уравнений общих и приближенных поперечных и продольных колебаний предварительно напряженных пластин. Получение частотных уравнений и нахождение частот собственных поперечных колебаний прямоугольной в плане пластины с различными условиями закрепления.
Общие уравнения поперечных и продольных колебаний прямоугольных предварительно напряженных пластин, основанные на них приближенные уравнения поперечных колебаний предварительно напряженных прямоугольных пластин, решение конкретных прикладных задач поперечных колебаний данных пластин. Анализ и сравнение численных результатов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
-
Описывается общая постановка задачи о колебании предварительно напряженной пластины.
-
Получено уравнение колебания предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.
-
Выводится общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.
-
Получены приближенные уравнения поперечных колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин.
-
Выведены приближенные уравнения продольных колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин.
-
Исследуются пределы применимости приближенных уравнений предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.
-
Получено уравнение собственных колебаний предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины, жёстко закрепленной по контуру.
-
Выведено частотное уравнение собственных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен. Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.
-
Получено уравнение собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной).
-
Выведено частотное уравнение собственных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной.
-
Решена задача о нормальном ударе по поверхности предварительно напряженной пластины, шарнирно опертой по контуру.
-
Получено решение задачи о нормальном ударе по поверхности предварительно напряженной пластины, имеющей различные граничные условия.
-
Получено решение задачи о собственные колебания двух предварительно напряженных пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения уравнений продольных и поперечных колебаний изотропной предварительно напряженной прямоугольной пластины к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в трёх статьях.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Работа изложена на 119 страницах, в том числе включает 9 рисунков.
Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины
В том случае, если вертикальная пластинка отсутствует, то из условий (1.5) получаем граничное условие для края, свободного от напряжений. Если же вертикальная пластинка является жёстким телом, то получаем граничные условия для края пластинки, находящейся в условиях жёсткого закрепления. Заметим так же, что из условий упругой заделки невозможно получить условия шарнирного закрепления.
Широкое применение получил асимптотический метод в расчете пластин на колебания, разработанный Болотиным В.В. [10].
Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свободных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и поправочных решений, которые называются динамическими краевыми эффектами. Для каждой границы тела строят решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям на соответствующей границе. Число таких выражений равно числу границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична склеиванию моментных и без моментных решений в теории оболочек или склеиванию вязких и невязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это склеивание может быть выполнено только приближённо. Чем быстрее затухают краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты. Затем может быть получено асимптотическое выражение для собственных частот. Что касается асимптотического выражения для свободных форм, то оно может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и ребер. Это типично и для других методов, использующих идею краевого эффекта.
Следует заметить, что выше указанным приближённым методом следует пользоваться для задач, когда граничные условия отличны от краевых условий Навье, т.к. решение, удовлетворяющее основному уравнению движения, одновременно удовлетворяет и краевым условиям.
В настоящей работе используется новый приближённый метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г.И. [89] и переработанный Филипповым И.Г. и Егорычевым О.О. [36] для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Во Введении обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится краткий обзор имеющихся в литературе результатов по построению теорий поперечных колебаний пластин. В первом параграфе первой главы описывается общая постановка задачи о колебании предварительно напряжённой пластины. Во втором параграфе первой главы получено уравнение колебания предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины. В третьем параграфе первой главы выводится общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины. В четвёртом параграфе первой главы получены приближённые уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённых трансверсально-изотропных пластин. В пятом параграфе первой главы выведены приближённые уравнения продольных колебаний предварительно напряжённых трансверсально-изотропных пластин. В шестом параграфе первой главы исследуются пределы применимости приближённых уравнений предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины. -15 Во второй главе излагаются исследования предварительно напряжённых прямоугольных пластин. В первом параграфе второй главы рассматривается аналитическое решение задачи о колебании пластины, шарнирно опёртой по контуру. Во втором параграфе второй главы получено уравнение собственных колебаний трансверсально-изотропной пластины, жёстко закреплённой по контуру. В третьем параграфе второй главы выведено частотное уравнение собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён. Рассматриваются два решения различными методами — методом декомпозиций и аналитическим. В четвёртом параграфе второй главы получено частотное уравнение собственных поперечных колебаний пластины, два края которой шарнирно опёрты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной). В пятом параграфе второй главы выведено частотное уравнение собственных колебаний пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвёртый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной. В шестом параграфе второй главы делаются краткие выводы по главе и сравнение полученных результатов. В третьей главе рассматриваются прикладные задачи вынужденных колебаний для предварительно напряжённых прямоугольных пластин. В первом параграфе третьей главы решается задача нормального удара по поверхности пластины, шарнирно опёртой по контуру.
Исследование пределов применимости приближённых уравнений предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины
Построенное решение справедливо при низких частотах колебания. Поэтому количество членов в суммах правой части решения (3.2.12) можно ограничить несколькими первыми слагаемыми, частоты которых должны удовлетворять области применимости приближённого уравнения колебаний, в данной задаче, четвёртого порядка.
Таким образом, возможно решать задачи о нормальном ударе по поверхности прямоугольной пластины для класса задач, обусловленных граничными условиями. Из (3.2.12) можно получить решение задачи для полосы при 1Х —»оо или для бесконечной пластины при (/,/2) — со. Аналогично решается задача о нормальном ударе по поверхности прямоугольной пластины для задач колебания, когда для нахождения частот собственных колебаний применялся метод декомпозиций. Задачи о нормальном ударе по поверхности прямоугольной пластины более сложной структуры, т.е. для других плоских элементов, также можно решать предложенным методом. 3. Нестационарные колебания двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой Рассмотрим динамическую задачу о совместном колебании двух упругих предварительно напряжённых прямоугольных пластин и упругой среды, заполняющей пространство между пластинами, при воздействии на одну из пластин импульсивной нагрузки. Бесконечные по одной из координат упругие пластины ограничены по другой координате жёсткими стенками. Пластины жёстко соединены со стенками. Трение между стенкой и наполнителем отсутствует. Пусть в некоторый момент времени t, выбранный для удобства равным h tQ= —, а - скорость продольной волны в наполнителе, к верхней пластине а прикладывается импульсное давление интенсивности f{t). Необходимо определить напряжённо-деформированное состояние в наполнителе и колебания упругих пластин. В связи с тем, что стенки полагаем абсолютно жёсткими, то возмущённое поле в упругом наполнителе будем приближённо считать соответствующим плоскому деформированному состоянию, т.е. производные компонент вектора смещения частиц наполнителя по координате х, в силу их малости по сравнению с производными компонент вектора смещения частиц наполнителя по координате z, будем пренебрегать в уравнениях движения частиц наполнителя, т.е. возмущённое поле в наполнителе будет зависеть от координаты х как от параметра. В том случае, если нагрузка равна и постоянна по всей оси ОХ, то это утверждение имеет точное значение.
Задачу будем решать в безразмерных переменных, принимая за размерные параметры высоту h и скорость продольной волны а.
При указанных предположениях задачу определения возмущённого поля в упругом наполнителе можно свести к определению потенциала (р(z,t), удовлетворяющего волновому уравнению:
Вывод частотного уравнения собственных колебаний пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён (два решения различными методами)
Законы внутреннего развития фундаментальных исследований в механике деформируемого твердого тела выявили тенденции к возможно более полному учёту механических и физических свойств исследуемых материалов, эффектов взаимосвязи деформационных полей. Среди всех перечисленных факторов одно из ведущих мест занимают проблемы теоретического и экспериментального анализа волновых и колебательных процессов в деформируемых средах и в частности плоских элементах строительных конструкций различного назначения. Частным их случаем являются пластинки.
Пластины, как плоские элементы конструкций, постоянно имеют широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность. Огромный размах промышленного и жилищного строительства приводит к необходимости дальнейшего развития положений строительной науки. Одним из таких вопросов является вопрос расчета колебаний ограниченных в плане плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теорий колебания пластин, а также точная формулировка краевых задач для этих теорий, является одним из актуальнейших разделов прикладной теории упругости.
Отметим, что многие уточненные теории поперечных колебаний пластин основываются на ряде допущений и гипотез физического и геометрического характера, в ряде случаев не согласующихся между собой, а также отсутствует строгое обоснование начальных и граничных условий. В силу этого анализ полученных в диссертационной работе граничных условий, при решении краевых задач о колебаниях прямоугольных в плане пластин и сравнительный анализ полученных решений для различных видов уравнений колебания (т.е. для различных теорий колебания) является весьма актуальной темой для научного поиска, имеющей несомненный практический интерес.
Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а, как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.
Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, А.А. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р. Кристенсен, В.Д. Кубенко, Н.Н. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и другие.
Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С.А. Амбарцумяна, В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна, О.О. Егорычева, Г.Б. Колчина, СВ. Кузнецова, С.Г. Лехницкого, В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и многих других. Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В.А. Андреева, И.А. Бригера, ЯМ. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, Р.А. Хечумова, Н.Н. Шапошникова и многих других.
Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений, связаны с работами таких ученых, как Л.Я. Айнола, А.Я. Александров, А.А. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, Л.М. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов, М.А. Дашевский, О.А. Егорычев, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский, Л.В. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт, У.К. Нигул, Н.А. Николаенко, И.Н. Преображенский, В.Д. Райзер, А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, СП. Тимошенко, Я.С. Уфлянд, Г.Л. Хесин, А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов и многие другие.
Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, Р.Д. Миндлин, Г.И. Петрашень, СБ. Смирнов, А.Я. Сагомонян, Л.И. Слепян, Х.Р. Рахматулин, И.Г. Филиппов, Г.Л. Хесин, Я.С. Уфлянд и многие другие.
Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем. Проблемам вывода уравнений поперечных колебаний пластин и методам их решения посвящены работы большого числа авторов.
Леонард Эйлер одним из первых рассмотрел проблему изгиба тонкой упругой пластины применительно к ее колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающей поперечной инерцией. Е. Хладни своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебания пластин. Якоб Бернулли исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок.
Нормальный удар по поверхности пластины, имеющей различные граничные условия
Практическое значение приведённых в диссертационной работе исследований связано с возможностью применения разработанных общих и приближённых теорий колебаний, использованию аналитических методов к решению актуальных прикладных задач, уточнению существующих приближённых теорий колебаний для более точного расчета колебаний плоских элементов конструкций и сооружений при нестационарных внешних воздействиях.
В данной работе даны выводы частотных уравнений ряда задач для предварительно напряжённых пластин с различными закреплениями по краям и получены картины изменения частот плоских элементов в зависимости от материала и его геометрии.
Полученные теоретические результаты для решения динамических задач поперечного колебания пластин постоянной толщины позволяют более точно рассчитывать напряжённо-деформированное состояние пластин при нестационарных внешних нагрузках. Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний предварительно напряжённой прямоугольной пластины постоянной толщины для различных видов закреплений, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.
На защиту выносится вывод общих и приближённых уравнений поперечных и продольных колебаний предварительно напряжённых прямоугольных пластин: — получение частотного уравнения и нахождение частоты собственных поперечных колебаний пластины, шарнирно закреплённой по всем четырём краям, и проведение сравнения для теорий колебания Кирхгофа и Филиппова; — получение приближённого решения задачи о собственных поперечных колебаниях пластины, жёстко закреплённой по контуру, и проведение сравнения для теорий колебания Кирхгофа и Филиппова; — получение решения задачи для нахождения приближённых частотных уравнений и собственных поперечных колебаний пластины, три края которой шарнирно опёрты по контуру, а четвёртый жёстко закреплён (два решения различными методами — методом декомпозиций и аналитическим), и проведение сравнения для теорий колебания Кирхгофа и Филиппова; — выведенные при помощи метода декомпозиции приближённые частотные уравнения и посчитанные по ним частоты собственных поперечных колебаний прямоугольной в плане пластины, два края которой шарнирно опёрты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной); — выведенные при помощи метода декомпозиции приближённые частотные уравнения собственных поперечных колебаний пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвёртый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной; — получение решения задачи для вынужденных колебаний при нормальном ударе по поверхности пластины, шарнирно опёртой по контуру; — получение решения задачи для вынужденных колебаний при нормальном ударе по поверхности пластины, имеющей различные граничные условия; — получение решения задачи о нестационарных колебаниях двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой; — сравнительный анализ полученных результатов. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в четырёх статьях. Результаты работы докладывались: — на XVI словацко-российско-польском семинаре "Теоретические основы строительства" в 2007 г.; — на шестой научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» ИФО МГСУ в 2008 г.; — на научном семинаре кафедры "Теоретическая механика" в МГСУ в 2009 г.; — на XVIII российско-словацко-польском семинаре "Теоретические основы строительства" в 2009 г. Диссертационная работа выполнялась согласно программе под руководством д.т.н., профессора Егорычева О.О. на кафедре Теоретической механики в МГСУ.
