Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка прямых и обратных задач о колебаниях неодно родных тел 15
1.1. Вязкоупругие тела. Общая постановка задачи о колебаниях вяз-коупругих тел на основе принципа соответствия 15
1.2. Постановка задач об изгибных колебаниях вязкоупругих стержней 18
1.3. Постановка задачи о колебаниях неоднородного по толщине вяз-коупругого слоя 20
1.4. Постановка задач о колебаниях электроупругого прямоугольника . 23
1.5. Постановка обратных задач 25
1.6. Постановка задачи об идентификации свойств многослойных биологических тканей 29
Глава 2. Исследование прямых задач для неоднородных тел на основе сведения к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода . 32
2.1. Изгибные колебания вязкоупругих стержней 32
2.2. Колебания вязкоупругого слоя 36
2.3. Колебания электроупругого прямоугольника 37
Глава 3. Методы исследования обратных коэффициентных задач . 41
3.1. Некоторые сведения об обратных и некорректных задачах 41
3.2. Общая схема построения итерационных процессов 44
3.3. Специальный метод выбора начального приближения 48
3.4. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругих стержней 51
3.5. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругого слоя 58
3.6. Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств электроупругого прямоугольника 63
Глава 4. Вычислительные эксперименты 69
4.1. Методы, используемые при численной реализации решений 69
4.2. Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач об изгибных колебаниях стержней 73
4.3. Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач о колебаниях слоя 81
4.4. Вычислительные эксперименты по идентификации неоднородных свойств кожного покрова 92
4.5. Вычислительные эксперименты по идентификации свойств электроупругого прямоугольника 98
Заключение 103
Литература
- Постановка задачи о колебаниях неоднородного по толщине вяз-коупругого слоя
- Колебания вязкоупругого слоя
- Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругих стержней
- Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач о колебаниях слоя
Введение к работе
з
Актуальность работы. Исследование характеристик материалов со сложными неоднородными свойствами, таких как полимеркомпозиты, функционально-градиентные материалы, геологические породы, пьезокерамики, биологические ткани в настоящее время является одним из важнейших направлений механики сплошной среды. Процедура осреднения, присущая механике композитов, не всегда дает результаты, близкие к экспериментальным данным, поэтому использование моделей с переменными характеристиками весьма актуально. Вследствие сложности прямых экспериментальных оценок механических свойств таких материалов со сложной реологией важна разработка новых методов идентификации неоднородных характеристик, основанных на различных моделях материалов: упругих, вязкоупругих, электроупругих и др. Кроме того, в связи со спецификой самих материалов (например, биологических тканей) интерес представляют неинвазивные методы, одним которых является акустическое зондирование, при специальной обработке результатов которого удается восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта.
В случаях однородных или кусочно-однородных характеристик исследуемого материала вычислительные схемы их идентификации на основе анализа характера колебаний традиционны и строятся на основе минимизации функционалов невязки. При исследовании идентификации свойств материалов с учетом неоднородных свойств на начальных этапах исследования была широко распространена постановка, в которой известны (измерены) физические поля внутри исследуемого объекта. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Если информацию о физических полях можно получить только на границе тела, то обратная задача существенно нелинейна. В таком случае решение задачи сводится к нели-
нейным операторным уравнениям, которые могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, принципы построения которых опираются на слабую постановку и метод линеаризации. В случае, когда требуется определение нескольких функций, задача сводится к решению нетривиальных нелинейных обратных задач, которые стали исследоваться совсем недавно.
Цель работы заключается в построении методов расчета колебаний для идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе применения акустических методов и использование их при решении одномерных обратных коэффициентных задач для вязкоупругих и электроупругих тел типа балки, слоя, прямоугольника.
Методика исследования прямых задач о колебанях неоднородных тел основана на сведении краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, решаемым с помощью метода коллокаций. Исследование обратных задач идентификации свойств неоднородных тел проводится с помощью построения итерационных процессов, на каждом шаге которых решаются прямые задачи и с помощью метода регуляризации Тихонова определяются поправки к восстанавливаемым функциям из интегральных уравнений и систем интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.
Научная новизна диссертационной работы заключается в построении подходов к решению прямых и новых обратных задач, имеющих важное значение в разработке общих принципов идентификации свойств новых материалов, в частности, функционально-градиентных, пьезокерамик, а также многослойных биологических тканей.
Достоверность результатов, полученных в диссертации, основана на использовании строгого аналитического аппарата теорий упругости и вяз-коупругости, математического анализа и принципа соответствия при постановке задач и выводе операторных соотношений, на сравнительном анализе полученных результатов с известными решениями в частных случаях, проведении большого набора численных экспериментов для различных законов изменения
неоднородностей.
Практическая ценность диссертационного исследования состоит в построении и развитии эффективных методов идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе анализа акустического отклика, используемых во многих областях современной науки, таких как механика композитов, геомеханика, механика функционально-градиентных материалов, биомеханика. Использование предложенных подходов для анализа свойств биологических тканей, например, при обследовании кожного покрова пациента, может позволить на ранних стадиях выявлять различные патологии и заболевания.
Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были представлены на Всероссийских и международных конференциях: "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2011 г.), X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), XV и XVI международные конференции "Современные проблемы механики сплошной среды "(Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.), VI, VII, VIII Всероссийская школа-семинар "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете"(пос. Дивноморское, 2011, 2012 и 2013 г.), Russian-Taiwanese symposium "Physics and mechanics of new materials and their applications"(Rostov- on-Don, 2012), Всероссийская (с международным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013 г.) и на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 18 печатных работах [-], из них 8 [-] опубликованы в рецензируемых журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
Структура и объем работы.
Постановка задачи о колебаниях неоднородного по толщине вяз-коупругого слоя
В случаях, когда свойства материалов однородны или кусочно-однородны, пространство поиска параметров конечномерно, при этом вычислительные схемы их идентификации на основе анализа отклика на динамическое возмущение достаточно просты и сводятся к процедуре минимизации функционалов невязки. Подобная задача рассмотрена в работе [11], в которой предложена схема восстановления коэффициента Пуассона и модуля сдвига однородного изотропного материала по информации о граничных полях смещений, измеренных либо на части границы, либо на всей поверхности исследуемой области. Задача идентификации сведена к процедуре минимизации функционала невязки на основе метода граничных элементов. В работах [12], [13] представлены алгоритмы определения упруго-пластических характеристик слоистых композитов, где восстанавливаются кусочно-постоянные характеристики материала. Отметим, что к настоящему моменту достаточно подробно исследованы задачи определения вяз-коупругих свойств однородных материалов для тел конечных размеров [14],[15], решения которых строятся на основании минимизации функционалов невязки. На начальных этапах исследования задач идентификации свойств материалов с учетом неоднородных свойств в зарубежной литературе была широко распространена постановка, в которой известны физические поля внутри исследуемого объекта [16], [17], [18], [19]. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных [20] или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, которое решалось с помощью метода минимизации расширенного лагранжиана [16], регуляризованных методов обращения разностных схем [17], [18] и др. Также распространение получили задачи восстановления коэффициентов вязкоупругих моделей и неоднородных характеристик тела при возбуждении колебаний в нем [21], [22], либо воздействии на него индентором [23], [24]. В статье [23] производится оценка параметров вязкоупругой модели в многослойных структурах (например, коже). Материал полагался однородным и задача решена методом конечных элементов. В ходе экспериментов сделан вывод о негативном влиянии граничного условия типа жесткого защемления на процедуру идентификации. В исследовании [24] приведены результаты использования различных видов экспериментов для идентификации коэффициентов той или иной модели. Рассмотрены вопросы идентификации классических моделей Максвелла, Кельвина, модели стандартного вязкоупругого тела, для которых приведены результаты восстановления параметров. Также произведен эксперимент с отрезком аорты, свойства которого исследовались при растяжении и кручении. В работе [25] исследованы математические аспекты ультразвукового сканирования биологических тканей и реконструкции их свойств, в частности модуля сдвига, при этом в качестве регуляризующего алгоритма при нахождении градиентов полей использован метод B-сплайнов. Запатентованный метод активной резонансной вибрационной диагностики (РВД) был разработан для анализа механических повреждений сухожилий и костей голени человека, и представлен в работах [26], [27]. Авторами был разработан экспериментальный стенд для физического моделирования диагностики процесса остеосинтеза большеберцовой кости аппаратом внешней фиксации в виде плоской рамной конструкции, проведена серия экспериментов на четырех образцах кости с фиксатором и получены амплитудно-частотные характеристики, целой и разрезанной кости и биомеханической системы “кость-фиксатор”.
В работе [28] рассмотрены вопросы динамического моделирования биомеханических систем, состоящих из большеберцовой кости человека и устройств внешней фиксации в виде простейшей рамной конструкции и аппарата Илиза-рова. В исследовании с использованием программного кода MechanicsFE реализован метод конечных элементов на основе 20-узловых изопараметрических элементов. Численный вибрационный анализ позволил определить как основные низшие резонансные частоты и формы колебаний системы, так и амплитудно-частотные характеристики системы в различных точках на поверхности кости и фиксатора.
Если в задаче информацию о физических полях можно получить только на границе тела, то обратная задача существенно нелинейна [29]. В последнее время исследования связаны с более сложной постановкой, в которой известны (измерены) граничные поля в некотором диапазоне изменения спектрального параметра (частоты колебаний зондирующего возмущения). Она сводится к нелинейным операторным уравнениям, которые содержат промежуточные переменные - компоненты физических полей. Задачи в такой постановке могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, основные принципы построения которых опираются на слабую постановку и метод лине 7
аризации. В случае, когда требуется определение нескольких функций, задача сводится к исследованию нетривиальных нелинейных обратных задач, которые стали исследоваться совсем недавно [30], [31], [32].
Для более сложных областей - слоистых сред, полуплоскости, полупространства – прямые и обратные коэффициентные задачи об определении характеристик среды исследованы в работах [33], [34], [35], [36], [37], [38]. Так, например, в статье [33] рассмотрена обратная задача об определении кусочно-постоянной скорости волн в полуплоскости в случае, когда скорость распространения зависит только от глубины. Искомые величины определяются по информации о волновом поле, измеренном на части границы полуплоскости. В [34] рассматривается такая же задача для слоя. В [35] аналогичными методами исследуется задача электромагнитного зондирования дорожного полотна.
В биомеханике моделирование тканей и органов, проведение ортопедических операций на основе замещающих искусственных фрагментов, описание биологических процессов роста, регенерации требует знания механических характеристик тканей. Биологические ткани в настоящее время исследуются различными способами, причем в связи со спецификой приложений наибольший интерес представляют методы, не повреждающие и не разрушающие ткань. Для исследования свойств биологических тканей в настоящее время применяются акустические методы анализа и модели, созданные для упругих, вязкоупругих, пороупругих материалов, в том числе и неоднородных. В литературе представлен широкий спектр работ, связанных с задачами идентификации характеристик мягких биологических тканей на основе моделей вязкоупругости. В работе [39] был проведен анализ экспериментальных данных для определения действительной и мнимой части комплексного модуля. Эксперимент основывался на распространении сдвиговой волны через кожу, моделируемую изотропным вязкоупру-гим монослоем.
Для медицины значительный интерес представляют задачи, связанные с проведением пластических операций. Например, в [40] рассмотрены задачи на 8 тяжения кожи при проведении операции по лифтингу, приведен анализ наиболее распространенных моделей и сделан вывод о том что наиболее адекватно поведение реальной кожи описывают модель Кельвина и пятипараметрическая модель Бранкова, однако для моделирования выбрана модель Кельвина ввиду меньшего количества параметров. Сформулированы условия оптимального натяжения кожи и найден оптимальный режим релаксации напряжений. Эксперименты ставились на растяжение с постоянной скоростью нагружения с последующей релаксацией и на ползучесть. Из анализа результатов экспериментов определены параметры выбранной модели.
В работе [41] на первом этапе кожа моделировалась как несжимаемый упругий изотропный материал. Удельная потенциальная энергия деформации на первом этапе исследования задана в форме двухконстантного потенциала Му-ни. На втором – с помощью вязкоупругого аналога неогуковского тела. Идентификация модуля сдвига производилась на основе минимизации специального функционала, построенного с использованием интегрального оператора для ядра Колтунова. В исследовании [42] рассмотрена проблема оценки характеристик эластомеров биологического происхождения на примере кожи человека. Приведены диаграммы растяжения и релаксации образцов кожи из области живота. Представлена разработанная авторами математическая модель нелинейного вяз-коупругого деформирования кожи, основанная на использовании упругого потенциала и экспоненциального ядра релаксации, в которой использован потенциал Огдена, обеспечивающий более точные расчетные оценки напряжений в образце. Предложена методика идентификации параметров разработанной модели.
Колебания вязкоупругого слоя
В данном параграфе в качестве модельной рассматривается задача об идентификации неоднородных свойств кожного покрова, моделируемого вязкоупру-гим слоем, в свою очередь состоящим из трех слоев, толщины которых известны. Кожа является наиболее крупным органом человеческого тела. Общая площадь кожного покрова взрослого человека может превосходить два квадратных метра, ее масса составляет около 15% массы тела, а толщина ее колеблется от долей миллиметра до нескольких миллиметров. Известно, что кожа, являясь границей между организмом и окружающей средой, выполняет множество жизненно важных функций, таких как барьерно-защитная, терморегуляторная, иммунная, экскреторная и т.д.
Анализ состояния его кожного покрова, который, в отличие от внутренних органов, доступен для непосредственного контакта, является одним из важней 30 ших методов современной диагностики состояния здоровья пациента. Изменение вязкоупругих свойств в ряде случаев может быть связано с патологией внутренних органов человека, например, на определенной стадии заболевания почек появляется отек кожи, а степень и динамика его развития свидетельствуют о тяжести патологии [86]. В таких случаях полезно иметь объективные значения параметров, характеризующих вязкоупругие свойства, которые врач в силу своих субъективных ощущений дать не может. Также, стоит отметить, что большинство методов исследования механических свойств биологических тканей основано на использовании мертвых образцов, но, как известно, свойства живых и мертвых биологических тканей существенно различаются. Из исследований [87]-[88] можно выделить несколько основных методов исследования кожного покрова: исследование деформаций кожи при одноосном и двухосном растяжении, кручении, методы вдавливания и всасывания, для которых изготовлены приборы, широко использующиеся на практике, различные акустические методы, основанные на изучении сдвиговых поверхностных волн. Однако, эти приборы, работающие в определенных диапазонах характеристик, не всегда подходят для кожи. Изучение современных методов анализа характеристик кожного покрова показывает, что для объективной их оценки использование только одного метода малоэффективно и для более полного изучения свойств кожи необходимо применять совокупность различных методов.
Постановка задачи о сдвиговых колебаниях многослойной вязкоупругой среды, моделирующей кожный покров, аналогична постановке задачи в параграфе 1.3, где вектор нагрузок р = (р\, О, 0). Соответствующие уравнение и граничные условия после отделения временного множителя принимают вид: комплексного модуля (аналог модуля сдвига), где ущ(хз), /Ы-Хз) - мгновенный и длительный модули соответственно, п - время релаксации, р(хз)- плотность неоднородного слоя. Отличие заключается в том, что введенные функции могут иметь конечное число разрывов первого рода (что моделирует слоистые структуры).
Обратная задача 4.1 состоит в определении функций мгновенного и длительного модулей с учетом наличия точек разрыва первого рода на основе анализа физических полей на верхней границе. В данной работе рассмотрена обратная задача реконструкции функций ущ(хз), / fe) и и(х , к), удовлетворяющих (1.6.1), по дополнительной информации и(\,к) = /(к), к є [/сь/сг]. (1.6.2)
С помощью осреднения по переменной хі и введения обезразмеренных параметров и переменных задача сводится к виду обратной задачи 2.3 (1.3.5), (1.5.12) аналогично. Методика решения сформулированных обратных задач будет изложена в третьей главе, численные эксперименты - в четвертой. Глава 2 Исследование прямых задач для неоднородных тел на основе сведения к интегральным уравнениям
Рассмотрим задачи 2.1 и 2.2 для колебаний неоднородных стержней. Заметим, что дифференциальные операторы в уравнениях (1.2.3) и (1.2.5) являются операторами 4-го порядка с переменными коэффициентами, поэтому решения краевых задач (1.2.3) - (1.2.4) и (1.2.5) - (1.2.6) в общем случае изменения g(x) и h(x) могут быть построены лишь численно. Один из методов решения таких задач - сведение к интегральным уравнениям Фредгольма [89].
Исследование обратной задачи об идентификации неоднородных свойств вязкоупругих стержней
Условия 1, 2 характеризуют математическую определенность, а условие 3 -физическую детерминированность задачи. Задача называется некорректной, если для нее нарушается хотя бы одно из условий 1-3. Типичным примером некорректно поставленной задачи является линейное операторное уравнение Au = f с вполне непрерывным оператором A. В таком случае обратный оператор A-1 является неограниченным и задача построения решения уравнения является некорректной.
Далее приведено краткое описания наиболее распространенных методов [96], позволяющих преодолеть некорректность задачи.
1. Метод квазирешений [97]. Данный метод опирается на существование некоторой дополнительной информации об искомом решении (положительности, ограниченности). На основании этого строится некоторое компактное множество, на котором происходит поиск квазирешения – решения, доставляющего минимум функционалу невязки на этом множестве.
2. Метод А.Н. Тихонова [6],[98]. Основная идея этого метода состоит в приближении исходной неустойчивой задачи параметрическим семейством приближенных устойчивых задач и выборе параметра регуляризации в зависимости от уровня погрешности входных данных задачи. При этом строится специализированный стабилизирующий функционал, из минимума которого находится параметр регуляризации.
3. Метод итерационной регуляризации [99]. Метод состоит в том, чтобы по имеющейся априорной информации о погрешности входных данных выбрать некоторое приближение, близкое к точному решению. Используется для решения плохо обусловленных систем. В качестве параметра регуляризации выступает число итераций. 4. Метод усеченных сингулярных разложений, тесно связанный с ортогональными разложениями, в частности, с разложениями Фурье. Неизвестные величины находятся из приравнивания коэффициентов сингулярных разложений операторов задачи и разложений нееизвестных функций в ряды Фурье. Параметром регуляризации выступает число элементов таких разложений.
5. Метод регуляризации на компактных множествах, при котором решение ищется на компактном множестве, на котором задача является корректной, построенном с использованием априорной информации о нем.
6. Метод обращения разностной схемы, суть которого заключается в аппроксимации дифференциального оператора разностными схемами и последовательном нахождении узловых значений неизвестной функции.
В данной работе исследуется решение обратных коэффициентных задач, являющихся нелинейными некорректными задачами. Основной метод применяемый в работе - построение итерационных процессов на основе метода линеаризации с применением регуляризационного метода Тихонова.
Общая схема построения итерационных процессов
Для описания общей схемы построения итерационных процессов [100] рассмотрим установившиеся колебания с частотой и ограниченной области V с кусочно-гладкой границей S = Su U So-, а п- компоненты единичного вектора внешней нормали к S. Уравнения установившихся колебаний среды и соответствующие граничные условия можно представить в виде ) являются линейными дифференциальными операторами второго и первого порядков соответственно. Здесь введены обозначения: и -вектор полевых переменных, а - вектор-функция коэффициентов с ограниченными компонентами. Заметим, что линейность операторов L(a, со) и М(а, п) имеет место и по аргументу а. Спроектировав (3.2.1) на достаточно гладкий элемент v, удовлетворяющий граничным условиям, сформулируем слабую постановку [101], приводя получающееся скалярное произведение к виду
В данном случае вектор-функция коэффициентов содержит компоненты тензора модулей упругости и плотность. Будем считать, что выполнены обычные условия ограниченности и положительности упругой энергии и плотности р р(х) р+, C unAunj- Cnjki(x)uk,iunj C+unAunj-, где С+, С ,р+,р-положительные постоянные.
2. Для оператора вязкоупругости эта форма имеет аналогичный (3.2.3) вид в рамках концепции комплексных модулей и принципа соответствия [4], [77], [76], [81], [102], для которого достаточно заменить Сид/ — Сфі(х,ісо);
Далее приведены формулировки двух задач определения коэффициентов дифференциального оператора L на множестве неотрицательных ограниченных функций G+(V) в зависимости от известной информации о полях или их следах. 1. В первой постановке известным считается поле и (смещений, скоростей, температур, электрического потенциала) внутри тела и(х, соо) = U(x), х є V, а под решением обратной задачи понимается вектор-функция а є G+(V), удовле творяющая равенству (a, U,v) = b(v) для любого v є HQ(V). Решение обратной задачи сводится к решению линейного операторного уравнения с компактным оператором, или к решению задачи Коши для уравнения (или системы уравне ний) в частных производных первого порядка.
В данном случае сразу возникает слабая формулировка задачи относительно неизвестной вектор-функции а, сводящаяся к решению интегрального уравнения 1-го рода с компактным оператором, являющегося некорректной задачей, требующей применения методов регуляризации, например, метода А. Н. Тихонова [98].
Также можно рассмотреть подход, основанный на решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка
Решение задачи (3.2.4) часто может быть выписано в явном виде через решения дифференциальных уравнений 1-го порядка. Ситуация еще больше упрощается, если область V представляет собой цилиндрическое тело или пластину, для описания деформирования которых можно использовать упрощенные теории. В общей ситуации теорема Коши-Ковалевской [103] гарантирует единственное решение задачи (3.2.4) для гладкого элемента U.
Данная постановка слабо применима для решения практических задач - в них редко известна информация о полевых характеристиках во всем теле. Чаще требуется решать другие задачи, в которых информацию можно получить только на участках границы тела. Именно такие задачи, основанные на следующей постановке, рассматриваются в данной работе.
Во второй постановке известными считаются граничные значения поле 47 вых характеристик как функции частоты колебаний. При этом смещения возможно считать заданным как в области приложения нагрузки: u(x,a))\sa.=f(x,a)), we [wi, ]. (3.2.5) так и вне нее. В таком случае, под решением обратной задачи понимается пара элементов (и, а), удовлетворяющая (3.2.2) для любого достаточно гладкого элемента v, удовлетворяющего граничным условиям.
Нетрудно показать, что два различных решения (и1, а1) и (и2, а2) обратной задачи удовлетворяют обобщенному соотношению взаимности [104] или формуле Грина (а1 - а2, и1, и2) = Ь(и2 - и1). (3.2.6) Во второй постановке задача является нелинейной и некорректной проблемой, и в этом случае решение часто строится на основе обобщенного бесконечномерного метода Ньютона, где требуется вычислять производные по Фреше от операторов (этот подход реализован был в [6], [105]; для простых одномерных задач проведены и вычислительные эксперименты [85]).
Однако, билинейность оператора L(a, ш)и позволяет провести значительные упрощения. Строя последовательность слабых постановок и интегральных уравнений первого рода с гладкими ядрами, аналогичными построенным в постановке 1, можно создать итерационную процедуру построения решения обратной задачи. Изложим основные этапы решения обратной задачи во второй постановке с помощью следующего подхода.
Пусть а0 - начальное приближение для нахождения искомых коэффициентов. Начальное приближение можно определить в классе ограниченных функций простой структуры (линейных, либо кусочно-постоянных, в зависимости от наличия или отсутствия априорной информации) на основе минимизации функционала невязки Jo, причем
Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач о колебаниях слоя
Из результатов экспериментов видно, что при появлении у материала, из которого изготовлен стержень, вязкоупругих свойств экстремумы АЧХ (соответствующие резонансным частотам в упругом случае) сдвигаются вправо.
Вычислительные эксперименты по решению обратных задач. Далее приведены вычислительные эксперименты по решению обратных задач 1.1 (3.4.12), (3.4.14) и 1.2 (3.4.13), (3.4.14).
Пример 1. Рассмотрим упругий случай (т = 0). Тогда восстанавливаемый модуль G(X,IK) = h(x) = 1 + Ах2. Для обратной задачи 1.1. начальное приближение: ho(x) = 1Лх+0.9. На рисунке 4.2.5 приведены графики АЧХ для восстанавливаемой функции (сплошная линия) и начального приближения (точки) соответственно, из которых следует, что wo(l, к)и /(1,к) больше всего различаются в окрестности 2-й собственной частоты, частотный диапазон выбран следующим образом: [4.8,5.18]. График АЧХ для задачи обратной задачи 1.1 для восстанавливаемой функции и начального приближения
Для достижения точности є = 1 10-4 потребовалось 20 итераций. Погрешность составила не более 6%. Для обратной задачи 1.2 начальное приближение: ho(x) = 1Лх+0.9. Частотный диапазон: [4,5.2]. Для достижения точности є = 1 10-4 потребовалось 15 итераций. Погрешность не превосходит 4%. На рисунке 4.2.6 представлены результаты восстановления характеристик для постановок задач (3.4.12), (3.4.14) и (3.4.13), (3.4.14) соответственно. Графики относительных погрешностей восстановления приведены на рисунке 4.2.7. Здесь и далее при решении обратных задач сплошной линией обозначено точное решение, пунктиром - начальное приближение, точками - восстановленная функция.
Восстанавливаемые функции h(x) = 4-х2, g(x) = 5 + 2х2, т = 0.1. Для обратной задачи 1.1 начальное приближение найдено в виде: h0(x) = -0.6х + 4, go(x) - 2.5х + 4.5. По рассчитанным амплитудно-частотным характеристикам частотный диапазон выбран следующим образом: [4,6]. Для достижения точности є = 1-Ю"5 потребовалось 18 итераций. Погрешность не превосходит 6%. На рисунке 4.2.8 представлен результат восстановления длительного и мгновенного модулей, на рисунке 4.2.9 - график относительной погрешности.
Относительная погрешность восстановления. Обратная задача 1.1 Аналогично, для обратной задачи 1.2 начальное приближение: h0(x) = -0.6х+ 4, go(x) - 2.5х + 4.5, частотный диапазон выбран следующим образом: [3.5,6.5]. Потребовалось 15 итераций, значение параметра регуляризации на последнем шаге: а = 0.1123 10 5. Погрешность не превосходит 3%. На рисунке 4.2.10 представлен результат восстановления длительного и мгновенного модулей, на рисунке 4.2.11 - график относительной погрешности восстановления.
Относительная погрешность восстановления. Обратная задача 1.2 Пример 3. Рассмотрим восстановление немонотонных функций h(x) = 1.4-cos(nx - 1), g(x) = 2 + 2cos((x + 1.5)л"), т = 0.1. Для обеих постановок начальные приближения найдены в виде: ho(x) = 0.6, go(x) = 3.4.
Для обратной задачи 1.1 частотный диапазон выбран следующим образом: [3,5.5]. Для достижения точности є = 1 10-5 потребовалось 30 итераций. Погрешность не превосходит 10%. Для обратной задачи 1.2 частотный диапазон выбран следующим образом: [3.1,5.1]. Для достижения точности є = 1 10-5 потребовалось 25 итераций. Погрешность не превосходит 8%. На рисунках 4.2.12, 4.2.13 представлены результаты восстановления длительного и мгновенного модулей для постановок с нагружением силой и моментом соответственно.
На основании полученных результатов можно заключить, что построенные методы восстановления позволяют находить приближения искомых функций с небольшой погрешностью. Стоит отметить, что для обратной задачи 1.2 (3.4.13), (3.4.14) восстановление происходит с меньшей погрешностью и за меньшее число итераций, чем для обратной задачи Вычислительные эксперименты для прямых и обратных задач о колебаниях слоя
В данном параграфе в двух разделах представлены результаты численной реализации решений прямых и обратных задач о колебаниях неоднородного вяз-коупругого слоя.
Решение прямых задач. Вычислительные эксперименты по определению амплитуд и резонансных частот неоднородного слоя.
Ниже представлены вычислительные эксперименты по решению прямых задач для неоднородного слоя (задачи 2.1 и 2.2), иллюстрирующие различные значения величины смещения в зависимости от параметра т, мгновенного и длительного модулей Е(х) и Н(х) (функций g(x) и h(x)).
Пример 1. Аналогично решению прямой задачи для стержня в качестве проверочного рассмотрим случай, когда т = 0, г(х) = 1, g(x) = 1.1, h(x) = 1 и слой является однородным и упругим. В таком случае, собственные частоты к на отрезке от 0 до 10 могут быть найдены аналитически из краевой задачи с постоянными коэффициентами: и"(х, к) + к2и(х, к) = О и(0, к) = 0, и (\,к) = 1 Решение уравнения будем искать в виде и(х, к) = А$іп(кх), из граничных условий найдем коэффициент А: AKCOSK =1, А = .
Представленные численные результаты получены при решении прямых задач в соответсвии с предложенным во сторой главе подходом, при этом число точек разбиения исходного интервала равно 100. Из представленных данных следует, что численное решение находится с достаточно высокой точностью (погрешность не превосходит 0,04%).
Пример 2. Рассмотрим вязкоупругий случай, параметр времени релаксации, положим равным т = 0.1, параметр, характеризующий плотность, постоянным г(х) = 1, функции мгновенного и длительного модулей g(x) = 1 + X, h(x) = 1. В вязкоупругом случае амплитуда колебаний имеет экстремумы на отрезке [0..10] в точках:
Аналогично результатам решений прямых задач для стержней в данных экспериментах видно, что для вязкоупругого материала экстремумы АЧХ сдвигаются вправо. Вычислительные эксперименты по решению обратных задач. Следуя изложенной схеме был проведен вычислительный эксперимент по восстановлению неизвестных безразмерных функций 1ги(х), g x) и h {x), gx(x), соответствующих ц\ = ц\(х-у), JJ.2 = A fe) и Ді = Лі(хз), Я.2 = А.2(хз). На первом этапе при решении обратной задачи 2.1 восстанавливаются функции 1ги(х), g {x), на втором при решении обратной задачи 2.2 - h {x), д(х). В серии расчетов параметр, характеризующий плотность, выбирался постоянным р = 1, толщина слоя полагалась равной h
Далее приведены примеры восстановления функций различного характера. 1. Упругий случай. Параметр, характеризующий время релаксации полагается т = 0. Восстанавливаются функции ки(х) и hA(x).
Пример 1. Случай монотонных законов изменения неоднородных характеристик слоя. Восстанавливаемые функции 1ги(х) = 3 - 2х2, hA(x)(x) = 1 + х2. На первом этапе начальное приближение найдено в виде: h(x) = 1/(0.0178х + 0.4624).
В ходе анализа амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) при х = h, позволяющего выявить наиболее эффективные с точки зрения идентификации диапазоны изменения волновых чисел (между резонансными числами), для восстановления были выбраны отрезки к є [3.7, 6.3] и к є [1.9, 5.5]. Выход из итерационного процесса во всех экспериментах производился либо по числу итераций (N = 20), либо по условию (3.5.11) при є = 10-3. В приведенном случае выход осуществлен в соответствии со вторым условием, для выполнения которого потребовалось 10 итераций на первом и втором этапах.
На рисунке 4.3.15 представлены графики точного решения - сплошная линия, начального приближения - пунктир, восстановленной функции - точками. На рисунке 4.3.16 представлен график относительной погрешности идентификации. Отметим, что погрешность идентификации в приведенном примере не превысила 4%.
Пример 2. Случай немонотонных законов изменения неоднородных характеристик слоя 1ги(х) = 1 + 3sin(nx) и hA(x) = 2 - cos(nx - 1). Начальное приближение найдено в виде: для И(х)(х) = 1.1 + 2х. Частотный диапазон: к є [3, 6.5] и к є [4.2, 6]. Потребовалось по 15 итераций на первом и втором этапах.
Похожие диссертации на Методы расчета колебаний неоднородных твердых тел и идентификация их свойств
