Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Применение метода Винера-Хопфа к определению полей свободных колебаний кусочно-однородных резонаторов 38
1.1. О матрице рассеяния в плоском волноводе с упругими стенками 38
1.2. О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками 47
1.3. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с жесткими стенками, частично перекрытого упругой перегородкой 57
Глава 2. Свободные колебания прямоугольных резонаторов 63
2.1. О собственных частотах резонатора с двумя жесткими и двумя упругими стенками 63
2.2. Альтернативный способ поиска собственных частот 99
2.3. Учет влияния продольных колебаний упругой стенки 107
2.4. Учет влияния сдвига и инерции вращения 118
2.5. Об эффекте понижения собственной частоты при сближении упругих стенок акустического резонатора 122
2.6. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с кусочно-однородной упругой стенкой 132
2.7. О собственных колебаниях прямоугольного акустического резонатора, в стенке которого размещен клапан 138
2.8. О собственных колебаниях прямоугольного резонатора, разделенного упругой перегородкой и заполненного различными средами 148
2.9. О собственных волнах упругой полосы? покрывающей волноведущий акустический канал прямоугольного сечения 163
Глава 3. Свободные колебания цилиндрических резонаторов 171
3.L О колебаниях цилиндрического резонатора с жесткой цилиндрической и упругими торцевыми стенками 171
3.2. О свободных колебаниях кольцевого акустического резонатора с упругими торцевыми стенками 184
3.3. О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругой цилиндрической и жесткими торцевыми стенками 191
3.4. О частотах свободных акустических колебаний в жидкости, разделяющей жесткую и упругую цилиндрические стенки конечной длины 199
Глава 4. Свободные колебания резонаторов в форме кругового сектора 204
4.1. О собственных частотах акустического резонатора секториалыюй формы с упругой круговой стенкой 204
4.2. Об эффекте понижения частоты свободных колебаний акустического резонатора, имеющего форму усеченного сектора, при сближении его круговых стенок 212
Глава 5. Свободные колебания резонаторов, ограниченных сферическими и коническими стенками 218
5.1. Свободные колебания шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой 218
5.2. Свободные колебания усеченного шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой 235
5.3. Свободные колебания шарового сектора, разграниченного двумя упругими сферическими оболочками 242
5.4, Свободные колебания акустического резонатора, имеющего форму кольца с упругими сферическими стенками 248
Глава 6. Гравитационные колебания жидкости, поверхность которой покрыта упругой пластиной 259
6.1. О свободных гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей прямоугольный контейнер с жесткими стенками и упругой крышкой 259
6.2. О свободных гравитационных колебаниях жидкости, заполняющей цилиндрический контейнер
с жесткими стенками и упругой крышкой 269
6.3. О частотах свободных гравитационных колебаний жидкости, заполняющей прямоугольный контейнер
с кусочно-однородной упругой крышкой 275
Глава 7. О звукоизоляционных свойствах упругих перегородок - 285
7.1. О прохождении звука через тонкую упругую перегородку,
нагруженную точечными массами 286
7.2. Влияние акустических мостиков па прохождение звука через двойную упругую перегородку в прямоугольном волноводе 292
Заключение 299
Список литературы
- О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками
- Учет влияния сдвига и инерции вращения
- О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругой цилиндрической и жесткими торцевыми стенками
- Свободные колебания усеченного шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой
Введение к работе
0.1 Тема и общая характеристика работы
Тема диссертационного исследования, „Аналитические методы расчета взаимодействия жидкости с упругими стенками резервуаров", с одной стороны, входит в зону научных интересов автора, с другой стороны, отвечает запросам научно-технической деятельности Петербургского университета путей сообщения, в котором автор работает.
Тематика работы. Диссертация посвящена проблеме теоретического исследования стационарных гармонических волновых процессов в конструкции, заполненной жидкой средой и ограниченной частично упругими, частично жесткими (мягкими) стенками- Объектами поиска являются точные аналитические и асимптотические представления акустических и вибрационных полей для ряда важных с технической точки зрения конфигураций типа „упругая стенка-жидкость", а также соответствующие расчетные алгоритмы. Рассматриваются линейные модели колебаний как для жидкости} так и для упругих границ. Конечной целью поиска является получение новых и уточнение известных физических представлений об изучаемых явлениях.
Работа является продолжением диссертации автора на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук „О колебаниях волноводов и резонаторов с упругими стенками", руководитель которой, доктор физико-математических наук, профессор Д.П.Коузов, является научным консультантом диссертации.
Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований, грант РФФИ 95-02-04346 „Теоретическое исследование структурных и акустических полей упругих конструкций", Конкурсным Центром Фундаментального Естествознания, грант КЦФЕ 97-0-4Д—159 „Граничпо-контактные задачи гидродинамики", а также Министерством
Путей Сообщения РФ, докторский грант МПС 2001 г.
Актуальность темы. Потребность в точном теоретическом изучении колебательных процессов в системе „упругая степка-жидкость" возникает, в частности, при проектировании транспортных средств. Задачи определения полей давлений в жидкости и вибрационных полей в стенках важны для предсказания, подавления, предотвращения вредных колебаний (вибраций), которые могут отрицательно влиять на комфортность перевозки пассажиров, на сохранность грузов, на устойчивость транспортного средства при движении, на прочность, надежность и долговечность его узлов и агрегатов. Значение затронутых проблем дли практики весьма велико, поскольку с ростом скоростей передвижения транспортных средств, с увеличением мощности силовых установок растет и ответственность проектировщика за надежность разработанной конструкции, повышается и цена допущенных ошибок и промахов.
При расчете взаимодействия упругих конструкций с воздухом (к примеру, при оценке звукоизолирующих свойств упругих перегородок) за основу модели системы можно брать модель колебаний упругой конструкции в пакууме, собственные формы которых использовать при разложении поля акустических колебаний в воздушной среде. Более простым с вычислительной точки зрения является применение механизма „присоединенной массы" акустической среды. Учет влияния среды при таких подходах зачастую приводит к бесконечной алгебраической системе, решаемой методом редукции. Кроме названных приемов нередко используется метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Бубнова-Галеркипа, метод коллокаций и прочие численные методы. Каждый из упомянутых способов изучения совместных колебаний стенок и среды требует трудоемкого построения и тестирования вычислительных алгоритмов, а затем и длительной вычислительной работы с большими массивами данных, требующих для своего хранения зпа-
читальных ресурсов памяти компьютера. Объемом этих ресурсов чаще всего и определяется погрешность получаемого численного решения.
Плотная жидкость» заполняющая контейнеры с упругими границами, оказывает настолько существенное влияние на картину колебательных процессов в стенках, что далеко не всегда оправдано применение механизма „присоединенной массы" или „присоединенной инертности" жидкой среды. Для получения достаточно полной и верной информации о волновых процессах в конкретной системе есть смысл строить аналитическое решение задачи о совместных колебаниях стенок и среды.
Точные выражения для вибрационных полей собственных и вынужденных колебаний полых упругих резервуаров простых геометрических форм известны. Известны и моды колебаний давления в жидкости, заполняющей резервуары, имеющие такие же внешние формы, но идеально жесткие (мягкие) стенки. Разложение искомых полей совместных колебаний систем „упругие степки-жидкость" рациональнее вести, где это возможно, по собственным модам колебаний жидкости. Это не означает, что „жидкостные" формы претерпевают слабые изменения при возникновении механического контакта среды с упругой границей. Однако, опыт ведущих исследователей доказал, что процедура построения точного решения с применением таких форм эффективна и наглядна. Для более сложных задач бывает неизбежным и разложение полей по рапсе уже найденным из более простых задач модам совместных колебаний систем „упругие степки-жидкость".
В последнее время в практике проектировщика растет роль высокоэффективных коммерческих компьютерных программных продуктов, нацеленных на решение широкого спектра инженерных задач. Препятствием ко всеобщему использованию этих программ может служить и их высокая стоимость, и сложность „привязки" к конкретной задаче, и, порой, ошибочность получаемых результатов. Добросовестный исследова-
тель должен внимательно следить, не окажутся ли внешне правдоподобные выходные данные лишенными физического смысла. В коммерческие программы заложены методы и алгоритмы, изучение и проверка верности которых рядовым пользователем не только технически затруднены (если не сказать невозможны), но и незаконны. Исправление авторами коммерческих программ тех ошибок, что выявлены пользователями, может занимать долгие месяцы и сдерживать процесс инженерного труда.
При построении решения многих инженерных задач, аналитическое решение которых не найдено, нет альтернативы численным мето-дам. Последние, алгоритмизированы ли они самим инженером, затребованы ли из коммерческой программы, требуют тестирования. Стандартным способом тестирования является настройка численного алгоритма на тот частный случай поставленной задачи, который имеет точное аналитическое решение.
Известно, что точное формульное описание удается получить пока только для колебательных процессов, протекающих в системах относительно простой конфигурации- Усложнение этой конфигурации далеко не всегда означает принципиальную невозможность вывода точного решения. Речь может идти как о „лавинообразном" нарастании сложности и громоздкости выкладок, так и о росте вероятности ошибок. Порог непреодолимой сложности аналитических выкладок всегда будет существовать. Однако, все дальше отодвигать этот порог помогает динамично развивающаяся вычислительная техника и все более совершенное программное обеспечение, создаваемое для символьных преобразований1.
Исследователь сложных реальных колебательных систем, как правило, выделяет в ней те отдельные элементы, для описания процессов в
1 Wolfram S. Mathcmatica: a system for doing mathematics by computer. Redwood, CA: Addison Wesley. Second edition.
которых формульное представление известно. Нередко это дает возможность с достаточной для практики точностью на качественном уровне описать процессы, протекающие в составной модели. Если наблюдаются существенные отклонения построенного описания от натурных наблюдений, возникает стимул к изучению связки нескольких из элементов системы и, возможно, к попыткам найти точное решение задачи о колебаниях такой композиционной связки- При этом целесообразно обращаться либо к результатам работ специалистов соответствующего профиля, либо к услугам этих специалистов- Таким образом, все важнее становится роль „банка" задач, решаемых точно, и необходимость его регулярного пополнения.
Сказанное подтверждает актуальность проводимой в данной диссертации работы по построению и изучению точных аналитических решений задач определения вибрационного поля упругих стенок резервуара и волнового поля в жидкости, заполняющей резервуар.
Методика исследования. В работе изучаются стационарные процессы в колебательных системах, которые с равным правом можно называть контейнерами либо резервуарами с жидкостью, а также резонаторами-
Ряд исследователей при изучении совместных колебательных процессов в системе „резервуар-жидкость" сводит задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений- Чаще всего такая система решается приближенно, методом редукции. Известны работы (например, [214,215,216]), авторы которых, при использовании специальных свойств матрицы системы, обращали матрицу в явном виде. Такой способ решения задачи трудоемок и трудно переносим на родственные задачи. Существуют и иные, так называемые прямые методы решения задач, разработке, совершенствованию и рациональному использованию которых посвящена данная диссертация.
В основе подхода, использованного в диссертации, лежит понятие гранично-контактной задачи математической физики. Особенность постановки этого частного случая краевой задачи математической физики состоит в формулировании не только дифференциального уравнения либо системы уравнений относительно искомых полей в некоторой области интегрирования (плоской либо пространственной), не только краевых условий на границе области, но и так называемых гранично-контактных условий па подмногообразии границы. Механический смысл этих условий состоит в способе фиксации краев упругих пластин либо оболочек, составляющих часть границы области.
В настоящей работе основное внимание уделено решению и исследованию гранично-контактных зада1! акустики- Термин „гранично-контактная задача акустики" был введен В.Н.Красильниковым (1961 г.) с целью выделения этого специфичного раздела гранично-контактных задач математической физики. В дальнейшем этот термин (равно как и „контактно-граничная задача") широко применялся в литературе, что позволяет использовать его и в данной диссертации.
Гранично-контактная задача акустики - это задача о совместных движениях тонкого упругого тела (в настоящей работе - пластин либо оболочек) и состоящей в контакте с ним акустической среды. Для нужд проектирования транспортных средств наиболее естественна ситуация „вода-металл" либо „горюче-смазочный материал-металл". При разработке систем защиты от шума и вибраций рассматриваются ситуации взаимодействия воздуха с тонким листовым упругим материалом, в качестве которого может использоваться металл, дерево, пластик, стекла.
Решение рассматриваемых задач строится по характерной для работы с гранично-контактными задачами акустики схеме. Сначала находится решение задачи, удовлетворяющее всем постановочным условиям, кроме гранично-контактных. Решение это, называемое общим и
представляемое в виде рядов либо интегралов, содержит ряд произвольных констант, количество которых совпадает с количеством гранично-контактных условий. Наложение этих условий порождает линейную систему алгебраических уравнений невысокого порядка относительно искомых констант. Коэффициенты этой системы могут содержать расходящиеся ряды либо интегралы, регуляризация которых составляет особенный этап решения задачи.
Одна из глав диссертации посвящена решению гранично-контактных задач гидродинамики. В данном случае рассматриваются стационарные процессы в жидкости, совершающей гравитационные колебании в контакте с упругой пластиной- Пластина расположена на поверхности жидкости. В выбранной постановке задачи решаются, по сути, темп же способами, что и задачи акустики.
Научная новизна работы. Автором
Построены точные решения ряда задач определения частот и форм свободных колебаний заполненных жидкостью резервуаров с упругими стопками.
Разработан метод построения на основе точного решения простых и удобных для инженера-проектировщика формул, позволяющих приближенно оценить низшие собственные частоты резервуаров.
Объяснены механизмы совместных колебаний систем „пластина-жидкость", „оболочка-жидкость", попеременно приводящиеся в действие при изменении геометрических параметров резервуаров.
Выявлен, объяснен, сопровожден приближенными формулами аномальный эффект понижения собственных частот заполненного жидкостью резервуара при сближении его противоположных упругих стенок.
Разработаны методы аналитической оценки звукоизоляционных свойств упругих перегородок специальной конструкции.
Все эти результаты получены автором впервые и являются новыми.
Научная и практическая ценность работы. Практическую ценность представляют результаты анализа колебательных процессов в резервуарах, являющихся элементами конструкций транспортных средств. Выводы работы могут быть полезными при построении инженером-конструктором оптимального варианта проекта.
Выявленный факт существования аномально низких собственных частот при малом расстоянии между противоположными упругими стенками позволяет учитывать в процессе конструирования резоиансы, которым пс уделялось внимания при применении выводов иных авторов. С одной стороны, эти резоиансы, если их не учесть, могут отрицательно сказаться на вибропрочности конструкций. С другой стороны, эти же резоиансы можно целенаправленно применить для гашения нежелательных колебаний.
Выработанные рекомендации по повышению звукоизоляционных спойств упругих перегородок, в том числе и заполненных жидкостью, позволят вести эффективную борьбу с шумом в помещениях зданий и салонах транспортных средств.
Представленные решения важных с практической точки зрения гранично-контактных задач позволяют пополнить „банк" задач, допускающих точное аналитическое решение.
Достоверность результатов работы обеспечивается использованием строгих математических методов решения задач, корректностью аналитических выкладок, проверенных с помощью программных средств для символьных преобразований, применением общепринятых, отлаженных численных методов при изучении полученных решений. Для проверки правильности результатов проводилось их тестирование с помощью контрольных тождеств, в частности закона сохранения энергии, сверялись асимптотические и численные решения.
В работе решеп ряд задач о ходе колебательных процессов в резервуарах различных геометрических форм. Во всех возможных ситуациях для изучаемой формы подыскивался соответствуютций ей предельный случай иной геометрической формы, чтобы по сходимости аналитических и численных результатов можно было судить о верности и надежности построенных решений. При этом сопоставлялись как полученные различными способами результаты самого автора диссертационной работы, так и материалы иных авторов.
0.2 Обзор литературы, посвященной задачам исследования колебательных процессов в акустических волноводах и резонаторах с упругими стенками
С точки зрения точной математической постановки названные задачи сводятся к определению и изучению спектра нормальных распространяющихся воли в идеализированном бесконечно протяженном объекте
волноводе, либо детерминированного набора стоячих волн в изделии ограниченного объема - резонаторе, который, в свою очередь, может представлять собой фрагмент волновода либо сочленение таких фрагментов. Волноводы, о которых здесь может идти речь, представляют собой совмещенную систему (coupled system) „упругая стенка - жидкость"- Все сказанное дает автору настоящего исследования право вести далее обзор только той литературы, где рассматриваются колебания одиночных упругих пластин либо оболочек, колебаний совместных вол-новедущих систем либо резервуаров типа „упругая пластина (оболочка)
жидкость". Как в самой диссертации, так и в обсуждаемых литературных источниках предпочтение отдается задачам поиска полей и частот свободных колебаний.
В зависимости от формы конструкции, характера закрепления стенок, свойств наполнителя - жидкости или газа - различными авторами
предлагаются приближенные либо точные решения. В некоторых случаях, например, в [69] точные решения подкреплены доказательством их единственности. Однако, при решении стандартного вида гранично-контактных задач на физическом уровне строгости обоснование единственности чаще всего не производится. Исследованию единственности решений наиболее важных классов гранично-контактных задач акустики посвящены работы [62, 63]. В наиболее общей постановке задачи о колебаниях резонаторов требуют учета большого количества факторов, характеризующих как механические свойства и режим закрепления стенок, так и жидкую среду. Построение точного аналитического решения таких задач вызывает большие трудности, поэтому авторы, как правило, ограничиваются учетом лишь наиболее важных, с их точки зрения, факторов.
Одним из важнейших вопросов в задачах рассматриваемого типа является вопрос о резонансных явлениях. При отсутствии поглощения и излучения колебательные процессы, будучи однажды возбуждены на частотах, называемых собственными, не будут затухать. Эти колебания совершаются за счет первоначально внесенной в механическую систему (часто именуемую, применительно к рассматриваемой тематике, словами резонатор, резервуар, контейнер, сосуд) энергии, при отсутствии дальнейшего внешнего воздействия, а значит, при отсутствии поступления энергии извне и потерь энергии.
Амплитуды вынужденных колебаний, поддерживаемых гармоническим во времени вибратором, на частотах, близких к собственным, резко возрастают и остаются ограниченными только при наличии поглощения в среде или в степках. Вместе с тем, понятие резонансного явления, равно как и резонансной частоты, является скорее размытым, понимаемым по-разному различными авторами в различных ситуациях. Примеры того будут приведены.
Задачи о свободных колебаниях простейших акустических резонаторов с идеально жесткими или мягкими стенками, стенками массового типа, а также стенками упругого типа рассмотрены, к примеру, в [37, 93, 119]. Под действием сил акустического давления стенки массового типа (при сопротивлении сил инерции) и стенки упругого типа (при сопротивлении упругих сил) могут смещаться как твердое недеформиру-емое тело. Если такая стенка полностью занимает одну из поверхностей резонатора простой геометрической формы, решение задачи не представляется сложным. Следует, также, упомянуть и локально реагирующие стенки массового и упругого типа, каждая точка которых может смещаться (при сопротивлении упругих либо массовых сил) независимо от смещения соседних точек. Соответствующие таким стенкам граничные условия являются условиями третьего рода (импедансными). Импеданс-ные границы чаще всего соответствуют наличию специального (например, поглощающего акустическую энергию) покрытия, нанесенного на жесткие стенки. Поведение стенок резервуаров, являющихся конструктивными элементами транспортного средства и содержащих жидкость, не может быть адекватно описано граничными условиями третьего рода. Для описания колебаний стенок таких резервуаров необходимо использовать теорию упругих пластин и оболочек. При этом условие третьего рода может быть поставлено па свободной поверхности жидкости в случае, если исследуются се гравитационные колебания.
Упругие стенки могут совершать как продольные, так и изгибные колебания. Продольные (т.н. „симметричные" для плоских пластин) колебания стенок {колебания удлинения, „extensional" в англоязычной литературе) оказывают тем более слабое влияние на акустическую среду, чем меньше их толщина [98, 57, 129, 43, 155, 46]. В большей части работ конструкции предполагаются тонкостенными, колебания изучаются низкочастотные, поэтому во внимание принимаются только изгибные ко-
лсбания стенок.
Дальнейшее обсуждение литературных источников удобнее вести отдельно для волноводов и для резонаторов.
Прежде всего следует упомянуть работы, где изучаются нормальные волны волноводов, представляющих одну бесконечную плоскую упругую пластину, контактирующую с жидкостью бесконечной глубины. Дисперсионное уравнение для названной системы „пластина-жидкость", по-видимому, впервые исследовано в [158]. В этой работе пластина, колебания которой описываются уравнениями Тимошенко-Мшгдлипа [121,199], имеет двусторонний контакт с жидкостью. Предложена классификация нормальных воли. В частности, для волн, генетически порожденных из-гибными и продольными волнами в изолированной пластине, в западной литературе утвердилось название „leaky waves" (стекающие волны). Дальнейшее теоретическое и экспериментальное исследование стекающих волн проведено в [196, 167, 168, 169], кроме того, в [107, 154, 43, 155] эти волны изучены с учетом продольных движений в пластине. В [230, 231] выполнено сравнительное исследование дисперсионного уравнения волновода для случаев описания колебаний пластины уравнениями Кирхгофа и Тимошенко-Миндлина. В частности, установлено, что на низших частотах, то есть для длин изгибных волн, в несколько десятков раз превышающих толщины упругих пластин волноводов, вполне приемлемую для практики точность построения нормальных волн обеспечивают уравнения Кирхгофа. Специальное сочетание параметров системы, при котором возможно образование трех вещественных волновых чисел, впервые было найдено в [205, 232] и позже обсуждалось в [206, 33]. То обстоятельство, что два их этих трех волновых чисел располагаются на дополнительном листе римановой поверхности и соответствуют колебаниям, амплитуда которых нарастает с удалением от пластины вглубь жидкости, обсуждено в [229, 207], Низкочастотная асимптотика для вол-
новых чисел построена в [68] для модели колебаний пластины Кирхгофа и в [159] для модели Тимошенко-Миндлина.
В статье [127] исследуется распространение волн в жидкости, на поверхности которой лежит плоская упругая пластина, способная как к изгибным, так и к продольным колебаниям. На некоторой глубине жидкости параллельно пластине расположена непроницаемая плоская стенка либо граница с жидким полупространством, при пересечении которой имеет место скачок скорости звука. Изучены волновые числа собственных волн, представлены численные результаты поиска вещественных волновых чисел. Выявлена возможность незатухающего распространения изгибных волн пластины со скоростью, превосходящей скорость звука. О собственных волнах плоского волновода с двумя упругими стенками, помещенного в акустическую среду, ведется речь в [90]. Выполнено численное исследование, проведена классификация, построены приближенные формулы для волновых чисел собстоеппых воли. Изучены энергетические характеристики волн, возбуждаемых расположенным между пластинами точечным источником. В работе [51] решена задача построения волн в волноводе, представляющем слой сжимаемой вязкой жидкости, ограниченной упругими пластинами, В статье [218] построено акустическое поле в плоском волноводе с упругими стенками, возбуждаемое точечной гармонической силой, приложенной к одной из стенок. Колебания стенок описываются уравнениями Тимошенко-Миндлина. Решение задачи построено методом перевала. Численные результаты выявляют необычный эффект: вблизи стенки, противоположной той, что возбуждается источником колебаний, имеются слои практически нулевого акустического давления. Важные технические приложения имеют задачи исследования гармонических колебаний упругих полос - пластин, из которых изготавливаются детали сооружений. Изгибные колебания изолированных упругих полос изучены в работах: [9, 10, 14, 49, 50, 52]. Во-
просам взаимодействия колеблющейся полосы с жидкостью посвящены работы [13, 107].
До определенной поры у авторов подобных работ, как правило, оставался в стороне вопрос математического описания множества мод, соответствующих кратным волновым числам. Уже после опубликования автором данного исследования статьи [73], где затрагивалась возможность существования волновых чисел кратности 2 и 3, в печати появились работы [42,1,130], развивающие эту тему. Для частот возбуждения, соответствующих кратным волновым числам, до сей поры не утвердилась терминология. Применяются [42] термины „критическая частота11, „частота запирания", „частота отсечки", „резонансная частота". Этим же терминам в теории волноводов порой придается совершенно иной смысл.
Плоские волноведущие системы „слой жидкости - тонкие слои упругих тел", о которых ведется речь, можно назвать многослойными. Обширному исследованию волноводных свойств слоистых сред посвящена монография [11].
Волны, по которым ведется разложение поля давлений жидкости в резонаторе, встречаются с препятствиями - внутренними неоднородно-стями объекта либо граничными стенками. Задача построения матрицы рассеяния от границы разнородных участков акусто-механической системы представляет собой задачу дифракции воли [12, 128] и решается, как правило, методом Винера-Хопфа [12, 103, 111]. Этот метод применяемся в целом ряде задач, не только представляющих самостоятельную ценность, но и являющихся промежуточной ступенью к задачам пссле-дования собственных колебаний. Таковыми являются, например, задачи дифракции воли па местах сочленения [55, 5G, 58, 91] либо на ребрах упругих пластин [60], контактирующих с жидкостью, В качестве граничных операторов, характеризующих механические свойства пластин, используются операторы общего вида. Родственные задачи, но для слу-
чая несжимаемой жидкости и конкретного случая уравнении упругих пластин затронуты в [69]. Вопросы прохождения изгибных воли через различные соединения соприкасающихся с жидкостью пластин рассматриваются в [126, 144]. Задача дифракции плоских акустических волн на ребре полубесконечной пластины, по-видимому, является первой из гранично-контактных задач акустики, для которой нескольким авторам (почти одновременно, независимо друг от друга) удалось найти точное аналитическое решение [187, 35? 102, 103].
Широкий круг задач рассеяния звука на препятствиях, содержащих упругие стенки, решен в [28] методом частичных областей. В [94] построение собственных волн двух различных половин с идеальными стенками, составляющих резонатор, а также матриц отражения от идеальных боковых стенок, не вызывает трудностей; центр тяжести работы перенесен на процедуру построения матрицы рассеяния от сечения сочленения разнородных частей резонатора. Сложнее обстоит дело в случае, когда резонатор содержит упругие стенки либо перегородки. Возникает необходимость как изучения собственных волн волноводов, стенками которых служат упругие пластины, так и построения поля, рассеянного при падении таких волн на поперечные препятствия. При построении матрицы отражения волн от жесткой стенки, в которую заделана упругая пластина, полезны результаты работ [54, 110]. Матрица отражения от упругой стенки может быть построена с привлечением методов, используемых в [59, 64, 95, 96]. В этих работах изучается отражение и прохождение акустических волн, набегающих па упругую поперечную перегородку в волноводе.
От плоскостенных волноводов теперь можно перейти к тлі. прямоугольным резонаторам, изучению колебаний в которых посвящено множество работ. Здесь имеются в виду колебательные системы, бесконечные в одном из направлений, вдоль которого поле давлений и вибраци-
онное поле неизменны, и имеющие прямоугольное сечение плоскостью, перпендикулярной этому направлению. Соответствующая этой идеализированной модели задача является плоской, двумерной, поэтому именно к ней многие авторы обращаются в первую очередь. Методика, отработанная при решении подобных задач, является ступенью к задачам более сложным.
Одним из важных практических свойств прямоугольных акустических резонаторов является их способность к звукопоглощению на частотах, близких к собственным. Б работах [17, 113] изучены звукопоглощающие свойства системы упругих полос - пластин, размещенных параллельно жесткой стене на некотором удалении от нее. Рассматривается нормальное падение плоской звуковой волны на систему, поэтому, в силу периодичности ее структуры, она может быть условно разделена на множество возбуждаемых волной одиночных прямоугольных резонаторов с тремя жесткими и одной упругой стенкой. Поглощение системой звука происходит за счет потерь на трение при колебаниях упругих пластин. При изучении процессов в [113] изгибно-колеблющаяся пластина заменяется жестким поршнем, вибрирующим как единое целое. В [17] собственные частоты резонатора предполагаются близкими к собственным частотам одиночных пластин: влияние присоединенной массы и дополнительной упругости среды между пластиной и жесткой стеной считается малым. Границы применимости такого предположения не устанавливались. Таким образом, в [17, 113] не предусматривалась возможность сильного влияния па изучаемые процессы среды, перемещаемой вдоль пластины изгибными движениями последней. В случае малой плотности среды это оправдано.
Технические объекты? подвергаемые вибрациям, часто бывают скомпонованы из нескольких разнородных по механическим свойствам частей. Пример изучения собственных колебаний такого объекта - пря-
моугольного акустического резонатора с кусочно-однородными стенками (жесткими и мягкими) - приведен в [94]. Собственными частотами являются величины, обуславливающие существование ненулевого решения бесконечной системы линейных уравнений типа Пуанкаре-Коха [41]. Приближенный поиск частот ведется путем редуцирования системы. Для построения определителя используются элементы матриц отражения волн, распространяющихся вдоль одного из измерений резонатора, от боковых стенок, а также матрицы рассеяния от сечения резонатора, разграничивающего две его разнородные части. В [92] намечено решение задачи о свободных колебаниях полу бесконечного горизонтального плоского слоя жидкости, ограниченного вертикальной упругой пластиной. Точное решение задачи в [92] до конца не доведено, однако, построено представляющее самостоятельную ценность приближенное решение. Отмечено, что роль присоединенной массы могут играть лишь близкорасположенные к пластине частицы жидкости полубесконечного слоя- Идея метода Л.С.Лейбензона реализуема для обширного набора задач именно в настоящее время, когда высокими темпами развивается вычислитель-ная техника и программные средства для символьных преобразований. В работе [61] построено выражение для акустического поля точечного источника, помещенного в прямоугольный резонатор с четырьмя упругими стенками. В качестве граничных и гранично-контактных операторов используются операторы общего вида. При выборе конкретного вида операторов в случае необходимости численно применить построенное в [61] аналитическое решение возможен учет как изгибных, так и продольных колебаний пластин. При сближении частоты возбуждения с собственными частотами резонатора происходит неограниченный рост амплитуды гармонических колебаний в системе. Численное исследование спектра собственных частот в работе [61] не проводилось. Поле акустических колебаний в прямоугольном резонаторе с тремя жестки-
ми и одной упругой стенкой (мембраной либо пластиной), возбужденное падающей на наружную поверхность упругой стенки плоской волной, построено приближенно в [133]. Волновые процессы в акустической среде, содержащей упругую пластину конечных размеров, рассмотрены в [93, ПО].
Важно иметь в виду, что двумерный прямоугольный резонатор является, по сути, бесконечным пространственным волноводом коробчатого сечения- Под таким лучом зрения частоты, которые выше были названы собственными, являются, по терминологии различных авторов, „критическими" либо „частотами зарождения" распространяющихся мод пространственного волновода, а возникающий на этих частотах свободный процесс принято называть поперечным резонансом в волноводе [37]. Если методом Л.С.Лейбензона разрешима задача о свободных колебаниях прямоугольного резонатора, этим же методом можно решить и задачу о построении нормальных мод пространственного волновода. И здесь вновь встает проблема неоднозначности терминологии: если для рассматриваемого волновода существует положительная частота возбуждения, минимальная для существования хотя бы одной распространяющейся волны, она называется „частотой отсечки".
Внимание многих авторов занято изучением резонансных явлений в заполненных жидкостью телах вращения. Начать просмотр имеет смысл с тех работ, в которых упругая стенка представляет одну или две плоские поверхности тела вращения. В книге [109] приводится решение задачи о нахождении собственных частот цилиндрического барабана, покрытого с одного торца мембраной либо упругой пластинкой. Давление газовой среды, заполняющей барабан, считается равномерно распределенным по объему сосуда и зависящим только от величины этого объема. Делается вывод о повышении частот осесимметричных собственных колебаний системы „упругая стенка-сосуд" по сравнению с частотой оди-
ночной упругой стенки. Такой вывод можно считать приемлемым только при малой плотности, малой инертности газовой среды и, вместе с тем, при быстром (по сравнению с периодом колебаний) выравнивании давления газа в сосуде. Последнее означает очень низкую скорость колебаний упругой стенки в сравнении со скоростью звука в газе.
В работах [122, 123, 124] исследовались резонансные явления в сосудах, заполненных сжимаемой жидкостью. Если в [122] колебания упругой стенки описывались классическими уравнениями Кирхгофа, то в [123, 124] применена нелинейная теория упругих оболочек. Проведено сравнительное численное исследование результатов, в частности, собственных частот. Решение строится вариационными методами. В статьях [21, 22] изучались колебания цилиндрических резервуаров, заполненных несжимаемой идеальной жидкостью, поверхность которой свободна. Упругая пластина является дном [21] либо частью дна [22] резервуара; прочие его стенки являются идеально жесткими. Построено выражение для собственных частот резервуара, приседены оценки величины присоединенной к пластине массы жидкости. Собственные частоты цилиндрического резервуара, заполненного жидкой средой, разыскиваются в работах [39, 97] (жесткая труба, упругие днища). На основе численных результатов работы [39] делается вывод о снижении собственных частот объема жидкости при учете упругости торцевых пластин. Детальное исследование эффекта понижения частот собственных колебаний жидкости (в частности, при сближении днищ) в упомянутых работах не проводилось- В [148] изучены колебания жидкости в баке, цилиндрическая стенка которого - жесткая. Общим для работ [148, 139] является то, что днищем служит упругая пластина, лежащая на Винклеровском основании, а поверхность жидкости свободна. Общий случай конфигурации резервуара с упругой крышкой-мембраной, подвергаемого сейсмическому воздействию, рассматривается в [30]. Мембрана лежит на поверхности
жидкости. Колебательные процессы в литавре, которая моделируется круглой мембраной, закрывающей полусферический сосуд с воздухом, изучены в [152].
Взаимодействие круглой упругой мембраны либо пластины с безграничной средой рассмотрено в работах [186, 143, 204, 203, 165]. В частности, ведется поиск собственных частот совместной колебательной системы. В данном случае удобнее иметь в виду вещественную часть собственной частоты, которая является комплексной ввиду потерь па излучение, а колебания системы являются затухающими.
Механизм „присоединенной массы" широко применяется и обсуждается при оценке частот колебаний жидкости, содержащейся в сосуде в форме тела вращения с плоской упругой круглой стенкой. В этой связи уместно упомянуть и работы [151, 26, 156, 226, 233, 235, 178, 190, 241], где определяются собственные колебания круглых мембран и пластин.
Ввиду того, что в данной диссертации изучаются колебания кольцевых резонаторов, следует назвать и работы, где рассматривались колебания изолированных кольцевых пластин [238, 234,180, 241] и кольцевых пластин в контакте с жидкостью [138].
При изучении колебаний резервуаров в форме кругового цилиндра полезно иметь информацию о волноводных свойствах как пустой цилиндрической оболочки [177, 191 ? 247, 213,145], так и содержащей жидкость. Выражения для нормальных волн плоского и цилиндрического волноводов с идеальными стенками построены, к примеру, в [37, 93, 108]- Построение нормальных волн для системы „оболочка-жидкость" выполнено ь работах [142, 163, 164, 27, 29, 220, 47, 171, 48]. Особое внимание уделено низшим нормальным волнам, обладающим особыми свойствами и сильно подверженным процессам взаимодействия совмещенных воедино волноведущих систем. Отмечено, что уменьшение толщины оболочки приводит к существенному уменьшению фазовой скорости низших нор-
мальных мод но сравнению со скоростью знука в жидкости.
Более сложными оказываются задачи рассеяния акустических волн на препятствии, представляющем собой оболочку с жидкостью [101, 100, 7, 8, 53, 44, 170] либо излучение волн такой оболочкой [63 31, 32, 174].
Низшие собственные частоты конечного отрезка полой цилиндрической оболочки [125, 246, 247, 161, 227, 240, 239, 202, 224, 221, 222, 2237 172, 117, 173] могут быть положены в основу поиска частот баллона, заполненного легким газом. Однако, эти частоты оказываются существенно выше частот свободных колебаний заполненных плотной жидкостью резервуаров с теми же цилиндрическими стенками. Колебания полого цилиндрического бака (соединения цилиндрической оболочки с круглой пластиной) изучены в [146, 248]. Колебания резервуаров в форме кругового цилиндра изучались в [38, 20, 115, 3] (упругая цилиндрическая оболочка, жесткие днища), [18, 3, 40, 147] (все стенки резервуара являются упругими) - для случая, когда жидкая среда заполняет емкость целиком, с [192, 149, 150, 244, 200, 139] -для случая, когда поверхность жидкостит заполняющей резервуар частично, перпендикулярна оси цилиндрической оболочки, и в [136, 137] - для случая, когда поверхность жидкости параллельна оси оболочки. Работы [38, 20] являются чисто теоретическими, [115] - чисто экспериментальной. Дно в [149, 150] считается жестким, поверхность жидкости - свободной, В [192] на обеих горизонтальных границах объема жидкости ставится условие отсутствия радиальных смещений. Теоретические результаты работ [192, 149, 150], подкрепленные экспериментом, основываются па рассмотрении жидкости как присоединенной массы для оболочки. Уравнения Навье-Стокса, описывающие гравитационные колебания жидкости в [200], требуют численных подходов - здесь применяется метод конечного элемента по отношению к совместной системе „оболочка-жидкость".
Отдельного обсуждения требует вопрос о совместных колебаниях
двух коаксиальных цилиндрических оболочек, разделенных слоем плотной жидкости [243,112]. В [70] отмечено, что некоторые виды волн вблизи колеблющихся твердых тел в жидкости до сих пор пс получили полного описания и исследования. В частности, заслуживают интереса т.н. „крестовидные", или поперечные волны („cross-waves"), образующие прямой угол с твердым телом и практически постоянную амплитуду [1G6] при удалении от тела вглубь жидкости. То обстоятельство, что „крестовидные" волны имеют частоту вдвое меньшую, чем частота колебаний находящегося в контакте с жидкостью твердого тела, позволяет [166] предполагать, что эти волны являются примером параметрического резонанса. В данном диссертационном исследовании параметрический резонанс не рассматривается, эффект „половинной" частоты ис наблюдается. Вместе с тем, свойство перпендикулярности стоячих свободных волн к упруго-колеблющейся стенке резонатора и свойство почти постоянной амплитуды гребня волны будет наблюдено.
При изучении свободных колебаний совместных систем „сферическая оболочка - жидкость" [201, 114, 131, 211, 45, 157, 194, 140, 249] также встает необходимость сопоставления полученных результатов с таковыми для полых оболочек [141, 225, 242, 217, 181, 182]. Следует отметить, что в работах, изучающих колебания жидкости в сосудах с упругими сферическими стенками, рассматриваются преимущественно полусферы либо полные сферы.
Одна из глав данного исследования относится к изучению гравитационных колебаний жидкости, находящейся в контакте с упругой пластиной. Число работ, относящихся к этой тематике, в последние годы стремительно растет в связи с потребностями строительства водных платформ. Распространение воли в волноведущей системе „упругая пластина- гравитационно колеблющаяся жидкость" изучалось, к примеру, п [209, 197]. Дифракция гравитационных волн на препятствиях рассмат-
ривалась в [3G, 24, 1G5, 67? 120, 34]. Общая особенность всех отмеченных работ, состоящая в расположении упругих пластин на горизонтальной поверхности жидкости, совершающей малые гравитационные колебания, позволяет решать поставленные задачи по сути теми же методами, что применяются для решения гранично-контактных задач акустики.
В последней главе данного исследования рассматриваются вопросы прохождения звуковых волн через тонкие упругие стенки, перекрывающие капал волновода прямоугольного сечения. Частоты свободных колебаний даже одиночной прямоугольной пластины с наиболее естественными для практических нужд условиями жесткого закрепления краев до сих пор [236, 4] удается находить лишь приближенно. Тем сложнее обстоит дело с определением свободных акустических колебаний резонатора в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющего одну упругую и прочие жесткие стенки. Задачу эту в лучшем случае удается свести к бесконечной системе уравнении, и для жесткозакрепленных краев упругой стенки [210], и для шарнирно опертых краев [208J, в то время как собственные колебания одиночной прямоугольной пластины с опертыми краями определяются точно. Для обеспечения возможности получения точного решения обсуждаемой задачи есть мотивация подбора гранично-контактных условий специального вида. Усложняющим задачу моментом может стать набор точечных масс, нагружающих прямоугольную пластину [134, 195].
Прохождение звука через упругую стенку изучалось в [228, 153] - для случая бесконечной пластины [215, 59, 95] - для случая пластины, перекрывающей канал волновода, (214], [216] - соответственно для одинарной и двойной мембраны в канале волновода. Приближенное решение, использующее процедуру Лакса [87], построено в [245] для задачи о прохождении звука через упругую пластину, занимающую часть жесткого экрана, перекрывающего канал волновода.
Известно (и в данной работе подтверждено), что наличие акустической среды снижает собственные частоты упругой стенки, к которой эта среда прилегает. Собственные колебания, обычно определяемые для резонатора конечного объема, при некоторых условиях могут иметь место и в бесконечно протяженных волноводах. Так, для упругой пластины-перемычки в плоском волноводе с жесткими стенками [5] достаточное условие таково: хотя бы одна собственная частота одиночной пластины должна быть ниже частоты отсечки волновода. В данном случае имеется в виду, что волны, возбуждаемые с частотой более низкой, чем частота отсечки, могут быть только затухающими, следовательно, собственный процесс на этой частоте соответствует набору локализованных вблизи упругой стенки волн.
0,3 Цели и содержание работы
Целью диссертации является изучение совместных колебаний тонкостенных упругих структур в контакте с жидкой либо газовой средой. Основные аспекты работы:
развитие существующих и разработка новых процедур построения точных решений задач о колебаниях резервуаров с упругими стенками, заполненных жидкостью;
получение простых и удобных расчетных формул для приближенного поиска собственных частот тонкостенных резонаторов;
разработка методов аналитической оценки звукоизолирующих свойств перегородок в помещениях зданий и салонах транспортных средств.
Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографии и приложения.
В главе 1 представлены материалы, используемые для поиска собственных частот кусочно-однородных плоских прямоугольных резоиа-
торов.
В 1.1 методом Винера-Хопфа решена задача о дифракции волн в плоском кусочно-однородном волноводе, состоящем из двух горизонтальных плоских бесконечных упругих пластин, пространство между которыми заполнено сжимаемой жидкостью и содержит плоскую полубесконечную упругую пластину. Граничные условия, описывающие колебания упругих пластин, гранично-контактные условия, задающие режим закрепления прямолинейного края полубесконечной пластины, содержат граничные и гранично-контактные операторы общего вида. Построено рассеянное поле, возбуждаемое волнами, набегающими с обеих сторон на проходящее через край полубесконечной пластины поперечное сечение волновода- Представления для рассеянных полей, порожденных множеством набегающих воли, использованы для конструирования матрицы рассеяния волн на сечении сочленения разнородных частей волновода.
В 1.2 рассмотрен пример построения спектра собственных волн в плоском волноводе с двумя одинаковыми упругими стенками. Представлены приближенные формулы для отыскания волновых чисел в случае низких частот возбуждения. Построено соотношение ортогональности для волн, соответствующих разным волновым числам. Представлены выражения для энергии, переносимой распространяющимися волнами. Рассмотрены особенности соотношения ортогональности, а также энергетические особенности двух нестандартных волн, соответствующих строго комплексным (не вещественным и не чисто мнимым) волновым числам. Показана возможность слияния двух волновых чисел нестандартных волн в одно волновое число кратности 2, а также трех разных волновых чисел в одно волновое число кратности 3. Выведены формулы для приближенного поиска частот, на которых образуются волновые числа кратности 2, а также для приближенного поиска пар „частота-ширина", которые соответствуют волновым числам кратности 3. Пред-
ставлены присоединенные волны, соответствующие кратным волновым числам.
В 1.3 ведется поиск частот свободных колебаний прямоугольного акустического резонатора с идеально жесткими внешними границами, часть горизонтальной средней линии которого занимает упругая пластина. Край пластины, примыкающий к жесткой внешней вертикальной границе, жестко прикреплен к ней. Другой край свободен. Таким образом, резонатор представляет собой фрагмент волновода, изученного в IX У этого волновода двумя поперечными вертикальными плоскостями вырезан фрагмент, внутри которого содержится часть полубесконечной средней пластины вместе со своей кромкой, а сечения, по которым выполнен вырез, закрыты жесткими вертикальными стенками.
В главе 2 изучены собственные процессы в плоских прямоугольных резонаторах с двумя жесткими вертикальными и двумя упругими горизонтальными стенками.
В 2.1 построены точные представления для форм и точное уравнение для частот свободных колебаний резонатора, поведение двух упругих стенок которого описывается уравнением Кирхгофа.
Рассмотрены различные условия закрепления краев пластин- Построены и численно испытаны приближенные формулы для собственных частот при малых значениях высоты резонатора (малых по сравнению с шириной) а также при малых значениях толщины (по сравнению с шириной) упругих пластин. Выбраны тс зоны существования собственных частот совместной системы, в которых отсутствуют собственные частоты прямоугольного резонатора со всеми жесткими стенками.
Принцип „присоединенной массы", которая при малой относительной толщине слоя жидкости между пластинами должна лишь незначительно смещать собственные частоты резонатора в сравнении с частотами свободных колебаний изолированной пластины, сохраняет силу толь-
ко в случае одинаковых упругих пластин, колеблющихся сопаправленно. Если пластины движутся во встречных направлениях, вступает в работу иной механизм колебаний.
В работе выявлен эффект аномального снижения собственных частот при уменьшении толщины слоя жидкости между пластинами, колеблющимися противофазно. В зоне действия эффекта частоты примерно пропорциональны корню квадратному из высоты резонатора (если ширина постоянна, а высота изменяется).
Таким образом, показано, что собственные процессы совместной системы „упругие стенки - жидкая среда" имеют особенности, не характерные для одиночных пластин либо жидких сред в жестких границах.
В 2.2 представлен разработанный автором альтернативный способ поиска собственных частот прямоугольного резонатора с двумя упругими стенками. По сравнению с методом, который намечен Л.С.Лей-бензоном и который далее именуется основным, альтернативный способ требует при своей численной реализации несколько больших усилий на этапе построения алгоритма ввиду необходимости поиска волновых чисел волновода. Пример такого поиска приведен в 1-2- Частотное уравнение, так же, как в 2.1, содержит несложную комбинацию ве-щественнозначных функциональных рядов, однако скорость сходимости этих рядов несколько выше.
Применение конкретных гранично-контактных условий к результатам, полученным Д.П.Коузовым в работе [61], и, далее, доведение этих результатов до численной реализации (т.е. формульное представление и численное суммирование рядов, выражающих разложение по вычетам гранично-контактных интегралов), по-видимому, породило бы частотные уравнения, родственные выведенному в 2.2. Вместе с тем, автором настоящего исследования обсуждаемый альтернативный метод разработан независимо.
Численными экспериментами подтверждено полное совпадение результатов применения основного и альтернативного методов.
В 2.3 построено уравнение для собственных частот, в котором учитываются не только изгибные смещения упругих стенок, но и продольные, описываемые уравнением Файлона. Известно, что для изолированной плоской упругой пластины изгибные и продольные колебательные процессы протекают независимо. Наличие в резонаторе жидкости обуславливает взаимодействие двух видов колебаний пластин. Оценена поправка к собственным частотам, порождаемая учетом продольных колебаний.
В 2.4 построено уравнение для собственных частот, в котором учитываются только изгибные смещения упругих стенок, но описываются они уравнениями Тимошснко-Миндлина. Оценена поправка к собственным частотам, порождаемая учетом сдвига и инерции вращения.
В 2.5 эффект аномального поведения собственных частот, которые стремятся к нулю при сближении упругих стенок резонатора, объяснен с применением несложной механической модели.
На практике аномальный эффект может быть „сбит" при некоторой достаточно малой толщине слоя жидкости различными причинами. Одна из возможных причин рассмотрена на примере простейшей модели, где учтено влияние вязкости жидкости на вынужденные колебания прямоугольного резонатора.
В 2.6 рассмотрены свободные процессы в резонаторе с кусочно-однородной упругой и тремя жесткими прочими стенками. Коэффициенты для мод разложения полей получены как решение бесконечной линейной системы уравнений Гильберта-Шмидта, допускающей метод редукций.
В 2.7 найдены частоты и изучены особенности полей свободных акустических колебаний в прямоугольном резонаторе с жесткими стеи-
ками, в проеме одной из которых размещен клапан, колеблющийся как твердое тело. Упругие связи позволяют клапану совершать как поступательные, так и вращательные колебания,
В 2.8 найдено поле, возбуждаемое точечным источником в прямоугольном помещении с идеально жесткими стенками, которое разделено упругой перегородкой на два отсека, заполненные различными средами. Построены точные представления для форм и частот свободных колебаний.
Методика, сформированная при изучении процессов в плоских резонаторах, в 2.9 применена для построения нормальных волн пространственного волновода прямоугольного сечения, две противоположные стенки которого являются одинаковыми упругими пластинами-полосами, прочие стенки - идеально жесткие.
В главе 3 изучены колебательные процессы в резонаторах цилиндрической формы.
В 3.1 рассмотрены вынужденные и свободные процессы в резонаторе, цилиндрическая стенка которого является жесткой, а колебания двух упругих торцевых стенок описываются уравнениями Тимошенко-Мин дли на.
Резонатор, рассмотренный в 3.2, имеет кольцевую геометрию. Торцевые плоские стенки - упругие, цилиндрические границы - жесткие-
В 3.3 упругой считается цилиндрическая стенка. Плоские торцевые стенки - жесткие. Рассматриваются осесимметричные колебания. Приближенные формулы для собственных частот построены для случаев малых и больших относительных радиусов.
В 3.4 изучаются колебания и аномальные собственные частоты кольцевого резонатора, имеющего упругую внешнюю, жесткую внутреннюю цилиндрическую стенку и жесткие торцевые стенки.
В главе 4 решены двумерные задачи о свободных колебаниях резонаторов, имеющих форму сектора.
В 4_1 рассмотрена заполненная жидкостью плоская секториаль-ная область, ограниченная двумя жесткими радиальными стенками и упругой круговой стенкой. Область, рассмотренная в 4-2, отличается наличием четвертой границы - жесткой внутренней круговой стенки. Точные уравнения для собственных частот сопровождены приближенными формулами.
В главе 5 изучены осесимметричньте свободные процессы в резонаторах, имеющих конические жесткие и сферические упругие стенки. Центры сфер совпадают с вершинами конусов. Края упругих стенок жестко закреплены.
В 5,1 построены выражения для форм и уравнение для частот собственных колебаний сосуда, имеющего форму шарового сектора. Сферическая стенка представляет собой упругую оболочку,
В 5-2 изучены колебания усеченного шарового сектора. В отличие от 5.1, в этом секторе имеется еще одна граница - внутренняя (ближайшая к вершине конуса) жесткая сферическая стенка.
В 5.3 рассмотрены собственные процессы в составном шаровом секторе. К конической жесткой стенке прикреплены две концентричные упругие оболочки. Пространство между ними, а также пространство от внутренней из них до вершины конуса заполнены различными акустическими средами.
В 5.4 изучены свободные колебания резонатора специфичной кольцевой формы, ограниченного двумя коническими и двумя сферическими стенками. Дано аналитическое обоснование и численное подтверждение эффекта понижения собственных частот при сближении упругих сферических стенок.
В главе 6 изучены свободные гравитационные колебания идеальной
несжимаемой жидкости, поверхность которой покрыта упругой пластиной, в резервуарах (водоемах) с жесткими стенками. В G.1 и 6,3 резервуар является прямоугольным, в 6.2 - цилиндрическим. Особенность случая 6.3 состоит в том, что пластина является кусочно-однородной. Построены приближенные формулы для собственных частот, изучено влияние на них силы гравитации.
О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками
Нормальные волны правого (я 0) волновода следует искать в виде Здесь и всюду в дальнейшем для функций, зависящих от переменной /, j = 1, если Hi у выбрана таким образом, чтобы условия (1-1.1) и (1.1.2) были для Р2{х,у) выполнены. Граничные условия (1.1.3)-(1.1.4) приводят к системе линейных алгебраических уравнений для постоянных
Из условия существования ненулевого решения системы (1.1-6) вытекает дисперсионное уравнение для нахождения спектра волновых чисел нормальных волн правого волновода
Для левого волновода (х 0), не содержащего средней пластины, дисперсионное уравнение для волновых чисел нормальных волн может быть получено из уравнения (1.1.7), если формально положить Мгз(А2) = 1, М]з(А2) = 0. Соответствующее дисперсионное уравнение имеет вид
Функции AL(A2), Д2(А2) - четные, поэтому при исследовании корней уравнений (1.1.7)-(1.1.8) (волновых чисел нормальных волн правого и левого волноводов) достаточно ограничиться теми, что при Imu 0 ж лежат в верхней полуплоскости комплексной переменной Л. Пример исследования корней дисперсионного уравнения (1.1,8) для конкретного вида граничных операторов приведен в 1.2, Следует указать общие черты волновых чисел для случая произвольного вида полиномов Mij(A2), ЛІ2і(Л2), J 1,2,3, Корни уравнения (1.1.8) распадаются на две группы. Корни первой группы й л, составляющие счетное множество, с ростом номера асимптотически сближаются с корнями дисперсионного уравнения волновода шириной Ні — Н\ с жесткими стенками:
Проследить за этим можно, преобразуя уравнение (1-1.8) к виду Правая часть уравнения (1.1.9) стремится к нулю при А —у оо, поэтому при достаточно больших А корни обсуждаемого уравнения сближаются Ц с таковыми для дисперсионного уравнения волновода шириной Щ — Н\ с жесткими стенками
Подобно [90], далее корни рассмотренной группы будут именоваться вол новодньши. Корни другой группы обусловлены присутствием в диспер сионном уравнении полиномов Мц(А2), Mi2(A2). Следуя [90], далее эти корни именуются корнями пластинной группы и обозначаются через езд, і = 1,2,3, ... ,mi; mi = гпц + mi2. Аналогично производится иссле дование корней дисперсионного уравнения (1-1-7). Пластинная группа корней До ( — 1,2,3, ... , тп2; т 2 = win + тпі2 + "ЇІЗ) обусловлена наличием в дисперсионном уравнении полиномов Mi j(A2), j = 1,2,3. Волповодпая же группа корней распадается на две подгруппы
В дальпейшсм? для удобства выкладок, иод обозначениями подразумевается множество корней функций Ді(Л2), Д2(А2) соответственно. Вещественным (при Ітш = 0) корням Ад, Xt2 ставятся в соответствие младшие неотрицательные номера , комплексные корпи нумеруются в порядке возрастания их модулей.
Для построения общего решения задачи следует рассмотреть дифракцию нормальных волн правого (левого) волновода на полубесконеч-пой пластине в волноводе. Поле давления можно представить в виде набегающая на сечение х = 0 по левому (х 0, / 1) или по правому (х 0Э I = 2) волноводу нормальная волна с номером тс, Р (х,у) - возбуждаемое сю дифракционное поле- Множитель (Е )"1 2 выбран таким образом, чтобы средний за период суммарный поток энергии lint = njj + 1 , переносимый распространяющейся нормальной волной с номером п (\тчХП1 = 0 при Imw = fl), был равен единице. Этот поток есть сумма средних за период потоков энергии, переносимых волной по акустической среде и потоков энергии, переносимых по упругим пластинам, В случае изгиб-но колеблющихся пластин эти потоки вычисляются по формуле
Дифракционное поле, возбужденное набегающей по правому волноводу нормальной волной, предлагается искать в виде интеграла Фурье для которого условия (1.1.1)-(1.1,3) автоматически выполнены. Удовлетворяя условиям (1Л.4)-(1.1.5), можно стандартным образом подойти к неоднородной задаче Римапа для аналитических функций. Решение ее, построенное при помощи известной процедуры [19, 108], даст общее решение задачи PW Д2(А2) \1п2{Л) (A + An2)L1(A )L2(A22)y J где /п2(Л) - полином степени ЇПІЗ — 1; коэффициенты полинома, зависящие от Хп2- будут определены позже, (А) - результат факторизации функции р{\) = Д2(А2)/Ді(А2)- Функции 9?+(А) и (А) апалитичны, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной А: причем, в верхней полуплоскости, при А —У оо
Задача о возбуждении дифракционного поля нормальной волной, набегающей по левому волноводу, решается аналогично. Для определения тц произвольных пока коэффициентов полинома Дз(А) необходимо наложить ш13 гранично-контактных условий, определяющих механический режим поведения кромки полубесконечной пластины. Общий вид этих условий таков:
Здесь Fsi\—iSzj H-F f — ijiZ} -полиномы, коэффициенты которых определяются механическими свойствами пластины. Выписывая явное разложение полинома /„2(A) по степеням А, и накладывая на поле Р(х7у) гранично-контактные условия (1.1-11), после ряда преобразований можно получить систему линейных алгебраических уравнений
Учет влияния сдвига и инерции вращения
Рассматривается задача (2ЛЛЛ)-(2.1.1.6), в которой уравнение (2.1.1.3) уступает место соотношению причем, уі — О, у2 = Н, Величины КІ — [pihiUp различны при і = 1 и і = 2. Отсутствует симметрия процессов по переменной уу отсутствует и необходимость в том, чтобы занимаемая жидкостью область Q была симметрична относительно оси Ох, Удобнее отыскивать решение уравнения Гельм-гольца (2Л.1Л) в области Q = {—L х L, уу у т/э} Отказ от выбранной в 2.1 высоты резонатора 2Я" (замена этой высоты на величину Н) является временным.
Выражения для акустических и вибрационных полей имеют вид Симметрия колебаний сохраняется только по переменной х. Так же, как и в Выражения (2-1-5.2)-(2.1.5.4) удовлетворяют всем требованиям задачи, кроме (2,1.1-6). Это требование сводится к условию существования нетривиального решения задачи (когда произвольные пока константы Cj, С% не равны нулю одновременно), то есть к равенству нулю главного определителя линейной однородной системы относительно этих констант. Таким образом, уравнение для поиска собственных частот имеет вид
Для каждой частоты, являющейся корнем уравнения (2.1.5.9), свободный процесс определяется с точностью до постоянного множителя, например, множителя Со, для которого Сі — A CQ , С2 = — А\\С$ Представляется полезным изучить соответствующее свободному процессу поле скоростей жидкости в резонаторе vof y) и поле скоростей изгибпых смещений упругих пластин vi(%), V2(#),
Численный эксперимент проведен для системы „сталь-вода", упругие стенки имеют разные толщины, hi/L = 0.004, I12/L = 0X05- Из Рис. 2.1.5Л можно видеть, что начальный участок каждой из частотных линий (при росте расстояния между упругими стенками) является возрастающим 4ї4"-участком, далее линия совершает поворот, за которым имеет спадающий "Р"-участок, С ростом номера частоты растет и число поворотов, а каждый из них соответствует емспе механизма колебаний - от „аномального" к „пластинному" либо наоборот. Пример эволюции колебательного механизма на первой собственной частоте но мере увеличения толщины жидкости между упругими стенками приведен на Рис. 2.1 5.2, 2Л.5.3. Движения пластин и жидкости на Рис. 2Л.5.2 представлены относительными скоростями v) (#) = Vi(x)/vmax, і = 1,2, Щ (х-,у) = vofx yj/fmax, формы колебаний на Рис. 2.1.5.3 представлены относительными давлениями „Аномальной" разновидности колебаний соответствует, с одной сто-ролы, преимущественно касательное к плоскости пластин перемещение жидкости, с другой стороны, практически перпендикулярное к пластинам положение узловых линий и гребней волн давления.
По мере совершения поворота (от J4"- К "Р"-участку) частотной линией поворот па 90 совершает как направление преимущественных движений жидкости, так и направление узловых линий и гребней акустических волн.
Эволюция поля относительных скоростей свободных колебаний жидкости Щ (х7у) и упругих стенок v[ \x)i v \х) при росте расстояния между стенками. Фазы (а), (б), (в), (г), (д) соответствуют собственным частотам и толщинам слоя жидкости между пластинами (H/L = 0.05, 0.08, 0.086, 0.09, 0.12), представленным точками А, Б, В, Г, Д (первая собственная частота) на Рис. 2.1.5.1.
Рис. 2.1.5,3. На странице 93: Эволюция форм свободных колебаний давления в жидкости на первой собственной частоте с изменением расстояния между упругими стенками. Фазы (а)-(з) соответствуют H/L = 0.05, 0.08, 0.086, 0.09, 0.12, 0,5, 1, 2_ Решение поставленной задачи (2.1.6.1)-(2.1.6.8) будет рассмотрено подробно,
Поле давлений в жидкости P(x,v) = Е 9n(x)(aacos(X )+bn ) , (2.1.6.9) содержащее неизвестные коэффициенты пп, Ъпу удовлетворяет требова ниям (21.6Д), (21.6-2); фп(х) = БІп(рпх), Рп-тгп/L, Хп = у/к2-р . Поле изгибных смещений каждой их упругих пластин, Wi(x) = Wi0(x)+Wn{x), есть сумма частного решения Wn (х) неоднородного дифференциального уравнения (21.6.3) и общего решения И о(х) соответствующего однородного уравнения. Функция Wio(x)t подчиненная требованию W(Q(0) = О и потому зависящая лишь от трех произвольных констант Сц, СІ29 СІЗ, может быть представлена в виде
О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругой цилиндрической и жесткими торцевыми стенками
Частным случаем рассматриваемой задачи является случай невязкой жидкости (?7 — С 0). Выражения для искомых функций и частотное уравнение могут быть получены из соотношений (2.5ЛЛ 1)-(2-5.1 Л5) предельным переходом при г) — 0, С — 0, уравнение (2.5ЛЛ5) будет- в этом случае иметь один вещественный положительный корень шпо. Оце-нить значение корня можно либо из энергетических рассуждений, либо асимптотическим расчетом.
При первом способе предлагается вычленить из резонатора ту его часть, что заключена между плоскостями х = ±L/(2rc). Жидкость, заполняющая выделенный участок, не перемещается за его пределы, поскольку UTl(±Lf(2n),y) = 0. Упругие пластины, запасая в момент наибольшего изгибного смещения (определяемого синусоидальной формой (2.5.1.14)) порцию энергии П] = [iK/2)A p Df обмениваются сю с жидкостью. Кинетическую энергию жидкости можно оценить величиной По = тгЬдъЩрп, где Щ = 2Ап пш/(кЬр ) - амплитуда скорости движения центра тяжести жидкости. Важно подчеркнуть, что центр тяжести колеблется в направлении, параллельном плоскостям пластин. Разнонаправленные скорости движения частиц жидкости в условиях изучаемого аномального частотного эффекта преобладают именно в этом направлении. Из равенства По я Пі следует
Второй подход состоит в применении при малых bj приближенной формулы для волнового числа р & (ffQtj2f(DH))l№ стоячей собственной волны Р(%, у) = cos(px) cosh( /pa — ш /с2у) волновода ( 1-2), конечным фрагментом которого при — L х L является рассматриваемый резонатор. Граничное условие (2,5-1.9) приводит (с учетом f = 0) к равенству
Аналогичное соотношение может быть получено и для предельного при 7)Х —Ъ 0 перехода в уравнении (2.5.1.15).
Наличие множителя fr/v отличающего формулу (2.5.2.1) от (2-5-2.2) объясняется неравномерностью распределения скоростей жидкости и подтверждает важность учета внутреннего трения в ней.
При переходе к общему случаю (т] ф 0, С, ф 0) из всех комплексных корней уравнения (2.5.1.15) будет рассматриваться тот корень ып, для которого Численные эксперименты проведены для резонатора, материал упругих стенок которого - сталь, жидкость - вода, п= 1.
Приближенные формулы построены для малых значений безразмерного параметра a = TJ/ LQ C) при сохранении лишь младших степеней т} Предполагается, что коэффициенты //, есть малые одного порядка.
Формула применима (Рис. 2.5.2.1) при Н //„2, где положительное Нп2 и чисто мнимое и/П2 - решение системы уравнений
Численное решение IIn2, мп2 системы (2.5.2.4) сопоставлено на Рис. 2.5-2,2 с ее приближенным аналитическим решением НП2, &п2,
При вынужденных колебаниях резонансный подъем амплитуд имеет место на частотах возбуждения ь)у близких к Re шп. Подъема амплитуд пет при Н Hn2j когда Леип = 0_ Величина Нп2 оценивает ту высоту резонатора, при которой резонансные явления сбиваются за счет потерь на трение в жидкости. Высоту Нп2 предлагается называть квазикритической. Точное значение квазикритической высоты зависит от способа исчисления чувствительности резонатора к внешнему воздействию.
На Рис. 2.5,2,3 представлены амплитудно-частотные зависимости для функции чувствительности которая выражает реакцию упругой стенки резонатора на возбуждающее воздействие. Резонансная частота юи доставляющая наибольшее значение функции Fn{uj)H) при неотрицательных, UJ, смещается к нулю при Н Нп\.
Высота Hni далее именуется критической. Уравнение для ее поиска можно построить, если в разложении Еп(со Н) по степеням частоты приравнять к нулю коэффициент при ш1 - младшей положительной степени. Приближенное значение критической высоты Нп\ при малых
Таким образом, в реальных средах имеет место эффект понижения частоты при сближении упругих стенок резонатора. Вместе с тем, потери в среде ставят некоторые пределы для рассмотренного эффекта. В работе предложен способ оценки этих пределов.
Показано, что при сокращении расстояния между упругими стенками до некоторого значения, называемого критическим, собственные частоты, становясь чисто мнимыми, теряют физический смысл ввиду полного вырождения резонансных явлений в резервуаре.
Свободные колебания усеченного шарового сектора, покрытого тонкой упругой сферической оболочкой
Численные эксперименты проведены для симметричных но координате у процессов материал перегородки — сталь, края ее полагаются жестко закрепленными- На Рис. 2.8.1-2.8.2 показано действие построенных приближенных формул. Рис. 2.8.3 представляет поле скоростей и жидкостях и в перегородке.
Процессы, при которых применимы формулы (2,8.27) или (2,8.31), предполагают медленное, „тяжелое" перетекание жидкости вдоль поверхности перегородки. Последняя, находясь близко к одной (Рис. 2,8.3) или двум жестким боковым стенкам, подвергаясь малому изгибу, вынуждает жидкость перетекать на относительно большие расстояния с относительно большой скоростью. При этом в работу включены, главным образом, упругие свойства перегородки и инертность жидкости. В той части резонатора, где велика толща прилегающей к переборке жидкости, скорости перетекания: невелики и быстро спадают по мере удаления от переборки (Рис. 2.S.3). На Рис. 2-8.2 показана пригодность формулы (2,8.31) для технически достижимых относительных размеров L\/H в случае, когда плотность жидкости велика. В случае малой плотности акустической среды эффект, описываемый этими формулами, „теряется", оказываясь в области недостижимо малых L\fHr
В дальнейшем, для определенности, будут рассматриваться лишь те волны, для которых при Imoj 0 волновое число /А оказалось бы в верхней полуплоскости комплексной переменной //, само же число w будет считаться вещественным и положительным. Для собственных волн соответствующих разным (/її ф \1 ) волновым чнсла\т, имеет силу соотношение ортогональности - изгибное смещение упругой пластины. Вывод соотношения проведен методом, аналогичным изложенному в [37]. Усредненный по времени поток колебательной энергии, которую переносит волна U{x}y,z), соот-ветствующая вещественному волновому числу, определяется по формуле П = П0 + Пі, где - потоки энергии, переносимые соответственно по акустической среде [G2] и по пластине [10] Для корней дисперсионного уравнения (2.9-11) удобно ввести нумерацию /i/m, согласно нумерации его полюсов здесьXf -кореньуравнения При H/L С 1 ближайшие к центру комплексной плоскости / корни fi[m, I = —2,-1,0, располагаются рядом с полюсами fi\mi и могут быть приближенно найдены из равенства волновода с идеально жесткими стенками, которые могут быть только ЧИСТО МНИМЫМИ Либо ВеЩесТВеННЫМИ, ВОЛНОВЫе ЧИСЛа /i_lm, fl-2m, (l-i-im = lL-2m) могут быть комплексными, а также образовывать чисто мнимые кратные пары ft im = //-2 - Пример исследования кратных волновых чисел волновода с упругими стенками рассмотрен в 1.2. При любых и уравнение (2.9Л1) имеет по крайней мерс один вещественный положительный корень /zoo? причем /ІОО Аю / оо- По мере возрастания ш чисто мнимые волновые числа fiQm могут смещаться на вещественную ось. Происходит это при UJ = cjQm, где Lj0m - частоты зарождения распространяющихся волн - корни уравнения (2.1.3.3). Частота и$п соответствует собственным, не зависящим от координаты у акустическим процессам в прямоугольном резонаторе ( 2.1). На Рис. 2.9.1-2,9-3 приведены результаты численного исследования симметричных по координате х волновых процессов.
В случае антисимметричных по х процессов в равенствах (2.9.10)-(2,9.12) следует считать, что (рп(х) sm(p„x) , Рп = 4nfL , дп = тг(п + 0.5) , еп = 1 .
В заключение полезно рассмотреть случай, когда дно канала волновода является идеально мягким, то есть условие (2,9.2) заменено условием Р(ят1/,0) = 0. В равенствах (2.9.10)-(2.9.12) следует для этого случая положить фп{з) = sin(An), Формальная подстановка Н = 0 приво дит к уравнению = где x(yL) = coth(7b) и х( уЬ) — taxih{yL) СООТБСТСТПСНПО ДЛЯ четных и нечетных по х процессов,
Таким образом, при H/L —ї 0 волновые числа волновода с мягким дном Т сближаются (Рис. 2.9.2) с корнями / о, / ь / 2» -- уравнения (2.9ЛЗ) дисперсионного уравнения изолированной упругой бесконечной полосы [14]. При изучении нормальных волн волновода двойной высоты —оо у +СО, — L х L7 —Н z Н7 с жесткими боковыми стенками и одинаковыми упругими пластинами, расположенными в плоскостях z = Н и z = —Я", следует отдельно рассматривать симметричные и антисимметричные по координате z процессы. При этом симметричные и антисимметричные колебания аналогичны изученным в данном параграфе процессам для волновода одинарной высоты Н с жестким и мягким дном (на уровне z = 0) соответственно
