Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Необходимый математический аппарат .
1.1. Используемые функции и их преобразование Фурье.
1.2. Свертка функций по конечной области и ее преобразование Фурье.
1.3. Свертка функций по поверхности и ее преобразование Фурье .
1.4. Фундаментальное решение уравнения, содержащего оператор Ламе.
1.5. Представление решения краевой задачи теории упругости объемным потенциалом.
1.6. Интегральный образ фундаментального решения динамического уравнения теории упругости.
Глава 2 Функции Грина краевых задач статической изотропной теории упругости .
2.1. Функция Грина первой краевой задачи. 32
2.2. Функция Грина второй краевой задачи . 36
2.3. Статическая задача линейной теории упругости со смешанными краевыми условиями.
Глава 3 Функции Грина краевых задач статической анизотропной теории упругости .
3.1. Функция Грина первой краевой задачи теории упругости.
3.2. Функция Грина второй краевой задачи . 50
3.3. Задача со смешанными краевыми условиями. 54
Глава 4 Решения начально-краевых задач теории упругости для изотропного материала .
4.1. Решение первой начально-краевой задачи. 60
4.2. Вторая начально-краевая задача. 67
4.3. Динамическая задача со смешанными краевыми условиями .
Глава 5 Решения начально-краевых задач теории упругости для анизотропного материала .
5.1. Первая начально-краевая задача. 80
5.2. Вторая начально-краевая задача. 87
5.3. Решение динамической задачи со смешанными краевыми условиями.
Глава 6 Решение краевых задач анизотропной теории упругости для неоднородного материала .
6.1. Статическая задача со смешанными краевыми уеловиями.
6.2. Динамическая задача упругости со смешанными краевыми условиями.
Глава 7 Принципы соответствия краевых задач вязкоупругости краевым задачам теории упругости .
7.1. Принцип соответствия краевых статических задач нелинейной вязкоупругости со старением статическим задачам теории упругости.
7.2. Принцип соответствия краевых динамических задач нелинейной вязкоупругости со старением дина
мическим задачам теории упругости.
Глава 8 Статические и динамические задачи вязкоупругости
8.1. Решение статических задач теории вязкоупругости для однородного анизотропного стареющего материала.
8.2. Решение динамических задач теории вязкоупругости для однородного анизотропного стареющего материала.
8.3. Решение статических задач теории вязкоупругости для анизотропного неоднородного стареющего материала.
8.4. Решение динамических задач теории вязкоупругости для анизотропного неоднородного стареющего материала.
Глава 9 Иллюстрация применения развитого формализма к решению задач вязкоупругости и упругости .
9.1. Напряжённо - деформированное состояние бесконечной полосы, выполненной из вязкоупругого квадратично нелинейного материала.
9.2. Задача о сжатии бруса между двумя плитами 136
9.3. Напряженно-деформированное состояние вязкоупругой пластины.
9.4. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего вязкоупругого материала
9.5 Изгиб кубически нелинейной неоднородно стареющей балки.
9.6 Задача о трубе с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями.
9.7 Задача об анизотропной пластине со смещенным круглым вырезом.
9.8 Задача об анизотропной пластине в виде части квадрата.
9.9 Задача об анизотропной пластине в виде креста 163
9.10 Задача о деформированном состоянии клапанного дискового уплотнителя.
Заключение 169
Литература
- Свертка функций по поверхности и ее преобразование Фурье
- Функция Грина второй краевой задачи
- Функция Грина второй краевой задачи
- Динамическая задача со смешанными краевыми условиями
Введение к работе
Многие актуальные научные и технические проблемы связаны с исследованием напряженно - деформированного состояния твердых тел при статических и динамических нагружениях. Для решения возникающих при этом начально-краевых задач пользуются интенсивно развивающимися в последнее время методами статической и динамической теории упругости и вязко упругости, изложению которых посвящен ряд монографий, вышедших как у нас в стране [1], [81], [87], [84], [118], [156], [160] так и за рубежом [163], [176], [181].
Наряду с классическими методами, получившими в последнее время дальнейшее развитие, (такими как метод Винера - Хопфа [98], метод Виллиса [118], асимптотическими методами, которым посвящена монография В.М. Бабича и B.C. Булдырева [14], методом интегральных уравнений [91], методом функций Грина [89], методом источников [123-128], методом геометрического погружения [160], методом представления решения крае вых задач упругости с помощью функций Папковича - Нейбера [99], методом функционально - инвариантных решений [120], лучевым методом), достаточно большое внимание в публикациях последних лет уделено разработке метода интегральных преобразований [145], который подвергся существенному дополнению и расширению. Впервые метод интегральных преобразований при решении динамических начально-краевых задач теории упругости применён Лембом в 1904 г. Однако, интенсивное использование этого метода началось с пятидесятых годов. В нашей стране заслуги в развитии метода интегральных преобразований принадлежат, прежде всего школе Г.И. Петрашеня и его учеников [110], [111], [112], относящиеся к пятидесятым годам. Чуть позже это направление начало развиваться в работах школы Н.В. Зволинского [69] - [74]. Не менее интенсивно метод интегральных преобразований в это время развивается и зарубежными учёными, результаты которых нашли отражение в работах A.W. Ewing [177], A.W. Майе [182], R. Skalak [192], С. Atkinson [165]. Методы интегральных преобразований в решении динамических задач теории упругости получили дальнейшее развитие в работах J.R. Willis [193], Y.H. Рао [187], Б.В. Кострова [83], Л.И. Слепян [146], В.Б. Поручикова [118], школы Ю.Э. Сеницкого и его учеников [135] - [145].
Большое внимание уделяется динамическим задачам анизотропной теории упругости. В нашей стране исследования этих задач проводились В.А. Свекло [131] - [133]. В его работах метод Смирнова - Соболева распространяется на случай анизотропной среды в условиях плоской деформации. Исследования нестационарных задач для анизотропных сред проводились также B.C. Будаевым [20], [22], И.Г. Филиповым [155], В.А. Са-райкиным и Л.И. Слепяном [130]. Методом конечных интегральных преобразований краевые задачи динамической теории упругости для анизотропного материала решались Сеницким Ю.Э. [137] - [139], Федечевым А.Ф. [151].
Расширение возможностей методов решения краевых задач идёт в основном в двух направлениях. Первое из них - это дальнейшее развитие самих методов решения краевых задач, например развитию метода Винера - Хопфа посвящены работы Кострова Б.В. [83], Микловитца Дж. [184], A.W. Майе [182]. Именно благодаря развитию указанных методов удалось решить задачи о дифракции упругих волн на подвижной трещине, о дифракции на границе раздела жидкости и твёрдого тела, и т.д. Развитие асимптотических методов осуществляется в работах Березина В.Л. и Косо-вича Л.Ю. [17], Александрова В.М., Пожарского Д.А., [2], [3]. Дальнейшему развитию метода Папковича - Нейбера посвящены работы Гринчен-ко В.Т. и Мелешко В.В.[37], Фридмана Л.И. [157], которому удалось построить полные решения стационарных задач для конечных тел канонической формы. Метод Колосова - Мусхелишвили развивается в работах При-тыкина И.А., Рудаченко С. В., Рудаченко Т.В. [119], Калоерова С.А., Го-рянской Е.С., Шаповаловой Ю.Б. [75], Чао С.К., Юнга СВ. [171]. Авторам указанных работ удалось решить задачу об изгибе бесконечной пластины с шестиугольным вырезом, в явном виде получить общее решение задачи антиплоского деформирования упругого пространства с несколькими ци линдрическими включениями. Метод конечных интегральных преобразований особенно интенсивно разрабатывается Ю.Э. Сеницким и его учениками применительно к задачам динамики упругих тел. Здесь следует отметить введенное недавно биортогональное векторное конечное интегральное преобразование, позволившее разработать методику решения краевых задач для дифференциальных операторов, не являющихся самосопряженными [143], [144]. Истории развития этого метода, его современному состоянию и перспективам развития посвящена работа [145].
Другое направление, расширяющее возможности методов решения начально-краевых задач - это разработка и применение комплексных методов, включающих в себя несколько уже известных и вновь разрабатываемых методов. Так совместное применение метода интегральных преобразований и представления решений в форме Смирнова - Соболева, позволило решать пространственные задачи дифракции. Комбинированный метод интегральных преобразований и выделения особенностей, разработанный В.Б. Поручиковым дал возможность решить пространственные динамические задачи теории упругости для клиновидных областей со смешанными краевыми условиями. В работе [118] этим методом решена задача о дифракции сферической упругой волны на гладком твёрдом клине и задача о дифракции на клине плоской упругой волны.
Методы решения начально-краевых задачи теории упругости представляют ценность не только для теории упругости, но и для других разделов механики деформируемого твёрдого тела и математики в целом. На пример, к краевым задачам статической теории упругости с использовани ем принципов соответствия сводится достаточно большой класс краевых задач теории вязко-упругости для неоднородно стареющего анизотропного материала, подвергаемого медленным процессам деформирования. В монографии Арутюняна Н.Х., Колмановского В.Б. [4] проведён подробный анализ приёмов сведения статических задач линейной теории вязкоупругости к задачам линейной теории упругости.
Проблемой распространения принципа Вольтерра на нелинейные нестабильные материалы занимались многие авторы. Приёмы решения задач нелинейной вязкоупругости предлагались Москвитиным В.В. [99], Побед-рей Б.Е. [116], Мальцевым Л.Е., Крекниным А.И. [91], Савиным Г.Н., Ру-щицким Я.Я. [129]. Нелинейные вязкоупругие задачи решались многими авторами, например Победрей Б.Е. [115], Кадырбековым Т.В. [74]. Наиболее распространенным методом решения задач нелинейной вязкоупругости является метод упругих решений Победри Б.Е., предложенный им в работах [114], [116]. Если связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений задаётся в виде операторного ряда Фреше, то путём аппроксимации ядра интегральных операторов кусочно-вырожденными ядрами, задачу нелинейной вязкоупругости к задаче нелинейной упругости можно свести методом, предложенным В.В. Колокольчиковым [78-80].
Исследование напряжённо - деформированного состояния вязко-упругих тел при динамических воздействиях приводит к начально-краевым задачам большей сложности, чем задачи теории упругости. В этой области механики деформируемого твердого тела получены более скромные результаты, чем в динамической теории упругости. Здесь следует отметить результаты, полученные Галиным Л.А. и Шматковой А.А. [30], Филипповым И.Г., Филипповой Н.А., Егорычевым О.А. [154 - 156].
Приведённый обзор публикаций позволяет сделать вывод о том, что обилие методов решения начально-краевых задач обусловлено их ограниченностью. Каждый из них существенным образом опирается на форму деформируемого тела, свойства его материала и позволяет решить начально-краевую задачу только для достаточно узкого класса деформируемых тел. Не построены методы, позволяющие получать решение начально-краевой задачи в виде оператора, воздействующего на начальные и краевые условия краевой задачи для тел произвольной формы. Поэтому исследования в этой области являются актуальными.
Свертка функций по поверхности и ее преобразование Фурье
Фундаментальное решение оператора Ламе 1 д2 (L)jk =—У (ГікЬ +rjjhk) тензор Кельвина-Сомилиано, для однород ного материала, как известно [82], представляет собой тензор, удовлетворяющий равенству: J(L),mKmn(x,y)un(y)dy = u,(x). (1.4.1) R3 Здесь и везде далее используется правило Эйнштейна - правило суммирования по повторяющемуся индексу. Либо, если пользоваться аппаратом обобщенных функций: (L),mKmn(x,y) = 5,n8(x-y). (1.4.2) Здесь 5 (х - у) - дельта функция Дирака, 8 п - символ Кронекера.
Из соотношения (1.4.2) следует, что координаты тензора фундаментальных решений Ктп(х,у)в формуле (1.4.1) зависят от разности аргументов (X - у), ибо только производная функции разностного аргумента в этом случае представляет собой функцию аргумента разностного. Поэтому соотношение (1.4.1) может быть записано в виде: (L),m Kmn(x-y)un(y)dy = u,(x). (1.4.3) R3 Оператор (L)im, как действующий на координаты вектора X, вынесен за знак интеграла по переменной у. Подвергнем (1.4.3) преобразованию Фурье.
Используя теорему о свертке по конечной области и свойства преобразования Фурье [77], в образах будем иметь: (L)%m(k)K mn(k)u n(k) = u Kk). (1.4.4) В этом равенстве K mn(k)= jKmn(x)e-ik-xdx; R3 u n(x)= jun(x)e-ik,xdx; (1.4.5) R3 (L) ,m(k) = - 1( + -) . 1 j,h=l Из равенства (1.4.4) следует, что: (L) m(k)K mn(k) = 5n. (1.4.6) if if.
To есть матрицы (L) m(k) и К mn(k) взаимно обратные, поэтому, используя известную методику построения обратной матрицы, из (1.4.6) найдём Фурье-образ фундаментального решения К mn (k): K mn(k) = ((L) mn(k))-1. (1.4.7) Здесь ((L) mn(k))-1 - матрица, обратная по отношению к ((L) mn(k)). Равенство (1.4.7) позволяет определить Kmn (х - у): К-(х-У) = 7 3- J((L) mn(k))-1 .e dk. (1.4.8) (2л) RJ3 1.5. Представление решения краевой задачи теории упругости объемным потенциалом Рассмотрим краевую задачу линейной теории упругости со смешанными краевыми условиями: ij,j(x) = F i(x); e ij(x) = -{u i,j(x) + u j,i(x)}, a ij(x) = rijpq-e pq(x); (1.5.1) u i(x) =u i0(xSu), ст у(х)п,(х) =P i(xSo).
Здесь с ij(x), 8 Pq(x)- компоненты тензоров напряжения и деформации; F i(x) - составляющие массовой силы; in(x)- компоненты вектора перемещений; a u io(xs) - его значения на части Su границе рассматриваемого тела; Г-- - компоненты тензора упругих постоянных; х - радиус вектор точки пространства; Р i(xs ) - компоненты распределенной по поверхности силы; nj(x) - координаты внешней нормали к поверхности SCT. Поверхность тела S=SuuSc- предполагается кусочно-гладкой. В (1.5.1) на границе тела S в частном случае могут быть заданными либо поверхностные силы (вторая краевая задача), либо составляющие вектора перемещений (первая краевая задача). Объем V1? занимаемый телом и ограниченный поверхностью S, будем считать конечным.
Поместим объем Vi - занимаемый телом, в объем V2, большего размера, таким образом, чтобы весь объем Vi находился внутри объема V2 огра 27 ничейного поверхностью S2. Пусть упругие свойства материала, занимающего объем V2, совпадают везде с упругими свойствами материала занимающего объем Vi. Потребуем, чтобы напряженно-деформированное состояние материала, занимающего объем V2, в объеме V! совпадало с напряженно-де формируемым состоянием материала, занимающего объем Vi, т.е. вместо краевой задачи (1.5.1) будем иметь аналогичную краевую задачу:
Функция Грина второй краевой задачи
Рассмотрим вторую краевую задачу линейной изотропной теории упругости: CT ij,j(x) = F i(x); s u(x) = -{u i,j(x) + u j.i(x)j; 2 (2.2.1) y u(x) = rjjpq-e pq(x); a ij(x)-rij(x)s =P i(xs). Используя тензор Кельвина-Сомильяны, сведём неоднородную краевую задачу (2.2.1) к однородной. oSJ(x) = 0; Би(х) = -{ии(х) + иАІ(х)); у(х) = Гии-еи(х); стцСх) nj(x)s = Р, (xs). Аналогично соотношению (2.1.3) выразим тензор напряжений в виде объёмного потенциала: о(х)= j[oK(x-y)].F(y)dy. (2.2.3) Vo
Здесь а оператор. Его действие осуществляется по формуле оК(х-у) = Г є(К(х-у)). Конечность всех рассматриваемых объемов, а также условия, накладываемые на искомые тензоры напряжений и деформаций и вектор перемещений краевой задачи (2.2.2) (в том числе дважды непрерывная дифференцируемость в рассматриваемом объеме) позволяют заключить, что все они обладают преобразованиями Фурье и удовлетворяют условиям существования обратного преобразования Фурье, восстанавливающего исходную функцию по ее Фурье-образу.
Преобразуем краевую задачу (2.2.2) по Фурье. Для уравнения равновесия будем иметь: еік,хау(х)сІх = 0. (2.2.4) v Интегрируя (2.2.4) по частям, получим: j -{eik-xaij(x)jdx+ jikjaij(x)eik xdx = 0. (2.2.5) V j V Используя теорему Остроградского-Гаусса, преобразуем первый из интегралов (2.2.5) в интеграл по поверхности S: Jpi(xs)eik,XsdS + ikja ij(k) = 0. (2.2.6) s
Здесь a ij(k) - образ Фурье координат ау(х) тензора напряжений. В соотношении (2.2.3) ядро интегрального оператора разностное. Поэтому, применяя к нему преобразование Фурье и используя теорему о свертке по конечной области, будем иметь соотношение: a ij(k) = K ijm(k)F m(k). (2.2.7) Где: a u(k)=fa((x)eik,xdxl v F m(k)= jFm(x)eik- dy, (2.2.8) Vo K ijm(k)= {aijmK(z)eik zdz. а объем Vz определяется через объемы V0, Уи равенством Z = (х - у). Подставляя (2.2.7) в (2.2.6), получим: P i(k) = ikjK ijm(k)F m(k). (2.2.9) Здесь Р р (к) - образ Фурье поверхностной силы: P i(k) =Pi(xs)eik,XsdS. (2.2.10) s Соотношение (2.2.9) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений для определения трёх неизвестных компонент вектора массовых сил F m(k). Пусть Rmq(k) - матрица, обратная по отношению к матрице ikjK ijm(k) системы уравнений (2.2.9). Тогда: F m(k) = Rmq(k).P q(k). (2.2.11) Относительно системы уравнений (2.2..9) отметим следующее. Поскольку, как видно из всего предыдущего, краевая задача (2.2.2) эквивалентна системе уравнений (2.2.9), то из существования решения задачи (2.2,2) следует существование решения системы уравнений (2.2.9). То есть определитель системы уравнений (2.2.9) отличен от нуля и обратная матрица Rmq(k) строится по известной методике. Соотношения (2.2.11) позволяют записать вектор перемещений и тензор напряжений - решения краевой задачи (2.2.2) в виде: ч(х) = - з- К(х - у). I jR(k). Р (к) e-ik dk jdy, (2.2.12) м=w .Их - у) URM р w e ik ydkW (2л) vn
Докажем, что соотношение (2.2.12) являются решениями краевой задачи (2.2.2). Для этого необходимо доказать, что они удовлетворяют системе уравнений задачи (2.2.2) и ее краевым условиям. То, что и(х) и а(х) в (2.2.12) удовлетворяют системе уравнений задачи (2.2.2), следует из теории потенциала. Поэтому остается доказать, что а(х) удовлетворяет краевым условиям задачи (2.2.2). Лемма 2.2.1. Имеет место равенство: jamq(xs)nq(xs)eik XsdS = P m(k). (2.2.13)
Доказательство. Положим в (2.2.12) что вектор X принадлежит границе S области, занимаемой упругим телом. Будем иметь: ( s) = f K(xs-y).jR(k).P (k)-e-ik-ydkjdy. (2.2.14) \2п) v0 U J Умножим (2.2.14) скалярно на n(xs)elkl Xs и проинтегрируем по поверхности S тела. Тогда в компонентах будем иметь: Kq(xs)nq(xs)eikl,XsdS = —-JJ[amq,(K(x-y)]x s V-ч s v0 (2.2.15) ікч»хс nq(xs)e,Kl dydS x j R,h(k)P h(k)e-ik-ydk L(0 Переходя в правой части равенства (2.2.15) от интеграла по поверхности к интегралу по объему, используя теорему о свертке и свойства тензора Кельвина-Сомильяно, получим: Jamq(xs)nq(xs)eikl XsdS = iklqKV(k1)R,h(k1)P h(k1). (2.2.16) s Но iklqK mqf(k-i), Rh(k1) - взаимно обратные матрицы, поэтому Kq(xs)-nq(xs)-eikl,XsdS = P m(k1). (2.2.17) s Лемма доказана. Из утверждения леммы следует и равенство функций amq(xs)nq(xs) и Pm(xs) как функций, имеющих одинаковые образы Фурье.
Предлагаемый способ решения второй краевой задачи теории упругости позволяет построить для этой задачи функцию Грина G(x-Xs). Действительно, как известно, функция Грина G(x -xs) представляет собой ядро интегрального оператора, которое выражает компоненты вектора перемещения через компоненты вектора внешней силы, заданной на границе упругого тела.
Функция Грина второй краевой задачи
Функцию Грина Gmn(x,y) краевой задачи (3,2,1) как и в предыдущем параграфе, представим виде суммы: Gmn (х, у) = Kmn (х, у) + Wmn (х, у), (3.2.2) причём Wmn (X, у) - есть решение краевой задачи: (L)fmWmn(x,y) = 0; о5(х,у) (х)8 =-au(K)nj(x)s =P,w(xs,y). (3 2 3) После введения Gmn(x,y) решение краевой задачи (3.2,1) запишем в виде: u;(x)= Gij(x,y)Fj(y)dy- Gij(x,y)Pj(ys)dS. (3.2.4) V s Используя (1.4.9), определим поверхностное значение функции i xs,y)n xs) = --!-3-aij(jKt(k))-1.eik-x4k)nj(xs) = Piw(xS)y). (3.2.5) (2л) R3 Решение задачи (3.2.3) будем искать в виде: Wmn(x)= JKmp(x-y)Fpn(y)dy. (3.2.6) Как и ранее, объем интегрирования V, содержит внутри себя объем V, занимаемый деформируемым телом. Тензор Fpn (у) - есть тензор массовых сил, распределённых в объеме V,. Подберем Fpn(y) таким образом, чтобы выполнялись краевые условия задачи (3.2.1).
Подвергая краевую задачу (3.2.3) преобразованию Фурье, получим: jeik x/-(aapy(x))dx = 0. (3.2.7) v xp Интегрируя (3.2.7) по частям и применяя формулу Остроградского - Гаусса, получим: P Way(k)-ikpa «Pr(k) = 0. (3.2.8) Используя соотношение (3.2.6) и теорему о свертке, для Фурье образов координат тензора напряжений получим: a apy(k) = Kaap5(k)F 8y(k). (3.2.9) Здесь: a aPy(k)=Jeik xaaPy(x)dx; V Ka«p5(k)= }eik,xa(K)ap5(x)dx; (3.2.10) F%(k)= Jeik xF5y(x)dx. Vf Подставим (3.2.9) в (3.2.8): P Way(k) = ikpKaap5(k)F 8y(k). (3.2.11)
Система линейных алгебраических уравнений (3.2.11), эквивалентная исходной краевой задаче, в силу единственности решения последней также имеет единственное решение, и, следовательно, её определитель отличен от нуля. Поэтому матрица системы ikpKap5(k) имеет обратную матрицу Ka5(k). Используя Ka5(k) решение системы уравнений (3.2.11) запишем в виде: F 8Y(k) = K5a(k)P w«y(k). (3.2.12) Из (3.2.12), с помощью обратного Фурье-преобразования, для Wmn(x) получаем соотношение: Wmn(x)= jKmp(x-y){-!- J eik Kpq(k)Pq;w(k)dk}dy. (3.2.13) Докажем, что (3.2.13) представляет собой решение краевой задачи (3.2.3). Для этого докажем, что (3.2.13) удовлетворяет системе уравнений и краевым условиям задачи (3.2.3). Теорема 3.2.1. Функция Wmn(x), определяемая соотношением (3.2.13), удовлетворяет системе уравнений краевой задачи (3.2.3). Доказательство. Справедливость утверждения теоремы следует из свойств фундаментального решения Kmn(x,y). Теорема 3.2.2. Функция Wmn(x), определяемая соотношением (3.2.13), удовлетворяет краевым условиям задачи (3.2.3).
Доказательство. Для доказательства используем формулу (3.2.13), и найдём значения компонентов тензора напряжений на поверхности: ару(х8)= Ki»(K(xs -УЖ-ЛІ JeibyK5q(k).P wqr(k)dk]dy. (3.2.14) v, (2л) R3 Умножая обе части соотношения (3.2.14) на np(xs)elk s, суммируя и интегрируя по поверхности S тела, получим: {np(xs)eik-x aaPY(xs)dS= j{ jnp(xs)eik x [a(K(xs -y))ap8]x S S V, j (3.2.15) X 7TT leik,yK5q(k)-P wqy(k)dk}dy}dS. (2я) R3 Переходя в правой части равенства (3.2.15) от интеграла по поверхности к интегралу по объему, используя свойства фундаментального решения, теорему о свёртке по объёму и формулы (3.2.10) запишем: jnp(xs)eik-XsaaPy(xs)dS = ikpa(K(k))ap5KSq(k)-P wqy(k). (3.2.16) s Из (3.2.16) получим: Jnp(xs)eik aaPr(xs)dS=jeik P waY(k)dS. (3.2.17) S S Из (3.2.17) следует утверждение теоремы.
Таким образом, решение краевой задачи (3.2.3) построено, а это позволяет записать функцию Грина краевой задачи (3.2.1) в явном виде в форме следующей квадратуры:
Будем считать материал деформируемого тела однородным анизотропным. Тогда, как и ранее, тензор Кельвина-Сомилиано для анизотропного оператора Ламе (1.4.9), позволит свести неоднородную краевую задачу (3.3.1) к однородной: au,j(x) = ; е8(х) = -{иц(х) + иу(х)}, aij(x) = r:jpq-pq(x); (3.3.2) ui(x)ls„ =uio(xs): ij(x)n(x) =Pj(xs). При решении задачи (3.3.2) будем использовать полученные в параграфах 1 и 2 данной главы решения первой и второй краевых задач. Запишем решение краевой задачи (3.3.2) используя формулу Стокса для оператора Ламе: ui(x)=J[Kij(x-ys)-Pj(ys)-(a)ijq(K(x-ys))-uj(ys).nq(ys)]dS. (3.3.3) S Действие оператора напряжений на тензор Кельвина-Сомилиано (о);- (К(х - ys)) определится соотношением: (a)ijq(K(x-ys)) = rijkh.i(Kkqih(x-ys)-Khq k(x-ys)) = Kijq(x-ys). (3.3.4)
Здесь P ju(k), P j(k) Фурье-образы поверхностных сил, заданных на части поверхности, где известны перемещения и(х) и поверхностные силы соответственно; (un) jqu(k), (un) jqCT(k) - Фурье-образы функций, заданных на поверхности деформируемого тела и представляющих собой произведение j-ой координаты вектора перемещений на q-ую координату вектора нормали к поверхности. Величины P ju(k) и (un)V(k) в соотношении (3.3.6) неизвестны. Определим их используя известные решения первой и второй краевых задач статической теории упругости. Для этого запишем вектор перемещений Uj (х) в виде объемного потенциала: u,(x)= JKij(x-y)Fj(y)dy. (3.3.7)
Вектор перемещений, заданный соотношением (3.3.7), в силу свойств объемного потенциала, удовлетворяет системе уравнений краевой задачи (3.3.2). Поэтому, чтобы (3.3.7) было решением задачи теории упругости (3.3.2), необходимо подобрать массовые силы F:(y) таким образом, чтобы удовлетворялись краевые условия.
Динамическая задача со смешанными краевыми условиями
Целью данного раздела является построение квадратуры для решения первой начально-краевой задачи теории упругости. Материал тела предполагается однородным, анизотропным, обладающим линейными свойствами, а само тело - имеющим произвольную форму, конечные размеры и ограничено кусочно-гладкой поверхностью.
Рассмотрим первую начально-краевую задачу динамической теории упругости: a m(x,t) + F,(x,t) = puKx,t); s x,t) = -(u (x,t) + uy(x,t)); a m(x,t) = rmpqspq(x,t); Uj(xs,t) = ui0(xs,t); (5.1.1) Uj(x,t = 0) = ui0(x); u,-(x,t = 0) = uM(x). Подвергнем систему равенств (5.1.1) преобразованию Лапласа по времени t: m,m (x,p) + F/(x,p) = p(p2u/(x,p)-pu0(x)-un(x)); ofm (x,p) = rmnqsnq (x,p); snq (x,p) = -(uM (X,p) + uqn (x,p)); (5.1.2) Ui (xs,P) = ui0 (xs,p).
В равенствах (5.1.2), как и ранее, звёздочкой обозначены образы Лапласа соответствующего тензора либо вектора, р - параметр преобразования.
Для решения краевой задачи (5.1.2), воспользуемся свойствами фундаментального решения (1.6.16) дифференциального уравнения (5.1.2), согласно которому любое частное решение (5.1.2) может быть представлено в виде:
Поместим как и в рассмотренных ранее задачах, деформируемое тело, занимающее объём V в больший объём V,.
Пусть функция Ч п (у,р) в объёме V совпадает с функцией Фп (у,р) -правой частью динамического уравнения (1.6.8), в рассматриваемом случае Ф (х,р) = -F e(х,р) + pui0(х) + ип (х). Тогда из (5.1.3) получим: u/(x,p)= JRfn(x-y,p)On (y,p)dy + г V , . (5.1.4) + JR x-y,?) (y,p)dy. 1 В соотношении (5.1.4) Ч7 п (У,р)- представляет собой массовую силу, распределённую в объёме V2. Определим её таким образом, чтобы на поверхности S выполнялись краевые условия задачи (5.1.2). Тогда (5.1.4) будет представлять собой решение задачи (5.1.2).
Для выполнения этого условия положим в (5.1.4) X eS, умножим его на выражение (n,(xs) + n2(xs) + n3(xs))e lk,Xs и проинтегрируем по поверхности S: Jn(xs)e-ik,Xsu/(xs,p)dS = S = jn(xs)e-ik [ JR,n(xs -y,p)0/(y,p)dy]dS+ (5.1.5) S V + Jn(xs)e-ik Xs[ JR,n(xs -y,p)4 V(y,P)dy]dS. s v2 Здесь n(xs) = n1(xs) + n2(xs) + n3(xs), nj(xs)- соответствующая координата нормали n(xs) к поверхности S. Последнее соотношение, учитывая краевые условия задачи (5.1.2) и применяя теорему Остроградского-Гаусса, а также теорему о свертке объёму, запишем в виде: Доказательство. Запишем (5.2.15) в виде: a+ioo 2лі Mx,t) = — JeV и (х,р)_МЮ_иЦх)№ (52i21) P P Здесь u (X?P)" решение краевой задачи {A.2.2) - известная функция, т.е. формула (5.2.21) однозначно определяет u (x,t) как функцию известную. Обозначим её через f (х, t). Тогда для іЛ(х,р) получим: Используя обратное преобразование Лапласа, из соотношения (5.2.22)
получаем другую форму квадратуры (5.2.13), в которой в явном виде выделены начальные условия и 0(х),ил(х): t иДх,0= Jf(X,T)(t)dT + Uf0(x) + un(x)t. (5.2.23) о Полагая в формуле (5.2.23) t = 0, получим первое начальное условие, а дифференцируя квадратуру (5.2.23) по времени t и затем полагая t=0, получим второе начальное условие краевой задачи (5.2.1). Т. е. (5.2.13) удовлетворяет начальным условиям задачи (5.2.1). Теорема 5.2.3. Квадратура (5.2.13) удовлетворяет краевым условиям начально-краевой задачи (5.2.1).
Доказательство следует из свойств преобразования Лапласа и , построения функции Ч І (у, р). Рассмотрим динамическую краевую задачу линейной теории упругости третьего типа, когда на части поверхности деформируемого тела Su заданы перемещения ui0(xs,t), а на остальной части SCT- поверхностные силы Pi(xs,t): Oij,j(x,t) + F,(x,t) = pu (x,t); sij(x,t) = -{uiJ(x,t) + ujJ(x,t)}, aij(x,t) = riJjpq-Bpq(x,t); u x.t) =ui0(xs,t); .GyMn x) =Pf(xs,t); iii(x,t = 0) = ui0(x); ui(x,t = 0) = uil(x). Материал деформируемого тела однороден и анизотропен. Подвергнем систему равенств (5.3.1) преобразованию Лапласа по времени t: W)Wu/(x,p) = /(x,p)-pu0(x)-u (x); J(x P) = rtanqenq (x,p); СW) = -(un q (x,p) + uq n (x,p)); (5.3.2) Ui (xs,p) = u,.0 (xs,p); CTi/(x,p)nj(x) =Pj (xs,p). Как и ранее, используя (1.6.16), сведём неоднородную краевую задачу (5.3.2) к задаче однородной. т,т (Х Р)-ррЧ (Х Р) = 0; m (x,P) = rtonqsnq (x,p); nq (x,p) = -(unq (x,p) + uqn (x,p)); (5.3.3) Uj (xs,p) = ui0 (xs,p); CTi/(x,p)nj(x) =Pi (xs,p).
При решении третьей краевой задачи (5.3.3) будем использовать полученные в разделах 5.1 и 5.2 решения первой и второй краевых задач. Используя формулу Стокса и фундаментальное решение (1.6.16) дифференциального уравнения краевой задачи, запишем её решение:
