Содержание к диссертации
Введение
1. Метод гиу для тел с нешдкими границами при действий разрывных нагрузок . 16
1.1. Некоторые сведения из теории обобщенных упругих потенциалов 16
1.2. Регулярные и конические элементы поверхности 22
1.3. Поверхности классов U и Uf(d). 30
1.4. О сходимости несобственных интегралов по поверхности класса U 32
1.5 Тождество Соми лиана для областей с негладкими границами, подверженных действию разрывных нагрузок 34
1.6. О свойствах обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами 58
2. Численная реализация метода гиу на основе тождества сомишна 78
2.1. Численное интегрирование ядер обобщенных упругих потенциалов с заданной точностью 78
2.2. О двух потенциальных представлениях решения второй основной задачи теории упругости 90
2.3. Алгоритм численной реализации метода ГИУ на основе тождества Сомилиана 97
2.4. Вычисление напряжений на поверхности упругого тела 108
2.5. Результаты решения тестовых задач 116
3. Применение метода гйу к решению прикладных здач 131
3.1. Исследование напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя блюминга 1150 131
3.2. Исследование напряженного состояния образцов для испытания на термостойкость 140
Заключение 352
Литература 154
Приложений 173
- Регулярные и конические элементы поверхности
- О свойствах обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами
- О двух потенциальных представлениях решения второй основной задачи теории упругости
- Исследование напряженного состояния образцов для испытания на термостойкость
Введение к работе
Потребности интенсивно развивающегося социалистического производства ставят перед советской наукой новые, все более сложные задачи, "Основными направлениями экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года11 / I /, утвержденными ХХУІ съездом КПСС, предусмотрено дальнейшее ускорение научно-технического прогресса, обеспечение быстрейшего создания и повсеместного внедрения принципиально новой техники и материалов, осуществление технического перевооружения производства. Решение этих задач требует повышения эффективности научных исследований, углубления связи фундаментальных и прикладных исследований с производством. В области естественных и технических наук признано необходимым дальнейшее развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях.
Методы теории упругости, все глубже проникающие в различные области современной науки и техники, составляют основу исследований прочности материалов и конструкций. В развитии теоретических и прикладных направлений теории упругости достигнуты значительные успехи. Вместе с тем задачи, возникающие в связи с потребностями современной техники, выдвигают ряд важных проблем, ОДНОЙ из которых является развитие методов решения пространственных задач теории упругости для тел СЛОЖНОЙ формы при наличии угловых точек и ребер, концентраторов напряжений, заданий разрывных граничных условий. Математические трудности, возникающие при использовании аналитических методов для решения указанных задач, препятствуют получению результатов с удовлетворительной точностью. В то же время использование современных вычислительных средств в значительной степени экономит время и затраты на решение, позволяет выявить новые теоретико-технические качества. Это обстоятельство стимулирует разработку новых эффективных численных методов решения пространственных задач теории упругости.
В настоящее время к наиболее эффективным методам приближенного решения задач теории упругости на ЭВМ относятся методы потенциала и, в частности, метод граничных интегральных уравнении (ГИУ). Методы потенциала в теории упругости используются давно, но лишь в последнее десятилетие, в связи с появлением новых поколении быстродействующих ЭВМ, началось их систематическое применение к решению краевых задач. В значительной мере этому способствовала разработка теории многомерных сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и проведение на ее основе исследования вопросов существования и единственности решения краевых задач теории упругости. Основные результаты в этом направлении получены В.Д.Купрадзе и его учениками /61,62 /, а также С.Г.Михлиным / 70 /.
Широкий интерес к методам потенциала обусловлен следующими их достоинствами:
1) понижением размерности ИСХОДНОЙ задачи на единицу;
2) точным удовлетворением решения исходным дифференциальным уравнениям;
3) ВЫСОКОЙ разрешающей способностью в областях с большими градиентами решения;
4) одинаковой эффективностью решения краевых задач как для конечных, так и для бесконечных областей;
5) отсутствием процесса численного дифференцирования, приводящего к потере точности при вычислении производных решения внутри области;
6) наличием интегральных операторов, оказывающих сглаживающее влияние на погрешность решения, обусловленную приближена ным характером удовлетворения граничным условиям;
7) сокращением объема исходной информации и времени решения задачи на ЭВМ, возможностью получения более точного решения по сравнению с другими методами (МКЗ, МКР).
Методам потенциала присущи и известные ограничения. Например, они непосредственно неприменимы к решению нелинейных задач в силу нарушения принципа суперпозиции. Трудности возникают и в случае задач для неоднородных тел в связи с отсутствием известных фундаментальных решении для соответствующих дифференциальных уравнений равновесия. Тем не менее, на основании данных, приведенных в обзорах /23,34,42,57,75,104 /, можно считать установленным факт, что задачи статики, установившихся упругих колебаний и термоупругости для изотропных однородных тел допускают наиболее эффективную численную реализацию методами потенциала.
При всем многообразии подходов с использованием аппарата теории потенциала, их можно условно разбить на две большие группы. К первой группе могут быть отнесены подходы / II-14,23, 24,34,54-57,61,62,67,69,75,116-119,129,147,151 /, использующие . потенциальные представления решений, плотности которых распределены по несущим поверхностям, совпадающим с границей исследуемой области. Эти подходы объединены под общим названием метод ГИУ, поскольку интегральные уравнения относительно неизвестных плотностей рассматриваются на границе исследуемой области. Ко второй группе можно отнести подходы, в которых несущие поверхности расположены вне рассматриваемой области на некотором расстоянии от ее границы. Сюда относятся метод функ -циональных уравнений /30,34,61,62,96,141,153 /, метод разложения по неортогональным функциям / 17 /, метод источников /86,87/.
Основной трудностью реализации метода ГИУ является сингулярность соответствующих интегральных уравнений. Хотя общая теория таких уравнений на гладких многообразиях построена /61, 62,70/, приближенное вычисление сингулярных интегралов (СИ) затруднено из-за отсутствия соответствующих кубатурных формул. Вычисление СИ по определению, т.е. путем удаления малой -окрестности полюса с последующим переходом к пределу при Є-+-0 , является нереализуемой на ЭВМ процедурой. Как установлено в работах А.Я.Александрова / 13 / и Круза (T./I.Crc/se) /116,119/, в случае, когда множество интегрирования является плоским многоугольником,СИ могут быть вычислены аналитически. П.И. Пер -лин / 75-78/ предложил метод регуляризации СИ на основе обобщенной теоремы Гаусса. Аналогичный ;; подход реализован в рабо-тах Лаше (.JClochat) и Ватсона (,/О. Watson ) /69,134,135/. Другой способ регуляризации СИ с использованием регуляризующих множителей, обращающихся в ноль в полюсе ядра, предложен А.И.Вайндинером и В.З.Москвитиным / 29 /. А.Я.Александров и Б.М.Зиновьев /16 / ввели представление СИ через сумму контурного регулярного интеграла и слабоособенного интеграла по площади в случае плоских, сферических и тороидальных поверхностей. Полуаналитический метод вычисления СИ, основанный на аналитическом вычислении интеграла по малой окрестности полюса и применении адаптивной программы для вычисления интегралов по оставшейся поверхности, предложен М.И.Лазаревым и А.Р.Сковородой / 63 /. Ю.В.Верюжский / 34 / предложил метод "разрешающих зна-чений", основанный на том, что предельное значение потенциала мало отличается от его значении в точке, отстоящей от границы на малом расстоянии. В работах Казантзакиса {J.G.KoZO/ltiOKiS, ) и Теокариса ( RSJheocahs ) / 130,152 / предложен метод сведения двумерных СИ к повторным одномерным СИ, которые могут быть вычислены приближенно. Из всех рассмотренных способов вычисления СИ наиболее естественным представляется метод регуляризации на основе обобщенной теоремы Гаусса.
В настоящее время используются два подхода к решению сингулярных интегральных уравнений метода ГИУ. Первый из них, метод Крылова-Боголюбова (МКБ), первоначально развитый для решения интегральных уравнении теории гармонических потенциалов / 52 /, состоит в кусочно-полиномиальной аппроксимации решения на множестве элементов (в общем случае криволинейных), аппроксимирующих границу рассматриваемой области. Требование удовлетворения интегральных уравнений в совокупности заданных точек (как правило, совпадающих с интерполяционными узлами) позволяет сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных узловых значений искомого решения.
Второй подход, развитый в работах П.И.Перлина /77,78/, состоит в использовании метода последовательных приближений (МПП) путем разложения решения в ряд Неймана по степеням параметра, входящего множителем в интегральный член уравнения. В / 76 / отдается предпочтение МПП на том основании, что для МКБ отсутствует доказательство сходимости в случае сингулярных интегральных уравнений. В связи с этим отметим, что для одного и того же вида дискретизации границы и аппроксимации решения численная реализация МПП совпадает с методом простой итерации для СЛАУ, построенной по МКБ, поэтому в олучае сходимости МПП имеет место и сходимость МКБ.
Наиболее трудоемкой процедурой метода ГИУ является интегрирование ядер обобщенных упругих потенциалов по совокупности элементов поверхности,аппроксимирующих границу исследуемой области. Для элементов нулевой кривизны в работах Б.М.Зиновьева Аб/, Ю.В.Верюжского, А.И.Вусатюка, А.Я.Петренко, В.В.Савицкого /31, 32,34/, Круза /Пб,П9 /получены аналитические выражения весьма громоздкой структуры для вычисления потенциалов с плотностями в виде алгебраических полиномов. В работах В.Я.Адлуцко-го /3,4 /, Н.И.Антонова, Б.М.Зиновьева, Э.П.Трофимовой /21,48/ исследован вопрос о применении различных кубатурных формул к приближенному интегрированию ядер потенциалов по плоским элементам поверхности и установлены границы применимости этих формул. В работе И.З.Ройтфарба и Ю.В.Урванцева / 89 / рекомендуется разлагать ядра упругих потенциалов в ряд Тейлора по пространственным переменным с последующим вычислением моментов различных порядков области интегрирования относительно осей местной системы координат. Лаше и Ватсон / 69,134,135 / разработали схему вычисления интегралов по криволинейным элементам поверхности, использующую процедуру разбиения на под элементы с последующим применением кубатурных формул Гаусса. Точность вычислений контролируется путем оценки остаточных членов кубатурных формул при интегрировании функция, описывающих степенную особенность ядра. В работе Г.И.Яха и В.Я.Адлуцкого / Ю7 / предложены экспериментально полученные критерии выбора кубатурных формул Гаусса, гарантирующие заданную точность и позволяющие уменьшить объем вычислений. Для осесимметричных задач в работе Е.А.Рубцова и Н.М.Хуторянского / 90 / предложен адаптивный алгоритм интегрирования, использующий возможность раздельного интегрирования, по окружной координате и контуру меридионального сечения.
Специфические трудности возникают при решении второй основной внутренней задачи теории упругости, поскольку соответствующие СИУ неоднозначно разрешимы. В рамках МКБ это приводит к вырожденности матрицы СЛАУ, а в рамках МГОІ - к расходимости ряда Неймана. Если условия задачи допускают использование симметрии относительно трех плоскостей, то указанные затруднения отпадают. В работах П.И.Перлина / 77,78 / предложены несколько модификаций МПП, позволяющих получить сходящийся процесс. В работе В.Й Мосоаковского, Г.И.Яха и В.Я.Адлуцкого / 72 / предложен прием, устраняющий расходимость итерационного процесса решения СЛАУ путем исключения на каждом шаге перемещений тела как жесткого целого.
БОЛЬШОЙ интерес представляет изучение сравнительной эффективности использования различных потенциальных представлений решений одного и того же класса задач. В работе В.Я.Адлуцкого / б / для второй основной задачи теории упругости проведено сопоставление решений в виде потенциала простого слоя и на основе тождества Сомилиана. Для областей с негладкими границами обоснована большая эффективность второго представления.
В рамках метода ГИУ наиболее эффективно решаются осесиммет-ричные задачи и задачи для тел вращения Первой в этом направлении явилась работа А.Я.Александрова / 12 /, в которой для решения осесимметричной контактной задачи применена методика определения напряжений и перемещений от нагрузок, равномерно распределенных по кольцу. Это позволило рассматривать неизвестные только на контуре меридионального сечения области контакта. В дальнейшем различными авторами путем интегрирования ядер исходных двумерных СИУ по окружной координате были получены одномерные СИУ осесимметричных задач / 14,59,85,91,101,120,D2,137,149 /. Структура ядер этих уравнений имеет более сложный характер, поскольку вместо элементарных функций они выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Однако это окупается простотой последующей численной реализации. В случае, когда граничные условия, заданные на поверхности тела вращения, не удовлетворяют условиям осевой симметрии, в работах Н«Ф.Андрианова / 19 /, В.С.Згржебловского / 45 /, С #.Ступака / 92 / предложены приемы, уменьшающие объем вычислений при решении задачи с использованием МПП. Другой подход развит в работах Маира ( М.Мауг ), дрекслера (MDrexier ), кюна ( & Kuhn ) I 138 /, Риццо {FJ.Rizzo ) и Шиппи ( D.J.Shippy ) / ш /, где с помощью разложения искомого решения в ряд Фурье по угловой координате получена совокупность одномерных СИУ по контуру меридионального сечения, ядра которых могут быть выражены аналитически Для решения этих СИУ использован МКБ.
Переходя ко второй группе методов, когда несущие поверхности удалены от границы исследуемой области, отметим отсутствие трудностей, связанных с вычислением СИ Однако, как установлено в работах А А.Рогового / 86,87 /, решение соответствующих функциональных уравнений является некорректной по Адамару задачей Это приводит к тому, что СЛАУ - конечномерные аналоги функциональных уравнений - весьма плохо обусловлены, и для их решения требуется привлечение методов регуляризации, что неизбежно усложняет процесс численной реализации Следует отметить, что математический аппарат теории потенциала разработан при достаточно жестких ограничениях на гладкость границ рассматриваемых областей и искомых решений При нарушении гладкости границ или краевых условий решение краевой задачи в общем случае может быть нерегулярным / 76 /, что затрудняет численную реализацию. Соответствующие СИУ, формально полученные тем же путем, что и в случае гладких поверхностей, содержат СИ, существование которых требует дополнительных исследований. Некоторые из них могут расходиться, как это установлено в работах Ватсона / Ш / и Гартмана ( Е НагtmonП ) / 125/ относительно прямого значения оператора напряжения от потенциала простого слоя в угловых точках несущей поверхности. В случае, когда исходным соотношением является тождество Сомилиана, возникает вопрос о его справедливости для нерегулярных решений. Положение осложняется также тем, что в настоящее время отсутствует теория многомерных СИУ на негладких многообразиях (СИУ с раз рывными характеристиками). Тем не менее различными авторами предложен ряд алгоритмов численной реализации метода ГИУ при нарушениях классических требований теории потенциала. Н.Ф.Андрианов и П.И.Перлин / 18 / разработали алгоритм численного решения СИУ второй основной задачи для тел с кусочно гладкими границами на основе МПП. При этом используется концепция "ДВОЙНОЙ точки", т.е. в узловых точках, расположенных на угловых линиях границы, с помощью экстраполяции определяются два значения плотности, каждое из которых относится к своей гладкой поверхности. В работе А.Я.Александрова, Б.М.Зиновьева, Л.М.Куршина / 15 / в окрестности особых ЛИНИЙ и точек границы предлагается распределять компенсирующие нагрузки, закон изменения которых отражает асимптотику решения краевой задачи. Ю.Л.Бормот /27,28 / для областей с внешними углами и нагрузками, допускающими в угловых точках ограниченные напряжения, предложил функциональные уравнения, полученные из интегральных путем расширения области интегрирования и наложения дополнительных условий на плотности потенциалов. В работах Круза / 116,119 / СИУ были получены на основе тождества Сомилиана и их численное решение в случае областей с негладкими границами позволило получить весьма точные результаты, что послужило толчком для широкого использования этих уравнений.
Теоретическим аспектам методов потенциала в областях с негладкими границами посвящено мало работ. Т.Г.Гегелиа /38,39 / исследовал свойства обобщенного потенциала ДВОЙНОГО слоя для негладких поверхностей, на которых предполагается существование его прямого значения. В работе З.М.Гогниашвили / 41 / свойства этого потенциала изучены в окрестности особой точки поверхности, являющейся вершиной кругового конуса, В работах Гартмана / 124, 125 /для кусочно-Ляпуновских поверхностей установлено существование и непрерывность прямых значений потенциала простого слоя с ограниченной плотностью и потенциала ДВОЙНОГО слоя, плотность которого удовлетворяет условию Гельдера. Аналогичные исследования проведены Риголотом (. RigocOt ) /143,144 /. В работах В.Я.Адлуцкого / 6,9 /установлена справедливость тождества Соми-лиана для нерегулярных решений краевых задач теории упругости в областях с границами, состоящими из конечного числа регулярных и конических элементов поверхности. Доказано выполнение необходимых и достаточных условии существования СИ в предельной форме тождества Сомилиана и получены их выражения для некоторых частных случаев нерегулярных точек, В / 10 / исследованы свойства непрерывности обобщенных упругих потенциалов в указанных областях и установлена их принадлежность классу функций Гельдера,
В заключение отметим, что большинство задач, решенных методом ГИУ, носят тестовый характер или являются модельными при исследовании тех или иных вопросов эффективности численной реализации метода. Количество работ, посвященных решению задач прикладного характера методом ГИУ, значительно меньше, чем при использовании, например, МКЭ, что объясняется еще недостаточным распространением метода ГИУ, Из отечественных работ следует назвать исследования Н.Ф.Андрианова, В.Г.Костылева, В.П.Полухина / 20,83 / по расчету напряжений в составных соединениях типа вал-втулка, Ю,В.Верюжского, А.И.Вусатюка, А.Я.Петренко / 33 /, А.И.Винник, Ю.В.Вороны, И.З.Ройтфарба, А.ЕЛитвиненко, Ю.В.Ур-ванцева / 37 / по исследованию прочности строительных конструкций, П.И.Перлина, А.З.Штерншиса / 81 / по расчету составного прокатного валка, В.И.Калиниченко, Е.ІТ.Михащука, Д.И.Карпиноса, В.Л.Адлуцкого, В.Й.Рузина /50,51 / по расчету термоупругих напряжений в образцах для испытания на термостойкость керметов, В.Я.Адяуцкого / 7 / по исследованию напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя прокатного стана. Отметим также работы зарубежных исследователей /69,110,112, 113,122,123,127,128,133-135/ по применению метода ГЙУ к расчету прочности различных промышленных деталей и элементов конструкций сложной формы.
Целью настоящей диссертационной работы является обоснование применимости метода ГИУ на основе тождества Сомилиана при нарушении гладкости границы или краевых условий в исследуемых задачах, изучение свойств обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами, построение достаточно эффективной схемы численной реализации метода ГИУ, разработка универсальных программ расчета напряженно-деформированного состояния тел сложной формы и применение их к решению практически важных задач.
Основное содержание диссертации состоит в следующем:
-в первой главе введены классы негладких поверхностей, состоящих из конечного числа регулярных и конических элементов, и изучены их свойства, исследован® сходимость некоторых несобственных интегралов по этим поверхностям, доказано тождество Сомилиана и получена его предельная форма для нерегулярных решений задач теории упругости в областях с негладкими границами, установлено выполнение необходимых и достаточных условий существования СИ в нерегулярных точках границы, исследованы свойства непрерывности обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами;
-во второй главе проведено исследование границ применимости различных кубатурных формул к вычислению интегралов по элементам различной формы от ядер обобщенных упругих потенциалов, исследована сравнительная эффективность двух подходов к решению второй основной задачи теории упругости, разработан и обоснован алгоритм численной реализации метода ГИУ для второй основной задачи, путем решения ряда тестовых задач различной сложности проверена эффективность и точность программ, реализующих алгоритм;
-в третьей главе приведено решение двух прикладных задач об определении напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя блюминга 1150 и о расчете термоупругих напряжений в образцах для испытаний на термостойкость материалов типа керметов.
Основные результаты и выводы диссертации, которые выносятся на защиту, сформулированы в заключении работы.
Материалы диссертации опубликованы в работах /2-10,50,51, 72,107 /; они докладывались на П Республиканской конференции молодых ученых по механике (Киев, 1979 г»). УІ научной конференции молодых ученых механико-математического факультета и НИИ механики Горьковского гооуниверситета (Горький, 1981 г.),У Всесоюзной конференции по композиционным материалам (Москва,198In), межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" (руководитель -акадЛН УОСР В.И.Моссаковский), семинаре по механике механико-математического факультета Киевского госуниверситета (руководитель - чл.-корр. АН УССР А»$.Улитко), научных конференциях, посвященных итогам научно-исследовательской работы Днепропетровского госуниверситета за 1973-1982 годы, научных семинарах кафедры прикладной теории упругости Днепропетровского госуниверситета.
Работа выполнена в Днепропетровском государственном университете на кафедре прикладной теории упругости.
Регулярные и конические элементы поверхности
Введем некоторые геометрические понятия, которые будут использованы в дальнейшем. .Регулярный элементом поверхности (РЭП) называется / 131 / поверхность 5 , имеющая в некоторой ортогональной декартовой системе координат представление гдег( х2) -однозначная функция класса С ; & -замкнутая область на плоскости X4Y2 , ограниченная простои замкнутой кусочно-гладкой кривой. Из этого определения вытекает, что граница РЭП является простой замкнутой кусочно-гладкой кривой. РЭП может быть разбит на конечное число более мелких РЭП Д , обладающих следующими свойствами / 131 /: 1. Нетупой угол между нормалями в любых двух точках Л % не превосходит некоторого значения А0 , &z fio4 2. Нетупой угол между нормалью в любой точке и прямой, проходящей через эту точку и пересекающей А Ь{ более одного раза, не меньше некоторого значения QQ &о 00 р Из этих двух свойств следует: 3. Параллели к нормали в любой точке РЭП Л S пересекают ее не более чем в ОДНОЙ точке. Другими словами, РЭП А «- , одно значно проектируется на любую свою касательную плоскость (имеет ся в виду ортогональное проектирование). Величины $0 и о0 не являются независимыми. Исходя из заданного значения величины 0 , можно найти, что откуда следует, что значениям С0 , близким к , соответствуют малые значения Р . Если в уравнении (1.33) верхность S будем называть РЭП класса Можно показать, что поверхность класса JIj(cL) ограниченная кусочно-гладким контуром, может быть разбита на конечное число РЭП класса Пусть / - простая гладкая кривая, 8 - произвольно заданный острый угол, ОТЛИЧНЫЙ от нуля. Существует положительное число К0=К0((л0)t зависящее от Ы& , но не от положения точки на / , обладающее следующими свойствами / 73,131 /: 1. R Rn с центром в любой точке Q на / , состоит из единственной разомкнутой дуги О . 2. Нетупои угол между касательными в любых двух точках дуги 0 не превосходит оС0 . 3. Нетупой угол между хордой, стягивающей любые две точки дуги О » и касательной в произвольной точке ЭТОЙ дуги не превосходит CL0 . 4 Для любых двух точек U.J , U2 ДУта 0 имеет место неравенство где s(Q.tQ2) - длина части дуги }f , заключенной между точками Qi и U2 Следуя / 73 /,будем называть А =А (о / стандартным, радиусом, соответствующим заданному углу о , шар радиуса RQ -стандартным шаром, а дугу о вырезаемую из кривой / шаром u/fS,Rff)радиуса К0 , описанным из какой-либо ее точки б/, как из центра стандартной дугой» Перейдем к рассмотрению конических поверхностей. Будем называть сферической направляющей конической поверхности Д кривую С , по которой эта поверхность пересекает сферу единичного радиуса с центром в точке U - вершине конической поверхности. Будем полагать, что С -простая, в общем случае незамкнутая, гладкая кривая, заданная в некоторой ортогональной декартовой системе координат XjX2X3 с началом в точке
О параметрическими уравнениями где 2" - дуговая абсцисса; L - длина кривой С . На конической поверхности введем криволинейные координаты Т Л где Т - введенная выше дуговая абсцисса, / - расстояние мевду рассматриваемой ТОЧКОЙ и вершиной U . Пусть г\0 - I\Q ( - стандартный радиус кривой С , соот-ветствующий заданному углу CLQ З О Ы - - . Коническую поверхность, сферическая направляющая которой является стандартной дугой 0 кривой 6 , будем называть стандартной конической поверх-ностью и обозначать А Установим некоторые свойства стандартной конической поверхности. Пусть Q0 С - центр стандартного шара Lu(Q0iR0), вырезающего из кривой С стандартную дугу с . Введем ортогональную декартову систему координат Y 2 3 с началом в точке U , направив ось из О в Q0 , ось - по касательной к $ в точке б/. В ЭТОЙ системе координат параметрические уравнения дуги имеют вид где ЄІ;К - символ Леви-Чивита; Т0 - дуговая абсцисса точки Q0 . Легко видеть, что параметрические уравнения поверхности А К(Ыо) имеют вид Из свойства 2 стандартной дуги следует, что дуга 0 расположена в круговом конусе с осью, параллельной оси , и плоским уг -лом 2d0 при вершине Q0 . Введем в рассмотрение угол (fJ , отсчитываемый от оси , и угол UJ2 , отсчитываемый в плоскости 2 з от оси «? ш точек ДУГИ имеем ts( )] " вектоР касательной к дуге Q в точке и с дуговой абсциссой V . В силу свойства 2 стандартной дуги имеем lt CQI sind0: cosd0± t2(r) 4; lt3(r)l±sind0. (і.ад) Выясним в каких пределах изменяется угол между нормалями к поверхности А К (dp) ( под направлением нормали в точке 0 - вершине конической поверхности будем подразумевать множество направлений нормалей к поверхности A K(d0)). Поскольку вдоль любой образующей вектор нормали остается постоянным, достаточно рассмотреть его или Учитывая неравенства (1.Э9) и (1 40), найдем из где с/ - угол между осью Ъя и вектором П(С). Отсюда следует, что нетупой угол между нормалями к поверхности любых двух точках не превышает Єо(0 . Определим теперь минимальный угол между осью - и любой прямой, пересекающей поверхность Kfao) более чем в одной точке. Пусть указанная прямая проходит через две произвольные точки г4 и .If2 поверхности А К((0)о криволинейными координата ми 2у, Яі и Т2, л2 соответственно. Обозначим через угол меж ду осью $3 и прямой, Тогда Из треугольника HfU 1% следует Учитывая неравенства (1.39) и (1.40), имеем Пусть значениям дуговой абсциссы Vi к Т2 соответствуют на ду ге 0 точки . Тогда в силу свойства 4 стандартной дуги имеем из (1.35) где R} -точка с координатами Г?,/?у Обозначая через W угол при вершине U треугольника R/Of , найдем г (Pi, Рг) г (Р4, P3)cosg г(ЄД) COS 2Ы0 , откуда следует, что Используя неравенства (1.44)- (1.46), получим на основании 3 дальнейшем всегда будем полагать O O-jfi Таким образом, угол У отличается от прямого менее чем на .5. Воспользовавшись неравенством (1,42), заключаем, что нетупой угол между любой прямой, пересекающий поверхность Л к(Ы0) более чем в одной точке, и нормалью в произвольной точке ЭТОЙ поверхности больше jf Sd0 Сферическая направляющая С может быть разбита на конечное число стандартных дуг Q- Тем самым коническая поверхность К разобьется на конечное число стандартных конических поверхностей Л V ((о) t каждая из которых обладает свойствами, аналогичными свойствам 1-3 РЭПЛ -. Пусть на стандартной конической поверхности Л л% задана простая кусочно-гладкая замкнутая кривая, состоящая из конечного числа гладких дуг и проходящая через коническую точку О . Конечную часть поверхности А КЫоХ ограниченную ЭТОЙ кривой, будем называть коническим элементом поверхности (КЭП). Очевидно, что КЭП обладает свойствами, аналогичными свойствам 1-3 РЭП ДЬ% Частным случаем КЭП является поверхностьuK(d0)\\Ш(0)/(у, где 111(0,1?) - шар радиуса л с центром в точке О Поверх - ность очевидно, состоит из конечного числа КЭП. Будем говорить, что коническая поверхность К принадлежит классу K i(d), если функции в параметрических уравнениях (І.Зб) сферической направляющей С удовлетворяют условиям Часть конической поверхности класса Ki(dt) , являющуюся КЭП, будем называть КЭП класса Пусть лК(ав0), О 0-эл стандартная коническая поверхность класса /( (оС), - ее сферическая направляющая. Выберем две
О свойствах обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами
В п.1.5 было показано (см.теорему 1.2), что решение уравнения (I.l), удовлетворяющее условиям (1.72)-(1.73) в конечной области и , ограниченной поверхностью Ь класса U , представимо в виде суммы обобщенных упругих потенциалов простого и ДВОЙНОГО слоя. Изучим вопрос о свойствах непрерывности каждого из указанных потенциалов в отдельности. Легко видеть, что оба они имеют непрерывные частные производные любого порядка в произвольной точке пространства , не принадлежащей 5. Исследуем свойства этих потенциалов в окрестности границы 3» Теорема 1.4. Пусть 1) 5 - замкнутая поверхность класса О; 2) плотность T(Q) обобщенного упругого потенциала простого слоя (1.10) удовлетворяет условиям С, где Г: , / = /,/77 (/7? х= )- гладкие кривые (или точки) на поверхности Ь , такие, что а постоянные / ,0(, С не зависят от б/ . Тогда потенциал j/(f/J является функцией класса С \й$), если О сХ / , и класса С \Ез) если = » ПРИ любом , О в У Доказательство. Как было установлено в п.1.4, существует Для функции можно получить оценку, аналогичную (І.бі), , - постоянная, мажорирующая функцию /д (Ы// в области В силу принадлежности классу С/ , поверхность й может быть разбита на конечное число ЭПЛv?-( t i7/V), обладающих свойствами 1-3 пЛ.2. Пусть Ro n o) стандартный радиус, соответствующий заданному углу COQ) O -CJQ -Z , общий для всех кривых // . Выберем достаточно малое число и : Если все П вырождаются в точки, то для определенности можно J положить Пусть /%ЄЬи л . Очевидно, Интеграл JJ UCMjQj mQjk/SCQjKbweTcsL непрерывной функцией точки// , имеющей производные всех порядков, если Следовательно, по формуле конечных приращений с учетом (ІЛ45) s\sm0 cfj д где @j постоянная, не зависящая от /% и /iv/. Здесь учтено, что где С з постоянная, не зависящая от П и Ы . Изучим теперь величину Воспользовавшись оценками (1.8), (і.68), (1.1) и учитывая, что вследствие (I.I47) и (I.I49) выполнено неравенство 2и &9 о получим /9,10 / где постоянная / не зависит от Учитывая, что полу чим для третьего интеграла в (І.І53) /9,10 / где В3 не зависит от Оценим интеграл Используя эти неравенства, получим Принимая во внимание формулу (1.4) и учитывая оценки (I.I59) и (I.I62), найдем: где С/ не зависит от С учетом (I.I63), имеем Не нарушая общности, будем полагать, что на поверхности 5 задана одна гладкая кривая / , в Г0 - окрестности которой @ с Ы 4 / .
Полученную в этом случае оценку величины /./// достаточно умножить на /77 , чтобы учесть наличие /77 кривых /J . Относительно расположения точки М0 и кривой / могут представиться два случая: , откуда, с учетом (I.I46), следует Но _ х дуга кривой / . С учетом (ІЛ46) имеем Следовательно, с учетом (I.I64), получим Будем рассматривать два случая взаимного расположения дуги г и поверхности ! О/ . I, Нетупой угол между нормалью к поверхности А Ъ в некоторой ее точке G/ и какой-либо касательной к дуге / больше г % ( 0 Щ ) ВвеДем касательную плоскость // к поверхности ASi В точке в . Обозначим через Р ,Р0 t # А (/%с/,28)?с Р) ортогональные проекции на плоскость /7 соответственно точек Ы , М » дуги/ , поверхности А Ь- {MQC/JZOJ И элемента площади поверхности dS(QJ Очевидно, Можно показать / 9 /, что дуга Q является гладкой, и не-тупоя угол между любыми двумя ее касательными меньше CJ -Q/TCOS (COSC-C0Sy?№.Заметим еще, что в силу (I.I57) имеем Учитывая соотношения (I.I68) и (I.I69), получим в случае В случае I дуга Q расположена вне круга Jc(r yO/, поэтому где D - точка пересечения окружности С {IQ J С радиусом, проходящим через точку Н. Учитывая (I.I68), (I.I69) и (I.I72), имеем при O oC J При выводе (І.Г73) было использовано неравенство / 73 /: При Х = I справедлива вторая оценка в (I.I70). В случае 2 гладко продолжим дугу Q неограниченно в обе стороны ее касательными в концах, и полученную кривую обозначим через о . На кривой О выберем такую точку г , что вектор,направленный из точки л" в точку вектор касательной к кривой Q в точке г . Введем на плоскости II ортогональную декартову систему координат Пі іг с нач лом в точке г и осью flj , направленной вдоль вектора Г(Р ) Очевидно, точка г0 расположена на оси П2 Можно показать, что VPeQ(P0id):r(P,r) r(PJhr(PMd), tt.m) 4 = {(? ,№ U HlJ dJ. Пусть уравнение кривой faj имеет вид /?2 = Ф(/7 )3 10 /- с/, где (L - однозначная функция класса С Введем в рассмотрение область
О двух потенциальных представлениях решения второй основной задачи теории упругости
В п.1.1 были приведены две формы решения второй основной задачи теории упругости в виде обобщенного упругого потенциала простого слоя (1.10) и суммы обобщенных упругих потенциалов простого и ДВОЙНОГО слоя (тождество Сомилиана) (1,19), Указанные потенциальные представления сводят исходную задачу к решению СИУ (I.2I) и (1.20) соответственно. Возникает вопрос, ка-кое из этих двух СИУ более предпочтительно для численного решения. В / 76 / отмечено, что уравнения (1.20) и (1 21) обладают эквивалентными спектральными свойствами и " в математическом плане не видно каких-либо преимуществ одного из уравнений". В плане численной реализации предпочтение отдается СИУ (I.2I), поскольку: I) вычисление правой части СИУ (1 20) связано с вычислением двумерных несобственных интегралов; 2) затруднена оценка точности решения по величине невязки правой части, т.к. последняя включает в себя и погрешность вычисления самой правой части. Мы придерживаемся противоположного мнения, поскольку указанные недостатки СИУ (1.20) имеют второстепенное значение по сравнению с тем фактом, что его правая часть, а следовательно и решение, являются функциями на порядок более гладкими, чем у СИУ (I.2I). Разберем вопрос более подробно. Умножая обе части этого равенства на Q (QJ, интегрируя по поверхности о (по точке 6/ ) и меняя порядок интегрирования в повторных интегралах (что допустимо / 62 /, поскольку ядро(/ содержит слабую особенность), приходим к равенству (2.4б), что и требовалось. В предположениях (2.43) перемещения (2.44) удовлетворяют условию U , тогда как плотность О С Ы(5) /62/, т.е. является функцией на порядок менее гладкой. Поэтому для численного решения предпочтительнее использовать СИУ (1.20), чем (I.2I), поскольку, например, в местах резкого изменения кривизны границы или в зонах больших градиентов нагрузки плотности О (Q) могут испытывать резкий рост или нарушение гладкости,тогда как перемещения U(U/ имеют достаточно гладкий характер. Более отчетливо преимущество СИУ (1.20) проявляется в слу чае, когда обращается в бесконечность вдоль конечного числа кривых П 5 и имеет оценку вида (I.8I).
Как было установлено в п.1.6 (см.теорему 1.4), в рас сматриваемом случае правая часть СИУ (1.20) является непрерыв ной функцией класса C0f (s) при О оС У и при Ы I, 0 S f , следовательно, решение СИУ также обладает этими свойствами. Решение же СИУ (І»2І) в общем случае обращается в бесконечность вдоль кривых /у. Наконец, если поверхность , то есть имеет конечное число угловых линий и конических точек, а p(Q) имеет оценку вида (1 81), то СИУ (1.20) заменяется СИУ где матрица С (г/у определена в (1.86). Как было установлено в п.1.6 (см.теорему 1.4), в рассматриваемом случае правая часть СИУ (2.55) является функцией клас-оа C0M(S) при 0« «, и C %S) при Ы , 0 6 i . Кроме того, из теоремы 1.3 следует, что СИ в СИУ (2.55) существуют в смысле главного значения, а из теоремы 1.6 - что эти СИ принадлежат тому же классу, что и правая часть, если решение разыскивается в этом же классе. Решение же СИУ (І.2І) обращается в бесконечность не только вдоль кривых // , но и в угловых и конических точках поверхности Ь $ поскольку СИ в СИУ (І.2І) имеют в этих точках особенность логарифмического типа /125,154/. Эта ситуация сохраняется даже в случае, когда нагрузка р(CJJ непрерывна на О . В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим численное решение второй ОСНОВНОЙ задачи теории упругости о сжатии куба равномерно распределенной нормальной нагрузкой интенсивности/}, приложенной по двум противоположным граням параллельно осиЛі. Наличие точного решения (э =-рО; 6,-ъ позволяет оценить погрешность численного решения в любой точке. Кроме того, известно точное решение СИУ (2.45), являющееся линейной функцией. Наличие ребер у поверхности куба вызывает в их окрестностях беско -нечный рост плотностей 0(М)ъ представлении (2#44). Решим численно СИУ (2.21) и (2.45), используя подход /13, 116 /. Поверхность S куба разобьем на /v равных квадратных элементов S в пределах каждого из которых искомые плотности полагаются постоянными. Указанные СИУ при этом приближенно заменяются следующими системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): Hi( %W KQkm СЮ; (3.56) ГДЄ Мк - УЗЛЫ (Центры ЭЛемеНТОВ Ь# ). rJKKX/Ч K /f Коэффициенты матриц СЛАУ (2.56), (2.57), выражающиеся через СИ, обращаются в ноль в силу симметричности формы элементов Ър . Отметим, что в данном алгоритме узлыМ являются регулярными точками поверхности О Правая часть СЛАУ (2«57) вычисляется в замкнутом виде. Коэффициенты матриц СЛАУ (2.56), (2.57), выражающиеся через регулярные интегралы, вычисляются с помощью ку-батурных формул прямоугольников (2.4) с автоматическим выбором количества узлов. Максимальное число узлов на элементе равно шестнадцати. Выбор надлежащего числа узлов осуществляется с использованием результатов численного эксперимента (см.рис.2.1). Для решения СЛАУ используется итерационный метод Зеиделя. Условие окончания итерационного процесса задано в виде
Исследование напряженного состояния образцов для испытания на термостойкость
При испытаниях на термостойкость керамических огнеупорных материалов часто используют образцы цилиндрической формы. Экспериментально подтверждено, что прочность хрупких материалов определяется не только максимальными напряжениями в момент разрушения, но также формой образца и распределением напряжении в его объеме. В еще большей степени это относится к термостойкости материалов при специфических видах нагружения, каковым является тепловой удар. В данном случае необходимо учитывать эволюцию полей температуры и напряжений во времени. Наиболее подходящими критериями термостойкости являются такие, которые учитывают статистический характер разрушения материала. Однако для их использования необходимо располагать ПОЛНОЙ информацией о напряженном состоянии образца при тепловом ударе, что сопряжено с известными трудностями даже для образцов канонической формы (цилиндр, параллелепипед). Это приводит к применению априорно задаваемых распределений температур и напряжений по объему образца, зачастую неадекватных реально действующим полям. 3 связи с этим проведено изучение распределения температуры и напряжений в образце на основе теории термоупругости / 51 /. Рассматриваемая задача определения термоупругих напряжений в круговом цилиндре длины 2x1 и радиуса И , нагретом до температуры Л , при внезапном погружении его в среду с температурой IQ . Будем считать, что физико-механические характеристики материала цилиндра не зависят от температуры, и на поверхности цилиндра происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона с коэффициентом теплоотдачи Ыу , Температурное поле в цилиндре в произвольный момент времени можно получить, комбинируя решения задач теплопроводности для бесконечной пластинки и бесконечного цилиндра / 26 /. В результате для конечного цилиндра получаем выражение J - функция Бесселя 1-го рода /7 -го порядка; лг,0 -коэффициенты теплопроводности и температуропроводности"; Т - время; Z, А - осевая и радиальная координаты; Ві Віз FOf. г07 - критерии Био и Фурье для бесконечной пластинки ТОЛЩИНОЙ2J/и бесконечного кругового цилиндра радиуса R .
При определении термоупругих напряжений ограничимся ква-зистатическои постановкой задачи В этом случае уравнения Ляме для осесимметричной задачи имеют вид / 74 / c(f - коэфициент линейного расширения. Граничные условия к системе (3.8) являются однородными (отсутствуют усилия на поверхности образца). Частное решение системы (3.8) по аналогии с формулами (3.7) будем разыскивать в виде После подстановки выражений (3.9) в систему (3.8) и выполнения некоторых преобразований получим выражения для компонент напряженного состояния, соответствующего частному решению, Для решения однородной системы уравнений Ляме с граничными условиями, соответствующими полю напряжений (ЗЛО), используем метод ГИУ. Окончательное напряженное состояние определим как разность напряженных состояний (3 10) и определенного по методу ГИУ. Используем модификацию алгоритма численной реализации ме тода ГИУ (см. п.2.5.4), предназначенную для решения осесиммет ричных задач. Основные узлы (их число равно 15) расположим на контуре меридионального сечения (О « 0. На рис.3.7 представле на схема дискретизации 1/24 части цилиндра. В результате полу чим СЛАУ относительно перемещении Ur и Ug в основных узлах, порядок которой равен 30. На рис.3.8 приведены графики напряже ний на контуре меридионального сечения Ф » 0, являющихся гра ничными условиями для второй ОСНОВНОЙ краевой задачи, решаемой методом ГИУ. При решении СЛАУ точность = 10 J достигалась за 10-12 итераций, причем в качестве начального приближения для рассматриваемого момента времени выбиралось решение СЛАУ в момент времени, для которого проводился предшествующий расчет. В качестве объекта расчета был выбран образец из керамики на основе с характеристиками Расчеты проводились для f» I с, 10 с, 15 с, 30 с, 50 с, 70 с, 100 с. На рис.3.9 приведены зависимости температуры от времени в характерных точках образца. На рис.3.10 представлена зависимость от времени напряжений (рю вдоль оси образца, а на рис.3.II, 3.12 - напряжений G gz и G (ptp вдоль радиуса в
