Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Упругое равновесие бесконечной анизотропной пластины с тонким упругим включением 15
1.1. Основные сведения из математической теории упругости анизотропного тела 15
1.1.1. Некоторые основные соотношения 15
1.1.2. Граничные условия 19
1.1.3. Вид комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого для некоторых частных случаев 21
1.2. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с тонким прямолинейным упругим включением 24
1.2.1. Постановка задачи 24
1.2.2. Условия скачка напряжений и производных от перемещений на берегах тонкого включения 25
1.2.3. Получение системы сингулярных интегральных уравнений задачи . 26
1.2.4. Алгоритм численного решения 30
1.2.5. Асимптотическое распределение напряжений в окрестности вершин включений 32
1.2.6. Вычисление контактных напряжений на берегах упругого включения 34
1.2.7. Примеры расчетов 35
ГЛАВА 2. Упругое равновесие бесконечной анизотропной пластины с системой тонких упругих включений 41
2.1. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений 41
2.1.1. Получение системы уравнений задачи 41
2.1.2. Численная реализация и примеры расчета 46
2.2. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой тонких прямолинейных упругих включений 49
2.2.1. Постановка задачи и вывод системы СИУ 49
2.2.2. НДС анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими абсолютно жесткими включениями 58
2.2.3. НДС анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими упругими включениями 63
2.3. НДС анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и тонкими криволинейными упругими включениями 69
ГЛАВА 3. Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с подкрепленным эллиптическим отверстием и системой криволинейных разрезов 78
3.1. Концентрация напряжений около подкрепленного отверстия в анизотропной пластине 78
3.1.1. Формулировка задачи 78
3.1.2. Численное решение интегрального уравнения задачи 83
3.1.3. Некоторые результаты расчетов 84
3.2. Расчет НДС бесконечной анизотропной пластины с подкрепленным отверстием и системой разрезов 86
3.3. Экспериментальная оценка коэффициента интенсивности напряжений для трещины возле подкрепленного отверстия в пластине 98
Заключение 102
Список литературы
- Вид комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого для некоторых частных случаев
- Получение системы сингулярных интегральных уравнений задачи
- Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой тонких прямолинейных упругих включений
- Расчет НДС бесконечной анизотропной пластины с подкрепленным отверстием и системой разрезов
Введение к работе
Развитие современного общества ставит все возрастающие требования прочности, надежности и работоспособности к конструктивным материалам и сооружениям в целом, используемых в практической деятельности. Существенную роль в обеспечение этих требований играет разработка все более точных методов расчета конструкций на прочность и долговечность. Реальные конструкционные материалы неоднородны по своей структуре и включают в себя множество дефектов типа трещин, пустот, инородных включений и т. д. Возле таких дефектов, вследствие повышенной концентрации напряжений, возникают очаговые трещины, приводящие к разрушению материала при развитии этих трещин в процессе эксплуатации. Одними из наиболее опасных в смысле зарождения и развития трещин в упругих телах являются тонкие остроугольные упругие включения (в предельном случае - абсолютно жесткие включения).
Задачи по расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) тел с упругими включениями приобретают особую актуальность в связи с бурным развитием технологии создания новых композиционных материалов, обладающих рядом преимуществ перед традиционными сплавами. При построении методов расчета конструктивных элементов из композитов возникает необходимость в изучении взаимодействия матрицы заполнителя и армирующих волокон, возможности разрыва или отслоения упругого волокна, взаиморасположения волокон и т. д. Задачи для тел с включениями возникают также при проектировании тонкостенных конструкций, в практике сварных и клеевых соединений, при подкреплении вырезов различной формы тонкими упругими кольцами. Поэтому разработка эффективных методов определения НДС конструкций с концентраторами напряжений такого рода является важной проблемой как с теоретической, так и с практической точки зрения.
Одной из важнейших составляющих механики хрупкого разрушения упругих тел является математическая теория трещин. Эта теория хорошо разработана и ее основы и этапы развития достаточно полно изложены в следующих мо-
нографиях и обзорах: [4, 8, 14, 34, 58-60, 63, 64, 72, 75, 93, 94]. Физическим аспектам возникновения и распространения трещин посвящены работы: [9, 64, 69, 74, 92-94].
При решении задач теории упругости анизотропного тела с упругими включениями и трещинами может быть применен метод сведения краевых задач к системам сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Большую роль в становлении и развитии этого метода для случая изотропного тела сыграли работы [22, 60, 61, 63, 72]. Задачи для анизотропного тела более сложны, и здесь полученные результаты не так многочисленны, как в случае изотропного тела. Отметим работы в области теории упругости анизотропного тела: [7, 28, 51, 70, 86-88, 101, 102].
Метод СИУ может быть эффективно применен при решении задач упругости, если известно фундаментальное решение (функция Грина) для соответствующей области. Авторы работ [24, 87, 89, 90] построили фундаментальные решения для задач изгиба и растяжения полуплоскости. Д.В. Грилицкий [12] получил функцию Грина при решении задачи о действии сосредоточенной силы в бесконечной анизотропной пластине с эллиптическим отверстием.
В работах В.Н. Максименко и его учеников [35-41, 49-50, 52-56] эффективно применен метод СИУ к широкому спектру задач теории упругости анизотропного тела. Получены и численно решены системы СИУ для задач подкрепления анизотропных пластин с вырезами тонкими упругими ребрами жесткости (стрингерами) (присоединенных непрерывно или с помощью клея и(или) заклепок), а также широкими накладками.
При решении задачи теории упругости для тела с упругими включениями необходимо найти решения для областей, занятых включением и основным ма-териалом(матрицей), и после этого сопрягать полученные решения по поверхности (линии) контакта этих областей. При аналитическом подходе к решению этой задачи для сложных форм упругого включения возникают непреодолимые математические трудности. Однако, если учесть тонкостенность упругого
включения, то задача существенно упрощается и появляется возможность ее разрешения.
При моделировании упругого включения предполагается, что при переходе через поверхность (линию) контакта терпят скачок вектора напряжений и перемещений вследствие механических свойств включения. Условие скачка вектора напряжений и перемещений выбирается в зависимости от степени упрощения в выбранной модели упругого включения и зависит от конкретной решаемой задачи.
В 1965 г. Р. Грейфом и Д. Сандерсом [108] исследовано (с использованием метода теории функций комплексного переменного ) влияние тонкого упругого непрерывно присоединенного ребра жесткости на коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины в изотропной пластине. В работе [98] решена задача об упругом равновесии плоскости с бесконечным прямолинейным тонким включением в предположении одноосности напряженного состояния включения.
В монографии [3], используя асимптотический метод, решены задачи контактного взаимодействия как прямолинейных, так и кольцеобразных упругих тонких включений (покрытий), лишенных изгибной жесткости. Здесь упругое включение моделировалось линией, при переходе через которую терпят скачок касательные напряжения, а нормальные напряжения и перемещения изменяются непрерывно.
А.Я. Александров и Б.М. Зиновьев [2], используя метод интегральных уравнений, предложили иной подход при моделировании упругого включения: разрыв вектора перемещений и непрерывность вектора напряжений на линии включения. Предполагалось также, что напряженное состояние в тонком упругом включении одноосно. При аналогичных допущениях решены задачи теории упругости для плоскости с заполненной трещиной [31], для упругого включения различной формы [77, 95-97].
А.И. Каландия [22] была построена система сингулярных интегральных уравнений задачи для пластины с трещиной и упругим ребром. Здесь, как и в
работах [65, 67, 73, 76] при решении задач теории упругости для тел с однородными или кусочно-однородными прослойками использовалось условие одноос-ности напряженного состояния включения. Также, используя модель включения как одномерный континуум, в работах [80, 85] исследованы задачи упругости для включений вдоль линии раздела материала.
Метод интегральных уравнений был применен в работах [104-106] при решении задачи определения НДС вблизи тонкого упругого включения на линии раздела (или параллельно ей) в составной плоскости. Упругое включение (в пределе - абсолютно жесткое) не обладало изгибной жесткостью. Получены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах включения от длины включения и удаленности последнего от границы раздела материалов пластины. Этим же методом в работе [116] решалась задача взаимодействия между двумя параллельными упругими прямоугольными включениями (волокнами) в бесконечной упругой пластине при различных условиях нагру-жения нормальными и касательными напряжениями на бесконечности. Приведены в табличном виде результаты численного расчета коэффициентов интенсивности напряжений на концах прямоугольных включений в пластине при продольном растяжении, поперечном растяжении и сдвиге.
В работе [66] из решения пространственной задачи теории упругости получены условия скачка перемещений и напряжений на контуре упругого включения переменной толщины. Дальнейшим развитием подхода из [66] стали публикации [79, 91].
Используя разложение искомых функций в асимптотический ряд по малому параметру автор работ [25-27] сводит задачу об упругих включениях к системе псевдодифференциальных уравнений.
В серии работ [81-84] получены системы сингулярных интегральных уравнений для плоскости и полуплоскости из изотропного материала с упругими включениями малой ширины, а также асимптотическое распределение напряжений и перемещений вблизи вершин включений.
В работах [13,15] упругое включение в изотропной пластине моделируется пластиной, один из размеров которой (ширина) намного меньше другого. Учитывая малость ширины пластины, комплексные потенциалы (описывающие напряженно-деформированное состояние пластины-включения), раскладываются в ряд Тейлора по оси включения с удержанием членов первого порядка малости. На линиях контакта удовлетворяются условия полного механического сцепления и выводятся условия скачка перемещений и напряжений.
Задачи определения напряженно-деформированного состояния пластин с упругими криволинейными включениями канонической формы рассмотрены в работе [94]. В работе [111] для решения задач упругости в разнородных телах, содержащих многие взаимодействующие включения, пустоты и трещины введен метод объемных интегральных уравнений. Работы [23, 33, 109, 115, 118-120] посвящены исследованию НДС упругих тел с включениями, вырезами и трещинами.
Проблеме исследования взаимодействия остроконечных жестких включений и трещин в упругих изотропных пластинах посвящена монография [8]. В работе проводится анализ особенностей сингулярных решений и вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах взаимодействующих жестких включений и трещин. В работах [49-50] с использованием метода сингулярных интегральных уравнений решены задачи взаимодействия криволинейных жестких включений и трещин в анизотропных пластинах. В публикации [103] изложена формулировка метода интегральных уравнений для решения задачи о взаимодействии трещины с жестким прямолинейным включением в изотропной матрице.
Т.о., из приведенного обзора литературы следует, что исследования для анизотропного тела с тонкими упругими включениями практически отсутствуют. Поэтому представляется актуальной задача по разработке механико-математических моделей и созданию расчетных методик (с применением аппарата СИУ) по оценке НДС анизотропных пластин с тонкими упругими включе-ниями.
В машиностроении и в ряде других важных областей возникает необходимость уточненного расчета на прочность тонкостенных конструкций с вырезами и отверстиями различной формы, подкрепленными по контуру упругими кольцами и накладками. Такие задачи представляют большой интерес для практики.
Задачей подкрепления занимались многие авторы. Достаточно полный обзор методов расчета пластин с непрерывно присоединенными ребрами жесткости можно найти в работах: [3, 11, 71, 73, 100, 113, 114]. При этом подкрепляющий элемент моделировался различными способами. Это, либо, упругий прямолинейный (или криволинейный) стержень, работающий только на растяжение-сжатие, либо, стержень, обладающий жесткостями на изгиб и растяжение-сжатие. В работе [71] подкрепляющее кольцо описывалось уравнениями двумерной теории упругости. При помощи модели подкрепления, основанной на использовании теории малой деформации тонкого криволинейного стержня были проведены исследования в работах [57, 71, 99, 100, 113]. Оптимальному проектированию как широких, так и узких колец были посвящены работы [29, 30,68,113].
Во многих работах задачи сведены с помощью комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.
В работе [99] исследована задача подкрепления кругового отверстия в изотропной пластине как замкнутым, так и двумя разомкнутыми, симметрично расположенными ребрами малой постоянной толщины. Ребро трактуется как тонкая упругая нить, работающая только на растяжение-сжатие. Задача сводится к интегро-дифференциальному уравнению с помощью многочленов Чебы-шева приводится к бесконечной системе алгебраических уравнений.
В работе [3] рассматривается такая же задача, как и в [99], но здесь учитываются нормальные контактные напряжения на линии спая. Приведен численный пример для случая, когда жесткость подкрепления на изгиб пренебрежимо мала.
Обзор литературы показывает, что разработанные методики расчета подкрепленных отверстий основываются на методе конформного отображения [110], МКЭ и некоторых других. Метод интегральных уравнений, как метод расчета задач с подкрепленными отверстиями, хотя и указан в работах М.П.Шереметьева [100] и других авторов, но практически не применялся. Лишь в работах [3, 62, 99] этот метод был положен в основу расчета задачи подкрепления кругового отверстия в изотропной пластине, а в работе [117] метод интегральных уравнений применен для задач плоской деформации упругих тел с граничными подкреплениями. Поэтому представляется важным разработать с помощью аппарата СИУ методики расчета анизотропных пластин с вырезом, подкрепленным по контуру тонким упругим кольцом. Метод интегральных уравнений выбран ввиду его экономичности и повышенной точности по сравнению с другими методами в задачах о концентрации напряжений.
Цель работы - разработка на базе метода сингулярных интегральных уравнений методики расчетной оценки напряженно-деформированного состояния и параметров разрушения: анизотропных пластин с эллиптическим отверстием, содержащих тонкие упругие включения и трещины; анизотропных пластин с подкрепленным эллиптическим отверстием и трещинами. Исследование влияния различных факторов (геометрических, жесткостных) на несущую способность рассматриваемых конструкций.
Методика исследований. Задачи определения напряженно-деформированного состояния и параметров разрушения анизотропных пластин решаются на основе соотношений плоской задачи теории упругости для прямолинейно - анизотропных тел методом функций комплексного переменного с использованием теории интегралов типа Коши, метода сингулярных интегральных уравнений и численных способов их решения.
Достоверность полученных результатов подтверждается путем сопоставления с известными решениями, приведенными в литературе, а также с резуль-
татами специально проведенного эксперимента, выполненного методом фотоупругости.
Научная новизна и теоретическая значимость:
Предлагается уточненная модель тонкого упругого включения, построенная из условий скачка напряжений и производных от перемещений при переходе через линию контакта и позволяющая учитывать изгибную жесткость включения. Предложенная модель упругого включения позволяет решать задачи упругости для анизотропных пластин, содержащих абсолютно жесткие включения и трещины.
Построены системы интегральных уравнений, разработаны алгоритмы численного решения и созданы компьютерные программы: 1) для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием, содержащей тонкие криволинейные упругие включения и трещины; 2) для задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с подкрепленным эллиптическим отверстием и трещинами.
Практическая значимость. Предложенные методики дают возможность проводить анализ НДС и параметров разрушения конструктивных элементов с отверстиями, тонкими упругими включениями и трещинами, выполненных из изотропных и анизотропных материалов.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на III Всесоюзной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов», (Казань, 1988), на Научно-технической конференции «Эксплуатационная и конструктивная прочность судовых конструкций», (Нижний Новгород, 1991), на Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций», (Новосибирск, 2006), на Первом Международном Симпозиуме по Стратегическим Технологиям "IFOST 2006" (Ulsan, Republic of Korea, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 15 научных публикациях [16-21, 41-48,112].
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 115 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 120 наименований.
Первая глава содержит некоторые основные соотношения математической теории упругости анизотропного тела; дается представление комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого для решения плоской задачи теории упругости в случае многосвязной области. Формулируется задача определения напряженно-деформированного состояния бесконечной анизотропной пластины с тонким прямолинейным упругим включением. Предлагается уточненная модель соединения: включение рассматривается как упругая пластина, один из линейных размеров (ширина) которой существенно меньше другого. Задача приводится к системе сингулярных интегральных уравнений. Предлагается алгоритм численного решения полученной системы уравнений. Приводится асимптотика распределения напряжений вблизи вершин упругого включения. Вычисляются контактные напряжения на берегах включения и коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах включения. В качестве тестовых примеров приводятся некоторые результаты расчетов.
Во второй главе исследуется упругое равновесие бесконечной анизотропной пластины с системой тонких упругих включений. Предполагается, что на линиях контакта осуществляется идеальный механический контакт, а включения - упругие пластинки малой ширины.
В первом параграфе рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии бесконечной анизотропной пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений. Задача приводится к системе сингулярных интегральных уравнений, которая решается численно. Проводится исследование взаимовлияния двух и более упругих включений в плоскости.
Во втором параграфе решается задача определения напряженно-деформированного состояния бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой тонких прямолинейных упругих включений.
Решение задачи строится в виде комплексных потенциалов, автоматически удовлетворяющих краевым условиям на контуре эллиптического отверстия и на бесконечности. Исследуется влияние анизотропии материала пластины, степени эллиптичности отверстия, жесткостных и геометрических параметров включений на концентрацию напряжений в пластине. Показано влияние изгибной жесткости упругих включений на распределение и величину напряжений на контуре пластины и на величину коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах разреза. Проводится сравнение полученных численных результатов с известными решениями, приведенными в литературе.
В третьем параграфе выводится система сингулярных интегральных уравнений, для задачи определения напряженно-деформированного состояния бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой тонких криволинейных упругих включений. Предполагается, что упругие включения располагаются вдоль гладких по Ляпунову кривых. Приводятся некоторые численные результаты расчетов.
В третьей главе решается задача определения НДС анизотропной плоскости, ослабленной трещинами и эллиптическим отверстием, подкрепленным замкнутым тонким кольцом переменной жесткости. Подкрепляющий элемент рассматривается как криволинейный стержень, упругое равновесие которого описывается теорией малых деформаций криволинейных стержней, а пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии. Задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений и дается алгоритм ее численного решения. Исследуется влияние анизотропии материала пластины, жесткостных и геометрических характеристик подкрепляющего кольца на концентрацию напряжений в пластине и величину коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с результатами специально проведенного эксперимента по методу фотоупругости.
Вид комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого для некоторых частных случаев
Развитие современного общества ставит все возрастающие требования прочности, надежности и работоспособности к конструктивным материалам и сооружениям в целом, используемых в практической деятельности. Существенную роль в обеспечение этих требований играет разработка все более точных методов расчета конструкций на прочность и долговечность. Реальные конструкционные материалы неоднородны по своей структуре и включают в себя множество дефектов типа трещин, пустот, инородных включений и т. д. Возле таких дефектов, вследствие повышенной концентрации напряжений, возникают очаговые трещины, приводящие к разрушению материала при развитии этих трещин в процессе эксплуатации. Одними из наиболее опасных в смысле зарождения и развития трещин в упругих телах являются тонкие остроугольные упругие включения (в предельном случае - абсолютно жесткие включения).
Задачи по расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) тел с упругими включениями приобретают особую актуальность в связи с бурным развитием технологии создания новых композиционных материалов, обладающих рядом преимуществ перед традиционными сплавами. При построении методов расчета конструктивных элементов из композитов возникает необходимость в изучении взаимодействия матрицы заполнителя и армирующих волокон, возможности разрыва или отслоения упругого волокна, взаиморасположения волокон и т. д. Задачи для тел с включениями возникают также при проектировании тонкостенных конструкций, в практике сварных и клеевых соединений, при подкреплении вырезов различной формы тонкими упругими кольцами. Поэтому разработка эффективных методов определения НДС конструкций с концентраторами напряжений такого рода является важной проблемой как с теоретической, так и с практической точки зрения.
Одной из важнейших составляющих механики хрупкого разрушения упругих тел является математическая теория трещин. Эта теория хорошо разработана и ее основы и этапы развития достаточно полно изложены в следующих мо 6 нографиях и обзорах: [4, 8, 14, 34, 58-60, 63, 64, 72, 75, 93, 94]. Физическим аспектам возникновения и распространения трещин посвящены работы: [9, 64, 69, 74, 92-94].
При решении задач теории упругости анизотропного тела с упругими включениями и трещинами может быть применен метод сведения краевых задач к системам сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Большую роль в становлении и развитии этого метода для случая изотропного тела сыграли работы [22, 60, 61, 63, 72]. Задачи для анизотропного тела более сложны, и здесь полученные результаты не так многочисленны, как в случае изотропного тела. Отметим работы в области теории упругости анизотропного тела: [7, 28, 51, 70, 86-88, 101, 102].
Метод СИУ может быть эффективно применен при решении задач упругости, если известно фундаментальное решение (функция Грина) для соответствующей области. Авторы работ [24, 87, 89, 90] построили фундаментальные решения для задач изгиба и растяжения полуплоскости. Д.В. Грилицкий [12] получил функцию Грина при решении задачи о действии сосредоточенной силы в бесконечной анизотропной пластине с эллиптическим отверстием.
В работах В.Н. Максименко и его учеников [35-41, 49-50, 52-56] эффективно применен метод СИУ к широкому спектру задач теории упругости анизотропного тела. Получены и численно решены системы СИУ для задач подкрепления анизотропных пластин с вырезами тонкими упругими ребрами жесткости (стрингерами) (присоединенных непрерывно или с помощью клея и(или) заклепок), а также широкими накладками.
При решении задачи теории упругости для тела с упругими включениями необходимо найти решения для областей, занятых включением и основным ма-териалом(матрицей), и после этого сопрягать полученные решения по поверхности (линии) контакта этих областей. При аналитическом подходе к решению этой задачи для сложных форм упругого включения возникают непреодолимые математические трудности. Однако, если учесть тонкостенность упругого включения, то задача существенно упрощается и появляется возможность ее разрешения.
При моделировании упругого включения предполагается, что при переходе через поверхность (линию) контакта терпят скачок вектора напряжений и перемещений вследствие механических свойств включения. Условие скачка вектора напряжений и перемещений выбирается в зависимости от степени упрощения в выбранной модели упругого включения и зависит от конкретной решаемой задачи.
В 1965 г. Р. Грейфом и Д. Сандерсом [108] исследовано (с использованием метода теории функций комплексного переменного ) влияние тонкого упругого непрерывно присоединенного ребра жесткости на коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины в изотропной пластине. В работе [98] решена задача об упругом равновесии плоскости с бесконечным прямолинейным тонким включением в предположении одноосности напряженного состояния включения.
В монографии [3], используя асимптотический метод, решены задачи контактного взаимодействия как прямолинейных, так и кольцеобразных упругих тонких включений (покрытий), лишенных изгибной жесткости. Здесь упругое включение моделировалось линией, при переходе через которую терпят скачок касательные напряжения, а нормальные напряжения и перемещения изменяются непрерывно.
Получение системы сингулярных интегральных уравнений задачи
Будем рассматривать включение как ортотропную пластину с главными осями анизотропии вдоль осей Ох,Оу соответственно. Напряженно-деформированное состояние упругого включения можно описать двумя аналитическими функциями Фу0(гу) {zy = х +Му0У ) [32]: ( 0,. ,. ))=2Re{l( oA- o) I vo(z,)}. (1-33) Gfo-ifo)-2 10 , )0,,,( ))+ (С %), (1.34) где = 0- 40+ - о Чо- ЧХ ; («Г" Уффици-енты деформаций материала включения). Т.к. включение тонкое по ширине {с « I ), его можно смоделировать линией, обладающей упругими свойствами. Воспользуемся разложением комплексных потенциалов Ф (z ) в ряд Тейлора по степеням с в окрестности точки t действительной оси Ох и пренебрегая величинами высших порядков малости по сравнению с параметром с, получим: Ц0,± гГ)=2Re{h -fJn j\ с-35) K)4J= 2Re{i O o)QvO )} (L36)
1.2.3 Получение системы сингулярных интегральных уравнений задачи. Комплексные потенциалы Ф (z ), описывающие напряженно-деформированное состояние основной бесконечной анизотропной пластины будем разыскивать в виде [49] 1 .со (т)+и (г) Ф (z )= — v v dx +Ф , (1.37) yK v 2m т -z v v L V V где со (T),/J (T)- неизвестные комплексные функции на L , а комплексные по стоянные Ф определяются через известные усилия, приложенные к пластине на бесконечности: 2Re
Для функций со (t),// (t), teL имеют место следующие соотношения [49]: Система СИУ (1.46) совместно с дополнительными условиями (1.47) дает решение поставленной задачи определения напряженно-деформированного со зо стояния анизотропной пластины, имеющей тонкое упругое прямолинейное включение. Рассмотрим предельные случаи задачи.
1. Анизотропная пластина с прямолинейным разрезом. Домножим второе уравнение системы (1.46) на Е{ и перейдем к пределу при - 0. После небольших преобразований получим: Reju r) = Im//.(r) = 0. Учитывая полученное равенство первое уравнение системы (1.46) преобразуется к виду ж (z)ds Р-т-=/; ). (L48)
Уравнение (1.48) есть интегральное уравнение задачи для анизотропной пластины с прямолинейным разрезом вдоль контура L.
2. Анизотропная пластина с абсолютно жестким включением. Разделим первое уравнение системы (1.46) на Е и перейдем к пределу при Е -»оо. Получим: Reft)j(r) = Imcofo) = 0. С учетом полученного выражения второе уравнение системы (1.46) будет иметь вид X+pLL- = f{t). (1.49) LTl h
Уравнение (1.49) есть интегральное уравнение задачи для анизотропной пластины с абсолютно жестким включением вдоль контура L. 1.2.4 Алгоритм численного решения. Искомые функции 6)М), juAt) будем разыскивать в виде [10, 61] Q(t) Q(t) (/) = (/) = -7 =, //,(0 = (0 = - =, (1.50) где Qj (0,П2(0 - функции непрерывные по Гельдеру на отрезке [-/ ,/ ]. Вводя параметризацию контура L = {t = t(fi) = //?) -1 /3 1} и учитывая соотношения (1.50) система СИУ (1.16)-(1.17) сводится к канонической системе СИУ: S = \ -1 +І )[Kl$_2s(ii0,p)as(p)+Kl6_2s(i}№p) J)w-f;(P (1.51) S=\ -і Дополнительные условия (1.47) примут вид ps(P)dp = 0,(5=1,2), -1 = 0. (1.52) Re\)p(l-A00)Q2(PW Полученную систему СИУ (1.51) с дополнительными условиями (1.52) будем решать численно, используя метод механических квадратур. К сингулярным интегралам, входящим в систему (1.51)-(1.52) применим квадратурные формулы Гаусса-Чебышева [107]:
Напряженно-деформированное состояние бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой тонких прямолинейных упругих включений
Рассмотрим бесконечную прямолинейно-анизотропную пластину толщины h с эллиптическим отверстием L0 = {(x/a) +(y/b) =1} и системой М прямолинейных тонких упругих включений. В пластине введем общую прямоуголь ную систему координат хОу. Дляу -го включения (j = l,M) введем локальную систему координат х, ..О, ..у,.,, где О,.. - геометрический центр включения, О, ..х,.., направлена вдольу -го включения, угол между осью О, ..х,.. и осью Ох обозначим через Я. (рис. 2.4). у-е включение имеет длину 21., ширину 2с. и толщину h. Отрезок оси 0( ..х,.. [-/.,/.] обозначим через L., а величинам, характеризующим у -е включение будем приписывать индекс У". Индексами "+" и "-" будем обозначать граничные значения функций соответственно при у,.. — + 0 и у,., — - 0. Пластина загружена внешними усилиями сг00 , г00 на бесконечности. Считаем, что пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а на берегах включений осуществляется идеальный механический контакт с материалом пластины.
Будем рассматривать включение как анизотропную пластину с главными осями анизотропии направленными вдоль осей 0( ..х(.., О, ..у,.. соответственно. Напряженно-деформированное состояние j-то включения можно описать двумя аналитическими функциями Ф .(z .) (z . = x(..+ju .у..., /л . - корни соответствующего характеристического уравнения с положительными мнимыми частями [32, 70]): где Pvj = а мі - я[ \. + of , . = $/і - flgV"1 - 4? і ( д}- коэффициенты деформаций материала у -го включения).
Предполагая, что включения тонкие по ширине, воспользуемся разложением комплексных потенциалов Ф .(z .) в ряд Тейлора по степеням с. в окрестности точки t действительной оси О,..х,.. и, пренебрегая величинами высших по рядков малости по сравнению ее, получим:
Комплексные потенциалы Ф (z ), описывающие напряженно-деформированное состояние анизотропной пластины по аналогии с [38, 56] будем разыскивать в виде:
Здесь функции Ф (z ) определяют известное основное напряженное состояние, вызванное внешней нагрузкой на контуре отверстия и на бесконечности в пластине без упругих включений, а функции Ф ,(z ), Ф 2(zv) описывают воз мущенное напряженное состояние, возникающее из-за наличия упругих включений.
Исходя из решения задачи о действии сосредоточенной силы во внутренней точке г бесконечной анизотропной пластины со свободным от внешних усилий эллиптическим отверстием L и ненагруженной на бесконечности [12, 70]:
Построенные таким образом функции Ф (z ) автоматически удовлетворяют условиям X = Y = 0 на отверстии LQ и затухают на бесконечности. Следовательно, выбор функций Ф (z ) в виде (2.27),(2.29) обеспечивает выполнение краевых условий на контуре отверстия LQ и на бесконечности.
Система СИУ (2.36) совместно с дополнительными условиями (2.37) дает решение поставленной задачи определения напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины с эллиптическим отверстием и системой М тонких упругих прямолинейных включений.
Неизвестные комплексные функции Qlk(r),(k = 1,2) будем разыскивать в виде: П1к(т) = П1кт-ї2ут, (2.38) TeL = {T = TJ(t)\-l t l;(j = l,M)}, где 2 !.() - ограниченные, непрерывные по Гельдеру на отрезке [-1,1] функ ции. При помощи квадратурных формул Гаусса-Чебышева [107] система СИУ (2.36) с дополнительными условиями (2.37) сводится к системе линейных ал гебраических уравнений (СЛАУ) относительно приближенных значений иско мых функций Q1A( ) в чебышевских узлах p =cos- , j (i = \,N. ;j = l,M). Теоретические оценки сходимости данного численного метода даны в [6].
Расчет НДС бесконечной анизотропной пластины с подкрепленным отверстием и системой разрезов
Результаты расчетов показали хорошую сходимость алгоритма. В таблице 3.1 приводятся значения напряжений ст9(ж 12)1р,стг{я 12)1р на контуре отверстия для случая изотропного материала пластины. Значения относительной жесткости кольца U принимались равными 0,1; 1,0; 10,0, а число узловых точек 2N- 18; 38; 58.
Как показали расчеты, степень анизотропии материала пластины, угол анизотропии и жесткость подкрепляющего кольца значительно влияют на концентрацию напряжений в пластине.
Пусть бесконечная прямолинейно-анизотропная пластина толщины h ос-лаблена эллиптическим отверстием L ={(х/а) +(у/Ь) =1} и системой гладких криволинейных разрезов L. (j = l,k). Контур LQ отверстия подкреплен непрерывно присоединенным тонким упругим кольцом переменной жесткости (рис. 3.4). На подкрепление действуют произвольно распределенные нормальная и касательная нагрузки интенсивности q (t),p (t), (t є LQ) (положительное направление для q (t)- против часовой стрелки, для р (t) по направлению внутренней нормали п в пластине к контуру отверстия). Пластина подвержена на бесконечности равномерному растяжению и сдвигу усилиями сг00 , сг00 , г00 , а берега разрезов ненагружены. Считаем, что пластина нахо дится в обобщенном плоском напряженном состоянии, а одна из главных осей инерции поперечного сечения кольца лежит в срединной плоскости хОу пластины.
Обозначим через p(t),q(t) нормальные и касательные контактные усилия, возникающие вдоль контура L пластины от подкрепляющего кольца (положительное направление для p{t){q{t)) вдоль нормали п (касательной г).
Система СИУ (3.25), (3.30), (3.31) совместно с дополнительными условиями (3.27), (3.29) дает решение поставленной задачи для случая тонкого подкрепляющего кольца.
Используя квадратурные формулы из п. 1.2.4 и п. 3.1.1 сводим систему СИУ (3.25), (3.31) с учетом (3.30), (3.27), (3.29) к системе линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций Q{z),{T = v{P)\-\ p \, TGL}, q(r),{T = acose + ibsin0, 0 в 2Л, ТЄLQ} в узлах: (I =cos((2s-l)7r/2JV),(s = l,A0; 9.={2j-\)nl2N,{j = \,2N) s J соответственно. Теоретические оценки сходимости данного численного метода даны в [6].
На рис. 3.6 представлены результаты расчетов задачи по определению коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) в вершинах прямолинейной сквозной трещины около подкрепленного отверстия. Пусть бесконечная пластина из ортотропного материала {Ех= 53,84 ГПа, j/is2=3, G]2= 8,63 ГПа, v}= 0,25) с круговым отверстием (а = Ь) подкреплена по контуру отверстия тонким кольцом с относительной жесткостью щ = EQF0 I E.bh (К- модуль Юнга материала кольца, F j- постоянная площадь поперечного сечения кольца) и ослаблена прямолинейным сквозным разрезом Lj = {z = х +iy = т(/3); T(J3) = Д + /?/, -1 /? 1}. На рис. 3.6 показаны зависимости КИН отрыва к1 = КхІсг4яІ, где К = lirn с (х)л]27г(А-1-х), в ближайшей к подкрепленному отверстию вер х- Д-/ шине трещины от параметра rj = I/(A-b), при Alb = 2; щ = 0,2; 0,1; 0,05; 0 (кривые 1 - 4 соответственно), (р = 0; к I 2 (сплошные и штриховые линии со ответственно) {(р - угол между главным направлением анизотропии Ех и осью X).
Как видно из рис. 3.6, параметры анизотропии материала пластины, жесткость подкрепляющего кольца существенно влияют на величину КИН. Влияние анизотропии материала пластины тем значительней, чем выше жесткость подкрепляющего кольца.
Экспериментальное исследование выполнялось методом фотоупругости [1,17] на прозрачных моделях из органического стекла СОЭ-2 эпоксидного компаунда ЭД-16МА.
Геометрия моделей характеризуется рис. 3.7. Размеры пластин и подкрепляющих колец, а также механические характеристики материалов, из которых они изготовлены, приведены в табл. 3.2.
Модели имели две прорези шириной 0,15 мм, имитировавшие трещины и расположенные симметрично относительно отверстия. Подкрепляющее кольцо изготавливалось после сверления отверстия в пластине так, чтобы обеспечивалась скользящая посадка. Затем кольцо вклеивалось в отверстие клеем марки ЭДП, имеющим упругие характеристики, близкие к характеристикам материала пластины. Ширина Ьк и толщина колец /гк выбирались так, чтобы их жесткость на растяжение увеличивалась в 3 раза от одной модели к другой.
