Введение к работе
Актуальность темы теоретических исследований динамики упругих сред в клиновидных областях продиктована необходимостью более адекватного моделирования и анализа процессов распространения волн в неоднородных геофизических объектах, представляющих собой сочетание горизонтально-слоистых, клиновидных и косослоистых областей, обусловлена возрастанием научно-теоретического и практического интереса к исследованию волновых процессов в композиционных и функционально-градиентных материалах, используемых в машиностроении, при создании высокочувствительных датчиков смещений и напряжений, основанных на использовании свойств поверхностно активных волн .
Актуальность математического моделирования процесса распространения нестационарных возмущений в клиновидной области со случайными источниками внутри среды, либо на её границе, обусловлена возрастающим интересом к использованию методов акустической эмиссии для целей неразрушающего контроля при оценке состояний предразрушения изделий ответственного назначения.
Теоретическое изучение вопросов концентрации напряжений в неоднородных клиновидных средах актуально для оценки напряженного состояния в местах стыка разнородных сред, оптимального сочетания материалов, в связи с развитием методов контроля прочности в конструкциях, содержащих ребра и угловые точки.
Целью исследований является разработка методов анализа плоских и антиплоских смешанных задач динамической теории упругости с разрывом граничных условий для однородных и неоднородных клиновидных и косослоистых упругих областей на основе развития метода граничных интегральных уравнений (ГИУ), исследования вопросов их разрешимости и разработки методов построения приближенных решений, анализа характера формирования волнового поля, возбуждаемого источниками колебаний на границах, а также изучение вопросов концентрации напряжений в окрестности угловых точек.
Научную новизну составляют:
– изучение новых классов смешанных динамических задач теории упругости для клиновидных и косослоистых областей, построение методов их решения, связанных с удовлетворением условиям сопряжения на границах раздела;
– теоретически установленный в работе и практически подтверждаемый результатами геофизических наблюдений факт локализации волнового процесса в кусочно-однородной клиновидной и косослоистой области при определенных условиях, методика определения скоростей возникающих при этом поверхностных волн в окрестности свободных границ, а также интерфейсных (каналовых) волн в окрестности линий раздела;
– решение смешанной задачи о возбуждении в клине внешними как детерминированными, так случайными источниками на основе сведения начально-краевой задачи к эквивалентному ГИУ с исследованием вопросов его разрешимости и выявлением аналитической структуры решения;
– изучение вопросов концентрации напряжений в угловых точках неоднородных клиновидных областей в случаях произвольной зависимости механических характеристик от полярного угла.
Методика исследований
В качестве основного метода исследования в диссертации выбран метод, состоящий в сведении рассматриваемых краевых задач динамической теории упругости на основе методов интегральных преобразований к эквивалентным граничным интегральным уравнениям (ГИУ), в их детальном исследовании, и на основе которых осуществляется процедура построения решений исходных задач. В процессе построения решений используются методы, традиционно применяемые в динамической теории упругости и теории дифракции: методы теории интегральных преобразований основных и обобщенных функций, методы теории потенциала, вариационные методы и методы факторизации, методы теории аналитических функций, теории интерполяции целых функций и функциональных пространств, теории аппроксимации, теории случайных процессов, функционального и численного анализа.
Достоверность полученных результатов обусловлена применением современных математических подходов при анализе динамических уравнений теории упругости в клиновидных областях, использованием вариационных принципов, строгими постановками краевых задач теории упругости с их детальным исследованием методом ГИУ. Особое внимание в работе уделено строгим доказательствам вопросов разрешимости поставленных задач и получающихся при этом ГИУ. Достоверность результатов, полученных разработанными в диссертации методами, основана на сравнении в частных случаях с решениями известных задач, полученных с помощью других подходов и методов.
1. Исследован новый класс динамических смешанных задач для неоднородной упругой среды со сложной геометрией клиновидного типа на основе сведения к системам граничных интегральных уравнений.
2. Получены новые функционально–инвариантные и интегральные представления общих решений динамической теории упругости.
3. Сформулированы условия локализации волнового процесса в окрестности свободной поверхности однородной и в окрестности линий раздела кусочно-однородной упругой клиновидной области.
4. Разработана методика расчета волновых полей смещений в зонах локализации колебательного процесса однородной и кусочно-однородной клиновидной области.
5. Представлены методы определения показателя сингулярности напряжений в вершине клина и критических углов концентрации с произвольным (непрерывным и кусочно-непрерывным) распределением механических характеристик среды.
Излагаемые в диссертации научные результаты докладывались на V Всероссийской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005г.), на IX,X,XII,XIII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» НИИ механики и прикладной математики им.акад.И.И.Воровича Южного федерального университета (Ростов н/Д, 2005,2006, 2008,2009 гг.), на Всероссийской конференции Института гидромеханики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций» (Новосибирск, 2006г.), на VIII Международной конференции АМАDE-2003 «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Беларусь, Минск, 2003 г.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти акад. Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.), на X, XII, XIV, XVI, XVIII, Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2002, 2004, 2006,2008, 2010 гг.) на семинарах кафедры теории упругости и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2004-2009 гг.), на семинаре кафедры физики и математики Ростовского филиала Московского университета технологий и управления (Ростов-на-Дону, 2011 г.), на заседании семинара «Механика сплошной среды» им.Л.А.Галина в Институте проблем механики АН СССР (Москва,1990г.), в Центре Южного отделения РАН при Кубанском госуниверситете по математическому моделированию и прогнозированию чрезвычайных ситуаций, экологических и техногенных катастроф (Краснодар, 2011г.), на городском семинаре «Дифракция и распространение волн» лаборатории математической геофизики Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, 2011г.), на Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения»(Ростов-на-Дону, 2011г.).
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ
