Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка плоской задачи неоднородной теории упругости для областей с отверствиями
I.I. Основные уравнения плоской задачи неоднород ной теории упругости II
1.2. Уравнения плоской задачи термоугругости для неоднородных изотропных сред 15
1.3. Интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для областей с отверстиями 19
1.4. Применение метода малого параметра в плоской задаче неоднородной теории упругости и термо-упругости для областей с отверстиями 21
1.5. Граничные условия плоской задачи неоднородных изотропных тел для областей с отверстиями 26
ГЛАВА II. Концентрация напряжений в бесконечной неоднородной изотропной пластинке с отверстиями 32
2.1. Решение плоской задачи для неоднородных областей с отверстием общего вида при гранич ных условиях (1.5.25) 32
2.2. Решение плоской задачи неоднородной теории для областей с отверстием общего вида при чистом сдвиге 40
2.3. Концентрация температурных напряжений для неоднородных изотропных сред при стационарном распределении температуры 56
2.4. Решение плоской задачи однородной теории упругости для областей с произвольным от верстием в замкнутом виде 62
ГЛАВА III. Некоторые конкретные плоские задачи неоднородной теории упругости и термоупругости для областей с отверстиями 66
3.1. Неоднородная бесконечная плоскость с отверстием, край которого подвержен равномерному нормальному давлению 66
3.2. Неоднородная бесконечная плоскость с отверстием, край которого подвержен равномерному касательному напряжению 78
3.3. Концентрация термонапряжений в неограниченной неоднородной плоскости (пластинке) с отверстием частного вида 94
3.4. Распределение напряжений в неоднородном полом цилиндре при действии внутреннего и внешнего давления с учетом температурного поля 105
3.5. Неоднородная изотропная неограниченная пластинка с эллиптической трещиной 114
Заключение 121
Литература
- Уравнения плоской задачи термоугругости для неоднородных изотропных сред
- Решение плоской задачи неоднородной теории для областей с отверстием общего вида при чистом сдвиге
- Решение плоской задачи однородной теории упругости для областей с произвольным от верстием в замкнутом виде
- Неоднородная бесконечная плоскость с отверстием, край которого подвержен равномерному касательному напряжению
Введение к работе
Одной из важнейших народнохозяйственных проблем в области машиностроения и строительного дела является повышение надежности машин, сооружений и снижение их материалоемкости и себестоимости. Решение этой проблемы, в частности, связано со снижением концентрации напряжений в элементах и деталях конструкций, позволяющим создавать более надежные, более легкие и удобные в эксплуатации, а также более экономичные конструкции. В этих конструкциях часто встречаются элементы, находящиеся в плоском напряженном состоянии, в которых концентрация напряжений вызвана наличием выступов, острых углов или вырезов.
В настоящее время широкое применение находят тонкостенные конструкции. Во многих ответственных элементах этих конструкций по конструктивным, технологическим и другим соображениям, сплошность часто нарушается различными родами отверстий. В непосредственной близости от отверстия возникают дополнительные локальные напряжения, которые могут в несколько раз превосходить основные напряжения в плоскости, не ослабленной концентратором. На максимальные напряжения существенно влияет только та часть контура, которая находится в высоконапряженной зоне. При этом, форма детали за пределами зоны концентрации не оказывает влияния на величину максимального напряжения в окрестности концентратора. Поэтому, проблема определения концентрации напряжений около отверстий в теории упругости и термоупругости, как для однородных, так и для неоднородных тел, составляет чрезвычайно важный класс инженерных задач [2, 4, б, 7, 10, II, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 75, 78, 79, 80,
82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 103 и другие].
Среди большого числа факторов, определяющих эффекты концентрации, немаловажную роль играет неоднородность материала. Теория упругости и термоупругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором параметры, определяющие упругие свойства среды, являются функциями координат точек тела. В зависимости от упругих характеристик выделяются три основных раздела теории упругости неоднородных тел [47]:
упругие тела с непрерывной неоднородностью,
кусочно-однородные тела,
случайно-неоднородные тела,
которые связаны между собой и при решении задач какого-либо одного раздела теории упругости и термоупругости неоднородных тел могут быть использованы решения, полученные в других разделах.
Все реальные материалы обладают определенной неоднородностью (молекулярная структура металлов, неправильности кристаллической решетки и т.п.). Под упругими телами с непрерывной неоднородностью будут пониматься тела, в которых зависимость упругих характеристик от координат характеризуется непрерывными функциями.
Неоднородность упругих свойств часто возникает в процессе формирования тела, например, при кристаллизации отливки (вследствие различных температурных условий в разных зонах отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в разных областях отливки). Неоднородность возникает благодаря особенностям технологических процессов получения соответствующих изделий, а также различной упрощающей технологии (термическая, химико-термическая и др.).
В монографии Савина Г.Н. ^71] приведены многочисленные примеры решений плоских задач для областей с отверстиями, получен-
- б -
ные методом конформного отображения. Для решения задач о концентрации напряжений в плоских однородных и неоднородных телах Эффективны методы Колосова-Мусхелишвили [бб], основанные на применении теории функций комплексного переменного. Большой вклад в развитие данного научного направления внесли также Александрович А.И. [2], Белоносов СМ. [б], Бурмистров Е.Ф. [7], Вигдер-гауз СБ. [ю], Ворович И.И. [12], Гузь А.Н. [l7], Джовда СВ. [20], Колчин Г.Б. [25], Коляно Ю.М. [67], Космодемианский А.С [34], Лехницкий С.Г. [41], Лурье А.И. [42], Ломакин В.А. [47], Михлин С.Г. [52], Мусхелишвили Н.И. [бб], Новацкий В. [б^, Новожилов В.В. [59], Подстригач Я.С [б8], Савин Г.Н. [7l] , Сапон-джян О.М. [73], Саркисян B.C. [7б], Тимошенко СП. [82], Цурпал И.А. [8б], Шерман Д.И. [88], Уздалев А.И. [90] , Уфльянд Я.С.
[9і],РЄо-г.ел.ье &.L. и Goodie* I.N.I94] и другие.
Исследованиям различных вопросов теории для многосвязных сред посвящены работы Белоносова СМ. [б], Колчина Г.Б. [27] , Космоде-мианского А.С [Зб], Кулиева Г.Г. [Зб] , Лозинского В.Н. [43] , Мирсалимова В.М. [бб], Савина Г.Н. [7l] , Сапонджяна CM. [72j, Цурпала И.А. [8б], Шермана Д.И. [88] и других.
В настоящее время часто используются пластинки, работающие в условиях высоких температур. В связи с этим возникла необходимость разработки методов определения тепловых напряжений в упругих телах. Важные результаты при решении плоских задач термоупругости получены в работах Боли Б. и Уэйнера Дж. [б], Кита Г.С [32], Космодемианского А.С. [Зб], Лебедьева Н.Н. [39], Лозинского В.Н. [43] , Майзеля В.М. [48], Мелана Э. и Паркуса Г. L50] , Новацкого В. [58], Панферова В.М. [бз] , Подстригача Я.С. и Коляно Ю.М. [67, 68] , Прусова И.А. [б9] , Саркисяна B.C. [74] , Тимошенко СП. и Гудьера Дж. [83] , цурпала И.А. [8б] , Уздалева А.И. [90], Р Ео ъе^$>е А. Ц [9б] и других.
При рассмотрении конкретных задач исследователи часто уделяют большое внимание вычислению коэффициентов концентраций напряжений. Под коэффициентом концентрации напряжений, как в однородной, так и в неоднородной средах, будет пониматься отношение какого-либо компонента тензора напряжений в какой-либо точке зоны возмущения возле отверстия к тому же компоненту тензора напряжений в той же точке такой же пластинки, но без отверстия [8б]. Как в однородных, так и в неоднородных средах, в зоне концентрации, максимальное напряжение возникает на контуре отверстия. Оказывается, что в однородных и неоднородных телах, когда контур отверстия свободен от внешних усилий, из трех коэффициентов концентрации отличен от нуля только для напряжения вф .
Цель диссертационной работы состоит в разработке метода решения плоских задач теории упругости и термоупругости неоднородных изотропных тел в комплексной форме, а также в исследовании влияния неоднородности на распределение напряжений около отверстий на основе решения соответствующих плоских задач однородной теории упругости и термоупругости \р, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 34, 38, 40, 48, 49, 51, 52, 54, 56, 59, 71, 82, 83, 84, 90, 93, 94, 95, 101, 103 и другие].
Отметим, что в диссертационной работе построение решения рассматриваемых задач неоднородной теории упругости и термоупругости основывается на математическом аппарате интегрального уравнения Шермана-Лауричелла, интегралов типа Коши, теории аналитических функций и методе малых параметров (физический и геометрический) , сходимость которого доказана в работах Саркисяна B.C. Метод малых параметров (физический и геометрический), как правило, применяют для упругих тел, обладающих слабой неоднородностью.
В работе, как нам кажется, впервые решены плоские задачи
неоднородной теории упругости и термоупругости о распределении напряжений около отверстий произвольной формы при следующих граничных условиях:
Контур отверстия подвергается равномерному нормальному давлению.
Контур отверстия подвергается равномерному касательному напряжению.
Распределение температуры на бесконечности.
Здесь же отметим, что для некоторых классов внешних нагрузок, действующих на контур отверстия произвольного очертания, нами получены замкнутые решения однородной теории упругости.
Кроме того, в диссертационной работе также выведены формулы, при помощи которых определяются компоненты напряжений и коэффициент концентрации для отверстий произвольной формы. Путем расчетов выявлен эффект неоднородности и показана сходимость решения.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе выведены основные соотношения и дифференциальные уравнения теории упругости и термоупругости неоднородных тел.
Представляя решение дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в виде двойного ряда по мальм (физическим и геометрическим) параметрам и учитывая, что материал среды обладает слабой неоднородностью, получена рекуррентная последовательность краевых задач теории упругости и термоупругости. Эти задачи затем решаются с помощью аппарата интегрального уравнения Шермана-Лауричелла и интеграла типа Коши.
В 1.5 выведены граничные условия для областей с отверстием общего вида.
Вторая глава посвящена решению плоской задачи неоднородной теории упругости и термоупругости для областей с отверстием общего вида.
В 2.1 рассмотрена плоская задача о концентрации напряжений в неоднородной бесконечной пластинке (плоскости) с отверстием общего вида, край контура которого подвержен равномерному давлению.
В 2.2 решены плоские задачи о концентрации напряжений в неоднородной бесконечной пластинке (плоскости) с отверстием общего вида, край которого подвержен равномерному касательному напряжению, и при чистом сдвиге на бесконечности.
В 2.3 получено решение плоской задачи неоднородной теории упругости для областей с отверстием общего вида при стационарном распределении температуры.
В 2.4 в замкнутом виде получено решение плоской задачи однородной теории упругости для областей с произвольным отверстием при различных граничных условиях.
Третья глава посвящена решению плоских задач неоднородной теории упругости и термоупругости для областей с отверстиями частных видов (круг, эллипс, треугольник, квадрат) и задачи по определению температурных напряжений в полом неоднородном цилиндре при действии внутреннего и внешнего постоянного давления с учетом температурного поля.
При различных значениях малых параметров показано влияние неоднородности на напряженное состояние упругих тел.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на традиционных ежегодных научных сессиях профессорско-преподавательского состава механико-математического факультета Ереванского государственного университета (Ереван, 1982-1984 гг.); на республиканском симпозиуме "Концентрация напряже-
ний" (Донецк, ЗІ мая - 2 июня 1983 года); на совещании "По теории упругости неоднородного тела" (Кишинев, 7-9 декабря 1983 года) и на П всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов" (Ереван, 13-16 ноября 1984 г.).
Диссертационная работа в целом обсуждалась на семинаре кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета.
В заключение выражаю глубокую благодарность профессору Саркисяну Владимиру Саркисовичу, под руководством которого была выполнена настоящая работа, а также кандидату физико-математических наук, доценту Овсепяну Левону Овакимовичу за ценные советы и помощь.
- II -
Уравнения плоской задачи термоугругости для неоднородных изотропных сред
Путем конформного отображения данной односвязной или двухсвязной области на круг или круговое кольцо получим краевые условия в следующем виде [47, 56]: Здесь = (-ОСЬ") функция, отображающая данную область на внешность или внутренность единичного круга в плоскости .
Аналитические функции 4 (-) и Ч СЪ} выражаются формулами Подставляя значения (1 1.13) в (I.I.I2) замечаем, что функции Ч 0СЪ"} и ЧоС ") должны удовлетворять точно тому же условию (I.I.I2), что и функции Ч СЪ") и Ч -%."} с тои лишь разницей, что вместо тл следует взять -Ц0 , т.е. где компоненты главного вектора внешних напряжений.
Компоненты напряжений и коэффициент концентрации в полярных координатах определяются формулами:
Если температура деформируемого твердого тела изменяется на величину T C X -O » ЯВЛЯК)Щейся Функцией времени и координат, то при термическом расширении изотропное тело деформируется таким образом, что компоненты тензора деформации описываются выражением [56, 8б]: где oL - температурный коэффициент линейного расширения, Оц -символ Кронеккера.
Зависимость между компонентами тензора деформации и напряжений с учетом (I.2.I) принимает следующий вид [бб]:
С учетом формул (I.I.I), (I.I.3) и (1.2.2) получим следующее дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами плоской задачи термоупругости: решение задачи в комплексных переменных без учета температурного поля, которое представлено по формуле (I.I.9), a 0--(. решение задачи с учетом температурного поля СР — О .
Для большинства материалов (полимеры, сплавы цветных металлов, титаны, высокопрочные стали и др.) с увеличением температуры наблюдается увеличение напряжения, т.е. коэффициент концентрации повышается.
Температурное поле в плоскости с отверстием описывается следующим образом [86, 95, 9б]: где температура возмущенного поля, вызванного наличием отверстия (в случае теплоизолированного отверстия удовлетворяет уравнению & 1 = О ) и зависит от вида рассматриваемого отверстия и граничных условий на нем: а 2Э - заданная функция распределения температуры на бесконечности. Температурное поле можно задать в виде ряда Фурье: или в виде ряда т да} тг С2 ъ« V т0} (1.2.7) если задан на бесконечности однородный тепловой поток Q , направленный под углом Ь к оси ОХ. . В случае незакрепленного тела постоянную температуру можно приравнять нулю.
Функция, конформно отображающая бесконечную плоскость с круглым отверстием единичного радиуса на бесконечную плоскость с отверстием рассматриваемой формы, имеет вид где ТЗ - действительная величина, характеризующая размеры отверстия; -(1 - функция, зависящая от формы отверстия, Ё - малый геометрический параметр (действительная величина), удовлетворяющий условию % . \ , кроме того, корни уравнения должны лежать внутри окружности единичного радиуса в плоскости В выражении (1.2.8) % и функция - (.} характеризуют размеры отверстия и его ориентацию относительно осей координат. При различных значениях %, и С%Г) М0ГУТ быть получены выражения для круглых, эллиптических, квадратных, прямоугольных и других видов отверстий без угловых точек.
Для определения распределения температуры в плоскости переменной с учетом выражений (1.2.8), (1.2.5), (1.2.6) и (1.2.7) получим формулу [86] Таким образом, плоская температурная задача неоднородных изотропных сред сводится при стационарном распределении температуры к решению плоской задачи термоупругости с использованием формулы (1.2.3), (1.2.5), (1.2.7), (1.2.9) при данных граничных условиях типа (I.I,12).
Таким образом плоская задача неоднородных изотропных тел сводится к решению интегрального уравнения Шермана-Лауричелла (1.3.4) и (1.3.5). Применение метода малого параметра в плоской задаче теории упругости и термоупругости для областей с отверстиями
Одним из основных методов решения неоднородных задач является метод малого параметра 27, 47, 75, 8б]. С помощью этого метода можно решить ряд задач в неоднородной теории упругости и термоупругости, для которых известны однородные решения. В дальнейшем концентрации напряжений возле отверстий для однородных тел будем считать известными и примем их за нулевое приближение.
Решение уравнения (І.І.8), когда неоднородная неограниченная изотропная пластина (плоскость) ослаблена произвольным отверстием можно представить в виде разложения по малым параметрам и % , характеризующие соответственно неоднородность материала и криволинейность контура:
Решение плоской задачи неоднородной теории для областей с отверстием общего вида при чистом сдвиге
При различных значениях Х и в можно получить выражение коэффициента концентрации для областей с отверстием частного вида (круговое, эллиптическое, треугольное, квадратное и т.д.), когда контур отверстия подвержен равномерному касательному напряжению.
Следует отметить, что, если функция неоднородности . имеет вид (2.1.4) и исследуется напряженное состояние в неограниченной неоднородной изотропной плоскости с круговым отверстием, то, как следует из формулы (2.2.17), неоднородность не играет роли.
Решение плоской задачи термоупругости для неоднородных сред с использованием формул (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7) и (1.2.9) сводится к интегрированию краевых задач (1.4.12) и (1.4.13).
Рассмотрим термоупругое состояние неоднородной изотропной плоскости (пластинки) с произвольным отверстием при однородном теплопотоке Су на бесконечности.
Пусть имеется бесконечная область с произвольным отверстием при заданных граничных условиях. Определим напряженное состояние в этой области. Как было отмечено выше, конформно отображающая функция неограниченную пластинку с произвольным отверстием приводит на бесконечную пластинку с круговым отверстием единичного радиуса. Предположим, что
Пусть имеется неограниченная неоднородная изотропная пластинка с отверстием, контур которого подвержен равномерному давлению с интенсивностью "Р , а внешние силы и напряжения на бесконечности равны нулю.
Из (2.1.16) при различных значениях о и могут быть получены выражения для круглых, эллиптических, квадратных, треугольных и других видов отверстий без угловых точек. Например, контур эллиптического отверстия можно записать следующим образом [71, 8б]: контур квадратного (с закругленными углами) В таблицах І.І, 1.2, І.З приведены значения коэффициентов для однородного и неоднородного тел. С помощью этих данных на рис.1.1, 1.2, 1.3 показаны распределения напряжений соответственно около эллиптического, квадратного и треугольного отверстий.
Из полученных формул видно, что напряжения на бесконечности стремятся н нулю, т.е. остаются ограниченнымиНа основании полученных результатов можно сделать следующие выводы (см.таблицы I.I, 1.2, 1.3):
1. Для однородного материала наибольшие напряжения на контуре любого эллиптического отверстия будут при О = - Л\ (рис.1.1): вв = Р(2--ч) } (3.I.I4) а наименьшие - при В (3.1.15)
2. Из формулы (3.1.10) следует, что при около отверстия возникает зона сжатия ( 0") , которая (с учетом симметричности задачи) определяется формулой
3. Для неоднородной пластинки" существенно зависит как от геометрической формы отверстия, так и от механических свойств материала. Варьированием значений малых параметров % и о мовно увеличить или уменьшить зону сжатия.
4. В случае неоднородного материала наибольшие и наименьшие напряжения для любого эллиптического отверстия будут соответст венно при в = ± Я" и в=+2 ; для любого треугольного и квад ратного отверстий наибольшие и наименьшие напряжения будут в тех точках контура, которые находятся соответственно в максимальном и минимальном расстоянии от центра тяжести отверстия.
5. Неоднородность существенно влияет на напряженное состоя ние области. Например, для эллиптического отверстия (рис.1.1) для треугольного отверстия (рис.1.3) для квадратного отверстия (рис.1.2)
6. Численным путем получена сходимость решения плоской за дачи неоднородной теории упругости.
Неоднородная бесконечная плоскость с Пусть имеется неограниченная неоднородная пластинка с отверстием, контур которого подвержен равномерному касательному напряжению "С , а внешние силы и напряжения на бесконечности равны нулю. В этом случае плоская задача для неоднородных областей с отверстием тоже сводится к решению краевых задач (1.4.4) и (1.4.5), где для эллиптического отверстия следует брать
Решение плоской задачи однородной теории упругости для областей с произвольным от верстием в замкнутом виде
Можно сделать следующие выводы:
1. Из (3.2.8), (3.2.9) и (3.2.10) следует, что при неоднородности типа (2.1.4), для кругового отверстия, в данной постановке, неоднородность не играет роли.
2. Когда край отверстия подвержен равномерному касательному напряжению, тогда наибольшие напряжения на контуре любого эллиптического отверстия будут при е =± - + Stn C ъ 0), а наименьшие - при для любого треугольного отверстия, наибольшие напряжения будут при а наименьшие - при для любого квадратного отверстия наибольшие и наименьшие напряжения будут, соответственно при
3. В отличие от однородных тел, как видно из таблицы 2.4, коэффициент Пуассона существенно влияет на напряженное состоя ниє неоднородных тел. Эффект неоднородности составляет 10-15$. Рассмотрим плоскую неоднородную задачу термоупругости для областей с отверстием частного вида при стационарном распределении температуры, которая задается по формуле (2.3.1), т.е. задан однородный тепловой поток, направление которого с осью ОХ составляет угол
Плоская задача термоупругости для неоднородной изотропной плоскости с отверстием сводится к решению краевых задач (1.4.12) и (1.4.13) В таблицах 3.1, 3.2, 3.3 приведены значения коэффициента концентрации термонапряжений при заданных и & около эллиптического, треугольного и квадратного отверстий. С помощью этих данных на рис.3.1, 3.2, 3.3 показаны распределения термонапряжений около соответствующих отверстий.
Из полученных данных можно сделать выводы: I. При стационарном распределении температуры наибольшие и наименьшие напряжения на контуре любого эллиптического отверстия будет (см.табл.3.1) Определим напряженно-деформированное состояние неоднородного полого цилиндра с внутренним радиусом Т? и внешним радиусом 1 г , находящегося под действием внутреннего Т и внешнего 2 давления, при заданном распределении температуры, как функции радиуса. Цилиндр нагревается установившимся потоком тепла, причем при C R T—Tj ; при Т. =- 4 =-4- . В нашем случае
Из условия симметрии Trip во BCe рассматриваемой области. Величины , з иТ не зависят от значения угла Q , поэтому распределение температуры вдоль радиуса мошю задавать в виде Сбб] ) Для неоднородных сред граничные условия в рассматриваемом случае имеют вид: Пусть заданы внешние напряжения, действующие на ТА И (окружности, соответственно, радиусами Т?ц и г ), как функции угла Q . Разлагая это выражение как на Х\ » так и на То в комплексные ряды Фурье, будем иметь [56]
С помощью данных (табл.4.1 и 4.2), на рис.4.I приведены графики зависимости напряжения "е на внутреннем контуре цилиндра от разности температур ЛГ Т -Т] » а на рис.4.2 построены эггоры напряжения 0 по однородной и неоднородной теории при Т -Т-с0.
Из графиков следует, что неоднородность упругих тел приводит к повышению напряжений. Эффект неоднородности с учетом температурного поля (рис.4.1 =. =-0 ) Пусть имеется неограниченная изотропная пластинка с эллиптическим отверстием. Когда %- —Н (или ь-—0 ), то получим неограниченную неоднородную изотропную пластинку с эллиптической трещиной [56].Из формул (3.5.1), (3.5.2) и (3.5.3) следует, что напряжения вблизи концов щели как для однородных, так и для неоднородных сред перестают быть ограниченными (рис.5.1).
Аналогичным образом можно получить выражения для компонентов напряжения, когда край щеж подвержен равномерному касательному напряжению и при стационарном распределении температуры (таблицы 5.1, 5.2, рис.5.1, 5.2). В заключение отметим, что численные расчеты реажзоважсь на ЭВМ ЕС-І033 на языке PL,CO
Неоднородная бесконечная плоскость с отверстием, край которого подвержен равномерному касательному напряжению
Среди большого числа факторов, определяющих эффекты концентрации, немаловажную роль играет неоднородность материала. Теория упругости и термоупругости неоднородных тел основана на использовании закона Гука, в котором параметры, определяющие упругие свойства среды, являются функциями координат точек тела. В зависимости от упругих характеристик выделяются три основных раздела теории упругости неоднородных тел [47]: 1. упругие тела с непрерывной неоднородностью, 2. кусочно-однородные тела, 3. случайно-неоднородные тела, которые связаны между собой и при решении задач какого-либо одного раздела теории упругости и термоупругости неоднородных тел могут быть использованы решения, полученные в других разделах.
Все реальные материалы обладают определенной неоднородностью (молекулярная структура металлов, неправильности кристаллической решетки и т.п.). Под упругими телами с непрерывной неоднородностью будут пониматься тела, в которых зависимость упругих характеристик от координат характеризуется непрерывными функциями.
Неоднородность упругих свойств часто возникает в процессе формирования тела, например, при кристаллизации отливки (вследствие различных температурных условий в разных зонах отливаемого изделия и переменной структуры, получаемой в разных областях отливки). Неоднородность возникает благодаря особенностям технологических процессов получения соответствующих изделий, а также различной упрощающей технологии (термическая, химико-термическая и др.).
В монографии Савина Г.Н. 71] приведены многочисленные примеры решений плоских задач для областей с отверстиями, получен - б ные методом конформного отображения. Для решения задач о концентрации напряжений в плоских однородных и неоднородных телах Эффективны методы Колосова-Мусхелишвили [бб], основанные на применении теории функций комплексного переменного. Большой вклад в развитие данного научного направления внесли также Александрович А.И. [2], Белоносов СМ. [б], Бурмистров Е.Ф. [7], Вигдер-гауз СБ. [ю], Ворович И.И. [12], Гузь А.Н. [l7], Джовда СВ. [20], Колчин Г.Б. [25], Коляно Ю.М. [67], Космодемианский А.С [34], Лехницкий С.Г. [41], Лурье А.И. [42], Ломакин В.А. [47], Михлин С.Г. [52], Мусхелишвили Н.И. [бб], Новацкий В. [б , Новожилов В.В. [59], Подстригач Я.С [б8], Савин Г.Н. [7l] , Сапон-джян О.М. [73], Саркисян B.C. [7б], Тимошенко СП. [82], Цурпал И.А. [8б], Шерман Д.И. [88], Уздалев А.И. [90] , Уфльянд Я.С. [9і],РЄо-г.ел.ье &.L. и Goodie I.N.I94] и другие.
Исследованиям различных вопросов теории для многосвязных сред посвящены работы Белоносова СМ. [б], Колчина Г.Б. [27] , Космоде-мианского А.С [Зб], Кулиева Г.Г. [Зб] , Лозинского В.Н. [43] , Мирсалимова В.М. [бб], Савина Г.Н. [7l] , Сапонджяна CM. [72j, Цурпала И.А. [8б], Шермана Д.И. [88] и других.
В настоящее время часто используются пластинки, работающие в условиях высоких температур. В связи с этим возникла необходимость разработки методов определения тепловых напряжений в упругих телах. Важные результаты при решении плоских задач термоупругости получены в работах Боли Б. и Уэйнера Дж. [б], Кита Г.С [32], Космодемианского А.С. [Зб], Лебедьева Н.Н. [39], Лозинского В.Н. [43] , Майзеля В.М. [48], Мелана Э. и Паркуса Г. L50] , Новацкого В. [58], Панферова В.М. [бз] , Подстригача Я.С. и Коляно Ю.М. [67, 68] , Прусова И.А. [б9] , Саркисяна B.C. [74] , Тимошенко СП. и Гудьера Дж. [83] , цурпала И.А. [8б] , Уздалева А.И. [90], Р Ео ъе $ е А. Ц [9б] и других.
При рассмотрении конкретных задач исследователи часто уделяют большое внимание вычислению коэффициентов концентраций напряжений. Под коэффициентом концентрации напряжений, как в однородной, так и в неоднородной средах, будет пониматься отношение какого-либо компонента тензора напряжений в какой-либо точке зоны возмущения возле отверстия к тому же компоненту тензора напряжений в той же точке такой же пластинки, но без отверстия [8б]. Как в однородных, так и в неоднородных средах, в зоне концентрации, максимальное напряжение возникает на контуре отверстия. Оказывается, что в однородных и неоднородных телах, когда контур отверстия свободен от внешних усилий, из трех коэффициентов концентрации отличен от нуля только для напряжения вф .
