Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные уравнения и соотношения трехмерной теории упругости. о представлениях решений уравнений ламе . 21
1.1. Основные уравнения и соотношения теории упругости для изотропной среды 21
1.2. Некоторые представления решений уравнений равновесия в перемещениях 29
Глава II Задачи теории упругости для эллипсоидальных областей 35
2.1. Эллипсоидальная система координат 35
2.2. О напряженном состоянии упругой среды возле эллипсои дальной полости при полиномиальной структуре основного поля напряжений 40
2.3. Явный вид решения в случае, когда основное поле напряжений - полином второго порядка 47
2.4. Распределение напряжений вблизи упругого эллипсои дального включения 78
2.5. Температурные напряжения в среде с эллипсоидальной полостью 91
2.6. Свойства основных интегралов и рекуррентные соотноше ния между ними 102
Глава III Первая и вторая основные краевые задачи теории упругости для тороидальных областей
3.1. Тороидальные координаты
3.2. О построении решений. Вторая основная краевая задача теории упругости для тора 116
3.3. Первая основная краевая задача для тороидальных областей 128
3.4. Задача о кручении цилиндрического вала, содержащего тороидальную полость или жесткое включение 140
3.5. О растяжении упругого изотропного пространства, содержащего тороидальное жесткое включение или полость .146
Заключение
Литература
- Некоторые представления решений уравнений равновесия в перемещениях
- О напряженном состоянии упругой среды возле эллипсои дальной полости при полиномиальной структуре основного поля напряжений
- Температурные напряжения в среде с эллипсоидальной полостью
- Первая основная краевая задача для тороидальных областей
Введение к работе
В процессе эксплуатации сооружения и конструкции подвергаются механическим, температурным и другим видам воздействий, поэтому при проектировании необходим их расчет на прочность и оценка надежности. Прочностные характеристики изделий можно получить на основании анализа напряженно-деформированного состояния. Однако, проведение такого анализа усложняется тем, что ряд элементов конструкций имеет сложную геометрическую форму, а также содержит дефекты (пустоты, неоднородности). Кроме того, иногда приходится нарушать сплошность и однородность материала различного рода отверстиями, полостями, включениями и т.д. в силу технологических и конструктивных соображений. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что такие разрывы однородности вызывают местное увеличение (концентрацию) напряжений, которая бывает весьма значительна и существенно снижает несущую способность изделий.
Исследования напряженно-деформируемого состояния тел в рамках трехмерной теории упругости начались еще в XIX веке и к настоящему времени известны различные методы исследования задач и получены многие важные результаты в данной области.Пространственным задачам посвящены монографии А.Я.Александрова и Ю.И.Соловьева [2] ; В.Т.Гринченко [23] ; А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [2В]; М.А.Колтунова, Ю.Н.Васильева и В.А.Чёрных [45]; А.С.Космодамианского и В.А.Шал-дырвана [42]; В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелии, М.О.Башелейшвили и Т.Г.Бурчуладзе f
По отдельным направлениям развития трехмерной теории упругости написан ряд обзорных работ: Б.Л.Абрамян и А.Я.Александров [1] ;
Й.Й.Ворович [14] ; А.Н.Гузь, В.Д;Кубенко и М.А.Черевко [25] ; Г.Миямото [122]; Ю.Н.Немиш [61] ; Г.Нейбер и Г.Хан [66] ; В.К.Прокопов [86] ; В.Л.Рвачев [89] ; А.Ф.Улитко [102] и др. Особого внимания заслуживает обзорная статья А.И.Каландии, А.И.Лурье, Г.Ф.Манджавидзе, В.К.Прокопова и Я.С.Уфлянда [Ъ2]\ в которой проведен объемный анализ основных методов и важнейших результатов ПО' многим направлениям развития линейной теории упругости.
Ряд методов исследования трехмерных задач теории упругости основывается на представлениях решений однородных уравнений Ламе с помощью гармонических и бигармонических функций. Такие представления даны Буссинеском [115], Кельвиным и Тайтом [119] и др. Б.Г.Галеркин выразил общее решение однородных уравнений равновесия для изотопного тела через три бигармонических функции. В работах П.Ф.Папковича [6&] и Г.Нейбера [65] предложена форма решения, содержащая четыре гармонических функции. Полнота решения Папковича-Нейбера была доказана Р.Д.Миндлиным [120]. Вопрос о возможности уменьшения числа гармонических функций до трех был рассмотрен в работах М.Г.Слободянского [93,94] , Р.Юбенкса и Е.Стерн-берга [112]. Различные формы решений уравнений равновесия для изотропной среды предложили также В.И.Блох f6] , В.Д.Деев [29] , Ю.А.Крутков [ЧЧ] , К.В.Соляник-Красса [96] , М.Г.Слободянский[93,3VJ и др.
С помощью функций комплексного переменного и интегралов типа Коши в известных монографиях Г.В.Колосова [40] и И.И.Мусхелишви-ли [60] разработан эффективный метод решения плоских граничных задач теории упругости для односвязных и многосвязных областей, ставший впоследствии классическим. И хотя этот метод непосредственно не применим к пространственным задачам теории упругости, аппарат функций комплексного переменного используется и при решении задач данного класса. Так в работах Г.Н.Положего [83,84] предложен метод решения осесимметричных пространственных задач теории упругости, связанный с использованием двух Р -аналитических функций и являющийся аналогом метода Колосова-Мусхелишвили. Указанным подходом в работах Г.Н.Положего, А.А.Капшивого и др. [33,34,85,106] получены решения сложных задач осесимметричной теории упругости. Другой метод решения осесимметричных и неосесим-метричных задач теории упругости для тел вращения, основанный на использовании свойств обобщенных аналитических функций,развит А.Я.Александровым [3,4] . Этим методом в работах А.Я.Александрова, В.С.Вольперта, Ю.И.Соловьева решены задачи теории упругости для изотропной и трансверсально-изотропной сред [2,11,12,95] и др.
Еще одним методом исследования трехмерных задач теории упругости является метод интегральных уравнений, с помощью которого доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач статики и установившихся колебаний упругих тел. Этот метод часто служит основой для разработки алгоритмов численного решения задач теории упругости. Методу интегральных уравнений посвящена известная монография В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелии, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчуладзе [4в] , а также работы В.Д.Купрадзе [45], А.И.Вайн-динера и В.В.Москвитина [8] и др. На основе интегральных уравнений в монографии В.З.Партона и П.И.Перлина Г 71} проведено исследование напряженного состояния многосвязных и кусочно односвязных тел, тел с разрезами. Обзоры по современному состоянию метода интегральных уравнений проведены в трудах Ю.В.Верюжского [10] , П.З.Партона и П.И.Перлина [70] и др.
Находит применение в задачах пространственной теории упругости и метод интегральных преобразований. С помощью соответствующего интегрального преобразования (Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мелера-Фока и др.) переходим к более простой задаче в пространстве образов. Основная трудность при решении задач таким подходом заключается в нахождении формулы обращения. Достаточно обширная библиография работ по использованию этого метода в задачах теории упругости приведена в известной монографии Я.С.Уфлянда [104]*
Необходимо отметить и высокую эффективность при решении пространственных задач теории упругости (особенно контактных) метода Я -функций В.Л.Рвачева. Основы и способы применения этого метода, позволяющего на аналитическом уровне точно учесть содержащуюся в постановке краевой задачи геометрическую информацию, и, предполагающего наряду с ним использование одного из вариационных или других методов, изложены в монографиях [90,91]
При исследованиях трехмерных задач теории упругости для неканонических областей применяется и метод возмущений формы границы. Так, в монографии А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [26] и в работах[27,62-64, [107] и др., а также в статьях А.Д.Коваленко и В.Г.Карнаухова [38, 39] » в которых разработан другой вариант этого метода, построены решения пространственных задач теории упругости для областей, ограниченных поверхностями, близкими к цилиндрическим и сферическим. Еще один приближенный подход на основе метода возмущений к трехмерным задачам теории упругости для тел, близких к сферическим, предложил С.К.Датта [116]. В работах [76,77] разработан приближенный метод решения пространственных задач теории упругости для ортогональных областей, близких к эллипсоиду вращения.
Идея сведения решения граничной задачи в трехмерной постановке к последовательному решению двумерных задач привела к созданию и использованию теории разложений по системе функций. При этом решение пространственной задачи представляется в виде ряда или асимптотического разложения по системе базисных функций относительно координаты, вдоль которой протяженность тела значительно меньше его геометрических размеров в других координатных направлениях. Среди работ по данному направлению следует отметить труды й.Н.Ве-куа [91 і й.й.Воровича, В.М.Александрова, В.А.Бабешко [13J , Н.А.Кильчевского [36] , А.С.Космодамианского [Щ], Ш,Ю.Хот[105] и др.
При исследованиях напряженно-деформированного состояния тел сложной конфигурации применение аналитических методов связано с весьма значительными математическими трудностями. Поэтому, учитывая расширение возможностей вычислительной техники, в последнее время стали широко использовать различные численные методы (конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностные и др.). Развиваются также комбинированные методы, основанные на синтезе численных и экспериментальных. Для решения граничной задачи в перемещениях часто применяются метод конечных разностей (МКР), вариационно-разностный метод (BMP), метод дискретной ортогонализации С.К.Годунова, метод конечных элементов (МКЭ) и др. Метод дискретной ортогонализации получил дальнейшее развитие и применение для расчета оболочечных конструкций с переменными геометрическими и упругими характеристиками в трудах Я.М.Григоренко[21] , Я.М.Гри-горенко, А.Т.Василенко, Е.И.Беспаловой и др. [22] , Н.Д.Панкратовой [72] .
Весомый вклад в развитие методов конечных разностей и применение их к задачам математической физики внесли Г.Й.Марчук, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов, Н.Н.Яненко и др. С помощью развитых ими методов решен широкий класс задач, в основном, плоской теории упругости. Решению пространственных задач теории упругости посвящены монографии И.Н.Молчанова [58], В.И.Гуляева, В.А.Баженовой,
П.П.Лизуновой [28] и др. В работах Ю.Н.Шевченко, В.В.Пискуна и В.Г.Савченко [109] , А.Л.Квитка, П.П.Ворошко и С.Д.Бобрицкой и др. для исследования напряженно-деформированного состояния тел сплошной конфигурации использовались МКЭ и ВРМ.
В силу универсальности алгоритмов и быстрого развития средств вычислительной техники численные методы, по-видимому, дадут возможность исследовать широкий класс задач математической физики, в том числе и задачи пространственной теории упругости. Однако, пока применение этих методов при решении трехмерных задач связано с определенными трудностями [56] . Кроме того, для алгоритмов численных методов весьма желательна апробация на задачах, которые решаются точными методами.
Одним из основных методов построения точных решений пространственных задач теории упругости является метод Фурье, который основан на применении криволинейных ортогональных систем координат, допускающих разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа или Гельмгольца, соответственно для задач статики и динамики. Отметим, что решения, полученные методом Фурье, являются исходными при построении решений задач для тел конечных размеров, ограниченных пересекающимися координатными поверхностями. Такие задачи рассматривались в работах [21,52,68,87,88,127] и др. При решении задач методом разделения переменных используются различные представления решений уравнений равновесия через функции напряжений. С помощью таких представлений исходная задача приводится к решению дифференциальных уравнений более простой структуры. Каждая функция напряжения в этих уравнениях не "завязана" с другими, но в граничные условия она при этом входит совместно с остальными. Чаще других используется решение в форме Папковича-Нейбера, поскольку оно позволяет применять при решении граничных задач теории упругости классические решения теории потенциала, представляемые в форме рядов и интегралов, содержащих специальные функции. Причем решение считается точным, если коэффициенты указанных рядов и плотности интегралов определяются в явном виде,
А.Ф.Улитко предложил весьма эффективный метод исследования пространственных задач математической физики - метод собственных вектор-функций, который является векторным аналогом метода Фурье. Он заключается в построении на граничной поверхности тел собственных функций векторной структуры. С помощью этого метода были получены решения сложных трехмерных задач теории упругости [47,48,103] и др. Обоснование метода собственных вектор-функций и способ его применения даны в монографии [10I1 .
Метод разделения переменных дает возможность получить решения для задач лишь для ограниченного числа областей, поскольку в дифференциальных уравнениях для функций напряжений переменные разделяются лишь в определенных системах координат. Координатных систем, в которых переменные разделяются в трехмерном уравнении Лапласа, известно одиннадцать: эллипсоидальные и десять вырожденных систем. Кроме того, в тороидальной и бисферической системах переменные разделяются с точностью до общего множителя.
И хотя исследований по пространственным задачам теории упругости для канонических областей (допускающих решение краевых задач методом разделения переменных) в целом проведено довольно много, задачи для областей, описываемых в эллипсоидальной (невырожденной) и тороидальной системах координат,изучены недостаточно. Для этого есть ряд объективных причин. Так, эллипсоидальная система - одна из самых сложных и коэффициенты Ламе в ней имеют весьма громоздкий вид, что затрудняет построение точных решений задач. При прямом подходе к внешним задачам теории потенциала для эллипсоидальных областей приходится использовать громоздкий аппарат эллипсоидальных функций, что весьма непросто. В тороидальных координатах общий множитель, который появляется при разделении переменных в уравнении Лапласа, зависит от двух переменных, что вызывает дополнительные трудности при решении задач. Так,в теории потенциала решение задачи Неймана для тора не удается получить в замкнутом виде. Все эти обстоятельства безусловно сказываются при решении задач теории упругости. Поэтому представляет научный интерес как исследование основных граничных задач пространственной теории упругости для эллипсоидальных и тороидальных областей, так и решение новых задач концентрации напряжений на неоднородноетях упомянутой формы.
Рассмотрим обзор литературы по трехмерным задачам теории упругости для тел эллипсоидальной и тороидальной формы,поскольку данная работа посвящена этому классу задач. Отметим, что если свойства среды заранее не оговариваются, то она предполагается однородной и изотропной.
Пространственные задачи для сфероидальных (эллипсоид вращения) областей изучались рядом исследователей. Так,в работе [128] О.Тедоне получил простое решение общей задачи о равновесии эллипсоида вращения при заданных декартовых составляющих вектора перемещений. Для представления решения использовались семь гармонических функций. Постоянные интегрирования в решении определялись в замкнутом виде через коэффициенты разложений перемещений в ряды по функциям Лапласа.
С помощью решения внешних граничных задач напряженное состояние вблизи сжатой сфероидальной полости изучил Г.Нейбер [65]. В сплюснутых координатах им были получены в замкнутом виде решения задач о концентрации напряжений в окрестности сфероидальной полости для случаев одноосного растяжения, кручения, чистого сдвига и чистого изгиба на бесконечности. М.А.Садовский и Е.Стернберг [126] рассмотрели задачу о распределении напряжений вокруг вытянутой сфероидальной полости, когда на бесконечности действует растягивающее усилие, перпендикулярное к полярной оси сфероида. Случай осесимметричного растяжения на бесконечности пространства с вытянутой эллипсоидальной полостью изучен в работе С.Г.Шапиро [108] . Задача о жестком сфероидальном включении в теле, подвергнутом действию однородного осесимметричного поля напряжений на бесконечности, исследована Н.Миямото в работе [121], Р.Эдварсом в статье[117] изучался вопрос о концентрации напряжений в окрестности упругого сфероидального включения при произвольном однородном напряженном состоянии на бесконечности. Он определил и температурные напряжения, возникающие при однородном изменении температуры во всей среде. К.В.Соляник-Красса в работе [97] провел исследование осесимметричного напряженного состояния некоторых тел вращения - эллипсоида вращения, а также тела, содержащего замкнутую сфероидальную полость. Им получены решения таких задач: радиальное сжатие и изгиб плиты со сфероидальной полостью, растяжение стержня, содержащего малую сфероидальную полость и др. Распределение напряжений в бесконечном упругом теле с жестким сфероидальным включением, подверженном действию сосредоточенного момента, было изучено в f114]» Ю.Н.Подильчук [78,79] получил простое решение основных граничных задач для сплошного сфероида и пространства со сфероидальной полостью. Решение осесимметричной задачи теории упругости, а также некоторых задач термоупругости для полого эллипсоида вращения с помощью построения явного вида векторных гармоник на поверхности эллипсоида были даны в работах А.Ф.Улитко и Г.А.Куценко [48,49] . Те же авторы решили задачу о равновесии сфероида под действием сосредоточенных сил [47]* В работе [129] получено точное решение осесимметричной задачи двухосного растяжения полупространства, содержащего вытянутую сфероидальную полость. При построении решения использовались гармонические потенциалы Буссинеска, выражающиеся через сферические и цилиндрические функции в виде рядов и интегральных преобразований. В.С.Вольпертом[12]дано решение граничных задач для сфероида и сфероидальной полости в трансверсально-изот-ропной среде с помощью теории обобщенных аналитических функций.
Задачу о напряженном состоянии в окрестности трехосной эллипсоидальной полости для случая, когда главные оси поля напряжений на бесконечности совпадают с главными осями полости, впервые рассмотрели М.А.Садовский и Е.Штернберг [125]. При исследовании были использованы криволинейные эллипсоидальные координаты и решение выражалось через эллиптические функции Якоби этих координат. В процессе решения была получена система шестнадцати линейных алгебраических уравнений относительно пяти неизвестных постоянных, которая оказалась совместной. А.И.Лурье [53] предложил более простой путь решения этой задачи, основанный на использовании декартовой системы координат и позволяющий выразить решение через неполные интегралы первого и второго рода. Решение соответствующей задачи для случая упругого включения с использованием результатов [125] проведено К.Робинсоном в работе [124] . Задача о распределении напряжений в окрестности эллипсоидальной полости и упругом эллипсоидальном включении при произвольном однородном поле напряжений на бесконечности рассматривалась в [SO] и [111] , причем в последней работе был сформулирован метод эквивалентного включения, который в дальнейшем неоднократно использовался многими исследователями. В работе [81] рассматривалась задача о напряженном состоянии упругой среды, содержащей эллипсоидальную полость, в случае,когда компоненты тензора напряжений на достаточном удалении от полости являются произвольными линейными функциями координат. В некоторых случаях задачи для эллипсоидальных полостей служили исходными при получении посредством предельного перехода решений соответствующих задач для эллиптических трещин [52,81,113].
Исследование напряженно-деформированного состояния бесконечного изотропного пространства, содержащего эллипсоидальную полость, при постоянной температуре на поверхности полости было проведено в [ИЗ]. Решение задачи базируется на использовании аппарата эллипсоидальных функции Ламе и результатах работы [125] . Приближенный метод решения задачи для бесконечной упругой среды, содержащий два или более эллипсоидальных включения, дан в работе[123], причем существенно использование метода эквивалентного включения Эшелби.
В работе [30] с помощью метода эквивалентного включения приведено одно из доказательств теоремы о полиномиальной консервативности, устанавливающей связь между полем деформаций упругой анизотропной среды, содержащей упругое включение,с полем деформаций внутри самого включения.
В статье [5 7] изучались задачи для жестких включений, имеющих форму эллипсоидальной иглы, и диска малой толщины в произвольной анизотропной среде при действии однородного внешнего ПОЛЯ, приведены явные выражения для напряжений на поверхности абсолютно жестких диска и иглы в трансверсально-изотропной среде.
Однако, несмотря на существующие подходы к решению задач о возмущении напряженного состояния упругой среды с эллипсоидальным включением, до сих пор не исследованы задачи концентрации напряжений на полостях и включениях эллипсоидальной (трехосный эллипсоид) формы в основном поле напряжений полиномиальной структуры, начиная с полинома второго порядка. Не решены также задачи термо- упругости при неоднородном распределении температуры на поверхности эллипсоидальной полости. Эти вопросы исследуются в настоящей работе (гл.П).
Среди первых работ по задачам теории упругости для тороидальных тел следует упомянуть работу А.Вангерина [130] , в которой дано преобразование основных уравнений равновесия к изотермическим координатам вращения, т.е. ортогональным системам координат, возникающим в результате конформного отображения круга на некоторую плоскую область, с последующим вращением полученной области вокруг одной из осей симметрии. Общее решение уравнений равновесия было выражено через три гармонические функции. В качестве одного из примеров была рассмотрена граничная задача для кругового тора, которая привелась к решению бесконечных алгебраических уравнений весьма сложного вида. Исследования по их разрешимости не проводились. Другой важной работой была работа А.Ф.Захаревича о вращающемся торе [ 31] . В.А.Левшиным [55] с помощью выбора функций напряжений определенного вида рассмотрена задача о полом торе, подвергнутом внутреннему и внешнему давлению. В работе Г.В.Куценко [50] методом разложения по малому параметру изучена осесимметричная деформация полого тора, причем поставленная задача приведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. В работах [82,95] с помощью представления Папко-вича-Нейбера и применения обобщенных аналитических функций, соответственно, даны решения внутренней и внешней граничных задач теории упругости для осесимметрично нагруженного тора. Причем, в последней из работ приведены расчеты для пространства с тороидальной полостью, подвергнутому осесимметричному растяжению на бесконечности. С помощью рядов по степеням малого параметра в работе [51] рассмотрена задача о равновесии замкнутого тора под дейст- виєм нагрузки, несимметричной относительно плоскости его геометрической симметрии, изучена жесткость на скручивание относительно криволинейной оси тора.
С.П.Гавелей и Ф.П.Боротой разработан алгоритм расчета осе-симметричного напряженно-деформированного состояния тела вращения по некоторой итерационной схеме и применен к случаю осесимметри-чески загруженного тора [15] . Задача об осесимметричном упругом деформировании полого тора (на основе упомянутого алгоритма) рассматривалась в работе [16] . Некоторые задачи об осесимметричном напряженно-деформированном состоянии эллиптического гора и итерационный алгоритм их решения приведены в [17] . В работе [IS] применявшаяся теми же авторами схема расчета осесимметричных задач теории упругости тел вращения соответствующего класса распространяется на случай неосесимметричного нагружения и используется для изучения распределения напряжений в упругом массиве с тороидальной полостью.
Однако, несмотря на упомянутые исследования, до настоящего времени не получены аналитические решения трехмерных основных граничных задач теории упругости для тороидальных областей, не рассмотрены некоторые важные задачи концентрации напряжений на полостях и включениях тороидальной формы.
Целью данной работы является исследование первой и второй основных трехмерных граничных задач теории упругости для тороидальных и эллипсоидальных областей и изучение на их основе концентрации напряжений вблизи полостей и включений упомянутой формы при различных нагружениях.
На защиту выносятся:
I. Аналитические решения трехмерных граничных задач теории упругости для тороидальных и эллипсоидальных областей.
Решение новых задач концентрации напряжений,
Разработка алгоритмов и реализация их в виде программ на современных ЭВМ, позволяющих получить количественные результаты для исследуемого класса задач.
Анализ механических эффектов, связанных с распределением напряжений вблизи полостей и включений эллипсоидальной и тороидальной формы.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.
Во введении дается краткий обзор основных методов исследования пространственных задач теории упругости, а также полученных ранее результатов для тел эллипсоидальной и тороидальной формы, обосновывается актуальность рассмотрения изучаемого класса задач. Также формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится краткая аннотация всех глав диссертации.
В первой главе приведены основные соотношения линейной теории упругости и дана постановка основных граничных задач в ортогональных координатах ( 1,1). Записаны некоторые представления решений уравнений равновесия в перемещениях, а также приведены выражения нормальных и касательных напряжений в криволинейных ортогональных координатах через гармонический вектор и гармонический скаляр ( 1.2).
Во второй главе исследованы внешние граничные задачи теории упругости для эллипсоидальных областей. Решения внутренних задач при рассматриваемых в работе граничных условиях нетрудно получить с помощью гармонических полиномов. При решении граничных задач для внешних относительно трехосной эллипсоидальной поверхности областей использован подход, основанный на представлении Папко-вича-Нейбера и применение функций Морера ( 2.1). Усилия или проекции вектора перемещений на поверхности эллипсоидальной поверхности соответствуют полиномиальному (в декартовых координатах) виду поля напряжений в среде. С помощью такого подхода указанные задачи могут быть приведены к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений ( 2.2) и нет необходимости в использовании громоздкого аппарата эллипсоидальных функций. В качестве примера реализации общего построения получено решение задачи для случая, когда усилия или компоненты перемещений соответствуют полю напряжений в среде второго порядка ( 2.3). На основе полученных решений граничных задач рассмотрены конкретные задачи концентрации напряжений. Так, изучено распределение напряжений вблизи эллипсоидальной полости ( 2.3) или упругого эллипсоидального включения ( 2.4-) в основном поле напряжений (2.3.25), которое имеет квадратичный вид и возникает при сдвиге кругового цилиндра. Предельным переходом получен случай жесткого включения { 2.4).
С помощью того же аппарата функций построено решение термоупругой задачи для среды с эллипсоидальной полостью, когда на поверхности полости температура является полиномом второго порядка декартовых координат, а усилия отсутствуют ( 2.5).
Расчет напряженного состояния упругих и термоупругих задач, упомянутых выше, с помощью предложенного подхода требуют вычисления некоторых основных интегралов. Свойства этих интегралов и рекуррентные соотношения между ними, позволяющие сократить объем вычислений, в качестве приложения даны в конце главы ( 2.6).
Третья глава посвящена рассмотрению задач теории упругости для тороидальных областей. Построены решения первой и второй основных трехмерных граничных задач для внутренней и внешних областей по отношению к поверхности кругового тора ( 3.2 и 3.3). Предполагается, что нагрузки или перемещения на тороидальной по- верхности представимы тригонометрическими рядами по двум переменным. При нахождении решений использовались представление Папкови-ча-Нейбера и представление вида (1.2.II), что позволило значительно упростить структуру выражений для полученных напряжений. Окончательно . для определения неизвестных коэффициентов получены бесконечные системы линейных алгебраических уравнений с матрицами ленточного типа. Показано, что в исходной постановке первая и вторая основные граничные задачи "расщепляются" на четыре независимых задачи, что позволяет упростить процесс их решения.
Полученные решения основных граничных задач использовались при исследовании распределения напряжений в упругой среде, содержащей тороидальную полость или жесткое включение. Рассматривались задачи концентрации напряжений у неоднородностей указанного вида в случае чистых кручения ( 3.4) и растяжения ( 3.5) бесконечной упругой среды. Для задачи о растяжении упругой среды, содержащей тороидальную полость, проведено сравнение с результатами других авторов.
Решения всех краевых задач теории упругости, приведенных в диссертационной работе, получены с помощью представлений решений уравнений Ламе через гармонические функции.
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается замкнутым видом решений ряда рассматриваемых задач и практической сходимостью числовых данных в других случаях, а также высокой точностью удовлетворения граничных условий и сравнением в частных случаях с известными результатами.
В заключении содержатся краткие выводы по диссертационной работе.
В конце работы приведен библиографический список, включающий 130 наименований литературных источников советских и зарубежных авторов.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
I. На семинарах кафедры математической физики Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко (Киев,і98І, 1984). П. На семинарах отдела реологии Института механики АН УССР (Киев,1982-1984). Ш# На семинаре кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого государственного университета (Донецк, 1984). ІУ.На заседании Проблемного совета по механике деформируемого твердого тела при Киевском государственном университете (Киев,1984).
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [37,73,74] . При этом соавтору работ [73,74] принадлежит постановка задач и участие в анализе полученных результатов, а диссертанту - аналитическое решение поставленных задач, разработка численных алгоритмов и реализация их в виде программ на современных ЭВМ, а также анализ механических эффектов, имеющих место для рассматриваемого класса задач.
В заключение выражаю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Юрию Николаевичу Подильчуку за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении настоящей работы.
Некоторые представления решений уравнений равновесия в перемещениях
В процессе эксплуатации сооружения и конструкции подвергаются механическим, температурным и другим видам воздействий, поэтому при проектировании необходим их расчет на прочность и оценка надежности. Прочностные характеристики изделий можно получить на основании анализа напряженно-деформированного состояния. Однако, проведение такого анализа усложняется тем, что ряд элементов конструкций имеет сложную геометрическую форму, а также содержит дефекты (пустоты, неоднородности). Кроме того, иногда приходится нарушать сплошность и однородность материала различного рода отверстиями, полостями, включениями и т.д. в силу технологических и конструктивных соображений. Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что такие разрывы однородности вызывают местное увеличение (концентрацию) напряжений, которая бывает весьма значительна и существенно снижает несущую способность изделий.
Исследования напряженно-деформируемого состояния тел в рамках трехмерной теории упругости начались еще в XIX веке и к настоящему времени известны различные методы исследования задач и получены многие важные результаты в данной области.Пространственным задачам посвящены монографии А.Я.Александрова и Ю.И.Соловьева [2] ; В.Т.Гринченко [23] ; А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [2В]; М.А.Колтунова, Ю.Н.Васильева и В.А.Чёрных [45]; А.С.Космодамианского и В.А.Шал-дырвана [42]; В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелии, М.О.Башелейшвили и Т.Г.Бурчуладзе f /6]; А.И.Лурье [S2.]; Ю.Н.Подильчука [81] » А.Ф.Улитко[101]; М.К.Кассира и Ж.С.Сига [11$] и др., а также отдельные главы и разделы многих монографий других авторов.
По отдельным направлениям развития трехмерной теории упругости написан ряд обзорных работ: Б.Л.Абрамян и А.Я.Александров [1] ; Й.Й.Ворович [14] ; А.Н.Гузь, В.Д;Кубенко и М.А.Черевко [25] ; Г.Миямото [122]; Ю.Н.Немиш [61] ; Г.Нейбер и Г.Хан [66] ; В.К.Прокопов [86] ; В.Л.Рвачев [89] ; А.Ф.Улитко [102] и др. Особого внимания заслуживает обзорная статья А.И.Каландии, А.И.Лурье, Г.Ф.Манджавидзе, В.К.Прокопова и Я.С.Уфлянда [Ъ2]\ в которой проведен объемный анализ основных методов и важнейших результатов ПО многим направлениям развития линейной теории упругости.
Ряд методов исследования трехмерных задач теории упругости основывается на представлениях решений однородных уравнений Ламе с помощью гармонических и бигармонических функций. Такие представления даны Буссинеском [115], Кельвиным и Тайтом [119] и др. Б.Г.Галеркин выразил общее решение однородных уравнений равновесия для изотропного тела через три бигармонических функции. В работах П.Ф.Папковича [6&] и Г.Нейбера [65] предложена форма решения, содержащая четыре гармонических функции. Полнота решения Папковича-Нейбера была доказана Р.Д.Миндлиным [120]. Вопрос о возможности уменьшения числа гармонических функций до трех был рассмотрен в работах М.Г.Слободянского [93,94] , Р.Юбенкса и Е.Стерн-берга [112]. Различные формы решений уравнений равновесия для изотропной среды предложили также В.И.Блох f6] , В.Д.Деев [29] , Ю.А.Крутков [ЧЧ] , К.В.Соляник-Красса [96] , М.Г.Слободянский[93,3VJ и др.
С помощью функций комплексного переменного и интегралов типа Коши в известных монографиях Г.В.Колосова [40] и И.И.Мусхелишви-ли [60] разработан эффективный метод решения плоских граничных задач теории упругости для односвязных и многосвязных областей, ставший впоследствии классическим. И хотя этот метод непосредственно не применим к пространственным задачам теории упругости, аппарат функций комплексного переменного используется и при решении задач данного класса. Так в работах Г.Н.Положего [83,84] предложен метод решения осесимметричных пространственных задач теории упругости, связанный с использованием двух Р -аналитических функций и являющийся аналогом метода Колосова-Мусхелишвили. Указанным подходом в работах Г.Н.Положего, А.А.Капшивого и др. [33,34,85,106] получены решения сложных задач осесимметричной теории упругости. Другой метод решения осесимметричных и неосесим-метричных задач теории упругости для тел вращения, основанный на использовании свойств обобщенных аналитических функций,развит А.Я.Александровым [3,4] . Этим методом в работах А.Я.Александрова, В.С.Вольперта, Ю.И.Соловьева решены задачи теории упругости для изотропной и трансверсально-изотропной сред [2,11,12,95] и др.
О напряженном состоянии упругой среды возле эллипсои дальной полости при полиномиальной структуре основного поля напряжений
Еще одним методом исследования трехмерных задач теории упругости является метод интегральных уравнений, с помощью которого доказаны теоремы существования и единственности решения краевых задач статики и установившихся колебаний упругих тел. Этот метод часто служит основой для разработки алгоритмов численного решения задач теории упругости. Методу интегральных уравнений посвящена известная монография В.Д.Купрадзе, Т.Г.Гегелии, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчуладзе [4в] , а также работы В.Д.Купрадзе [45], А.И.Вайн-динера и В.В.Москвитина [8] и др. На основе интегральных уравнений в монографии В.З.Партона и П.И.Перлина Г 71} проведено исследование напряженного состояния многосвязных и кусочно односвязных тел, тел с разрезами. Обзоры по современному состоянию метода интегральных уравнений проведены в трудах Ю.В.Верюжского [10] , П.З.Партона и П.И.Перлина [70] и др. Находит применение в задачах пространственной теории упругости и метод интегральных преобразований. С помощью соответствующего интегрального преобразования (Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мелера-Фока и др.) переходим к более простой задаче в пространстве образов. Основная трудность при решении задач таким подходом заключается в нахождении формулы обращения. Достаточно обширная библиография работ по использованию этого метода в задачах теории упругости приведена в известной монографии Я.С.Уфлянда [104] Необходимо отметить и высокую эффективность при решении пространственных задач теории упругости (особенно контактных) метода Я -функций В.Л.Рвачева. Основы и способы применения этого метода, позволяющего на аналитическом уровне точно учесть содержащуюся в постановке краевой задачи геометрическую информацию, и, предполагающего наряду с ним использование одного из вариационных или других методов, изложены в монографиях [90,91]
При исследованиях трехмерных задач теории упругости для неканонических областей применяется и метод возмущений формы границы. Так, в монографии А.Н.Гузя и Ю.Н.Немиша [26] и в работах[27,62-64, [107] и др., а также в статьях А.Д.Коваленко и В.Г.Карнаухова [38, 39] » в которых разработан другой вариант этого метода, построены решения пространственных задач теории упругости для областей, ограниченных поверхностями, близкими к цилиндрическим и сферическим. Еще один приближенный подход на основе метода возмущений к трехмерным задачам теории упругости для тел, близких к сферическим, предложил С.К.Датта [116]. В работах [76,77] разработан приближенный метод решения пространственных задач теории упругости для ортогональных областей, близких к эллипсоиду вращения.
Идея сведения решения граничной задачи в трехмерной постановке к последовательному решению двумерных задач привела к созданию и использованию теории разложений по системе функций. При этом решение пространственной задачи представляется в виде ряда или асимптотического разложения по системе базисных функций относительно координаты, вдоль которой протяженность тела значительно меньше его геометрических размеров в других координатных направлениях. Среди работ по данному направлению следует отметить труды й.Н.Ве-куа [91 І й.й.Воровича, В.М.Александрова, В.А.Бабешко [13J , Н.А.Кильчевского [36] , А.С.Космодамианского [Щ], Ш,Ю.Хот[105] и др.
При исследованиях напряженно-деформированного состояния тел сложной конфигурации применение аналитических методов связано с весьма значительными математическими трудностями. Поэтому, учитывая расширение возможностей вычислительной техники, в последнее время стали широко использовать различные численные методы (конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностные и др.). Развиваются также комбинированные методы, основанные на синтезе численных и экспериментальных. Для решения граничной задачи в перемещениях часто применяются метод конечных разностей (МКР), вариационно-разностный метод (BMP), метод дискретной ортогонализации С.К.Годунова, метод конечных элементов (МКЭ) и др. Метод дискретной ортогонализации получил дальнейшее развитие и применение для расчета оболочечных конструкций с переменными геометрическими и упругими характеристиками в трудах Я.М.Григоренко[21] , Я.М.Гри-горенко, А.Т.Василенко, Е.И.Беспаловой и др. [22] , Н.Д.Панкратовой [72] .
Весомый вклад в развитие методов конечных разностей и применение их к задачам математической физики внесли Г.Й.Марчук, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов, Н.Н.Яненко и др. С помощью развитых ими методов решен широкий класс задач, в основном, плоской теории упругости. Решению пространственных задач теории упругости посвящены монографии И.Н.Молчанова [58], В.И.Гуляева, В.А.Баженовой, П.П.Лизуновой [28] и др. В работах Ю.Н.Шевченко, В.В.Пискуна и В.Г.Савченко [109] , А.Л.Квитка, П.П.Ворошко и С.Д.Бобрицкой и др. для исследования напряженно-деформированного состояния тел сплошной конфигурации использовались МКЭ и ВРМ.
Температурные напряжения в среде с эллипсоидальной полостью
В силу универсальности алгоритмов и быстрого развития средств вычислительной техники численные методы, по-видимому, дадут возможность исследовать широкий класс задач математической физики, в том числе и задачи пространственной теории упругости. Однако, пока применение этих методов при решении трехмерных задач связано с определенными трудностями [56] . Кроме того, для алгоритмов численных методов весьма желательна апробация на задачах, которые решаются точными методами.
Одним из основных методов построения точных решений пространственных задач теории упругости является метод Фурье, который основан на применении криволинейных ортогональных систем координат, допускающих разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа или Гельмгольца, соответственно для задач статики и динамики. Отметим, что решения, полученные методом Фурье, являются исходными при построении решений задач для тел конечных размеров, ограниченных пересекающимися координатными поверхностями. Такие задачи рассматривались в работах [21,52,68,87,88,127] и др. При решении задач методом разделения переменных используются различные представления решений уравнений равновесия через функции напряжений. С помощью таких представлений исходная задача приводится к решению дифференциальных уравнений более простой структуры. Каждая функция напряжения в этих уравнениях не "завязана" с другими, но в граничные условия она при этом входит совместно с остальными. Чаще других используется решение в форме Папковича-Нейбера, поскольку оно позволяет применять при решении граничных задач теории упругости классические решения теории потенциала, представляемые в форме рядов и интегралов, содержащих специальные функции. Причем решение считается точным, если коэффициенты указанных рядов и плотности интегралов определяются в явном виде,
А.Ф.Улитко предложил весьма эффективный метод исследования пространственных задач математической физики - метод собственных вектор-функций, который является векторным аналогом метода Фурье. Он заключается в построении на граничной поверхности тел собственных функций векторной структуры. С помощью этого метода были получены решения сложных трехмерных задач теории упругости [47,48,103] и др. Обоснование метода собственных вектор-функций и способ его применения даны в монографии [10I1 .
Метод разделения переменных дает возможность получить решения для задач лишь для ограниченного числа областей, поскольку в дифференциальных уравнениях для функций напряжений переменные разделяются лишь в определенных системах координат. Координатных систем, в которых переменные разделяются в трехмерном уравнении Лапласа, известно одиннадцать: эллипсоидальные и десять вырожденных систем. Кроме того, в тороидальной и бисферической системах переменные разделяются с точностью до общего множителя.
И хотя исследований по пространственным задачам теории упругости для канонических областей (допускающих решение краевых задач методом разделения переменных) в целом проведено довольно много, задачи для областей, описываемых в эллипсоидальной (невырожденной) и тороидальной системах координат,изучены недостаточно. Для этого есть ряд объективных причин. Так, эллипсоидальная система - одна из самых сложных и коэффициенты Ламе в ней имеют весьма громоздкий вид, что затрудняет построение точных решений задач. При прямом подходе к внешним задачам теории потенциала для эллипсоидальных областей приходится использовать громоздкий аппарат эллипсоидальных функций, что весьма непросто. В тороидальных координатах общий множитель, который появляется при разделении переменных в уравнении Лапласа, зависит от двух переменных, что вызывает дополнительные трудности при решении задач. Так,в теории потенциала решение задачи Неймана для тора не удается получить в замкнутом виде. Все эти обстоятельства безусловно сказываются при решении задач теории упругости. Поэтому представляет научный интерес как исследование основных граничных задач пространственной теории упругости для эллипсоидальных и тороидальных областей, так и решение новых задач концентрации напряжений на неоднородноетях упомянутой формы.
Рассмотрим обзор литературы по трехмерным задачам теории упругости для тел эллипсоидальной и тороидальной формы,поскольку данная работа посвящена этому классу задач. Отметим, что если свойства среды заранее не оговариваются, то она предполагается однородной и изотропной.
Первая основная краевая задача для тороидальных областей
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы.
Во введении дается краткий обзор основных методов исследования пространственных задач теории упругости, а также полученных ранее результатов для тел эллипсоидальной и тороидальной формы, обосновывается актуальность рассмотрения изучаемого класса задач. Также формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится краткая аннотация всех глав диссертации.
В первой главе приведены основные соотношения линейной теории упругости и дана постановка основных граничных задач в ортогональных координатах ( 1,1). Записаны некоторые представления решений уравнений равновесия в перемещениях, а также приведены выражения нормальных и касательных напряжений в криволинейных ортогональных координатах через гармонический вектор и гармонический скаляр ( 1.2).
Во второй главе исследованы внешние граничные задачи теории упругости для эллипсоидальных областей. Решения внутренних задач при рассматриваемых в работе граничных условиях нетрудно получить с помощью гармонических полиномов. При решении граничных задач для внешних относительно трехосной эллипсоидальной поверхности областей использован подход, основанный на представлении Папко-вича-Нейбера и применение функций Морера ( 2.1). Усилия или проекции вектора перемещений на поверхности эллипсоидальной поверхности соответствуют полиномиальному (в декартовых координатах) виду поля напряжений в среде. С помощью такого подхода указанные задачи могут быть приведены к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений ( 2.2) и нет необходимости в использовании громоздкого аппарата эллипсоидальных функций. В качестве примера реализации общего построения получено решение задачи для случая, когда усилия или компоненты перемещений соответствуют полю напряжений в среде второго порядка ( 2.3). На основе полученных решений граничных задач рассмотрены конкретные задачи концентрации напряжений. Так, изучено распределение напряжений вблизи эллипсоидальной полости ( 2.3) или упругого эллипсоидального включения ( 2.4-) в основном поле напряжений (2.3.25), которое имеет квадратичный вид и возникает при сдвиге кругового цилиндра. Предельным переходом получен случай жесткого включения { 2.4).
С помощью того же аппарата функций построено решение термоупругой задачи для среды с эллипсоидальной полостью, когда на поверхности полости температура является полиномом второго порядка декартовых координат, а усилия отсутствуют ( 2.5).
Расчет напряженного состояния упругих и термоупругих задач, упомянутых выше, с помощью предложенного подхода требуют вычисления некоторых основных интегралов. Свойства этих интегралов и рекуррентные соотношения между ними, позволяющие сократить объем вычислений, в качестве приложения даны в конце главы ( 2.6).
Третья глава посвящена рассмотрению задач теории упругости для тороидальных областей. Построены решения первой и второй основных трехмерных граничных задач для внутренней и внешних областей по отношению к поверхности кругового тора ( 3.2 и 3.3). Предполагается, что нагрузки или перемещения на тороидальной по верхности представимы тригонометрическими рядами по двум переменным. При нахождении решений использовались представление Папкови-ча-Нейбера и представление вида (1.2.II), что позволило значительно упростить структуру выражений для полученных напряжений. Окончательно . для определения неизвестных коэффициентов получены бесконечные системы линейных алгебраических уравнений с матрицами ленточного типа. Показано, что в исходной постановке первая и вторая основные граничные задачи "расщепляются" на четыре независимых задачи, что позволяет упростить процесс их решения.
Полученные решения основных граничных задач использовались при исследовании распределения напряжений в упругой среде, содержащей тороидальную полость или жесткое включение. Рассматривались задачи концентрации напряжений у неоднородностей указанного вида в случае чистых кручения ( 3.4) и растяжения ( 3.5) бесконечной упругой среды. Для задачи о растяжении упругой среды, содержащей тороидальную полость, проведено сравнение с результатами других авторов.
Решения всех краевых задач теории упругости, приведенных в диссертационной работе, получены с помощью представлений решений уравнений Ламе через гармонические функции.
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается замкнутым видом решений ряда рассматриваемых задач и практической сходимостью числовых данных в других случаях, а также высокой точностью удовлетворения граничных условий и сравнением в частных случаях с известными результатами. В заключении содержатся краткие выводы по диссертационной работе. В конце работы приведен библиографический список, включающий 130 наименований литературных источников советских и зарубежных авторов.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: I. На семинарах кафедры математической физики Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко (Киев,і98І, 1984). П. На семинарах отдела реологии Института механики АН УССР (Киев,1982-1984). Ш# На семинаре кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого государственного университета (Донецк, 1984).
На заседании Проблемного совета по механике деформируемого твердого тела при Киевском государственном университете (Киев,1984).
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [37,73,74] . При этом соавтору работ [73,74] принадлежит постановка задач и участие в анализе полученных результатов, а диссертанту - аналитическое решение поставленных задач, разработка численных алгоритмов и реализация их в виде программ на современных ЭВМ, а также анализ механических эффектов, имеющих место для рассматриваемого класса задач.
В заключение выражаю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Юрию Николаевичу Подильчуку за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении настоящей работы.
