Двумерные задачи теории упругости прямолинейно-анизотропной среды с вырезами и включениями Задворняк Михаил Иванович

Содержание к диссертации

Введение

1. Продольный сдвиг прямолинейно-анизотропной срещы с вырезами и включениями . 9

1.1. Основные предпосылки и уравнения 9

1.2. Общий вид функции f3(25) для конечной многосвязной области 17

1.3. Общий вид функции %(^) в случае бесконечной многосвязной области 19

1.4. Решение первой основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью 22

I.4.1. Формулы для вычисления напряжений 27

1.5. Ортотропная среда с цилиндрической полостью прямоугольного поперечного сечения 30

1.6. Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения 36

1.7. Ортотропное призматическое тело квадратного поперечного сечения 40

1.8. Решение второй основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью 45

1.9. Ортотропная среда с абсолютно жестким цилиндри ческим включением прямоугольного поперечного сечения 47

1.10. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрическим анизотропным включением 50

1.11. Продольный сдвиг ортотропной среды с упругим ортотропным включением 55

1.11.1. Ортотропная среда с прямоугольным цилиндрическим ортотропным включением 57

1.11.2. Ортотропная среда с трапецеидальным цилиндрическим ортотропным включением 59

2. Решение краевых задач о продольном сдвиге при помощи интегральных уравнений 62

2.1. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрической полостью. Первая краевая задача 62

2.2. Ортотропная среда с цилиндрической полостью квадратного поперечного сечения 70

2.3. Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения. Первая краевая задача 74

2.4. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрической полостью. Вторая краевая задача 79

2.5. Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения. Вторая краевая задача 85

2.6. Продольный сдвиг ортотропной среды с абсолютно жестким цилиндрическим включением квадратного поперечного сечения 86

3. Плоская задача теории упругости анизотропного тела с полостями и включениями 90

3.1. Основные соотношения плоской теории упругости 90

3.2. Общий вид функций $() и $,() для многосвязной области 96

3.3. Простейшие примеры упругого равновесия анизотропной пластины 101

3.3.1. Всестороннее растяжение 101

3.3.2. Чистый сдвиг 104

3.3.3. Растяжение-сжатие 105

3.4. Первая основная задача для анизотропного тела с криволинейным вырезом 106

3.4.1. Растяжение ортотропной пластины с прямоугольным отверстием III

3.4.2. Влияние закругления углов на концентрацию напряжений в пластине с прямоугольным отверстием 115

3.4.3. Сдвиг ортотропной пластины с квадратным отверстием 119

3.5. Вторая основная задача для анизотропного тела с криволинейным вырезом 119

3.5.1. Ортотропная пластина с жестким прямо угольным включением 122

3.6. Анизотропная пластина с упругим анизотропным включением 125

3.7. Растяжение ортотропной пластины с упругим ортотропным включением 133

3.7.1. Ортотропная пластина с прямоугольным включением 133

3.7.2. Ортотропная пластина с треугольным включением 135

3.7.3. Ортотропная пластина с трапецеидальным включением 136

4. Изгиб анизотропных пмстин с вырезами и включениями 141

4.1. Определяющие соотношения 141

4.2. Общий вид функций (Pd(Zd) и

4.3. Изгиб моментами пластины с криволинейным отверстием. Первая граничная задача 152

4.3.1. Изгиб ортотропной пластины с прямоуголь ным отверстием 156

4.4. Изгиб моментами анизотропной пластины с криволинейным отверстием. Вторая граничная задача 160

4.4.1. Ортотропная пластина с жестким прямоугольным включением 162

4.5. Изгиб анизотропной пластины с упругим анизотропным включением 164

4.6. Ортотропная пластина с упругим ортотропным включением 170

Основные результаты работы и краткие выводы 177

Литература 179

Приложение 194

• Решение первой основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью
• Решение второй основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью
• Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения. Первая краевая задача
• Простейшие примеры упругого равновесия анизотропной пластины

Введение к работе

В современной промышленности широкое применение находят композиционные материалы, используемые для изготовления различных элементов несущих конструкций, содержащих вырезы (цилиндрические полости), инородные включения. В результате силовых воздействий в таких элементах конструкций возникают неравномерные поля напряжений, без детального изучения которых невозможно обеспечить прочность и надежность работы всей конструкции.

Первые исследования в этом направлении связаны с именами С.Г.Лехницкого, Г.Н.Савина, С.Г.Михлина, Д.И.Шермана [46-47, 75, 94, II3-II4] и другими. С.Г.Лехницкий получил общие решения уравнений плоской задачи теории упругости анизотропной среды и изгиба тонких анизотропных пластин, представив их через комплексные потенциалы обобщенных комплексных переменных. Д.Й.Шерман свел плоскую задачу теории упругости анизотропного тела к системе интегральных уравнений Фредгольма.

Подробный обзор ранних результатов по теории упругости анизотропного тела, полученных советскими учеными, приводится в работе М.М.Фридмана [ПО].

В ряде последующих работ С.Г.Лехницкого [44], Г.Н.Савина [9б] и других исследователей Г18, 51-52, 103] рассматривались конкретные задачи определения напряженного состояния в ортотроп-ной пластине с круговым и эллиптическим отверстием. Воздействие сосредоточенных сил и пар на анизотропную пластину с эллиптическим отверстием и таким же изотропным (жестким) включением рассмотрено в [16-17, 971. Влияние упругого анизотропного эллиптического включения на распределения напряжений в анизотропной пластине изучено в [49].

Дальнейшее исследование концентрации напряжений в неограниченных анизотропных пластинах преимущественно возле эллиптических (круговых) отверстий приводится в работах [8-9, 77-78, 81, 91, 98].

Определение напряженного состояния в анизотропной пластине возле отверстия, отличного от кругового и эллиптического, представляет значительные трудности. Для таких задач С.Г.Лехницкий [45, 48] разработал метод малого параметра, позволяющий в случае плоской задачи привести ее к решению ряда задач для пластины с эллиптическим (круговым) отверстием. Этот метод успешно применен Б.И.Ермолаевым [19] к задачам об изгибе анизотропной плиты.

А.С.Космодамианский [34] предложил приближенный метод, основывающийся на получении приближенных значений функций, конформно отображающих внешность единичной окружности на внешность криволинейных контуров в рассматриваемых областях.

В настоящее время известно много публикаций в отечественных и зарубежных журналах [1-2, 4-5, 7, 14-15, 22-25, 29, 32, 37, 54-58, 67-70, 73, 80, 83, 93, 101, 108, 119, 123-125, 127-129, 134] , посвященных различным вопросам теории упругости и термоупругости анизотропного тела, задачи изгиба тонких анизотропных плит, разработке новых методик их решения, изучению влияния анизотропии материала на напряженное состояние. Многочисленные результаты систематизированы в монографиях [3, б, 13, 30-31, 33, 42, 50, 82, 85, 89, 95, 99, 106, III, 115].

Плоская задача для многосвязных анизотропных пластин рассмотрена А.С.Космодамианским и Н.М.Нескородевым [40-41]. Такого рода задачи В.Е.Кацом и Л.А.Филыптинским [28], путем использования интегральных представлений для комплексных потенциалов, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.

В монографии [Зб] изложены методы определения температурных напряжений в многосвязных средах, основанные на успешном применении полиномов Фабера.

В работах [12, 26, 39, 71, 74, 79, 84, 87, 112, ІІ6-П8, 120-122, 126, 130, 132-133] исследовано влияние упругих (жестких) включений на распределения напряжений в ортотропной (изотропной) плоскости и в полуплоскости. Задача изгиба конечной анизотропной пластины с криволинейным упругим включением рассмотрена в [38].

И.А.Прусов [88-90] обобщил метод линейного сопряжения на основные граничные задачи о нахождении напряжений и температурных полей в анизотропной полуплоскости, в плоскости, разрезанной на отрезках прямой, в круге и в плоскости с эллиптическим отверстием.

Л.А.Фильштинский [109] методами теории функций комплексного переменного свел задачу о продольном сдвиге анизотропной среды с разрезами к сингулярным интегральным уравнениям.

Исследованию поля напряжений в анизотропных телах (кручение, плоская задача, изгиб пластин) посвящена монография В.С.Саркисяна [100].

Температурные напряжения в анизотропных пластинах возле некруговых отверстий с помощью метода малого параметра исследованы в работе А.И.Уздалева [107].

Ввиду значительных математических трудностей, возникающих при решении задач о напряженном состоянии анизотропной пластины (тела) с криволинейным вырезом, отличным от кругового и эллиптического, такие задачи, как видно из приведенного обзора, решались в основном приближенными методами, в частности, методом малого параметра. Поэтому проблема построения эффективного аналитического решения задач о концентрации напряжений возле отверстий и упругих включений сложного очертания сохраняет свою актуальность и представляет теоретический и прикладной интерес. Этой теме посвящена настоящая работа.

В диссертационной работе предлагается аналитический алгоритм решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с криволинейным вырезом (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин) и аналогичных задач для тела с упругим анизотропным включением. Предполагается, что возмущение поля напряжений, вызванное наличием выреза (включения), не достигает внешней поверхности тела. Применение аппарата аналитических функций обобщенного комплексного переменного позволило свести рассматриваемые задачи к конечным системам линейных алгебраических уравнений, порядок которых зависит от наибольшей отрицательной степени в разложении отображающей функции.

Данная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

В первой главе диссертации приведены основные соотношения и уравнения антиплоской задачи для прямолинейно-анизотропного тела. Исследуется разрешимость основных краевых задач о продольном сдвиге анизотропного тела и структура функций напряжений для конечной и бесконечной многосвязных областей.

Решены задачи о продольном сдвиге анизотропного тела, содержащего цилиндрическую полость, и аналогичные задачи для тела сплошного поперечного сечения. Рассмотрен продольный сдвиг анизотропного тела с упругим анизотропным цилиндрическим включением. Задачи сведены к системам линейных алгебраических уравнений. Дан численный анализ напряженного состояния в ортотропной среде вблизи цилиндрической полости (включения) трапецеидального и прямоугольных (с различным отношением сторон прямоугольника) поперечных сечений. Исследуется напряженное состояние цилиндрического ортотропного тела сплошного квадратного поперечного сечения.

Во второй главе задачи о продольном сдвиге на основе применения теории потенциала сведены к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с регулярными ядрами. При этом решение первой основной задачи продольного сдвига ищется в виде логарифмического потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, а решение второй основной задачи - в виде потенциала двойного слоя. На ряде конкретных примеров для ортотропной среды с квадратной цилиндрической полостью (абсолютно жестким включением) и ортотропной среды сплошного квадратного поперечного сечения приведено сравнение численных результатов, полученных с помощью теории потенциала и теории функций комплексного переменного. Кривые распределения напряжений, полученные двумя разными методами, практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали.

В третьей главе диссертации методика, примененная для решения задач о продольном сдвиге, обобщена на плоские задачи для анизотропного тела с полостями и упругими включениями. Получен общий вид комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Все коэффициенты, входящие в главные части представлений комплексных потенциалов, выражены явными формулами.

Граничные задачи сформулированы в виде интегральных соотношений, содержащих произвольную функцию, голоморфную в рассматриваемых областях.

Общие решения первой и второй основных задач иллюстрируются численными примерами о растяжении ортотропной пластины с треугольным, трапецеидальным и прямоугольными отверстиями. Исследуется влияние анизотропии материала, величины закругления углов, наличия упругого (жесткого) включения на концентрацию напряжений в пластине с отверстием.

Проведено исследование упругого равновесия многосвязной прямолинейно-анизотропной пластины при действии элементарных видов нагрузки (всестороннее ратяжение, чистый сдвиг, растяжение-сжатие) .

Четвертая глава работы посвящена решению задач изгиба тонких анизотропных пластин с криволинейным вырезом и упругим анизотропным включением. Рассмотрены первая основная задача, когда на контуре отверстия в пластине заданы изгибающие моменты и перерезывающие силы, и вторая основная задача при заданных прогибах и углах наклона изогнутой поверхности пластины. Задачи сведены к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений.

Решена задача изгиба анизотропной пластины с упругим анизотропным включением в предположении, что главные направления упругости пластины и включения составляют между собой произвольный угол. Ряд задач, об изгибе ортотропной пластины, ослабленной треугольным, трапецеидальным и прямоугольными отверстиями (упругими ортотропными включениями) доведены до числа и графиков.

Общий анализ полученных в работе результатов дан в выводах. Работа сопровождается 54 рисунками. В приложении приведены 3 таблицы, содержащие числовой материал, используемый при решении конкретных задач.

Предложенная методика и результаты проведенных исследований используются при расчетах и проектировании конструкций в КТВ г. Хотьково, что подтверждается приложенным актом.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

I. Методика решения двумерных задач теории упругости прямолинейно-анизотропного тела с вырезами и упругими анизотропными включениями (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин).  

2. Решение задач о продольном сдвиге однородного анизотропного тела с полостью и тела сплошного конечного сечения с применением методов теории потенциала.

3. Распределение поля напряжений в ортотропной среде вблизи криволинейных вырезов и упругих включений (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб тонких пластин).

4. Результаты численного анализа задач и выводы.

Основные результаты диссертации изложены в печатных статьях [20-21, 59-63, 65] и докладывались на Первой Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1983), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, 1983), на научных конференциях Львовского политехнического института (1979-1983), на научных семинарах кафедре строительной механики Львовского политехнического института (1984), кафедры механики Львовского госуниверситета (1984), отдела механики неоднородного тела и отдела математических методов механики разрушения ИПГОМ АН УССР (Львов, 1984), отдела прочности композиционных материалов Физико-механического института АН УССР (Львов, 1984).

Выражаю глубокую благодарность моему учителю, профессору Т.Л.Мартыновичу, за оказанную помощь при выполнении настоящей работы.  

Решение первой основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью

Пусть однородная прямолинейно-анизотропная среда, находящаяся в состоянии продольного сдвига относительно координатной плоскости хОи , занимает в этой плоскости область /5 с отверстием, контур которого L описывается параметрическим уравнением вида (рис. 1.5) При аналитическом решении за- О О О О О О дач область /? будем рассмат- ривать бесконечной (возмущение напряженного состояния тела, 0 обусловленное наличием полос ти, не достигает его внешней границы).

На внутренней грани це L области /5 заданы ка сательные напряжения %z(s) » а на внешней границе области Рис. 1.5 $ , удаленной в бесконечность - постоянные касательные напряжения: Я Г =Г cos lb , TS t sitift (рис. 1.5). Определение поля напряжений в области /S сводится к нахож-дениго функции %Czj) , аналитической в области Р , за исключением бесконечно удаленной точки, в которой она имеет простой конформно отобразим внешность единичной окружности Y (\С\ 1) на внешность контура L области /S , описываемого уравнением (1.59). Уравнение контура L области J3 , согласно выражений (I.I8) и (1.59), принимает вид Функцию Щ&у) и произвольную голоморфную Функцию F(z) , используемую в интегральном соотношении (1.60), представим вне единичной окружности Ґ в виде степенных рядов по переменным причем на единичной окружности У переменные 3 и Г при-нимают одно и то же значение б= е Из соотношения (1.64) находим На основе выражений (1.66), (1.68) получаем на границе L области при Z3- t3 , ,- б следуюшее представление Внесем выражения (1.67) и (1.69) в граничное условие (1.73) и выполним интегрирование вдоль контура J , учитывая при этом произвольность функции (1.67). В результате получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а} , В в представлении функции Ф3(2Э)= 7 (I.7I) вида голоморфной в области \3\ i , за исключением N-1 точки, где она имеет простые полюсы. Для ограниченности функции Щ(%з) вне У необходимо потребовать, чтобы в дробно-рациональной части представления (1.77) нули числителя совпадали с нулями знаменателя, число которых вне У1 равно М-1 [86І. Следовательно, коэффициенты CL , 6 должны удовлетворять условиям Присоединив к уравнениям (1.74) соотношения (1.78), получим конечную систему линейных алгебраических уравнений порядка 2(Я-1) относительно коэффициентов CL , бк+1 (к= 1,2г..,Ы-1), а остальные коэффициенты 6 (ti N) определяются по явным формулам

Таким образом, рассматриваемая задача свелась к решению конечной системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой 2(N i) зависит от наибольшей отрицательной степени N в разложении отображающей функции (1.63). Формулы для вычисления касательных напряжений в области $ получим, исходя из соотношения [76, 92] где сХ - угол между нормалью А. (осью J ) к координатной линии L ( j) = const ), проходящей через рассматриваемую точ ку X + і у = a)(j)e ) области $ , и положительным направ лением оси Ох ; Функция (JO(X-) , конформно отображающая внешность единичной окружности ІЇ на внешность контура L (рис. I.6-I.7), f ( 1=6 , jO=i ) вид (1.63) Между полярным углом в точки N контура L и полярным углом 9 соответствующей точки N0 единичного контура jf (рис.1.6-І.7) имеет место зависимость- На основании соотношений (I.8I) - (1.82) при р=1 , =б получаем формулы для касательных напряжений в точках контура отверстия L области $ Величины COS d, и sin-ck вычисляются по формулам (1.84). Если контур отверстия L области $ не нагружен ( %г = О ), то формулу (1.86) можно использовать для проверки выполнения граничного условия и контроля вычисления. Напряжение -"SH в точках контура L является функцией полярного угла в точек единичной окружности Ґ . Поэтому при построении эпюры напряжения % вдоль контура L необходимо по формуле (1.85) вычислить полярные углы в соответствующих точек контура L . Значения полярных углов в , соответствующие углам в , для точек некоторых контуров приведены в таблице 3 приложения.

Решение второй основной задачи о продольном сдвиге анизотропной среды с цилиндрической полостью

Пусть кусочно-однородная прямолинейно-анизотропная среда, находящаяся в состоянии продольного сдвига относительно координатной плоскости хОи , занимает в этой плоскости области $и и $сг соответствующие различным анизотропным материалам, линия разграничения L которых описывается уравнением (1.59) (рис. I.I8). Главные направления упругости областей S { & = 192 ) составляют между собой произвольный угол (р . Все величины, характеризующие включение $С2) , будем обозначать индексом 2 вверху, область $а) вне включения -индексом I. Вдоль линии L (поверхности спая) выполняются условия идеального упругого контакта [76] ( К - нормаль к линии раздела сред А ), а в достаточно удаленных от включения частях среды напряжения ограничены: Z + ttp = Єір (Рис І.І8).

При аналитическом решении задачи область J5 будем считать бесконечной (возмущение напряженно-деформированного состояния среды, вызванное наличием включения, не достигает ее внешней границы). Условия сопряжения (I.I32) представим в виде интегральных соотношений, содержащих произвольную функцию F(Z) , голоморфную в области /Sri} ( или $ 2) ) определяющие напряженное состояние кусочно-однородной анизотропной среды. Используя функцию (1.63), отобразим внешность единичной окружности У ( I 1 1 ) на внешность контура L . Уравнения контуров L( } областей /SJ переменных zj } имеют вид (1.64) ( в ЄІЄ ) где йп 9 Мп вычисляются с помощью формул (1.65). Граничные значения функций Щ (Z3 J ( a = i,z ) на L3 при соотношений (1.77), (I.I05), принимают вид Функции Ф3 (Z3 ) ( ck=i92 ) должны быть ограниченные вне ( о =/ ) и внутри ( о(=2 ) единичной окружности f .

Для этого необходимо потребовать, чтобы в дробно-рациональной части представления функций (I.136) нули числителя совпали с нулями знаменателя, число которых вне )f равно N l , а внутри - N+1 [86] . Таким образом, коэффициенты а , и будут удовлетворять условиям Присоединив к уравнениям (I.138) условия (I.141), получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений порядка 6N для определения коэффициентов А3 , В3 , ак_{ , 4( ? . Если принять _N—i в (1.59), то получим решение для анизотропной среды с цилиндрическим включением эллиптического попе-речного сечения. В этом случае, как следует из (I.I38), (I.I4I), и функции (I.I36) принимают вид ( Z- tf ?-+б ; x = J,2 ) L3 ; Пусть поперечное сечение кусочно-однородной ортотропной среды в плоскости хиц , параллельной одной из плоскостей упругой симметрии, состоит из бесконечной области с отверстием 3W г (2) и области р . Главные направления упругости бесконечной среды и включения совпадают ( f= О ). На линии спая областей Р ( ск=1}2. ), описываемой уравнением (1.59), выполняются условия (I.I32), а на бесконечности напряжения равняются

Продольный сдвиг анизотропной среды сплошного конечного сечения. Первая краевая задача

Пусть поперечное сечение цилиндрического прямолинейно-анизотропного тела в плоскости &0у занимает сплошную конечную область , ограниченную замкнутым контуром L , принадлежащим к классу кривых Ляпунова (рис. 1.2). На контуре L области J5 заданы касательные напряжения 47ni(S) Граничное условие на функцию №(ху и) , удовлетворяющую уравнению (2.1), запишется в виде (2.2) Таким образом, первая основная задача о продольном сдвиге прямолинейно-анизотропного цилиндрического тела сплошного сечения свелась к внутренней задаче Неймана для уравнения (2.1). Для существования решения внутренней задачи Неймана должно выполняться условие (2.II) - равенство нулю главного вектора внешних усилий %z , приложенных к контуру L области $ . Решение краевой задачи Неймана для уравнения (2.1) будем искать в виде потенциала простого слоя (2.12) с непрерывной плотностью М(S) причем ГА дается формулой (2.13). Предельное значение выражения A0 grdd W- при приближении точки М.0 к No % лежащей на L (рис. 2.1), с внутренней стороны L , должно равняться заданному значению этого выражения на L . Следовательно, для внутренней задачи Неймана граничное условие (2.39) запишется Вместо выражения, стоящего в левой части граничного условия (2.41), возьмем его предельное значение (2.14), получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода с регулярным ядром относительно плотности M(S) (дуги в0 и 5 контура L отвечают точкам N0 и N ; рис. 2.1) Ясли замкнутый контур L задается параметрическим уравнением (2.19), то интегральное уравнение (2.42) с учетом (2.19) преобразуется к виду Ядро Kd(ci07c{) выражается по формуле (2.21). После определения плотности J4(ck) из интегрального уравнения (2.43) перемещение среды ИА В произвольной точке M0(JC0)iJa) области /3 вычисляется по формуле (2.40) Касательные напряжения ZH в каждой точке M0(&OJZJO) области ft по направлению касательной к линии L0 , проходящей через эту точку, вычисляются по формуле (2.26) (рис. 2.2), которая с учетом представления (2.45) принимает вид Если линия L0 , проходящая через Фиксированную точку M0(ocQuQ) области S описывается параметрическим уравнением (2.29), то формула (2.46) с учетом уравнения контура L (2.19) преобразуется к виду Плотность М(&) , входящая в формулы (2.46)-(2.47), определяется при решении интегрального уравнения (2.43).

Пример. Рассмотрим продольный сдвиг ортотропного призматического тела квадратного (с закругленными углами) сечения /S , контур которого L описывается параметрическим уравнением (2.33) Главные направления упругости параллельны координатным осям х и U . На контуре L (внешней поверхности) задана касательная нагрузка, изменяющаяся по закону В данном случае ядро К±(&0у&) интегрального уравнения (2.43) выражается по формуле (2.34), а функция и(&0) (2.44) будет равна 78 Для приближенного решения интегрального уравнения (2.43), используя квадратурную формулу Гаусса, запишем следующую систему линейных алгебраических уравнений, аналогичную системе (2.37) Определив из (2.51) значения Mfoff) ( с= /ь ), путем интерполяции находим приближенное решение М(&) уравнения (2.43) на отрезке [ 07 2ис ]. Решалась система уравнений (2.51) порядка 96 96 для случая AS5/A4// —4 .По формуле (2.47) с учетом (2.48) вычислялись напряжения %z в точках области fi достаточно близких к ее внешней границе L (2.33). Задача решалась также с помощью метода аналитических функций, изложенного в разделе 1.6 предыдущей главы. На рис. 2.5 показано распределение напряжения Т$г вдоль квадратного контура L (2.33) области $ . Как видно из приведенных графиков, численные значения напряжений, вычисленные по формуле (2.47) (штриховая линия), практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали со значениями, полученными с помощью аналитического метода (сплошная линия).

Простейшие примеры упругого равновесия анизотропной пластины

Определение напряженного состояния в анизотропной пластине возле отверстия, отличного от кругового и эллиптического, представляет значительные трудности. Для таких задач С.Г.Лехницкий [45, 48] разработал метод малого параметра, позволяющий в случае плоской задачи привести ее к решению ряда задач для пластины с эллиптическим (круговым) отверстием. Этот метод успешно применен Б.И.Ермолаевым [19] к задачам об изгибе анизотропной плиты. А.С.Космодамианский [34] предложил приближенный метод, основывающийся на получении приближенных значений функций, конформно отображающих внешность единичной окружности на внешность криволинейных контуров в рассматриваемых областях. В настоящее время известно много публикаций в отечественных и зарубежных журналах [1-2, 4-5, 7, 14-15, 22-25, 29, 32, 37, 54-58, 67-70, 73, 80, 83, 93, 101, 108, 119, 123-125, 127-129, 134] , посвященных различным вопросам теории упругости и термоупругости анизотропного тела, задачи изгиба тонких анизотропных плит, разработке новых методик их решения, изучению влияния анизотропии материала на напряженное состояние. Многочисленные результаты систематизированы в монографиях [3, б, 13, 30-31, 33, 42, 50, 82, 85, 89, 95, 99, 106, III, 115]. Плоская задача для многосвязных анизотропных пластин рассмотрена А.С.Космодамианским и Н.М.Нескородевым [40-41]. Такого рода задачи В.Е.Кацом и Л.А.Филыптинским [28], путем использования интегральных представлений для комплексных потенциалов, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. В монографии [Зб] изложены методы определения температурных напряжений в многосвязных средах, основанные на успешном применении полиномов Фабера. В работах [12, 26, 39, 71, 74, 79, 84, 87, 112, ІІ6-П8, 120-122, 126, 130, 132-133] исследовано влияние упругих (жестких) включений на распределения напряжений в ортотропной (изотропной) плоскости и в полуплоскости. Задача изгиба конечной анизотропной пластины с криволинейным упругим включением рассмотрена в [38]. И.А.Прусов [88-90] обобщил метод линейного сопряжения на основные граничные задачи о нахождении напряжений и температурных полей в анизотропной полуплоскости, в плоскости, разрезанной на отрезках прямой, в круге и в плоскости с эллиптическим отверстием. Л.А.Фильштинский [109] методами теории функций комплексного переменного свел задачу о продольном сдвиге анизотропной среды с разрезами к сингулярным интегральным уравнениям. Исследованию поля напряжений в анизотропных телах (кручение, плоская задача, изгиб пластин) посвящена монография В.С.Саркисяна [100].

Температурные напряжения в анизотропных пластинах возле некруговых отверстий с помощью метода малого параметра исследованы в работе А.И.Уздалева [107]. Ввиду значительных математических трудностей, возникающих при решении задач о напряженном состоянии анизотропной пластины (тела) с криволинейным вырезом, отличным от кругового и эллиптического, такие задачи, как видно из приведенного обзора, решались в основном приближенными методами, в частности, методом малого параметра. Поэтому проблема построения эффективного аналитического решения задач о концентрации напряжений возле отверстий и упругих включений сложного очертания сохраняет свою ак- туальность и представляет теоретический и прикладной интерес. Этой теме посвящена настоящая работа. В диссертационной работе предлагается аналитический алгоритм решения двумерных задач теории упругости однородного прямолинейно-анизотропного тела с криволинейным вырезом (плоская задача, продольный сдвиг, изгиб пластин) и аналогичных задач для тела с упругим анизотропным включением. Предполагается, что возмущение поля напряжений, вызванное наличием выреза (включения), не достигает внешней поверхности тела. Применение аппарата аналитических функций обобщенного комплексного переменного позволило свести рассматриваемые задачи к конечным системам линейных алгебраических уравнений, порядок которых зависит от наибольшей отрицательной степени в разложении отображающей функции. Данная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. В первой главе диссертации приведены основные соотношения и уравнения антиплоской задачи для прямолинейно-анизотропного тела. Исследуется разрешимость основных краевых задач о продольном сдвиге анизотропного тела и структура функций напряжений для конечной и бесконечной многосвязных областей. Решены задачи о продольном сдвиге анизотропного тела, содержащего цилиндрическую полость, и аналогичные задачи для тела сплошного поперечного сечения. Рассмотрен продольный сдвиг анизотропного тела с упругим анизотропным цилиндрическим включением. Задачи сведены к системам линейных алгебраических уравнений. Дан численный анализ напряженного состояния в ортотропной среде вблизи цилиндрической полости (включения) трапецеидального и прямоугольных (с различным отношением сторон прямоугольника) поперечных сечений. Исследуется напряженное состояние цилиндрического ортотропного тела сплошного квадратного поперечного сечения. Во второй главе задачи о продольном сдвиге на основе применения теории потенциала сведены к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода с регулярными ядрами. При этом решение первой основной задачи продольного сдвига ищется в виде логарифмического потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, а решение второй основной задачи - в виде потенциала двойного слоя. На ряде конкретных примеров для ортотропной среды с квадратной цилиндрической полостью (абсолютно жестким включением) и ортотропной среды сплошного квадратного поперечного сечения приведено сравнение численных результатов, полученных с помощью теории потенциала и теории функций комплексного переменного. Кривые распределения напряжений, полученные двумя разными методами, практически (в пределах точности решения интегрального уравнения) совпали. В третьей главе диссертации методика, примененная для решения задач о продольном сдвиге, обобщена на плоские задачи для анизотропного тела с полостями и упругими включениями. Получен общий вид комплексных потенциалов напряженно-деформированного состояния для конечной и бесконечной многосвязных областей. Все коэффициенты, входящие в главные части представлений комплексных потенциалов, выражены явными формулами. Граничные задачи сформулированы в виде интегральных соотношений, содержащих произвольную функцию, голоморфную в рассматриваемых областях.