Содержание к диссертации
Введение
1. Использование дискретного и конечного дискретного преобразований фурье для решения квазипериодических задач теории упругости
1.1. Некоторые сведения о дискретных преобразованиях Фурье и областях регулярной структуры 14
1.2. Переход от задачи для бесконечной области одномерной периодической структуры к задаче для одной ячейки ... 17
1.3. Распространение результатов на области с более сложными типами симметрии 20
1.4. Примеры использования дискретного преобразования Фурье в основной плоской задаче теории упругости и в механике стержневых систем 27
2. Основные и смешанные квазипериодические задачи для ішлически симметричных областей
2.1. Применение метода разностных функциональных уравнений к решению задачи для клиновидной ячейки с радиальной неоднородностью 39
2.2. Несимметричный изгиб пластинки, подкрепленной симметричной системой радиальных ребер переменной жесткости 52
2.3. Произвольная деформация упругой плоскости, ослабленной звездной системой щелей щелей 100
Деформация упругой плоскости, подкрепленной периодической системой непериодически нагруженных наклонных полубесконечных стрингеров III
Заключение 129
Литература
- Переход от задачи для бесконечной области одномерной периодической структуры к задаче для одной ячейки
- Примеры использования дискретного преобразования Фурье в основной плоской задаче теории упругости и в механике стержневых систем
- Несимметричный изгиб пластинки, подкрепленной симметричной системой радиальных ребер переменной жесткости
- Произвольная деформация упругой плоскости, ослабленной звездной системой щелей щелей
Введение к работе
Упругие характеристики и геометрия ленточных свайных фундаментов, коробчатых конструкций и других промышленных сооружений, а тааде скальных оснований, композиционных и перфорированных материалов часто имеют периодическую пространственную структуру. Периодическими свойствами целесообразно наделять материалы, ослабленные густой сетью трещин при определении их податливости и интегральных характеристик анизотропии. Регулярным образом обычно располагаются различного рода подкрепляющие элементы -бандажи, накладки, ребра жесткости, которые используются при передаче сосредоточенных нагрузок на тонкостенные конструкции. Если к области с периодической структурой приложена периодическая нагрузка и величины периодов совпадают, то напряженно-деформированное состояние области также будет периодическим. Его исследование сводится к решению одной краевой задачи для полосы, параллелограмма или параллелепипеда периодов, на противоположных гранях которых в соответственных точках поставлены условия равенства перемещений и напряжений. Такие задачи достаточно хорошо изучены, однако они не охватывают всего множества реальных ситуаций, в которых могут работать области регулярной структуры. Приложение к таким областям произвольных нагрузок или,задание непериодических граничных смещений нарушает симметрию напряженно-деформированного состояния и приводит к задачам, которые будем называть квазипериодическими. Эти задачи возникают также при переходе от континуальных к дискретно-континуальным моделям сплошной среды /52/.
Одной из первых рассмотренных в механике квазипериодических задач является, по-видимому, классическая задача о моменте,
5 действующем на бесконечную неразрезяую балку, состоящую из одинаковых пролетов. Область в этом случае обладает одномерной трансляционной симметрией. Разбиением решения на симметричную и кососимметричную части эта задача приводится к задаче о моменте, приложенном к краю полубескояечной балки /58/. В основу решения последней задачи положен тот факт, что удаление конечного числа крайних пролетов у полубеоконечной балки не изменяет характера напряженного состояния, а приводит лишь к изменению масштаба. Это позволяет вместо условий равенства периодической задачи связать неизвестные усилия на концах ячейки-пролета коэффициентом пропорциональности и найти его из уравнения трех моментов.
В случае двумерного упругого континуума, обладающего одномерной трансляционной симметрией, описанный прием уже не проходит, и Б.Будянский и Т.БУ /65/ в 1961 году при решении квазипериодической задачи о взаимодействии бесконечной пластины с работающим на растяжение-сжатие ребром жесткости, присоединенным к ней с помощью заклепок, применили иной подход. После упрощающего предположения об асимптотическом взаимодействии сцепленных с упругой плоскостью абсолютно жестких включений, моделирующих заклепки, и применения принципа суперпозиции, авторы с помощью потенциалов Вфсхелишвили /30/ пришли к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений,приближенно описывающих исходную краевую задачу. Решение системы при помощи аппарата рядов Фурье им удалось получить в замкнутом виде.
И.Ф.Образцов, Л.С.Рыбаков и Л.Г.Дукашина, сохранив постановку задачи, учли работу ребра не только на растяжение-ежатие, но и на изгиб /47/. Для построения решения в квадратурах результирующей бесконечной системы в этой работе применяется преобразование Лорана.
С использованием этого же метода Л.С.Рыбакову /50/ удалось обобщить рассмотренную в работе /65/ задачу на случай разрыва одной из заклепок, т.е. нарушения регулярности структуры.
Сходная по постановке трехмерная квазипериодическая задача о произвольной деформации пространства с регулярной системой абсолютно жестких сферических включений исследована в работе Р.фурукаши с соавторами /69/.
Другим приближенным способом построения решений квазипериодических задач, где основной интерес представляют макроэффекты, является метод осреднения, связанный с заменой регулярной структуры сплошной средой с некоторыми приведенными свойствами /6/. Этот метод может быть использован и при рассмотрении бесконечных регулярных стержневых систем /67/.
И.В.Андрианов и Л.И.Маневич /2/ получили приближенное решение, задачи о циклическом нагружении ортотройной полосы, регулярно подкрепленной ребрами жесткости, для случая, когда период нагрузки много больше расстояния между ребрами.
Значительное число исследований посвящено квазипериодическим задачам для циклически симметричных областей. Стержневые системы с этим типом регулярности рассматривались еще в 1908 году Х.Рейснером /72/, который предложил представлять неизвестные функции в виде тригонометрических полиномов степени равной порядку цикличности системы. Этот метод подробно изложен в монографии В.Г.ЧУДНОВСКОГО /61/.
Описание другого подхода, связанного со спектральной теорией циклических матриц, соответствующих системам канонических уравнений стержневых конструкций приводится в книге С.З.Динке-вича /18/.
Мзтод разложения в двойные тригонометрические ряды с успехом используется при решении задач о произвольном нагружении конечных циклически симметричных ребристых цилиндрических оболочек /I/. Способ построения точного решения бесконечной системы алгебраических уравнений, к которой сводится задача, берет свое начало с работы Ю.А.Шиманского /62/ и приведен в /19/.
Оригинальный метод решения квазипериодической задачи о яе-осесимметричном динамическом нагружении оребренной полубесконечной цилиндрической оболочки использовал А.М.Михайлов /29/. Считая, что оболочка работает только на сдвиг, автор сделал развертку цилиндра и, периодически продолжив ее на всю полуплоскость, перешел;от области с циклической симметрией к траясля-ционно симметричной области, циклически нагруженной. При этом задача свелась к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, точное решение которой построено с помощью дискретного преобразования Фурье и теории обобщенных функций.
Принципиально новый подход к расчету механических систем с произвольным типом симметрии, связанный с применением теории групп, разрабатывается с 1969 года одесской школой механиков. Первоначально этот подход применялся для статических и динамических расчетов стержневых систем /9,10,25,54,59/, а затем был распространен МД.Бурыжиным на краевые задачи теории упругости /11,12/. При построении решения используется принцип суперпозиции - оно имеет вид суммы конечного числа слагаемых, соответствующих разложению внешних нагрузок по неприводимым представлениям группы, описывающей симметрию области. Класс допустимых нагрузок оказывается при этом достаточно широким.
Описание процедуры рационального использования метода конеч- ных элементов при решении квазипериодических задач для циклически симметричных областей можно найти в работах Е.Л.Вильсона /13/ и О.С.Зенкевича /20/.
Другим дискретным методам расчета конечных регулярных механических систем посвящена работа В.А.Бовина /7/, в которой используются конечные преобразования общего вида.
Таким образом, до последнего времени среди методов решения квазипериодических краевых задач теории упругости для представляющих большой интерес в приложениях областей с трансляционной и циклической симметрией преобладали численные и приближенные методы. Это объясняется тем, что точные методы, применявшиеся в механике стержневых систем и в теории оболочек, связанные в основном с циклически симметричными областями, оказались непригодными. Мзтод М.Л.Бурышкияа при всей своей универсальности относительно учета симметрии области в случае трансляционной симметрии накладывает некоторые ограничения на внешние нагрузки, а в случае циклической симметрии использовался только для построения численных решений.
В 1979 году Б.М.Нуллер и автор диссертации впервые применили при построении замкнутого решения квазипериодической задачи о деформации плоскости, ослабленной звездной системой щелей конечное дискретное преобразование Фурье. Развитие и обобщение этой идеи привело к появлению нового точного метода решения квазипериодических задач теории упругости для областей с циклической, трансляционной или винтовой симметрией, основанного на использовании конечного дискретного и дискретного преобразований Фурье. Полученные результаты изложены в работах /22,23,36,37,43,44,45, 46/ и включены в диссертацию. Они послужили стимулом для даль-
9 нейших исследований. В работе /42/ Б.М.Нуллер предложил метод построения точных решений краевых задач для некоторых областей, которые могут быть дополнены до областей регулярной структуры, но сами по себе не обладают ни одним из указанных выше типов симметрии. В работе /32/ ЕД.Нахмейн и Б.М.Нуллер построили замкнутые решения некоторых задач теории аналитических функций, к которым сводятся квазипериодические контактные задачи плоской теории упругости для областей, обладающих трансляционной симметрией.
Используемый в диссертации аппарат дискретных преобразований Фурье хорошо изучен. В механике помимо указанных выше случаев его применения для решения систем алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений им пользовался Л.И.Слепян при анализе волновых процессов в упругих телах /51/.
В другой области математической физики - электродинамике дискретное преобразование Фурье применялось при решении краевых задач об излучении электромагнитных волн из антенных решеток регулярной структуры /66,70,73/. Приоритет здесь принадлежит Е.В.Бакланову, который в 1963 году получил замкнутое решение одной из смешанных задач указанного типа /3/.
В диссертации систематически излагается метод решения квази-периодических краевых задач, основанный на использовании дискретных преобразований Фурье и точном сведении задач для некоторых типов областей, состоящих из одинаковых ячеек, к задачам для одной ячейки. Если задача для ячейки решается в замкнутом виде, замкнутым является и решение исходной задачи. Применение этого метода позволило получить в квадратурах решения нового класса задач плоской теории упругости.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главе излагается идея метода и приводятся простые примеры его использования.
В пункте I.I приведены необходимые сведения о дискретном и конечном дискретном преобразованиях Фурье и дано определение области регулярной структуры в терминах теории групп.
В пункте 1.2 квазипериодическая задача общего вида для регулярной структуры с дискретно-винтовой, в частности, одномерной трансляционной симметрией сведена с помощью дискретного преобразования Фурье к задаче для одной ячейки периодов. При этом неизвестные функций на участках границы ячейки, сопрягавшихся со смежными ячейками, оказываются связанными основными условиями с комплексным параметром.
В пункте 1.3 методика предыдущего параграфа обобщается на области, состоящие.из нескольких соосных дискретно-винтовых областей и на области с двумерной трансляционной симметрией. В первом случае используется последовательно дискретное и конечное дискретное преобразования Фурье, во втором - двукратное дискретное преобразование Фурье. Отмечается возможность обобщения на случай трехмерной трансляционной симметрии. Указывается на особенности применения предлагаемого метода, когда главный вектор или главный момент приложенных к области нагрузок отличен от нуля.
В пункте 1.4 в качестве простой иллюстрации методики п.1.2 и 1.3 решены в замкнутом виде две квазипериодические задачи. В первой рассматривается деформация упругой плоскости, подкрепленной периодической системой бесконечных стрингеров, к одному из которых приложена продольная сила; элементарная ячейка представляет собой полосу со стрингером посередине. Во второй задаче найдено напряженно-деформированное состояние двоякопериодичес-кой стержневой системы под действием изгибающей силы.
Вторая глава посвящена циклически симметричным областям.
В пункте 2.1 методом разностных функциональных уравнений получено в квадратурах решение задачи о клине с произвольно расположенной радиальной неоднородностью. Такого типа задачи возникают обычно после применения конечного дискретного преобразования Фурье.
В пункте 2.2 рассматривается квазипериодическая задача об изгибе упругой пластинки, подкрепленной циклически симметричной системой произвольно нагруженных радиальных упругих ребер-стержней; изгибная жесткость ребер изменяется как степень радиуса, в частности, может быть постоянной. В соответствии с изложенным в первой главе методом, исходная задача сведена к задаче для клина и решена в замкнутом виде с помощью результатов пункта 2.1.
Рассмотрен предельный случай - смешанная квазипериодическая задача об изгибе пластинки звездной системой конечных абсолютно жестких ребер. Получены формулы для коэффициентов интенсивности контактных давлений в окрестности концов ребер, а в частном случае линейного штампа и для самих давлений.
В пункте 2.3 конечное дискретное преобразование Фурье используется совместно с методом Винера-Хопф;»а для анализа напряженно-деформироБанного состояния плоскости, ослабленной звездной системой закрытых щелей. Внешними воздействиями являются поле напряжений на бесконечности и произвольная нагрузка, приложенная к щелям.
Решение выражается трехкратной, а в частном случае степенной
12 нагрузки двукратной квадратурой. В наиболее интересных с точки зрения теории разрушения случаях вышсаны коэффициенты интенсивности касательных напряжений в вершинах щелей.
В третьей главе рассматриваются смешанные квазипериодические задачи для областей с одномерной трансляционной симметрией.
В пункте 3.1. получены замкнутые решения задач о периодической системе разрезов, расположенных на границе склейки двух упругих полуплоскостей и находящихся под действием непериодических нагрузок. В одной задаче предполагается, что разрезы раскрыты и к их берегам приложены нормальные и касательные напряжения, в другой задаче берега сомкнуты и нагружены касательными напряжениями.
Дискретное преобразование Фурье используется совместно с методом ВДусхелишвили. Показано, что выбор объектов преобразования существенно влияет на разрешимость краевой задачи для ячейки. Замкнутое решение этой задачи получено при помощи теории краевых задач для автоморфных аналитических функций.
В пункте 3.2 решена в замкнутом виде контактная квазипериодическая задача о деформации бесконечной упругой пластины, подкрепленной периодической системой полубесконечных наклонных стрингеров. Смешанная задача для ячейки - полосы со стрингером посередине - решена в квадратурах методом Винера-Хопфа.
Выписаны решения для случая циклической и произвольной нагрузки. Указан способ получения формул дискретного преобразования Фурье из формул конечного дискретного преобразования Фурье путем предельного перехода.
Получены выражения для коэффициентов интенсивности касательных напряжений в окрестности концов стрингеров. Проведен чис- ІЗ ленный анализ этих выражений, показавший возможность использова ния простой приближенной формулы,
В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Переход от задачи для бесконечной области одномерной периодической структуры к задаче для одной ячейки
Можво показать, что при интегралы (2,14), (2.18) разлагаются в абсолютно сходящиеся двойные ряды по вычетам в полюсах функций Q.- fp) и функции /Ч(Ъ), аналитически продолженной на всю левую полуплоскость Ял?р О Контактные напряжения в пластинке при Z — О определяются первым членом этого ряда и имеют вид Т7;(%Р) ОС )т Если б у - первый нуль функции (заметим, что 9)а,(р) == 2 2ь(р) » то в контактяых яащ я-жениях по обе стороны стержня при Z — 0 появляются одинаковые степенные особенности, в остальных случаях
При Z О / интегралы (2.14), (2.18) в ряды по вычетам не разлагаются, однако, следуя работе /48/, можно вывести асимптотические формулы для перемещений и напряжений в пластинке, справедливые при больших значениях . В частности, ограничиваясь одним членом асимптотики, из (1.23) получим где й = Ы, — Ы2 - суммарный угол раствора клина.
Б наиболее интересном для приложений случае полуплоскости уЗ — ТГ ( в варианте плоской деформации эта задача возникает при определении глубины заделки в грунтовые основания и откосы вертикальных шпунтовых стенок, свайных фундаментов и т.п.) формулы (2.23),(2.24) при Р- О были запрограммированы на алголе для транслятора TA-IM. Расчеты по этой программе проводились для различных в диапазоне где - значение параметра 4./Q , при котором в точном (2.23) и асимптотическом (2.25) решениях совпадают первые три значащие цифры.
Результаты расчета показали, что усилие в стержне и контактные касательные напряжения в пластинке почти не зависят от величин otj и \) . Более того, усилия оказались близкими по величине к возникающим в предельном случае «., - О , рассмотренном в /14/. Заметим, что параметр 0 в решения задач /5, 14, 63/ вообще не входит, поскольку в этих работах нормальные контактные напряжения равны нулю. Характер влияния коэффициента Пуассона материала пластинки ]) и угла заделки стержня /-/ виден из таблицы 2.1, которая дает практически полную информацию о контактных касательных напряжениях и усилиях в стержне при любых значениях упругих и геометрических постоянных і} Ёг} Д , п. В таблице введены следующие обозначения:
Вследствие статико-геометрической аналогии между плоской деформацией пластинки и ее изгибом, а также аналогии в дифференциальных уравнениях кручения и растяжения стержня, решение (2.23), (2.24) и таблица определяют контактные и внутренние крутящие моменты в стержне, к концу которого вместо силы приложен крутящий момент. Несимметричный изгиб пластинки, подкрепленной симметричной системой радиальных ребер
Пусть упругая пластинка О z о= , О - 2 тг (рис.2.2) толщины Л , с модулем Юнга В и коэффициентом Пуассона }) , подкреплена циклически симметричной системой одинаковых радиальных ребер - упругих стержней О Z оо; имеющих изгибную жесткость S(z)-S где xf Ш - полярные координаты, угол Ш отсчитывается по ча совой стрелке с/=7г/\/j K-PJyy W t А/ъ-/, У 0; W -/. К К -му стержню приложена поперечная по отношению к пластинке нагрузка Q. ) в точке к = 0 действуют поперечная сила Р0 и изгибающие моменты /ЧР1 /4oZ , направленные вдоль лучей Y - /Z J ys D. Мзжду стержнями и пластинкой нет моментных взаимодействий, т.е. при переходе через контакт ные прямые изгибающие моменты в пластинке непрерывны, крутиль ные деформации стержней отсутствуют, либо считаются малыми и не учитываются, при Требуется найти прогибы оребренной пластинки при условии ее свободного опирання на бесконечности.
Примеры использования дискретного преобразования Фурье в основной плоской задаче теории упругости и в механике стержневых систем
Упругие характеристики и геометрия ленточных свайных фундаментов, коробчатых конструкций и других промышленных сооружений, а тааде скальных оснований, композиционных и перфорированных материалов часто имеют периодическую пространственную структуру. Периодическими свойствами целесообразно наделять материалы, ослабленные густой сетью трещин при определении их податливости и интегральных характеристик анизотропии. Регулярным образом обычно располагаются различного рода подкрепляющие элементы -бандажи, накладки, ребра жесткости, которые используются при передаче сосредоточенных нагрузок на тонкостенные конструкции. Если к области с периодической структурой приложена периодическая нагрузка и величины периодов совпадают, то напряженно-деформированное состояние области также будет периодическим. Его исследование сводится к решению одной краевой задачи для полосы, параллелограмма или параллелепипеда периодов, на противоположных гранях которых в соответственных точках поставлены условия равенства перемещений и напряжений. Такие задачи достаточно хорошо изучены, однако они не охватывают всего множества реальных ситуаций, в которых могут работать области регулярной структуры. Приложение к таким областям произвольных нагрузок или,задание непериодических граничных смещений нарушает симметрию напряженно-деформированного состояния и приводит к задачам, которые будем называть квазипериодическими. Эти задачи возникают также при переходе от континуальных к дискретно-континуальным моделям сплошной среды /52/.
Одной из первых рассмотренных в механике квазипериодических задач является, по-видимому, классическая задача о моменте, действующем на бесконечную неразрезяую балку, состоящую из одинаковых пролетов. Область в этом случае обладает одномерной трансляционной симметрией. Разбиением решения на симметричную и кососимметричную части эта задача приводится к задаче о моменте, приложенном к краю полубескояечной балки /58/. В основу решения последней задачи положен тот факт, что удаление конечного числа крайних пролетов у полубеоконечной балки не изменяет характера напряженного состояния, а приводит лишь к изменению масштаба. Это позволяет вместо условий равенства периодической задачи связать неизвестные усилия на концах ячейки-пролета коэффициентом пропорциональности и найти его из уравнения трех моментов.
В случае двумерного упругого континуума, обладающего одномерной трансляционной симметрией, описанный прием уже не проходит, и Б.Будянский и Т.БУ /65/ в 1961 году при решении квазипериодической задачи о взаимодействии бесконечной пластины с работающим на растяжение-сжатие ребром жесткости, присоединенным к ней с помощью заклепок, применили иной подход. После упрощающего предположения об асимптотическом взаимодействии сцепленных с упругой плоскостью абсолютно жестких включений, моделирующих заклепки, и применения принципа суперпозиции, авторы с помощью потенциалов Вфсхелишвили /30/ пришли к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений,приближенно описывающих исходную краевую задачу. Решение системы при помощи аппарата рядов Фурье им удалось получить в замкнутом виде.
И.Ф.Образцов, Л.С.Рыбаков и Л.Г.Дукашина, сохранив постановку задачи, учли работу ребра не только на растяжение-ежатие, но и на изгиб /47/. Для построения решения в квадратурах результирующей бесконечной системы в этой работе применяется преобразование Лорана.
Несимметричный изгиб пластинки, подкрепленной симметричной системой радиальных ребер переменной жесткости
С использованием этого же метода Л.С.Рыбакову /50/ удалось обобщить рассмотренную в работе /65/ задачу на случай разрыва одной из заклепок, т.е. нарушения регулярности структуры.
Сходная по постановке трехмерная квазипериодическая задача о произвольной деформации пространства с регулярной системой абсолютно жестких сферических включений исследована в работе Р.фурукаши с соавторами /69/.
Другим приближенным способом построения решений квазипериодических задач, где основной интерес представляют макроэффекты, является метод осреднения, связанный с заменой регулярной структуры сплошной средой с некоторыми приведенными свойствами /6/. Этот метод может быть использован и при рассмотрении бесконечных регулярных стержневых систем /67/.
И.В.Андрианов и Л.И.Маневич /2/ получили приближенное решение, задачи о циклическом нагружении ортотройной полосы, регулярно подкрепленной ребрами жесткости, для случая, когда период нагрузки много больше расстояния между ребрами.
Значительное число исследований посвящено квазипериодическим задачам для циклически симметричных областей. Стержневые системы с этим типом регулярности рассматривались еще в 1908 году Х.Рейснером /72/, который предложил представлять неизвестные функции в виде тригонометрических полиномов степени равной порядку цикличности системы. Этот метод подробно изложен в монографии В.Г.ЧУДНОВСКОГО /61/.
Описание другого подхода, связанного со спектральной теорией циклических матриц, соответствующих системам канонических уравнений стержневых конструкций приводится в книге С.З.Динке-вича
Мзтод разложения в двойные тригонометрические ряды с успехом используется при решении задач о произвольном нагружении конечных циклически симметричных ребристых цилиндрических оболочек /I/. Способ построения точного решения бесконечной системы алгебраических уравнений, к которой сводится задача, берет свое начало с работы Ю.А.Шиманского /62/ и приведен в /19/.
Оригинальный метод решения квазипериодической задачи о яе-осесимметричном динамическом нагружении оребренной полубесконечной цилиндрической оболочки использовал А.М.Михайлов /29/. Считая, что оболочка работает только на сдвиг, автор сделал развертку цилиндра и, периодически продолжив ее на всю полуплоскость, перешел;от области с циклической симметрией к траясля-ционно симметричной области, циклически нагруженной. При этом задача свелась к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, точное решение которой построено с помощью дискретного преобразования Фурье и теории обобщенных функций.
Принципиально новый подход к расчету механических систем с произвольным типом симметрии, связанный с применением теории групп, разрабатывается с 1969 года одесской школой механиков. Первоначально этот подход применялся для статических и динамических расчетов стержневых систем /9,10,25,54,59/, а затем был распространен МД.Бурыжиным на краевые задачи теории упругости /11,12/. При построении решения используется принцип суперпозиции - оно имеет вид суммы конечного числа слагаемых, соответствующих разложению внешних нагрузок по неприводимым представлениям группы, описывающей симметрию области. Класс допустимых нагрузок оказывается при этом достаточно широким.
Произвольная деформация упругой плоскости, ослабленной звездной системой щелей щелей
Другим приближенным способом построения решений квазипериодических задач, где основной интерес представляют макроэффекты, является метод осреднения, связанный с заменой регулярной структуры сплошной средой с некоторыми приведенными свойствами /6/. Этот метод может быть использован и при рассмотрении бесконечных регулярных стержневых систем /67/.
И.В.Андрианов и Л.И.Маневич /2/ получили приближенное решение, задачи о циклическом нагружении ортотройной полосы, регулярно подкрепленной ребрами жесткости, для случая, когда период нагрузки много больше расстояния между ребрами.
Значительное число исследований посвящено квазипериодическим задачам для циклически симметричных областей. Стержневые системы с этим типом регулярности рассматривались еще в 1908 году Х.Рейснером /72/, который предложил представлять неизвестные функции в виде тригонометрических полиномов степени равной порядку цикличности системы. Этот метод подробно изложен в монографии В.Г.ЧУДНОВСКОГО /61/.
Описание другого подхода, связанного со спектральной теорией циклических матриц, соответствующих системам канонических уравнений стержневых конструкций приводится в книге С.З.Динке-вича /18/. Мзтод разложения в двойные тригонометрические ряды с успехом используется при решении задач о произвольном нагружении конечных циклически симметричных ребристых цилиндрических оболочек /I/. Способ построения точного решения бесконечной системы алгебраических уравнений, к которой сводится задача, берет свое начало с работы Ю.А.Шиманского /62/ и приведен в /19/.
Оригинальный метод решения квазипериодической задачи о яе-осесимметричном динамическом нагружении оребренной полубесконечной цилиндрической оболочки использовал А.М.Михайлов /29/. Считая, что оболочка работает только на сдвиг, автор сделал развертку цилиндра и, периодически продолжив ее на всю полуплоскость, перешел;от области с циклической симметрией к траясля-ционно симметричной области, циклически нагруженной. При этом задача свелась к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, точное решение которой построено с помощью дискретного преобразования Фурье и теории обобщенных функций.
Принципиально новый подход к расчету механических систем с произвольным типом симметрии, связанный с применением теории групп, разрабатывается с 1969 года одесской школой механиков. Первоначально этот подход применялся для статических и динамических расчетов стержневых систем /9,10,25,54,59/, а затем был распространен МД.Бурыжиным на краевые задачи теории упругости /11,12/. При построении решения используется принцип суперпозиции - оно имеет вид суммы конечного числа слагаемых, соответствующих разложению внешних нагрузок по неприводимым представлениям группы, описывающей симметрию области. Класс допустимых нагрузок оказывается при этом достаточно широким.
Описание процедуры рационального использования метода конеч 8 ных элементов при решении квазипериодических задач для циклически симметричных областей можно найти в работах Е.Л.Вильсона /13/ и О.С.Зенкевича /20/.
Другим дискретным методам расчета конечных регулярных механических систем посвящена работа В.А.Бовина /7/, в которой используются конечные преобразования общего вида.
Таким образом, до последнего времени среди методов решения квазипериодических краевых задач теории упругости для представляющих большой интерес в приложениях областей с трансляционной и циклической симметрией преобладали численные и приближенные методы. Это объясняется тем, что точные методы, применявшиеся в механике стержневых систем и в теории оболочек, связанные в основном с циклически симметричными областями, оказались непригодными. Мзтод М.Л.Бурышкияа при всей своей универсальности относительно учета симметрии области в случае трансляционной симметрии накладывает некоторые ограничения на внешние нагрузки, а в случае циклической симметрии использовался только для построения численных решений.
