Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Исследование колебаний магнитоупругих пластин в пространственной и осредненнои постановке 19
Глава 2. Распространение волн модуляций в ферромагнитной пластине в пространственной и осредненной постановке 56
Глава 3. Определение линейных ii нелинейных решений квазилинейных гиперболических уравнений в окрестности точек касания прозвольной волны с точечной волной и приложение к дифракционным задачам теории упругости 77
Глава 4. Определение нелинейного решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для изгибных волн в магнитоупругой пластине 129
Глава 5. Решение узких пучков для нелинейных магнитоупругих и магнитогазодинамических сред 144
Глава 6. Соударение упругих тел 164
Заключение 195
Литература 197
- Исследование колебаний магнитоупругих пластин в пространственной и осредненнои постановке
- Распространение волн модуляций в ферромагнитной пластине в пространственной и осредненной постановке
- Определение линейных ii нелинейных решений квазилинейных гиперболических уравнений в окрестности точек касания прозвольной волны с точечной волной и приложение к дифракционным задачам теории упругости
- Определение нелинейного решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для изгибных волн в магнитоупругой пластине
Введение к работе
Актуальность задач рассматриваемых в- диссертации, вытекает из необходимости Учитывать влияние магнитных полей на колебания металлических конструкций в управляемом термоядерном синтезе, в различных промышленных процессах, в измерительных приборах, а также влияние нелинейности среды на волновые движения в указанных задачах и в сейсмике. Знание значений частот и амплитуд колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин в указанных конструкциях необходимо для расчета динамических процессов в них. Задачи соударения упругих тел имеют важное значение при изучении сейсмических процессов. Практическую значимость имеют двух и трехмерные дифракционные нелинейные задачи теории упругости, задача о каустиках (фокусирование волн) и задача о трехмерных волновых пучках в различных средах. Цель диссертации заключается;
а) в разработке пространственного точного подхода для определения
собственных частот изгибных колебаний магнтоупругих и ферромаг
нитных пластин и сравнение с осредненным классическим подходом,
б) исследованию на основание полученных линейных частот распрос
транения и устойчивости нелинейных волн модуляции в указанных
типах пластин,
в) в теоретическом исследовании двумерных и трехмерных линейных
и нелинейных дифракционных нестационарных задач для
акустической и упругой среды и получением помимо точных
аналитических решений графиков изменения параметров движения
среды на ударных волнах
г) в выводе нелинейного уравнения для поведения квазимонохромати
ческой волны вблизи каустики для изгибных волн в упругой и магни-
тоупругой нелинейных пластинах и численного его решения
д) в исследовании нелинейных пучков в магнитоупругой среде и
плазме
е) в получении линейного и нелинейного решения в сейсмической
задаче соударения двугранных углов.
Решение поставленных задач достигается:
разработкой теории пространственного подхода к определению частот колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин,
выяснением роли магнитного поля на устойчивость нелинейных колебаний металлических пластин,
распространением асимптотического метода изучения нелинейных волн на двух и трехмерные дифракционные задачи путем сращивания
I РОГ >',< <~ , ,ЬНАЯ
3 ; f і ' , і г * л
!
С 1іетсрб>рг
200 ^РК
нелинейного решения с линейным и дальнейшим численным экспериментом по определению ударных волн,
численным расчетом нелинейного обыкновенного уравнения вблизи каустики в магнитоупругой пластине,
выводом восьми обыкновенных дифференциальных уравнений из уравнений модуляции для гауссовых пучков и их численным решением,
в определении линейного решения задачи соударения бесконечных двугранных углов в форме Смирнова-Соболева, определении решения для углов конечной высоты и исследовании нелинейных решений. Научная новизна работы заключается в разработке:
эффективного метода получения точных значений частот изгибных колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин, позволяющего оценить правильность результатов, полученных ранее по осредненней классической теории.
метода получения аналитических решений задач нелинейной дифракции путем сращивания с линейных решением, который дополняется численным анализом обыкновенных дифференцииальных уравнений на ударной волне,
нелинейного решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики,
получения эффективных результатов по уточненному исследованию гауссовых пучков в сочетании аналитических и численных методов
получению простых аналитических зависимостей в сложной математической задаче соударения двугранных бесконечных и конечных по высоте углов.
Практическое значение исследований состоит в применении результатов при изучении волновых процессов в металлоконструкциях, для управляемых термоядерных реакций, для приборов, находящихся в магнитном поле, для изучения сейсмичных явлений по прогнозу землетрясений. На защиту выносятся следующие основные положения:
теоретические исследования частот изгибных колебаний магнитоупругих и ферромагнитных пластин
экспериментальные подтверждения правильности результатов пространственного подхода,
формулировка общего подхода к получени линейного и нелинейного решения дифракционной нестационарной задачи по исследовани окрестности точки или линии касания распространяющейся волны с точечной волной,
аналогичные исследования задачи, определения линейного и не-
линейного решения вблизи каустики,
определение нелинейного решения задачи для узких осесимет-ричных гауссовых пучков путем вывода и численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
определение линейного и нелинейного решения в задаче соударения неограниченных и ограниченных двугранных углов. Все результаты исслеловании реализованы в институте механики Национальный Академии Наук Армении, государственном инженерном университете Армении, в министерстве высшего образования и науки Армении.
Апробация работы Основные положения диссертации доложены: на Всесоюзной конференции: "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред". Арм.ССР, г. Горис, май 19.84-1987. Ереван, май, 1990.
На III Всесоюзной конференции: "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Харьков, 1985г.
На IV Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Иваново, 1985.
на семинаре по динамике сплошной среды Института Проблем Механики НАЛ РФ, Москва, ноябрь 2001г.;
на семинаре отдела волновых процессов Института Механики МГУ им. М. В. Ломоносова, ноябрь 2001г.;
на годичной научной конференции Государственного Инженерного Университета Армении октябрь 2001 г., 2002г.; на научной конференции, посвяшенной памяти академика А. Л. Шагиняна, Ереванский государственный университет, июль 2002г. на научной конференции, посвященной памяти академика Н. X. Арупоняна, Институт механики НАН Армении, апрель 2003г. Обьем работы Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Она содержит 220 страниц текста, включающие 19 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 95 наименований. Публикации По теме диссертации опубликовано 25 научных статей. Список публикаций приводится' в конце текста автореферата.
Исследование колебаний магнитоупругих пластин в пространственной и осредненнои постановке
Линейные задачи о колебаниях магнитоупругих изгибных волн в пластинке были рассмотрены в [5 — 7]. Нелинейные волны модуляций в продольном поле были исследованы в [24, 28]. Все. указанные исследования были основаны на классической осредненной теории тонких пластин.
В настоящей главе рассмотрена пространственная постановка задачи колебаний пластины для поперечного и продольного магнитных полей МП: вначале для большой электропроводности, а далее — для конечной ее величины. Дано сопоставление с результатами, полученными по осредненной теории. Показано, что в случае большой электропроводности в продольном поле обе теории дают одинаковые значения частоты колебания, а в случае поперечного поля результаты обеих теорий различаются как количественно, так и качественно. В пространственной (как и осредненной) постановке продольное поле приводит к увеличению частоты. В поперечном поле имеет место уменьшение частоты за счет магнитного поля в пространственной постановке и увеличение частоты — в осредненной постановке.
В случае конечной электропроводности обе постановки дают различные результаты как для поперечного, так и для продольного полей. Проблема исследования распространения линейных и нелинейных волн в сплошных средах является актуальной ввиду динамического характера большинства промышленных процессов, работы измерительной аппаратуры, сейсмологических и других геофизических явлений. Среди этих обширных явлений в последное время значительную роль приобретают задачи изучения волн и колебаний в магнитоупрутих средах.
Эти вопросы имеют практическое значение при исследовании устройств по удержанию плазмы в термоядерных установках, в магнитогазодинамических генераторах, при создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей, при разработке методов обработки металлов магнитным полем и т.д.. Эти задачи относятся к области динамической магнитоупругости электропроводящих сплошных сред, в частности пластин и оболочек. Не менее важно изучение в указанных процессах линейных и нелинейных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и электропроводящих пластин и оболочек в магнитном поле. Представляет не только теоретический, но и практический, интерес линейная и нелинейная задача о дифракции акустических и упругих волн в неоднородной плоской среде на экране и уголковой пластине в однородной среде (пространственная задача).
При термоядерных процессах имеет большое значение изучение распространения нелинейных пучков, как в самой плазме, так и в магнитоупрутих конструкциях. Также имеет важное значение изучение фокусирования волн в пластинах, в том числе вблизи огибающей лучей или каустики. Взаимосвя — занность напряженно—деформированного состояния и электромагнитного поля имеет сложный характер.
На первых этапах развития теории магнитоупрутости принимались упрощающие гипотезы для разработки приближенных математических методов исследования колебаний магнитоупрутих пластин и оболочек [5-8]. Точное решение в рамках осредненной классической теории линейной изгибных задачи о колебаниях магнитоупругой пластины в поперечном магнитном поле дано в [7, 57]. Для тонких оболочек и пластин конечной электропроводности, находящихся во внешнем магнитном поле авторы работ [6 — 8] сформулировали гипотезу магнитоупругости тонких тел, позволящую свести трехмерную задачу к двумерной. Эта гипотеза, помимо известной гипотезы осредненной теории изгиба упругих пластин и оболочек, а именно, гипотезы неде — формированных нормалей, состоит в предположении, что нормальная компонента вектора напряженности индуцированного магнитного поля и тангенциальнья компонента вектора напряженности электрического поля остаются неизменными по толщине пластин или оболочек. Исследования в области теории упругих пластин и оболочек часто посвящаются построению уточненных теорий, в которых отказываются от основной гипотезы классической теории [1—4, 91]. Это связяно с тем, что результаты, полученные по классической теории не всегда применимы при решении прикладных задач.
Распространение волн модуляций в ферромагнитной пластине в пространственной и осредненной постановке
Для приведения общей трехмерной задачи магнитоупругости к двумерной в [40] используется асимптотический метод [1] интегрирования трехмерных уравнений. В работе [40] дано сравнение разных подходов уточнения гипотезы магнитоупругости тонких пластин и оболочек. В качестве следующего приближения по отношению к гипотезе магнитоупругости предложено уточненное уравнение для исследования задач колебаний во внешнем продольном поле в проводящей пластинке, установлено, что магнитное поле приводит к дисперсии. На основе гипотезы Кирхгофа в работе [75] дано сравнение различных моделей задач магнитоупругости пластин. В работе [5] дается рассмотрение широкого аспекта задач о колебании электропроводящих пластин в магнитном поле, в рамках осредненного классического подхода, рассмотрены определения частот линейных изгибных колебаний как для бесконечных, так и для конечных пластин. Для последних развит асимптотический метод определения связи волновых чисел с размерами пластинки в случае консольного и жесткого опирання. Кроме того найдены амплитуды вынужденных колебаний пластинок как в постоянном, так и в переменном магнитном поле. В [93, 94] рассмотрена задачи о трещине в ферроупругой пластине.
В работах [33 —35, 71, 85] дается теоретическое исследование проблемы колебаний магнитоупрутих электропроводящих пластин в продольном и поперечном магнитных полях. Развивается пространственный подход к проблеме определения линейных частот изгибных колебаний. Показано, что для большой электропроводности решения в пространственном подходе и по гипотезе Кирхгофа для продольного поля совпадают, а для поперечного поля пространственный подход дает уменьшение частоты за счет поля, а осредненный классический подход дает увеличение частоты.
В [85] показано, что эксперимент подтверждает пра — вильность пространственной теории. В работах [68, 69, 71] пока зано, что для конечной проводимости значения линейных частот по пространственной и осредненной теории существенно различны как для продольных так и для поперечных полей. В работах [16], [13] рассмотрен широкий круг задач о колебаниях (свободных и вынужденных) ферромагнитных диэлектрических и проводящих пластин на основе классической теории Кирхгофа. В статьях [59, 60] изучены теоретически и экспериментально колебания стержня — полосы из ферромагнетика в поперечном магнитном поле. Показано, что магнитное поле уменьшает частоту колебаний. В работе [33] развит пространственный подход к изучению изгибных волн модуляций в магнитоупругих проводящих пластинах. В статье [85] изучены теоретически и эксперимен- тально линейные частоты изгибных колебаний магнитоупругих пластин, причем показано, что эксперимент [34, 36] подтвер — * ждает правильность пространственного, а не осредненного по классической теории подхода. В работе [68] дается подробный вывод значений частот изгибных колебаний магнитоупругих пластин на основании пространственного подхода для большой и конечной электропроводности. В работе [84] проводится вычисление на основе пространственного подхода линейных частот собственных колебаний ферромагнитных, как диэлектрических, так и идеально проводящих пластин, и дано сравнение с осредненным подходом [16, 18]. В [38] экспериментально изучается влияние как продольных, так и поперечных постоянных магнитных полей на амплитуды перемещения, скорости и ускорения колебания электропроводящих пластин. Показано, что при сравнительно небольших полях, порядка 0.05 Тл для продольного и порядка 0.5 Тл для поперечного поля имеет место значительное увеличение амплитуд. В книге [23] и статьях [21, 29] дается линейное и нелинейное решение дифракционных плоских задач об определении окрестности точки касания произвольной волны с точечной волной для произвольной идеальной сплошной среды, описываемой квазилинейной системой гиперболических уравнений. В [22, 30] рассмотрены соответствующие задачи пространственной дифракции волн.
Определение линейных ii нелинейных решений квазилинейных гиперболических уравнений в окрестности точек касания прозвольной волны с точечной волной и приложение к дифракционным задачам теории упругости
Выводятся нелинейные уравнения в окрестностях волны для продольных упругих волн в пластинках, которые соответствуют полученной асимптотике. В указанных линейных задачах решения находятся методом интегральных преобразований Фурье и Лапласа, а затем приводятся к форме записи через аналитиеские функции, введенной Смирновым и Соболевым [77].
В настоящей диссертации рассмотрены линейные и нелинейные задачи: об колебаниях магнитоупрутих пластин в магнитных полях, о дифракции звуковых и упругих волн на экране в плоской и пространственной постановке, о нелинейных решениях вблизи каустик для изгибных волн в магнитоупрутих пластинах, о нелинейных гауссовых пучках в магнитоупрутих и магнитогазодинамических средах с дисперсией и диссипацией, о соударении упругих двугранных углов. Диссертация состоит из шести глав, введения, заключения и списка литературы. Показано, что для большой электропроводности <у-й)00(/г)<0, где com{k) есть упругая частота изгибных колебаний, в то время, как по осредненному подходу со-сот{1г)>0. Дается вывод более общей формулы частоты для случая конечной электропроводности. Показано, что для нее значение частоты не совпадает с результатом осредненнои теории, вывод которого приведен. Дается сравнение с результатами эксперимента по изгиб — пым колебаниям ферромагнитных пластин. Определены частоты собственных колебаний и дано сравнение с теорией. Определены амплитуды вынужденных колебаний электропроводящей и ферромагнитных пластин и влияние на них магнитного поля. Дано сравнение с теоретическими выводами [5].
В строительной технике может возникнуть также и задача о соударении тел при смешанных граничных условиях, которая может иметь приложения в сейсмологических задачах и к задаче удара летящих тел об объекты, которые находятся на земле (или на воде), при подземных работах, при проходке тоннелей.
Для получения эффективного решения рассматриваемых задач используется метод интегральных преобразований Лапласа и Фурье, в сочетании с методами Винера —Хопфа [62] (при смешанных граничных условиях), причем удается с помощю контурного интегрирования привести окончательные формулы к форме записи через аналитические функции, предложенной Смирновым и Соболевым [77], который по идее близок к методу Каняра [88], введенному для изотропной упругой среды в задаче о точечном источнике, действующем в одном из контакируюшах полупространств. Отличие состоит в том, что в [88] предположено, в отличие о применяемого нами метода, что действительное значение имеет не частота со, а параметр преобразования Лапласа S=-ico, поэтому соответствующие гиперболы, на которые заменяется контур интегрирования повернуты на 90 и при вычислении интегралов приходится учитывать все особенности подинтегральной функции. При этом вычисление интегралов в [88] дает все имеющиеся волны, и в этом смысле метод [88] является более эффективным. Но следует отметить, что необходимость учета всех особенностей при получении решения ограничивает применимость прямого метода [88]. В применяемом нами методе [51—54] процесс получения решения не связан с учетом особенностей подынтегральных функций, которые находятся на действительной оси вне замкнутых контуров, используемых при замене интегралов по действительной оси в преобразовании Фурье на интегралы по контурам, проходящим через точки Смирнова —Соболева. Решение во всех рассматриваемых задачах находятся в форме суммы решений, записанных через аналитические функции, а исследование особых точек решения проводится после получения решения в общей форме Смирнова —Соболева путем выделения соответствующих особенностей около волн [51—55].
Ясное представление о связи метода контурных интегралов с формой записи Смирнова —Соболева позволяет включить точки разрезов в вышеуказанные контуры, что дает единую форму записи решения во всей области в форме аналитических функций, а также получить обобщение для произвольной гиперболической системы уравнений с постоянными коэффициентами.
Определение нелинейного решения для квазимонохроматической волны вблизи каустики для изгибных волн в магнитоупругой пластине
Особенно эффективно применение обсуждаемого метода в задачах со смешанными граничными условиями, в которых для изображений применяется простой метод Винера —Хопфа [62] а затем проводится обращение преобразований Лапласа и Фурье, решение записывается в форме Смирнова —Соболева.
Метод интегральных преобразований особенно удобен при получении асимптотического решения для больших моментов времени. В работе [Малков М.А. Асимптотика двумерной задачи об упругом соударении стержней. — ПММ, 1968 —Т32, выпЗ, с. 467 — 479]* получается для задачи соударения полуполос асимптотическое решение из общего решения в форме [77] весьма длинным способом. С другой стороны при применении метода интегральных преобразований асимтотическое решение задачи получается просто путем вычисления вычета в интеграле дающим обратное преобразование Фурье в точке, соответствующей продольным волнам в упругой пластине.
Выделяется двумерное решение задачи соударения безграничных по высоте тел, которое позволяет для добавочных смещений в слое записать нулевые начальные условия. Решение трехмерной задачи находится методом интегральных преобразований и получено асимптотическое решение в виде двухмерных волн в пластине для объемного расширения. Вблизи плоских и точечных воли получены простые формулы, а всюду в области решение имеет форму Смирнова — Соболева.
На основе порядков величин и размеров волновой области вблизи точки касания плоской и точечной волны, которое следует из формы линейного решения, получаются упрощенные нелинейные уравнения, которые по форме совпадают с системой уравнений коротких волн [20, 56], для жидкости. Отличие состоит в том, что нелинейные коэффиценты имеют обратный знак по отношению к жидкости и имеют место ударные волны разрежения. Для этого случая около волны вводятся нелинейные уравнения, подобные уравнения м гл. 3 для случая ау<0.
Для жидкости знак коэффицента при нелинейном члене уравнений обратный по сравнению со случаем геометрического вида нелинейности. При этом будут ударные волны сжатия, что соответствует плоской и точечной волнам, впереди которых возмущение равно нулю. Позади плоской ударной волны решение постоянно. При этом условия на ударной волне удовлетворяются достаточно точно (рис. 9). Решается уравнение Винера — Хопфа и получено решение в форме записи через аналитические функции, которое упрощается вблизи волн. Вблизи точки касания плоской и точечной волн получается решение в виде, подобном задаче соударения при свободных границах. Далее приведены основные выводы и литература.
Пусть упругие тела, движущиеся навстречу друг другу со скоростями V0+V',-Vo направленными вдоль оси х', сливаются в момент = 0. В предположении, что после соударения они образуют одно целое, из уравнения сохранения количества движения(при равных массах, что неограничевает общности рассмотрения) можно получить для скорости частиц упругой среды.
