Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Решение краевых задач плоской теории упругости для кольцевых областей
I. I Основные обозначения и соотношения 18
1.2 Краевая задача для однородного кругового кольца 23
1.3 Алгоритм решения задачи упругого равновесия зз многослойного кольца
1.4 Пример численного расчета 50
ГЛАВА 2. Методы расчета плоских задач теории упругости для областей специального вида ...
2.1 Численно-аналитический метод, использующий общее решение 57
2.2 Практические вопросы реализации метода 61
2.3 Метод конечных элементов применительно к расчету краевых задач в областях специального вида... 64
2.4 Численные расчеты по методу конечных элементов . 74
ГЛАВА 3. Решение краевых задач плоской теории упругости для составных систем
3.1 Итерационный процесс решения задачи сопряжения. 83
3.2 Сходимость итерационного процесса 85
3.3 Общая организация вычислений 90
3.4 Численные расчеты составных систем 93
Заключение 109
Литература
- Алгоритм решения задачи упругого равновесия зз многослойного кольца
- Практические вопросы реализации метода
- Численные расчеты по методу конечных элементов
- Сходимость итерационного процесса
Введение к работе
ГЛАВА I. Решение краевых задач плоской теории упругости 3
для кольцевых областей
I. I Основные обозначения и соотношения 18
Краевая задача для однородного кругового кольца 23
Алгоритм решения задачи упругого равновесия зз многослойного кольца
1.4 Пример численного расчета 50
Алгоритм решения задачи упругого равновесия зз многослойного кольца
Современный уровень развития техники,соображения экономии материалов и оптимальности эксплуатационных характеристик конструкций приводят к созданию сложных, конструктивно-неоднородных изделий типа составных систем, отдельные части которых изготовлены из разных материалов. При проектировании таких систем требуется оценить прочность как отдельных составных частей, так и всей конст- рукции в целом, при реальных внешних воздействиях.Поэтому в инженерной практике и научных исследованиях приходится рассматривать поля напряжений и деформаций, возникающие при контактном взаимодействии двух или нескольких упруго-деформируемых тел,составляющих рассматриваемую систему. Это, в свою очередь, приводит к необходимости создания новых и адаптации известных эффективных численных алгоритмов решения краевых задач теории упругости для составных систем, что свидетельствует об актуальности темы диссертации.
Для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) составной системы в общем случае необходимо решать трехмерные уравнения теории упругости в сложного вида областях, удовлетворяя соответствующим краевьм условиям на граничных поверхностях и условиям сопряжения на поверхностях контакта. Решение этой задачи может быть осуществлено только численными методами, но даже при наличии современных высокопроизводительных ЭВМ представляет известные трудности. Поэтому при практическом решении такого рода задач вместо реальной конструкции часто выбирается упрощенная расчетная система. Выбор её зависит от формы конструкции и составляющих её частей, от вида нагружения и интересующих нас факторов НДС системы. В рамках выбранной расчетной системы задача, как правило, сводится к двумерной или даже одномерной. Правильный учет существенных факторов, выбор соответствующей расчетной системы и применение эффективных численных методов позволяют в ряде случаев удовлетворительно определить НДС сложных систем.
Будем рассматривать плоские, статические задачи теории упругости, так что под составной системой будем понимать область, состоящую из двух или более подобластей. Подобласти соединяются между собой по линиям, называемым границами сопряжения или кон г-такта. В общем случае каждая из подобластей имеет свои, отличные от других, физико-механические свойства материала, однако разбиение области на подобласти может производиться также из геометрических или каких-либо других соображений. Ограничимся задачами с очевидным характером контакта, так что перед решением задачи можно заранее однозначно указать границы сопряжения и условия, которые должны быть выполнены на этих границах - условия сопряжения. Основным типом условий сопряжения в рассматриваемых задачах является условие идеального механического контакта, состоящее в непрерывности на границе сопряжения векторов смещений и усилий. Иногда, без ограничения общности, могут рассматриваться также условия сопряжения без трения или с учетом трения. Класс рассматриваемых областей образуем из областей, ограниченных замкнутыми достаточно гладкими контурами.
Более конкретно, предметом исследования в настоящей работе являются составные, плоские упругие системы специального вида, находящиеся под действием распределенных статических нагрузок. Составными частями рассматриваемых систем являются кольцевые элементы и сопряженные с ними элементы более общего вида. Характерным представителем таких систем является система типа оболочка-наполнитель, применительно к расчету которой, в основном, рассматриваются излагаемые в диссертации методы и алгоритмы. В случае плоской системы под оболочкой понимается кольцевая область, которая может состоять из нескольких концентрических, скрепленных между собой слоев. Наполнитель представляет из себя двусвязную область, ограниченную круговым внешним контуром и внутренним контуром, имеющим несколько радиальных лучей симметрии.
Рассмотрим более подробно составные конструкции, представляющие собой систему типа оболочка-наполнитель. Реальная система является протяженной вдоль одной оси и состоит из осесимметричной оболочки и полого наполнителя с криволинейным, в общем случае, профилем внутреннего канала. Наполнитель и оболочка жестко скреплены между собой.Для оценки .НДС такой конструкции реальная система часто заменяется расчетной. В основе большинства исследований конструкций типа наполнитель-оболочка лежит расчетная система, состоящая из толстостенного полого цилиндра, скрепленного с тон -кой цилиндрической оболочкой [ 17,18,24,34] . Будем называть эту систему основной расчетной системой.
Практические вопросы реализации метода
Коэффициенты Pf i » несут смысл прогоночных коэффициентов и определяются физико-механическиш и геометрическими параметрами ого слоя. Применяя последовательно рекуррентные формулы (1.3.24), начиная от 1 = п до 1-і , получим связь больших коэффициентов на внешнем $п+1 и внутреннем 1 контурах в следующем виде
Построение рекуррентных соотношений для оставшихся коэффициентов произведем благодаря имеющейся аналогии в структуре членов при четных и нечетных гармониках. Произведем замену коэффициентов, используя следующее их соответствие
Учитывая также, что члены при нечетной гармонике в представлении tf , и ДРИ /%-/ не содержат компонент, обусловленных массо-выми силами, получим рекуррентные соотношения, аналогичные (1.3.24), (1,3.25) в виде „7..=А Q. .B . . ты . к = 1....Л. (1.3.27) и соответственно
Получение коэффициентов гт , Ц т в явном виде приводит к очень громоздким выражениям, поэтому подсчет этих коэффициентов производится на ЭВМ по рекуррентной процедуре.
Для решения основных граничных задач или смешанной задачи, в которой на одной из границ заданы напряжения, на другой - смещения, нужно разрешить соответствующие пары уравнений из (1.3.25), (1.3.29) относительно тех коэффициентов А і Е . } = 1 4 которые являются неизвестными. Так, при решении краевой задачи с заданными на границах нагрузками (1.3.3), из первых двух уравнений (1.3.25), (1.3.29) находим коэффициенты -Ат1 , Ё т1 f 1 = 3,4 После этого, используя рекуррентные формулы (1.3.240,(1.3.27), находим все большие коэффициенты, что позволяет рассчитать необходимые характеристики НДС на границах контакта слоев и на внешних границах. При необходимости расчета НДС в других точках кольца находим малые коэффициенты, используя соответствующие соотношения связи малых и больших коэффициентов.
Построение рекуррентных формул для многослойного кольца с уче том нагружения стационарным тепловым полем (\В) осуществляется аналогично изложенному. Будем считать тепловое поле і (ъ, Q) , вы зывающее деформации, заданным в виде ряда (І.І.І4) со своими,извес тными для каждого слоя кольца, коэффициентами. Представление компо нент напряжений 6 , бд ; т на каждом слое имеет вид (І.І.4), где частное решение бг , б$ , -іів получается по формулам (1.1.5) с функцией F=F вида (I.I.I5). здесь штрихом отмечены коэффициенты ряда (I.I.15) для / -ого слоя, выражающиеся через известные коэффициенты ряда (I.I.I4) по формулам (I.I.I6). Для компонент напряжений 6г , Т в в произвольном слое кольца с номером I имеем следующие выражения
Представления для компонент смещений получаем интегрированием соотношений (I.I.3), аналогично тому, как это сделано в 1.2, но с отличной от нуля правой частью в первых двух уравнениях. Уравнение на функции (д) 9 (ї,) и условия однозначности смещений получав-ем в прежнем виде, так что они могут быть записаны аналогично и для коэффициентов с волной, поскольку замена неизвестных (1.3.30) оставляет входящие в эти соотношения коэффициенты неизменными.
Численные расчеты по методу конечных элементов
При решении описанным методом краевых задач с произвольными граничными нагрузками для областей, общего вида трудно надеяться на получение удовлетворительного по точности решения. Это обусловлено следующими факторами. Для достаточно точного удовлетворения краевых условий в общем случае нужно брать большое число точек коллокации, что приводит к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с полными матрицами.
Однако, с повышением порядка ухудшается обусловленность матрицы системы уравнений (2.1.8), что осложняет нахождение решения системы с достаточной точностью. Искомое решение задачи получается пу-тем суммирования обобщенных тригонометрических рядов. Если точность вычисления коэффициентов не достаточна, погрешность 8" может быть очень большой, поскольку процедура суммирования тригонометрических рядов с приближенно вычисленными коэффициентами не устойчива [ 4б].
Более благоприятно обстоит дело при решении задач для специ ального вида областей и частных случаев нагружения. Пусть одна из границ области есть окружность, как в случае области типа наполни теля, тогда краевые условия на круговой границе удовлетворяем по добно тому, как это сделано в главе I. Представляем компоненты вектора О в виде рядов Фурье-и, приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках этих рядов и (I.I.7), (I.I.9) при 2=/ , получаем соотношения, связывающие неизвестные коэффициенты. Это позволяет вдвое сократить число коэффициентов подлежащих определению из решения системы (2.1.8). Пусть, кроме того, рассматриваемая область имеет J радиальных лучей симметрии, проведенных из центра окружности и нагрузка равномерно распределена или задана в виде периодической функции с периодом 2ІЇ/ J . Тогда задача обладает полной симметрией относительно радиальных лучей и решается в интервале [-X/J , JT/J" J Точки коллокации располагаем при этом на части границы , заключенной в секторе 0 8 Ії/J - Полагая = J-% сводим решение задачи к нормированному отрезку 1 Т, Ж]. Все соотношения при этом сохраняются, только вместо В в них нужно подставлять У .
На основе описанного метода были проведены тестовые численные расчеты для двусвязной области с круговым внешним и эллиптическим внутренним контуром (рис.2.1). Рассматривалось нагружение равномерным внутренним давлением при свободной от нагрузки внешней границе.
Точки коллокации на границе S\ выбирались двумя способами: равномерно по длине контура и равномерно по кривизне контура. Цель расчетов преследовала установить практическую применимость рассматриваемого подхода к решению краевых задач в двусвязных областях типа наполнителя с симметричным внутренним контуром, имеюцим вид как, например, на рис.2.2. Были рассчитаны варианты задач с различным соотношением длин а- О,:о большой и малой полуосей эллипса. Число точек коллокации /?? менялось от 9 до 33, так что максимальный порядок системы линейных алгебраических уравнений был равен 66. Ввиду симметрии задачи, точки располагались на четверти внутреннего контура. Точность расчетов оценивалась по относительной погрешности 8" выполнения граничных условий задачи. Расчеты показали очень большую чувствительность метода к параметру d . Так при увеличении СІ от І до 2 относительная погрешность ІЇ изменяется от 10- до 2,8% при /7?=/? . Причем выбор /точек коллокации равномерно по кривизне контура дает несколько большую точность при одинаковом числе точек. При дальнейшем возрастании параметра а наблюдается сильное увеличение погрешности о , так что при удовлетворительной точности уже не получается: о 50% . Причем увеличение числа точек коллокации т не дает улучшения результатов, а в некоторых случаях точность даже ухудшается. Это объясняется резким увеличением числа обусловленности матрицы системы при возрастании параметров d и fn . При этом оказывается невозможным с достаточной для последующего суммирования рядов точностью получить решение системы. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод о том, что данный метод, обладая несомненной простотой и наглядностью, имеет весьма ограниченное практическое применение для расчета рассматриваемых краевых задач.
Сходимость итерационного процесса
Сходимость итерационного процесса при расчетах оценивалась поточечно, по смещениям и усилиям на границе сопряжения наполни » теля и оболочки. Для приведенных вариантов расчетов сходимость достигалась за 5-5-12 итераций. Скорость сходимости зависела при этом от геометрических параметров, определяющих внутреннюю геометрию наполнителя и соотношения физико-механических характеристик материалов. В общем случае было замечено уменьшение скорости сходимости при увеличении концентрации напряжений в окрестности внутреннего контура наполнителя. Начальное приближение итерационного процесса было взято в виде и0 - (U,0) , где и - радиальное смещение на границе сопряжения в задаче о нагружении внутренним давлением двуслойного кругового цилиндра с приведенным внутренним радиусом R1 . Под приведенным внутренним радиусом понимается радиус окружности, проходящей через вершины звездообразного контура наполнителя. Весовые параметры итерационного процесса полагались равными об - f - і
При анализе напряженногдеформированного состояния наполнителя обычно используется критерий максимальных нормальных напряжений или максимальных нормальных деформаций, действующих вдоль внутреннего контура наполнителя [18,34] . Звездообразная геометрия внутреннего контура приводит к концентрации напряжений в окрестности вершин;. звезды. Реальнее напряжения при этом превышают напряжения, возникающие в круговом цилиндре с соответствующим приведенным внутренним радиусом, поэтому представляет интерес определение количественных значений этих величин и оценка влияния на них различ - 98 -ных параметров, задающих геометрию и физико-механические свойства материалов системы наполнитель-оболочка.
На рисунках 3.2, 3.3 представлены расчетные эпюры распределения напряжений бв , dt по своду наполнителя- отрезку DC (рис. 3.1) при различной относительной толщине свода со со= ( ег- .,)/2 . (3-4-4) На рисунке 3.4 эпюра 6В представлена для разных значений радиуса скруглення ъ в вершине звезды.
Из приведенных графиков видно, что наибольшие напряжения бв в вершинах вырезов.уменьшаются с увеличением относительной толщины свода и увеличением радиуса скруглення в вершине звезды. Эти численные результаты согласуются с экспериментальными данными, полученными разными авторами [ 18,49] . Экспериментальные исследования по изучению концентрации напряжений в областях типа наполнителя со сложной внутренней геометрией проводятся поляризационно-оптически-ми методами. При этом концентрацию напряжений в вершинах вырезов оценивают с помощью коэффициентов концентрации К вида [ 18,49]
В случае наполнителя без оболочки, со свободной или нагруженной равномерным давлением внешней границей, напряженное состояние не зависит от физико-механических свойств материала, что позволяет проводить экспериментальные исследования на модели, геометрически подобной наполнителю, изготовленной из любого подходя-щего материала.
Расчетные значения коэффициента концентрации К1 , определяемые по формуле (3.4.6), где дв взято из численного расчета, при этом довольно хорошо согласуются с экспериментальными. Так, для наполнителя с шестью лучами симметрии, различие расчетного значения коэффициента К , полученного МКЭ на сетке 15 х 18 узлов, и экспериментального значения из [ 49 ] составило 9,6%. Такого" же порядка различие расчетного и экспериментального коэффициентов (7%) получено в [ 16 ] для наполнителя с вырезом в форме четырехлучевой звезды. Как следует из 2.4, расчетные значения напряжений на внутренней границе, полученные МКЭ, являются несколько заниженными, поэтому действительная величина коэффициента К1 лежит выше расчетного значения. В случае наличия оболочки напряженное состояние наполнителя существенно зависит от физико-механических свойств материалов наполнителя и оболочки. Характер напряженного состояния наполнителя при этом качественно изменяется. Это хорошо видно на модели наполнителя в виде кругового коль-ца, нагруженного внутренним давлением Р
