Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретическое и алгоритмечиское обоснование метода граничных состояний с возмущениями 13
1.1. Основные положения метода граничных состояний 13
1.1.1. Апробация метода граничных состояний 13
1.1.2. Основы метода граничных состояний 18
1.2. Основные положения метода возмущений в контексте метода граничных состояний 20
1.3. Эффективные алгоритмы метода граничных состояний 22
1.3.1. Ортогонализация базиса 22
1.3.2. Рекурсивный матричный алгоритм пополнения ортонормированного базиса 24
1.3.3. Алгоритмы формирования разрешающей бесконечной системы уравнений для основных краевых задач механики деформируемого твердого тела 26
1.3.4. Использование свойств симметрии при построения «скелета» для серии классических задач 32
1.4. Обеспечение достоверности численно-аналитических расчетов 33
1. 5. Выводы по разделу 35
2. Обоснование метода граничных состояний для решения задач линейной упругости неоднородного тела 36
2.1. Определяющие соотношения линейной теории упругого равновесия неоднородного тела 36
2.2. Декомпозиция определяющих соотношений методом Пуанкаре 36
2.3. Декомпозиция решения задачи А;-го приближения 38
2.4. Метод граничных состояний для решения задач теории упругости однородного тела 39
2.4.1. Состояния упругой среды 39
2.4.2. Изоморфизм гильбертовых пространств упругих состояний 41
2.4.3. Постановка задач теории упругости и их решение методом граничных состояний 42
2.5. Верификация метода граничных состояний с возмущениями 43
2.6. Задачи упругости для неоднородного «гвоздя» 46
2.7. Выводы по разделу 55
3. Применение метода граничных состояний для решения задач статической термоупругости 56
3.1. Определяющие соотношения термоупругости 56
3.2. Решение нелинейной задачи термостатики методом возмущений 57
3.2.1. Метод граничных состояний в задачах линейной термостатики 58
3.2.2. Задача термостатики с синуглярностью границы конического типа 61
3.3. Линеаризация задачи термоупругости методом Пуанкаре 64
3.4 Метод граничных состояний для задач статической термоупругости 66
3.5. Решение задач термоупругости для шарового сектора в случае отсутствия или наличия конической точки 67
3.5.1. Постановка серии осесимметричных задач для шарового сектора 67
3.5.1.1. Задачи термоупругости для полушара 68
3.5.1.2. Задачи термоупругости для шарового сектора с внутренней конической точкой 83
3.5.1.3. Задачи термоупругости для шарового сектора с внешней конической точкой 85
3.6. Выводы по разделу 88
Заключение 91
- Основные положения метода возмущений в контексте метода граничных состояний
- Декомпозиция определяющих соотношений методом Пуанкаре
- Решение нелинейной задачи термостатики методом возмущений
- Задачи термоупругости для шарового сектора с внутренней конической точкой
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке общего численно – аналитического метода решения неоднородных задач теории упругости.
Актуальность. Проектирование современной техники и технологических процессов предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, конструкций и сооружений, работающих подчас в критических термомеханических условиях. Это требует создания новых методов расчета, адекватно учитывающих реальные свойства материала. Это обстоятельство привлекает внимание исследователей к задачам теории упругости (ТУ) неоднородных тел, задачам нелинейной теории упругости, задачам термоупругости.
Общим вопросам неоднородной ТУ посвящен ряд работ П. Чоудхури (1957), M.A. Садовского, M.A. Голдберга (1958), Л. Н. Тер-Мкртчяна (1961), В. Олзака, Дж. Ричлевского (1961), Н.А. Ростовцева (1964), Б. Клозовича (1968), В.П. Плевако (1971, 1973), В.М. Панферова, Э.А. Леонова (1975). Значительные результаты получены в задачах частных классов. Плоскими задачами неоднородной ТУ занимались С.Г. Лехницкий (1962), П. Мазилу (1969), А.И. Александрович (1973), И. А. Спришевская (1973), В. Олзак, Дж. Ричлевский (1965). Задаче Сен-Венана, кручению, частным случаям деформирования цилиндрических тел уделили внимание E. Сус (1963), Р. Д. Шайль, Р.Л. Сиераковский (1964, 1965), М.М. Плотников (1967), С.Г. Лехницкий (1967, 1971, 1972), Г. И. Назаров, А.А. Пучков (1972). Расчету неоднородных элементов конструкций посвящена работа Г.Б. Колчина (1971). Развитие метода малого параметра в приложении к неоднородным средам выполнили В. А. Ломакин, В. И. Шейнин (1970, 1972). Серия работ посвящена микронеоднородным средам (В. А. Ломакин (1965,1966, 1970 и др.).
Многие нелинейные задачи теории упругости после линеаризации приводятся к соотношениям теории упругости для неоднородных тел. Предпосылки нелинейной ТУ возникли в 19 веке (в работах Коши, Дж. Грина, Г. Кирхгофа, и др.). Основы нелинейной ТУ заложены к первой половине 20 века рядом ученых (Н.В. Зволинский, Ф.Д. Мурнаган, П.М. Риз, М.А. Био, Р.С. Ривлин, Д.Ю. Панов, Р. Хилл, А.А. Грин). В.В. Новожилов классифицировал задачи по "геометрическим" и "физическим" признакам. Современное состояние теория обрела благодаря трудам А.А.Ильюшина, А.И. Лурье, Л.А.Толоконникова, К.Ф. Черных, Х.М. Муштари, К.З. Галимова, И.Г. Терегулова. Разноплановые исследования проводятся и в настоящее время (А.А. Маркин, М.Ю. Соколова, А.И. Александрович и др.).
Стимулом исследований по термоупругости явились задачи о термоупругих напряжениях в элементах конструкций, проводившиеся на основе теории Дюамеля и Неймана (1841). Томсон (1855) применил законы термодинамики для изучения свойств упругого тела. Развитие термоупругости определили работы Гиббса (1875-1878), Шиллера (1897-1901), Каратеодори (1909), Афанасьевой - Эренфест (1925-1928), Био (1956), Боли и Уэйнера (1960), Чедвика (1960). Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц (1953) и др. получили связанные уравнения термоупругости на основе классической термодинамики. Все большее значение приобретает теория конечных термоупругих деформаций.
Наибольшую практическую ценность имела задача термоупругости в квазистатической постановке. Ее общее решение предложил П.Ф. Папкович (1932-1937). А.А. Лыковым, Карслоу, Евгером и др. изложен первый этап решения задачи: определение температурного поля методами теории теплопроводности. Методы решения отдельных задач изложены в монографиях А.Н. Динника, Н.Н. Лебедева, В.М. Майзеля, Мелана и Паркуса, Боли и Уэйнера и Новацкого. В монографиях А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова и др. представлены результаты изотермической теории оболочек. В.И Даниловская (1950) исследовала методами операционного исчисления динамическую задачу термоупругости. Обобщение эта задача нашла в работах Стеренберга и Чакроворти (1959), Муки и Брейера (1962), Дилона (1965). Исследования связанных динамических задач термоупругости нашло свое развитие в работах Дересевича (1957), Чедвика и Снеддона (1958), Я.С. Подстригача (1960), Новацкого (1962). Современные исследования ведутся по разным направлениям В.Е. Петровой, В.Н. Кобзарем и др.
Строгое решение нелинейных задач ТУ удается построить редко. Основными способами решения нелинейных задач являются: а) прямая дискретизация соотношений (неоднородной, нелинейной, термоупругой среды); б) предварительное проведение линеаризации с использованием метода возмущений. Первый способ приводит к нелинейным системам уравнений. Их решения формирует ошибки, обусловленные: а) численными процедурами, имеющий массовый характер; б) итерационным процессом. Второй способ можно использовать в сочетании с любым методом. Он приводит: а) к инструментальным ошибкам используемого на каждом шаге метода; б) к ошибке сходимости асимптотического разложения.
Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях: а) снижение уровня инструментальной ошибки, б) построение аналитического решения, поскольку в этом состоит современная тенденция развития современных вычислительных средств. Современным методом, отвечающим этим требованиям, является метод граничных состояний (МГС). Первоначально он был предложен в качестве эффективного средства решения линейных задач механики сплошных сред Пеньковым В.В и Пеньковым В.Б (1998). Идеология МГС ориентирована на символьное представление промежуточных и финишных результатов счета. Для многих прикладных задач заявленные к вычислению квадратуры берутся средствами компьютерной алгебры с абсолютной точностью. Это ликвидирует еще одну причину формирования результирующей ошибки вычислений, связанной с численным характером промежуточного счета.
Сочетание МГС и метода возмущений (МГСВ) обещает быть надежным методом решения нелинейных задач, поскольку он сохраняет все достоинства МГС и экономит ресурсы: наиболее трудоемкие вычислительные процедуры выполняются один раз, а именно, – в задаче основного приближения и далее используются по назначению в задаче каждого приближения.
Целью диссертационной работы является разработка эффективного метода решения задач МДТТ для неоднородной среды, основанного на сочетании метода возмущений и метода граничных состояний.
Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:
-
разработка МГСВ для задач упругого неоднородного тела;
-
разработка МГСВ для решения нелинейных задач термостатики и задач термоупругости;
-
разработка эффективных приемов и алгоритмов, поддерживающих компьютерную технологию МГС.
Научная новизна работы содержится в следующих положениях:
-
разработан МГСВ и приспособлен для решения задач ТУ для неоднородного тела;
-
МГСВ применен для решения задач стационарной неоднородной теплопроводности и статической термоупругости;
-
исследованы эффекты, связанные с концентраторами в геометрии тела: особенностями типа "ребро" и "коническая точка".
Теоретическая ценность:
-
обоснована эффективность сочетания МГС и метода возмущений в задачах ТУ для неоднородного тела и термоупругости (МГСВ);
-
обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для термомеханических полей, опирающаяся на МГСВ;
-
предложенная методика альтернативного разложения при постановке краевых задач позволяет выписывать разрешающую бесконечную систему уравнений (БСУ) без промежуточных выкладок.
Практическая ценность:
-
подтверждена эффективность МГС в части решения задач для областей с произвольной геометрической конфигурацией;
-
сочетание метода возмущений и МГС привело к высокоэффективным алгоритмам в процедурных решениях различных классов задач (в том числе и нелинейных): базис пространств состояний является единым для задач каждого приближения, поэтому все относительно трудоемкие операции (собственно конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения;
-
методика альтернативного разложения позволяет существенно снизить ресурсозатратность при вычислении коэффициентов БСУ за счет использования исходного базиса вместо ортонормированного и свойства косой симметрии в "скелете" задачи;
-
серьезную практическую ценность составляет алгоритм ортогонализации, основанный на предварительном вычислении матрицы Грама. Его значимость усиливается рекурсивным подходом к организации вычислительного процесса, поскольку позволяет планировать использование вычислительных ресурсов (время, память);
-
система жестких тестов гарантирует подлинность результатов;
-
решен ряд различных физических задач для областей, содержащих особенности типа "ребро" и "коническая точка", как-то: нелинейная термостатика, неоднородная упругость, нелинейная термоупругость. Сделаны качественные выводы о влиянии таких концентраторов (и фактов нелинейности или неоднородности среды) на качественные изменения в картинах температурных и механических полей.
Достоверность обусловлена:
-
использованием классических моделей МДТТ;
-
применением фундаментальных математических основ при построении МГСВ и решением конкретных задач;
-
жестким тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие постановке задачи, промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи для каждого приближения (совпадение атрибутов актуального набора с граничными условиями; насыщение суммы Бесселя), результирующего решения неоднородной задачи (сходимость асимптотического ряда, визуальный контроль, верификация сравнением с решением, построенным иными методами).
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 2009, 2010 гг.), на IX всероссийской научно-технической конференции и школе молодых ученых, аспирантов и студентов (г. Воронеж, г. Москва, 29 мая 2008 г.), на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" (г. Воронеж, 2009 г.), на научном семинаре имени Л.А. Толоконникова (г. Тула, ТулГУ, 2010 г.), на региональных совещаниях по теоретической механике (г. Новочеркасск, 2008 г., 2009 г.).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 15 статей. Две работы опубликованы в издании рекомендованном ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 107 страниц, включая 57 рисунков, 5 таблиц и 1 приложения. Список литературы содержит 105 наименований.
Основные положения метода возмущений в контексте метода граничных состояний
Основные положения метода возмущений и его применение к задачам МДТТ изложено в серии публикаций [2, 5, 7, 8, 26, 27, 30, 33, 59, 73, 74]. Рассмотрим основные положения метода возмущений применительно к понятию состояния среды. Нелинейный оператор А содержит все определяющие соотношения среды. Действуя оператором А на внутреннее состояние g, получим правые части определяющих соотношений /: где (3 — малый параметр. Нелинейный же оператор L формирует из атрибутов граничного состояния у набор граничных условий ср: Будем рассматривать такой класс операторов А, которые представимы рядами по степеням /? с участием линейных операторов А : Правую часть (1.6) также представим рядом после чего операторное уравнение (1.6) примет вид Будем искать внутреннее состояние также в виде ряда по малому параметру Р- где %J есть состояние от j — го приближения в методе малого параметра. Перепишем (1.9) с учетом равенства (1.10) и преобразуем выражение (1.11) к виду: Перейдем в соотношении (1.12) к одному общему индексу s: Для каждого приближения s имеем Относительно приближения приходим к операторному уравнению: Аналогичные выкладки справедливы и при действии оператора L на граничное состояние у. Проделав их, приходим к результирующей формуле для граничного состояния: Таким образом, в результате декомпозиции исходная нелинейная краевая задача (1.6), (1.7) сводится к последовательности линейных задач (1.14), (1.15). Это составляет суть процесса линеаризации методом возмущений. Для проведения ортогонализации были выполнены все перекрестные скалярные произведения элементов базиса пространства внутренних состояний. Сам процесс ортогонализации проводился по схеме, использующей матрицу Грама предварительно вычисленных перекрестных произведений т.е. в соответствии со следующим алгоритмом: -!- а) заготавливаются нулевые матрица Н и ее вспомогательный «пред- шественник» Н размерностью NxN; б) на первом шаге ортогонализации кладется Н \ \ =\,Нц = 1/\JG\ \ ; в) выполняется перебор шагов ортогонализации k-2...N. На каждом шаге проводятся вычисления в соответствии с г).
По завершении перебора процесс формирования левого ортогонализирующего множителя для исход ного базиса окончен; г) для диагонального элемента полагается Н кк = 1 Поддиагональные элементы матрицы-«предшественника» вычисляются по правилу Вывод этого правила заключен в цепочке преобразований, в которых учтено, что при т j справедливо hjm = 0: Вычисляется квадрат нормы к-го ортогонального элемента Это выражение получено из рассмотрения скалярного произведения: Вся строка к ортогонализирующего множителя Н нормируется: #Ь =Н kn/ lb Проверку адекватности результата можно провести двумя способами. Во-первых, должно выполняться тождество HGH = Е (норма матрицы Т HGH —Е, вычисленная любым способом, служит основанием для суждения о погрешности численной реализации метода). Во-вторых, выборочные тесты вида (i//i,i//j) = Sy , также являются основой для положительного заключения об адекватности. Ортонормированный базис Ч получаем посредством матричного произведения левого множителя Н на исходный базис Ф: 4х = НФ. Эффективность описанного подхода к ортогонализации состоит не только в рациональной организации информации об исходном базисе (матрица Грама), но и в способе вычисления нормы ортогонального элемента, исключающем трудоемкие действия, связанные с взятием кратного интеграла от громоздкого выражения. Входную часть рекурсии алгоритма определяет набор характеристик: G = [gij]n xn «входная» симметричная матрица Грама размерности п хп (учитывается из памяти компьютера); Н — (Лу]и хи " «входная» нижнетреугольная матрица Шмидта (учитывается из памяти компьютера); An - длина приращиваемого отрезка {уп +і,Цгп +2 -- У/п +Ап} ортонормированного базиса, определенная по вышеописанной методике в условиях ограниченности времени счета (задается с клавиатуры); ф = {ф АФ} = { Р\,(Р2,- - Рп +Ап} " достаточный отрезок исходного базиса, структурно разбитый на два подмножества: «старый» и наращиваемый (считывается из памяти компьютера). Определим некоторые полезные операции с матрицами: NnlC{k) - формирование нулевого вектора-столбца размерности к; Add(A,B) -. образование структурной матрицы из двух матриц «в строку». Матрицы А, В должны иметь одинаковые числа строк; Stack(A,B) - образование структурной матрицы из двух матриц «в столбец». Матрицы А, В должны иметь одинаковые числа столбцов. Собственно, рекурсивный алгоритм заключается в нижеприведенной последовательности шагов. А. Формируется «входная» часть рекурсии: 3?,G ,H ,An. Б. Циклическая часть. Повторяется An раз для значений к = \.Ап. При каждом к выполняется: Б1. Вычисляются матрицы, определяемые скалярными произведениями: G - [( ?V+i /)] Ал вектор-столбец размерности п , j = 1..п ; Q = [( V+btfV+l)] " матрица-элемент. Выполняется окаймление матрицы G до Г по правилу Вычисляется вектор-столбец H = —H -Н -G и формируется строка Добавление этой строки к информации в Н эквивалентно присоединению к базису еще одного ортогонального (но не ортонормированного) элемента. Б2. Для нормирования вычисляем норму элемента: Получен еще один элемент ортонормированного базиса. Б4. Для возобновления циклической части выполняется пересылка Если предел циклической части не достигнут, то переходим к пункту Б - для наращивания индекса к. В противном случае — к С. С. Заключительный этап.
Результаты счета сохраняются в памяти компьютера. Ортонормированный базис есть = Н Ф. Достоинства рекурсивного матричного алгоритма существенны [50]: 1) надежность результатов ортогонализации; 2) возможность пополнения ортонормированного базиса посредством наращивания его отрезка; 3) возможность «заказывать» величину приращения базиса, исходя из доступного ограниченного времени счета [81]; 4) возможность повышения надежности результатов счета посред ством дублирования вычислений. Реализация алгоритма представлена в приложении. 1.3.3. Алгоритмы формирования разрешающей бесконечной системы уравнений для основных краевых задач механики деформируемого твердого тела Для обеспечения лаконичности изложения введем некоторые понятия (соответствующий подход для краткости будем называть альтернативным разложением) [52]. Лапидарный набор у — набор характеристик среды атрибутов состояния, напрямую участвующий в скалярном произведении пространства состояний. Актуальный набор у — совокупность атрибутов лапидарного набора пространства граничных состояний, напрямую участвующих в ГУ задачи. Альтернативный набор у — совокупность атрибутов пространства граничных состояний, дополняющий актуальный набор до лапидарного. Например, в случае основной смешанной задачи актуальный набор есть В общем случае постановка задач в терминах МГС приводит к разрешающей бесконечной системе алгебраических уравнений (БСУ) относительно коэффициентов Фурье вида где Q- «скелет задачи» (матрица коэффициентов БСУ); в случаях первой и второй основных задач Q = E, с-{с{,с2- -.,ск,...} — коэффициенты Фурье; q- вектор правых частей БСУ. Обозначим через у ,у актуальный и альтернативный наборы атрибутов граничного состояния, отнесенные к двум различным состояниям у и у , тогда скалярное произведение определено выражением Коэффициенты Фурье вычисляются через ортонормированный базис Г0 =(YO )s Г0 =(7о ), Г0 =(YO )- вектор-строки из ортонормиро-ванных лапидарных, актуальных, альтернативных наборов пространства граничных состояний соответственно, организованных в столбцы.
Декомпозиция определяющих соотношений методом Пуанкаре
Используя свойства симметрии "скелетной" матрицы можно существенным образом сократить временные и ресурсные затраты на ее вычисление. В случае задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности при отсутствии теплоисточников "скелет" задачи Q представляет собой единичную матрицу Е, поскольку компоненты матрицы Q определяют скалярное произведение в пространстве граничных состояний. Аналогично дело обстоит для первой и второй задач теории упругости. В случае основной смешанной задачи выполняется свойство: Qkm - Qmk, к т п Qj =\,к = т Это справедливо ввиду выполнения следующих соотношений: Точно такое же свойство антисимметрии срабатывает и для основной контактной задачи, и для смешанной задачи для уравнения теплопроводности при отсутствии теплоисточников. Заметим, что свойства антисимметрии "скелетной" матрицы в случаях основной смешанной и основной контактной задач сохраняются и при использовании исходного базиса для ее построения. Как было показано выше E-Q = -(E-Q ); подставим вместо Q (1.24), а единичную матрицу Е за- т пишем в виде НЕН , тогда получим Приведенные эффективные алгоритмы существенным образом позволяют сократить вычислительные ресурсы. 1.4. Обеспечение достоверности численно-аналитических расчетов На каждом этапе вычислений проводится проверка на достоверность промежуточных результатов: 1) частные решения уравнений Пуассона для массовых и температурных сил проверяются на предмет тождественного удовлетворения уравнениям; 2) внутреннее состояние от массовых и температурных сил тестируется на предмет удовлетворения уравнениям равновесия; 3) ввод данных о геометрии тела (граничных условий) проверяется на их непротиворечивость и корректность; 4) главный вектор поверхностных усилий, компенсирующий действия массовых сил, равен главному вектору массовых сил; главный вектор поверхностных усилий, компенсирующий действия температурных сил, тождественно равен нулю; 5) базис гармонических многочленов строится генератором таковых и тестируется на предмет удовлетворения уравнению Лапласа; 6) каждое внутреннее состояние исходного базиса проверяется на удовлетворение уравнениям равновесия в перемещениях и напряжениях; 7) ортогонализация исходного базиса проводится рекурсивным матричным алгоритмом, основанным на перекрестных скалярных произведениях исходного базиса.
Проверка состоит в том, что должно выполняться тожде- служит основанием для суждения о погрешности численной реализации алгоритма); 8) выборочная свертка состояний показала ортонормированность —19 базиса с высокой точностью (є = 1,74-10 при п = 186): 9) процесс решения задачи сводится к вычислению последовательности квадратур; поскольку таковые берутся аналитически (с использованием аналитических возможностей современных вычислительных сред), то погрешность формируется лишь операциями вычисления по конечным выражениям в соответствии с формулой Ньютона - Лейбница, т.е. с высочайшей точностью. 10) система коэффициентов Фурье разложения элемента у Гильбертова пространства по ортонормированному базису подчинена неравенству Бесселя где v - размерность базиса. Прямое вычисление еще одного коэффициента не отражается на значениях предыдущих коэффициентов и служит только нивелированию погрешности, поскольку для его величины существует ограничение сверху (1.34). Таким образом, механическое наращивание размера удерживаемого отрезка базиса повышает точность решения и при этом никак не может повлиять на его устойчивость; 11) результат решения в полностью восстановленном граничном состоянии проверялся на совпадение с заданным граничным условием. По степени рассогласования заданного и восстановленного граничных состояний можно судить об уровне погрешностей; 12) при решении задач с заданным на границе базисным состоянием результат решения тестировался на содержание в полностью восстановленном внутреннем состоянии соответствующего изоморфного ему внутреннего базисного состояния. Перечисленные тесты органически «вплетены» в расчетные алгоритмы и являются убедительным свидетельством корректности выполнения действий в процессе реализации 1) выполнен обзор задач, эффективно решенных методом граничных состояний; 2) новым является алгоритм ортогонализации, основанный на предварительном вычислении матрицы Грама. Его практическая значимость усиливается рекурсивным подходом к организации вычислительного процесса, поскольку позволяет планировать использование вычислительных ресурсов (время, память); 3) разработана методика альтернативного разложения при рассмотрении краевых задач, позволяющая выписывать разрешающую БСУ, минуя промежуточные выкладки (теоретическая ценность) и существенно снизить ресурсозатратность при вычислении коэффициентов БСУ за счет использования исходного базиса вместо ортонормированного (практическая ценность); 4) следствием альтернативного разложения является также свойство косой симметрии в "скелете" задачи, что дополнительно снижает ресурсоем-кость более, чем вдвое; 5) разработана система жесткого тестирования в процессе решения задач: — исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи; — промежуточных результатов счета в отношении точности; - результатов решения линейной краевой задачи для каждого приближения (совпадение атрибутов актуального набора с граничными условиями; насыщение суммы Бесселя); - результирующее решение нелинейной задачи (сходимость асимптотического ряда, визуальный контроль, сопоставление с решениями, выполненными иными методами).
Основные положения теории упругости (принята тензорно-индексная форма записи, в том числе - «соглашение о суммировании») заключены в уравнениях равновесия соотношениях Коши обобщенном законе Гука где 7/,-напряжения, Fj - массовые силы, щ— перемещения, є і , — деформации, A,ju - параметры Ламе (функции координат), v— коэффициент Пуассона, i9 - объемная деформация. Совокупность соотношений (2.1) — (2.3) формулирует линейную задачу теории упругости, но благодаря функциональному наполнению коэффициентов Ламе, ее общее решение отсутствует. Декомпозиция задачи методом возмущений приводит к последовательности опять же линейных задач теории упругости, но уже с постоянными коэффициентами [80]. Для задачи каждого приближения справедливо общее решение Аржаных-Слободянского. Полагая все параметры упругой среды непрерывно зависящими от х/, представим их в виде степенных рядов по малому параметру J3 и будем искать характеристики упругостатического поля в виде асимптотических рядов Тогда исходные соотношения эквивалентны бесконечной последовательности линейных систем уравнений. зависимости: Совокупность соотношений (2.6) определяет последовательность задач, решением которых должны явиться поля соответствующих приближений. Заметим, что структура уравнений одинакова. Однако существенны некоторые отличия: в задаче последующего приближения фигурируют поля предшествующих приближений, их необходимо учитывать при построении решения.
Решение нелинейной задачи термостатики методом возмущений
Итогом изложенного материала во втором разделе являются следующие выводы: 1) выполнено асимптотическое разложение соотношений линейной неоднородной изотропной теории упругости на последовательность соотношений однородной упругости, для которых (при некоторых общих ограничениях) выписывается общее решение. Показана эффективность применения МГС для построения решения каждого приближения, а, следовательно, его эффективность для решения неоднородной задачи в целом; 2) приведена верификация МГСВ на тестовых задачах с частными формами неоднородности. Сравнение результатов, полученных МГСВ и иными методами, напрямую решающими нелинейную задачу, дало основание заключить о корректности МГСВ; 3) решены основные задачи теории упругости для тела неклассической формы ("гвоздь"). Практическая ценность результатов состоит в том, что: 1) сам факт предъявления эффективных решений свидетельствует о возможности применения МГС в задачах теории упругости для неоднородных тел произвольной геометрической конфигурации; 2) аналитический характер результатов и возможности его графической интерпретации позволяют эффективно выполнять качественные выводы и количественные оценки НДС как в окрестности регулярных точек тела и границы, так и вблизи сингулярностей типа "ребро" и "конические" точки. При наличии температурных воздействий определяющие соотношения изотропной упругой равновесной среды составляют [9, 13]: уравнения равновесия соотношения Коши закон Дюамеля-Неймана уравнение теплопроводности где а — параметр температурного расширения, Г - температура относительно начального состояния, к - параметр температуропроводности, Q - объемная плотность тепловых источников в теле. В общем случае температурные и механические факторы могут быть «завязаны» на границе [3, 63], и внутреннее состояние термоупругой среды должно содержать информацию как о тех, так и других.
В случае, когда эти факторы не связаны, условия на границе тела допускают независимые формулировки для температурных и механических воздействий. В отношении первых на границе может быть задано распределение температуры (задача Дирихле), нормальный градиент температуры (задача Неймана), их смешанные варианты. В отношении вторых - распределение поверхностных усилий (первая основная задача по классификации Н.И. Мусхелишвили [28]), перемещений (вторая основная задача), условие контакта с жестким телом (основная контактная задача), основная смешанная задача и др. Возможны два подхода решения несвязанной задачи по ГУ. Первый основан на решении нелинейной задачи термостатики; после нахождения температурного поля как функции от координат задача сводится к решению неоднородной задачи теории упругости. Второй подход заключается в проведении на начальном этапе линеаризации задачи термоупругости методом Пуанкаре, в результате чего нелинейная задача термоупругости сводится к решению последовательности линейных задач термоупругости [38, 56, 58]. Этот подход уместен также в задачах "связанной" термоупругости, когда характеристики температурного и упругого поля "завязаны" в граничных условиях. Рассмотрим оба подхода отдельно. Реализуя первый подход, постулируем, что к непрерывно зависит от температуры [61]. Для отражения зависимости введем малый параметр /?: к = к0 + /?/q Т + /3 2к2 Т2 +... В соответствии с идеологией метода возмущений будем искать решение уравнения (3.4) в виде асимптотических рядов по малому параметру jB: Назначение параметра /? следует проводить на основе анализа реальных зависимостей параметров от температуры. В силу произвольности выбора /? уравнение (3.4) приводится к последовательности уравнений: Совокупность уравнений (3.5) определяет последовательность задач, решением которых должны явиться поля соответствующих приближений. Заметим, что структура уравнений одинакова. Однако, есть некоторые отличия, как-то: в задаче последующего приближения фигурируют поля предшествующих приближений, которые необходимо учитывать при построении решения. Линейная задача каждого приближения решается методом граничных состояний. Первым результатом декомпозиции нелинейной задачи статической термоупругости явилось отслоение задачи термостатики от более общей задачи термоупругости (индекс приближения к для краткости опущен) Представим общее решение уравнения Пуассона (3.7) в виде суммы T - решение краевой задачи для уравнения Лапласа, учитывающее в граничных условиях поправку от решения уравнения Пуассона. Оставляя в стороне способ построения частного решения уравнения Пуассона, рассмотрим решение уравнения Лапласа методом граничных состояний. Под внутренним состоянием Е, термостатической среды будем понимать набор , = {Г, Т .}, удовлетворяющий уравнению (3.8) (функция Т явля- ется гладкой внутри области и непрерывной вместе с производной по направлению, совпадающему в пределе с нормалью к границе).
Пространство внутренних термостатических состояний линейно относительно операций суммирования состояний и умножения состояния на число: Для произвольных состояний , є 3 определяем скалярное произведение: где V- область пространства, занятая средой. Выражение (3.9) формально оставляет за нулевым элементом пространства S недоопределенность из-за несущественности значения уровня отсчета температуры. Недоопределенность легко преодолевается введением нормировки: в некоторой фиксированной точке каждое из состояний пространства должно иметь нулевое значение температуры. Процедура пополнения пространства делает его гильбертовым; наличие счетного базиса гармонических многочленов позволяет использовать формулу (1.2) для разложения атрибутов внутреннего состояния в ряды Фурье по элементам ортонормированного базиса: Назовем граничным состоянием набор функций точек границы дТ , где п - внешняя нормаль к границе тела. В линейном про- странстве граничных состоянии с операциями скалярное произведение определим так где коммутативность обеспечивается свойством гармонических функций [12, 84]. Формула (1.3) подразумевает разложение атрибутов граничного состояния в ряды Фурье: Изоморфизм пространств Е,Г обеспечивается, с одной стороны, определением произвольного элемента /, и , с другой стороны, теоремой единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа [12, 84], Благодаря свойству гармонических функций [12, выполняется равенство скалярных произведений изоморфных пар элементов что завершает обоснование гильбертова изоморфизма пространств. aРешение задачи Дирихле (определение термостатического поля по заданному граничному распределению температуры) сводится к вычислению коэффициентов Фурье через квадратуры.
Задачи термоупругости для шарового сектора с внутренней конической точкой
Наличие конической точки не меняет алгоритма решения задачи. Ввиду громоздкости результирующих полей они представлены графически. В случае конической точки, также как и выше, решались первая и вторая основные задачи. Для наглядности представления результаты решения обеих задач сведены в табл. 3.4 . Рис. 3.22. Шаровой сектор с внутренней конической точкой. Табл. 3.4. иллюстрирует напряженное состояние шарового сектора с внутренней конической точкой. В задаче со свободной границей окружные напряжения G „ в основном объеме тела сжимающие, за исключением центрального ядра, примыкающего к области симметрии. Напряжения сдвига т положительны в области, примыкающей к вершине полушара. В задаче с защемленной границей распределение тех же характеристик принципиально отличается. Окружные напряжения всюду сжимающие. Напряжения сдви- га незначительны в основной массе тела и проявляются вблизи основания шарового сектора. На рис. 3.24 сопоставлены такие суммы для наиболее показательных характеристик шарового сектора с внешней конической точкой (радиальные напряжения в первой основной задаче (рис. 3.24 а), окружные напряжения во второй основной задаче (рис. 3.24 б)). Графики построены на луче, исходящем из центра шарового сектора под углом в 45 к основанию {в = 0). Из рисунков видно, что первого приближения уже достаточно, так как второе внесло визуально неразличимую поправку В задаче со свободной границей наличие внутренней конической точки приводит к положительным значениям осевых напряжений во всем теле, внешней - к отрицательным, в то время как при ее отсутствии имеют место как те, так и другие. При наличии конических точек зоны отрицательных сдвиговых напряжений примыкают к границам тела; радиальные напряжения вблизи внутренней конической точки растягивающие, вблизи внешней — сжимающие, в то время как на противоположной стороне поверхности по оси наблюдается совершенно противоположная картина.
Окружные напряжения вблизи внутренней конической точки растягивающие, вблизи внешней — сжимающие. Ярко выражен пояс сжимающих окружных напряжений в случае внешней конической точки, примыкающий к линии пересечения границ. В задаче с защемленной границей осевые и окружные напряжения сжимающие во всем теле независимо от наличия или отсутствия конической точки. Их наибольший уровень наблюдается в точках наиболее удаленных от оси. Характер радиальных напряжений одинаков при любых конических точках. Существенное влияние на концентрацию напряжений оказывает наличие внутренней конической точки. Вблизи нее достигают максимального уровня окружные напряжения в задаче со свободной границей и наибольшие касательные напряжения в задаче с защемленной границей. Напряжения сдвига вблизи конической точки не выражены в обеих задачах. Обращаем внимание на то, что сравнение характеров поведения характеристик НДС вблизи вершины конической точки корректно, поскольку ло- кально в обоих случаях температурное поле отличается на величину второго порядка малости от однородного. 1) выполнено сравнение двух подходов к декомпозиции и решению изначально нелинейной задачи термоупругости, основанных на сочетании метода возмущений и МГС: 1) превентивное выделение температурного поля (нелинейная задача термостатики в асимптотическом разложении сводится к последовательности линейных, решаемых эффективно методом ГС) и последующее решение задачи теории упругости неоднородного тела (также решается сочетанием указанных способов); 2) линеаризация задачи термоупругости, приводящая к последовательности линейных задач термоупругости (задача каждого приближения решается методом ГС). Второй подход является более общим, поскольку позволяет эффективно строить решения краевых задач, в которых температурные и механические характеристики "завязываются" в ГУ; 2) теоретическая ценность методики состоит в обусловленной воз--можности получения решения задач нелинейной термостатики и нелинейной термоупругости в аналитической форме, что облегчает интерпретацию результатов. Практическая польза от сочетания метода Пуанкаре и МГС состоит в высокой эффективности: базис пространств состояний являются едиными для задач каждого приближения, поэтому все относительно трудоемкие операции (собственно конструирование базиса, ортогонализация, построение "скелета" задачи и т.п.) выполняются единожды и служат по назначению в задаче каждого приближения; 3) классическая постановка линейных задач термостатики реализована в терминах МГС: определены понятия внутреннего и граничного состояния термостатической среды, установлен изоморфизм между соответствующими гильбертовыми пространствами; выполнены постановки задач Дирихле (определение термостатического поля по заданному граничному рас- пределению температуры) и Неймана (на границе распределен нормальный градиент температуры); установлено, что для основных задач термостатики (задачи Дирихле, Неймана) процедура решения МТС сводится к рутинному расчету коэффициентов Фурье в разложении решения по ортонормирован-ным базисам пространств граничных состояний; 4) решена задача термостатики для шарового сектора с внутренней конической точкой, результаты решения приведены в графической форме.
Сделаны выводы о том, что в нелинейной задаче термостатики в окрестности внутренней конической точки реализуется более "мягкое" температурное поле, чем в линейной задаче; 5) выполнены постановки и проведены решения серии осесиммет-ричных задач для шарового сектора, равномерно по объему излучающего энергию, в случае отсутствия или наличия конической точки. На поверхности тела выполняется условие Дирихле. Рассматривались две механические постановки задачи, когда поверхность сектора свободна от усилий и поверхность тела защемлена. Результаты решения каждой задачи представлены в графической форме и сделан ряд качественно важных выводов, полезных для практики: а) в задаче со свободной границей для шара обнаружено качествен ное изменение полей напряжений, вносимое приближениями, что свидетель ствует о важности учета зависимости параметров среды от температуры, в то время как в задаче с защемленной границей качественных поправок за счет приближений по малому параметру не наблюдается, следовательно, в задачах стесненного деформирования можно пренебрегать зависимостью параметров среды от температуры. б) в задаче с защемленной границей осевые и окружные напряжения сжимающие во всем теле независимо от наличия или отсутствия конической точки. Их наибольший уровень наблюдается в точках, наиболее удаленных от оси. Характер радиальных напряжений одинаков при любых конических точках; в) существенное влияние на концентрацию напряжений оказывает наличие внутренней конической точки. Вблизи нее достигают максимального уровня окружные напряжения в задаче со свободной границей и наибольшие касательные напряжения в задаче с защемленной границей. Напряжения сдвига вблизи конической точки не выражены в обеих задачах.
