Введение к работе
Диссертация посвящена разработке нового общего численно-аналитического метода решения динамических задач теории упругости (ТУ) изотропного тела, базирующегося на концепции состояния среды
Актуальность темы диссертации. Исследование динамических задач обусловлено необходимостью изучения поведения конструкций при быстро изменяющихся нагрузках, вибрациях, для сейсмостойкого строительства зданий, шахт, туннелей, подземных хранилищ и др. Совокупность практических вопросов, при рассмотрении которых в качестве модели процесса используется гармоническая волна, чрезвычайно широк: сейсмология, акустоэлектроника, неразрушающий контроль и др.
Современные потребности машиностроения, строительства стимулируют изучение распространения волн в трёхмерных телах. Решение пространственных задач ТУ даёт возможность адекватно определить напряжённо-деформированное состояние (НДС) исследуемых объектов и более чётко выявить закономерности, присущие рассматриваемым процессам.
Наряду с задачами о распространении волн в упругой среде немалый интерес представляет анализ гармонических колебаний ограниченных тел. Особое внимание уделяется аналитическому исследованию форм колебаний упругих тел.
Сложно переоценить важность решения задач по определению внутренних характеристик тела по его внешним (граничным) проявлениям. В ТУ к таким задачам следует отнести задачи восстановления напряжений или смещений во внутренних точках тела по напряжениям или смещениям в точках поверхности тела. Задачи эти ставятся, начиная с середины девятнадцатого века, но число точных решений таких задач в трёхмерной постановке мало — решение пространственных задач представляет собой трудную математическую проблему. Однако существенное упрощение решения пространственных задач достигается благодаря применению вариационных принципов. Обычно эти задачи решаются приближённо.
Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях:
– снижение уровня инструментальной ошибки;
– построение аналитического решения, поскольку в этом состоит тенденция развития современных вычислительных средств.
Современным методом, отвечающим этим требованиям, является метод граничных состояний (МГС). Первоначально он был предложен в качестве эффективного средства решения линейных задач механики сплошных сред В. В. Пеньковым и В.Б. Пеньковым (1998). Идеология МГС ориентирована на символьное представление промежуточных и финишных результатов счета. Это отвечает современному уровню развития вычислительных средств, всё более ориентирующихся на компьютерную алгебру. Для многих прикладных задач заявленные к вычислению квадратуры берутся средствами компьютерной алгебры с абсолютной точностью. Это ликвидирует ещё одну причину формирования результирующей ошибки вычислений, связанной с промежуточным характером численного счёта.
Целью диссертационной работы является разработка МГС для решения задач о вынужденных установившихся колебаниях механики деформируемого твёрдого тела (МДТТ).
Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:
1) формулировка понятий пространств внутренних и граничных состояний для динамических задач ТУ;
2) конструирование счётных базисов пространств внутренних и граничных состояний в задачах динамики изотропных тел;
3) введение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление гильбертова изоморфизма пространств, ортогонализация базисов;
4) постановка краевых задач динамической ТУ в терминах МГС;
5) решение основных задач ТУ для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела.
Научная новизна работы содержится в следующих положениях:
– построено общее решение уравнений Н. А. Кильчевского в напряжениях для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела;
– впервые МГС применён для решения динамических задач ТУ;
– выполнены конкретные решения новых задач.
Теоретическая ценность:
– получены общие решения уравнений Н. А. Кильчевского в напряжениях для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела;
– в терминах МГС выполнены постановки первой, второй и основной смешанной (по классификации Н. И. Мусхелишвили) динамических задач для изотропно-упругого тела;
– для вынужденных установившихся колебаний изотропного тела средствами МГС обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для полей НДС.
Практическая ценность:
1) получены новые общие аналитические решения в напряжениях задач ТУ для вынужденных установившихся колебаний изотропного односвязного трёхмерного и двумерного тела;
2) разработан алгоритм назначения базисов пространств внутренних и граничных состояний тел, подверженных установившимся колебаниям;
3) разработаны алгоритмы и выполнены конкретные расчёты колебательных движений двумерных и трёхмерных тел в условиях первой, второй и основной смешанной задач ТУ.
Достоверность обусловлена:
1) использованием хорошо зарекомендованных себя классических моделей в МДТТ;
2) применением фундаментальных математических основ при построении МГС для динамических задач ТУ и решением конкретных задач;
3) тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи, промежуточных результатов счета в отношении точности; результатов решения линейной краевой задачи (насыщение суммы Бесселя; совпадение полученных в результате расчёта данных с граничными условиями (ГУ), визуальный контроль).
Апробация работы. Основные результаты и материалы диссертации в целом докладывались на: регулярных докладах в рамках семинара научной школы «Математические методы и модели механики» под руководством В. Б. Пенькова (Липецк, ЛГТУ); совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (г. Новочеркасск, 22–25 апреля 2008 г.); международной научно-технической конференции «Теория и практика производства листового проката» (г. Липецк, 29–30 мая 2008 г.); IX Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (АКТ-2008) (г. Москва, 10–12 сентября 2008 г.); IV школе молодых учёных Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (г. Липецк, 24–25 сентября 2008 г.); XI Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010) (г. Воронеж, 14 мая 2010 г.); II Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, 29 августа – 4 сентября 2010 г.); международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики информатики и механики» (г. Воронеж, 20–22 сентября 2010 г., 26–28 сентября 2011 г.); I Всероссийской конференции молодых учёных «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред» (г. Томск, 16–19 октября 2010 г.); международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 22–26 ноября 2010 г., 19–23 сентября 2011 г.).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в опубликованных работах [3; 4; 1; 6; 5; 7; 2; 8; 9], в том числе статья [2] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения и списка использованных источников. Общий объём работы составляет 80 страниц, в том числе 67 страниц основного текста, включая 12 рисунков и 5 таблиц. Список использованных источников содержит 114 наименований на 13 страницах.
