Содержание к диссертации
Введение
1 Основные соотношения несимметричной теории упругости 24
1.1 Геометрические соотношения 25
1.2 Физические уравнения 26
1.3 Вывод уравнений равновесия и движения для напряжений и моментных напряжений 27
1.4 Вариационная постановка задач несимметричной теории упругости 29
1.5 Двумерные задачи несимметричной теории упругости. Плоско-деформированное и плоско-напряженное состояния . 31
2 Численная реализация двумерных задач несимметричной теории упругости 33
2.1 Основные соотношения метода конечных элементов для двумерных задач несимметричной теории упругости 34
2.2 Разрешающие уравнения метода конечных элементов в рамках несимметричной теории упругости 41
2.3 Апробация конечно-элементного алгоритма для решения двумерных задач несимметричной теории упругости 46
2.4 Задача о растяжении пластины с пятью отверстиями 54
2.5 Задача о растяжении пластины с трещиной 59
2.6 Задача о растяжении пластины с одним и пятью абсолютно жесткими включениями 60
3 Метод анализа чувствительности в задачах несимметричной теории упругости 64
3.1 Конечно-элементная реализация анализа чувствительности 67
3.2 Апробация конечно-элементного алгоритма для вычисления коэффициентов анализа чувствительности 71
3.3 Приложение метода анализа чувствительности к выбору экспериментов по идентификации неизвестных параметров несимметричной теории упругости 73
4 Экспериментальный поиск эффектов "моментного" поведения упругих материалов 79
4.1 Результаты решения задачи Кирша, используемые для постановки эксперимента 79
4.2 Варианты экспериментов, направленных на регистрацию эффектов "моментного" поведения упругих тел 83
4.3 Анализ экспериментальных результатов 84
Выводы по работе 96
Литература
- Вывод уравнений равновесия и движения для напряжений и моментных напряжений
- Разрешающие уравнения метода конечных элементов в рамках несимметричной теории упругости
- Апробация конечно-элементного алгоритма для вычисления коэффициентов анализа чувствительности
- Варианты экспериментов, направленных на регистрацию эффектов "моментного" поведения упругих тел
Введение к работе
На сегодняшний день существуют модели механики деформируемого твердого тела, в которых деформация среды описывается не только вектором перемещений, но также вектором поворота. В этих моделях, в отличие от классической (симметричной) теории, напряжённое состояние описывается несимметричным тензором напряжений. Как отмечено в работе [47], модель классической теории упругости хорошо совпадает с экспериментами, проводимыми с конструкционными материалами (сталь, алюминий, бетон) при напряжениях, остающихся в пределах упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникает в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжения. Это имеет основное значение при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек. Расхождение между экспериментом и классической теорией упругости появляется также в задачах о колебаниях, при распространении волн и при вынужденных высокочастотных (ультразвуковых) колебаниях. Это происходит из-за того, что при высокочастотных колебаниях и достаточно малых длинах волн неизбежно сказывается влияние микроструктуры материала. Наконец, классическая теория упругости не описывает с необходимой точностью явления, происходящие в зернистых средах и при прохождении акустических волн через кристаллы, поликристаллические структуры и полимеры [47].
История развития учёта вращения в деформируемых телах рассмат- ривается в монографии [15].
Первое упоминание об изучении вращения в трехмерном пространстве было сделано У.Гамильтоном в 1848г. в его фундаментальной работе [94], посвященной теории кватерниона.
О важности учёта моментных напряжений говорилось в работе В.Фойхта (1887г.) [126].
Э. и Ф.Коссера обобщили и развили работы Г.Кирхгофа, А.Клебша, П.Дюгема, В.Фойхта и в 1909г. появилась теория, согласно которой каждая материальная точка континуума наделяется свойствами твёрдого тела путем учёта ротационных степеней свободы [72]. Согласно концепции братьев Коссера, при изучении напряжённого состояния твёрдого деформируемого континуума необходимо наряду с обычными напряжениями (сила на единицу площади) вводить в рассмотрение моментные напряжения (момент силы на единицу площади).
В 1911 году появилась работа Леру [108], в которой материальная точка наделялась способностью к микродеформации.
Отдельные работы по теории микрополярных сред публиковались в 20-е, 30-е и 40-е годы, но наибольшее развитие эти теории получили в конце 50-х - 60-х годов прошлого столетия в работах Дж.Эриксена и К.А.Трусделла [79], Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинского [1], В.А.Пальмова [49], В.Новацкого [116], [117], А.Г.Ерингена и Е.С.Сухуби [80].
Сегодня можно выделить несколько направлений развития несимметричной теории упругости, отличающихся способом описания поворота частиц:
1. Псевдосреда Коссера. Теория среды со "стеснённым вращением".
Такую среду часто называют псевдоупругой средой Коссера или псевдо средой Коссера. * Описание основных положений данной теории можно найти в работах Э.Л.Аэро и Е. В. Ку вши некого [1], Р.Д.Миндлина (R.D.Mindlm [111]), Р.Д.Миндлина и Г.Ф.Тирстена (R.D.Mindlin and H.F.Tierstin [112]), Ю.Н.Немиша ([44], [45]), В.Т.Койтера (W.T.Koiter [100]), Н.Ф.Морозова ([42], [41]) Г.Н.Савина ([58], [55]), А.И.Каландии [20] и др.
В теории псевдосреды Коссера считается, что перемещения и точек этой среды и их жёсткие малые повороты и связаны зависимостью: w = -rotu. ^ Таким образом, для псевдосреды Коссера имеется одна независимая кинематическая неизвестная - перемещения и, ив рассмотрение вводятся несимметричные тензора напряжений а и моментных напряжений jl.
Этот вариант несимметричной теории понижает её полноту, так как число физических констант для изотропного упругого тела сокращается до четырёх. Например, часто используются Е - модуль Юнга, 7 ~ коэффициент Пуассона, I - постоянная, имеющая размерность длины м В -безразмерная постоянная, называемая модулем изгиба ([111], [42], [41], [55], [20], [67]).
Кроме этого, получаемая структура уравнений такова [47], что ее-ли, в частности, на поверхности упругого тела заданы перемещения, то не удаётся произвольно задать нормальную составляющую вектора поворота.
Несмотря на эти недостатки, имеется достаточно большое число ра- бот, посвященных псевдосреде Коссера. Предложено несколько общих теорем, методов интегрирования и дано решение ряда задач. Так, Миндлин и Тирстен [112] обобщили представление Папковича-Нейбера для статических задач, а также получили фундаментальное решение в бесконечном упругом пространстве. Их теоретические выводы были проиллюстрированы несколькими примерами.
Боджи и Стернберг (D.B.Bogy and E.Sternberg [70]) рассматривали задачи для случая плоско-деформированного состояния. Были обобщены решения Файлона и задача о штампе на континуум псевдосреды Коссера. Особенно интересными являются следствия полученных в [70] результатов, касающихся сингулярных решений для плоско-деформированного состояния.
Можно отметить также решение задачи об изгибе кругового цилиндра [67], плоской граничной задачи о действии сосредоточенной силы на бесконечной плоскости с круговым отверстием [97], задачи для бесконечной упругой изотропной области, ослабленной конечным числом произвольно расположенных несоприкасающихся круговых отверстий [46], задачи о деформировании плоского кольца [82].
2. Теория среды Коссера. Эта теория была развита в 60-70-х годах прошлого столетия независимо несколькими исследователями: В.Новацким (W.Nowacki [47]), В.А.Пальмовым [49], H.Schaefer [122], Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинским [2] и др.
В теории среды Коссера для описания перемещения частиц рассматриваемой среды наряду с обычным полем перемещений й вводится кинематически независимое поле векторов ш, характеризующее малые повороты частиц. Таким образом, в этой теории присутствуют две независимые кинематические неизвестные, а тензоры напряжений а и моментных напряжений Д являются несимметричными,
В этом варианте упругое поведение изотропной линейной среды характеризуется шестью упругими константами ([47], [49], [50]): две постоянные Ляме и четыре новые константы, характеризующие микроструктуру. В случае квадратично-нелинейной среды количество новых констант увеличивается до девяти [15].
Во многих работах (напр. [50], [120], [115]) отмечается, что псевдосреда Коссера является следствием среды Коссера при условии стремления одной из новых упругих констант к бесконечности.
Известны точные аналитические решения ряда задач для среды Коссера, несмотря на значительные трудности при разрешении получающихся дифференциальных уравнений равновесия или движения. Например, найдена концентрация напряжений вблизи кругового отверстия [50], решены задачи о действии сосредоточенной силы и сосредоточенного момента в безграничном упругом пространстве ([120], [114]), о равновесии полупространства ([НО], [76], [77]), изгиба пластины под действием сосредоточенной силы, представленной в виде распределенного на небольшой поверхности давления [8]. Рассмотрены неоднородная задача изгиба пластины из материала Коссера и материала с ограниченными локальными поворотами по модели Гриоли-Тупина [90] и задача для прямоугольного параллелепипеда [12].
Также следует отметить работу [6], в которой получено решение уравнений термоупругости, содержащих произвольные постоянные, работу [91], в которой рассмотрена обобщённая задача плоско-напряжённого состояния для упругого слоя, и построены решения для вектора перемещений и вектора бесконечно малого поворота в случае упругого слоя из материала Коссера и работу [59], где в случае тонкой пластинки для решения поставленной краевой задачи трёхмерной несимметричной теории упругости излагается асимптотический метод интегрирования определяющих уравнений трёхмерной несимметричной теории упругости.
В работе [103] предложен подход к построению точных аналитических решений некоторых одномерных и двумерных статических краевых задач в рамках несимметричной теории упругости для среды Коссера. С использованием данного подхода получены точные аналитические решения для следующего ряда задач: задача о сдвиге плоского бесконечного слоя (пластины), закреплённого по обоим краям, под действием силы тяжести; задача о растяжении бесконечной полосы (пластины), ослабленной центральным круговым отверстием (задача Кирша); задача о кручении жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт поворота внутреннего контура на фиксированный угол; задача о деформировании жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счёт сдвига внутреннего контура на фиксированную величину. На основе анализа полученных решений введены экспериментально измеряемые макропараметры, откликающиеся на "моментное" поведение среды. Безразмерная форма записи полученных в [103] аналитических решений позволила наглядно установить принципиальное различие безразмерных моментных и классических решений. А именно, безразмерное моментное решение зависит от характерного геометрического размера, а классическое - нет.
3. Континуум Леру (градиентная модель). К понятию моментиых на пряжений приводит и учёт зависимости энергии деформаций от высших градиентов вектора перемещений. Впервые на целесообразность учета выс ших градиентов перемещений указал Леру [108]. Деформированное состо яние при этом определяется двумя тензорами: тензором макродеформации второго порядка и градиентом микродисторсии третьего порядка. Гради ент микродисторсии связан с вектором перемещений и не связан с вектором поворота. Следовательно, вращение частиц среды в этом случае является стеснённым [15]. Напряжённое состояние определяется объёмной плотно стью внутренней энергии, через которую вычисляются тензор напряже ний и тензор третьего порядка "двойных напряжений", антисимметричная часть которого является тензором моментных напряжений Д [57].
В случае физической нелинейности в определяющие соотношения этой модели входят, помимо констант Ляме, семь констант Ландау, определяющих нелинейность, и две новые константы, характеризующие микроструктуру [15]. Для линейной среды общее количество констант сокращается, как и в случае псевдосреды Коссера, до четырёх.
4. Микроморфная среда Миндлина-Эрингена. Данная теория развита Р.Д.Миндлиным в работе [113] и А.К.Эрингеном [80].
В качестве кинематических неизвестных в этой теории в общем случае принимаются вектор перемещения и несимметричный тензор микросмещений; деформированное состояние определяется тензором макродеформаций, характеризующим относительные перемещения центров масс макрообъемов (он совпадает с тензором деформации Грина), тензором относительной дисторсии, характеризующим перемещения структурных эле- ментов относительно центра масс макрообъёма и градиентом микродис-торсии третьего порядка, характеризующим относительные перемещения структурных элементов одного и того же макрообъёма. Для описания напряжённого состояния вводятся тензоры напряжений первого и второго порядков и тензор моментных напряжений.
Меры деформаций микроморфной среды являются обобщением деформационных характеристик двух вышеназванных моделей - континуума Коссера и континуума Леру.
В этой теории упругое поведение материала характеризуется восемнадцатью физическими постоянными. В работе [101J проведено некоторое упрощение этой теории, что допускает сокращение числа констант до десяти и простую трактовку оставшихся.
5. Прочие теории. Среди прочих можно выделить работу Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинского [2], где развита 45-константная теория. В работе [80] предлагается мультиполярная теория, количество физических констант которой определяется её степенью. Обобщение несимметричной теории на случай анизотропии было сделано H.Neuber [115], где упругое поведение новой анизотропной (в самом общем случае анизотропии) среды будет характеризоваться 171 упругой постоянной.
Различные аспекты моделей несимметричной среды можно найти также в работах [5], [9], [18], [37], [40], [54], [60], [92], [93], [100], [61], [124], [89], [86], [19], [119], [60], [65], [66], [68], [73], [75], [78], [81], [87], [88], [95], [98], [99], [121].
Известны обобщения несимметричной теории на случай термоупругости и больших деформаций. Также известны решения ряда динамических задач, например, систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твёрдых телах с микроструктурой можно найти в работе В.И.Ерофеева [15].
Имеется всего несколько работ по реализации процедур идентификации моделей такого типа для нескольких конкретных материалов. Измерение констант упругости на основе статических экспериментов проводилось в работе [83]. Более точные динамические (в частности, ультразвуковые) эксперименты использовались в работах: [16], [57], [56] для идентификации моделей Леру и псевдосреды Коссера, [84], [14], [104] для идентификации линейной среды Коссера, [51] и [52] для нелинейной среды Коссера (для смеси).
Так в работах [57], [56] указывают на экспериментальную возможность оценить численное значение одной из новых констант моментной теории путем измерения скорости ультразвука в зависимости от частоты колебаний. Такие измерения были проделаны на лабораторной установке, использующей известный метод наложения ультразвуковых импульсов, модулированных высокой частотой. Поперечные ультразвуковые колебания (в виде радиоимпульсов) вводились нормально в прямоугольные образцы из поликристаллических металлов технической чистоты и принимались с противоположной стороны образца. С помощью электронно-счётного частотомера в опыте фиксировалась частота повторения радиоимпульсов, обратная величина которой была равна двойному времени пробега ультразвукового импульса в образце. Отсюда при известной базе прозвучивания (длине пути пробега луча) подсчитывались значения скорости звука с точностью порядка Ю-4,
С помощью динамических экспериментальных методов в [104] делается попытка определить механические характеристики несимметричной упругости. Используется так называемый метод размерного эффекта, основанный на зависимости от размера жёсткости при кручении и жёсткости при изгибе, которые имеют место при изгибе и кручении балок с круговыми поперечными сечениями. Экспериментальная аппаратура, используемая в эксперименте, содержит дисковидный постоянный магнит (для приложения крутящего момента к образцу), специальное кольцо Гельмгольца, которое производит однородное магнитное поле в результате протекания электрического тока. Крутящий момент образца пропорционален току в кольце Гельмгольца. Изгиб и кручение достигаются с помощью определённым образом ориентированного кольца Гельмгольца. Измерение угловых перемещений выполнялось с помощью интерференционного метода.
Что касается вопроса об экспериментальном обнаружении "момент-ного" эффекта, то в некоторых работах (напр. [111], [50]) сопоставление решений несимметричной теории с классическими решениями осуществляется на основе анализа показателя концентрации напряжений и его зависимости от характерного размера концентратора. Иллюстрируется факт возрастания (или убывания) показателя концентрации напряжений по сравнению с классической теорией при уменьшении характерного размера. Необходимо отметить, что данный факт представляется интересным, однако использование показателя концентрации в качестве экспериментально измеряемого параметра является весьма проблематичным. Так, например, попытка зафиксировать изменение показателя концентрации методом фотоупругости не увенчались успехом, так как разрешающая способность этого метода слишком низка на необходимом характерном размере концентратора [48]. Как установил Миндлин [111], порядок характерной постоянной материала /, появляющейся в теории псевдосреды Коссера и имеющей размерность длины, для идеальных кристаллов и аморфных материалов такой же, как длина трещины; для поликристаллов и зернистых материалов она несколько больше размеров толщины. Несмотря на то, что фактор концентрации напряжений, измеренный методами фотоупругости, совпадает с расчётным значением, выполненным по методике классической теории упругости, максимальное напряжение из-за присутствия моментных напряжений в образце с надрезом должно быть меньше, чем то, которое получается без учёта этих напряжений. Причина в том, что величина I для оптически активных материалов, применяющихся в фотоупругости, достаточно мала. Обычно это не учитывается.
Имеется ряд работ, в которых получены аналитические решения в рамках несимметричной теории упругости применительно к изгибу [100] и кручению [102] стержней различного поперечного сечения. Койтер [100], рассмотрев задачу изгиба бруса, имеющего прямоугольное сечение, с учётом влияния моментных напряжений, пришёл к выводу, что эффективным методом экспериментального определения новых характеристических постоянных упругого материала являются испытания на изгиб. Сопоставление моментного и классического решений осуществлялось на основе анализа изменения жёсткости на изгиб или кручение в зависимости от характерного размера. Да, жесткость с точки зрения экспериментальной реализации является хорошо измеряемым параметром. Но полагать, что экспериментальные измерения жёсткости при изгибе (кручении) позволят продемонстрировать "моментный" отклик среды, не приходится. Это связано с тем, что в этих задачах отсутствует одно из необходимых условий яркого проявления "моментного" поведения среды, а именно отсутствие высокого градиента напряжений. Эксперименты, описанные в [48], подтверждают это.
Так, в работе [123], учитывающей влияние толщины пластины на жёсткость, проведено несколько испытаний балки на изгиб. Исследовались пять балок разной толщины, изготовленные из дисперсноупрочнённого алюминиевого сплава. Полученные экспериментальные данные позволяют заключить, что влияние толщины на значение модуля Юнга почти незаметно, а влияние крутящего момента находится в пределах погрешности измерений.
В других экспериментах с целью установления влияния моментных напряжений анализировалось приращение модуля сдвига в зависимости от толщины пластины при кручении упругого слоя [102], оценивались новые характеристические постоянные материала [69], [83], появляющиеся в теории несимметричной упругости. Однако удовлетворительных результатов, которые бы явились добавочными аргументами в пользу моментной теории упругости, получить не удалось,
Такое незначительное количество экспериментальных работ связано с тем, что для практического подтверждения несимметричной теории нужны экспериментальные исследования локальных характеристик напряжённо-деформированного состояния образцов материала в условиях нагружения с обязательным наличием градиентов напряжений.
Для расширения поиска наиболее ярких случаев проявления "мо- ментных" свойств упругих тел с целью предложить возможные экспе риментальные схемы по обнаружению "моментного" эффекта и по реа- * лизации процедуры идентификации неизвестных материальных констант несимметричной теории упругости необходимо наличие соответствующих задач, решённых в рамках данной теории. Число задач, для которых может быть получено аналитическое решение, ограничено. Поэтому для расширения круга задач, решаемых в рамках несимметричной теории упругости, естественно использование численных методов, в частности, метода конечных элементов.
Метод конечных элементов является одним из базовых численных методов, успешно применяемый в классической теории упругости. В настоящее время этот метод прочно вошел в расчётную практику. Наличие большого числа монографий, например [11], [17], [53], [118], а также обзоров по различным аспектам метода конечных элементов в рамках классической теории упругости позволяет в рамках данной работы не приводить обзора литературы в этой области с позиций анализа достоинств и недостатков этого метода. Поэтому остановимся на обзоре литературы по методу ко- нечных элементов в рамках несимметричной теории упругости.
Идея распространить этот метод на решение задач моментной теории упругости появилась в 80-х годах прошлого столетия в работах R.S.Lakes, R.L.Benedict, N.Nakamura [105], [106]. В качестве конечных элементов выбирались плоские треугольные напряжённые элементы [105], а так-же постоянные по деформации трёхузловые треугольные элементы и че-тырёхузловые изопараметрические элементы [106]. Программа тестировалась на примере вычисления коэффициента концентрации напряжений в окрестности отверстия изотропного микрополярного материала, для которого существует точное аналитическое решение [105]. В [106] исследовалась задача о деформировании эллиптического контура в полосе упругого материала Коссера (микрополярного материала) под действием растягивающего усилия.
В последующих работах рассматривались вопросы применения различных типов конечных элементов для задач несимметричной теории упругости. В [109] применялись четырёхугольные конечные элементы для решения задач линейной теории упругости по определению показателей напряжённо-деформированного состояния в случае микрополярного упругого материала. Применение плоских конечных элементов с вращательными степенями свободы можно найти в работах [71], [13], [85], [96]. В [71] рассмотрены вопросы эффективности и точности применения треугольного конечного элемента с тремя узлами, в каждом из которых присутствуют две поступательные степени свободы и одна вращательная. В [13] приводится матрица жёсткости плоского треугольного элемента с вращательными степенями свободы в узлах, а численные примеры показывают достаточно высокую сходимость предлагаемого элемента. Линейно-упругий анализ в исследовании четырёхугольных смешанных конечных элементов проводился в [96] для моментной теории упругости в плоском случае. Новая сеточная конечно-элементная модель типа Вороного разработана в [85] для анализа микрополярного термоупругого напряжённого состояния в произвольно неоднородных материалах. Приведено несколько иллюстрирующих численных примеров для подтверждения эффективности данной модели в анализе полей температур и напряжений для микрополярных упругих материалов.
Ряд работ посвящен решению различных задач в рамках несимметричной теории упругости с применением метода конечных элементов. В [107] рассматривается локализация концевых нагрузок, действующих на плоскую полосу микрополярного материала. Конечно-элементный подход для реализации плоских и осесимметричных задач моментной теории упругости рассмотрен в [7]. При моделировании горного массива применялась модель континуума Коссера, а элементы Коссера представлены традиционными конечными элементами [74].
В ряде работ отмечается, что для определения наиболее "информативных" экспериментов с точки зрения идентификации материальных констант материала в различных разделах механики и физики оказывается эффективным аппарат анализа чувствительности.
Анализ чувствительности конструкций, изучающий взаимосвязь между переменными проектирования, имеющимися в распоряжении исследователя, и переменными состояния, которые определяются законами механики, то есть реакцией конструкции, нашёл применение в целом ряде инженерных дисциплин - от теории автоматического управления до анализа крупномасштабных физиологических систем.
Математические достоинства такого подхода заключаются в том, что нелинейная задача анализа чувствительности рассматривается при помощи методов, которые обладают преимуществами математических свойств линейных (при фиксированных переменных проектирования) операторов состояния [62].
В [3] изложены и проанализированы три метода расчёта чувствитель- ности по проектным переменным: метод виртуальных нагрузок, пространства состояний, проектного пространства. На основании этого исследования авторы делают вывод о предпочтительном использовании метода пространства состояний.
В большинстве задач проектирования конструкций должна минимизироваться (или максимизироваться) некоторая функция цели при удовлетворении ограничений на напряжения, перемещения и переменные проектирования.
Анализ чувствительности при наличии ограничений рассмотрен Э.Дж.Хогом и Я.АророЙ в [4], обзор методов вычисления производных чувствительности применительно к конечно-элементным моделям конструкции приведён в работах [64], [125].
Анализ обзора литературы позволяет сделать следующие выводы.
В рамках несимметричной теории упругости рассмотрены различные модели учёта вращательных степеней свободы в материале, получен ряд аналитических и численных результатов, более правдоподобных физически по сравнению с классической теорией упругости. Однако все эти решения в большинстве случаев не могут претендовать на количественное сравнение с классической теорией из-за отсутствия значений материальных констант или параметров, определяющих вклад моментных составляющих.
Поэтому на сегодняшний день остаются открытыми вопросы об идентификации материальных констант или параметров, определяющих вклад моментных составляющих ("моментное" поведение среды), и вопрос об экспериментальном обнаружении "моментного" эффекта при деформировании упругих тел.
В связи с этим актуальным является решение новых задач, демонстрирующих различие моментных и классических решений и позволяющих предложить возможные эксперименты по идентификации неизвестных параметров в модели среды Коссера, постановка и отработка методик экспериментов, с помощью которых можно будет зафиксировать факт "мо-ментного" поведения упругих материалов.
Целью работы является:
Разработка конечно-элементного алгоритма и построение численных решений для двумерных краевых задач несимметричной теории упругости.
На основе аппарата метода анализа чувствительности оценка "информативности" решений двумерных краевых задач несимметричной теории упругости с точки зрения экспериментального определения материальных констант.
Постановка и отработка экспериментов, позволяющих зафиксировать факт "моментного" поведения упругих материалов.
Научная новизна работы состоит в том, что:
Разработан конечно-элементный алгоритм для решения двумерных краевых задач несимметричной теории упругости и на его основе рассмотрен ряд примеров, демонстрирующих более "яркое" по сравнению с известными аналитическими решениями различие результатов, полученных в рамках моментной и классической теорий.
Разработана методика по вычислению коэффициентов анализа чув- ствительности, позволяющая оценивать "информативность" решения соответствующих задач несимметричной теории упругости для экспериментального определения материальных констант.
Оценена "информативность" полученных численных решений с точки зрения проведения эксперимента для определения неизвестных констант в модели среды Коссера.
Предложены и отработаны схемы экспериментов по регистрации фактов "моментного" поведения упругих материалов, и получены предварительные экспериментальные результаты.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
Сравнением отдельных численных результатов с известными аналитическими решениями.
Анализом реализованных экспериментов методами численного эксперимента.
Практическая значимость полученных результатов определяется:
Разработанным конечно-элементным алгоритмом для решения задач несимметричной теории упругости.
Расширением вычислительной базы для постановки экспериментов, связанных с идентификацией материальных констант несимметричной теории упругости.
Созданием новых экспериментов, направленных на установление фактов "моментного" поведения упругих материалов.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на: Всероссийской конференции молодых учёных "Математиче- ское моделирование в естественных науках" (Пермь, 2000г.), VIII Всерос сийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001г.), XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2002), Всероссийской научной конференции "Современные проблемы ма тематики, механики, информатики" (Тула, 2002г.), конференции молодых * учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002г.), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003г.), III Всероссий ской конференции по теории упругости (Ростов-на-Дону, 2003г.), European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (Jyvaskyla, Finland, 2004r.), XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Warsaw, Poland, 2004r.).
Структура работы. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приведены основные положения несимметричной теории упругости: уравнения равновесия, геометрические и определяющие со-отношения, вариационные уравнения.
Во второй главе приводятся основные конечно-элементные соотношения для двумерных плоских задач несимметричной теории упругости, проводится сравнительный анализ результатов для различных типов конечных элементов и рассматриваются результаты апробации конечно-элементного алгоритма на задачах, имеющих аналитические решения. Приводятся результаты решения ряда задач и даётся их сравнительный анализ с результатами решения аналогичных задач в рамках классической теории упру-
23 ГОСТИ.
В третьей главе рассматривается аппарат метода анализа чувствительности и его конечно-элементная реализация для задач несимметричной теории упругости. Найдены значения коэффициентов анализа чувствительности для ряда двумерных краевых задач. На основе полученных результатов предложены возможные схемы для реализации экспериментов по идентификации материальных констант несимметричной теории упругости.
В четвёртой главе даётся описание экспериментов для регистрации эффектов "моментного" поведения упругих материалов, приводятся и обсуждаются предварительные экспериментальные результаты.
Вывод уравнений равновесия и движения для напряжений и моментных напряжений
Рассмотрим основные соотношения несимметричной теории упругости. В отличие от симметричной теории упругости, в которой связь нагрузок между обеими сторонами поверхностного элемента описывается только главным вектором pdS несимметричная теория упругости предполагает, помимо главного вектора pdS, наличие главного момента mdS. Такое предположение приводит к необходимости действия на элемент объема dV не только силовых напряжений иц, но и моментных напряжений \хц [47], образуя несимметричные тензоры. В отличие от классической теории упругости, в которой материальная частица совпадает с точкой, в среде Коссе-ра ставят в соответствие каждой частице деформированной среды ортого 25 нальный трёхгранник (рис. 1.1).
По аналогии с теоремой Коши для вектора поверхностной нагрузки можно сформулировать аналогичное утверждение и для вектора моментов: если т(-,п) непрерывна по первому аргументу, то
Таким образом, для рассматриваемой частицы помимо тензора напряжений и вводится также тензор моментных напряжений Д, который является дополнительной независимой характеристикой напряжённого состояния:
В несимметричной теории упругости деформация рассматриваемой среды описывается не только вектором перемещений й, но и вектором поворота о?. Наряду с тензором деформаций 7 вводится ещё одна независимая кинематическая переменная — тензор изгиба-кручения \:
Отметим, что, в отличие от классической теории, тензор деформации 7 является несимметричным. Кроме этого, тензор х характеризует возникающие в теле изгибы и кручения и также является несимметричным.
Симметричная часть тензора деформаций 7 идентична тензору деформаций классической теории:
Антисимметричная часть характеризует отличие вектора поворота ш от вектора вихря перемещения ш = rotuu описывает поворот ортогонального трехгранника относительно вектора вихря:
Три компоненты тензора изгиба-кручения х, имеющие одинаковые индексы, описывают крутильные деформации, а оставшиеся компоненты с разными индексами - изгибные.
Физические уравнения Для получения физических уравнений в рамках несимметричной теории упругости воспользуемся соотношениями: где F — свободная энергия Гельмгольца.
Разложим свободную энергию в окрестности естественного состояния (7 = 0, х = 0) в ряд Тейлора, пренебрегая величинами выше второго порядка [47]. Из составляющих тензора 7 можно сконструировать только три независимых квадратичных инварианта, а именно 7у 7у 7 7;» Іиїзі-Аналогично для тензора изгиба-кручения. Поэтому для изотропного однородного и центрально-симметричного (не меняющегося при поворотах) тела получим разложение следующего вида:
В них д, А - постоянные Ляме; а, /3,7, є - физические постоянные материала несимметричной теории упругости. Эти величины относятся к изотермическому состоянию. В работе [83], используя условия положительности внутренней энергии, установлены следующие неравенства:
Разрешающие уравнения метода конечных элементов в рамках несимметричной теории упругости
Используя вариационное уравнение Лагранжа для несимметричной теории упругости (1.21), получим разрешающую систему уравнений метода конечных элементов в предположении отсутствия массовых моментов У и главного момента т на границе тела S. Подставляя соотношения (2.3), (2. Обозначим где [A ] - глобальная матрица жёсткости, {F} глобальный вектор-столбец узловых сил, {Z} - глобальный вектор-столбец массовых сил. Тогда систему уравнений (2.22) перепишем в виде: (2.23) - система разрешающих линейных уравнений метода конечных элементов в рамках несимметричной теории упругости, где {6} - глобальный вектор-столбец узловых неизвестных.
Приведём краткое описание конечно-элементного алгоритма, реализованного в рамках несимметричной теории упругости. Разбиение расчётной области осуществляется с помощью алгоритма автоматической триангуляции, позволяющего получать нерегулярные треугольные сетки. Автоматическая триангуляция конечно-элементных сеток проводится на основе формирования так называемого списка косвенной адресации. Под косвенной адресацией понимается соответствие между номером элемента, глобальной и локальной нумерацией узлов в элементе.
При автоматическом построении нерегулярной сетки нужно следить за качеством сетки. Для определения меры искажения (качества) элемента-ячейки применяется следующая функция: li = dm + С2А 2, (2.24) где Сі, Сі - некоторые константы, а WW = "1, MS) l + f -2. (2.25) Здесь S, So - площади данной и эталонной ячеек; Ri, Ra радиусы описанной и вписанной окружностей.
Величину pi(a) можно выразить через углы треугольника: Из соотношений (2.24), (2.25) следует, что мера искажения // - неотрицательная функция, равная нулю для эталонного (равностороннего) треугольника, монотонно возрастающая при отклонении текущего элемента от эталонного. На рис. 2.4 приведено несколько элементов с различным значением fi.
Под искажением всей сетки понимается величина ц = тахЫ. fc= (l,iV), (2.27) где Hk - искажение к-то элемента (2.24), N - число элементов. Оптимальной можно считать сетку, имеющую минимальное искажение.
Данный алгоритм триангуляции расчётной области позволяет стро ить как равномерные нерегулярные сетки (рис. 2.6.а), так и нерегулярные сетки с областями сгущения (рис. 2.6.Ь). Для того, чтобы учесть неравномерную плотность узлов (характерный размер) внутри расчётной области, вводится явная функция шага /г(х, у). Для определения функции шага применяется следующий подход. Сначала задаётся общий глобальный шаг Hs для расчётной области. Далее задаются области сгущения сетки (в виде кругов радиуса #&, где к число зон сгущения). В каждом из кругов вводится функция Н(г), описывающая зависимость шага от радиуса в виде двучленной ломаной (рис. 2.5), независимо от угла. Здесь Д - радиус зоны сгущения, Но минимальный шаг (в центре области), йо, Нг характеризуют точку излома. На границах каждого из кругов шаг равен На.
Для построения разрешающей системы уравнений метода конечных элементов (2.23) для каждого используемого в данной работе шестиузлово-го конечного элемента расчётной области определяется локальная матрица жёсткости:вектор нагрузки: вектор массовых сил: учитывая, что в основных узлах конечного элемента задаются компоненты вектора перемещений и вектора поворота, а в промежуточных узлах конечного элемента только компоненты вектора перемещений (рис. 2.2).
Разрешающая система уравнений (2.23) получается суммированием по элементам области локальных уравнений (2.21).
Прежде, чем перейти к рассмотрению конкретных механических за дач в рамках модели Коссера, проведем апробацию конечно-элементного алгоритма для задач несимметричной теории упругости.
Апробацию конечно-элементного алгоритма в рамках несимметричной теории упругости будем проводить на двумерных задачах, имеющих аналитические решения [38]: задача о растяжении бесконечной полосы (пластины), ослабленной центральным круговым отверстием (задача Кирша); задача о кручении жёстко закреплённого по внешнему контуру кольца за счет поворота внутреннего контура на фиксированный угол.
Для каждой из рассматриваемых задач в работе [38] были получены аналитические решения, которые являются точными решениями уравне-ний равновесия несимметричной теории упругости. Поэтому эти задачи и были выбраны в качестве тестовых.
Рассмотрим задачу о растяжении квадратной пластины, ослабленной центральным круговым отверстием (задача Кирша). Граница кругового отверстия свободна от внешних нагрузок, а на двух гранях действует рас щ тягивающее усилие Р в направлении оси Y (рис. 2.7.Ь).
Апробация конечно-элементного алгоритма для вычисления коэффициентов анализа чувствительности
Все вычисления проводились при следующих значениях "экспериментальных" нормированных констант: д е = 1, а е — 0.112, 7 e = 0.00398, є е = 0.000127. В качестве начального приближения был выбран следующий вариант: у?с = 1.01, а с — 0.113, 7 с — 0.00402, е с = 0.000128. Значение целевой функции (3.16) определялось в точках на линии Y = 0. Ширина пластины L = 1 м, высота пластины при численных расчётах ограничивалась значением Н = 8 м, величина массовой силы / = 1 Н/м3.
Таким образом полученные с помощью конечно-элементного алгоритма значения коэффициентов анализа чувствительности удовлетворительно совпадают с точными значениями, полученными аналитически.
Приложение метода анализа чувствительности к выбору экспериментов по идентификации неизвестных параметров несимметричной теории упругости
Разработанные алгоритмы анализа чувствительности позволяют вычислить производные чувствительности и по их значениям оценить возможности конкретного эксперимента по идентификации неизвестных упругих постоянных несимметричной теории упругости.
Рассмотрим серию механических двумерных задач, численные решения для которых были получены во второй главе данной работы: задача о растяжении пластины с одним центральным круговым отверстием (рис. 2.12.а). Внешний размер пластины L = 40Я, R - радиус отверстия; задача о растяжении пластины с пятью круговыми отверстиями (рис. 2.14.а). Внешний размер пластины L = 20 (3R + d)} радиу 74 сы отверстий Я равны между собой, расстояние между отверстиями d= Я; задача о растяжении пластины с трещиной (рис. 2Л9.а). Внешний размер пластины L = 20d, d - размер трещины.
Для каждой из задач были определены значения коэффициентов анализа чувствительности для двух вариантов начальных приближений: 1 вариант: А с = 2.243, fi c = 1.1, а с = 0.123, 7 с = 0.00438, є с = 0.00014. 2 вариант: А с = 4.078, /І С = 2, а с = 0.223, 7 с = 0.00796, є с = 0.000254.
Значение целевой функции (3.16) в задачах о растяжении пластины с одним и пятью отверстиями определялось в точках на контуре центрального отверстия, в задаче о растяжении пластины с трещиной - в точках на линии трещины.
Полученные результаты для различных значений радиусов отверстий Я и размера трещины d сведены в таблицы 3.2-3.4.
Проведём анализ результатов. Для задачи о растяжении пластины с одним отверстием наибольшей чувствительностью обладает 7 при R = 0.01 м и R — 0.1 м. Достаточно высокой чувствительностью обладает а при Я = 0.0001 м.
Для задачи о растяжении пластины с пятью отверстиями наибольшую чувствительность имеет а при Я = 0.0001 м, Я = 0.001 м и Я = 0.01 м. Высокой чувствительностью обладает 7 при R — 0.1 м.
Наибольший коэффициент чувствительности в задаче о растяжении пластины с трещиной имеет 1у = при d/2 = 0.01 м и d/2 = 0.1 м. Для всех трёх рассмотренных выше задач малое значение имеет коэффициент чувствительности 1\ — ту и коэффициент чувствительности 1е — 0 . При R] малой чувствительностью обладает модуль сдвига у,.
Таким образом, при реализации экспериментальных схем на основе рассмотренных задач наиболее предпочтительным выбором для определения а является задача о растяжении пластины с пятью отверстиями при R 0.001 м. Для определения j предпочтительным является реализация экспериментальных схем на основе любой из трёх рассмотренных выше задач при R — d/2 = 0.1 м.
Варианты экспериментов, направленных на регистрацию эффектов "моментного" поведения упругих тел
Таблица 4.1. Измерение искажения отверстия, где: Х\ - начальная база деформирования в поперечном направлении; У1 - начальная база деформирования в продольном направлении. отверстия в продольном направлении и уменьшение в поперечном. Результаты эксперимента показали, что величина D\ отличается от классического значения, равного трём. Вместе с тем, полученный результат следует считать предварительным. Для того, чтобы утверждать, что отличие D\ от трёх есть проявление "моментного" поведения материала необходимо: - увязать влияние на конечный результат эксперимента (величину отклонения реального контура отверстия от идеальной окружности; - оценить влияние на конечный результат эксперимента отклонения реального напряжённо-деформированного состояния от плосконапряжённого состояния. - набрать необходимые статистические данные на образцах из различных материалов с упругим поведением при реализуемых условиях деформирования .
Зависимость высоты поверхности от угла в окрестности отверстия. В экспериментах по измерению неоднородности деформации поверхности в окрестности отверстия сканировался профиль поверхности для различных уровней деформированного состояния и фиксировалось изменение высоты z( p) на различных окружностях р RQ. Испытываемые образцы из органического стекла имели следующие размеры: L 120 мм, W = 45 мм, Я = 1 мм, начальная база деформирования - L0 = 50 мм (рис. 4.5). Экспериментальные кривые высот для различных уровней деформации образца приведены на рис. 4.9.а. Для полученных экспериментальных зависимостей г(ф) осуществлялось сглаживание (фильтрация) с использованием прямого и обратного Фурье-преобразований: где ир( р) - экспериментально зафиксированная зависимость, ир { р) -сглаженная зависимость, F - оператор прямого непрерывного Фурье-преобразования, Finv - оператор обратного Фурье-преобразования, М -оператор фильтрации Фурье-спектра. Сглаженные зависимости z (ip) приведены на рис. 4.9.Ь.
Практически фильтрация (4.4) выполнялась следующим образом:
1. Исходные экспериментальные значения представляются в виде дискретного ряда точек хп,п = 1..JV, соответствующих углам рп = 2-KnjN.
2. Для ряда хп определялся ряд комплексных Фурье-коэффициентов, которые мы будем обозначать символом (): 1 N где г - мнимая единица.
3. Оператор фильтрации М удерживает для полученного ряда Фурье коэффициентов несколько первых гармоник, остальные гармоники зануляются:
Выбор величины т0 зависит от качества исходных данных, в нашем случае эта величина варьировалась в интервале [2..5]. Для преобразованного ряда вычисляется обратное Фурье преобразование:
Экспериментальные картины о профиле поверхности для различных состояний нагружения образца представлены на рис. 4.10.
В рамках гипотезы о плоско-напряжённом состоянии по экспериментальным данным об изменении профиля поверхности можно определить значение деформации zz и вычислить величину Di при различных значениях макродеформации на захватах 7уу Thirty = \ () ( МЛ(0) - Sz /2)) , (4.8) где b - толщина образца, RQ - радиус отверстия, . - радиус измеряемого контура, 6z\ (0) - осредненная величина изменения высоты для угла (/7 = 0, 8zf (тг/2) осредненная величина изменения высоты для угла р == тг/2:
Для анализа предлагается использовать полученную экспериментальную зависимость D% от значения ууу. На рис. 4.11 данная зависимость приведена для различных значений радиуса отверстия. Анализ теоретических результатов показывает, что для классической теории упругости отсутствует зависимость 7 от радиуса отверстия, а в моментной теории упругости зависимость от радиуса имеет место.
В эксперименте получен веер прямых. Однако, прежде чем утверждать, что этот результат количественно подтверждает наличие "момент-ного" эффекта необходимо оценить реализуется ли в эксперименте плосконапряжённое состояние.
Для рассматриваемых образцов на основе метода конечных элементов были выполнены расчёты в трёхмерной постановке в рамках классической теории упругости. Для решения задачи в трёхмерной постановке (рис. 4.12) использовался конечно-элементный пакет ANSYS.
Похожие диссертации на Численный и экспериментальный анализ напряженно-деформированного состояния в задачах несимметричной теории упругости
