Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия 21
1.1. Краткий обзор методов решения задач теории упругости 21
1.1.1. Аналитические методы 21
1.1.2. Численные методы 32
1.2. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия 35
1.2.1. Уравнения равновесия в напряжениях 35
1.2.2. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями 36
1.2.3. Система уравнений граничных условий 37
1.2.4. Граничные условия в перемещениях 38
1.2.5. Матричная форма физических соотношений 38
1.2.6. Постановка задач теории упругости в перемещениях 39
1.2.7. Преобразование системы уравнений равновесия 40
1.2.8. Выражения собственных векторов через перемещения 43
1.2.9. Об эквивалентности диагонализированной системы уравнений равновесия и системы Коши-Римана 47
Глава 2. Решение задач аналитическими методами 50
2.1. Решение задач в декартовых координатах 50
2.1.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону 50
2.1.2. Простое растяжение полосы 53
2.1.3. Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения 54
2.1.4. Другой способ задания растягивающих и сдвиговых напряжений 56
2.1.5. Изгиб моментами, приложенными к боковым граням 58
2.1.6. Задача о нагружении пластины сложной нагрузкой 60
2.1.7. Расчет плотины треугольного профиля 62
2.1.8. Задача Файлона 65
2.2. Решение задач с использованием функции напряжений 68
2.2.1. Расчет функций в, со, к, х по известной функции напряжений (р 69
2.2.2. Изгиб консоли силой, приложенной на конце 70
2.2.3. Изгиб двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой 73
2.2.4. Изгиб консоли равномерно распределенной нагрузкой 76
2.3. Решение задач с использованием функции напряжений в полярных координатах 77
2.3.1. Преобразование метода для решения задач в полярных координатах 78
2.3.2. Задача Митчела 83
2.3.3. Изгиб кривого бруса 89
2.3.4. Задача Кирша 93
2.4. Решение задач с использованием граничных условий для 6,к,% 97
2.4.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону 99
2.4.2. Расчет пластины, нагруженной нормальными и касательными усилиями 102
2.4.3. Задача Файлона 104
Выводы по главе 111
Глава 3. Решение задач численными методами 112
3.1. Цели и средства исследования 112
3.1.1. Методика исследования 112
3.2. Общий вид постановки задачи 114
3.3. Обобщенный ход решения. Вариант А 114
3.4. Численная процедура решения 115
3.4.1. Нанесение сетки на пластину 116
3.4.2. Применение численного дифференцирования 117
3.4.3. Решение СЛАУ и обработка результатов 124
3.5. Тестовая задача 125
3.5.1. Постановка задачи 125
3.5.2. Решение 126
3.5.3. Результаты 129
3.6. Задача с квадратичной функцией нагрузки 133
3.6.1. Постановка задачи 133
3.6.2. Решение 133
3.6.3. Результаты 134
3.7. Обобщенный ход решения. Вариант Б 137
3.8. Задача с тригонометрической функцией нагрузки 138
3.8.1. Постановка задачи 138
3.8.2. Решение 139
3.8.3. Результаты 139
Выводы по главе 142
Заключение 144
Список литературы 145
Приложение
- Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия
- Об эквивалентности диагонализированной системы уравнений равновесия и системы Коши-Римана
- Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения
- Решение задач с использованием функции напряжений в полярных координатах
Введение к работе
Задачи теории упругости - традиционный раздел механики деформируемого твердого тела, имеющий достаточное количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций. Задачи проведения анализа прочности материалов и конструкций в своем подавляющем большинстве опираются на классические математические модели, в основе которых лежат системы дифференциальных уравнений теории упругости, полученные еще в первой половине XIX века. Это системы уравнений упругого равновесия в перемещениях (Лямэ) и в напряжениях (Бельтрами-Мичелла) [83]. Исходная форма записи данных уравнений преобразованиям практически не подвергалась, по крайней мере, преобразованиям, которые не повышали бы порядок дифференциальных уравнений.
В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники наблюдается интерес исследователей к развитию и применению численных методов. Проблемы повышения эффективности и быстродействия ЭВМ (как и проблема экономичности расчетов), возникающие при численной реализации решений задач теории упругости, не являются завершенными. В то же время хорошо известно, что развитие теоретических методик благотворно сказывается на модификации концепций и технологий вычислительных подходов.
В данной диссертации рассматривается возможность использования нового метода решения задач по расчету конструкций на прочность. Он основан на преобразовании системы уравнений упругого равновесия к диагональному виду.
Актуальность темы. Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами, сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе [52], [77]. В случае
аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечно-элементного методов и перехода к решению системы алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) хорошо известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности - ее приведение к диагональному виду [97]. Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме [84], [86] на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализированная система в новых переменных имеет вид п -независимых друг от друга уравнений Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где п -размерность решаемой задачи. Сведение к гармонической проблеме облегчает процедуру интегрирования и удовлетворения граничным условиям, поскольку аппарат решения краевых задач для уравнения Лапласа является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике. Здесь следует назвать аналитические методы, включая методы теории функций комплексного переменного [47], [61], численные методы, в том числе методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, а также итерационные методы [101].
Использованный в диссертации подход, основанный на методе диагонализации системы уравнений равновесия, является одним из возможных вариантов решения как проблемы повышения эффективности аналитических методов реализации, так и проблемы повышения эффективности и экономичности численных решений на ЭВМ, возникающих при проведении прочностных расчетов в рамках плоской теории упругости [85].
Актуальность исследований состоит в практическом применении метода диагонализации в решениях ряда задач плоской теории упругости.
Преимущества метода диагонализации следующие:
1) Решение системы двух дифференциальных уравнений с частными производными заменяется решением двух независимых друг от друга уравнений Лапласа. Математический аппарат решения уравнений Лапласа как
7 аналитическими, так и численными методами, является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике.
2) При численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями. Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру. В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических уравнений уменьшается в несколько раз, что сокращает количество операций по определению численного решения.
Цель диссертационной работы - показать применимость метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами; на основе полученных решений оценить точность метода и его практическую применимость.
Основные задачи работы заключаются в следующем:
разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах с помощью аналитических методов;
разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах с помощью аналитических методов;
разработка алгоритмов применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости с помощью конечно-разностного подхода.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) предложены новые алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;
2) метод диагонализации был использован для решения плоских задач в
полярных координатах;
3) предложены новые алгоритмы численного расчета напряженно-
деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории
упругости в диагональной форме;
4) экспериментально подтверждена применимость метода
диагонализации для численного решения задач.
Достоверность результатов исследования подтверждается: строгой математической постановкой и использованием математического аппарата теории упругости и математической физики; практически полным совпадением результатов аналитического решения плоских задач с известными в литературе решениями; малой погрешностью результатов численного решения задач при сравнении с известными из литературы аналитическими решениями.
Практическая ценность заключается в том, что результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы:
при решении широкого класса задач плоской теории упругости как аналитическими, так и численными методами;
в педагогическом процессе - для подготовки курса лекций по теории упругости, основанной на диагональной форме уравнений равновесия, дополненного примерами решения задач;
- в вычислительных технологиях - для проектирования пакетов
прикладных программ, использующих модифицированную постановку плоской
задачи теории упругости.
Основные положения, выносимые на защиту:
алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;
постановка метода диагонализации для решения плоских задач в полярных координатах;
3) алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;
на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г.;
на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004,2007 г.г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять статей.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.
Во введении обоснована актуальность проводимых исследований; сформулирована цель работы и соответствующие ей основные задачи исследования; раскрыты ее научная новизна и практическая значимость; приведены сведения о достоверности результатов работы, ее апробации и публикациях автора; изложены основные положения, выносимые на защиту: описаны структура и объем работы; дано краткое содержание диссертации.
В первой главе рассмотрены наиболее известные подходы к решению плоских задач теории упругости аналитическими и численными методами. Далее в главе приведены теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия, применимость которого является объектом исследования данной работы.
Во второй представлены различные алгоритмы решения плоских задач теории упругости аналитическими методами в декартовых и полярных системах координат. Целью представленных аналитических расчетов является апробация метода решения плоских задач, основанного на диагонализации
10 системы уравнений равновесия, теоретические основы которого изложены в предыдущей главе. Круг решаемых задач определялся наличием уже имеющихся решений, которые были получены на основе классического подхода, включающего в себя следующие этапы:
а) формулировка плоской задачи с помощью бигармонической функции
напряжений;
б) определение напряжений по известным соотношениям;
в) удовлетворение граничным условиям в напряжениях.
Согласно алгоритму применения метода диагонализации, рассматриваемому в первом параграфе главы, функции напряжений в области могут быть определены путем решения краевой задачи:
Ав(х,у) = 0,Ак(х,у) = 0
с граничными условиями
crJ + Txym = Xl„
и связью функций напряжений с гармоническими функциями 9,к,х~-
*х=Є-^(хв)-с!2(у0)) + к, (г,
y = e + \{d№)-d2(ye))-K, (з)
^=-^2(^) + ^(^)) +Z* (4)
іх.У)
Х= \(d2Kdx-dfidy), (5)
о где
д2 д2
А = ^г +
дх" ду
- оператор Лапласа или гармонический оператор, 1,т - это косинусы углов, которые образует внешняя нормаль к граничному контуру тела, Хп, Yn -
,i д а д проекции поверхностных нагрузок на оси координат, щ =—,а2 = —.
дх ду
Первым представлено решение задачи с наиболее простыми граничными условиями - задачи о растяжении полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону. Согласно рассматриваемому методу, для решения данной задачи необходимо сначала задаться (в данном случае - с точностью до констант, значение которых определяется потом) видом гармонических функций в и к, на основании котррых далее по (5) находится вид функции %. После этого находятся напряжения сгх,а ,т через функции их связи с в,к и
X (2) - (4). Далее из граничных условий (1) определяются значения констант, входящих в аналитические выражения гармонических функций 9, к и х > которые изначально были не определены. Так как после определения значений констант вид функций 9, к и х тоже полностью определен, находится окончательный вид напряжений х,о-у,тху. Полученное решение полностью
совпадает с классическим.
Далее аналогичным образом решается задача о простом растяжении полосы, две задачи с различными видами нормальных и сдвиговых напряжений, задача об изгибе моментами, приложенными к боковым граням. Далее приводится решение более сложной задачи - задачи о погружении пластины сложной нагрузкой. Сложность задачи состоит в том, что нагрузки заданы в виде кубических функций. В таких задачах наибольшую сложность вызывает подбор вида гармонических функций 9 и к. Их вид определяется из условия гармоничности с учетом особенностей задания нагрузок для каждой конкретной задачи. Как и в предыдущих случаях, определение изначально не определенных значений констант приводит к видам функций напряжений, полностью совпадающих с известным классическим решением, находящимся с помощью функции напряжений Эри.
Для решения следующей задачи, задачи о расчете плотины треугольного профиля, используется алгоритм, аналогичный предыдущим задачам.
Следующая задача - задача Фашона. Решение данной задачи сложнее предыдущих, так как используются бесконечные суммы как следствие разложений граничной нагрузки и искомых гармонических функций в ряды Фурье.
Ход решения следующий: нагрузка, приложенная на границах пластины, раскладывается в ряд Фурье. Вид функций в ж к задается тоже в виде двух гармонических функций, заданных бесконечной суммой с неизвестными константами С1п,...,С4„. Значения этих констант необходимо найти из
граничных условий. Через 0,к выражается функция %> а затем и напряжения
crx,
напряжений, получаем решение данной задачи. Сравнение данного решения с классическим показывает полное их совпадение.
Во втором параграфе описывается алгоритм решения, основанный на связи решений плоских задач, полученных с помощью функции Эри с постановкой задачи в диагонализированном виде. Данный алгоритм в какой-то мере можно назвать полу обратным. Здесь он приведен в качестве иллюстрации возможностей метода решения задач с помощью диагонализированной системы уравнений равновесия. В описываемом алгоритме решения задач для нахождения вида гармонических функций в,к,х используется функция
напряжений Эри. Алгоритм действий следующий:
1) Для определения в используется известное соотношение:
2в = к<р;
2) Функция аоз, компонента элементарного вращения, рассчитывается
как гармонически-сопряженная к в:
М асо - \ {-d26dx + dx6dy)\
3) Далее определяются вспомогательные функции
13 = wdx - a , fj = JQdy + a ,
где интегралы не зависят от пути интегрирования;
Гармоническая функция / определяется согласно:
Функции к,% находятся по следующим формулам:
K = 2d;f = -2d]f, X = 2dtd2f.
6) Далее по известным аналитическим выражениям в, к,% определяются
напряжения по (2) - (4).
7) Константы, входящие в выражения для <р (а следовательно и в
ах,сг ,т ) определяются из граничных условий (1).
С использованием указанного алгоритма в данном параграфе решается три задачи:
задача об изгибе консоли силой, приложенной на конце;
задача об изгибе двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой;
- задача об изгибе консоли равномерно распределенной нагрузкой.
Решение всех трех задач производится по указанному выше алгоритму.
Полученные решения полностью совпадают с классическими решениями.
В третьем параграфе рассматривается постановка метода диагонализации для решения задач в полярных координатах. Сначала приводится процесс преобразования исходных формул из предыдущего параграфа для использования их в случае полярных координат. Изменения затрагивают все формулы, начиная с самой первой. Оператор Лапласа, используемый в ней, в полярных координатах имеет вид:
14 д2 1 д 1 д2
А = —т- + +
дг2 г дг г2 др2'
С учетом этого, в находится по формуле:
ЛЛ д2(р 1 д(р 1 д2(р
дг2 гдг г2др2
Для нахождения аа> для случая полярных координат необходимо
воспользоваться формулами замены переменных в дифференциальных и
интегральных выражениях и в итоге получаем, что
: \дв . дв ,а
аа- clr + r—dp,
* г др дг
причем здесь, как и в случае декартовых координат - интеграл от полного
дифференциала.
, fj для использования в случае полярных координат будут иметь вид:
_ х,у
= J( (cos(0)e-s\n(0)a(o)dr-
-r(sm(p)0 + cos(p)ari))dp ),
7= f( (s'm(p)0 + cos(p)aco)dr +
+r(cos(p)0-s'm(p)aco)dp ).
Интеграл правых частей не зависит от пути интегрирования. Формула для нахождения функции / преобразуется к виду:
2f = ^(cos(p)t+sm(p)ij)-
Для нахождения лг можно вывести две различных формулы - через вторую производную по у и через вторую производную по х (см. ниже) [44]:
о/ 2/мЗ2/ sin(2/?) 62f
к у J дг2 г дгд/з 18іп2(^)а2/ ; sin2(/?)a/ ; sin(2yg) а/ ,
г2 др2 г дг г2 др ''
15 Для нахождения аналога функции х Для случая полярных координат используется формула:
' sin(/?)cos(/?) д2f
г1 др2
sin(/?)cos(/?)a/ cos(2/7)g/ v
г дг г2 д/3 ''
Компоненты тензора напряжений в случае полярных координат находятся по формулам:
tr,=e + iccos{2p) + Xsm(2fi)-~,
г сій a,=0-KCos(2fi)-Xsm(2/J) + ~,
1 дй rr(p=-Ksm(2p) + x^(2p)--—.
Представленный набор формул далее используется для решения трех задач в полярных координатах:
задачи Митчелла;
задачи об изгибе кривого бруса;
задачи Кирша.
Решение этих трех задач производится с использованием указанных выше формул, и полученные решения полностью совпадают с классическими.
В четвертом параграфе рассматривается случай, когда граничные нагрузки можно представить как заданные функции координат граничного контура. В данном параграфе алгоритм решения объясняется на примере решения первой задачи {задачи о растяжении полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону, которая уже рассматривалась, но в контексте другого алгоритма), чтобы потом можно было решать другие задачи по аналогии.
1) Находится вид функций Rx, Rv по формулам:
s s
Rx = \Xds, Rv = \Yds,
рассчитывая по участкам граничной поверхности s.
Далее определяется вид функции в на границе:
Находится вид функций к, % согласно граничным условиям вида
K = -(xd]e-yd20)-ell2-m2) + lX-mY,
X = -(xd29 + ydx0) - 21тв + тХ + IY,
рассчитывая по участкам. Здесь, как и в предыдущих формулах, 1,т -направляющие косинусы внешней нормали к граничному контуру.
4) Далее - по классической схеме,
вычисленных в,к и х-
Следующая задача, задача о пластине, нагруженной нормальными и касательными напряжениями, решается аналогично. Полученные решения этих двух задач полностью совпали с классическими.
В качестве третьей задачи параграфа снова взята задача Файлона, но как первая задача параграфа - в контексте рассматриваемого алгоритма, то есть ход решения совсем другой. Решение данного метода представляет нечто среднее между предыдущим решением данной задачи и решениями двух предыдущих задач. В итоге получаются результаты, аналогичные предыдущему решению.
Таким образом, во второй главе показана применимость метода для решения плоских задач теории упругости аналитическими методами.
В третьей главе представлено исследование применимости метода диагонализации для решения задач численными методами.
В первом параграфе представляются цели и средства исследования. Необходимо показать применимость метода диагонализации для решения задач плоской теории упругости численными методами. Для решения задач выбран
17 метод конечных разностей (МКР), который сводит задачу поиска неизвестной функции в области к поиску значений этой функции в отдельных точках - на сетке. МКР применим к областям с различными особенностями (форма, отверстия) и прост в реализации - поэтому в данной работе используется именно этот метод. Кроме того, программная реализация МКР включает в себя подзадачи численного дифференцирования, интегрирования, а также решения системы линейных алгебраических уравнений. В качестве среды реализации решения выбран пакет Mathematica предоставляющий все возможности для решения подобного рода задач [40].
Во втором параграфе представлена общая постановка задачи: цель -определить напряженное состояние пластины, нагруженной по контуру, при этом известны геометрические характеристики пластины (ширина а и высота Ь) и нагрузка, распределенная по контуру пластины с проекциями Хп и Yn на
оси координат. Нагрузки уравновешены: UXn+Yn)ds = 0. Требуется найти
распределения напряжений ах(х,у), сгг(х,у), тху(х,у) в данной пластине.
Алгоритм решения задач теории упругости при помощи метода диагонализации с использованием метода конечных разностей, рассматривается в третьем параграфе.
В четвертом параграфе описываются шаги по численной процедуре решения, основанной на указанном алгоритме.
Сначала производится нанесение сетки на пластину. При этом определяются параметры сетки, такие, как шаг вдоль оси х (Ах и соответственно nx = al Ах - число узлов сетки по горизонтали) и оси у (Ау и
соответственно пу = Ь1Ау - число узлов сетки по вертикали), размещение
относительно начала отсчета и границ пластины.
Далее необходимо произвести численное дифференцирование. Простейший подход к численному дифференцированию состоит в прямом использовании определения производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, при этом сетку рационально нанести так,
18 чтобы производные в граничных точках по нормали к границе выражались через центральные разности узловых значений функции.
Конечно-разностные аппроксимации всех величин, находятся только для верхней и правой границы прямоугольника. Аналогичная работа для оставшихся границ опускается, так как рассматривается осесимметричная задача.
Следующим шагом решения задачи является решение полученной системы линейных алгебраических уравнений. Аппроксимация граничных условий и уравнений Лапласа на предыдущем шаге дала (пх + \)-(пу + 1)-4
конечно-разностных линейных уравнений. Данная система уравнений решается с помощью пакета Mathematica [34].
В пятом параграфе рассмотренный алгоритм решения применяется к задаче о пластине с линейно распределенной нагрузкой q = x/2. Преимущество
данного примера в том, что, поскольку заранее известен линейный характер искомых функций 6,K,crx,av,rxv, то можно составить уравнения на очень
грубой сетке, не теряя точности. Решение задачи производится согласно рассмотренному выше алгоритму. Полученное решение сравнивается с известным из классической литературы аналитическим решением, и данное сравнение показывает их практически точное совпадение - абсолютные значения погрешности имеют порядок 10"14.
Вывод: как и ожидалось, решение по МКР в задачах с линейными e,K,crr,crv,Trv дало точный ответ.
л у лу
В шестом параграфе рассматривается задача с квадратичной функцией нагрузки. Здесь при редкой сетке (пх = пу = 2) погрешность определения
напряжений составила 5,6%. Функция 0 определена с близкой к нулю погрешностью, а функция к, которая должна быть всюду равной нулю, определилась из системы уравнений как константа, равная -0,375, что и повлекло за собой погрешность в определении напряжений. Погрешность объясняется неточностью линейной аппроксимации парабол, однако она
19 уменьшается со сгущением сетки.- При сгущении сетки в 2 раза максимальная погрешность определения напряжений убывает в 4 - 5 раз и составляет 0,11 % при сетке 24-24 (пх = 12), что свидетельствует о сходимости решения.
Таким образом, расчеты позволяют сделать вывод о применимости рассматриваемого метода к граничной задаче в напряжениях для прямоугольной полосы при линейных и нелинейных функциях нагрузок
В седьмом параграфе рассматривается вариант решения для случаев, когда граничные нагрузки можно представить, как заданные функции координат граничного контура.
В восьмом параграфе указанным выше алгоритмом решается задача с тригонометрической функцией нагрузки. К прямоугольной полосе приложена нагрузка, представляющая собой один член тригонометрического ряда. Размеры полосы 8-8. Рассчитывается симметричная четверть.
Система линейных алгебраических уравнений построится сначала для в, затем для к и, наконец, для % В остальном процедура решения аналогична предыдущей задаче.
Погрешность определения напряжений сгх,сгу на редкой сетке 8-8
составляет 6,2 %. Со сгущением сетки погрешность уменьшается.
Таким образом, в третьей главе показана применимость метода для решения плоских задач теории упругости численными методами.
В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы.
Работа выполнена в Томском политехническом университете в период с 2003 по 2007 гг.
Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих статьях:
Светашков А.А., Махов А.В. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Коши-Римана // Известия Томского политехнического университета. - 2005. - № 6. - С. 136-140.
Махов А.В., Светашков .А.А. Решение задачи о нагружении полосы сложной нагрузкой с помощью метода преобразования системы уравнений
20 равновесия к диагональному виду // Прогрессивные технологии и экономика в машиностроении: Труды IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. В 2-х т. - ЮТИ ТПУ, Т. II. - Юрга: Изд-во ТПУ, 2006.-С. 81-84.
Махов А.В., Светашков А.А. Метод решения задач теории упругости на основе приведения системы дифференциальных уравнений равновесия к диагональному виду // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2006.-С. 143.
Махов А.В. Решение задачи Файлона для диагонализованнои системы уравнений равновесия и его оптимизация для вычисления результатов на компьютере // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Доклады V Всероссийской научно-технической конференции. -Томск: Изд-во ТГУ, 2006. - С. 181-182.
Замятин В.М., Махов А.В., Светашков А.А. Решение плоских задач теории упругости для полосы с помощью диагонализованнои системы уравнений равновесия // Известия Томского политехнического университета. -2006. -№ 6. -С. 135-139.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;
на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г.;
на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004,2007 г.г.
Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия
Вопрос о преобразовании системы дифференциальных уравнений в частных производных математической теории упругости, которые выражают условия статического (или динамического) равновесия упругого тела, в значительной степени основывается на представлении всех основных уравнений теории в матричном виде. Подобная схематизация и классификация систем дифференциальных уравнений в частных производных предлагалась и использовалась в разное время рядом авторов, однако наиболее систематически представлена в монографии Л.А. Розина [77]. Следуя [77], обратимся к уравнениям равновесия упругого тела и уравнениям Коши. Запишем систему уравнений равновесия [5]: Введем обозначения: P - вектор объемных сил с проекциями на оси декартовых координат X,Y,Z [45]. а - вектор напряжений, где штрих означает операцию транспонирования. Введем А -символическую матрицу операций дифференцирования [17], [77]: тогда систему уравнений равновесия в напряжениях можно записать как Шесть уравнений связи деформаций - компонент векторных деформаций С помощью матрицы А соотношения Коши можно записать в виде [70]: Как видно из (1.22), (1.23) матричные уравнения равновесия и уравнения Коши сформулированы на основе -одной и той же матрицы операций дифференцирования А, хотя система уравнений (1.22) имеет чисто статическую природу и выражает условия равновесия элементарного объема. Второе уравнение, записанное в матричной форме (1.23), устанавливает зависимость между деформациями и перемещениями и характеризует геометрическую сторону задачи теории упругости. Вопрос связи статики и геометрии в теории упругости (в том числе и в механике стержневых конструкций) получил название статико-геометрической аналогии и подробно исследован в книге В.Л. Кирпичева [43].
Согласно [77] матрицы операций дифференцирования R,А называют формальными дифференциальными операторами. Введем матрицу направляющих косинусов внешней нормали п к поверхности тела: Тогда статические уравнения на граничной поверхности S В случае если на границе заданы перемещения, в каждой точке границы должны быть заданы условия: или в матричной форме: Рассмотрим матричную форму физических соотношений (обобщенного закона Гука) [53]. В скалярном виде имеем: Данная постановка основана на исключении вектора деформаций є. Действительно, объединим матричные уравнения (1.23) и (1.26). Тогда Исключим также вектор напряжений а, используя (1.27). Получаем: Система (1.28) дает формулировку граничной задачи теории упругости в перемещениях (система уравнений в форме Ляме). Обозначим произведения матриц:
Таким образом, основные уравнения математической теории упругости могут быть записаны с помощью матричных формальных дифференциальных операторов. В связи с данным обстоятельством можно поставить вопрос о возможности преобразований системы дифференциальных уравнений теории упругости как объектов теории матриц. Подобные преобразования приведены в работах [82], [84]. Запишем систему уравнений равновесия (Ляме) в матричной форме [77]: Здесь u=u(u,v) - искомый вектор перемещений, р - плотность материала, а , (а,р = 1,2) - сокращенный символ операции дифференцирования: х,у -декартовы координаты, X -упругая константа: где v - коэффициент Пуассона, А - оператор Лапласа, X,Y -компоненты вектора объемных сил, Формализм записи системы уравнений равновесия в виде произведения симметричной матрицы А, составленный из операторов дифференцирования, на вектор перемещений її, распространим на другие операции линейной алгебры: определение собственных векторов и собственных значений. Формально полагая d a, А алгебраическими символами, запишем характеристическое уравнение для матрицы А: Раскрывая определитель, получаем распространения поперечных и продольных волн в упругом теле. Действительно, квадрат скорости продольных волн есть [52]
Отсюда с учетом обозначений правой части системы (1.30) получаем искомое утверждение. Аналогично для скорости поперечных волн имеем Хр Р Для каждого из найденных j.ia,(a = l,2) существуют собственные векторы (фі,ф2) и ф(Уі,у2),удовлетворяющие Ауа=щуа=ХАца, Подставляя (1.31) в (1.30), получим соотношения для компонент собственных векторов Рассмотрим разложение искомого вектора перемещений по двум независимым собственным векторам Следовательно, согласно (1.36), (1.37) получаем для новых искомых функций уа = уа(х,у),а = \,2, уравнения равновесия вида Связь новых переменных а(х, ) с компонентами исходного вектора перемещений следует из Из системы (1.39) с учетом (1.38) можно получить (1.30) путем поочередного дифференцирования уравнений (1.39) по х,у и последующего сложения и вычитания. 43 Таким образом, уравнения равновесия в новых переменных приобретают диагональный вид. При этом основной проблемой реализации преимущества полученного диагонального вида является формулировка граничных условий в тех же переменных. Прежде всего, рассмотрим выражения компонент собственных векторов Тогда систему (1.39) можно преобразовать к виду Для решения системы (1.41) относительно \\ia воспользуемся функцией Лява [49], [52] 2со - flfjv - d2u. Функции ,rj, входящие в (1.42), являются гармонически-сопряженными и удовлетворяют системе Коши-Римана [47], [49]: Тогда с учетом (1.43) решение системы (1.41) может быть записано в виде: Здесь / - произвольная гармоническая функция. Пользуясь (1.40), систему (1.39) можно выразить и через компоненты собственного вектора ф : Тогда решение системы (1.44) с учетом (1.43) приобретает вид Здесь /" - произвольная гармоническая функция. Перемещения w,v найдем согласно разложению (1.35) Рассмотрим решение системы (1.42) в виде, содержащем в качестве сомножителя координату у. Легко убедиться непосредственной проверкой, что где / - произвольная гармоническая функция. Отсюда, учитывая, что ц имеет вид Аналогичным образом рассмотрим решение системы (1.44) для собственного вектора р. Теперь можно рассчитывать перемещения uy,vy, определяемые через (p a,i/a, которые даются выражениями (1.47), (1.48): Полные перемещения найдем как соответствующие полусуммы двух решений (1.46) и (1.49). Для определения напряжений подставим найденные выражения для перемещений в формулы закона Гука для плоской деформации [87]: тогда получим Здесь к,х -сопряженно-гармонические функции: Римана, поэтому Граничные условия
Об эквивалентности диагонализированной системы уравнений равновесия и системы Коши-Римана
Докажем важное для дальнейших рассуждений утверждение. Необходимым условием выполнения диагонализированной системы уравнений равновесия (1.38) при отсутствии объемных сил являются условия гармонической сопряженности функций 0,со и к,х (справедливости систем Коши-Римана). Для доказательства рассмотрим решение для уа(х,у) в виде (1.47). Первые производные от уа с учетом (1.42), (1.43) можно выразить через вторые производные от гармонической функции / Подставим теперь найденные выражения daf в соотношения (1.43). Учтем также (1.42). Интегралы (1.54) не зависят от пути интегрирования. Действительно, должно выполняться Функции к,х, удовлетворяют системе Кошн-Римана а функции 0,со (в отсутствие объемных сил) удовлетворяют системе уравнений равновесия вида С учетом (1.56), (1.57) получаем справедливость утверждения (1.55). Теперь производные от уа можно записать как Тогда оператор Лапласа от функций уа будет иметь вид: Равенство нулю правых частей следует из (1.56), (1.57). Утверждение доказано. Рассмотрим также вопрос о том, как преобразуется исходная система уравнений равновесия (1.30) на собственных векторах. Для этого докажем следующее утверждение.
Система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (1.30) для собственных векторов ф,ф, преобразуется к системе дифференциальных уравнений первого порядка (1.57). Действительно, рассмотрим собственный вектор ф и его компоненты фа, определенные по (1.45). Согласно (1.31) имеем Лф = ХДф Вычисляя оператор Лапласа от компонент фа и учитывая гармоничность /, находим Точно таким же способом рассчитаем С учетом (1.57) мы можем записать: к2Ы,со + (1 + ЭД0 Здесь равенство нулю имеет место в силу (1.57). Утверждение доказано. Таким образом, представление решения системы (1.30) в виде разложения по собственным векторам понижает на единицу порядок дифференциальной системы уравнений. Здесь возможно провести некоторую аналогию с алгебраическими системами уравнений, в которых упрощение структуры алгебраической системы происходит при умножении матрицы на ее собственный вектор. Целью аналитических расчетов, проведенных в настоящем разделе, является апробация метода решения плоских задач, основанного на диагонализации системы уравнений равновесия, теоретические основы которого изложены в предыдущей главе. При выборе круга решаемых задач будем руководствоваться наличием уже решенных задач, которые были получены на основе классического подхода, включающего в себя следующие этапы: а) формулировка плоской задачи с помощью бигармонической функции напряжений; б) определение напряжений по известным соотношениям; в) удовлетворение граничным условиям в напряжениях. Определение перемещений по найденным напряжениям можно провести по известной процедуре [9]. 2.1.
Решение задач в декартовых координатах Данная часть главы посвящена аналитическим расчетам простейших двумерных задач теории упругости: - задачи о нагружении полосы нагрузками, распределенными по граничному контуру; - задачи о нагружении полосы кусочно-постоянной нагрузкой и др. 2.1.1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону Пластина размером h,b подвергается действию напряжений, эпюры которых представлены на рис. 2.1. Граничные напряжения задаются следующим образом: Рассмотрим левую границу пластины. Для этой границы х - 0, / = -1, т = 0. С учетом этого,- из (] .52) получаем: Объединяя (2.4) с (2.6) и (2.5) с (2.7) получаем, что и, с учетом этого, функции из (2.3) принимают следующий вид Теперь рассмотрим верхнюю границу пластины. Для этой границы h y = —,l = 0,m = \,a функции (1.52) имеют следующий вид: Объединяя (2.11) и (2.13), получаем, что В = 0, и, учитывая это при объединении (2.10) и (2.12), получаем, что А = 3а. 3 Из (2.8) теперь находим, что С = —a,D = 0. Подставляя значения найденных констант в (2.9), находим, что Сравним полученное решение с классическим. В задаче для треугольной нагрузки бигармоническая функция напряжений имеет вид р = ах, соответственно, напряжения будут следующие: тх (х,у) = d22 p = d2 [а х}) = О, Таким образом, напряжения в (2.14) и (2.15), совпадают между собой. Пусть прямоугольная полоса аналогичная полосе из предыдущей задачи подвергается действию равномерно распределенной по двум граням растягивающей нагрузки интенсивностью 2а = const (рис. 2.2). при этом, учитывая (2.22), получаем, что А = а. Из (2.21) теперь находим, что В = -а. Подставляя значения найденных констант в (2.22), находим, что
Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения
Имеем: Полоса аналогичная полосе из предыдущих задач. Граничные условия имеют следующий вид (рис. 2.3): Для решения данной задачи зададимся гармоническими функциями в и к как и в случае с треугольной нагрузкой в виде: где A,B,C,D - константы, которые необходимо найти. Функция х имеет, как и в первой задаче, следующий вид: Все три функции являются гармоническими и напряжения имеют вид: Рассматривая левую границу пластины, получаем, что и, с учетом этого, напряжения принимают вид: Далее, рассматривая верхнюю границу пластины, получаем: 3 и отсюда выводим, что В = а, и, следовательно = —а, а также, что А = 0, и, следовательно, С = 0. Используя найденные значения констант получаем, что Сравнивая полученное решение с классическим, получаем их полное совпадение. Другой способ задания растягивающих и сдвиговых напряжений Дана полоса, к которой приложена внешняя нагрузка. Граничные условия имеют следующий вид (рис. 2.4): Для решения данной задачи зададимся гармоническими функциями в и к как и в предыдущем случае в виде: где A,B,C,D - константы, которые необходимо найти, х как и в первой задаче: X = Dx-Cy. Все три функции являются гармоническими и напряжения имеют вид: Рассматривая левую границу пластины, получаем, что и, с учетом этого, напряжения принимают вид: Далее, рассматривая верхнюю границу пластины, получаем: и отсюда выводим, что 5 = 0, и, следовательно D = 0, а также, что А = а, и, За следовательно, С = —. Используя найденные значения констант, получаем, что Сравнивая полученное решение с классическим, получаем их полное совпадение. 2.1.5. Изгиб моментами, приложенными к боковым граням Имеем: Полоса аналогичная полосе из предыдущих задач. Граничные условия имеют следующий вид (рис. 2.5): где А,В - константы, которые необходимо найти.
По (1.51) находим, что Все три функции, как легко показать, являются гармоническими. Используя (1.50) получаем следующий вид для напряжений: Рассмотрим левую границу пластины. Для этой границы х = 0,1 = -1, т-0. С учетом этого, из (1.52) получаем: Рис. 2.6 Эпюры нагружения пластины сложной нагрузкой Для решения запишем аналитические выражения граничных напряжений: Хп(х,у) = а\(бх2у - 4/)/ - 6х//м], Yn=a(2y3in-6xy2l). Зададимся функциями в{х,у) и л:( ,.у) в виде: где А и 5 - неизвестные константы, которые необходимо найти. Функции (2.29), (2.30) являются гармоническими. Функция х{х у) имеет вид: Данная функция тоже является гармонической. С учетом (2.29), (2.30), (2.31) распишем напряжения (1.50): Рассмотрим левую границу пластины, х = 0. Здесь 1 = -\,т = 0, соответственно а граничные условия (1.52) преобразуются так: Подставляя в (2.34) функции из (2.32) и (2.33) и решая полученные уравнения, получаем,что Учитывая (2.35), напряжения (2.32) будут иметь следующий вид: ах = (-6А + 12а)хгу-4ау\ Теперь рассмотрим правую границу пластины, х = Ь. Здесь / = 1, m = 0, соответственно Xn=a(6lr-4y3), Y„=-6aby2, а граничные условия (1.52) будут выглядеть так: Подставляя в (2.38) функции из (2.36) и (2.37) и решая полученные уравнения, получаем,что далее, по (2.35) с учетом (2.39) определяем, что Таким образом, обе неизвестные константы найдены. Расписывая (2.29), (2.30) с учетом (2.39), (2.40), получаем, что в и к имеют вид: Теперь определены все функции, необходимые для нахождения напряжений.
Подставляя функции (2.41) в (1.50), получаем: Сравним полученное решение с классическим, которое можно рассчитать с помощью функции напряжений. Для данной задачи функция напряжений выглядит следующим образом [49]: соответственно, напряжения будут следующие: Видно, что соответствующие функции в (2.42) и в (2.43) совпадают. Плотина, подвергающаяся нагрузке от давления воды, имеет треугольное сечение, как показано на рис. 2.7. Нагрузка имеет вид: Для решения данной задачи зададимся гармоническими функциями в и к как и в предыдущем случае в виде: Все три функции являются гармоническими. Рассмотрим вертикальную поверхность (левую границу) плотины. Для этой границы х = О, I = -1, т = 0. Из (1.52) определяем, что Теперь рассмотрим наклонную поверхность (правую границу) плотины. Для этой границы распишем: x = -yctg(a), / = sin(#), w = cos(«r). Компоненты объемных сил Хп и Yn здесь равны нулю. С учетом этого, граничные условия в форме Коши будут иметь следующий вид:
Решение задач с использованием функции напряжений в полярных координатах
Достаточно большой класс задач плоской теории упругости составляют задачи для тел, имеющих круговое очертание, таких, как кривые брусья и круговые кольца узкого прямоугольного сечения, круглые диски и т.п. При решении таких задач выгодно использовать полярные координаты {г,(р), связанные с декартовыми координатами равенствами [10]: Цель данного раздела - показать применимость метода решения задач теории упругости с помощью диагонализированнои системы уравнений равновесия для решения подобного класса задач. Допустим, известна функция Эри Ф(г,ср), заданная в полярных координатах. Для решения заДач с заданной в таком виде функцией напряжений последовательно преобразуем формулы, использовавшиеся в предыдущем разделе (выраженные в декартовых координатах) к их аналогам в полярных координатах. Параметры (г, # ) как ранее параметры (х,у) будем опускать для простоты записи. Для определения в в декартовых координатах используется формула (2.60). Оператор Лапласа, используемый в ней, в полярных координатах имеет другой вид [29]: С учетом этого, в находится по формуле: Условие гармоничности функции в можно использовать для проверки корректности найденной функции. В случае полярных координат, согласно (2.92), это условие будет выглядеть так: Функция асо в случае декартовых координат находится по формуле (2.61).
Для нахождения варианта этой формулы для полярных координат необходимо воспользоваться формулами замены переменных в дифференциальных и интегральных выражениях. Используя формулы замены переменных для первой производной [16] причем здесь, как и в случае декартовых координат - интеграл от полного дифференциала. В качестве проверки на данном шаге можно использовать условие, что для функций 9 и асо должно выполняться соотношение Коши-Римана, имеющее в полярных координатах следующий вид [46]: Используя (2.97), преобразуем формулы (2.62) нахождения , ff для использования в случае полярных координат: Здесь также интегралы не зависят от пути интегрирования. В качестве проверки найденных функций ,Щ можно использовать условие выполнения для них соотношения Коши-Римана: г дер дґ Используя (2.97), формула (2.63) для нахождения функции / преобразуется к виду: Необходимое условие корректности функции / - ее гармоничность: Согласно (2.64), вид функции к определяется через вторую производную по одному из параметров. Для нахождения аналога для случая полярных координат, необходимо использовать формулу замены переменных в производных второго порядка [89]: При решении задач можно использовать одну из формул (2,107), (2,108), а вторую при необходимости использовать для проверки корректности. Согласно (2.65), вид функции х определяется через смешанную производную по обоим параметрам. Для нахождения аналога для случая полярных координат, необходимо использовать формулу замены переменных в смешанных производных: для расчетов необходимы еще следующие производные: Учитывая (2.96), (2.110) и используя (2.109) из (2.65) выводится формула для нахождения % в случае полярных координат: Для проверки корректности найденных к и х можно использовать следующие условия: 1) к и % должны быть гармоническими функциями, то есть должны выполняться равенства 2) Для к и х должно выполняться соотношение Коши-Римана: Компоненты тензора напряжений в случае декартовых координат находятся по формулам (2.66). С учетом (2.91), (2.95) и (2.96) получаем следующие формулы для нахождения напряжений:
