Содержание к диссертации
Введение
1. Двойственные вариационные принципы и встречные энергетические методы в задачах линейной теории упругости 10
2. Формы ЖЭ, основанные на принципе Менабреа. Использование статико-геометрических аналогий 55
3 Формы ЖЭ, основанные на принципе Кастильяно. Равновесные модели метода перемещений 99
4. Сопряженные формы ЖЭ в квазистатических задачах линейной теории упругости 149
5. Реализация встречных форм ЖЭ в практических расчетах 184
6.Встречные формы ЖЭ в нелинейной теории упругости 229
3аключение 273
- Двойственные вариационные принципы и встречные энергетические методы в задачах линейной теории упругости
- Формы ЖЭ, основанные на принципе Менабреа. Использование статико-геометрических аналогий
- Формы ЖЭ, основанные на принципе Кастильяно. Равновесные модели метода перемещений
- Сопряженные формы ЖЭ в квазистатических задачах линейной теории упругости
Введение к работе
Цели и задачи исследования. Метод конечных элементов (МКЭ) стал в настоящее время одним из самых распространенных методов решения прикладных задач линейной теории упругости. Однако его формулировка основывается почти всегда на использовании прямого энергетического метода решения краевой задачи линейной теории упругости в перемещениях, т.е. на принципе минимума полной потенциальной энергии системы I(u,) • Обобщенное решение JL40 задачи линейной теории упругости сообщает минимум функционалу I (ее) так, что minl(u) - 1.( 1С о) - [u.0,u.0 j=-W , где квадратные скобки обозначают скалярное произведение в энергетическом пространстве данной задачи.
Методы решения краевых задач линейной теории упругости, основанные на минимизации функционала дополнительной работы АСй) с минимумом, равнымW , по определению С. Г. Михлина /37/, называются встречными по отношению к прямому энергетическому методу. Их использование дает оценку функционала энергии JLClx) или энергетической нормы точного решения lti0 , с другой стороны.
Зная два приближенных решения одной и той же задачи, одно из которых построзно по прямому, а другое - по встречному энергетическому методу, можно дать апостериорную оценку точности обоих приближений. Встречные формы МКЭ, основанные на аппроксимации напряжений и использовании встречных энергетических постановок, приводят к равновесным моделям, которые обладают рядом особенностей в сравнении с известными совместными моделями МКЭ. Однако такие встречные формы МКЭ не получили еще достаточно широкого распространения, а общей теории их построения и математического обоснования в настоящее время нет.
Первой основной целью настоящей работы является систематическое исследование встречных энергетических постановок задач линейной теории упругости, построение и развитие форм МКЭ, основанных на таких постановках, а также выявление свойств и особенностей новых равновесных моделей МКЭ. Такое систематическое исследование выполняется, по-видимому, впервые в мировой практике. Оно выполняется с позиций функционального анализа и современной математической физики /72, 82/ и основывается на соответствующем анализе традиционных форм МКЭ, приведенном в работах /34, 79/.
Постановки нелинейных задач теории упругости отличаются большим разнообразием. При использовании лагранжева подхода с описанием нелинейного поведения упругих систем в метрике натурального состояния вариационный принцип Лагранжа непосредственно обобщается на нелинейные задачи теории упругости. Двойственные или встречные вариационные постановки задач нелинейной теории упругости оказываются возможными лишь при весьма существенных ограничениях, связанных с выпуклостью функционала полной энергии системы /8/. Формы МКЭ, основанные на аппроксимации перемещений и использовании вариационного принципа Лагранжа, получили некоторое распространение в практике инженерных расчетов нелинейно упругих конструкций и систем. Однако сложности, связанные с многовариантностью постановок задачи и неоднозначностью трактовок многих определяющих понятий в нелинейной теории упругости, не позволяют считать такие формы МКЭ ни единственно возможными, ни достаточно обоснованными. Очевидно, что встречные формы МКЭ применительно к задачам нелинейной теории упругости могут быть развиты лишь при весьма существенных ограничениях области их возможного применения. В настоящее время нам не известны какие-либо успешные попытки развития таких форм для нелинейно упругих систем.
В связи с этим второй, дополнительной целью диссертационной работы является исследование возможностей обобщения результатов разработки встречных форм МКЭ для задач линейной теории упругости на задачи нелинейной теории. Такая цель потребовала развития нового подхода к самой постановке задач нелинейной теории упругости в координатах и развития форм ЖЭ, основанных на таком подходе.
Диссертация состоит из шести глав и заключения.
В первой главе рассматриваются классические вариационные принципы линейной теории упругости: принцип Лагранжа и две формы канонически сопряженного с ним принципа минимума дополнительной работы. Такие встречные вариационные постановки интерпретируются в соответствии с работами /37/ и /100/ как методы ортогонального проектирования в энергетических пространствах. Показано, что их можно рассматривать как методы отыскания обобщенных псевдорешений соответственно уравнений непрерывности деформаций и уравнений равновесия. Для квазистатических задач линейной теории упругости, в которых внешние силы линейно зависят от перемещений, приводится новая формулировка принципа Кастильяно, связанная с принципом Лагранжа инволюционными преобразованиями. Для таких задач вводится понятие о сопряженном энергетическом пространстве и определяется норма в этом пространстве.
В соответствии с исследованиями, проведенными в первой главе, основой для построения встречных форм ЖЭ в линейной теории упругости служат:
- принцип Менабреа, в котором отыскивается какое-либо частное решение уравнений равновесия линейно упругой системы, а затем это решение проектируется на подпространство собственных (самоуравновешенных ) напряжений;
- принцип Кастильяно, в котором функционал дополнительной работы деформации минимизируется на множестве всех возможных решений уравнений равновесия;
- принцип Кастильяно в квазистатических задачах, который сводится к безусловной минимизации функционала полной дополнительной работы на всем сопряженном энергетическом пространстве. В частном случае "мертвых" внешних сил такая постановка может быть получена при использовании метода штрафа для классической задачи Кастильяно.
Во второй главе рассматриваются формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа. Показано, что для стержневых систем формы ЖЭ, основанные на принципе Менабреа, приводят к каноническим уравнениям метода сил и обеспечивают точное решение исходной континуальной задачи. Для двумерных областей, используя функции напряжений и статико-геометрические аналогии, удается построить встречные формы ЖЭ, использующие стандартные элементы и программы метода перемещений. На основании такого подхода выполнены встречные решения для тестовых задач и даны как априорные, так и апостериорные оценки точности выполненных решений. Использование статико-геометрических аналогий позволяет перенести результаты теоретических исследований скорости сходимости процедуры МКЭ в форме метода перемещений на формы МКЭ, основанные на принципе Менабреа. Существенными недостатками такого подхода к построению встречных форм МКЭ являются: I) необходимость построения каких-либо частных решений уравнений равновесия; 2) трудности, возникающие при расчетах многосвязных областей; 3) отсутствие непосредственного определения перемещений.
В третьей главе диссертации рассматриваются равновесные модели ЖЭ, построение которых основано на использовании принципа
Кастильяно. Дискретная модель континуального объекта строится на основе аппроксимации напряжений в пределах элемента с учетом выполнения дифференциальных уравнений равновесия в его пределах. Таким образом, строится конечномерное подпространство в пространстве напряжений. Элементы этого подпространства должны удовлетворять дискретным условиям равновесия на границах и линиях сопряжения между элементами. На множестве всех возможных решений такой системы линейных алгебраических уравнений равновесия минимизируется функционал Кастильяно. Решение такой дискретной задачи с помощью метода множителей Лагранжа приводит к равновесным моделям метода перемещений. В качестве узловых параметров вводятся интегральные усилия, приведенные к центральным узлам на сторонах элементов. Основными неизвестными задачи являются обобщенные перемещения, отвечающие узловым усилиям. Они определяются из решения системы уравнений метода перемещений, но такое решение является встречным по отношению к совместным моделям метода перемещений. Для элементов, полученных во второй главе на основе аппроксимации функции напряжений, и равновесных элементов метода перемещений, полученных здесь, устанавливается однозначное соответствие. Это позволяет перенести результаты исследований в области теории МКЭ в его традиционной форме /34, 79/ на равновесные модели. При этом все недостатки, связанные с использованием подхода, основанного на принципе Менабреа и аппроксимации функций напряжений, ликвидируются.
В четвертой главе исследуются формы МКЭ, основанные на использовании новой безусловно экстремальной формулировки принципа Кастильяно для квазистатических задач линейной теории упругости. Для задач об изгибе балок на упругом винклеровом основании прямая и сопряженная энергетические постановки оказываются формально по добными, что позволяет использовать существующие программы для выполнения встречных расчетов как методом перемещений, так и методом сил. При решении двумерных задач линейной теории упругости (мембрана на винклеровом основании, плоская стационарная задача динамики) применение новой вариационной постановки требует использования для аппроксимации напряжений базисных функций, отличных от тех, которые используются для аппроксимации перемещений в традиционных формах МКЭ. Это обстоятельство объясняется различными условиями гладкости и полноты системы базисных функций в прямом и сопряженном энергетических пространствах. Условия непрерывности напряжений на границах между элементами можно обеспечить как непосредственным объединением узловых параметров, так и с использованием множителей Лагранжа для учета дискретных условий равновесия на границах элементов. Эти два способа приводят соответственно к методу сил и к равновесным моделям метода перемещений. В частном случае "мертвой" нагрузки податливость условного винклерова основания устремляется к бесконечности и интерпретируется как функция штрафа, наложенного на условия равновесия в классическом принципе Кастильяно.
В пятой главе дается краткое описание программных комплексов ТУРК и МОРЕ, разработанных автором для расчета упругих систем на ЕС ЭВМ с использованием встречных форм ЖЭ. Приводятся примеры встречных расчетов различных сложных линейно упругих систем. На основе анализа результатов этих расчетов показано, что:
- наиболее эффективной из разработанных встречных форм МКЭ является равновесная модель метода перемещений;
- встречные формы ЖЭ приводят к двусторонней оценке точного решения задачи в энергетической норме;
- точное выполнение условий равновесия обеспечивает преиму щества равновесных моделей МКЭ при решении контактных задач и некоторых задач, связанных с концентрацией напряжений;
- при одинаковой с совместными моделями точности решения равновесные модели требуют, как правило, несколько больших затрат памяти ЭВМ и машинного времени.
В шестой главе диссертации излагаются проблемы, связанные с развитием встречных форм МКЭ в задачах нелинейной теории упругости. Предлагается новый подход к постановке задач нелинейной теории упругости, в котором за основные неизвестные принимаются пространственные координаты материальных точек тела в его актуальном деформированном состоянии. Вводится понятие о секущей жесткости материала, а также понятия о секущем и касательном энергетическом пространствах. Показано, что полулинейный материал Джона есть естественное обобщение материала Гука на геометрически нелинейные задачи, в которых нелинейность поведения определяется большими перемещениями, связанными с конечными поворотами. Приводятся встречные энергетические постановки для таких задач, которые существенно ограничиваются условиями выпуклости функционала полной потенциальной энергии деформации. Решение задачи нелинейной теории упругости сводится к последовательности решений линейных задач в касательных пространствах. Геометрически нелинейные задачи о деформациях гибких нитей и шарнирно стержневых систем решаются как методом перемещений, так и методом сил. Задачи о плоской деформации гибких тел решаются только методом перемещений. Для повышения точности таких решений и получения их двусторонней оценки используются экстраполяционные методы.
Диссертация заканчивается заключением, в котором приведены основные результаты работы.
Двойственные вариационные принципы и встречные энергетические методы в задачах линейной теории упругости
В настоящей главе рассматриваются классический вариационный принцип линейной теории упругости - принцип Лагранжа и две формы двойственного или канонически сопряженного с ним принципа минимума дополнительной работы. Приводится краткий исторический очерк развития канонически сопряженных принципов и встречных энергетических методов в линейной теории упругости. Затем дается оригинальное в методическом плане изложение двойственных вариационных принципов как методов псевдорешения уравнения равновесия или уравнений совместности, а также их геометрическая интерпретация как методов ортогонального проектирования в гильбертовых пространствах. Для квазистатических задач линейной теории упругости, в которых внешние силы линейно зависят от перемещений, приводится новая формулировка принципа Кастильяно, связанная с принципом Лагранжа инволюционными преобразованиями. Все приведенные здесь формулировки двойственных вариационных принципов служат основой для построения встречных форм МКЭ в последующих главах. Ї.І. Канонически сопряженные вариационные принципы линейной теории упругости. Исторический очерк Первый энергетический принцип механики - принцип наименьшего действия был сформулирован Мопертюи в 1744 году. Строгий математический вид этому принципу придал Л. Эйлер, который в работе 1748 года впервые использовал его для расчета упругих систем (гибких балок). Работы Лагранжа, начиная с его знаменитой "Аналитической механики" 1762 года, открыли новый этап в развитии энергетических принципов механики. Согласно взглядам Лагранжа, основным, фундаментальным принципом статики служит начало возможных перемещений: в состоянии равновесия системы работа внешних сил 9L на всяком возможном бесконечно малом перемещении Su,L равна нулю. Если система консервативна, то существует функция ...I\(.u,) - полная энергия системы, которая в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум. К упругим деформируемым системам начало возможных перемещений было впервые применено Пуассоном в 1803 году. В формулировку этого начала для задач линейной теории упругости большой вклад внесли работы Ляме, Клапейрона,
Бетти и других ученых первой половины 19-го века. Если _.L_есть замкнутая область, занятая упругой средой и находящаяся под действием консервативных сил, то принцип возможных перемещений имеет вид SUA-PiSuJAu-o .. a.i.2) Здесь $- , PL , C--kg , к-- - некоторые, постоянные в каждой точке тела, коэффициенты, характеризующие свойства материала и внешнего воздействия. Полная энергия системы П(и,) определяется в виде: Вариационный принцип Эйлера-Лагранжа утверждает, что в состоянии устойчивого равновесия упругой системы функционал (I.I.5) имеет минимум. Условия стационарности, П= 0 , представляют собой начало возможных перемещений (I.I.2), а дифференциальные уравнения Эйлера для данной вариационной проблемы суть разрешающие уравнения теории упругости в перемещениях - уравнения Ляме. Основная идея принципа минимума дополнительной работы и начала возможных изменений напряженного состояния упругой системы впервые высказана Менабреа в 1858 году. Однако в его формулировке напряжения рассматривались как независимые переменные и содержались другие концептуальные и формальные ошибки. В 1865 году Дж. Г. Котерилл впервые дал точную математическую формулировку принципа Менабреа, однако его работы остались незамеченными. Независимо от него в 1873 году Кастильяно сформулировал начало возможных изменений напряженного состояния для упругих систем с большими подробностями, но в менее общей форме, чем Котерилл. Кротти в 1882 году открыл каноническую основу принципа Кастильяно и впервые показал, что минимизируемый функционал есть дополнительная работа деформации, а не энергия деформации, как полагали до него. Кротти рассматривал принцип минимума дополнительной работы как альтернативное формальное выражение начала возможных перемещений и не рассматривал его как фундаментальное начало механики деформируемых тел. Определенный вклад в формулировку принципа Кастильяно-Кротти внесли работы Бертрана, Керрутти, Энгессера и ряда других авторов конца прошлого столетия. Однако во всех этих работах рассматривался лишь случай "мертвой" нагрузки, когда P;=PL и коэффициенты к- в (I.I.4) и (I.I.7) полагаются рав-ными нулю. В этом случае внешние силы не варьируются и остаются постоянными при любых изменениях перемещений. Канонические преобразования начала возможных перемещений связаны с переходом от перемещений и как основных координат системы к канонически сопряженным координатам и потенциалам Здесь Є имеет смысл компоненты начальной деформации, .6...- -новые координаты системы, имеющие физический смысл компонент напряжения, a Clwt - коэффициент матрицы,обратной матрице [С.t-kt"] в (1.1.4) и (I.I.6). Такой переход приводит к началу возможных изменений напряженного состояния или вариационному принципу Кастильяно-Кротти, согласно которому функционал дополнительной работы деформации при всяких возможных бесконечно малых изменениях напряженного состояния $ имеет стационарное значение. Возможные изменения напряженного состояния подчиняются условиям равновесия так, что на варьируемые параметры о- накладываются дополнительные условия где ft- - составляющие вектора нормали к части Гг поверхности тела, на которой заданы "мертвые" поверхностные силы рч , Принцип Кастильяно-Кротти по своей форме оказался сложнее принципа Эйлера-Лагранжа, поскольку условия (I.I.II), накладываемые на варьируемые параметры 6.--. , в общем случае неголономны. Эти условия связывают между собой производные от напряжений, а не сами напряжения „6 .-.. , что не позволяет явно описать статически допустимые поля напряжений.
Свойства таких полей во многом определяются топологическими особенностями области J2 : ее мерностью и связностью. Для одномерных (стержневых) систем общее решение уравнений равновесия определяется однозначно, если область односвязна (ста тически-определимая система),или с точностью до произвольных по стоянных интегрирования, для многосвязных областей ЯП . Эти по стоянные имеют смысл лишних неизвестных метода сил и находятся из условий стационарности функционала (I.I.I0). Формулировка принци па Кастилъяно для стержневых систем была успешно развита в рабо тах Кастильяно, Энгесеера, Мора и ряда других авторов на рубеже 20-го века. Их работы привели к созданию канонического метода сил V строительной механики стержневых систем. Общее решение уравнений равновесия (I.I.II) складывается из какого-либо его частного решения и общего решения соответствующей системы однородных уравнений при _р?_-. О . Последнее может быть определено через независимые функции напряжений J- . Для плоской задачи теории упругости такая функция была введена Эри в 1863 году. В общем случае трехмерной упругой области таких независимых функций шесть и они являются компонентами тензора функций напряжений /93/. Их впервые ввел Бельтрами в своей работе 1892 года. В 1894 году I. Донатти сформулировал принцип минимума дополни- тельной работы, используя представления напряжений через независимые функции напряжений Бельтрами. Б такой форме начало возможных перемещений получило название принципа Менабреа-Донатти /81/. Однако эта формулировка существенно зависит от мерности и связности области с и не может быть записана в общем виде для произвольной задачи теории упругости. В работах Борна (1904 г.), Пранге (1914 г.) и Фридрихса (1928 г.) была развита общая теория канонических и инволюционных преобразований вариационных задач линейной теории упругости и установлено, что в состоянии равновесия упругой системы, которое описывается истинными перемещениями и," , ИСТИННЫМИ напряжениями где минимум П(а) отыскивается на всех кинематически возможных перемещениях ._иц_... , а минимум Ъ() - на всех статически возможных напряжениях -.
Формы ЖЭ, основанные на принципе Менабреа. Использование статико-геометрических аналогий
В настоящей главе рассматриваются основные положения МКЭ и дается краткий обзор работ, посвященных формам МКЭ, основанным на принципе минимума дополнительной работы. С позиций методов ортогонального проектирования рассматриваются классические методы перемещений и сил строительной механики стержневых систем. Аналогичный анализ выполняется для двумерных задач линейной теории упругости. Отмечается аналогия между формулировками принципа Лаграджа и принципа Менабреа для двумерных задач, что позволяет построить расчеты методом сил по программам МКЭ в форме метода перемещений. Анализируются вопросы, связанные с учетом объемных сил и статических граничных условий для задач об изгибе мембраны (кручение стержней) и для плоской задачи (изгиб пластин). Общие положения иллюстрируются тестовыми примерами расчетов с апостериорной оценкой их точности. 2.1. Метод конечных элементов. Исторический очерк. Обзор работ по МКЭ в форме метода сил В 1908 году В. Ритц опубликовал свой прием приближенного решения вариационных задач математической физики. Этот прием непосредственно использовался как самим Ритцем, так и другими авторами для решения задач линейной теории упругости на основе вариационного принципа Л агранжа. Обоснованию метода Ритц а посвящено множество работ, краткий обзор которых приведен в книге С. Г. Михлина /37/. Идея метода Ритца состоит в том, что выбирается конечное число базисных функций л , Уг ,..., н и среди всех линейных комбинаций вида ц, = а з- ищется комбинация, доставляющая мини- мум функционалу 1(a) . Неизвестные коэффициенты _(Ц определяются из системы N дискретных алгебраических уравнений, для решения которых в современных условиях используются ЭВМ. Показано, что процесс минимизации дает комбинацию, ближайшую к искомой функции ц,0 . Таким образом, цель испледования процедуры Ритца состоит в том, чтобы выбрать базисные функции 5 достаточно удобными для вычислений и в то же время обеспечить хорошее приближение неизвестного решения lt0 . Основополагающая идея метода конечных элементов (МКЭ) весьма проста. Новым является лишь выбор базисных функций: в ЖЭ они кусочно полиномиальны. Каждая функция 3; равна нулю на большей части области Q. и отлична от нуля только в окрестности одного узла.
Процедура ЖЭ начинается с разбиения исходной области на подобласти или элементы простой формы. Затем внутри каждого элемента задается пробная функция в виде полинома небольшой степени. Базисные функции Ритца )S-V определяются как линейные комбинации этих полиномов на элементах, имеющих общие точки или узлы. Точность приближения повышается, если необходимо, не как в классическом методе Ритца за счет использования более сложных базисных функций, а за счет более мелкого разбиения области Я. с сохранением тех же полиномов, что и прежде. При применении ЖЭ вычислительная машина помогает не только решать разностные уравнения, но и строить их, чего не было прежде в классической форме метода Ритца. Вариационный метод конечных элементов, основанный на принципе Лагранжа с использованием линейных аппроксимаций на треугольных элементах в двумерных областях Я. был предложен (хотя и под другим названием) в работе куранта /79/ в 1943 году. Некоторые из основных понятий ЖЭ были в 1947 году использованы Прагером и Синджем /100, 103/ для решения задач теории упругости на основе двойственных вариационных принципов. Однако широкого практического применения эти исследования не получили. Классические методы расчета стержневых систем (метод сил и метод перемещений) по существу представляли собой первые варианты ЖЭ /19, 74/. Развитие матричных форм методов строительной механики /4, 84/ привело к их естественному обобщению на континуальные двумерные и трехмерные области /20, 70/. Разбиение области на простые элементы и составление уравнений равновесия и совместности для дискретных систем были выполнены на основе физических соображений и ЖЭ вначале не воспринимался как вариант метода Ритца. Коэффициенты , вычисляемые при дискретной аппроксимации, всегда имели конкретный физический смысл и вся процедура ЖЭ легко и наглядно интерпретировалась. На этом этапе развития часто исходили из аппроксимации напряжений и использовали процедуры метода сил строительной механики стержневых систем. Среди работ этого направления отметим работы Аргириса /4/, получившие дальнейшее развитие в работах советских авторов /9/. Интересный вариант ЖЭ был представлен в эти годы И. М. Черне-вой /85/. Здесь использовались аппроксимации напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия в области Я. і , занятой элементом. На границах элементов вводились интегральные усилия, приведенные к центральным узлам, подобные тем, которые вводятся в теории стержней. Для расчета дискретной схемы оболочки, составленной из таких элементов, использовалась обычная процедура метода сил строительной механики стержневых систем.
Процедура ЖЭ получила математическое обоснование, когда узловые параметры расчетных схем были отождествлены с коэффициентами в аппроксимации Ритца, а дискретные уравнения - с условиями минимума потенциальной энергии. Это было выполнено в работах Аргириса, Марти- на и Клафа в начале 60-ых годов. В результате появилась возможность заложить теоретические основы МКЭ. Была установлена связь МКЭ с вариационно-разностным методом Куранта /79/. В последующие 20 лет МКЭ получил широкое развитие при решении многих вариационных задач математической физики. История развития МКЭ отражена в работах /19, 20/. В настоящее время литература по МКЭ практически необозрима. Библиография за 1976 год /64/ содержит 7115 наименований и не является полной даже на момент ее составления. Из фундаментальных монографий по общим вопросам МКЭ и его практической реализации отметим работы /20, 39, 70/. Теоретические основы МКЭ с позиций современной математики излагаются в монографиях /34, 36, 79/. Отечественное программное математическое обеспечение для реализации МКЭ отображено в работах /17, 38, 71, 89/. Однако все указанные работы используют МКЭ в форме метода перемещений и основываются на вариационном принципе Лагранжа. Формы МКЭ, основанные на использовании принципа Кастильяно, были впервые предложены в работах Ф. де Вебеке /104, 106, 107/. В работе /104/ аппроксимация напряжений в пределах элемента выбиралась с таким расчетом, чтобы условия равновесия в области .; выполнялись при любых коэффициентах 4оС} . Здесь {б }, есть столбец из компонент тензора напряжений, а [А 3 - формальный оператор (матрица операций дифференцирования) уравнений равновесия в области. Распределение напряжений на границах элементов определялось через столбец ($ локальных, узловых значений усилий, передаваемых на элемент. Тогда статические граничные условия на границах эле- мента принимали вид матричного уравнения где [N]C - прямоугольная матрица размерами ..n, rn. , где а т , поскольку параметры .{$} связаны условиями равновесия элемента, а параметры V независимы. Ранг матрицы [NJ. равен rn, а ее дефект dLa.n.-.ryi определяет число уравнений равновесия элемента.
Формы ЖЭ, основанные на принципе Кастильяно. Равновесные модели метода перемещений
Основная идея рассматриваемого здесь варианта МКЭ базируется на непосредственном построении конечномерного подпространства 3-2 в пространстве напряжений г (р) . В подпространстве 22 выделяется множество Мн таких функций, которые удовлетворяют дискретным уравнениям равновесия системы элементов. На множестве И минимизируется дискретизированный функционал Кастильяно. Решение такой дискретной задачи с помощью метода множителей Лагран-жа приводит к равновесным моделям метода перемещений. В настоящей главе анализируется дискретная постановка задачи Кастильяно для стержневых систем и двумерных задач теории упругости. Получены равновесные элементы для расчета мембраны и для решения плоской задачи теории упругости. В качестве узловых параметров вводятся интегральные усилия, приведенные к центральным узлам на сторонах элементов. Основными неизвестными являются обобщенные перемещения, отвечающие узловым усилиям. Они определяются из решения системы уравнений, которая формально аналогична системе метода перемещений, но приводит к встречному решению исходной континуальной задачи. Задача Кастильяно (1.8.20), (1.8.2..1.) является континуальной, так как в ней требуется определить функцию #0 или элемент бесконечномерного пространства Зь2() . Эту задачу можно свести к дискретной проблеме, в которой требуется определить лишь конечный ряд параметров [jb или элемент конечномерного пространства .". {Щс C_._3L(S2).. . Вместо функционала D(6) в дискретной задаче рассмат- ривается функция D($i) конечного числа переменных в , а интегральное тождество (1.8.21) заменяется системой алгебраических уравнений, связывающих параметры Фч Для стержневых систем решение {$в\ дискретной задачи Кастильяно однозначно определяет решение 0 исходной континуальной проблемы, так что 0(6,,) = 5..біД Такие дискретные модели лежат в основе статики сооружений и анализируются в работах /41, 74, 84/ и целом ряде других работ. Для двумерных задач теории упругости дискретная модель строится аналогичным образом /51, 56/, но решение [ Д дискретной проблемы определяется лишь приближенное решение 6 0 исходной континуальной задачи.
Если при построении дискретной модели выполняются определенные требования, то при увеличении числа элементов, составляющих модель, выполняются условия Ниже рассматривается последовательность построения такой дискретной модели и ее анализ. На область QL наносится сеть G- , которая делит область на NE элементов 2 . Сеть состоит из МГ участков G- , которые совпадают с границами элементов и включают границу Г области Я: (рис. 3.1). На каждом элементе Q.L распределенная нагрузка описывается непрерывной функцией , ь(х) локальных координат X , связанных с элементом. На каждом участке сети G-. нагрузка описы-вается непрерывной функцией Р;() локальной координаты , связанной с G- . Разумеется, возможно, что при каких-либо і или і , СЬ е.о или р- =0. Для стержневых систем сеть G- вырождается в совокупность из Nir точек или узлов V , а нагрузка D-( ) в совокупность обобщенных узловых сил Р- . Теперь функционал на- Для дальнейшего существенна именно такая форма представления уравнений равновесия узлов, когда узловые параметры элемента {$\- определяются внешней нагрузкой на элемент, а матрица [А] состоит из единиц и нулей. Для того, чтобы уравнения (3.1.5) представить в форме (3.1.6), необходимо аппроксимировать функции s,4 i) простейшими полиномами и ввести узловые параметры .\S\- , характеризующие внешнее воздействие на элемент. Если р-() = р.. есть постоянная, т.е. нагрузка pv() на сети G- кусочно-постоянна, то можно ввести узловые усилия вида J- \ s J (?) ; и узловые нагрузки ви-да Р;5 \ PjCtO j и записать уравнения (3.1.6) для таких параметров (рис. 3.1,6). При выполнении (3.1.6) обеспечиваются необходимые условия гладкости для поля напряжений. Можно в качестве узловых параметров S- и нагрузки Р выбирать локальные значения функций sj () и рД) в каких-либо узловых точках на линиях ..$-... Подробнее эти вопросы обсуждаются в пп.3.3, 3.5 насто-ящей главы при построении элементов для решения конкретных двумерных задач теории упругости. После аппроксимации граничных условий S-( ) на элементе SL внешнее воздействие на элемент определяется дискретным рядом параметров [$}; и распределенной в QL нагрузкой сь(х) . Теперь необходимо построить общее решение уравнений равновесия (3.1.4) при заданных параметрами .\S\ граничных условиях на контуре области Q j_ . Это решение строится в виде Если условие (3.2.4) не выполняется, то дискретная модель геометрически изменяема и уравнение (3.2.3) может не иметь решений. Это означает, что дискретная модель построена неверно, так как случай геометрически изменяемых исходных континуальных моделей здесь не рассматривается. При т. 4 а множество М всех решений уравнения (3.2.3) составляет аффинное многообразие в Еа .ЩЛ) ядро оператора А , т.е. подпространство размерности Для стержневых систем множество М и множество JL всех возможных решений континуальных уравнений равновесия (1.8.21) совпадают.
Если исходная континуальная модель статически определима, то в дискретной модели та = п и уравнение (3.2.3) имеет единст- венное решение. Для статически неопределимых систем дефект А матрицы ЇДІ в уравнениях равновесия (3.2.3) определяется в со ответствии с (2.2.II) связностью области . Условия стационар ности формы (3.2.1) на М = М- приводят к каноническим уравнени ям метода сил. Эти уравнения определяют единственный вектор 4 $ , который, в свою очередь, определяет решение 6 исходной континуальной задачи. Для двумерных задач линейной теории упругости множество М конечномерно, тогда как множество JUL всех решений уравнений равновесия (1.8.21) бесконечномерно. Поэтому решение ...{$ ] дне- , кретной задачи Кастильяно при любой сети элементов всегда приближенное. Для того, чтобы последовательность таких приближенных решений определяла точное решение 0 континуальной задачи Кастильяно при NE -+ со , необходимо, чтобы Ле [A] = d = а-т.- - со при МБ- -со (3.2.6) Другими словами, с увеличением числа элементов ME в дискретной модели должна возрастать размерность как пространства Еа , так и его подпространства Н . Если уравнения (3.2.3 обеспечивают требуемую гладкость поля напряжений и выполняется условие (3.2.6), то последовательность {@ s определяет последовательность приближенных решений 6 J , которая сходится к точному решению 0 в соответствии с (3.I.I). Решение дискретной задачи Кастильяно (3.2.1), (3.2.3) по определению есть нормальное псевдорешение уравнения (3.2.3), т.е. такое из его возможных решений { \ С MN , которое имеет наименьшую длину \ \ = 3(ф) . Псевдорешение {$ ! уравнения (3.2.3) всегда существует и является единственным /9, 10/. Оло определяется в виде где [& \ - матрица пеевдообратная к \$\ . Существуют две принципиальные схемы определения псевдорешений недоопределенных (ю П) систем линейных алгебраических уравнений /9, IB/. Эти схемы непосредственно связаны с методами сил и перемещений в статике стержневых систем.
Сопряженные формы ЖЭ в квазистатических задачах линейной теории упругости
В третьей главе исследовались формы МКЭ, основанные на непосредственной аппроксимации компонент напряжений и использовании вариационного принципа Кастильяно-Кротти. Построение таких форм МКЭ сводится к следующим этапам: I. Построение дискретной модели Область разбивается на типовые элементы. В пределах каждого элемента строится такое частное решение дифференциальных уравнений равновесия в виде полиномов с П-. независимыми неопределенными коэффициентами J L . Такое решение легко строится, если исходить из аппроксимации функций напряжений в соответствии с результатами исследований второй главы и последующего дифференцирования этих функций. Таким образом, принятая аппрокеимация компонент напряжений на каждом элементе независима и заранее удовлетворяет уравнениям равновесия в пределах элемента. Дополнительная энергия W деформации исходной области равна сумме вкладов W всех НЕ элементов и определяется через N = п. НЕ неопределенных коэффициентов {$] . На границах элемента вводятся некоторые параметры S; (узло вые силы), которые определяются через коэффициенты 0.J,.B соответ ствии со статическими условиями на границах элемента. Такие узловые силы приводятся к узлам на гранях элемента и должны полностью оп ределять распределение усилий на гранях при принятой аппроксимации напряжений. Наиболее удобным в практических целях оказывается выбор таких параметров S- в виде интегральных усилий, приведенных к уз лам в центрах граней Условия равновесия на границах элементов при их объединении в дискретную модель упругой континуальной системы записываются в виде матричного уравнения где \?\ - столбец из Нї обобщенных внешних узловых сил, приведенных к узлам объединенной дискретной модели. Условия равновесия (3.8.1) обеспечивают требуемую гладкость напряжений при переходе через границы элементов. Таким образом, построена дискретная модель исходного континуального объекта: поле напряжений определяется через N неопределенных коэффициентов .,на которые накладываются NE дискретных условий равновесия (3.8.1). Такая модель должна быть статически неопределимой ( Н НЇ ), причем при сгущении сетки NE- \co степень статической неопределимости дискретной модели: MX- N-NZ должна неограниченно возрастать. Это является необходимым условием сходимости процедуры МКЭ в предлагаемой здесь форме.
Множество всех возможных решений дискретных уравнений равно весия определяет конечномерное подмножество М . . в множестве _М всех возможных решений уравнений равновесия исходной континуальной задачи линейной теории упругости. Минимизируя дополнительную энер гию деформации упругой системы W на этом конечномерном подмно жестве MN , мы будем получать встречное приближенное решение ис ходной задачи miru W (p) = 6oMf Ио»" = .roia W ( ) (3.8.2) Таким образом, решение сводится к минимизации квадратичной формы V/ (в) на множестве всех возможных решений уравнений равновесия (3.8.1). Решение такой задачи практически удобно выполнять с использованием метода множителей Лагранжа. Если за узловые силы s приняты интегральные усилия, приведенные к узлам в центрах сторон элементов, то множители Лагранжа имеют физический смысл осредненных обобщенных перемещений узлов {У} . Эти обобщенные перемещения принимались за основные неизвестные задачи и расчет дискретной модели выполнялся методом перемещений. Такой подход является обобщением равновесных моделей метода перемещений, предложенных в работах Ф. де Бебеке. Он обеспечивает точное выполнение условий равновесия исходной упругой системы и встречную оценку точного решения в энергетической норме в соответствии с (3.8.2). Для стержневых систем такой подход сводится к традиционному методу перемещений и обеспечивает точное решение исходной задачи. Для двумерных областей каждому элементу в функциях напряжений, исследованному в главе 2, можно поставить в соответствие равновесный элемент, исследованный в этой главе. При этом интегральные усилия в центральных узлах определяются разностью узловых значений функций напряжений по концам стороны элемента. Это позволяет оценить скорость сходимости предложенных здесь форм МКЭ по известным оценкам для традиционных форм МКЭ, причем точность вычисления напряжений оценивается как в энергетической норме, так и по их интегральным значениям на гранях элемента. При наличии библиотеки равновесных элементов, полученных и исследованных в диссертации, равновесные модели МКЭ легко реализуются в традиционных программных системах и комплексах МКЭ.
Шея непосредственное соответствие с элементами, основанными на аппроксимации функций напряжений, равновесные элементы метода перемещений не имеют тех недостатков, которые были отмечены для первых. Использование таких форм МКЭ представляется в большинстве случаев более целесообразным, чем использование МКЭ в форме метода сил, на основе статико-геометрических аналогий. В настоящей главе исследуются варианты ЖЭ, основанные на использовании новой безусловно экстремальной формулировки принципа минимума дополнительной работы для квазистатических задач линейной теории упругости. Для задач об изгибе балок на упругом винклеровом основании прямая и сопряженная энергетические формулировки оказываются формально аналогичными, что позволяет использовать существующие программы расчета балок методом перемещений для выполнения встречных расчетов по методу сил. В частном случае нулевой жесткости основания встречные методы расчета балок становятся тождественными и приводят к точному решению задачи. При решении двумерных задач теории упругости (мембрана на упругом основании, плоская стационарная задача динамики) сопряженные методы основываются на использовании различных базисных функций ЖЭ, поскольку различными являются условия гладкости и полноты в этих пространствах. Условия непрерывности усилий на границах между элементами можно обеспечить как непосредственным объединением узловых параметров, так и с использованием множителей Лагранжа для учета условий связи узловых усилий. Эти два способа приводят к методу сил и к равновесным моделям метода перемещений. В частном случае = О можно использовать только метод перемещений. Простейшим примером квазистатической задачи линейной теории упругости является задача второго порядка для одномерной области Я-(ОД) Такая задача описывает, например, деформации гибкой нити с начальным натяжением - , расположенной на упругом винклеровом основании с жесткостью к и загруженной нагрузкой сЦэс) (рис. 4.1,а). Исследование сопряженных форм МКЭ для такой задачи легко выполнить в общем виде, что служит хорошим пояснением для более сложных задач, рассматриваемых далее.
