Введение к работе
Диссертация посвящена изучению задач оптимального управления формой и структурой в моделях механики деформируемого твердого тела, описывающих равновесие упругих тел с тонкими включениями и возможным отслоением. Речь идет о моделях, формулируемых в виде задач с неизвестной границей и содержащих нелинейные краевые условия (условия типа Синьорини), заданные на берегах трещины отслоения и исключающие взаимное проникание точек упругого тела и тонкого включения.
Актуальность темы исследования. Интерес к вопросам оптимального проектирования формы и внутренней структуры упругих конструкций, содержащих тонкие жесткие и упругие включения, обусловлен широким распространением композиционных материалов с тонкими волокнами. Подобные материалы применяются в строительной отрасли, машиностроении, авиации, космической технике, медицине. В процессе изготовления или эксплуатации материала включения могут частично или полностью отслаиваться от матрицы, образуя тем самым трещины. Классический подход к описанию трещин, имеющий почти вековую историю, оперирует краевыми условиями вида равенств: на противоположных берегах трещины задаются значения компонент вектора перемещений или вектора поверхностных сил. Неоднократно отмечалось, что в ряде ситуаций задачи линейной теории упругости с краевыми условиями вида равенств на берегах трещины допускают физически невозможные решения, описывающие взаимное проникание берегов трещины друг в друга.
Впервые задача о равновесии трехмерного упругого тела с трещиной при краевом условии непроникания, выражающемся в неотрицательности скачка нормальных перемещений на берегах, была рассмотрена Э. Санчес-Паленсией в связи с изучением вопросов усреднения. Условие непроникания дополнялось следующими требованиями на берегах трещины: равенство нулю касательных напряжений, равенство противоположных нормальных напряжений, которые
будут нулевыми в случае раскрытия трещины и неположительными в точках ее смьжания. Таким образом, полный набор краевых условий представляет собой модель трещины с возможным контактом берегов при нулевом трении. В целом такая задача равновесия является нелинейной, принадлежит к классу задач с неизвестными границами: точки контакта берегов заранее неизвестны и находятся в процессе решения задачи, а ее слабая формулировка может быть дана в виде вариационного неравенства на выпуклом множестве всех кинематически допустимых перемещений.
Последние десятилетия характеризуются интенсивным развитием теоретических и численных методов исследования вариационных задач равновесия для различных моделей теории упругости с жесткими и упругими включениями, а также трещинами при краевых условиях непроникания. Существенный вклад в изучение указанного класса задач внесли отчественные и зарубежные ученые: A.M. Хлуднев, В.А. Ковтуненко, Н.П. Лазарев, Е.М. Рудой, М. Hintermiiller, К.-Н. Hoffmann, D. Hoemberg, D. Knees, К. Kunisch, G. Leugering, M. Negri, K. Ohtsuka, J. Sokolowski, A. Tani.
В теоретическом плане рассматриваемые в диссертации задачи управления формой и структурой тонких включений интересны тем, что изучаются свойства решений для нелинейных моделей, описывающих процессы в сильно неоднородных деформируемых телах.
Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы заключается в исследовании проблем оптимального управления формой и структурой отслоившихся тонких включений в краевых задачах теории упругости с условиями непроникания и, в частности, в получении результатов об их разрешимости.
Основные результаты диссертации:
1. Доказано существование оптимального параметра жесткости для тонкого включения, расположенного в двумерном упругом теле с трещиной, при котором реализуется наиболее безопасное положение равновесия с точки зрения
дальнейшего развития трещины.
-
Изучена задача оптимального управления для двумерного упругого тела с отслоившимся прямолинейным тонким жестким включением и примыкающей к нему трещиной. Роль функции управления играет положение точки излома, разбивающей включение на два взаимодействующих тонких жестких включения. Функционал качества совпадает с производной функционала энергии по длине трещины. Установлено существование точки излома, обеспечивающей наиболее безопасную конфигурацию с точки зрения критерия разрушения Гриффитса.
-
Исследована задача о равновесии трехмерного упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением, задаваемым гладкой двумерной поверхностью. Показана непрерывная зависимость решения от формы жесткого включения. В частности, доказано существование экстремальной формы тонкого жесткого включения, минимизирующей среднеквадратичное интегральное отклонение вектора поверхностных сил от заданной на внешней границе вектор-функции.
-
Установлена разрешимость задачи оптимального управления для уравнений, описывающих равновесие пластины Кирхгофа — Лява с отслоившимся тонким жестким включением. В качестве управления выбирается форма включения, а целевой функционал характеризует среднеквадратичное интегральное отклонение изгибающего момента от заданной на внешней границе функции.
Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно, их достоверность подкреплена строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут служить основой для дальнейшего теоретического и численного анализа задач оптимального управления формой и структурой тонких включений, а также быть использованы при исследовании обратных задач идентификации формы жестких включений
в деформируемых телах.
Методы исследования. Для доказательства существования решения задач оптимального управления применяются прямые методы, базирующиеся на априорных оценках решений задач равновесия. При этом существенно используются общие методы функционального анализа, вариационного исчисления, теории пространств Соболева, анализа чувствительности форм, а также свойства решений систем уравнений в частных производных эллиптического типа.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2012), IV, V Международных молодежных научных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2012, 2013), Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2013), Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2013), Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета (Томск, 2013), Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященной 85-летию со дня рождения академика А.С. Алексеева (Новосибирск, 2013), семинаре "Краевые задачи в областях с негладкими границами" под руководством д.ф.-м.н. A.M. Хлуднева (ИГиЛ СО РАН), семинаре отдела механики деформируемого твердого тела под руководством академика Б.Д. Аннина (ИГиЛ СО РАН).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [1-Ю], три из которых — статьи в рецензируемых научных журналах из Перечня ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
