Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование предварительного напряженного состояния 21
1.1. Предварительные замечания 21
1.2. Модели предварительного напряженного состояния (ПНС), не учитывающие начальную деформацию 24
1.3. Модель ПНС, учитывающая начальную деформацию 28
1.4. Связь моделей ПНС 31
1.5. Об определяющем соотношении для полулинейного материала . 35
1.6. Слабая постановка и ее следствие 38
1.7. Сравнительный анализ моделей ПНС 43
Глава 2. Вывод уточненных постановок краевых задач 53
2.1. Общая постановка краевой задачи об установившихся колебаниях предварительно напряженного упругого тела 53
2.2. Планарные колебания предварительно напряженной пластины . 54
2.3. Изгибные колебания предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа 55
2.4. Колебания предварительно напряженного стержня в рамках модели Тимошенко 64
2.5. Колебания предварительно напряженной пластины в рамках модели Тимошенко 69
Глава 3. Решение краевых задач об установившихся колебаниях предварительно напряженных тел 74
3.1. Задача об установившихся планарных колебаниях предварительно напряженной пластины 74
3.2. Задача об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа 80
3.3. Сравнение моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний стержня 86
3.4. Сравнение моделей Кирхгофа и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний пластины 87
Глава 4. Исследование обратных задач 93
4.1. Общая постановка обратной задачи об идентификации ПНС в теле 93
4.2. Обобщенное соотношение взаимности для тела с ПН 93
4.3. Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при планарных колебаниях 96
4.4. Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при изгибных колебаниях в рамках модели Кирхгофа 107
4.5. Идентификация одноосного ПНС в стержне при изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко 116
4.6. Идентификация плоского ПНС в пластине при планарных колебаниях 117
4.7. Идентификация плоского ПНС в пластине при изгибных колебаниях в рамках модели Тимошенко 127
Заключение 130
Литература
- Модели предварительного напряженного состояния (ПНС), не учитывающие начальную деформацию
- Планарные колебания предварительно напряженной пластины
- Задача об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа
- Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при планарных колебаниях
Введение к работе
з
Актуальность темы исследования. Напряжения, которые существуют в теле при отсутствии внешних нагрузок, называются предварительными напряжениями (ПН). Подобное напряженное состояние возникает в процессе технологической обработки (литья, прокатки, сварки, крутки, закалки, термообработки и других), вследствие неоднородной пластической деформации, при жестком соединении разных материалов в контактной зоне, либо является результатом действия нагрузок при упругом или вязкоупругом деформировании и может достигать больших значений. Практически все структуры в человеческом теле находятся под действием предварительного напряженного состояния (ПНС), начиная от живых клеток на микроуровне и заканчивая кожей, костной и мышечной тканью на макроуровне. Особый практический интерес к подобным напряжениям начал проявляться в начале прошлого века после серии непредвиденных разрушений конструкций (мостов и фюзеляжей самолетов), причиной которых стало неучтенное ПНС. Компоненты поля ПН в конструкциях могут достигать больших значений, особенно в окрестности концентраторов (трещин, полостей, сварных швов, включений и т.п.), которые, как правило, недоступны для наблюдения и могут вызывать разрушение конструкции при нагрузках, значительно меньших допускаемых.
Одним из основных направлений развития современных методик численного моделирования (особенно метод конечных элементов) является выбор наиболее адекватной теоретической модели ПН для постановки и решения конкретной практической задачи; наиболее востребованными являются модели, позволяющие определять неоднородное ПНС по данным о полях смещений или деформациях на границе тела с использованием современных вычислительных алгоритмов. В связи с недостатками разрушающих и полу разрушающих методов, а также невозможностью использования их при исследовании объектов ответственного назначения (трубопроводов, оболочек реакторов, элементов самоле-
тов, судов, ракет и т.п.), сегодня отчетливо наблюдается ориентация последних научных разработок на развитие и совершенствование неразрушающих методов диагностики ПНС. Отдельного внимания заслуживает метод акустического зондирования, обладающий рядом существенных преимуществ над другими методами: возможность идентификации неоднородного ПНС во всей области тела; применимость к большому классу материалов и образцам различной формы; экономичность и оперативность получения результатов исследования.
Цель работы заключается в формулировке постановок краевых задач для предварительно напряженных пластин и стержней в рамках различных моделей, разработке теоретических основ реконструкции неоднородного ПНС в этих телах на основе акустического метода и проведении вычислительных экспериментов.
Методика исследования краевых задач об установившихся колебаниях предварительно напряженных тел основана на применении метода конечных элементов (МКЭ) с использованием слабых постановок исходных задач. Для вывода уточненных постановок краевых задач для стержней и пластин применен вариационный метод Лагранжа. Операторные уравнения обратных задач выводились из обобщенного соотношеня взаимности для предварительно напряженного упругого тела, на их основе строился итерационный процесс, на каждом шаге которого необходимо решать прямую краевую задачу и интегральное уравнение первого рода относительно поправок к неизвестным функциям. В случае двумерной обратной задачи предложены два подхода к решению этого уравнения, основанные либо на конечномерной аппроксимации функции напряжений Эри, либо на конечноэлементной технике.
Научная новизна заключается в получении новых уточненных постановок краевых задач для предварительно напряженных пластин и стержней в рамках классических и неклассических моделей, проведении анализа влияния ПН на амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), классификации распространенных моделей ПН, постановке новых обратных задач и формулировке
соответствующих соотношений взаимности, разработке теоретических основ реконструкции неоднородного ПНС в пластинах и стержнях, выявлению эффективных способов зондирования на основе вычислительных экспериментов.
Достоверность результатов, полученных в диссертационном исследовании, основана на строгом аппарате математического и тензорного анализа, использовавшемся при построении уточненных формулировок краевых задач, определяющих уравнений и соотношений взаимности, на проведении оценок точности получаемых численных решений на основе сравнения с аналитическими решениями в частных случаях и с другими моделями, на проведении вычислительных экспериментов, подтверждающих работоспособность и эффективность предложенных методов диагностики ПНС.
Практическая ценность. Разработанные методики идентификации неоднородных ПН могут быть использованы для совершенствования технологий неразрушающего контроля ПНС и внутренних дефектов на основе данных, снимаемых на поверхности тела, обеспечивая новый уровень точности и качества диагностики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на различных Всероссийских и международных конференциях, в том числе «EUROMECH Colloquim 527: Shell-like Structures - Nonclassical Theories and Applications» (Германия, Виттенберг, 2011 г.), «8th European Solid Mechanics Conference» (Австрия, Грац, 2012 г.), «38th Solid Mechanics Conference» (Польша, Варшава, 2012 г.), «The Second China-Russia Conference «Numerical Algebra With Applications» (Ростов-на-Дону, 2013 г.), «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2013 г.), «Shell and Membrane Theories in Mechanics and Biology: From Macro-to Nanoscale Structures» (Беларусь, Минск, 2013 г.), «Russian-Taiwanese Symposium «Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications» (Ростов-на-Дону, 2012 г.), Международная конференция «Современные проблемы МСС» (Ростов-на-Дону, 2009-2012 гг.), VII Всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела с международным участием
(Ростов-на-Дону, 2013 г.), Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2011-2013 гг.) и др., на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 31 печатной работе [-], из них 4 статьи [-] в рецензируемых журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, утвержденного ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 152 наименований, 50 рисунков, 4 таблиц. Общий объем диссертации составляет 149 страниц машинописного текста.
Модели предварительного напряженного состояния (ПНС), не учитывающие начальную деформацию
Наличие ПН в твердых телах характерно для всех реальных объектов. На сегодняшний день известно, что подобное напряженное состояние возникает в процессе технологической обработки (литья, прокатки, сварки, крутки, закалки, термообработки и других), вследствие неоднородной пластической деформации, при жестком соединении разных материалов в контактной зоне [3-5], либо является результатом действия нагрузок при упругом или вязкоупругом деформировании и может достигать больших значений. Особый практический интерес к подобным напряжениям начал проявляться в начале прошлого века после серии непредвиденных разрушений конструкций (мостов и фюзеляжей самолетов), причиной которых стало неучтенное предварительное напряженное состояние (ПНС). Компоненты поля ПН в конструкциях могут достигать больших значений, особенно в окрестности концентраторов (трещин, полостей, сварных швов, включений и т.п.), которые, как правило, недоступны для наблюдения и могут вызывать разрушение конструкции при нагрузках, значительно меньших допускаемых. Одна из главных задач технологов - снизить уровень ПН; однако выявить реальный уровень ПН в конструкции удается далеко не всегда. Учет ПН позволит корректно моделировать сложные системы и адекватно описывать их реальное поведение в режиме эксплуатации при наличии сложного термосилового нагружения, меняющегося во времени.
С другой стороны, нередко наличие особых типов ПНС в конструкции может, наоборот, повысить ее надежность и прочность при эксплуатации. Это, в свою очередь, служит причиной того, что иногда на этапе технологического изготовления тело намеренно подвергают действию ПН.
Одним из важнейших приложений задач анализа неоднородного ПНС в телах является биомеханика. Задачи неинвазивного мониторинга заболеваний человека всегда представляли собой трудно реализуемую, но жизненно необходимую задачу. Практически все структуры в человеческом теле находятся под действием ПНС, начиная от живых клеток на микроуровне и заканчивая кожей, костной и мышечной тканью на макроуровне. Методы анализа ПНС в биологических объектах могут быть положены в основу идентификации различного рода уплотнений, полостей, трещин, новообразований и прочих дефектов в костях, кровеносных сосудах и других биологических структурах в теле человека по найденной информации о поле ПН в этих органических структурах.
Множество отечественных и зарубежных работ посвящено изучению ПНС в твердых биологических структурах живого организма, в частности, в костной ткани. Существенный вклад в изучение механических свойств костей с учетом полей ПНС привнес И. Ф. Образцов, а также зарубежные исследователи А. Ахмед (A. Ahmed), Б. Маккормак (В. McCormack), С. Ямада (S. Yamada) и многие другие. Исследования продемонстрировали, что ПН в трубчатых костях человека могут достигать 22 МПа [6]. Отметим еще две работы, в которых приводится изучение дефектов в костях в условиях роста: [7, 8].
Много работ посвящено изучению механических свойств различных типов кровеносных сосудов; их теоретические, экспериментальные и клинические принципы содержатся в работах Дж. Хамфри (J. Humphrey), С. Коуина (S. Co-win), Г. Хольцапфеля (G. Holzapfel), Р. Огдена (R. Ogden) и др. [9, 10]. В частности, большую практическую значимость и интерес представляют исследования механических свойств артерий; некоторые результаты подобных исследований приводятся в работах [11, 12]. При рассмотрении мягких тканей с присущими им большими деформациями в основном для их моделирования используются гиперупругие (высокоэластичные) материалы в рамках нелинейной упругости. В работах [10, 13] приводятся некоторые результаты подобных исследований. Одно из наиболее значимых открытий в области биомеханики сосудов гласило о том, что свободное от внешних нагрузок артериальное кольцо не свободно от внутренних напряжений (впервые этот результат был опубликован в работе [14]). ПН в сосудах влияют на распределения напряжений и деформаций в деформированных артериальных стенках в физиологическом состоянии, а также на толщину деформированных стенок. При этом, часто при моделировании таких ПН применяют гипотезу об их однородности (см., например, [15]). Обзоры по механике артериальных стенок приведены в [16]. В работе [17] проведено исследование связи осмотического разбухания с наличием ПНС в сердечно-сосудистых тканях. Два этих фактора существенно влияют на функции сердечнососудистых тканей и органов. Показано, что отёк сердечно-сосудистых тканей связан с наличием в них заряженных макромолекул протеогликана (белки, которые сильно гликозилированы1); этот отёк является определяющим фактором образования ПН. Такие напряжения в стенках сердца могут послужить причиной различных заболеваний, в частности, гипертрофии миокарда [18].
Таким образом, учитывая функциональную значимость ПН с точки зрения механического воздействия, при моделировании необходимо включать их в анализ напряжений сердечно-сосудистой системы.
Кроме того, несомненный интерес представляют модели ПНС для горной механики и геофизики. Следует отметить, что в процессе проведения горных работ одной из основных проблем является достоверность описания механических характеристик горного массива. Учет ПНС позволяет более адекватно моделировать подземные сооружения, трубопроводы, а также полости, образующиеся при проходке горных выработок и при извлечении образца из скважины, и со 1 Гликозилирование — ферментативный процесс, в ходе которого происходит присоединение остатков Сахаров к органическим молекулам. здавать методы их диагностики на основе методов вибросейсморазведки. При проведении подобных процедур происходит изменение напряженно-деформированного состояния породы (в основном, разгрузка), находящейся вблизи места выработки. В работах [19, 20] приведены результаты исследований, продемонстрировавших, что одной из причин образования ПНС в горных массивах является предыстория формирования напряженно-деформированного состояния и связанное с этим появление внутренних полей напряжений в период генезиса. Также подобные вопросы, связанные с ПНС в горных породах, исследованы в работах [21-27].
Планарные колебания предварительно напряженной пластины
Однако, несмотря на многочисленность методов определения ПНС, на сегодняшний день не существует универсальной техники, поскольку тот или иной метод имеет свои специфические особенности и недостатки. В то время как одни методы приводят к разрушению объекта, другие могут измерять лишь однородное ПНС или близкое к нему, либо могут быть применимы только к определенным классам материалов, или исследовать отдельные области предварительно напряженного тела. Отметим, что на сегодняшний день имеется много работ, посвященных описанию достоинств и недостатков методов определения ПНС и их сравнению [1, 2]. К примеру, методы рентгеновской и нейтронной дифракции признаны наиболее точными методами для измерения ПНС; их часто используют для подтверждения точности других методов. Но и эти методы имеют недостатки: возможность измерения лишь околоповерхностных напряжений, неприменимость к материалам с некристаллическим строением, сильная восприимчивость к анизотропии зерен, сложность измерения напряжений на неровных поверхностях, а также достаточно большая стоимость необходимого оборудования.
Тем не менее, отдельного внимания заслуживает метод акустического зондирования, обладающий рядом существенных преимуществ над другими методами: возможность идентификации неоднородного ПНС во всей области тела; применимость к большому классу материалов и образцам различной формы; экономичность и оперативность получения результатов исследования [1, 2, 4]. Наряду с экспериментальными методами диагностики и моделирования изменения ПНС в теле развивается новое направление - моделирование и прогнозирование поведения тела с использованием конечноэлементных технологий [82]. Подобный подход позволяет проводить множество различных вычислительных экспериментов по оценке и изменению неоднородных ПН в телах различной формы. Данные, полученные в ходе таких экспериментов, позволяют существенно сократить материальные затраты на проведение натурных экспериментов, поскольку дают возможность оценить вероятность успешного проведения опыта.
Как уже отмечалось выше, часто при моделировании ПНС используется модель однородных начальных напряжений [52, 66]. В то же время почти всегда в реальных конструкциях ПНС неоднородно и зависит от координат. Существенные неоднородности ПН наиболее часто встречаются в окрестностях различных дефектов - полостей, трещин, включений, сварных швов. На сегодняшний день существует множество работ, посвященных анализу ПН в окрестностях трещин и сварных швов и методикам предотвращения роста полостей и трещин [83-85]. С этим тесно связана еще одна перспективная область исследований - влияние нанесения дробеструйного наклепа и лазерного упрочнения в областях (возможных) дефектов на поле ПН в приповерхностных слоях образцов [68, 86, 87].
Решение задачи восстановления неоднородного ПНС даже в рамках линеаризованной модели может быть осуществлено лишь на основе решения коэффициентной обратной задачи теории упругости, которая представляет собой нелинейную некорректную проблему. При этом даже для оценочных расчетов необходимо решать задачи теории упругости с переменными характеристиками, что возможно лишь с использованием современных вычислительных технологий, в частности, конечноэлементных [53, 84, 85]. Основная трудность при исследовании проблем идентификации состоит в сложной процедуре построения операторных соотношений, связывающих искомые функции, характеризующие законы распределения компонент тензора ПН, и измеряемые в ходе эксперимента функции — амплитудно-частотные характеристики точек тела на границе. В таких ситуациях не представляется возможным построение в явном виде достаточно общих представлений решений из-за переменности коэффициентов дифференциальных операторов [29-31, 88].
Цель настоящей диссертационной работы заключается в получении уточненных постановок краевых задач для предварительно напряженных тонких пластин и стержней в рамках различных моделей и в разработке методов ре 16 конструкции неоднородного ПНС в этих телах.
В первой главе диссертации рассмотрены вопросы теоретического моделирования ПНС в твердых телах. Проведена классификация используемых на сегодняшний день в механике деформируемого твердого тела теоретических моделей ПН, отличающихся структурой определяющих соотношений, связывающих добавочный тензор напряжений Пиолы с тензором ПН и добавочным тензором объективных напряжений. В параграфе 1.1 описаны две существующие системы тензорных обозначений, введенные К. Трусделлом, В. Нол лом и А. И. Лурье, приведены определения и правила перехода от одной системы к другой. В параграфах 1.2 и 1.3 приведены две группы моделей ПН, соответственно не учитывающие и учитывающие начальную деформацию в явном виде в структуре определяющих соотношений. Первая группа включает в себя модели, ранее предложенные Е. Трефтцем [35], М. Био [34], К. Бицено и X. Генки [33] и Р. Саусвеллом [32] и доработанные впоследствии В. В. Новожиловым [38], Л. М. Зубовым [41], К. Васидзу [42], Л. Робертсоном [46], А. Хогер [44], К. Трусделлом [89] и др. Вторая группа моделей берет свое начало в работах академика А. Н. Гузя [50]. В параграфе 1.4 описана теория, позволяющая связать модели друг с другом на основе общего представления для удельной энергии деформации, которая разлагается на энергию чистой деформации и энергию, обусловленную поворотом объема при малых смещениях, либо с помощью соотношения, связывающего добавочный объективный тензор напряжений с добавочными тензором напряжений Пиолы, тензором малой деформации и тензором конечной деформации. В параграфе 1.5 приведен способ построения определяющего соотношения для полулинейного упругого материала в метриках естественной недеформированной конфигурации и начальной невозмущенной конфигурации. В параграфе 1.6 приведен вывод слабой постановки исходной краевой задачи и ее следствие для предварительно напряженного упругого тела в рамках моделей из первой группы (не учитывающих начальную деформацию). В параграфе 1.7 осуществлено сравнение моделей ПН из первой группы друг с другом на основе конечноэлементного анализа динамических характеристик (собственных частот и амплитудно-частотных характеристик) пластины при планарных колебаниях; приведены постановки краевых задач для предварительно напряженного стержня в рамках всех рассмотренных моделей ПН.
Задача об установившихся изгибных колебаниях предварительно напряженной пластины в рамках модели Кирхгофа
Для анализа точности получаемого с помощью FreeFemH—\- решения задачи (2.48) было проведено сравнение этого решения для ленточной пластины (форма плоской области, занимаемой пластиной — вытянутый прямоугольник с отношением размеров 1/Ъ 10) с однородными характеристиками (параметрами материала, плотностью, компонентами тензора ПН) с аналитическим решением аналогичной задачи об изгибных колебаниях предварительно напряженного стержня прямоугольного сечения под действием равномерно распределенной нагрузки, жестко защемленного одним концом (см. рис. 1.3). При этом рассматривался случай одноосного ПНС, т.е. когда единственной отличной от нуля компонентой тензора ПН является компонента сг = const. Постановка задачи для стержня имеет почти тот же вид, что и постановка (3.2) в п.3.1.2 с той лишь разницей, что вместо модуля Юнга Е на этот раз используется величина j3T5 входящая в формулу цилиндрической жесткости [88].
Замечание. Из выведенной постановки прямой задачи (2.48) о колебаниях тонкой предварительно напряженной пластины можно вывести постановку задачи о колебаниях предварительно напряженного стержня при однородных параметрах материала (Е и v). Для этого необходимо рассмотреть частный случай: w = w(xi), 0п(жі) т 0, остальные компоненты тензора ПН равны нулю.
Для проведения сравнительного анализа были рассмотрены разные соотношения геометрических размеров стержней. Ниже приведен результат для балки со следующими параметрами: / = 0.2 м, Ь = 0.013 м, h = 0.01м, Е = 1.96 1011 Па, v = 0.29, р = 7.8 103 кг/м3, q = 2.3 105 Н/м, ап = 98 МПа.
На рис. 3.4 изображена АЧХ для незащемленного конца балки с вышеуказанными параметрами. Весь частотный диапазон / = ([/] = Гц) разбит на несколько участков, разделенных резонансными частотами j\ = 15.1 Гц, h = 87.3 Гц, /з = 241.1Гц, /4 = 471 Гц. изображены результаты сравнения аналитического решения задачи для стержня wT{x\) и численного решения задачи для пластины wp(xi, Х2) в заданных частотах из первых четырех частотных диапазонов: а) — на первом частотном диапазоне, при / = 7 Гц; б) — на втором, при / = 40 Гц; в)
Сравнительный анализ решений двух прямых задач показал, что для частот, находящихся ниже второго резонанса, относительная погрешность в узлах численного решения wp(xi, Х2) по сравнению с аналитическим решением wT(х\) составляет менее 0.07% при сетке разбиения 50 х 100, что свидетельствует о достаточно хорошей схеме дискретизации.
Ниже приведены графики изолиний конечноэлементного решенияwp(xi, Х2) для пластины с параметрами / = 2м, 6=1 м, h = 0.1м, Е = 1.96 10й Па, v = 0.29, р = 7.8 103 кг/м3, q = 2.3 105 Н/м, для разных полей ПН. На рис. 3.6 приведены результаты для жестко защемленной по всему контуру пластины в случае статики (/ = 0 Гц); на рис. 3.7 — для защемленной на одной грани пластины в случае одноосного поля ПН сг = const, для разных значений частот. g 0.015% (%) 0.010%
На рис. 3.8 схематично приведены графики изолиний решения для различных законов изменения неоднородных одноосных ТУШ(Jii{x2) при частоте / = 0.7Гц. При этом на всех рисунках ось Х\ направлена вниз по вертикали, ось х — направо по горизонтали; пластина защемлена на грани х = 0.
Было проведено исследование влияния величины ПН о- = const на АЧХ в точке {х\ = 1]Х2 = 6/2; Жз = 0} прямоугольной пластины (рис. 3.9), на первых двух частотных диапазонах, для разных соотношений геометрических размеров прямоугольной пластины.
Анализ влияния ПН на АЧХ точек области был проведен для различных соотношений геометрических размеров пластины. Следует отметить, что от отношения 1/Ъ величина влияния сг практически не меняется; зато она сильно зависит от отношений h/b и h/l. Чем толще пластина, т.е. чем больше коэффициент h/l (или h/b), тем меньше уровень ПН сг влияет на АЧХ. При этом, с возрастанием этих коэффициентов все резонансные частоты тоже возрастают; их изменение часто используется при идентификации в случае однородных полей напряжений. Итак, ряд вычислительных экспериментов показал, что расхождение в АЧХ вполне достаточно для использования процедуры реконструкции ПН; расхождение наиболее значимо при приближении к резонансным частотам.
Сравнение моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний стержня
Проведем сравнение балочных моделей Тимошенко и Эйлера-Бернулли на примере изгибных колебаний предварительно напряженного стержня (рис. 1.3). Для этого сравним решения соответствующих задач в их слабых постановках (1.60) и (2.57).
Ниже приводятся численные результаты сравнения моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко в рамках задачи об изгибных колебаниях консоли с параметрами I = 0.83 м, h = 0.04 м, Ъ = 0.07 м, Е = 1.96 1011 Па, р = 7.8 103 кг/м3, = -1.6 10 Па (Р - сосредоточенная сила, приложенная на конце стержня), / = 33Гц. На рисунке 3.11 изображены формы колебаний для прогиба и угла поворота оси стержня, полученные для обеих моделей с помощью МКЭ на основе соответствующих слабых постановок (1.60) и (2.57). При этом рассмотрено два случая: когда ПН отсутствуют (сг о = 0), и когда в стержне содержится одноосное однородное растяжение (j\\jE = 10-2.
Из рисунка (3.11) видно, что формы колебаний для обеих моделей практически совпали друг с другом. Расчеты показали, что наибольшее расхождение имеет место в узкой окрестности резонансных частот. V=o
Сравнение решений краевой задачи для моделей Эйлера-Бернулли и Тимошенко: (а) - при отсутствии ПН, (Ь) - при одноосном однородном растяжении. Слева приведены формы для прогиба, справа - для угла поворота оси стержня. Пунктирная линия - моделв Тимошенко, сплошная линия - моделв Эйлера-Бернулли.
3.4. Сравнение моделей Кирхгофа и Тимошенко на примере установившихся изгибных колебаний пластины
Проведем теперь сравнение моделей Тимошенко и Кирхгофа на примере изгибных колебаний предварительно напряженной тонкой пластины. При этом рассмотрим частный случай, когда компоненты ПН зависят только от координат х1 и #2, т.е. изменяются в плоскости пластины. Для этого рассмотрим слабые постановки задач (2.64) и (2.49) и сравним их конечноэлементные решения.
Далее приводятся численные результаты сравнения моделей Кирхгофа и Тимошенко в рамках задачи об изгибных колебаниях прямоугольной пластины с параметрами / = 0.92 м, Ь = 0.58 м, h = 0.03 м, Е = 1.96 1011 Па, р = 7.8 103 кг/м , = -4.6 105 Н/м (интенсивность равномерно-распределенной нагрузки, приложенной к свободной грани консоли), = 10Гц (между второй и третьей резонансной частотой).
Ниже приводятся формы колебаний в виде полей прогиба и углов поворота нормали, полученные для обеих моделей с помощью МКЭ на основе соответствующих слабых постановок (2.49) и (2.64). При этом рассмотрены различные случаи распределения однородного и неоднородного ПНС в пластине.
Идентификация одноосного ПНС в ленточной пластине при планарных колебаниях
Уравнение (4.15) решено с помощью метода регуляризации А. Н. Тихонова. Решение обратной задачи сведено к итерационному процессу, аналогично п. 4.3. Выбор начального приближения выбирался согласно методу, описанному в п.4.3.3.
Проведена серия вычислительных экспериментов по идентификации закона изменения одноосных ПН сг101(х2). Были рассмотрены различные классы восстанавливаемых функций, в том числе линейные, полиномиальные, экспоненциальные и тригонометрические [91]. Частоты колебаний / прикладываемой нагрузки выбирались из первых трех частотных диапазонов АЧХ, т.е. до первой резонансной частоты, между первой и второй резонансными частотами и между второй и третьей резонансными частотами. Как и ранее, во всех экспериментах рассмотренные ПН max c"101 ( 2) входят в диапазон 10-5 -т-10-3.
Здесь имеют место те же выводы, что и в п. 4.3.4: почти во всех рассмотренных примерах точность реконструкции на концах отрезка х2 Є [0, b] хуже по сравнению с точностью реконструкции вдали от них (см. также рассуждения п. 4.3.4) графики результатов восстановления на втором частотном диапазоне. Значения функции Jii(x2) на концах отрезка х2 Є [0, b] считались заданными. Сплошной линией на графиках показан точный закон распределения сг я ); квадратика ми — результат восстановления. Величины погрешностей результатов 5 вычис лялись в процентном соотношении по формуле (5 = — -ґ— - 100%, где
Рассмотрим задачу идентификации одноосного ПНС в стержне, консольно-закрепленного на левом конце. Приложим зондирующую поперечную сосредоточенную силу Р к свободному концу, как на рис. 1.3.
Это уравнение возникает при реализации итерационного процесса, на каждом шаге которого решается прямая задача и вычисляются функции 9 п и w n \ после чего вычисляется поправка к неизвестной функции. При проведении вычислительных экспериментов это уравнение решалось с помощью метода регуляризации А. Н. Тихонова.
Вычислительные эксперименты по реконструкции ПНС На рисунке 4.16 представлены результаты реконструкции двух законов неоднородности одноосных ПН при характеристиках / = 83 см, h = 4 см, Ь = 7см, Е = 1.96-1011 Па, р = 7.8-103 кг/м . Начальное приближение для неизвестной функции искалось в классе линейных функций с помощью минимизации функционала на сетке, как описано в п. 4.3.3. При проведении вычислительных экспериментов было проведено измерение АЧХ в 6 частотах, равномерно распределенных между первым и вторым резонансом.
Вычислительные эксперименты продемонстрировали, что предложенный метод восстановления одноосного ПНС в стержне с успехом может применяться даже для реконструкции немонотонных зависимостей, меняющих знак. Погрешность получаемой реконструкции не превышала 4%. была рассмотрена обратная задача об идентификации одноосного закона распределения ПНС в тонкой пластине. Теперь рассмотрим аналогичную обратную задачу об идентификации плоского неоднородного поля ПН а\х{х\,Х2), 022 (#і, Жг)? 12( 1 2)) имеющегося в тонкой пластине произвольной формы (рис. 2.1). Заданы параметры материала и дополнительная информация о поле смещений и\[а под нагрузкой в конечном наборе частот ujk Є [ х _, х +], моделирующая данные зондирования.
Формулировка итерационного процесса Воспользуемся выведенным ранее соотношением взаимности для вышеописанной предварительно напряженной пластины (4.9), представив его в следующем виде: соответствующим компонентам 1Ш на текущей итерации (при этом т- - заранее выбранное начальное приближение); К1 , К2(2 , І 1(2 - ядра интегрального уравнения, выраженные через производные смещений, вычисленных на предыдущем шаге (п — 1); j1 - компонента заданного поля смещений под зондирующей нагрузкой (дополнительная информация в постановке обратной задачи).
Это соотношение можно трактовать как интегральное уравнение Фред-гольма 1-го рода относительно трех поправок к ПН, зависящих от двух переменных, если предварительно решена прямая задача о нахождении полей смещений во всей области пластины. Это уравнение существенно сложнее, чем уравнения, к которым сводились обратные задачи в предыдущих параграфах и, в связи с этим, оно не может быть решено стандартными методами. (далее номер итерации (п) будем опускать). Такое операторное уравнение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение первого рода; его исследование представляет собой более сложную задачу, чем исследование классического уравнения Фредгольма первого рода с непрерывным ядром. Изложим два подхода к его исследованию.
Первый подход
Первый подход фактически представляет собой проекционный метод, основанный на отыскании функции Эри Ф в виде линейной комбинации бигармо-нических многочленов: приведен результат реконструкции ПН (4.27) в классе линейных функций (4.29). При проведении экспериментов частоты колебаний фиксировались между первой и второй резонансными частотами (всего было зафиксировано 7 частот, равномерно распределенных в выбранном диапазоне); выявлено, что концы диапазона должны быть достаточно близко к резонансам, чтобы получить приемлемую точность реконструкции. Также стоит отметить, что рассмотрение частотного диапазона ниже первой резонансной частоты дает реконструкцию худшей точности.
Второй подход Ниже описан эксперимент по идентификации ПН в рамках второго подхода. При этом рассмотрен случай аппроксимации функций Эри &k\sk в виде 3 Получаемые при этом компоненты ПН измеряются в 0.1 МПа.
Слева направо: аЦ , а22 , сг12 Сплошная поверхноств - точнвій закон, точки -восстановленный закон в классе линейнвіх функций. Шкалы х, у соответствуют осям х\,Х2 и приведенві в см, шкалы ПН приведенві в 0.1 МПа. Количество итераций: 8 квадратичных полиномов, и решение обратной задачи сведено к решению системы линейных алгебраических уравнений вида (4.26). Область пластины 5 была разбита на 30 суперэлементов сеткой [6x5], таким образом система линейных уравнений (4.26) решалась относительно 90 неизвестных коэффициентов разложения .
Не следует путать конечные элементы (для численного решения прямой задачи по методу конечных элементов) и суперэлементы (формальное разбиение пластины для решения обратной задачи); в общем случае, эти разбиения вводятся независимо. Во всех экспериментах
На этот раз начальное приближение искалось в классе линейных функций; в качестве начального приближения использовалось решение соответствующей обратной задачи, найденное по первому подходу. Таким образом, решалось две обратные задачи: первая, в рамках первого подхода, для нахождения начального приближения неизвестных функций ПН, и вторая, в рамках второго подхода, для уточнения этого приближения. На рис. 4.18 приведены результаты реконструкции ПН, заданных в виде (4.27) в классе кусочно-постоянных функций; результат реконструкции был сглажен с помощью кубической сплайн-аппроксимации.
Для наиболее точной идентификации было зафиксировано 11 частот колебаний, равномерно распределенных между первой и второй резонансными частотами; все замечания относительно выбора частотных диапазонов остаются такими же, как и при первом подходе к реконструкции.
В случае идентификации одноосных ПН, задаваемых одной функцией от одной координаты, было достаточно зафиксировать 5-6 частот для получения приемлемых результатов реконструкции; более того, фиксирование большего числа частот не улучшало точность реконструкции [90, 91, 93]. Однако, в случае решения двухмерной обратной задачи в ходе проведения вычислительных экспериментов выяснилось, что для восстановления некоторых законов неоднородности ПН следует фиксировать больше частот для достижения наилучшей точности идентификации. Таким образом, результаты вычислительных экспериментов демонстрируют возможность использовния предложенной схемы идентификации достаточно гладких неоднородных компонент ПН в рамках плоского ПНС. разбиение области пластины [18 х 15].
