Содержание к диссертации
Введение
1 Краевые задачи динамической теории упругости для полуограниченных сред, содержащих неоднородности различной природы 25
1.1 Основные соотношения и уравнения связанных задач термоэлектроупругости 26
1.2 Начальные и граничные условия 27
1.3 Общая постановка задач о взаимодействии массивного твердого тела со слоистой средой, содержащей неоднородности 37
1.3.1 Уравнения движения массивного тела 39
1.3.2 Уравнения движения полуограниченной среды с совокупностью неоднородностей 40
1.4 Общая схема построения решения 46
2 Метод построения матриц-символов Грина для полуограниченных сред при наличии параллельно ориентированных неоднородностей различной природы 61
2.1 Классификация краевых задач для термоэлектроупругой среды с совокупностью неоднородностей на основе теории «вирусов» вибропрочности 62
2.2 Функционально-матричные соотношения вспомогательных задач для однородного слоя и однородного полупространства 72
2.2.1 Колебания термоэлектроупругого слоя 72
2.2.2 Колебания термоэлектроупругого полупространства 77
2.3 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, не имеющей нарушения сплошности 79
2.3.1 Колебания пакета слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием 79
2.3.2 Функционально-матричные соотношения для слоистого полупространства 85
2.3.3 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для пакета слоев с одной свободной гранью 86
2.4 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, содержащей систему включений 93
2.4.1 Колебания пакета слоев, содержащего одноуровневое включение 93
2.4.2 Колебания пакета слоев, содержащего двухуровневые включения 98
2.4.3 Колебания пакета слоев, содержащего многоуровневые включения 99
2.5 Матрица-символ Грина и функционально-матричные соотношения для многослойной среды, содержащей систему трещин 106
2.5.1 Колебания пакета слоев, содержащего трещину на одной из границ раздела слоев 106
2.5.2 Колебания пакета слоев, содержащего двухуровневые трещины 110
2.5.3 Колебания пакета слоев, содержащего множественные трещины 111
2.6 Построение матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для сред, содержащих неоднородности 115
2.6.1 Системы интегральных уравнений для многослойных сред без нарушения сплошности (задача 1) 116
2.6.2 Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность включений (задача 2) 116
2.6.3 Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность трещин (задача 3) 119
2.6.4 Системы интегральных уравнений для сред, содержащих неоднородности различного типа 121
3 Свойства матриц-символов ядер интегральных уравнений, порождаемых динамическими контактными задачами для сред с неоднородностями 131
3.1 Некоторые свойства вспомогательных матриц 131
3.2 Асимптотические свойства матриц-символов ядер интегральных уравнений 141
3.3 Общая схема метода фиктивного поглощения 153
3.4 Построение определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений 171
3.4.1 Построение определителей матриц К(а,/3,а>) для многослойных сред, содержащих совокупность включений 172
3.4.2 Построение определителей матриц K(a,j3,a>) для многослойных сред, содержащих совокупность трещин 181
3.4.3 Построение определителей матриц K(a,j3,a>) для многослойных сред, содержащих совокупность включений и трещин 187
4 Метод построения определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений динамических контактных задач для полуограниченных сред с неоднородностями 194
4.1 Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений плоских динамических контактных задач 195
4.2 Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений антиплоских динамических контактных задач 209
4.3 Построение определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений пространственных динамических контактных задач для сред с неоднородностями 216
4.4 О локализации волнового процесса системой неоднородностеи 235
Заключение 244
Литература 248
- Уравнения движения полуограниченной среды с совокупностью неоднородностей
- Колебания пакета слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием
- Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность включений (задача 2)
- Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений антиплоских динамических контактных задач
Введение к работе
Многие научно-технические проблемы связаны с изучением закономерностей динамических процессов в средах, обладающих как сложными физико-механическими свойствами, так и неоднородной структурой. В частности, определение критериев оценки прочностных свойств новых конструкционных материалов, фундаментальные проблемы оценки сейсмичности литосферных плит и прогноза землетрясений приводят к необходимости создания методов анализа напряжённо-деформированного состояния с позиции механики разрушения с учетом связности механических, электромагнитных и тепловых факторов, а также с учетом наиболее распространенных видов неоднородностей или дефектов — включений и трещин, присущих слоистым структурам.
Динамические задачи для полуограниченных сред, содержащих совокупность неоднородностей различной природы, являются на сегодняшний день малоизученными. Сложность их исследования обусловлена тем, что вследствие зависимости напряженно-деформированного состояния системы от многих параметров традиционные аналитические и численные методы анализа становятся неэффективными даже при небольшом количестве дефектов, а с ростом частоты колебаний и в областях больших размеров многие из них неприменимы. Кроме того, установленная неединственность решений динамических задач для сред с совокупностью неоднородностей при некоторых значениях параметров [23], делает эти задачи еще более сложными. В связи с этим актуальными становятся как исследования рассматриваемого класса задач в новой постановке, так и разработка новых численно-аналитических методов их решения.
В.А. Бабешко создана новая теория - теория «вирусов» вибропрочности [14, 16, 17, 23, 24], изучающая специальные сочетания неоднородностей и их влияние на динамические, в том числе и прочностные
свойства деформируемых слоистых сред. Теория, являясь математически и механически строгой, способствует отходу от понятия идеальной сплошности, уводит от традиционных постановок задач и стратегии исследования. Она нацелена на выделение, классификацию и изучение свойств специальных механических объектов, находящихся в деформируемой среде, способных в условиях вибрации локализовать волновой процесс и вызвать резонансы.
Свойство совокупности неоднородностей при определенных условиях локализовать волновой процесс в своей окрестности является основой научного открытия В.А. Бабешко, И.И. Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [38]. Фундаментальные результаты по теоретическому обоснованию существования явления локализации волнового процесса содержатся в работах В.А. Бабешко [14-18, 23-26]. Установлено, что таким свойством обладают не только множественные, но и отдельные неоднородности. Способность локализовать волновой процесс присуща средам, проводящим волны различной физической природы - упругие, электромагнитные, звуковые, что имеет подтверждение в теоретических и экспериментальных исследованиях [15, 66, 104].
Настоящая работа посвящена моделированию динамических процессов в слоистых полуограниченных термоэлектроупругих средах при наличии множественных плоских неоднородностей типа жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев.
Актуальность проведенных исследований определяется возможностью их широкого приложения в различных областях механики, геофизики, сейсмологии, акустики, вибросейсморазведки, фундаментостроении, машиностроении, микроэлектроники, ультразвуковой дефектоскопии и т.д.
Проблеме моделирования динамических процессов в упругих ограниченных и полуограниченных телах, содержащих неоднородности,
посвящено большое количество работ, обзор которых проведён в [63, 139, 145, 172, 183,201].
Исследования выполнены в широком диапазоне постановок задач применительно к различным материалам как упругим, так и пластическим. Это работы В.М. Александрова, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.В. Зозули, В.В. Михаськива, Ю.Н. Подильчука, Г.Я. Попова, Н.Ф. Морозова, Дж. Раиса, М. Г. Селезнева, Б. И. Сметанина, Г.П. Черепанова и др.
Изучаются механизмы образования и распространения дефектов, процессы, приводящие к концентрации напряжений и разрушению [11, 92, 93, 101, 106, 108, 119, 127, 129-133, 174, 184, 185, 191,220].
Как правило, рассматриваются дефекты, расположенные в однородных или двухслойных изотропных средах [3, 8, 9, 56, 134, 179, 180, 187] и реже -в средах со сложными физико-механическими свойствами (анизотропных, пьезоэлектриках и т.п.) [54, 55, 57, 118, 198, 201, 229, 230]. При этом наиболее часто дефекты предполагаются имеющими каноническую форму (круговой или эллиптический цилиндр, сфера, эллипсоид) [70, 122, 123, 125, 142, 192, 193, 204] или моделируется конечным либо полубесконечным математическим разрезом, на котором перемещения (для трещин) или напряжения (для включений) терпят разрыв.
В работах [12, 61, 94, 99, 109, 110] динамические задачи о напряжённо-деформированном состоянии тела с трещиной формулируются с учётом контактного взаимодействия её берегов в фазе сжатия. В [98] проведён анализ различных расчётных схем при потере устойчивости слоистых композитных материалов с трещинами на границе раздела слоев, приведена классификация межслоевых трещин. Для определения условий возможного разрушения (отслоения) соединения материалов с различными упругими свойствами важным является анализ концентрации напряжений в окрестности угловых точек фронта интерфейсных трещин. Исследование
зависимости характеристик сингулярности от угла раствора трещины и соотношения упругих свойств проведено в работах [58, 86, 90, 118, 213].
Значительное количество публикаций посвящено вопросам дифракции волн на трещине или включении [86-89, 105, 126, 143, 187, 196, 205, 206].
Многообразны как постановки, так и подходы к решению задач для сред, содержащих неоднородности. Особенно интенсивно за последние годы развиваются исследования, основанные на использовании прямых численных методов решения соответствующих краевых задач [89, 116, 212, 214, 215]. Одним из наиболее эффективных является общий метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов. Этот подход позволяет изучать динамические характеристики в средах при наличии дефектов в плоскостях, не параллельных свободной поверхности [71, 72, 74, 75, 95]. Однако вследствие отмеченной выше неединственности решения, их применение должно контролироваться аналитическими методами повышенной точности.
В подавляющем большинстве публикаций изучается динамика отдельной трещины или включения, что не приводит к установлению закономерностей, свойственных их совокупности.
Диссертационная работа направлена на разработку методов исследования, позволяющих выявить влияние совокупности дефектов на динамические свойства слоистых сред. Не охватывая всех возможных типов неоднородностей (например, пространственных трещин-полостей, упругих или гибких включений и т.д.) и их ориентации относительно элементов многослойной структуры, основное внимание уделено тому факту, что количество неоднородностей носит множественный характер.
Изучение динамических процессов, происходящих в слоистых полуограниченных средах с неоднородностями, опирается на результаты в области динамической теории упругости, представленные в монографиях В.А. Бабешко [22], В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Ж.Ф. Зинченко [39], И.И. Воровича, В.А. Бабешко [79], И.И. Воровича, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхиной
[80], В.В. Калинчука, Т.Н. Белянковой [112], И.П. Гетмана, Ю.А. Устинова [85], В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко [96], А.Н. Гузя, Ф.Г. Махорта [100], О.Ю. Жария, А.Ф. Улитко [107], А.С. Космодамианского, В.И. Сторожева [117], Л.А. Молоткова [128], Н.Ф. Морозова, Ю.В. Петрова [131], В. Новацкого [136], Г.И. Петрашеня [140], В.М. Сеймова, А.Н. Трофимчука, О.А. Савицкого [169], М.Г. Селезнева, А.Л. Собисевича [171], А.Ф. Улитко [182], J.D. Achenbach [189], A. Ben-Menahem, S.J. Singh [195], W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, F. Press [203], K. F. Graff [209], M.J. Musgrave [224] и др.
Важное научное и практическое значение имеют постановка и решение связанных задач, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. На эффектах связанности полей основано функционирование ряда технических устройств и технологических процессов. Для надежного функционирования таких устройств, повышения их эффективности и улучшения динамических качеств необходимо создание новых аналитических и численно-аналитических методов исследования резонансных свойств динамических систем, находящихся под действием гармонических, нестационарных и импульсных электрических, тепловых и механических воздействий. Обзор исследований, выполненных по механике связанных полей содержится в работах [97, 100,139].
Одно из важных применений динамические задачи находят в акустоэлектронике. Возникающие здесь проблемы приводят к необходимости изучения взаимодействия одного или системы электродов с анизотропной средой, обладающей пьезо- и пироэлектрическими свойствами и другими эффектами, свойственными этим материалам.
Большинство исследований динамических процессов в электроупругих средах [21, 60, 65, 73, 97, 104, 139, 197, 223,224] проводится без учета массы электродов и характера взаимодействия электродов с пьезокристаллической средой. Такое приближение оправдано для сравнительно низких рабочих частот, достаточно большой амплитуды поверхностной волны и малой
толщины электродов. С увеличением частоты на порядок и более приходится иметь дело со сверхкороткими поверхностными волнами, для которых уже нельзя пренебрегать массой электродов и надо решать связанную электромеханическую задачу. Если жесткость электрода намного больше жесткости среды, то задача рассматривается как контактная (смешанная) для жесткого штампа [80, 168].
При исследовании динамических режимов колебаний слоистых полуограниченных сред большое значение имеет вид функционально-матричных соотношений, связывающих перемещения и напряжения, и построение на их основе ядер систем интегральных уравнений, соответствующих рассматриваемым смешанным задачам и описываемых матрицей-символом Грина.
К настоящему времени для построения матрицы Грина разработаны как аналитические подходы, наиболее известный из них - метод матриц-пропагаторов или матричный метод [128, 208, 211, 234], так и численные методы [144, 186, 190, 210, 216, 217, 219, 228, 235], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач.
Основные трудности реализации этих методов обусловлены наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, приводящих к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большого порядка и, чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера. Для преодоления указанных трудностей разработан ряд приемов, их обзор и сравнительный анализ приведен в [1, 188, 199, 202, 207, 218, 221, 237]. Например, в [39] разработан метод построения матрицы Грина, устойчивость которого обеспечивается выделением экспоненциальных составляющих и выносом их
за рамки численного процесса. В [80] создан высокоэффективный метод построения матрицы-символа Грина многослойной среды, обладающей сложными физико-механическими свойствами.
Одним из направлений диссертационной работы является построение функционально-матричных соотношений, связывающих основные динамические характеристики рассматриваемых систем, позволяющих моделировать любое сочетание неоднородностей в слоистых средах с учетом связности механических, тепловых и электрических полей. В работе предлагается аналитический метод построения матриц-символов Грина для слоистых сред при наличии разрывных условий на линиях раздела слоев. Метод основан на использовании специального представления решения для одного слоя и применим для произвольного количества слоев и расположения неоднородностей. Достоинством этого метода является возможность построения простых алгоритмов численного анализа, применимых для широкого диапазона изменения параметров задачи. В отличие от других подходов он не требует численного решения алгебраических систем большого порядка, возникающих при удовлетворении граничных условий, и не содержит в полученном представлении решения растущих экспоненциальных составляющих. При этом решение задачи для однородной полуограниченной среды (слой, полупространство), содержащей систему плоских, параллельно-ориентированных включений и/или трещин получается как частный случай, если принять физико-механические параметры слоев равными.
Рассматриваемые в настоящей работе задачи, как и большинство задач, с которыми приходится сталкиваться в теории упругости, электроупругости, термоупругости, акустике и других областях математической физики, при строгой их постановке оказываются смешанными. Ключевым вопросом в их математическом исследовании является решение интегральных уравнений и систем, порождаемых этими задачами. Большой вклад в развитие методов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений
статических и динамических задач внесли В.М. Александров, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь. Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, В.А. Ильичев, В.В. Калинчук, Е.В. Коваленко, М.Д. Мартыненко, Н.Ф. Морозов, Н.Н. Мусхелишвили, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Д.В. Тарлаковский, Ю.А. Устинов, Ю.С. Яковлев и др. Некоторые результаты, полученные в указанной области, отражены в перечисленных выше монографиях, а также в [4-6, 10, 19, 20, 62, 67, 81, 82, 124, 145, 170, 171].
Смешанные динамические задачи приводят к необходимости решения интегральных уравнений (ИУ) и систем с сильно осциллирующими ядрами для полуограниченных сред. Существуют различные подходы к проблеме: метод факторизации [22, 79, 135], асимптотические методы [4-7, 78], методы ортогональных полиномов [144, 145, 169], сведение к интегральным уравнениям 2 рода [78], вариационно-разностный метод [39, 87], метод граничных элементов [73, 235] и другие. Каждый из этих методов имеет достоинства и недостатки. Например, асимптотические методы, вариационно-разностный метод эффективны при низких частотах. Метод факторизации позволяет захватывать и высокие частоты, однако дает возможность изучить лишь классические области контакта - круг, полоса. В случае пространственных задач эффективность этих методов снижается, либо они вовсе не применимы. Вариационно-разностный метод и метод коллокации позволяют исследовать пространственные задачи, но лишь при низких частотах. При этом они не вскрывают всех особенностей поведения решения, как по частотам, так одновременно и на особых множествах области задания интегральных уравнений.
Метод фиктивного поглощения решения динамических смешанных задач имеет некоторые преимущества по сравнению с перечисленными методами [44, 80]. Идея этого метода принадлежит В.А. Бабешко [19, 20, 22] и состоит в таком преобразовании ядер интегральных уравнений, которое позволяет уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими
ядрами сводить к интегральным уравнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Развитие метод фиктивного поглощения получил в работах О.Д. Пряхиной [44, 80]. Его достоинством оказалась возможность использования при решении динамических смешанных задач многочисленных, полученных ранее решений и методов решений соответствующих статических задач. Другим преимуществом метода фиктивного поглощения является то, что он позволяет строить решения с высокой точностью во всем частотном диапазоне, сохраняя правильное описание поведения решения как внутри области задания интегральных уравнений, так и в окрестности границ, включая угловые точки.
Сложность использования перечисленных методов в решении рассматриваемого в настоящей работе класса задач связана с большой размерностью системы интегральных уравнений. Наиболее эффективным в этом случае является обобщенный метод факторизации [22], развитый применительно к исследованию краевых задач в многосвязных областях с границами, допускающими смену знаков кривизны поверхности. В работах В.А. Бабешко, О.М. Бабешко [25-31] метод получил дальнейшее развитие -впервые введено понятие двухсторонней факторизации и получены новые соотношения, описывающие решения краевых задач в интегральной форме, допускающей дискретизацию. Метод распространен на случай многомерных интегральных уравнений, а также на случай произвольного количества областей задания интегральных уравнений. Метод фактически не имеет ограничений на параметры, поскольку всегда некоторой процедурой можно расширить диапазон его применения.
В диссертационной работе исследование условий локализации вибрационного процесса опирается на общую структуру решения систем ИУ, построенного методом фиктивного поглощения. Во многих случаях указанное решение может быть получено в относительно простом аналитическом виде, что делает метод фиктивного поглощения эффективным при сведении обращения преобразования Лапласа решений нестационарных
смешанных задач к интегралу Фурье с последующим численным интегрированием [80].
Нестационарные задачи являются менее изученным разделом динамических задач. Трудность их решения связана с тем, что сначала для конкретных значений параметра преобразования Лапласа р необходимо многократно строить решения краевых задач для системы дифференциальных уравнений в частных производных, а затем осуществлять переход от изображений к оригиналам. Анализ публикаций по этой тематике показывает, что к настоящему времени накоплен значительный объем теоретических результатов, дающих представление о закономерностях формирования волновых полей в случае нестационарного нагружения в упругих телах [5, 51, 56, 62, 69, 81, 98, 99, 114, 142] и, в меньшей степени, в электроупругих [25, 53, 54].
Обзор аналитических методов решения нестационарных задач содержится в [80, 85, 102]. При изучении нестационарных задач используются, в основном, следующие подходы: метод функционально-инвариантных решений [108], разложение в ряд по гармоническим колебаниям [61], асимптотические методы [107], сведение к интегральным уравнениям 1 рода [62, 73], конечно-разностные аппроксимации [64, 104, 122, 139, 144, 148], метод асимптотически эквивалентных функций [66, 79], метод регуляризации Тихонова [13, 14, 112], метод контурных интегралов [79]. Для построения обращения преобразования Лапласа применяются преимущественно метод Каньяра [106, 133, 147, 152], метод Папулиса [143] и сведение к интегралу Фурье [87, 94, 100, 146]. При этом необходимо проведение анализа трансформанты Лапласа для комплексных значений параметра р. Сложный вид решения краевых задач в комплексной плоскости переменного р для сред типа слоя, многослойного полупространства, пакета слоев затрудняет и, зачастую, делает невозможным применение этих методов.
В настоящей работе основное внимание уделяется случаю гармонических колебаний, переход к нестационарному режиму осуществляется заменой частоты со на ip.
В [79] дан анализ общего представления решения интегральных уравнений динамических контактных задач, состоящего из энергетической составляющей, обладающей конечной энергией, и неэнергетической с бесконечной энергией, обеспечивающей излучение энергии. В случае существования лишь энергетической составляющей решения полуограниченное тело при наличии массивного штампа приобретает точки изолированного спектра и возможен резонанс. Резонансы такого рода были названы низкочастотными или В-резонансами. Они возникают в диапазоне О < со < со Ф О докритических частот запирания волноводных свойств
полуограниченного тела. Доказано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в указанном диапазоне частот. Если со =0, то
рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Исследование этих задач содержится в [77, 83] и обобщающей монографии [80].
Если озхо , то в [13, 18, 37,38] установлено, что существование в
полуограниченных телах типа полосы, слоя, цилиндра лишь энергетической составляющей решения возможно только при выполнении определенных условий - специальным образом ориентированных включений и трещин, параметры которых удовлетворяют некоторым соотношения*м, связывающим их с характеристиками полуограниченного тела. Эти условия названы условиями локализации вибрационного процесса.
В работах В.А. Бабешко впервые в мировой практике проведена систематизация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности, локализующих волновой процесс, и открыто новое, перспективное с точки зрения практического приложения, научное направление, одной из основных задач которого является установление
условий и путей их реализации, посредством которых можно осуществить (а при необходимости - избежать) локализацию волнового процесса.
«Вирус» локализует волновой процесс в среде погружения, если вызывает рост деформаций в ограниченной области своего расположения; при этом количество мод волн или составляющих решения вне этой зоны уменьшается. Локализация будет полной, если все точки системы колеблются синфазно. В противном случае локализация будет частичной.
Для «вирусов» вибропрочности различного класса условия локализации в виде теорем сформулированы в [14, 24, 23].
Результаты исследования условий локализации волнового процесса совокупностью включений или трещин для однородных изотропных сред представлены в [34-36, 42,43]. В настоящей работе проведено исследование условий локализации вибрационного процесса «вирусами» сложной структуры в многослойных средах.
Целью работы является математическое моделирование динамических процессов в слоистых полуограниченных средах со сложными физико-механическими свойствами при наличии множественных неоднородностей типа плоских жестких включений и трещин, ориентированных параллельно плоскостям раздела слоев; разработка метода построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений краевых задач, изучение их свойств; создание аналитического метода построения определителей указанных матриц, исследование на основе разработанных методов условий локализации вибрационного процесса системой дефектов.
Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:
1. Разработан новый аналитический метод исследования динамических краевых задач термоэлектроупругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений.
Получены новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей.
Создан новый аналитический метод вычисления определителей матриц-символов ядер систем интегральных уравнений рассматриваемого класса задач.
Выявлены новые свойства указанных матриц.
Впервые описаны спектральные свойства дифференциальных операторов ряда частных краевых задач, имеющих большое прикладное значение.
Проведено исследование условий локализации волнового процесса совокупностью неоднородностей — «вирусами» вибропрочности различного строения.
Достоверность полученных результатов обеспечивается
использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами, полученными другими авторами.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.
В первой главе приводятся определяющие соотношения и уравнения начально-краевых задач динамики упругого анизотропного тела, обладающего пьезо - и пироэлектрическими свойствами (п. 1.1), рассматриваются различные типы начальных и граничных условий (п. 1.2). В п. 1.3 в рамках линейной теории дается постановка динамических смешанных задач о взаимодействии массивных твердых тел (штампов, электродов) с полуограниченной слоистой термоэлектроупругой средой, содержащей множественные слоисто ориентированные неоднородности, представляющие собой включения и трещины-полости, описываемые теорией Гриффитса. При постановке задач о вибрации трещин не обсуждается вопрос о касании ее берегов при движении, так как считается, что наряду с динамическими, на ее
берега или на среду действуют статические, «разводящие» берега, напряжения. В этом смысле постановка задач о вибрации трещин аналогична постановке таких же задач о колебании штампов на поверхности среды, при рассмотрении которых всегда подразумевается статическая нагрузка, прижимающая штампы к среде и не допускающая их отрыва. Приводится система уравнений, моделирующих динамические процессы в слоистых средах при наличии совокупности неоднородностей. Система включает в себя дифференциальные уравнения движения абсолютно твердого тела конечных размеров и описывающие динамику слоистой среды дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, для которых ставятся начальные и граничные условия. Описывается общая схема построения решения, включающая в себя вывод функционально-матричных соотношений, связывающих между собой трансформанты Фурье-Лапласа искомых и заданных динамических характеристик, и сведение на их основе начально-краевой задачи со смешанными условиями к системе матричных интегральных уравнений I рода. Формулируются вспомогательные задачи, суперпозиция которых эквивалентна исходным начально-краевым задачам (п. 1.4).
Во второй главе предлагается универсальный аналитический метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для сред, содержащих совокупность слоисто ориентированных трещин и/или жестких включений. Метод основан на классификации краевых задач, сформулированных в главе 1, в соответствии с теорией «вирусов» вибропрочности (п.2.1), постановке и решении набора краевых задач, позволяющих моделировать в полуограниченной среде произвольное количество и сочетание неоднородностей.
В п.2.2 приводится специальное представление решения вспомогательных задач для однородных термоэлектроупругих полуограниченных сред типа слоя и полупространства, полученное в работах
О.Д. Пряхиной [80]. На его основе строятся матрицы-символы Грина и выписываются функционально-матричные соотношения для пакета слоев, подверженного динамическому воздействию, заданному на одной из его граней и имеющего свободную, либо жестко защемленную другую грань, и не содержащего внутренних дефектов (включений или трещин). Функционально-матричные соотношения в этом случае определяют напряжения и перемещения в плоскостях раздела слоев, вызванные заданной поверхностной нагрузкой (п.2.3).
В п.п.2.4 и 2.5 на примере пакета N слоев со свободной верхней гранью и жестко защемленной нижней гранью строятся матрицы-символы Грина, а также функционально-матричные соотношения, соответствующие различным случаям расположения дефектов (включений или трещин) в слоистой среде. При этом функционально-матричные соотношения описывают напряжения и перемещения в плоскостях раздела слоев и на внешних границах пакета в зависимости от скачков расширенных векторов напряжений на границах включений (п.2.4) или скачков расширенных векторов перемещений на берегах трещин (п.2.5). Для представления указанных соотношений в форме, удобной для проведения дальнейшего анализа и допускающей простую интерпретацию результатов, вводятся специальные матрицы, характеризующие положение дефектов в среде. Полученные функционально-матричные соотношения позволяют моделировать любое сочетание неоднородностей в среде, обладающей сложными физико-механическими свойствами. Их использование для построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений демонстрируется на примере ряда динамических задач рассматриваемого класса (п.2.6).
В третьей главе приводятся известные и устанавливаются новые свойства вспомогательных матриц-функций, формирующих решения краевых задач. Для определителей матриц-функций, описывающих динамику анизотропных сред получено представление в виде произведения
определителей, соответствующих краевым задачам в плоской и антиплоской постановках (3.1).
П.3.2 посвящен исследованию асимптотического поведения матриц-символов К{а,/3,со) ядер систем ИУ динамических смешанных задач для
многослойных сред, содержащих неоднородности. Показано что главные члены асимптотических разложений образуют диагональные блочные матрицы-символы ядер, элементы которых определяются параметрами только тех слоев среды, на границе раздела которых расположены включения и/или трещины.
В п.3.3 излагается общая схема метода фиктивного поглощения, а также приводится структура решения интегральных уравнений и систем рассматриваемого класса задач, используемая при формулировке условий локализации вибрационного процесса.
Получены представления определителей матриц-символов ядер систем ИУ в виде произведения определителей вспомогательных матриц (п.3.4), служащие основой как для создания высокоэффективных алгоритмов численного анализа особых множеств (нулей и полюсов) функции det К (от,/?,&>), так и для направленного подбора параметров среды,
обеспечивающих особые режимы колебаний.
Четвертая глава посвящена изложению аналитического метода построения определителей матриц-символов K(a,j3,co) ядер систем
интегральных уравнений, порождаемых динамическими смешанными задачами для полуограниченных сред, содержащих множественные неоднородности различной природы. Метод основан на установлении взаимнооднозначного соответствия между классами «вирусов» вибропрочности для областей, заключенных между плоскостями, содержащими неоднородности, и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина. Метод излагается на примере изотропных сред (п.4.3). Определитель матрицы К(а,/3,а>) для
произвольного количества и сочетания неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях, представлен в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая из которых зависит только от геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей включения и/или трещины. Достоинством такого представления является исключение корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы, еще на стадии аналитического построения. При построении detK(a,/3,a>) использовалась
связь между определителями матриц-символов Грина краевых задач в пространственной, плоской и антиплоской постановках. Результаты, относящиеся к плоским задачам, приводятся в п. 4.1, где описаны процедуры рекуррентного построения и свойства матриц, формирующих К(а,/3,со) при
произвольном количестве неоднородностей. Задачам в антиплоской постановке посвящен п. 4.2, в котором приводятся рекуррентные формулы, определяющие аналогичные функции.
В п. 4.4 описывается применение полученной формы представления det К (а, Р,со) в исследовании условий локализации вибрационного
процесса. Указанные условия формулируются для «вирусов» различного строения, определяются типы неоднородностей, для которых существование низкочастотных резонансов невозможно.
Практическое значение диссертации состоит:
-в определении закономерностей динамических процессов в многослойных средах при наличии совокупности неоднородностей различной природы; -результаты диссертационного исследования составили основу одного из разделов в общей программе комплексного исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит,
выполняемой Кубанским государственным университетом в интересах сейсмической защиты Краснодарского края и Черноморского побережья; -разработанные методы исследования могут быть использованы при-расчетах на прочность конструкций и отдельных их элементов, при проектировании различных электромеханических преобразователей, при создании пьезоактивных материалов с заранее заданными свойствами; - изучение условий локализации вибрационного процесса может найти непосредственное применение в проблемах виброзащиты и оценки сейсмостойкости зданий и сооружений, целенаправленного вибровоздействия на различные объекты, например, на нефтяные пласты с целью повышения нефтеотдачи. Работа проводилась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку отечественных и международных научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 57 публикациях, в том числе в 20 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК.
В работах [45-51] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит постановка задач и выбор метода их исследования; научному консультанту О.Д. Пряхиной принадлежит формулировка граничных условий краевых задач и определение метода построения соответствующих им матриц-символов Грина; диссертанту принадлежит разработка метода построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений.
В [147-160] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит обсуждение результатов; научному консультанту О.Д. Пряхиной принадлежит постановка задач и выбор метода их решения; диссертанту принадлежит построение функционально-матричных соотношений и
разработка метода построения определителей матриц-символов ядер систем ИУ большой размерности.
В [64, 68, 69, 105, 113-115, 161-167, 175-176] научному консультанту О.Д. Пряхиной принадлежит постановка задач, метод построения асимптотических разложений матриц-функций, описывающих динамические характеристики механической системы и физическая интерпретация результатов, диссертанту принадлежит метод исследования особых множеств указанных матриц-функций, остальным соавторам - численная реализация методов и проведение вычислений.
Автор выражает искреннюю благодарность научным консультантам В. А. Бабешко и О.Д. Пряхиной за определение направления диссертационного исследования, постановку задач и обсуждение результатов.
Уравнения движения полуограниченной среды с совокупностью неоднородностей
Получены представления определителей матриц-символов ядер систем ИУ в виде произведения определителей вспомогательных матриц (п.3.4), служащие основой как для создания высокоэффективных алгоритмов численного анализа особых множеств (нулей и полюсов) функции det К (от,/?,& ), так и для направленного подбора параметров среды, обеспечивающих особые режимы колебаний.
Четвертая глава посвящена изложению аналитического метода построения определителей матриц-символов K(a,j3,co) ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими смешанными задачами для полуограниченных сред, содержащих множественные неоднородности различной природы. Метод основан на установлении взаимнооднозначного соответствия между классами «вирусов» вибропрочности для областей, заключенных между плоскостями, содержащими неоднородности, и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина. Метод излагается на примере изотропных сред (п.4.3). Определитель матрицы К(а,/3,а ) для произвольного количества и сочетания неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях, представлен в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая из которых зависит только от геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей включения и/или трещины. Достоинством такого представления является исключение корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы, еще на стадии аналитического построения. При построении detK(a,/3,a ) использовалась связь между определителями матриц-символов Грина краевых задач в пространственной, плоской и антиплоской постановках. Результаты, относящиеся к плоским задачам, приводятся в п. 4.1, где описаны процедуры рекуррентного построения и свойства матриц, формирующих К(а,/3,со) при произвольном количестве неоднородностей. Задачам в антиплоской постановке посвящен п. 4.2, в котором приводятся рекуррентные формулы, определяющие аналогичные функции.
В п. 4.4 описывается применение полученной формы представления det К (а, Р,со) в исследовании условий локализации вибрационного процесса. Указанные условия формулируются для «вирусов» различного строения, определяются типы неоднородностей, для которых существование низкочастотных резонансов невозможно.
Практическое значение диссертации состоит: -в определении закономерностей динамических процессов в многослойных средах при наличии совокупности неоднородностей различной природы; -результаты диссертационного исследования составили основу одного из разделов в общей программе комплексного исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, выполняемой Кубанским государственным университетом в интересах сейсмической защиты Краснодарского края и Черноморского побережья; -разработанные методы исследования могут быть использованы при-расчетах на прочность конструкций и отдельных их элементов, при проектировании различных электромеханических преобразователей, при создании пьезоактивных материалов с заранее заданными свойствами; - изучение условий локализации вибрационного процесса может найти непосредственное применение в проблемах виброзащиты и оценки сейсмостойкости зданий и сооружений, целенаправленного вибровоздействия на различные объекты, например, на нефтяные пласты с целью повышения нефтеотдачи. Работа проводилась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку отечественных и международных научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 57 публикациях, в том числе в 20 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК. В работах [45-51] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит постановка задач и выбор метода их исследования; научному консультанту О.Д. Пряхиной принадлежит формулировка граничных условий краевых задач и определение метода построения соответствующих им матриц-символов Грина; диссертанту принадлежит разработка метода построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений.
В [147-160] научному консультанту В.А. Бабешко принадлежит обсуждение результатов; научному консультанту О.Д. Пряхиной принадлежит постановка задач и выбор метода их решения; диссертанту принадлежит построение функционально-матричных соотношений и разработка метода построения определителей матриц-символов ядер систем ИУ большой размерности.
В [64, 68, 69, 105, 113-115, 161-167, 175-176] научному консультанту О.Д. Пряхиной принадлежит постановка задач, метод построения асимптотических разложений матриц-функций, описывающих динамические характеристики механической системы и физическая интерпретация результатов, диссертанту принадлежит метод исследования особых множеств указанных матриц-функций, остальным соавторам - численная реализация методов и проведение вычислений. Автор выражает искреннюю благодарность научным консультантам В. А. Бабешко и О.Д. Пряхиной за определение направления диссертационного исследования, постановку задач и обсуждение результатов.
Колебания пакета слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием
Во второй главе предлагается универсальный аналитический метод построения матриц-символов Грина для многослойных сред, содержащих совокупность слоисто ориентированных трещин и жестких включений. Метод основан на классификации краевых задач, сформулированных в главе 1, в соответствии с теорией «вирусов» вибропрочности [14], постановке и решении набора вспомогательных краевых задач, позволяющих моделировать в полуограниченной среде произвольное количество и сочетание неоднородностей.
В.А. Бабешко создана новая теория - теория «вирусов» вибропрочности [14, 16, 17, 23, 24], определяющая объекты, находящиеся в деформируемой среде в условиях вибрации, способные локализовать волновой процесс и вызвать резонансы. В работах [14, 16] впервые отмечена идентичность формулировки краевых условий для неоднородностей различной природы, что дает возможность подойти к изучению динамики сред, содержащих совокупность неоднородностей, с единой позиции. С этой точки зрения неоднородности можно разделить на две группы -неоднородности, наличие которых не приводит к нарушению сплошности среды (это границы раздела физико-механических параметров слоев) и неоднородности (включения, трещины и внешние границы среды), природа которых связана с нарушением сплошности. Такой подход уводит от неминуемого возрастания громоздкости в описании и исследовании краевых задач, когда количество дефектов или неоднородностей растет, значительно упрощает поиск экстремального состояния механической системы и одновременно позволяет выявить новые особенности ее динамического поведения. Кроме того, предлагаемый метод не требует численного решения алгебраических систем большого порядка, возникающих при удовлетворении граничных условий. Другим преимуществом данного подхода является отсутствие в решении для многослойной среды растущих экспоненциальных составляющих, что позволяет исследовать среды с произвольным количеством слоев, учитывая при этом большой спектр физических явлений, протекающих в неоднородных телах с учетом связанности полей. Метод применим для широкого класса связанных краевых и начально-краевых задач.
В силу (1.4.16) решение задач о гармонических колебаниях можно считать промежуточным этапом при анализе нестационарных задач. В этой главе метод построения матриц-символов Грина излагается для гармонических колебаний, переход к нестационарному режиму осуществляется заменой частоты со на ip.
Анализ краевых условий (1.3.5) - (1.3.13) позволяет заметить некоторую идентичность их формулировки для различных объектов. Так, для включений в областях Q задаются механические граничные условия, свойственные контакту штампа со средой в Q0 . Свободная от усилий поверхность вне Q0 по постановке эквивалентна трещине с носителем Q20 дополняющим Q0 Д всей плоскости z = О. Условие жесткого сцепления с недеформируемым основанием (1.3.12) идентично наличию включения, занимающего всю плоскость z = -Н . Границы раздела физико-механических параметров среды на основании (1.3.10), (1.3.11) можно трактовать как занимающие всю плоскость включения или трещины с равными нулю скачками напряжений и перемещений. Этот факт впервые в мировой практике нашел отражение в работах В.А. Бабешко [14, 16], что дало возможность подойти к изучению динамики сред, содержащих неоднородности различной природы, с единой позиции. С этой точки зрения неоднородности можно разделить на две группы - неоднородности, наличие которых не приводит к нарушению сплошности среды (это границы раздела физико-механических параметров слоев) и неоднородности (включения, трещины и внешние границы среды), природа которых связана с нарушением сплошности. В.А. Бабешко создана новая теория - теория «вирусов» вибропрочности [14, 16, 17, 23, 24], позволяющая выделить и классифицировать объекты, находящиеся в деформируемой среде в условиях вибрации, способные локализовать волновой процесс и вызвать резонансы. Теория уводит от неминуемого возрастания громоздкости в описании и исследовании краевых задач, когда количество дефектов или неоднородностей растет, значительно упрощает поиск экстремального состояния механической системы и одновременно позволяет выявить новые особенности ее динамического поведения. Приведем основные определения. Определение 1 [23]. Вирус, состоящий из L параллельных включений в упругом пространстве, будем называть вирусом класса 1 и L - уровневым, вида S , и обозначать V(\/hn;S{l/.../hlL ,SlL) Аналогично, вирус, состоящий из L параллельных трещин в упругом пространстве, будем называть вирусом класса 2 и L - уровневым, вида S , и обозначать (l/ZbiJ i/---/ /. 2/.) Здесь hu - координата плоского сечения, содержащего жесткие включения с носителем Su , h2l - координата плоского сечения, содержащего трещины с носителем S2i . Вирус, состоящий из L параллельных включений и М параллельных трещин в упругом пространстве, будем называть смешанным вирусом класса (1,2) и К (К L + М) - уровневым, вида S , и обозначать.
Системы интегральных уравнений для многослойных сред, содержащих совокупность включений (задача 2)
Четвертая глава посвящена изложению аналитического метода построения определителей матриц-символов К.(а,Р,со) ядер систем интегральных уравнений, порождаемых динамическими смешанными задачами для полуограниченных сред, содержащих множественные неоднородности различной природы. Характерной особенностью подобного рода систем ИУ является их большая размерность. Достоинством метода является аналитическое представление detK(tf,/?,6y) в форме, обеспечивающей эффективное исследование (в том числе и численное) его особых множеств. Под особыми множествами будем понимать совокупность всех алгебраических функций, обращающих в нуль числитель определителя (корневое множество) и его знаменатель (полярное множество). Метод основан на установлении взаимнооднозначного соответствия между классами «вирусов» вибропрочности для областей, заключенных между плоскостями, содержащими неоднородности, и функциями, описывающими особые множества определителей их матриц-символов Грина. Последнее избавляет от неминуемого возрастания сложности исследования detK(a,/?, y) при увеличении количества неоднородностей и значительно упрощает задачу определения корневого множества, что является важным для выявления условий локализации волнового процесса и поиска экстремальных состояний механической системы. Определитель матрицы К(а,/3,со) для произвольного количества и сочетания неоднородностей, расположенных в параллельных плоскостях, представлен в виде отношения целых функций. Числителем является произведение функций, каждая их которых зависит только от геометрических и механических параметров среды, заключенной между указанными плоскостями. Знаменателем является знаменатель определителя матрицы-символа Грина многослойной среды, не содержащей неоднородности, связанные с нарушением ее сплошности. Достоинством такого представления является также исключение еще на стадии аналитического построения корневых и полярных множеств, имеющих пересечения при произвольных значениях параметров механической системы.
При построении det К (а,/?,& ) использовалась установленная леммой 3.1.6 связь между определителями матриц-символов Грина краевых задач в пространственной, плоской и антиплоской постановках. Результаты, относящиеся к плоским задачам приводятся в п. 4.1, где описаны процедуры рекуррентного построения и свойства матриц, формирующих К(а,]3,со) при произвольном количестве неоднородностей. Задачам в антиплоской постановке посвящен п. 4.2, в котором приводятся рекуррентные формулы, определяющие аналогичные функции. В качестве примера использования предложенного метода получены detK систем ИУ, соответствующих различным случаям расположения включений и трещин в трехслойном пакете со свободной от напряжений верхней гранью и жестко защемленной нижней, а также в однородном пространстве. В п. 4.4 описывается применение полученной формы представления detK(a,ft,co) в исследовании условий локализации вибрационного процесса. Будем полагать, что во всех поставленных задачах заданные и искомые векторные величины имеют одну составляющую, равную нулю, остальные -не зависят от координаты у, а в преобразованиях Фурье - от параметра р В этом случае все функционально-матричные соотношения записываются относительно двухкомпонентных векторов т = (гЛ1(а), гіА.з(а) (индекс « » везде далее опущен). Размерность блочной матрицы-символа ядра системы ИУ К(а,со) не меняется, но ее элементами теперь являются матрицы размерности 2x2, для которых условимся сохранить принятые ранее обозначения. Установим связь между особыми множествами определителей матриц-символов Грина Кдг пакета N слоев на жестком основании (задача 1) и определителей матриц к их формирующих.
Свойства определителей матриц-символов ядер интегральных уравнений антиплоских динамических контактных задач
Свойство совокупности неоднородностей при определенных условиях локализовать волновой процесс в своей окрестности является основой научного открытия В.А. Бабешко, И.И. Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [14, 16, 17, 38, 137]. В указанных работах установлено, что таким свойством обладают не только множественные, но и отдельные неоднородности. Способность локализовать волновой процесс присуща средам, проводящим волны различной физической природы - упругие, электромагнитные, звуковые. Например, принцип Олинера [15, 104], установленный экспериментально для полосковых линий передач СВЧ колебаний в полупроводниковых кристаллах, свидетельствует о концентрации основной доли энергии, передаваемой полосковой линией в окрестности самой линии. Экспериментально и теоретически имеет подтверждение возможность локализации колебаний в акустических средах [169, 171]. В работах В.А. Бабешко [14, 23, 24] впервые в мировой практике проведена систематизация типов неоднородностей, названных «вирусами» вибропрочности, локализующих волновой процесс, и открыто новое, перспективное с точки зрения практического приложения, научное направление - теория «вирусов» вибропрочности. Одной из основных задач указанной теории является установление условий и путей их реализации, посредством которых можно осуществить (а при необходимости — избежать) локализацию волнового процесса.
Для «вирусов» вибропрочности различного класса условия локализации в виде теорем сформулированы в [13, 14, 17, 23, 24]. Приведем одну из них, сформулированную для системы интегральных уравнений (2.6.33)
Решение уравнения (4.4.2), построенное методом фиктивного поглощения дается формулой (3.3.22). В [79] дан анализ общего представления решения подобного рода ИУ, состоящего из энергетической составляющей, обладающей конечной энергией, и неэнергетической с бесконечной энергией, обеспечивающей излучение энергии. В случае существования лишь энергетической составляющей решения полуограниченное тело при наличии массивного штампа приобретает точки изолированного спектра и возможен резонанс. Резонансы такого рода были названы низкочастотными или В-резонансами. Они возникают в диапазоне О со со 0 докритических частот запирания волноводных свойств полуограниченного тела. Доказано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в указанном диапазоне частот. Если со = 0, то рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Глубокое исследование этих задач содержится в обобщающей монографии [80]. Если со со , то в [13, 16, 137] установлено, что существование в полуограниченных телах типа полосы, слоя, цилиндра лишь энергетической составляющей решения возможно только при выполнении определенных условий - специальным образом ориентированных включений и трещин, параметры которых удовлетворяют некоторым соотношениям, связывающим их с характеристиками полуограниченного тела. Эти условия и являются условиями локализации вибрационного процесса. Определим составляющие решения ИУ (4.4.2), обеспечивающие отток энергии на бесконечность. С этой целью найдем горизонтальные (в направлении оси у) смещения точек среды вне включения, например, в области [z =-2hY, х а). Обозначим их Wj(.x) =9t(x). Функция ср х) как аналитическое продолжение левой части (4.4.2) в область х а связана с Atj [х) в трансформантах Фурье соотношением Включение полностью локализует волновой процесс, если на корневом множестве функций А11 (/), Dt ] (/ь) выполняются условия (4.4.10). Условия локализации связывают частоту колебаний ш, механические и геометрические параметры среды рк, juk, vk, Н, а также геометрические характеристики включения - глубину его залегания 2/ (H = 2hl+2h2) и горизонтальную протяженность 2а. При некоторых их значениях возможна частичная локализация. Например, если в рассматриваемом случае механические параметры слоев принять равными.
