Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка контактных задач для неоднородного по глубине полупространства и полуплоскости. вывод интегральныхуравнений 30
1.1. Задача I. Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного полупространства 31
1.2. Задача II. Кручение жестким круглым штампом неоднородного полупространства 39
1.3. Задача III. Внедрение штампа в неоднородную полуплоскость..43
1.4. Задача IV. Внедрение жесткого кругового в плане штампа в неоднородное полупространство 52
1.5. Некоторые общие свойства трансформант ядер интегральных уравнений задач I—IV и аппроксимация их аналитическими выражениями 55
1.6. Примеры построения трансформант ядер интегральных уравнений задач I—IV 66
Глава 2. Двухсторонние асимптотические решения парных интегральных уравнений задач I-IV 71
2.1. Задачи I и III. Замкнутое решение одного класса интегральных уравнений, порождаемого преобразованием Фурье 72
. 2.2. Задача И. Замкнутое решение одного класса интегральных уравнений, порождаемого преобразованием Ханкеля J^ (аг) 81
2.3. Задача IV. Замкнутое решение одного класса интегральных уравнений, порождаемого преобразованием Ханкеля J0 (or) 88
2.4. Двухсторонние асимптотические свойства замкнутых приближенных решений задач I-IV 93
2.5. Определение формы осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства для задачи IV 106
2.6. Численные примеры 110
Глава 3. Постановка контактных задач для непрерывно-неоднородного по глубине слоя и клина, неоднородного по угловой координате. вывод интегральных уравнений .. ...116
3.1. Задача У. Сдвиг полосовым штампом неоднородного слоя .116
3.2. Задача VI. Внедрение штампа в неоднородную полосу 123
3.3. Задача VII. Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного пространственного клина 129
3.4. Задача VIII. Внедрение штампа в неоднородный клин 137
3.5. Некоторые общие свойства трансформант ядер интегральных уравнений задач V-VIII 144
Глава 4. Двухсторонние асимптотические решения парных интегральных уравнений задач V- VIII 148
4.1. Задачи V-VIII. Замкнутое решение одного класса парных интегральных уравнений
4.2. Двухсторонние асимптотические свойства замкнутых приближенных решений задач V-VIII 156
4.3. Численные примеры 175
Глава 5. Изгиб пластин на неоднородном основании ... 184
5.1. Постановка задач 188
5.2. Задача IX. Изгиб балки на неоднородной полуплоскости 190
5.3. Задача X. Изгиб балки на неоднородной полосе и клине 194
5.4. Задача XI. Взаимодействие круглой пластины с неоднородным полупространством 199
5.5. Определение осадки поверхности основания вне круглой пластины 211
5.6. Численные примеры 213
Глава 6. Контактная задача с неизвестной заранее зоной контакта для неоднородных тел 210
6.1. Задача XII. Внедрение параболического индентора в неоднородное полупространство. Введение и постановка задачи 223
6.2. Некоторые свойства парных интегральных уравнений задачи 239
6.3. Приближенное аналитическое решение парного интегрального уравнения задачи .241
6.4. Численные результаты 244
Заключение 248
Список литературы 249
- Некоторые общие свойства трансформант ядер интегральных уравнений задач I—IV и аппроксимация их аналитическими выражениями
- Двухсторонние асимптотические свойства замкнутых приближенных решений задач I-IV
- Задача VII. Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного пространственного клина
- Задача XI. Взаимодействие круглой пластины с неоднородным полупространством
Введение к работе
Актуальность темы. Контактные задачи являются центральными в механике твердого тела, поскольку контакт - это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, и концентрация напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала. Аналитические решения могут быть получены только для очень ограниченного класса контактных задач/ поэтому важно развивать численные и численно-аналитические методы их решения.
Особое значение в настоящее время имеют контактные задачи для неоднородных сред, поскольку непрерывное изменение механических свойств по одной из координат характерно для многих тел, что связано с условиями их создания и эксплуатации.
Расширение температурных диапазонов работы тяжело нагруженных контактов поставило проблемы, связанные с расслаиванием многослойных покрытий, возникновением в них температурных напряжений при изменении рабочей температуры в зоне сопряжений двух различных материалов (как правило, материалы, имеющие разные значения упругих модулей, имеют и разные коэффициенты теплового расширения).
Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания функционально-градиентньгх покрытий и функционально-градиентных соединений, несмотря на усложнение технологии получения таких материалов.
И сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия для неоднородных материалов поддерживает высокая стоимость и длительность испытаний на износ, а также необходимость осмысления этих результатов.
Развитие трибологии [114] способствовало расширению теоретических исследований, которые существенно развили область неклассических контактных задач теории упругости и теоретические основы трибологии. Контактные задачи для тел с покрытиями относятся к одним из основных задач трибологии. Подложка может быть как деформируемой, так и недеформируемой. Покрытия для реальных материалов достаточно сложные структуры, неоднородные по толщине [153], обладающие пористостью, различными свойствами на поверхности и в зоне, примыкающей к подложке.
Упругие свойства реальных покрытий могут отличаться в 3-6 раз от упругих свойств подложки. Толщина большинства покрытий изменяется в диапазоне от 5-Ю нм до нескольких миллиметров. В настоящее время наибольшее прикладное значение имеют покрытия с толщиной меньше одного микрона.
При построении общей теории упругости неоднородного тела возникает необходимость решить все те же задачи, что и для теории упругости однородных материалов, но появляются и новые достаточно сложные задачи. В частности, появляется задача определения значений модуля упругости внутри неоднородного тела. Даже в частных случаях однородных тонких покрытий, не говоря уже о покрытиях, свойства которых изменяются по глубине это сложная задача.
Тела с покрытиями - широко распространенный класс современных материалов. Синтез современных покрытий направлен на создание все более тонких покрытий сложной структуры, (функционально-градиентных или многослойных). В большинстве практически важных случаев свойства покрытий материалов изменяются по одной координате, ортогональной к образующей поверхно просто упрочняется приповерхностный слой основного материала (чаще всего это глубина, радиус или угловая координата, в зависимости от геометрии подложки).Развитые ранее математические модели классических однородных материалов их не охватывают, так как при наличие значительного градиента упругих свойств наблюдаются не только количественные, но. и качественные различия поведения материалов с покрытиями. Так, например, увеличение износостойкости при удачной конструкции материалов, термостойкость. Но появляются и эффекты расслаивания, выкрашивания и т.д. Проблема изучения износостойкости покрытий особенно актуальна. На экспериментальное определение износостойкости покрытий расходуются миллиарды долларов и годы человеко-часов, но при реальном рассмотрении эксперименты носят чисто эмпирический характер, так как для покрытия тоньше 2-3 микрон определить достаточно точно упругие свойства и, более того, измерить их изменения по глубине без предварительного построения достаточно точной математической модели контактного взаимодействия практически невозможно.
Еще одна особенность неоднородных материалов - наличие дополнительных источников концентрации напряжений. В однородных телах концентрация напряжений возникает в местах резких изменений геометрии тела и нагрузки. В неоднородных материалах возникает дополнительная концентрация напряжений в местах резкого изменения физико-механических характеристик материала (модуля упругости, коэффициента Пуассона и др.), т.е. по. поверхностям сопряжения однородных элементов.
Разрушение неоднородных материалов определяется совместным действием температурных напряжений и напряжений от внешней нагрузки, причем чаще всего разрушение начинается в местах концентрации напряжений. В связи с этим при создании новых материалов следует учитывать концентрацию напряжений и от физико-механической неоднородности на поверхности контакта однородных элементов.
При расчетах на износостойкость реальных материалов необходимо учитывать, что вследствие механических, экологических, температурных и других воздействий, неизбежно происходит перераспределение механических свойств в приповерхностных слоях.
Известно, что решения смешанных задач математической теории упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, теории консолидации [1,2,59,140], теории разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их исследования, являются общими для целого класса задач математической физики.
Первые работы в области контактных задач теории упругости неоднородных тел, опубликованные в середине 50-х годов прошлого века, были связаны с расчетом фундаментов и оснований в строительстве, необходимостью расчета покрытий дорожных одежд [146,147] а также касались задач расчета плит на многослойных или непрерывно-неоднородных основаниях [74,91,92,103,104,135,136,142].
Позднее, в конце 80-х годов, интерес к контактным задачам для непрерывно-неоднородных тел резко возрос в связи с развитием современных технологий, которые позволили получать покрытия с непрерывно изменяющимися упругими свойствами.
К настоящему времени опубликовано большое количество работ как по механике многослойных, так и непрерывно-неоднородных сред.
Обширный список работ, опубликованных до 1982 г., приведен в библиографическом указателе [152]. Там же предлагается следующая классификация неоднородных сред: 1) слоистые среды (многослойные); 2) непрерывно-неоднородные; 3) статистические; 4) разнородные.
Настоящая работа, согласно этой классификации, связана с разработкой методов решения контактных задач теории упругости для неоднородных сред второй группы: непрерывно-неоднородных. Она развивает научное направление в области неклассических контактных задач, созданное в Ростовском университете академиком РАН И.И.Воровичем.
Постановка и исследование контактных задач для неоднородных сред, в достаточно общей постановке, стали возможны, с одной стороны, благодаря развитию аналитических методов решения статических и динамических контактных задач для классических и неклассических областей, а с другой стороны, вследствие возросших возможностей вычислительной техники.
Подробный обзор основных результатов для многослойных сред дан В.С.Никишиным в монографии [186]. Поэтому в данном обзоре методы, которые использовались при решении интегральных уравнений, к которым сводились решения контактных задач для многослойных сред, будут затронуты только вкратце.
1. Основные краевые и смешанные задачи для неоднородного покрытия лежащего на деформируемом основании. Говоря о контактных задачах, следует сказать, что осесимметричная контактная задача для простейшего многослойного основания - двухслойного (слой на упругом полупространстве; между слоем и полупространством предполагается полное сцепление), рассмотрена впервые уже в работе
Б.И.Когана [146]. Для приближенного решения использовался метод коллокации. Задача о кручении такого основания жестким штампом рассмотрена в работе Д.В.Грилицкого [121], в которой для построения решения задачи им использовался асимптотический метод «больших А.» по терминологии [101]. Плоская контактная задача рассмотрена в работе И.М.Вилкова [99], решение получено методом коллокации.
Много внимания контактным задачам для двухслойного основания (плоской, осесимметричной) уделено в работах Ю.А.Шевлякова, А.К.Приварникова, В.И.Петришина, В.И.Ильмана, В.Д.Ламзюка [133,134,162-165,200-204,235]. В них рассмотрены случаи как полного сцепления слоя с полупространством, так и отсутствия трения между ними. При решении интегрального уравнения контактной задачи использованы методы: 1) коллокации; 2) метод сведения к линейной алгебраической системе путем аппроксимации полиномом регулярной части ядра интегрального уравнения [45]; 3) асимптотический метод «больших Я», 4) метод сведения к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и решения его методом механических квадратур. Т.е. методы, эффективные для достаточно больших значений X.
Для решения практических вопросов, связанных с оптимизацией свойств закрепленных оснований, возникла необходимость исследования в области малых значений характерного геометрического параметра задачи. Однако, не было методов, в результате применения которых получающееся решение носило бы аналитический характер, что представляет существенные удобства для приложений. Разработке таких методов и посвящена значительная часть данной работы.
Двухслойное основание подробно исследовалось в работах Г.П.Александровой [72,73], в них решения контактных задач строились, используя методы «больших Я», при малых значениях Л, определялось только «вырожденное» решение, полученное из рассмотрения интегрального уравнения, путем предельного перехода при Л-»0. Приближенными методами осесимметричная контактная задача для двухслойного основания рассматривалась в работах Чен, Энгела [249,254] (W.T.Chen, P.A.Engel). Осесимметричную контактную задачу при наличии сцепления рассматривали В.М.Вайншлельбаум и Р.В.Гольдштейн [96]. Работы В.С.Никишина и Г.С.Шапиро [184-188] посвящены осесимметричным контактным задачам для кругового и кольцевого штампа, задачи рассматривались как при наличии трения или сцепления, так и без трения. Для численных примеров брались два слоя, лежащих на абсолютно жестком основании.
В работах И.Г.Горячевой и Е.В.Торской проведен анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном характере нагружения [115], исследована периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием [116], рассмотрено напряженное состояние двухслойного упругого основания при неполном сцеплении слоев [117] и исследовано влияния трения на напряженное состояние тел с покрытиями [217].
При рассмотрении более широкой модели с учетом непрерывной неоднородности среды, сведение контактных задач к интегральному уравнению осложняется необходимостью при построении трансформанты ядра решать краевую задачу для системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
В ряде ранних работ были рассмотрены некоторые специальные случаи неоднородности по глубине (степенной, экспоненциальный, гиперболический, линейный). Заметим, что рассмотренные зависимости недостаточно точно отражают реальные свойства среды, так как в этом случае предполагается существование точек, в которых упругие модули ( равны нулю или бесконечности. Так, в работе ГЛ.Попова [192] приводятся формулы, по которым можно построить интегральные уравнения для полупространства с экспоненциальной зависимостью модуля Юнга от глубины. Н.А. Ростовцевым [210] впервые получено, точное решение задачи о действии силы, нормально приложенной к поверхности изотропного полупространства с модулем упругости, меняющимся по степенному закону. •
В серии работ R.E.Gibson с соавторами [256-259] рассматривались основные краевые задачи для линейной модели неоднородности по глубине для несжимаемого материала (полупространство или слой на жестком основании).
Контактные задачи для изотропного полупространства с модулем упругости, меняющимся по степенному закону, рассматривались в работах Б.Г.Коренева, Л.А.Галина, В.И.Моссаковского, Г.Я.Попова,
Н.А.Ростовцева [210], В.С.Проценко, Ю.Д.Колыбихина, Г.И.Белика и других. Задача о кручении неоднородного слоя со степенной и экспоненциальной зависимостью от глубины рассматривалась H.Bufler [247]. Задачи о кручении неоднородного полупространства для некоторых частных законов неоднородности рассмотрены В.С.Проценко, Ю.Д.Колыбихиным, Г.А.Морарем. Г.П.Коваленко также рассматривал динамические и статические задачи теории упругости для неоднородных сред частных видов [150].
В работе Б.И.Когана и В.Д.Зинченко [147] рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии неоднородного слоя с экспоненциальным законом неоднородности модуля сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона, сцепленного с однородным полупространством, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.
При численной реализации для произвольных законов неоднородности использовался ряд подходов. В работе Ю.А.Наумова, Ю.А.Шевлякова, В.И.Чистяка, П.Х.Демченко, СЯ.Вольского, А:К.Приварникова, В.С.Никишина," Г.С.Шапиро [162,163,179,182,185] и некоторых других непрерывная зависимость характеристик среды от глубины аппроксимируется кусочно-постоянными функциями (многослойными средами).
Следует заметить, что метод аппроксимации произвольной непрерывной неоднородности среды многослойным пакетом нуждается в каждом отдельном случае в дополнительном исследовании, в каких случаях такая замена является корректной.
В работах Е.А.Кузнецова [154-159] рассматривались контактные задачи для неоднородного полупространства и полуплоскости, у которых коэффициент Пуассона является произвольной функцией глубины, а модуль сдвига постоянный или зависит от глубины специальным образом. Напряжения и перемещения определяются с помощью некоторой функции, удовлетворяющей неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка.
Наряду со статическими контактными задачами рассматривались и динамические контактные задачи. По-видимому, динамические контактные задачи впервые в общей постановке для произвольных законов непрерывной неоднородности были изучены в работах В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, Н.В.Глушковой (неоднородное полупространство), В.А.Бабешко, И.В.Ананьева, В.В.Калинчука, И.Б.Поляковой
(неоднородный слой). Исследование динамических контактных задач для неоднородного полупространства и слоя отражено в монографии В.В.Калинчука и Т.И. Белянковой.
В предлагаемой работе рассматриваются только статические контактные задачи. В данной работе решения контактных задач для непрерывно-неоднородного полупространства и полуплоскости в случае произвольного закона изменения коэффициентов Ламе по глубине в диссертационной работе были получены двухсторонним асимптотическим методом [8-27]. Трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее аппроксимация аналитическим выражением специального вида находятся численно. После того, как аппроксимация трансформанты ядра интегрального уравнения аналитическим выражением определена, его решение находится аналитически. Аналитический вид решения удобен для исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью. Этот метод позволяет строить решения задач для достаточно широкого класса законов неоднородности.
2.0сновные краевые и смешанные задачи для покрытия лежащего на недеформируемом основании. Простейшая модель покрытия - это однородный слой или клин, сцепленный с недеформируемой подложкой.
Для упругого однородного слоя, лежащего на недеформируемом основании, хорошо известны работы российских ученых В.М.Александрова, И.Г.Альперина, В.А.Бабешко, М.Я.Беленького, А.В.Белоконя, С.Е.Бирманаа, М.М.Бррнштейна, И.И.Воровича, В.А.Кучерова, С.А.Лутченко, В.И.Петришина, В.С.Тонояна, Ю.А.Устинова, Г.С.Шапиро и др., а также ряда зарубежных авторов J.B.Albeas, G.M.Gladwell, W.T.Kuipers, P.Meijers, E.Melan, S.F.Smith, C.F.Wang. Изучение смешанных плоских задач для упругого клина началось в конце 60-х годов это работы В.С.Тонояна, С.А.Лутченко, ГЛ.Попова, М.И.Бронштейна, В.М.Александрова, И.И.Воровича, В.В.Копасенко, Б.И. Сметанина, W.T.Koiter.
Ряд работ, не включающих собственно смешанные задачи, связан с изучением вопросов об особенностях напряженного состояния вблизи особых точек сред [192,237]. В рамках исследования локального напряженного состояния в вершине составного клина эти вопросы рассматривались в работах [56,78,93,127,128,173,189,190,215,250,251,267, 270,271]. Было показано, что в окрестности общей вершины двух сцепленных клиньев могут возникать интегрируемые особенности, причем их тип зависит от характеристик материалов и локальной геометрии соединения.
Для составного клина основные граничные задачи теории упругости рассматривались в работах А.Г.Акопяна [43,44], В.Г.Блиновой, А.М.Линькова [93], М.С.Быркэ [91], В.Д.Ламзкжа, А.И.Феденко [165], Б.М.Прокофьева [205] (метод функций податливости), Н.Б.Сафаряна [213], Chen Dai-Heng [251] (метод разделения переменных), G.S.Mishuris [265].
Специальные законы изменения неоднородности по глубине были исследованы в работах R.E.Gibson, P.T.Brown [256-259], рассматривался упругий слой, модуль которого линейно возрастает с глубиной. В работе A.O.Awojobi [245] исследовалась неоднородная среда, для степенного закона неоднородности. Упругий клин, модуль Юнга которого является степенной функцией радиуса исследовался в работах А.Г.Акопяна [43,44]. О.Н.Шинджикашвили [237], В.В.Лапенко решал задачи для материала, коэффициенты упругости которого являются степенными функциями радиуса и экспоненциальными по угловой координате методом разделения переменных [166,167] и методом ортогонализации [168]. Для радиально- неоднородного тела задачи теории упругости исследовались В.И.Андреевым [77] и О.Д.Григорьевым [120]. Заметим, что эти зависимости не достаточно точно отражают реальные свойства среды, так как в этом случае существуют точки, в которых упругие модули равны нулю. Методом разделения переменных плоская задача теории упругости для неоднородного клина, закон неоднородности которого является функцией угловой координаты, решалась в работе Г.Б.Колчина [151].
Задачу о действии сосредоточенной силы на вершину плоского бесконечного клина, состоящего из материала, чувствительного к виду напряженного состояния рассматривал О.А.Чернышов [233].
Кручение цилиндрическим штампом упругого двухслойного основания рассматривалось S.Mukherjee [267] .Предполагалось, что модули упругости слоев являются степенными функциями специального вида.
Температурные воздействия на неоднородный клин рассматривались в работах [151,167].
Следует отметить, что контактные задачи для неоднородных сред имеют ряд особенностей по сравнению с задачами для однородных сред.
Во-первых, при механической постановке следует учитывать качественно-новую картину распределения контактных напряжений для существенно неоднородных материалов (эффект отставания основания от штампа при некоторых значениях геометрических и физических параметров и т.д.).
Во-вторых, в отличие от однородных сред (полупространство, слой) 4? трансформанты ядер интегральных уравнений в смешанных задачах неоднородных сред имеют сложную структуру, необозримую в аналитическом виде, в общем случае строящиеся только численными методами.
Целью настоящей диссертации является разработка и обоснование эффективных методов решения статических контактных задач теории упругости для неоднородных сред.
Рассматриваются произвольные общие непрерывные законы изменения коэффициентов Ламе по глубине среды в случае полупространства или слоя, или по угловой координате в случае клиновидной области. Развивается полуаналитический метод решения рассматриваемых краевых задач. Задачи сводятся к решению парных интегральных уравнений. Трансформанты ядер парных интегральных уравнений строятся численно. На основании установленных аналитических свойств трансформант строятся их аппроксимации аналитическими выражениями специального вида. Для этих аппроксимаций парных интегральных уравнений построены замкнутые аналитические решения. Доказывается, что эти решения являются двухсторонне асимптотически точными относительно безразмерного геометрического параметра задач. Аналитическая форма решений интегральных уравнений удобна для приложений и позволила впервые получить в аналитическом виде решение задачи о внедрении параболического индентора в неоднородное полупространство, определить в аналитическом виде форму осадки поверхности вне штампа в случае неоднородного основания, получить в аналитическом виде решения задач об изгибе балок и плит на неоднородном основании.
Здесь при постановке задач для неоднородного полупространства используется модель неоднородности по глубине специального вида — неоднородный слой (с произвольным законом неоднородности), склеенный с однородным полупространством.
Математически, в точной постановке, эти задачи сводятся к решению интегральных уравнений вида [8-28]: / р{& ]Z(W)zf V"( Лй«# = /( ), И 1, (0.1) -1 -00 • ч • Ш/хІр"іЦи)]кфзк№уіи = /(г); г 1; /: = 0,1, (0.2) о о л л где L(u) имеет следующие свойства: L(u) = A + B\u\ + 0(u2) при м- 0, АФО (0.3) L(u) = l + c\u\ l +0(и 2) при к-»оо (0.4) для всех значений безразмерного параметра Л є (0,оо). Заметим, что для многослойного пакета, лежащего на однородном полупространстве свойство (0.4) имеет вид: Z(M) = l + 0(e-2"), и- оо (0.5) что влечет за собой отличие в характере асимптотического поведения решения (это хорошо видно при его построении методом «больших Л.»).
Цель работы состоит в 1) постановке и развитии методов сведения статических контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных сред к парным интегральным уравнениям; развитии аналитических методов решения парных интегральных уравнений, соответствующих этому классу задач; 2) практической реализации разработанных методов применительно к решению конкретных краевых задач с однородными и смешанными граничными условиями, исследование которых другими методами менее эффективно; 3) проведении численного анализа для ряда конкретных моделей, представляющих самостоятельный практический интерес.
Апробация работы. Содержание работы докладывалось на I, II, III, IV Всесоюзных научных конференциях "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела" (Ростов-на-Дону, 1977; Днепропетровск, 1981; Харьков, 1985; Одесса, 1989); на XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (Кутаиси, 1988г.); II Всесоюзной конференции "Механика неоднородных структур" (Львов, 1987); на Всесоюзной конференции "Системы автоматизированного проектирования фундаментов и оснований" (Челябинск, 1988г.); региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1990); на научном симпозиуме "Современные проблемы механики контактных взаимодействий" (Ереван, 1992г.); выездной сессии межведомственного научного Совета по трибологии при АН СССР, ГКНТ СССР и союзе НИО СССР (Ростов н/Д, 1990) .); на II,IV,VI и VII Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 1998,2000 и 2001г.).
Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах отчета рабочих групп по проекту INTAS-93-3513 и INTAS-93-3513Ext (Dep. МТМ, Leuven Katolieke Univ., Leuven, Belgium); 1996-1998), семинарах математических и инженерных факультетов университетов в Карлсруе (1997) - Германия; в Афинах (1996, 1998,. 1999) - Греция. на 3-ей конференции по механике твердого тела (3-rd EUROMECH Solid Mechanics Conference KTH, Royal Institute of Technology), Королевский технологический институт, 18-22 августа, 1997, Стокгольм, Швеция; 21- мая, 2002, в Москве, на 434 Международном коллоквиуме «Контактная механика для тел с покрытиями» (EUROMECH Colloquium 434, Contact Mechanics of Coated Bodies), на семинарах ИПМ АН СССР, на ряде республиканских и других конференций, на совещаниях и сессиях, на семинарах кафедры теории упругости механико-математичского факультета и НИИ механики и прикладной математики Ростовского госуниверситета.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 30 разделов, сгруппированных в 6 глав, заключения и списка литературы из 273 наименований. Общий объем диссертации 255 стр., в том числе 53 рисунка и таблица.
Некоторые общие свойства трансформант ядер интегральных уравнений задач I—IV и аппроксимация их аналитическими выражениями
В данном параграфе устанавливаются некоторые общие свойства функций L(u), характеризующие рассматриваемые классы интегральных уравнений. На основании установленных свойств, предлагаются их аппроксимации некоторыми выражениями, отражающими эти свойства, доказывается возможность приближения ими L(u). Предлагается простой метод аппроксимации главной части L(u) дробно-рациональной функцией. Рассмотрим асимптотические свойства функции L{u) задач I и И при н-»0 и м-»оо (выражение 1.1.48): б) При U — с» от того, каким образом изменяется неоднородность в слое от G (0) до GA-H), а определяется только этими значениями. Графически это будет выглядеть как то, что, если множество кривых, описывающее некоторые законы изменения модуля сдвига с глубиной имеют одинаковые значения модуля сдвига на поверхности полупространства и на глубине Я, то графики соответствующих трансформант L(u) задач I и II будут выходить из одной общей точки L(0) = G(0)G l(-H)n сходиться в одну точку L(co) = 1. Для задач III и IV свойства (1.5.9) не меняются, а свойство, аналогичное (1.5.3) имеет вид: где В случае многослойных сред свойства функции податливости, аналогичные (1.5.3), (1.5.9) и (1.5.11), показаны в работах [198,200]. Для всех рассмотренных задач эти свойства подтверждаются численными примерами. Покажем сохранение свойств (1.5.3), (1.5.9), в общем случае, непрерывной неоднородности для задач I и П. Ниже покажем аналитическое различие свойств трансформант ядер интегральных уравнений для непрерывно-неоднородного полупространства и функций податливости для многослойного [134] полупространства.
В последнем, в пределах каждого слоя упругие характеристики не меняются, т.е. слои однородны. Показывается влияние этого отличия на примере распределения контактных касательных напряжений под штампом для задач I и II. Рассмотрим неоднородное полупространство с произвольно и непрерывно изменяющимся по глубине модулем сдвига G = G(z) так, что lim G(z) = const и для всех z є (- #;0) G(z) Ф О, G{z) Ф со. Разобьем среду на я + 1 слой (сверху вниз). Обозначим h t -толщина /-го слоя, Ht — расстояние нижней границы / -го слоя от поверхности. В каждом таком неоднородном по глубине слое аппроксимируем изменение модуля сдвига экспоненциальным законом вида (см. Рис. 1.5) так, чтобы на границах слоев выполнялись соотношения непрерывности Считаем, что самый нижний п + \ слой - однородное полупространство. Обозначим: Считаем, что wk - перемещения вдоль оси z и TyZ- контактные касательные напряжения сопрягаются на границах слоев, т.е. Введем вспомогательные функции Wj(a,z), (і = 1,2,...,п) где Wi (cc,z), T(a) - трансформанты Фурье для задачи I (трансформанты Ханкеля - для задачи II) функций w{(x,у), т у2 соответственно. Сведение задачи I и II к нахождению контактных касательных усилий из интегрального уравнения приводит к необходимости построения функции Щ (а,0). Ниже будем обозначать функцию Щ (а,0) через L(a) и называть ее в соответствии с [134] функцией податливости полупространства. Нетрудно убедиться, что построение функций податливости Ца) задач I или II для среды (1.5.12) в результате использования интегральных, преобразований сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений которое получено из определения вспомогательной функции Wx (a,z) и соотношений закона Гука для чистого сдвига (кручения): Введем обозначения: решения А:-го уравнения (1.5.15) имеет вид: С учетом условия (1.5.14) и (1.5.16), при фиксированном а получаем линейную систему алгебраических уравнений относительно B,CltD„ / = 1,...,и: Последовательно снизу вверх исключим неизвестные Ск nDk из (1.5.17). Получим следующие выражения для определения правых частей Sk и Zk уравнений (1.5.17): (1.5.18)
Свойства Да) установим на основании свойств функций к а). Именно, имеем: Используя (1.5.13), соотношение (1.5.21) можно переписать в виде Переходя к пределу при / —»0, / = 1,2,...,л,«-+оо из (1.5.23) имеем, что значение Z(0) не зависит от закона изменения модуля сдвига по глубине, а определяется лишь значением модуля сдвига на поверхности и при Z-+CO. Проанализируем установленные свойства, (1.5.22), (1.5.23) функции Ца) в связи с распространенным использованием замены непрерывно-неоднородной среды многослойной (пакетом однородных слоев). Структура асимптотического решения контактных задач при больших Я, Я = Нпа \ где а- полуширина штампа для задачи I (радиус штампа для задачи И), определяется поведением Ца) при а- оо [45, 52]. Для непрерывно-неоднородного полупространства из (1.5.22) имеем: для пакета однородных слоев [202]: Из (1.5.24) следует, что в общем случае непрерывной неоднородности решение имеет вид ряда по степеням Я 1 и In Я [9,10,47], для многослойного пакета из (1.5.25) соответственно следует, что решение имеет вид ряда по степеням Я 2 [45]. Непосредственно из построенных методом больших Я асимптотических формул [8, 9] видно, что в решении для непрерывно-неоднородной среды главную часть, связанную с отличием от решения для случая многослойного полупространства (полуплоскости), характеризует постоянная с . Из (1.5.22) получим, что Z -» 0 для многослойного же пакета с = 0. Таким образом, замена непрерывно-неоднородной среды многослойным пакетом в ряде случаев может привести к значительным погрешностям в полученном решении. Заметим, что, в отличие от модели в виде пакета однородных слоев, модель (1.5.12) математически достаточно точно описывает непрерывно-неоднородную среду. Замечание 1.2. Можно убедиться, что аналогичные различия в свойствах функций податливости имеют место и в общем случае пространственной деформации непрерывно-неоднородного и многослойного полупространства. Замечание 1.3. В случае, если неоднородную полосу (слой), лежащую на жестком основании, Свойством (1.5.27) обладают и все типы оснований, для которых модуль сдвига (коэффициенты Ламе) растет с глубиной так, что Методы решения таких задач будут рассмотрены в четвертой главе. Ниже рассмотрим методы построения решений классов парных интегральных уравнений, для которых имеют место свойства (1.5.2), (1.5.8), причем А О. Это контактные задачи как для непрерывно неоднородного, так и многослойного полупространства (полуплоскости). Причем законы изменения коэффициентов Ламе с глубиной такие, что задачи I, И: Замечание 1.4 . Условия (1.5.30) и (1.5.31) в случае, если G(0) 0 (0(0) Ф 0) являются также достаточными условиями для того, чтобы можно было применить схему численного построения L(u),
Двухсторонние асимптотические свойства замкнутых приближенных решений задач I-IV
В настоящем параграфе рассматриваются контактные задачи I-IV. Доказывается, что интегральные уравнения, соответствующие этим задачам, не могут иметь более одного решения в пространстве суммируемых функций Lp (-1,1) (1 р 2). При построении решения двухсторонним асимптотическим методом строится замкнутое решение вспомогательного класса уравнений, затем предлагаемый метод обобщается на случай интегральных уравнений, соответствующих задачам I-IV; доказывается разрешимость задачи, устанавливаются классы корректности; обосновывается приближенный метод решения при Я Я и Я Я, где Я и Я0 - некоторые фиксированные значения Я. Покажем, что интегральные уравнения, соответствующие задачам I-IV, не могут иметь в пространстве суммируемых функций Lp(-\,\) (р 1) более одного решения. Лемма 2.8. Если функции L(u) соответствуют трансформантам ядер интегральных уравнений задач I-IV, то для всех и є (0,оо) имеют место неравенства: С -ЛЙ ад 4№ЩГС »( ачига-1У) (2.4.2) Справедливость леммы 2.8 нетрудно установить, используя для рассматриваемых задач соотношения (1.5.32) и (1.5.33). Теорема 2.3. Если имеют место условия леммы 2.4, то в 2 ,(-1,1) (1 р 2) интегральные уравнения, соответствующие задачам I—IV, не могут иметь более одного решения. Доказательство следует непосредственно из результатов работы [80]. а а либо разложение Пусть также при х -»Ъ функции В и В ограничены, а при х = а имеем а. В+ а2 В = 0. Кроме того, числа ук составляют счетное множество нулей некоторого трансцендентного уравнения, причем а Гк Гк + 1 Р Считаем, что уравнение (2.4.3) удовлетворяет условиям теоремы Фукса [123], то есть коэффициент р.(х) при d y/dx " имеет вид (х-а) 1 Р/(д:-ог), где функция Р/(дг-а) голоморфна в области точки а (условие теоремы Фукса необходимо и достаточно для того, чтобы уравнение (2.4.3) имело два независимых интеграла, правильных в области точки а ). Рассмотрим парное интегральное уравнение (парный ряд-уравнение) Здесь функция р(у) такова, что при К{Лу) -1 решение уравнения (2.4.4) известно. Пусть имеет место [25] Здесь А.,В. (/ = 1,2,...,ЛГ); Ck,Dk ( = 1,2,...,М)-некоторые постоянные. Имеет место теорема 2.4. [12]:
При условии, что функция К(у) обладает свойствами (2.4.6), она допускает аппроксимацию выражениями вида В соответствии с (2.4.1) Подставляя (2.4.11) в (2.4.4), имеем Ниже интегральный оператор, соответствующий функции К(у), принадлежащей классу X, будем также обозначать через X. Используя (2.4.10), перепишем (2.4.12) в операторном виде В (2.4.13) оператор IIN соответствует в (2.4.10) функции К{у) вида (2.4.7), а Еоо - функции К(у) вида (2.4.8). Определение 2.2. Будем говорить, что для уравнения (2.4.4) выполнено условие А, если для него при К(у) є П можно построить замкнутое решение, следуя [49]. Будем обозначать это решение Иными словами, условие А означает, что для функций f(x), принадлежащих некоторому классу W(c,d) существует функция q(x), принадлежащая некоторому классу V(c,d), такая, что имеет место равенство (2.4.14). ф Из представления (14) следует, что / Ниже будем обозначать через т(Х) некоторую постоянную, зависящую от конкретного вида принадлежащей X функции. выполнении некоторых условий выражение (2.4.14) представляет собой асимптотически точное решение уравнения (2.4.13) при Я— 0 и Предварительно рассмотрим вопрос о существовании и единственности решения парного уравнения (2.4.4) для функции К(у) класса SJSJ,M в этом случае его можно записать в виде: Определим условия, при которых оператор П Едо уравнения (2.4.4) является оператором сжатия [139], для этого используем следующие утверждения. Лемма 2.9. Для билинейной формы вида если ур(у) = г х(у), М(у,х) = В(у,х) а а — вещественное число, имеет место представление (2.4.3), такие, что В_(ш,)—»0, а В+(ш,)— х при а-»с». Утверждение леммы (1) следует из леммы 28.1 работы [102], для этого достаточно в лемме 28.1 положить / =іа.
Не нарушая общности, положим в (2.4.16) М = 1. . Лемма 2.10. Если для уравнения (2.4.4) выполнены условие А и условия леммы (2.9), то оператор l q в (2.4.16) можно представить в виде ряда [170] (i# соответствует K?q(J,y)) Ziq= ZAB(y.,x), с Л 2 C{a)\q(t)B(y.)dt; (2.4.19) -s(c)Wca(B+,B)I_ +s{d)WS{B_,B)I+\ d I± = IqffiB (p,&dt, a = iDX-\ (2.4.20) Wg (A,B) = A(a,b)B (yk ,b) - B(yk ,b)A (a,b). (2.4.21) Здесь y Yy...,у ,... - совокупность всех собственных значений задачи (2.4.3) при соответствующих граничных условиях, В(ук,х) соответствующие нормированные собственные функции, С(а) некоторая фиксированная для каждого уравнения (2.4.3) ограниченная постоянная, связанная с определителем Вронского W(B ,В_) функций В+(а,х) и В_(а,х) соотношением W[B+ (а,х), В_ (а,х)] = C(a)S- (х) (2.4.22) Для доказательства леммы (2) выпишем представление коэффициентов разложения 0к: A(«) = f ]чтк{а,№, Ak(a )Jjaa(4,x) f -dx (2.4.23) Л с с rW Используя лемму (1) и известное свойство решений дифференциального уравнения второго порядка [50] d.B(atx)B(ibtx)dx = г(х) 1: с (2.4.24) -(B (atx)B(ibtx)-B(atx)B (ib,x)) .a2+b2 где B(a,x),B(ib,x) - любые два решения уравнения (2.4.3), соответствующие у = а и y = ib, второе выражение (2.4.23) можно переписать в виде 8(х)В_(а,ф+(а,х)В (ук,х) Ак(а,& = 2 2 У,-а х -В(ук,х)В +(а,х)] (х)В+(а,ф_(а,х)В (ук,х) -B(rk,x)B Ja,x)]\dr х (2.4.25) откуда следует утверждение леммы (2).
Задача VII. Чистый сдвиг полосовым штампом неоднородного пространственного клина
Недеформируемый полосовой штамп взаимодействует с упругой клиновидной областью с углом раствора а(0 а 2я). С областью связана цилиндрическая система координат (r, p,z). Считаем, что грань клина р = 0 жестко защемлена, а на грань р = а действует полосовой штамп. На единицу длины штампа действует .сдвигающее усилие Р, вследствие чего штамп переместится в направлении оси z на величину є, вызвав в клине деформацию чистого сдвига. При этом ширина области контакта штампа с клином а г Ъ (рис. 3.3). Предполагается, что силы трения между штампом и поверхностью клина отсутствуют, и вне штампа поверхность клина ср = а не нагружена. Модуль сдвига клина изменяется по закону Здесь G{(p) — произвольная гладкая функция, G( p) 0 всюду в области определения. Граничные условия при сделанных предположениях имеют вид: Необходимо определить распределение касательных напряжений под штампом а также связь между сдвиговым усилием Р и перемещением штампа є. задачам VII и VII Используем уравнения пространственной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат [172] Перемещения w(r, p) представим в форме интеграла Меллина Уравнение (3.3.6) с учетом (3.3.7), (3.3.8) относительно W(s,(p) можно представить в виде Здесь штрих означает дифференцирование по р. Граничное условие (3.3.2) примет вид Представим функцию т(г) интегралом Меллина Уч Модуль сдвига клина изменяется по закону Здесь G{(p) — произвольная гладкая функция, G( p) 0 всюду в области определения. Граничные условия при сделанных предположениях имеют вид: Необходимо определить распределение касательных напряжений под штампом а также связь между сдвиговым усилием Р и перемещением штампа є. задачам VII и VII Используем уравнения пространственной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат [172] Перемещения w(r, p) представим в форме интеграла Меллина Уравнение (3.3.6) с учетом (3.3.7), (3.3.8) относительно W(s,(p) можно представить в виде Здесь штрих означает дифференцирование по р. Граничное условие (3.3.2) примет вид Представим функцию т(г) интегралом Меллина Учитывая (3.3.12), придем к уравнению вида: Для сведения смешанной задачи к интегральному уравнению необходимо построить.функцию L (s). Пределы интегрирования в зависимостях (3.3.8) и (3.3.11) определяются аналогично [223]. Уравнение (3.3.14) можно записать в виде ъ JT p) (t)dp = 7iG{a)s, a r%b . г, ч (3.3.15) c-ico S Г
Для завершения постановки задачи к интегральному уравнению (3.3.15) рассмотренной контактной задачи для упругого неоднородного клина следует добавить условие равновесия штампа которое (при а = к и а = 2к) позволяет определить связь между сдвигающим усилием Р и перемещением штампа є. При корректной постановке должно выполняться условие т(г) 0 при a r b. Для однородного клина задача также сводятся к интегральному уравнению вида (3.3.16), где функция L is a) определяется следующим образом: Изложим метод построения функции L (s) в общем случае произвольной итывая (3.3.12), придем к уравнению вида: Для сведения смешанной задачи к интегральному уравнению необходимо построить.функцию L (s). Пределы интегрирования в зависимостях (3.3.8) и (3.3.11) определяются аналогично [223]. Уравнение (3.3.14) можно записать в виде ъ JT p) (t)dp = 7iG{a)s, a r%b . г, ч (3.3.15) c-ico S Г Для завершения постановки задачи к интегральному уравнению (3.3.15) рассмотренной контактной задачи для упругого неоднородного клина следует добавить условие равновесия штампа которое (при а = к и а = 2к) позволяет определить связь между сдвигающим усилием Р и перемещением штампа є. При корректной постановке должно выполняться условие т(г) 0 при a r b. Для однородного клина задача также сводятся к интегральному уравнению вида (3.3.16), где функция L is a) определяется следующим образом: Изложим метод построения функции L (s) в общем случае произвольной гладкой неоднородности. Рассмотрим вспомогательную задачу VII со следующими граничными условиями: при 7 = 0 выполнено условие (3.3.2). Введем обозначения Как видно, коэффициенты матрицы А являются переменными. В общем случае построить решение уравнения (3.3.20) в аналитической форме не удается. Для данного случая
Задача XI. Взаимодействие круглой пластины с неоднородным полупространством
Уравнение (5.4.2) было получено в результате использования следующего представления вертикальных перемещений поверхности пространства: (5.5.1) Найдем аналитическое выражение для функции /(г) в (5.5.1), когда L(a)eTlN, г \. Для L(a)eIlN функция QN(cc) получена в аналитическом виде при построении решения уравнения (5.4.2). Используя формулу (5.5.1), получим выражение для функции f(r),r 1, если L(a)eHN; будем обозначать его fN(r). Согласно (5.4.7), функцию QN (а) можно записать в виде Соответствующие выражения для функций fN(r) имеют вид Окончательно получим где w - те же величины, что и в (5.4.6). Возникает вопрос об использовании формул (5.5.2), (5.5.3) для определения осадки поверхности неоднородного полупространства, т.е. в случае, когда трансформанта ядра L(a) обладает свойствами (5.4.5), и функция L(a) принадлежит классу функций SN м. Согласно теореме 5.3, решение (5.4.10), представленное формулами (5.4.13) и (5.4.7), является асимптотически точным решением уравнения (5.4.2) для L(a), принадлежащих классу функций SN м при Я -» 0 и Я - х . Подставив это асимптотическое решение qN(r) в (5.4.2) для L(a)eSN м, найдем приближенное выражение для осадки поверхности неоднородного полупространства вне плиты fs(r) в общем случае, когда L(a) eSN м: решения системы уравнений (5.4.1), (5.4.2) .установлены на конечном отрезке гє[0,і]. Покажем, что подобные асимптотические свойства сохраняются для определяемой приближенно функции /(г) при г є (1,оо). Не нарушая общности, считаем М = 1. В этом случае Используя асимптотические свойства цилиндрических функций мнимого аргумента, получим оценки где постоянные Л/ и М не зависят от Я. Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 5.4. Формулы (5.5.2), (5.5.3) являются асимптотически точным представлением осадки поверхности неоднородного по глубине полупространства вне плиты при выполнении условий теоремы 5.3 при 0 Л Л и Л Ла, где Л и Xа — некоторые фиксированные значения Л. Замечание. Аналогичные результаты имеют место в случае изгиба балки, лежащей на неоднородной по глубине полосе или на неоднородной полуплоскости. Для доказательства используются асимптотические свойства приближенных решений соответствующих контактных задач, установленные в [18,19, 35]. Рассмотрим изгиб круглой пластины под действием равномерно распределенной нагрузки единичной интенсивности. Пластина вдавливается в полупространство, модуль Юнга которого с глубиной изменяется по закону а коэффициент Пуассона основания v=l/3, -oo z 0. Коэффициент Пуассона пластины v =0,15. Для равномерно распределенной нагрузки выполнены условия теоремы 5.1 (р(г) = р = 1), коэффициенты разложения (5.4.7) имеют вид: # Рассмотрим следующие виды неоднородности: 1) монотонная (степенная): а) возрастающая с глубиной t l(z) = 0,l+z2ak, ak =1п0,1(-1)/21п0,5; k = 2 б) убывающая с глубиной 2) немонотонная На рис.5.2,(а-з) приведены графики величины xir) = 4 (r)lq (r)» характеризующей распределение контактных нормальных напряжений под пластиной на неоднородном основании по сравнению с однородным qo (г) (для Е = Е0ф(-\) ) при различных значениях Я . Здесь и ниже рис.5.2, а, в, Э, ж соответствуют изгибной жесткости пластины s = 0,1; б, г, є, з 5 = 3. Цифра у кривой соответствует значению X, для которого производился расчет. Значения q (г), q (г) найдены по формуле (5.4.10) при JV = 10, М = 10. На рис.5.2, а и б %(/) ; соответствует закону (z), на рис.5.2, в и г - ф2(г) рис.5.2, д и е — ф3(г), рис.5.2, ж и з - ф (г).
Можно заключить, что в случае монотонно убывающего с глубиной закона неоднородности вида ф2{г) в ( окрестности края пластины наблюдается убывание коэффициента при особенности контактных напряжений по сравнению с его значением для однородного полупространства, вплоть до отрыва пластины от основания (рис.5.2, ж, з). В этом случае нужно изменить постановку задачи. Зона контакта пластины с основанием может быть определена из условия обращения в нуль контактных напряжений на границе зоны. Зона отрыва расширяется при увеличении изгибной жесткости пластины Для немонотонных законов неоднородности фЛг) и фЛг) характерно, что в случае, когда ф(т) возрастает с глубиной от поверхности основания (фЛг)), наблюдается увеличение величины
